1. No category

031021P Tilastomatematiikka (5 op)
Kurssi-info ja lukion kertausta
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
Käytännön asioita
– Luennot (yht. 7 × 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin
Oodista tai Nopasta)
– Harjoitukset (yht. 7 × 2 h) alkavat viikolla 3
Suorittaminen: Kurssin voi suorittaa loppukokeella 2.3.2016 (5
tehtävää á 6 pistettä, max. 30 pistettä)
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
2 / 37
Lisäpisteet
Loppukokeen pistesummaan voi saada lisäpisteitä
(a) osallistumalla aktiivisesti laskuharjoituksiin seuraavan
taulukon mukaisesti
Laskuharjoituspisteet (harjoituksia 7)
Laskuharjoitusten lkm. 2-3 4-5 6-7
Laskuharjoituspisteet
1
2
3
(b) tekemällä 3 STACK-tenttiä (á 2 pistettä)
Moodle-ympäristössä osoitteessa
https://stack3.aalto.fi/
Ympäristö avautuu viikolla 3.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
3 / 37
Kurssin läpäisy
Kurssin läpäisyn ratkaisee loppukokeen ja lisäpisteiden
yhteissumma. Maksimipistemäärä on
30 + 3 + 3 · 2 = 39 pistettä.
Varma läpipääsy 15 pisteellä.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
4 / 37
Todennäköisyys ja tilastot lukiossa
Edellisen opetussuunnitelman mukaan kurssin MAA6
Todennäköisyys ja tilastot keskeiset sisällöt ovat:
◮
diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma
◮
jakauman tunnusluvut
◮
klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
◮
Kombinatoriikka
◮
todennäköisyyksien laskusäännöt
◮
diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma
◮
diskreetin jakauman odotusarvo
◮
normaalijakauma
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
5 / 37
Kurssin sisältö
Kurssilla käsitellään seuraavia asioita
Viikko 1 Todennäköisyyden perusominaisuudet ja ehdollinen tn.
Viikko 2 Jatkuva ja diskreetti satunnaismuuttuja
Viikko 3 Jakaumien tunnusluvut ja keskeinen raja-arvolause
Viikko 4 Estimointiteoriaa
Viikko 5 Tilastollinen testaus
Viikko 6 Regressioanalyysi
Viikko 7 2-ulotteiset jakaumat
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
6 / 37
Lukion kertausta
Kannattaa palautella mieliin kurssin MAA6 oppisisältöä tämän
kurssin suorittamisen helpottamiseksi. Sisältöjä vertaamalla
nähdään, että esimerkiksi kombinatoriikkaa ja klassista
todennäköisyyttä ei tällä kurssilla esitetä. Se ei kuitenkaan
tarkoita, etteikö niitä tarvitsisi osata. Ne siis kannattaa kerrata.
Netistä löytyy paljon materiaalia ja kannattanee myös kaivella esiin
vanha lukion oppikirja. Seuraavaksi esitellään kertausmateriaali
pähkinänkuoressa.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
7 / 37
Mitä tilastomatematiikka on?
Tilastomatematiikka (tämä kurssi) on todennäköisyyslaskennan ja
tilastotieteen symbioosi.
Ylen Abi-treenit sivuilla todennäköisyyslaskentaa luonnehditaan
näin:
“Todennäköisyyslaskenta on matematiikan osa-alue, joka pyrkii
ennustamaan tapahtumien todennäköisyyttä.
Todennäköisyyslaskennan tiedoista on hyötyä veikkaus- ja
rahapeleissä, mutta se ennustaa myös erilaisten tilastoitujen
tapahtumien tapahtumista.”
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
8 / 37
Mitä tilastomatematiikka on?
Wikipediassa tilastotiedettä luonnehditaan näin
“Tilastotiede on tieteenala, joka tutkii tilastollisten aineistojen
keräämistä, käsittelyä ja niiden pohjalta tehtävää päättelyä.
Tilastotieteen avulla voidaan mitata havaintoja ja käsitellä
mittausten muodostamia aineistoja, ja tilastotiede tuo siten
empiriaa erilaisiin tutkimuksiin. Tilastotieteen tulosten pohjalta
tehtävä päättely on induktiivista päättelyä eli aineiston pohjalta
pyritään yleistämään asioita yksittäisestä yleiseen.”
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
9 / 37
Mitä tilastomatematiikka on?
Tilastomatematiikan pyrkimyksenä on hallita satunnaisilmiöitä
todennäköisyyslaskennan avulla. Tilastollisessa tutkimuksessa
kerätään havaintoja, joista pyritään tekemään mahdollisimman
luotettavia johtopäätöksiä. Tarvittaessa havaintoja joudutaan
muokkaamaan niin, että tietyn todennäköisyysmallin oletukset
tulevat voimaan, minkä jälkeen tehdään kyseisen mallin avulla
johtopäätöksiä tutkimuksen kohteesta. Nykyään
todennäköisyysmalleja käytetään ilmiöiden kuvailussa
käytännöllisesti katsoen kaikilla tieteenaloilla.
Opintojakson tavoitteena on antaa teoreettiset perusvalmiudet
satunnaisilmiöiden mallintamiseen ja tilastollisten menetelmien
opiskeluun.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
10 / 37
Satunnaiskoe vs. deterministinen koe
Koe, jonka lopputulos voidaan alkutilanteen ja ilmiön mekanismin
perusteella ennustaa tarkkaan, on deterministinen.
Satunnaiskokeella tarkoitetaan ilmiötä, jossa
(1) koetta voidaan toistaa samoissa oloissa
(2) kokeella on useampi kuin yksi lopputulos, jonka määrää
satunnainen mekanismi
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
11 / 37
Esimerkki
Esim. 1
Onko seuraavissa kyse deterministisestä kokeesta vai
satunnaiskokeesta?
(1) Jääkiekon SM-liigan mestaruuden voittava joukkue keväällä
2016?
(2) Satunnaisesti valitun miehen sosiaaliturvatunnuksen toiseksi
viimeinen merkki on parillinen luku?
(3) Perheeseen syntyvä lapsi on tyttö?
(4) Auringonnousun ajankohta Oulussa 1.4.2016?
(5) Differentiaaliyhtälön y ′ (x) = y (x) ratkaisu alkuehdolla
y (0) = 1?
(6) Tilastomatematiikka-kurssin läpäiseminen keväällä 2016?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
12 / 37
Otosavaruus ja tapahtuma
Määr. 1
Satunnaiskokeen E mahdolliset lopputulokset ovat
alkeistapahtumia ja kaikkien alkeistapahtumien e joukko on
otosavaruus S.
Määr. 2
Satunnaiskokeessa tapahtuma on otosavaruuden S osajoukko.
Tapahtumasysteemi E on kaikkien tapahtumien muodostama
joukko.
Huomautus 1
Myös tyhjä joukko φ on tapahtuma. Tapahtumasysteemi on siis
otosavaruuden osajoukkojen muodostama joukko E = {A|A ⊂ S}.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
13 / 37
Joukko-oppia
Kuten määritelmistä nähdään, on joukko-oppi hyvin keskeisessä
asemassa. Kerrataan sen vuoksi joukko-opin perusoperaatiot.
Perusjoukko S (satunnaiskokeessa otosavaruus), A, B ⊂ S
osajoukkoja (A ja B tapahtumia)
◮
Joukon komplementti A = S \ A = {x ∈ S| x ∈
/ A} (“A ei
tapahdu”)
◮
Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B} (“A tai B
tapahtuvat”)
◮
Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S| x ∈ A ja x ∈ B} (“A ja B
tapahtuvat”)
◮
Erotus A \ B = A ∩ B = {x ∈ S|x ∈ A ja x ∈
/ B} (“A
tapahtuu, mutta B ei tapahdu”)
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
14 / 37
Vennin diagrammi
Joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Vennin
diagrammien avulla. Niistä on apua myös yksinkertaisten
todennäköisyyksien laskemisessa.
Kuva : Joukon A komplementti
A.
Jukka Kemppainen
Kuva : Joukkojen A ja B yhdiste
A ∪ B.
Mathematics Division
15 / 37
Kuva : Joukkojen A ja B
leikkaus A ∩ B.
Jukka Kemppainen
Kuva : Joukkojen B ja A erotus
B \ A.
Mathematics Division
16 / 37
Satunnaiskokeen malli
Satunnaiskoetta mallinnetaan siis matemaattisesti joukko-opin
avulla. Kannattaa opetella ilmaisemaan satunnaiskoe
joukko-opillisesti ja kääntäen. Havainnollistetaan peruskäsitteitä
taulukon avulla:
Satunnaiskokeessa
Symboli Mallissa
Alkeistapausten joukko
S
Otosavaruus
Alkeistapahtuma
ei
Otosavaruuden alkiot
Tapahtuma
A
S:n osajoukko
Tapahtumasysteemi
E
σ-algebra S:ssä
Varma tapahtuma
S
Otosavaruus
Mahdoton tapahtuma
φ
Tyhjä joukko
A tai B sattuu
A∪B
Yhdiste
A ja B sattuu
A∩B
Leikkaus
A ei satu
A
Komplementti
A sattuu, mutta B ei
A\B
erotus
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
17 / 37
Mallin hyödyntäminen käytännössä
Monia todennäköisyyteen liittyviä ongelmia voidaan ratkoa
tapauskohtaisesti ns. maalaisjärjellä.
Mallin avulla todennäköisyyksien laskentaa voidaan kuitenkin
helpottaa ja nopeuttaa. Joskus se voi olla jopa välttämätöntä
(myös koneellisessa laskemisessa), jos suotuisia alkeistapahtumia
on valtava määrä.
Joukko-opin avulla kiinnostava tapahtuma A voidaan esimerkiksi
hajottaa toisensa poissulkeviin osiin A ∩ B ja A ∩ B, joiden tn:t
osataan laskea ja A:n tn. saadaan identiteetistä
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Usein myös siirtyminen komplementtiin A voi auttaa, jos A:n tn.
voidaan laskea helposti, mutta A:n todennäköisyyttä ei.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
18 / 37
Esimerkkejä
Esim. 2
Määrää otosavaruudet seuraaville satunnaiskokeille.
(a) Heitetään kolikkoa kolme kertaa.
(b) Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan ensimmäinen kruuna.
(c) Määritetään lampun kestoikä.
Ratkaisu: (a) Merkitään
H = ”heitto on kruuna”
T = ”heitto on klaava”
Otosavaruudeksi S voidaan ottaa kolmen merkin jonot XYZ ,
missä kukin X , Y , Z on joko H tai T , jolloin #S = 8. Tässä
tapauksessa voidaan jopa luetella kaikki alkiot ja todeta, että
S = {HHH, HHT , HTH, THH, HTT , THT , TTH, TTT }.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
19 / 37
Esimerkkejä
(b) Mahdollisia tuloksia ovat tulossarjat H, TH, TTH, . . ..
Tuloksena voidaan myös tarkastella ensimmäisen kruunan
ilmestymiseen tarvittavien heittojen lukumäärää, jolloin tulossarjat
ovat 1, 2, 3, . . .. Tällöin otosavaruudeksi voidaan ottaa
S = {1, 2, 3, . . . } = N.
Nyt kaikkia alkeistapauksia ei voi edes luetella, sillä S on ääretön
joukko. Alkiot voidaan kyllä numeroida, sillä N on numeroituva
joukko.
(c) Nyt satunnaiskokeen lopputulos voi olla mikä tahansa
reaaliluku t ≥ 0. Otosavaruudeksi voidaan ottaa
S = {t ∈ R | t ≥ 0} = [0, ∞[.
Tässä tapauksessa otosavaruus ei ole edes numeroituva.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
20 / 37
Esimerkkejä
Esim. 3
Esitä tapahtumat
(a) Saadaan vähintään kaksi kruunaa.
(b) Korkeintaan 5 heittoa.
(c) Vähintään 100 tuntia.
Ratkaisu: (a) Merkitään A = ”vähintään 2 kruunaa”. Esimerkin 2
merkintöjä käyttäen A on joukko
A = {HHT , HTH, HHT , HHH}.
(b) Merkitään B = ”korkeintaan 5 heittoa”. Joukko-opillisesti
B = {1, 2, 3, 4, 5}.
(c) Merkitään tapahtumaa C :llä. Joukko-opillisesti
C = {t ∈ R | t ≥ 100} = [100, ∞[.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
21 / 37
Klassinen todennäköisyys
◮
Otosavaruus on äärellinen S = {e1 , e2 , . . . , eN }.
◮
Alkeistapahtumat ovat yhtä todennäköisiä. Koska alkioita on
N kappaletta, on kunkin alkeistapahtuman ei todennäköisyys
P(ei ) =
◮
1
.
N
Satunnaiskokeen tapahtuman B esiintymistodennäköisyys on
tällöin
m
P(B) = ,
N
missä m = #B on joukon B alkioiden lukumäärä.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
22 / 37
Esimerkkejä
Esim. 4
Heitetään kolikkoa kolme kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan
(a) kolme kruunaa?
(b) kaksi kruunaa?
Ratkaisu: (a) Käytetään Esimerkin 2 merkintöjä. Olkoon
A = ”saadaan kolme kruunaa”. Joukko-opillisesti
A = {HHH},
joten
P(A) =
Jukka Kemppainen
1
#A
= .
#S
8
Mathematics Division
23 / 37
Esimerkkejä
(b) Merkitään B = ”saadaan kaksi kruunaa”. Joukko-opillisesti
B = {HHT , HTH, THH},
joten
P(B) =
Jukka Kemppainen
3
#B
= .
#S
8
Mathematics Division
24 / 37
Esimerkkejä
Esim. 5 (de Mérén probleema)
Ranskalainen aatelismies de Méré oli innokas uhkapeluri. Hän
havaitsi kokeellisesti seuraavaa
(a) Kannattaa lyödä vetoa siitä, että heitettäessä 4 noppaa
saadaan ainakin yksi kuutonen.
(b) Ei kannata lyödä vetoa siitä, että heitettäessä kahta noppaa
24 kertaa saadaan ainakin yksi kuutospari.
De Méré ei kuitenkaan kyennyt teoreettisesti selittämään
havaintoaan, joten hän kääntyi Pascalin puoleen (n. 1650). Tämä
tapahtuma toimi virikkeenä todennäköisyyslaskennan syntyyn.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
25 / 37
de Mérén probleeman ratkaisu
(a) Otetaan otosavaruudeksi S merkkijonot x1 x2 x3 x4 , missä kukin
xi on heiton i silmäluku. Tällöin #S = 64 . Olkoon
A = ”saadaan ainakin yksi kuutonen”. Tarkastellaan sen
komplementtia A = ”ei yhtään kuutosta”. Kaikki silmäluvut ovat
tällöin erisuuria kuin 6, joten
#A = 5 × 5 × 5 × 5 = 54
ja näin ollen
P(A) =
Jukka Kemppainen
#A
64 − 54
5 4
=
=1−
≈ 0.518.
4
#S
6
6
Mathematics Division
26 / 37
de Mérén probleeman ratkaisu
(b) Kussakin kahden nopan heitossa on 6 × 6 = 36 eri
tulosvaihtoehtoa, joten #S = 3624 . Jos
B = ”saadaan ainakin yksi kuutospari”, niin komplementti on
B = ”ei yhtään kuutosparia” . Kussakin kahden nopan heitossa on
35 suotuisaa tapausta olla saamatta kuutosparia, joten
#B = 35 × · · · × 35 = 3524
ja saadaan
P(A) =
Jukka Kemppainen
#A
3624 − 3524
35 24
=
=1−
≈ 0.491.
24
#S
36
36
Mathematics Division
27 / 37
Kombinatoriikkaa
Olkoon E = {e1 , e2 , . . . , en }, missä n ∈ N = {1, 2, . . . }.
◮
Permutaatio Äärellisen joukon E alkioiden jono
(ei1 , ei2 , . . . , ein ), jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleen
kerran. Permutaatioiden lukumäärä on
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n.
◮
k-permutaatio on äärellisen joukon E k:n eri alkion jono
n!
(ei1 , . . . , eik ), joiden lukumäärä on (n−k)!
.
◮
k-kombinaatio on äärellisen joukon E k-alkioinen
osajoukko
n
n!
.
{ei1 , . . . , eik }. Näiden joukkojen lukumäärä on k = (n−k)!k!
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
28 / 37
Esimerkkejä
Esim. 6
(a) Lotossa arvotaan 7 numeroa 39 mahdollisesta. Kuinka monta
erilaista lottoriviä voidaan arpoa?
(b) Pokerissa pelaajalle jaetaan 5 korttia 52 mahdollisesta.
Kuinka monta erilaista pokerikättä voidaan jakaa?
(c) Vakioveikkauksessa valitaan yksi kolmesta eri merkistä
{1, X , 2} 13 kohteeseen. Kuinka monta erilaista vakioriviä
voidaan veikata?
Ratkaisu: (a) Kyseessä on otanta ilman takaisinpanoa, joten
erilaisten lottorivien lukumäärän ilmoittaa luvun 39
7-kombinaatioiden lukumäärä, joka on
39
39!
≈ 15.4 · 106 .
=
7!32!
7
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
29 / 37
Esimerkkejä
(b) Kyseessä on otanta ilman takaisinpanoa, joten erilaisten
pokerikäsien lukumäärä on
52
≈ 2.6 · 106 .
5
(c) Kukin merkki voi olla mikä tahansa merkeistä 1, X , 2, joten
kyseessä on otanta takaisinpanolla. Erilaisia vakiorivejä on siten
313 ≈ 1.6 · 106 kappaletta.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
30 / 37
Esimerkkejä
Esim. 7
Tarkastellaan erilaisia pokerikäsiä. Millä tn:llä käsi on
(a) ns. ”hai” eli kaikki kortit ovat eri suuruisia eivätkä ne voi olla
5 peräkkäistä (ns. suora) eikä samaa maata (ns. väri)?
(b) neloset eli saadaan neljä samansuuruista korttia.
Ratkaisu: Korteissa on suuruus 1, 2, . . . , 13 ja väri {He,Pa,Ru,Ri}.
Tarkastellaan erikseen suuruutta ja väriä.
(i) Suuruus:
poimitaan 5 erisuuruista korttia, joka voidaan tehdä
13
5 eri tavalla. Peräkkäisten korttien kombinaatiot
(1, 2, 3, 4, 5), . . . , (9, 10, 11, 12, 13), (10, 11, 12, 13, 1(A))
eivät käy. Näitä on yhteensä
10 kappaletta. Suuruudet
voidaan siis valita 13
−
10
eri
tavalla.
5
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
31 / 37
Esimerkkejä
(a) jatkuu...
(ii) Väri: kaikki kortit eivät voi olla samaa väriä, joten epäkäypiä
mahdollisuuksia
(He,He,He,He,He), . . . , (Ri,Ri,Ri,Ri,Ri)
on 4 kappaletta. Värit voidaan siis valita 45 − 4 eri tavalla.
Kysytty todennäköisyys on näin ollen
5
13
5 − 10 4 − 4
≈ 50.1%
52
5
(b) Kuten kohdassa (a) voidaan todeta, että kaksi erisuuruista
voidaan valita 13 × 12 eri tavalla. Yksittäiselle kortille, joka ei
esiinny nelosissa, on 4 värivaihtoehtoa. Kysytty todennäköisyys on
13 · 12 · 4
≈ 0.024%.
52
5
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
32 / 37
Esimerkkejä
Esim. 8
Laatikossa on 15 palloa; 4 valkoista, 5 punaista ja 6 mustaa.
Laatikosta nostetaan umpimähkään 3 palloa. Millä
todennäköisyydellä pallojen joukossa on
(a) valkoinen pallo tai punainen pallo?
(b) valkoinen pallo ja punainen pallo?
(c) valkoinen pallo, mutta ei punaista palloa?
Ratkaisu: Olkoot
A = ”saadaan ainakin yksi valkoinen pallo”,
B = ”saadaan ainakin yksi punainen pallo”.
Tällöin
#A =
11
3
Jukka Kemppainen
= 165, #B =
10
6
ja #(A ∩ B) =
= 20.
3
3
Mathematics Division
33 / 37
Esimerkkejä
(a) Kysytty todennäköisyys on
P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 −
87
20
= .
155
91
(b) Todennäköisyys on
P(A ∩ B) =1 − P(A ∪ B)
=1 − P(A) − P(B) + P(A ∩ B)
20
38
165 120
−
+
= .
=1 −
455 455 455
91
(c) Tn. on
P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) = 1 − P(A) − P(A ∩ B)
20
100
= .
=
455
91
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
34 / 37
Geometrinen todennäköisyys
◮
Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinen tila.
◮
Tapahtuma A on S:n osajoukko.
◮
Tapahtuman A todennäköisyys on
P(A) =
m(A)
,
m(S)
missä m(A) joukon A pituus, pinta-ala tai tilavuus.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
35 / 37
Esimerkki
Esim. 9
Heitetään r -säteistä lanttia neliöruutuiselle tasaiselle alustalle.
Oletetaan, että ruutujen sivun pituus on a ≥ 2r . Mikä on
todennäköisyys, että lantti peittää jonkin ruudun kärjen? Laske
likiarvo tn:lle esimerkkitapauksessa a = 2r .
Ratkaisu: Tarkastellaan lantin keskipisteen paikkaa neliössä
S = [0, a] × [0, a]. Kolikko peittää nurkan, jos keskipisteen etäisyys
nurkasta on≤ r . Kysytty tn. on (piirrä kuva)
πr 2
4 · πr 2 /4
=
.
a2
a2
2
Jos esimerkiksi a = 2r , niin tn. on π4 ≈ 0.79.
Yllä olevalla tavalla voidaan määrätä likiarvo π:lle, kun heittokoe
toistetaan useasti.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
36 / 37
Harjoittelu tekee mestarin
Sitten ei muuta kuin harjoittelemaan. Osa edellä esitetyistä
esimerkeistä oli ehkä turhankin vaativia. Kannattaa lähteä ihan
perusesimerkeistä liikkeelle.
Esimerkiksi edellä mainituilta Abi-treenit sivuilta löytyy
perustehtäviä, joiden avulla perusasioita voi harjoitella ja
palautella mieliin.
Myös mm. seuraavilta sivuilta löytyy opetusvideoita ja
oppimateriaalia, joista saanee apua kurssin suorittamiseen.
– Opetushallituksen Etälukio-sivusto
– matikkamatskut-sivusto
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
37 / 37