1. No category

1
Tietoliikennesignaalit
Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä
signaaleja käyttäen.
Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun
on sisällytetty informaatiota.
Signaalin ominaisuuksia voi tutkia
a) aikatasossa (time domain)
•
miten signaalin arvo (jännite tms.) muuttuu ajan
suhteen?
•
mittaamalla (oskilloskooppi)
•
yhtälönä
•
lukuarvoina (näytteinä)
•
kuvaajana
b) taajuustasossa (frequency domain)
•
mitä taajuuksia signaaliin sisältyy?
•
esim. puhe n. 100 Hz - 5 kHz
•
musiikki 20 Hz - 20 kHz
•
videokuva 0 Hz - 5 MHz
•
mittaamalla (spektrianalysaattori)
•
matemaattisesti lähtien aikatasosta käyttäen
integraalimuunnosta (Fourier-analyysi, Fouriermuunnos)
2
Sinimuotoinen signaali
v(t ) = A⋅cos(2 ⋅ π ⋅ f ⋅t + ϕ) = A⋅cos(ω ⋅t + ϕ)
f = taajuus
ω = 2πf = kulmataajuus
f = 1/T
T = jaksonpituus
A = amplitudi (huippuarvo)
ϕ = vaihe (vaihekulma, vaihesiirto)
Huom! Amplitudille A ei useinkaan ilmoiteta
yksikköä.
Huom! Kosinin käyttö (sinin sijaan) yksinkertaistaa
tiettyjä yhtälöitä.
3
Aikatason kuva ;vaihe = 0°:
A
v(t)
t
T
2T
-A
Vaihe 45°:
A
v(t)
t
T
2T
-A
Vaihe -90°:
v(t)
A
t
T
-A
2T
4
Vaihekulman merkitys
Yksinäisen sinisignaalin vaihe ei yleensä ole tärkeä.
Kun sinisigaalit summautuvat, niin vaiheilla voi olla
suurikin merkitys:
f- ja 2f-taajuisten signaalien summa, kun kummankin
vaihe on 0°:
v(t)
T
t
2T
ja kun jälkimmäisen vaihe on -90°:
w(t)
T
t
2T
5
Jaksollisen signaalin spektri
Taajuustason tarkastelun perusasia:
Kaikki signaalit (niin jaksolliset kuin ei-jaksollisetkin)
koostuvat eritaajuisista sinimuotoisista signaaleista.
'Koostuminen' = summautuminen
Erityisesti: Jaksollinen signaali koostuu signaaleista,
joiden taajuudet ovat:
0, f0, 2⋅f0, 3⋅f0, 4⋅f0, ...
Tässä f0 = jaksollisen signaalin perustaajuus,
f0 = 1/T0 ja T0= signaalin jaksonpituus
Taajuutta n⋅f0 nimitetään signaalin v(t)
n:nneksi harmoniseksi taajuudeksi.
6
Siis: Jos v(t) on jaksollinen, niin voidaan kirjoittaa
v(t ) = A0 + A1 ⋅ cos(2π ⋅ f 0 ⋅ t + ϕ1 )
+ A2 ⋅ cos(2π ⋅ 2 f 0 ⋅ t + ϕ 2 ) + A3 ⋅ cos(2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t + ϕ 3 ) + ...
eli
∞
v (t ) = ∑ An ⋅ cos( 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
Tämä on jaksollisen signaalin v(t) Fourier-sarja.
Kulmataajuuksia käyttäen:
∞
v(t ) = ∑ An ⋅ cos( nω 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
Amplitudien An ja vaiheiden ϕn arvot saadaan selville
matemaattisesti, Fourier-analyysillä.
7
Esimerkki: Sakara-aalto
v(t)
A
T
-A
2T
t
Fourier-analyysillä voidaan saada selville, että
sakara-aalto voidaan kirjoittaa aikatason yhtälönä
seuraavasti:
sin( 2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t )
4A 
v(t ) =
⋅ sin( 2π ⋅ f 0 ⋅ t ) +
π 
3
sin(2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t ) sin(2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t )

+
+
5
7
+ ...

Kulmataajuuksia käyttäen:
sin(3ω0 ⋅ t )
4A 
v(t ) =
⋅ sin(ω0 ⋅ t ) +
3
π 
sin(5ω0 ⋅ t ) sin(7ω0 ⋅ t )

+
5
+
7
+ ...

2π
ω
=
2
π
⋅
f
=
0
Tässä siis 0
T0 .
Tehtävä: Mikä on sakara-aallon n:nnen harmonisen
taajuuden amplitudi ja vaihe?
8
Vastaus:
4A
 , kun n pariton
An =  nπ
0 , kun n parillinen
ϕ n = −90°
Vaihe tulee kaavasta sin( x ) = cos( x − 90° )
Koska parillisilla n:n arvoilla An = 0, sanotaan, että
sakara-aalto sisältää vain parittomia harmonisia
taajuuksia.
9
Spektri
Signaalin ominaisuudet taajuustasossa ilmoitetaan
spektrin avulla.
Spektriä tutkimalla löytyy vastaus näihin kolmeen
kysymykseen:
1. • Mitä taajuuksia signaaliin sisältyy?
2. • Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden
amplitudi?
→ Amplitudispektri
3. • Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden
vaihe?
→ Vaihespektri
Useimmiten amplitudispektri on tärkeämpi.
Vaihespektri ei usein ole lainkaan kiinnostava.
10
Esimerkki
Erään jaksollisen signaalin amplitudi- ja vaihespektri
on:
Amplitudi
4
3
2
1
f/kHz
1
2
3
4
Vaihe/ast.
180
135
90
45
f/kHz
1
2
3
4
(Tässä siis näkyy tapa, jolla spektri usein esitetään
kuvana.)
Kysymys: Mikä on tämän signaalin aikatason
yhtälö?
11
Ratkaisu:
Signaali sisältää seuraavat taajuuskomponentit:
Taajuus
Amplitudi
Vaihe
Joten signaalin yhtälö on
v(t ) =
missä
f0 =
Signaali näyttää aikatasossa seuraavalta:
v(t)
t
T0
Tässä T0 =
2T0
12
Usein amplitudispektri esitetään niin, että
pystyakselilla on dB-asteikko.
Tällöin käytetään suhteellisia amplitudeja niin, että
suurin amplitudi on 0 dB.
Edelläoleva amplitudispektri voidaan siis esittää
myös näin:
Amplitudi/dB
0
-5
-10
-15
f/kHZ
-20
1
2
3
4
Mitkä ovat amplitudien tarkat desibeliarvot?
Tehtävä:
Piirrä sakara-aallon (jaksonpituus 2 µs)
amplitudispektri desibeleinä. Ota mukaan
spektriviivat -20 dB:n tasoon asti.
Millä taajuudella tämän sakara-aallon
amplitudispektrin taso alittaa -40 dB?
13
Kolmioaalto:
v(t)
A
-A
T0
t
puolestaan voidaan kirjoittaa aikatason yhtälönä
sin( 2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t )
8A 
v(t ) = 2 ⋅ sin( 2π ⋅ f 0 ⋅ t ) −
32
π 
sin( 2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t ) sin( 2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t )

...
+
−
+

52
72
Tehtävä:
Piirrä samaan kuvaan sakara-aallon ja kolmioaallon
(kummankin jaksonpituus 2 µs) amplitudispektri
dB:nä.
Mikä oleellinen ero on näiden kahden signaalin
spektreillä?
Millä taajuudella kolmioaallon amplitudispektrin taso
alittaa -40 dB?
14
Reaalinen Fourier-sarja
Jaksollinen signaali voidaan siis aina lausua
eritaajuisten sinisignaalien summana:
∞
v (t ) = ∑ An ⋅ cos( 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n=0
Siirtyminen kompleksiseen tarkasteluun
Perustuu yhtälöön
(
1 jx
− jx
cos( x) = e + e
2
)
jolloin siis
(
1 j ( 2πft +ϕ )
− j ( 2πft +ϕ )
cos( 2πft + ϕ ) = e
+e
2
1 j 2πft jϕ
= e e + e − j 2πft e − jϕ
2
(
)
)
15
Tällöin reaalinen sinisignaali
A cos(2πft + ϕ )
jonka
• amplitudi = A
• taajuus = f
• vaihekulma = ϕ
voidaan voidaan ”hajottaa” kahdeksi
kompleksiseksi eksponenttifunktioksi:
A j 2πft jϕ A − j 2πft − jϕ
A cos(2πft + ϕ ) = e e + e
e
2
2
Noita eksponenttifunktioita voi kutsua
vaikkapa ”kompleksisiksi sinisignaaleiksi”,
joiden
• kummankin amplitudi = A/2
• taajuudet ovat f ja -f
• vaihekulmat ovat ϕ ja -ϕ
• Reaalisen sinisignaalin vaihekulma määrää
sen, mihin kohtaan aika-akselilla siniaalto
asettuu, ks. sivu 3.
• Kompleksisen sinisignaalin vaihekulma
määrää sen, missä asennossa vastaava
osoitin on kompleksitasossa hetkellä
t = 0.
16
Kompleksinen Fourier-sarja
on siis:
v(t ) =
∞
∑c e
n = −∞
j 2πnf 0t
n
Tässä kertoimet cn ovat kompleksilukuja,
jotka saadaan reaalisen Fourier-sarjan
kertoimista An ja ϕn seuraavasti:
• |cn| on nf0 -taajuisen komponentin amplitudi
= An/2 (kuitenkin |c0| = A0)
• arg(cn) on nf0 -taajuisen komponentin vaihe
= ϕn (n ≥ 0) tai -ϕn (n < 0)
Kun signaalin v(t) aaltomuoto tunnetaan,
Fourier-sarjan kertoimet saadaan:
1
− j 2πnf 0t
cn = ∫ v(t )e
dt
T0 T0
Tässä
∫
T0
tarkoittaa integrointia jakson pituisen
ajan yli (integroinnin alaraja on vapaasti
valittavissa).
17
Esimerkki: Sakara-aallon spektri
v(t)
A
T0
-A
2T 0
t
Tällöin signaalin yhtälö välillä
-T0/2...T0/2on
− A
v(t ) = 
A
kun -T0 / 2 < t < 0
kun 0 < t < T0 / 2
joten kertoimen cn selvittämiseksi on
laskettava integraali
0
A
A
− j 2πnf 0t
cn = −
e
dt +
∫
T0 −T0 / 2
T0
= ...
T0 / 2
− j 2πnf 0t
e
dt
∫
0
18
Ei-jaksollisen signaalin spektri
saadaan kompleksisella Fouriermuunnoksella:
∞
V ( f ) = ∫ v(t )e
− j 2πft
dt
−∞
Merkintätapa on siis: aikataso pienellä
kirjaimella, taajuustaso eli spektri isolla
kirjaimella.
F-muunnoksen merkintätapoja ovat myös:
•
V ( f ) = F [v(t )]
eli F-muunnos on operaattori F (usein
kirjoitetaan kaunokirjoitus-F:nä), joka
kohdistuu signaaliin v(t)
•
v(t ) ↔ V ( f )
eli v(t) ja V(f) ovat toistensa F-muunnospari.
Jälkimmäisestä voi päätellä, että muunnos
toimii myös toiseen suuntaan:
∞
v(t ) = F −1[V ( f )] = ∫ V ( f )e j 2πft df
−∞
(Fourier-käänteismuunnos.)
19
Spektri
Ei-jaksollisen signaalin v(t)
amplitudispektri on
V( f )
vaihespektri on
arg[V ( f )]
Esimerkki
Määritä ja piirrä suorakulmaisen
jännitepulssin spekri:
v(t)
A
t
−τ/2
τ/2
20
F-muunnokseen liittyviä laskusääntöjä
1. Superpositio:
a1v1 (t ) + a2v2 (t ) ↔ a1V1 ( f ) + a2V2 ( f )
2. Viive:
v(t − td ) ↔ V ( f )e
− j 2πft d
Näiden sovellus: Määritä pulssiparin spektri:
v(t)
τ
τ
A
t
-T
T
3. Derivointi:
dv (t )
↔ j 2πfV ( f )
dt
21
4. Integrointi:
V( f )
∫ v(t )dt ↔ j 2πf
Sovellus: Kolmiopulssin spektri:
v(t)
A
t
−τ
τ
5. Konvoluutio
v(t ) x(t ) ↔ V ( f ) ∗ X ( f )
v(t ) ∗ x(t ) ↔ V ( f ) X ( f )
Konvoluutio ∗ on kahden signaalin (tai
spektrin) välinen tapahtuma:
∞
v(t ) ∗ x(t ) = ∫ v(λ )x(t − λ )dλ
−∞
22
Niinpä. Mutta mikä se konvoluutio on?
Esimerkkejä:
• Hubble-avaruusteleskoopin virheellisesti
hiottu peili (vai oliko se linssi?) aiheutti sen,
että saatava kuva oli kohteen konvoluutio
itsensä kanssa
⇒ kuvat voitiin korjata laskemalla
tietokoneella kuvainformaation
dekonvoluutio.
• Kun kamera tärähtää kuvan ottohetkellä,
tuloksena on konvoluutio. Kun kamera on
väärin tarkennettu, tuloksena on
konvoluutio.
• Kun kuunnellaan musiikkia, kuullaan
kaiuttimista lähtevän äänen ja
huoneakustiikan (=huoneen
impulssivasteen) välinen konvoluutio.
Esimerkki: Kolmiopulssi on kahden
suorakulmaisen pulssin konvoluutio
⇒ kolmiopulssin spektri on suorakulmaisen
pulssin spektrin toinen potenssi
23
6. Impulssifunktio spektrin määrittämisen
apuna
Impulssia δ(t) voi ajatella äärettömän
kapeana ja äärettömän korkeana
suorakulmaisena pulssina, jonka pinta-ala
(leveys kertaa korkeus) = 1.
Mieti pulssin spektrin muuttumista, kun pulssi
kapenee ja korkenee niin, että
Aτ = 1
⇒ δ (t ) ↔ 1
Viivästetyllä A:n arvoisella impulssilla
Aδ (t − td ) ↔ Ae
− j 2πft d
Kuva:
v(t)
A
t
td
Sovellus: Suorakulmaisen pulssin spektrin
määrittäminen derivoimalla pulssi ja
tulkitsemalla pulssin reunojen derivaatta
impulsseina.