Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Alestalo/Lehtelä
MS-A0101 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, syksy 2015
Laskuharjoitus 5L loppuviikolla 41 (7.–8.10.)
Aihepiiri: Integroimismenetelmät.
Luentomonisteet (Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 5–7)
Tehtävät 1–3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon
harjoitusta. Lasketut tehtävät merkitään nimilistaan ja assistentti pyytää yhden opiskelijan esittämään ratkaisun taululla. Tehtävät 4–6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla seuraavaan maanantaihin klo 18 mennessä huonetta Y192
vastapäätä olevaan lokerikkoon, omaa kurssia ja harjoitusryhmää vastaavaan lokeroon. Merkitse kansilehdelle kurssikoodi, harjoitusryhmä, harjoitusviikko, nimi ja opiskelijanumero. Niittaa kaikki paperit yhteen. Laskutuvassa on nitoja!
Z π
x sin(2x) dx.
1. Laske osittaisintegroinnin avulla
0
2. Normaalijakautuneen satunnaismuuttujan varianssin laskemiseksi tarvitaan integraalia
Z ∞
2
x2 e−x dx.
−∞
Z
∞
Laske tämä osittaisintegroimalla, kun tiedetään, että
2
−∞
2
Vihje: x2 e−x = x · xe−x .
3. Laske integraalit
Z
4 √
e
x
Z
dx ja
0
2
0
2
sijoittamalla x = t , 5u + 4 = v .
Käännä!
1
u
√
du
5u + 4
2
e−x dx =
√
π.
4. Eulerin gamma-funktio Γ(x) määritellään kaavalla
Z ∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt.
0
Majoranttiperiaatteen avulla voidaan osoittaa, että integraali suppenee
arvoilla x > 0, mutta sitä ei tarvitse tässä tehdä.
a) Johda osittaisintegroimalla palautuskaava Γ(x + 1) = xΓ(x).
b) Laske Γ(1) ja perustele: Γ(n + 1) = n!, kun n ∈ N.
√
c)∗ (Ei tarvitse palauttaa) Osoita, että ( 21 )! = Γ(3/2) = 12 π, kun x!
yleistetään b-kohdan kaavalla.
Vihje: Sopiva muuttujanvaihto ja aikaisemmat tehtävät.
5. Z
Oletetaan tunnetuksi (alkuviikon ylimääräinen tehtävä tai Diff-int-2), että
∞
√
√
2
e−t dt = π. Osoita muuttujanvaihtoa x − µ = (σ 2 )t käyttämällä,
−∞
että normaalijakauman N (µ, σ 2 ) tiheysfunktiolle
1
2
2
f (x) = √ e−(x−µ) /2σ
σ 2π
pätee
Z
∞
Z
∞
f (x) dx = 1 ja
−∞
(x − µ)2 f (x) dx = σ 2 .
−∞
Huom: Voit oikaista ilman tarkkaa epäoleellisen integraalin määritelmää.
6. a) Määritä sellaiset kertoimet A, B ∈ R, että
1
A
B
=
+
kaikilla x 6= 4, −5.
(x − 4)(x + 5)
x−4 x+5
b) Määritä sellaiset kertoimet C, D ∈ R, että
x
C
D
=
+
kaikilla x 6= 4, −5.
(x − 4)(x + 5)
x−4 x+5
Vihje: Kerro yhtälöt puolittain vasemman puolen nimittäjällä ja sitten
joko
(i) sijoita vuorotellen x = 4 tai x = −5 ja ratkaise kertoimet; tai
(ii) vertaa vakiotermejä ja x:n kertoimia yhtälön eri puolilla.
Lisätieto: Tämän periaatteen avulla voidaan integroida kaikki muotoa
ax + b
(x − x1 )(x − x2 )
olevat funktiot. Kyseessä on yksinkertaisin tapaus ns. osamurtohajotelmasta, joiden avulla kaikki rationaalifunktiot voidaan integroida. Tälle
kurssille kuuluu ainoastaan tämä helpoin tapaus.