Differenssiyhtälöt 2015, viikko 39,
harjoitus 3
Salin muutos: Opintojakson loppukoe on pe 16.10. klo 12–15 luentosalissa B1100
1. a) Esitä kertomapolynomi 2x(3) −3x(2) +5x−4 potenssipolynomina. (Ts. etsi ko. kertomapolynomin
koordinaatit kannan x3 , x2 , x1 , x0 suhteen.)
b) Esitä potenssipolynomi 2x3 − 3x2 + 5x − 4 kertomapolynomina. (Ts. etsi ko. potenssipolynomin
koordinaatit kannan x(3) , x(2) , x(1) , x(0) suhteen.)
2. Laskettava tehtävän 1b polynomin antidifferenssi.
3. Olkoon h = 1 ja k ∈ Z+ .
a) Laskettava osittaisantidifferenssikaavalla
4−1 (k 2−k ).
b) Laskettava negatiivisen kertoman avulla
4−1
1
.
(k + 1)(k + 2)
4. Määritä summat
n
X
k2
k=0
ja
n
X
k=0
1
(k + 1)(k + 2)
differenssilaskennan keinoin.
5. Tutkittava funktioiden 3k ja k3k lineaarista riippumattomuutta joukossa N0
a) määritelmän perusteella,
b) Casoratin determinantilla (kun oletetaan tunnetuksi, että funktiot ovat erään 2. kertaluvun
homogeenisen differenssiyhtälön ratkaisuja).
6. Esitä esimerkki lineaarisesti riippumattomista funktioista f, g : N0 → R, joiden Casoratin determinantti on nolla ainakin yhdellä muuttujan k ∈ N0 arvolla. (Huomaa, että tässä lauseen 2.4.1
oletukset eivät voi olla voimassa.)
7. Olkoon yk kertolaskujen lkm, kun k × k -matriisin determinantti lasketaan Laplacen kofaktoriesityksellä. Minkä 1. kertaluvun (lineaarisen) differenssiyhtälön yk toteuttaa?
8. Tarkastellaan vektoriavaruutta FN0 = {f | f : N0 → R on funktio}.
a) Olkoon
(1)
(n)
L : FN0 → FN0 , Lyk = yk+n + ak yk+n−1 + · · · + ak yk .
Todista, että L on lineaarikuvaus.
b) Olkoon
(1)
(n)
M : FN0 → FN0 , M yk = yk+n + ak yk+n−1 + · · · + ak yk + bk .
Anna välttämätön ja riittävä ehto sille, että M on lineaarikuvaus. Vihje: Ehto riippuu funktiosta (tai jonosta) bk .