1. No category

ATK II - Harjoitustyö 2
Palautus 15.3.2015 mennessä
Tehtävä 1
Muistellaan mekaniikan kurssilla opiskeltua heittoliikettä lähtien nopeuden lausekkeesta
�v (t) = �v0 + �g t,
(1)
missä �v0 on alkunopeus ja �g putoamiskiihtyvyys. Jaa yhtälö komponentteihin ja ratkaise seuraavat ongelmat (Huomaa, että vaikka tehtävä a) voidaan ratkaista käsin, tee harjoitus käyttäen
mahdollisimman paljon Mathematicaa ja sen rutiineja):
a) Ratkaise lähtien yhtälöstä (1) heittoliikkeen lentoaika, nousuaika, horisontaalinen lentomatka ja korkein kohta alkunopeuden ja heittokulman funktiona.
b) Laske lentoaika ja lentomatka kun alkunopeus on 20 m/s, heittokulma 30◦ vaakatasosta
ylöspäin, g = 9.82 m/s2 ja heitto lähtee kohdasta x = 0 m ja korkeudelta y = 1.5 m. Tee
taulukko heittoliikkeen korkeudesta matkan funktiona (käytä esim. 0.05 s pisteväliä) ja
interpoloi pistejoukkoa splineillä. Piirrä vielä taulukko ja interpolaatio samaan kuvaan.
c) Oletetaan, että kappale heitetään ylämäkeen, jonka korkeus
� � h �horisontaalisen
� matkan
x
1
1
x > 0 funktiona määräytyy yhtälöstä h(x) = 2 exp 20 sin 5 ln(x + 1) . Ratkaise
millä kohdalla ja korkeudella kappale osuu mäen pintaan kun se heitetään edellisen
kohdan mukaisilla alkuarvoilla.
Tehtävä 2
Aurinko on hyvällä tarkkuudella ns. musta kappale, joka absorboi kaikein siihen tulevan säteilyn. Kun tällainen kappale on termisessä tasapainossa sen emittoimaa säteilyä voidaan mallintaa Planckin lailla
�
�
�
�−1
2hc2
hc
I(λ, T ) = 5
exp
−1
,
(2)
λ
λkB T
missä λ on aallonpituus, T lämpötila, h Planckin vakio, c valonnopeus ja kB Boltzmannin
vakio. Tiedostossa “Solar.txt” on auringon emittoiman valon spektri mitattuna ilmakehän ulkopuolella. Tiedoston ensimmäisessä sarakkeessa on fotonin aallonpituus nanometreissä ja
toisessa tätä aallonpituutta vastaava intensiteetti mielivaltaisissa yksiköissä (ts. spektrin skaala on yksikötön, mutta pisteiden väliset suhteet ovat oikein).
a) Lataa tiedostosta spektri ja sovita siihen Planckin malli, jonka avulla saat määritettyä
auringon pintalämpötilan. Piirrä tämän jälkeen data ja sovitus samaan kuvaan. Ohje:
huomioi intensiteetin vapaa skaala, ja muista että epälineaarinen sovitus ei aina löydä
globaalisti parasta arvoa kaikilla alkuarvoilla.
b) Wienin siirtymälaki kertoo millä aallonpituudella mustan kappaleen säteily saavuttaa
suurimman intensiteetin annetulla lämpötilalla. Sijoittamalla x = hc/(λkB T ) yhtälöön
(2), nähdään että tämä on olennaisesti sama asia kuin lausekkeen x5 /(ex − 1) maksimikohdan löytäminen. Etsi tuo maksimikohta x = xmax ja laske sen avulla verrannollisuuskerroin b Wienin siirtymälaissa
λmax = b/T.
Laske saamallasi lämpötilalla auringon säteilyn intensiteettimaksimin aallonpituus. Mille säteilyn alueelle arvo asettuu?
Tehtävä 3
Tehdään yksinkertainen ennuste arktisen merijään kehitykselle. Jääpeitteen laajuus saavuttaa
vuosittaisen minimin syyskuussa. Tiedostossa “Arctic.txt” on hieman muokattuna1 Yhdysvaltain National Snow & Ice Data Centerin lista pohjoisen jäämeren pienimmästä syyskuisesta
jääpeitteestä vuosina 1979-2014. Sarakkeet ovat {vuosi, kuukausi, datan tyyppi, pallonpuolisko, laajuus, pinta-ala}. Tässä yhteydessä laajuus ja pinta-ala (molempien yksikkö on 106 km2 )
määritellään hieman eri tavalla2 , me keskitymme laajuuteen.
a) Lataa tiedosto Mathematicaan, muodosta {vuosi, laajuus} -taulukko ja sovitaa siihen
toisen asteen polynomi. Vihje: tutustu ReadList komennon syntaksiin ja optioihin.
b) Tee polynomisovituksen avulla ennuste vuoden 2015 jääpeitteen minimiarvolle (tulos:
4.2 · 106 km2 ).
c) Arvioi ennusteen virhettä olettamalla sen olevan kaksi kertaa residuaalien (eli sovituksen ja datapisteiden erotuksien) keskihajonta (tulos: 4.2 ± 1.0 · 106 km2 ). Vihje: keskihajonnan laskemiseen löytyy valmis komento, kunhan ensin lasket residuaalit.
d) Piirrä a-kohdan taulukko ja sovitus yhdellä värillä sekä b- ja c-kohtien ennuste ja virherajat toisella värillä samaan kuvaan. Vihje: tutustu ErrorListPlot komentoon.
Ohjeita:
Harjoitustyö tulee tehdä Mathematicalla. Harjoitustyön vastaus on notebook tiedosto, jossa
selvität mitä milloinkin teet ja miksi. Työn tulee olla selkeästi rakennettu, siisti ja luonollisesti
ajettavissa läpi ilman virheilmoituksia. Laita notebookin alkuun omat tietosi (nimi ja opiskelijanumero) ja kirjoita jokaisen tehtävän vastaus oman väliotsikkonsa alle. Tehtävissä 2 ja 3
käytä input-tiedostoille tehtävänannossa kerrottua nimeä ja sijoita tiedosto hakemistoon josta
Mathematica lukee sen ilman eksplisiittistä hakemistopolun antamista (yleensä linuxissa kotihakemisto, windowsissa Documents). Palauta työ sähköpostilla ([email protected]).
Annettuun aikarajaan mennessä hyväksytysti (sisältää kaikki vastaukset ja voi ajaa läpi ilman
virheitä) palautetuista töistä saa bonuspisteen.
1
2
Alkuperäinen tiedosto ftp://sidads.colorado.edu/DATASETS/NOAA/G02135/Sep/
Jos todella kiinnostaa, katso http://nsidc.org/data/docs/noaa/g02135_seaice_index/#monthly_data_files