MAB 9 kertaus
MAB 1
Murtolukujen laskutoimitukset:
● Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi
● Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään
● Jakolasku lasketaan kertomalla jakajan käänteisluvulla
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 1
Potenssin laskusäännöt:
● Polynomien potenssit lasketaan tulona
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 2
Ensimmäisenasteen yhtälön ratkaiseminen
1. tuntematonta sisältävät termit siirretään toiselle puolelle ja vakiotermit toiselle
puolelle yhtäsuuruusmerkkiä
2. jaetaan molemmat puolet tuntemattoman kertoimella
● yhtäsuuruus pysyy voimassa, jos molemmille puolille tehdään sama laskutoimitus
● Yhtälöstä nimittäjä voidaan poistaa laventamalla samannimiseksi ja kertomalla
nimittäjällä
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 3
Toisenasteen yhtälön ratkaiseminen
● täydellinen toisenasteen yhtälö ratkaistaan ratkaisukaavalla
Verranto:
● Verrantomuotoinen yhtälö voidaan ratkaista ristiin kertomalla
● Suoraan verrannolliset suureet
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 4
● Kääntäen verrannolliset suureet
Esimerkiksi: Muutto kestää 8h, kun muuttomiehiä on 3. Kuinka monta muuttomiestä
tarvitaan lisää, jotta muutto kestäisi 5h?
Yhdenmuotoisuus:
● Kappaleet ovat yhdenmuotoiset, jos niiden vastinsivujen suhde on vakio
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 5
● Yhdenmuotoisten kappaleiden
1) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö
2) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio
Esimerkiksi: Kartion muotoisen viinilasin tilavuus on 2 dl. Kuinka paljon viiniä on lasissa,
kun nestepinnan korkeus on ⅓ lasin korkeudesta?
Esimerkiksi: Kartan mittakaava on 1:20 000. Kuinka pitkä on luonnossa polku, jonka
pituus kartalla on 5 cm.
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 6
MAB 2 Geometria
Suorakulmainen kolmio:
Ei-suorakulmainen kolmio:
Ympyrä:
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 7
Segmentti:
Ympyrän tangentti:
● kun piirretään ympyrän säde tangentin leikkauspisteeseen, säteen ja tangentin
välinen kulma on 90°
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 8
Esimerkiksi: Kuinka kauas näkee hyvällä säällä näsineulasta, jonka korkeus on 124m?
Maapallon säde on 6370 km.
Maapallo:
● pituus- ja leveyspiirien asteluku on maapallon säteiden välinen kulma
● pituuspiirit ovat kaikki yhtä pitkiä
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 9
Esimerkiksi: Kuinka pitkä matka pitää kulkea Joensuusta itään, jotta tultaisiin takaisin
Joensuuhun? Joensuu sijaitsee 62° pohjoista leveyttä.
MAB 3
Suora:
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 10
● suoran yhtälö:
Esimerkiksi: Määritä pisteiden (1, 2) ja (3, 8) kautta kulkevan suoran yhtälö. Missä
pisteissä suora leikkaa koordinaattiakseleiden kanssa?
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 11
● suoran suuntakulma (suoran ja x-akselin välinen kulma)
● suora (tai mikä tahansa funktio) kulkee pisteen kautta, jos pisteen koordinaatit
toteuttaa sen yhtälön
Esimerkiksi: Kulkeeko suora y = 2x+3 pisteen (10, 21) kautta?
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 12
● koordinaattiakselien suuntaiset suorat:
x-akselin suuntainen:
y-akselin suuntainen:
Logaritmin määritelmä:
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 13
Eksponenttiyhtälönt ratkaisu:
● tuntematon on eksponentissa
Potenssiyhtälön ratkaisu:
● tuntematon on kantalukuna
Prosenttikerroin:
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 14
Esimerkiksi: Matkan hinta laski ensin 8%, nousi tämän jälkeen 10% ja laski lopuksi 2%.
Miten hinta muuttui alkuperäiseen nähden?
Esimerkiksi: Hiustenleikkuu maksaa 20€ sisältäen alv:n 24%. Miten hiustenleikkuun hinta
muuttuisi, jos alv. laskisi 20%:n. Oletetaan, että leikkuun veroton hinta ei muutu.
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 15
Eksponentiaalinen malli:
Huom! Yhtälö on periaatteessa sama kuin koron korko.
Esimerkiksi: Suomessa on viime vuosina ollut noin 2% inflaatio. 250 g karkkipussi
maksaa 3€. Kuinka paljon karkkipussi maksoi 5 vuotta sitten?
MAB 4
Paraabeli:
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 16
● muuttujan arvot ovat x:n arvoja
● funktion arvoilla tarkoitetaan y:n tai f(x):n arvoja
● funktio merkki tarkoittaa funktion arvon etumerkkiä + tai -
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 17
Epäyhtälön ratkaiseminen:
1) Ratkaistaan vastaavan funktion nollakohdat
2) Piirretään kuva ja päätellään vastaus kuvan avulla
Esimerkiksi: Ratkaise epäyhtälö:
Derivoiminen:
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 18
● derivaatan arvo = funktion muutosnopeus (“kulmakerroin”)
● derivaatan nollakohdassa on funktiolla ns. ääriarvo, jos derivaatan merkki vaihtuu
(kuvaajassa huippu)
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 19
Esimerkiksi: Laske funktion ääriarvot.
● funktion suurin ja pienin arvo löytyy:
○ derivaatan nollakohdasta
○ suljetun välin päätepisteestä
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 20
Esimerkiksi: Laske funktion f(x)=x²-2x+3 suurin ja pienin arvo välillä -2≤x≤5 tai [-2,5]
MAB 5
Tuloperiaate:
● erilaisten yhdistelmien lukumäärä on peräkkäisissä valinnoissa olevien
vaihtoehtojen tulo
● valinta järjestyksellä on merkitystä
Esimerkiksi: Matemaatikolla on kaapissa kahdet housut, viisi paitaa ja kolme hattua.
Kuinka monta erilaista asukokonaisuutta hän voi laittaa päälleen?
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 21
Esimerkiksi: Kuinka moneen eri järjestykseen viisi kirjaa voidaan laittaa kirjahyllyyn.
Kombinaatiot
● kuinka monta erilaista pienempää joukkoa voidaan ryhmästä valita
● nyt valinta järjestyksellä ei ole merkitystä
Esimerkiksi: Matemaatikko valitsee viidestä kirjasta kaksi lukemiseksi autiolle saarelle.
Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa hänellä on?
Esimerkiksi: Kuinka monta erilaista lottoriviä on?
Todennäköisyyslaskenta
● tapahtuman A todennäköisyys:
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 22
Esimerkiksi: Lottovoiton todennäköisyys, jos jättää vain yhden rivin.
● yhteenlaskusääntö
○ vaihtoehtoisia tuloksia ⇒ todennäköisyydet lasketaan yhteen
Esimerkiksi: Korttipakasta nostetaan yksi kortti. Mikä on todennäköisyys, että kortti on
pata tai kuningas?
● kertolaskusääntö
○ peräkkäisiä tapahtumia ⇒ todennäköisyydet kerrotaan keskenään
Esimerkiksi: Noppaa heitetään neljä kertaa. Mikä on todennäköisyys saada neljä
kutosta?
Esimerkiksi: Noppaa heitetään neljä kertaa. Mikä on todennäköisyys saada tasan yksi
kutonen?
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 23
● toistokoe
○ tapahtuma A tapahtuu tasan k kertaa n:llä toistolla
Esimerkiksi: Omenapuun siemen itää 75% todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä
100 siemenestä tasan 65 itää?
● vastatapaus
○ tapahtuma ei tapahdu
Esimerkiksi: Noppaa heitetään neljä kertaa. Mikä on todennäköisyys, että saadaan
ainakin yksi kutonen?
Tilastot:
● keskiarvo
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 24
● keskihajonta
Esimerkiksi: Oheisessa taulukossa on matkapuhelimien määrä kotitalouksissa. Laske
puhelimien määrän keskiarvo ja keskihajonta.
puhelimia (x)
talouksia (f)
fx
0
10
0*20=0
1
10
1*10=10
2
15
2*15=30
3
20
3*20=60
4
25
4*25=100
5
20
5*20=100
6
15
6*15=90
yhteensä:
115
390
keskihajontaa varten tehdään uusi taulukko
x
f
f(x- x) 2
0
10
10*(0-3,391)²=115,0094..
1
10
10*(1-3,391)²=57,1833..
2
15
15*(2-3,391)²=29,0358..
3
20
20*(3-3,391)²=3,06238..
4
25
25*(4-3,391)²=9,2627..
5
20
20*(5-3,391)²=51,7580..
6
15
102,0793..
yhteensä:
367,391300...
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 25
Normaalijakauma
● normitus:
● muuttuja x noudattaa normaalijakaumaa, merkitään x~N(23, 7)
○ ensimmäinen luku sulkeissa on keskiarvo/odotusarvo
○ toinen luku sulkeissa on keskihajonta
● muuttujan x arvot normitetaan ja prosenttiosuudet (todennäköisyydet) katsotaan
taulukkokirjasta s.63 (s.61).
● taulukkokirjasta löytyvä arvo kertoo, kuinka monta prosenttia muuttujan arvoista
jää kyseisen arvon alapuolelle
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 26
Esimerkiksi: Yo-kokeen arvostelu, ennen uudistusta perustui normaalijakaumaan. Erään
aineen pisteet noudattivat normaalijakaumaa N(29, 14). Laske laudaturin pisteraja, kun
5% kokelaista saa laudaturin.
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 27
MAB 6
Yhtälöpari
Esimerkiksi: Laske suoran 2x-y=1 ja paraabelin y=2x²-6x+5 leikkauspisteet.
Yhtälöryhmän ratkaiseminen
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 28
Lineaarinen optimointi
Esimerkiksi: Tuula tekee myyjäisiin kahta erilaista villapaita mallia. Malliin A menee 400 g
punaista lankaa ja 400 g vihreää lankaa. Malliin B menee 600 g punaista ja 200 g vihreää
lankaa. Mallia A Tuula myy 100€:lla ja mallia B 55€:lla. Kuinka monta paitaa Tuulan
kannattaa valmistaa mallia A ja B, kun hänellä on punaista lankaa 7,2 kg ja vihreää 4,8 kg.
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 29
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 30
Lukujonot ja summat
● lukujonon jäseniä nimitetään myös termeiksi
Aritmeettinen lukujono
Esimerkiksi: 3, 5, 7, 9, 11…
○ peräkkäisten jäsenten erotus on vakio, esimerkiksi: d=5-3=9-7=2
○ yleinen jäsen
Esimerkiksi: Määritä lukujonon 3, 5, 7, … yleinen jäsen.
● aritmeettinen summa saadaan kun lasketaan aritmeettisen lukujonon
jäseniä yhteen. summa lasketaan kaavalla:
Geometrinen lukujono
Esimerkiksi: 3, 12, 48, …
● peräkkäisten jäsenten välinen suhde on vakio
● yleinen jäsen
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 31
● geometrinen summa saadaan kun lasketaan geometrisen lukujonon jäseniä
yhteen. summa voidaan laskea kaavalla:
Esimerkiksi: Tilille laitetaan rahaa 50€ joka toinen kuukausi. Kuinka paljon rahaa kertyy
25 vuodessa, kun tilin korko on 2,3% ja lähdevero on 28%?
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 32
Muuta
Tehtävien pisteytys karkeasti:
● oikea alku 1/3 pisteistä
● oikeat välivaiheet 1/3 pisteistä
● vastaus 1/3 pisteistä
Muutamia linkkejä:
● vanhoja yo-kokeita ja ratkaisuja löytyy osoitteesta:
matta.hut.fi/matta/yoteht
● YTL:n sivuilta löytyy hyvän ratkaisun piirteet osoitteesta:
http://www.ylioppilastutkinto.fi/fi/ylioppilastutkinto/hyvaen-vastauksen-piirteet
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 33