1. No category

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Korte/Lindfors
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (SCI), syksy 2015
Laskuharjoitus 3L loppuviikolla 46 (12.–13.11.)
Aihepiiri: Eulerin kaava, integrointi.
Luentomonisteet (Adams & Essex, 8th Edition, Ch. 5, (Appedix A-I, A-II))
Tehtävät 1–3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Lasketut tehtävät merkitään nimilistaan ja assistentti pyytää yhden
opiskelijan esittämään ratkaisun taululla. Tehtävät 4–6 palautetaan kirjallisena
A4-paperilla seuraavaan tiistaihin klo 16.00 mennessä huonetta Y192 vastapäätä olevaan lokerikkoon, omaa kurssia ja harjoitusryhmää vastaavaan lokeroon.
Merkitse kansilehdelle kurssikoodi, harjoitusryhmä, harjoitusviikko, nimi ja opiskelijanumero. Niittaa kaikki paperit yhteen. Laskutuvassa on nitoja!
1. Funktion f : R → C, f (x) = u(x) + iv(x), derivaatta määritellään asettamalla f 0 (x) = u0 (x) + iv 0 (x). Osoita Eulerin kaavan avulla, että derivoimissääntö
d ix
e = ieix
dx
on voimassa.
2. Laske seuraavat integraalit:
Z
a)
4
√
(6x − 6 x) dx,
2
Z
0
1
48x3
√
ja
1 + 3x4
3
c)
e−x dx.
−3
0
3. Laske integraalit
Z 1
Z
2
3 5
12x 1 + 3x dx,
0
Z
cos(2x) dx,
b)
0
π/2
Z
1
3
12x2 e−2x dx.
−1
Vihje: Kaikissa on tarkoitus tunnistaa yhdistetty funktio ja sisäfunktion
derivaatta, päätellä integraalifunktion yleinen muoto ja tarkistaa oikeat
kertoimet derivoimalla.
Vastaukset suuruusjärjestyksessä: 0, 8, 4 sinh 2, 2 sinh 3, 96, 910.
Käännä!
4. Laske integraali
Z
10
|3x − 6| dx.
0
5. 2π-jaksollisen funktion f Fourier-sini-kertoimet määritellään kaavalla
Z
1 π
bn =
f (x) sin(nx) dx, n ∈ N.
π −π
(
−1, −π ≤ x < 0
Laske kertoimet funktiolle f (x) =
1,
0 ≤ x ≤ π.
n
(Vast: 2(1 − (−1) )/nπ)
6. a) Integraalin
Z
b
f (x) dx
a
likiarvoja voidaan laskea esimerkiksi puolisuunnikassäännön avulla: Valitaan jakovälien lukumäärä n ja askelpituus h = ∆x = (b − a)/n, jolloin
jakopisteet ovat muotoa xk = a + kh, 0 ≤ k ≤ n. Merkitään yk = f (xk )
ja korvataan kuvaaja y = f (x) kullakin välillä [xk−1 , xk ] päätepisteiden
(xk−1 , yk−1 ) ja (xk , yk ) kautta kulkevalla janalla. Päättele (geometrisesti),
että näin saadaan approksimaatio
Z xk
h
f (x) dx ≈ (yk−1 + yk ),
2
xk−1
ja näistä yhteenlaskemalla puolisuunnikas- eli trapetsisääntö
Z b
f (x) dx ≈ Tn = h(y0 /2 + y1 + y2 + · · · + yn−1 + yn /2).
a
b) Erään laivan (pituus b = 120 m) piirustuksista laskettiin 20 m välein
sen poikkileikkausten pinta-aloiksi 0, 80, 120, 140, 140, 80, 60 neliömetriä.
Arvioi laivan tilavuutta käyttämällä trapetsisääntää.
Vihje: Tilavuus saadaan integroimalla poikkileikkausten pinta-aloja A(x)
muodossa
Z b
V =
A(x) dx.
0