1. No category

TAMPEREEN YLIOPISTO
Informaatiotieteiden yksikkö
TOPOLOGIA
Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan)
2013
Sisältö
1 Johdanto
1
Jatkuvat kuvaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Avoimet joukot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Avoimien joukkojen leikkaukset ja yhdisteet . . . . . . . . . .
4
4
6
7
2 Topologiset avaruudet
10
1
Topologian peruskäsitteitä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2
Jatkuvat kuvaukset topologiassa . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Suljetut joukot ja sulkeumat
1
Suljetut joukot . . . . . . . . . . .
2
Sisäpisteet, ulkopisteet ja reuna . .
3
Sulkeuma . . . . . . . . . . . . . .
4
Kasaantumispisteet ja erakkopisteet
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
17
20
23
4 Hausdorffin avaruudet
25
1
Suppenevat jonot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
Hausdorffin avaruudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Topologian kanta
28
1
Kannan määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
Kantakriteeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Aliavaruudet
32
1
Indusoidut topologiat ja aliavaruudet . . . . . . . . . . . . . . 32
2
Aliavaruuden ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Tuloavaruudet
36
1
Tuloavaruuden määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2
Jatkuvat kuvaukset tuloavaruuksissa . . . . . . . . . . . . . . 38
8 Homeomorfismit
42
1
Homeomorfismin määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
Homeomorfismien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
9 Metriset Avaruudet
49
1
Metriikat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2
Metriikan indusoima topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10 Yhtenäisyys
57
1
Yhtenäisyyden määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2
Polkuyhtenäisyys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
Yhtenäiset komponentit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11 Kompaktisuus
66
1
Kompaktit topologiset avaruudet . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2
Jonokompaktisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
12 Tekijäavaruudet
79
1
Kertausta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2
Tekijätopologiat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3
Samaistuskuvaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13 Äärettömät tuloavaruudet
1
Johdanto . . . . . . . . . . . . . .
2
Äärettömän tulotopologian kanta
3
Tulotopologian ominaisuuksia . .
4
Filtterit . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
91
92
95
99
Esipuhe
Topologia on modernissa muodossaan 1900-luvulla syntynyt matematiikan
osa-alue (pohjana Henri Poincarén (1854–1912) paperi ”Analysis Situs” vuodelta 1895). Se on algebran ja analyysin ohella yksi modernin matematiikan
pääosa-alueista. Sana ”topologia” on johdettu kreikan kielestä, ja tarkoittaa jotaikuinkin samaa kuin ”paikan tieto” tai ”paikan tutkimus”. Jo tämän
perusteella voidaan helposti arvata, mitä ovat ne elementit, joiden tutkimukseen topologia keskittyy.
Tutkimuskohteena ovat siis muodot ja kuviot, aivan kuten geometriassakin. Mutta toisin kuin kvantitatiiviseen käsittelyyn keskittyvässä geometriassa, topologiassa ollaan kiinnostuneita muotojen ja kuvioiden kvalitatiivisista ominaisuuksista, ja etenkin sellaisista ominaisuuksista, jotka säilyvät
jatkuvissa muutoksissa. On siis mahdollista muokata venyttämällä kuvioita
miten paljon vain, kuitenkin ilman repimistä. Topologiaa onkin luonnehdittu
”plastiseksi geometriaksi” ja jopa ”muovailuvahageometriaksi”.
Onkin huomionarvoista, että sellaiset geometriset kuviot kuten neliö, suorakaide, ympyrä ja ellipsi ovat kaikki keskenään topologisesti ekvivalentteja.
Kuitenkin ympyrä, jossa on reikä keskellä, ei ole näiden kanssa topologisesti ekvivalentti. Yksi yleisesti kuultava anekdootti sanookin topologin olevan
sellainen matemaatikko, joka ei erota toisistaan kahvikuppia ja munkkirinkilää.
Tämä oppimateriaali on tarkoitettu käytettäväksi yliopistotason topologian kurssilla (tai vastaavalla). Se on laadittu alunperin Tampereen yliopiston
Informaatiotieteiden yksikön tarjoaman topologian kurssin opiskelijoille. Materiaali pohjautuu professori Eero Hyryn ko. kurssilla vuonna 2013 pitämiin
luentoihin.
3
Luku 1
Johdanto
Aivan kuten abstraktissa algebrassa, myös abstraktissa topologiassa ei periaatteessa ole väliä sillä, mitä ovat perimmiltään ne joukot, joista konstruktioita muodostetaan. Ei kuitenkaan ole tarkoituksenmukaista ruveta suoraa
päätä käsittelemään topologian abstraktioita. Tässä luvussa pyritäänkin esittämään reaalianalyysistä tuttujen käsitteiden yhteys topologiaan. Tällä tavalla opitaan käyttämään joitakin topologian keskeisiä sääntöjä hieman konkreettisempien esimerkkien kautta.
1
Jatkuvat kuvaukset
Palautetaan mieleen reaalianalyysistä tuttu jatkuvien kuvausten määritelmä.
On siis muisteltava vastausta seuraavaan kysymykseen:
Milloin kuvaus f : R → R on jatkuva?
Idea: Kyseinen kuvaus on jatkuva täsmälleen silloin, kun f (x) voidaan
saada mielivaltaisen lähelle f (x0 ):aa, kun x valitaan tarpeeksi läheltä x0 :aa.
Reaalianalyysissä tärkein työkalu annetun kuvauksen jatkuvuuden todistamiseksi onkin tunnetusti ”epsilon–delta-menetelmä”.
ε–δ-määritelmä: Kuvaus f : R → R on jatkuva, mikäli kaikilla x0 ∈ R
pätee seuraava ehto:
Kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
Esimerkki. Kuvaus f : R → R, x 7→ x2 on jatkuva.
Todistus. Olkoon x0 ∈ R ja olkoon ε > 0. Nyt
|f (x) − f (x0 )| = |x2 − x20 | = |(x + x0 )(x − x0 )| = |x + x0 ||x − x0 |
Havainto: Jos |x − x0 | < 1, niin
|x + x0 | = |x − x0 + 2x0 |,
4
jolloin kolmioepäyhtälön nojalla
|x + x0 | = |x − x0 + 2x0 | ≤ |x − x0 | + |2x0 |.
Edelleen oletuksen |x − x0 | < 1 nojalla
|x + x0 | = |x − x0 + 2x0 | ≤ |x − x0 | + |2x0 | < 1 + |2x0 |.
Täten
|f (x) − f (x0 )| = |x + x0 ||x − x0 | < (1 + |2x0 |)|x − x0 |.
ε
Valitaan siis δ = min(1, 1+2|x
). Tällöin kun |x − x0 | < δ, niin |x − x0 | < 1 ja
0|
|f (x) − f (x0 )| < (1 + 2|x0 |)|x − x0 |
ε
< (1 + 2|x0 |)
1 + 2|x0 |
<ε
Ajatus on siis, että valitaan mikä tahansa nollaa suurempi ε, niin on aina
löydettävissä sitä vastaava nollaa suurempi δ siten, että aina kun tarkastellaan x:n arvoja alle δ:n etäisyydellä x0 :sta, niin vastaavat funktion arvot ovat
alle ε:n etäisyydellä f (x0 ):sta.
Havainto:
|x − x0 | < δ ⇔ −δ < x − x0 < δ
⇔ x0 − δ < x < x0 + δ.
Nyt siis voidaan määritellä tähän liittyvä avoin reaalilukuväli:
{ x ∈ R | |x − x0 | < δ } = ]x0 − δ, x0 + δ[.
Jatkuvuuden määritelmä voidaan siis kirjoittaa muotoon:
Kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että
x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[ ⇒ f (x) ∈ ]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[,
eli
f (]x0 − δ, x0 + δ[) ⊆ ]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[.
Toisin sanoen, jokaiselle nollaa suuremmalle ε:lle on olemassa sellainen nollaa
suurempi δ, että avoin väli x0 − δ:sta x0 + δ:aan kuvautuu avoimen välin
f (x0 ) − ε:sta f (x0 ) + ε:aan sisälle.
5
2
Avoimet joukot
Tämän lyhyen kertauksen jälkeen voidaan siirtyä tarkastelemaan topologisia käsitteitä sovellettuna reaalisiin joukkoihin. Topologian peruskäsitteistä
olennaisin on avoimen joukon käsite, ja näin ollen aloitamme tämän tarkastelun juuri tästä käsitteestä.
Määritelmä 1.1. Olkoon U ⊆ R. Sanotaan, että U on avoin, mikäli kaikilla
x0 ∈ U on olemassa δ (= δ(x)) > 0 siten, että
]x0 − δ, x0 + δ[⊆ U.
Toisin sanoen, jokainen avoimen joukon U alkio on keskikohta jollekin U :hun
sisältyvälle avoimelle välille.
Kun puhutaan avoimista joukoista, herää tietysti kysymys, tarkoittaako
tämä reaalisten joukkojen tapauksessa samaa kuin avoimet välit. On helppo
huomata, että selvä yhteys näiden käsitteiden välillä onkin olemassa.
Esimerkki. Jokainen avoin väli ]a, b[, missä −∞ ≤ a < b ≤ ∞, on avoin.
Todistus. Olkoon x0 ∈]a, b[. Jos 0 < δ < min(x0 − a, b − x0 ), niin
(
x0 + δ < x0 + b − x0
=b
x0 − δ > x0 − (x0 − a) = a,
joten
]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ ]a, b[.
Jos siis avoimet välit ovat topologisessa mielessä avoimia, tuntuu järkevältä
olettaa, että vastaavasti suljetut välit eivät ole avoimia. Onkin yksinkertaista
todistaa tämä intuitiivinen olettamus.
Esimerkki. Jos a < b, niin suljettu väli [a, b] ei ole avoin.
Todistus. Selvästi kaikilla δ > 0 pätee:
]b − δ, b + δ[ 6⊆ [a, b].
Esimerkki. Tyhjä joukko ∅ ja koko reaalilukujen joukko R ovat avoimia.
Todistus. Reaalilukujen joukko R on avoin, koska kaikille x ∈ R ja kaikille
δ > 0 pätee
]x − δ, x + δ[ ⊆ R.
Tyhjä joukko ∅ taas on avoin, koska ei tietenkään ole olemassa sellaista alkiota x ∈ ∅, jolle avoimen joukon ehto ei päde.
Myöhemmin todetaan, että nämä joukot ovat erikoistapauksia, joilla on joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia.
6
Topologisessa jatkuvien kuvausten määritelmässä jatkuvuus yhdistetään
avoimiin joukkoihin. Tämä yhteys osoitetaan seuraavaksi reaalisille joukoille, käyttäen edellä todistettua avoimen välin avoimuutta, sekä aikaisemmin
esitettyä vaihtoehtoista jatkuvuuden määritelmää.
Lause 1.2. Kuvaus f : R → R on jatkuva jos ja vain jos alkukuva
f −1 (U ) = { x ∈ R | f (x) ∈ U }
on avoin kaikilla avoimilla joukoilla U ⊆ R.
Todistus. ” ⇒ ” Olkoon x0 ∈ f −1 (U ). Silloin f (x0 ) ∈ U . Koska U on avoin,
on olemassa sellainen ε > 0, että
]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[ ⊆ U
Tällöin kappaleessa 1 esitetystä jatkuvuuden määritelmän muotoilusta seuraa, että on olemasse δ > 0 siten, että
f (]x0 − δ, x0 + δ[) ⊆ ]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[
Siis
joten
f (]x0 − δ, x0 + δ[) ⊆ U,
]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ f −1 (U ).
Täten f −1 (U ) on avoin.
” ⇐ ” Olkoon x0 ∈ R ja olkoon ε > 0. Tällöin aiemmin todistetun esimerkin nojalla avoin väli ]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[ on avoin. Edelleen oletuksen
nojalla alkukuva f −1 (]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[) on avoin. Nyt
joten
f (x0 ) ∈ ]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[,
x0 ∈ f −1 (]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[).
Täten on olemassa δ > 0 siten, että
]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ f −1 (]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[).
Tällöin
f (]x0 − δ, x0 + δ[) ⊆ ]f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε[,
joten kappaleessa 1 esitetystä jatkuvuuden määritelmän muotoilusta seuraa,
että f on jatkuva.
3
Avoimien joukkojen leikkaukset ja yhdisteet
Olemme todenneet, että avoimet reaalilukuvälit ovat topologisessa mielessä avoimia. Seuraavaksi osoitetaan, että voidaan muodostaa uusia avoimia
joukkoja käyttämällä avoimien joukkojen yhdisteitä ja leikkauksia.
7
Lause 1.3. Jos (Ui )i∈I on perhe avoimia joukkoja, niin yhdiste
[
Ui ⊆ R
i∈I
on avoin.
Todistus. Olkoon x0 ∈
[
Ui .
i∈I
Nyt on olemassa i ∈ I siten, että x0 ∈ Ui . Koska Ui on avoin kaikilla i ∈ I,
niin on olemassa sellainen δ > 0, että avoin väli
]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ Ui .
Tällöin, koska Ui ⊆
[
Ui , niin edelleen ]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆
i∈I
[
Ui .
i∈I
Lause 1.4. Jos U1 , . . . , Un ⊆ R (n ∈ N) ovat avoimia, niin myös leikkaus
U1 ∩ U2 ∩ . . . ∩ Un ⊆ R
on avoin.
Todistus. Olkoon x0 ∈ U1 ∩ . . . ∩ Un . Silloin x0 ∈ Ui kaikilla i ∈ {1, . . . , n}.
Koska Ui on avoin kaikilla i, niin kaikille Ui on olemassa sellainen δi > 0,
että
]x0 − δi , x0 + δi [ ⊆ Ui .
Merkitään δ = min{ δi | i = 1, . . . , n }. Tällöin
]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ ]x0 − δi , x0 + δi [
kaikilla i ∈ {1, . . . , n}. Siis
]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ U1 ∩ . . . ∩ Un ,
joten U1 ∩ . . . ∩ Un on avoin.
Huomataan, että myös ääretön yhdiste toteuttaa lauseen 1.3, mutta leikkauksen ollessa kyseessä lause 1.4 pätee yleispätevästi vain äärellisille tapauksille.
Seuraavaksi esitetään yksi esimerkki äärettömästä avoimien joukkojen leikkauksesta, joka ei itse ole avoin.
Esimerkki. Ääretön leikkaus
∞
\
1
] − 1, [ = ] − 1, 0]
i
i=1
ei ole avoin.
Edellä on todettu, että suljetut välit eivät selvästikään ole avoimia. Seuraavaksi esitellään suljetun joukon käsite, joka on topologisessa mielessä eräänlainen vastakohta avoimille joukoille. Yhteys suljettuihin reaalilukuväleihin
on intuitiivinen, ja myös helppo todistaa.
8
Määritelmä 1.5. Sanotaan, että joukko F ⊆ R on suljettu, mikäli sen
komplementti R \ F on avoin.
Esimerkki. Suljettu väli [a, b] ⊆ R, missä a, b ∈ R, a < b, on suljettu.
Todistus. Suljetun välin komplementti
R \ [a, b] = ] − ∞, a[ ∪ ]b, ∞[.
Koska avoimet välit ovat avoimia, ja avoimien joukkojen yhdisteet ovat avoimia (Lause 1.3), niin ] − ∞, a[ ∪ ]b, ∞[ on avoin, joten [a, b] on suljettu. Huomautus. Tyhjä joukko ∅ sekä koko reaalilukujen joukko R ovat molemmat sekä avoimia että suljettuja! Edellä on todistettu, että ne ovat molemmat avoimia. Ne ovat kuitenkin toistensa komplementteja, joten niillä
molemmilla on avoin komplementti. Näin ollen ne ovat myös suljettuja.
9
Luku 2
Topologiset avaruudet
Edellisessä luvussa tarkasteltiin, miten tiettyjä topologisia konsepteja voidaan soveltaa reaalilukujen osajoukoille. Tämän konkretisoinnin jälkeen on
luontevaa siirtyä näiden peruskäsitteiden yleistyksiin. Aloitamme määrittelemällä yleistykset edellä mainituille peruskäsitteille.
1
Topologian peruskäsitteitä
Topologiassa olennaisimpia konstruktioita ovat niinsanotut topologiset avaruudet, joiden kvalitatiivisten ominaisuuksien tutkimiseen koko topologia nojaa. Topologisen avaruuden määritelmä perustuu puhtaasti joukko-oppiin, ja
on laajin sellainen avaruuden konstruktio, joka tarjoaa mahdollisuuden mm.
jatkuvuuden määrittelyyn.
Määritelmä 2.1. Olkoon X joukko ja olkoon T ⊆ P(X) kokoelma sen osajoukkoja. Sanotaan, että pari (X, T ) on topologinen avaruus, mikäli seuraavat kolme aksioomaa ovat voimassa:
T1: ∅, X ∈ T
T2: Ui ∈ T , i ∈ I ⇒
[
Ui ∈ T
i∈I
T3: U1 , . . . , Un ∈ T ⇒ U1 ∩ . . . ∩ Un ∈ T
Tällöin joukon X alkioita sanotaan pisteiksi. Kokoelman T jäsenet ovat X:n
avoimia osajoukkoja.
Topologinen avaruus koostuu siis joukosta pisteitä, sekä kokoelmasta avoimia
pistejoukkoja.
Huomautus. Usein puhutaan vain topologisesta avaruudesta X ja sen avoimista joukoista.
10
Tässä vaiheessa on tärkeää todeta, että edellisessä luvussa esitelty reaalilukujen avoimien osajoukkojen määritelmä toteuttaa topologisen avaruuden aksioomat, koska muuten olisimme tehneet turhaa työtä. Tämän todistaminen
on onneksi helppoa.
Esimerkki. Merkitään
T := { U ⊆ R | U avoin }.
On todettu, että ∅ ja R ovat avoimia, joten aksiooma T1 toteutuu. Myöskin
edellisessä luvussa todistettiin avoimien joukkojen yhdisteiden ja äärellisten
leikkausten avoimuus reaalisille joukoille, joten myös aksioomat T2 ja T3
toteutuvat, siis (R, T ) on topologinen avaruus.
Eräs käytännöllinen topologinen avaruus voidaan määritellä myös reaalianalyysistä tutuilla menetelmillä. Palautetaan mieleen euklidinen etäisyys ja
r-säteinen kuula, ja voimme muotoilla seuraavan topologian:
Esimerkki. Jos x ∈ Rn ja r > 0, niin x-keskinen ja r-säteinen kuula on
B(x, r) := { y ∈ Rn | |y − x| < r },
q
missä |y − x| = (y1 − x1 )2 + . . . + (yn − xn )2 .
Sovitaan, että U ⊆ Rn on avoin, mikäli kaikilla x ∈ U on olemassa r > 0
siten, että B(x, r) ⊆ U .
Merkitään
T := { U ⊆ Rn | U avoin }.
Nyt (Rn , T ) on topologinen avaruus. T on Rn :n standarditopologia.
Todistus. HT.
Käydään vielä läpi joitakin erityisiä topologisia avaruuksia.
Esimerkki. Olkoon X joukko. Tällöin
•
T = {∅, X} on X:n triviaali topologia.
•
T = P(X) (= X:n kaikki osajoukot) on X:n diskreetti topologia.
Esimerkki. Olkoon X = {0, 1}. Tällöin
T = {∅, {0, 1}, {0}}
on X:n topologia (Sierpińskin topologia).
Joukko {0, 1} varustettuna Sierpińskin topologialla on pienin sellainen topologinen avaruus, joka ei ole triviaali tai diskreetti. Sen yhteys esimerkiksi
laskettavuuden teoriaan on merkittävä.
11
Esimerkki. Olkoon X joukko. Merkitään
T := { U ⊆ X | X \ U äärellinen } ∪ {∅}.
Saadaan topologia (kofiniittinen topologia).
Todistus. HT.
Olemme esittääneet kolmeen aksioomaan perustuvan määritelmän topologiselle avaruudelle, sekä käyneet esitelmänomaisesti läpi erilaisia topologioita.
Seuraavaksi on tarpeen esitellä ensimmäinen käsite, joka liittyy eri topologioiden välisiin suhteisiin.
Määritelmä 2.2. Olkoon X joukko ja olkoot T1 ja T2 sen topologioita. Jos
T1 ⊆ T2 , niin sanotaan, että T1 on karkeampi kuin T2 , tai että T2 on hienompi
kuin T1 .
Esimerkki. Jos X on joukko, niin sen triviaali topologia T = {∅, X} on sen
kaikkein karkein topologia. Toisaalta diskreetti topologia T = P(X) on sen
kaikkein hienoin topologia.
Esimerkki. Tarkastellaan R:n kofiniittista topologiaa
T := { U ⊆ R | U äärellinen } ∪ {∅}.
Olkoon U ∈ T .
•
Jos U = ∅ tai U = R, niin U on avoin R:n standarditopologiassa.
•
Oletetaan, että ∅ =
6 U 6= R. Nyt
U ∈ T ⇒ R \ U äärellinen ja R \ U 6= ∅
⇒ R \ U = {a1 , . . . , an }, missä a1 < . . . < an
⇒ U = R \ R \ U = R \ {a1 , . . . , an }
= ] − ∞, a1 [ ∪ ]a1 , a2 [ ∪ . . . ∪ ]an−1 , an [ ∪ ]an , ∞[
⇒ U avoin R:n standarditopologiassa
Siis kofiniittinen topologia sisältyy standarditopologiaan, joten kofiniittinen
topologia on standarditopologiaa karkeampi.
2
Jatkuvat kuvaukset topologiassa
Topologisiin avaruuksiin tutustumisen jälkeen on luontevaa jatkaa suoraan
jatkuvien kuvausten topologiseen määritelmään. Nyt siis yleistetään edellisessä luvussa reaalilukujoukoille määritelty jatkuvuuden käsite koskemaan
mielivaltaisia topologisia avaruuksia.
12
Määritelmä 2.3. Olkoot (X, T ) ja (Y, S) topologisia avaruuksia. Sanotaan,
että kuvaus f : X → Y on jatkuva, mikäli
V ∈ S ⇒ f −1 (V ) ∈ T .
Toisin sanoen, jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on avoin
joukko.
Topologisten avaruuksien avulla on siis mahdollista määritellä jatkuvuuden
käsite, ilman että tarvitsisi määritellä kyseisille joukoille etäisyyden käsitettä.
Tämän kaltainen yleispätevyys onkin yksi topologian erityispiirteistä.
Seuraavaksi tutkitaan joidenkin tuttujen kuvausten jatkuvuutta topologisessa mielessä.
Esimerkki. Jos X = Y = R ja T = S := R:n standarditopologia, niin kuvauksen f : R → R jatkuvuus tarkoittaa juuri samaa kuin ennestään tutuissa
määritelmissä.
Esimerkki. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tällöin identtinen kuvaus
id : X → X, x 7→ x on jatkuva, sillä
U ∈ T ⇒ U = id−1 (U ) ∈ T .
Esimerkki. Olkoot (X, T ) ja (Y, S) topologisia avaruuksia. Tällöin jokainen
vakiokuvaus f : X → Y on jatkuva. Toisin sanoen on olemassa y0 ∈ Y siten,
että f (x) = y0 kaikilla x ∈ X.
Nimittäin
(
V ∈S ⇒ f
−1
(V ) =
∅,
X,
kun
kun
y0 ∈
6 V
y0 ∈ V
(Koska f −1 (V ) = { x ∈ X | f (x) ∈ V } = { x ∈ X | y0 ∈ V }.)
Täten aksioomasta T1 seuraa, että f −1 (V ) ∈ T , joten f on jatkuva.
Esimerkki. Jos X on diskreetti (T = P(X)) tai Y on triviaali (S = {∅, Y }),
niin jokainen kuvaus f : X → Y on jatkuva.
•
Olkoon X diskreetti. Tällöin jos V ∈ S, niin f −1 (V ) ⊆ X. Näin ollen
f −1 (V ) ∈ P(X) = T .
•
Olkoon Y triviaali. Silloin pätee:
(
f −1 (∅) = ∅ ∈ T
f −1 (Y ) = X ∈ T .
Esimerkki. Tarkastellaan joukkojen R ja R2 standarditopologioita. Tällöin
kuvaus f : R2 → R, (x, y) 7→ x + y on jatkuva.
13
Todistus. Olkoon V ⊆ R avoin. Pitää osoittaa, että alkukuva f −e (V ) ⊆ R2
on avoin.
Olkoon (x0 , y0 ) ∈ f −1 (V ). Tarvitaan r > 0 siten, että avoin kuula
B((x0 , y0 ), r) ⊆ f −1 (V )
f (B((x0 , y0 ), r)) ⊆ V.
eli
Nyt koska (x0 , y0 ) ∈ f −1 (V ), niin f (x0 , y0 ) ∈ V . Tällöin koska V ∈ R on
avoin, niin on olemassa ε > 0 siten, että
]f (x0 , y0 ) − ε, f (x0 , y0 ) + ε[ ⊆ V.
On vielä ratkaistava, milloin pätee
f (B((x0 , y0 ), r)) ⊆ ]f (x0 , y0 ) − ε, f (x0 , y0 ) + ε[,
jolloin tietysti myös
f (B((x0 , y0 ), r)) ⊆ V.
Todetaan, että f (x, y) ∈ ]f (x0 , y0 ) − ε, f (x0 , y0 ) + ε[, jos ja vain jos etäisyys
|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε. Lisäksi
|f (x, y) − f (x0 , y0 )| = |x + y − x0 + y0 | = |x − x0 + y − y0 |.
Nyt kolmioepäyhtälön nojalla pätee
|x − x0 + y − y0 | ≤ |x − x0 | + |y − y0 | < ε, mikäli
|x − x0 | <
ε
2
|y − y0 | < 2ε .
ja
Nyt
(x, y) ∈ B((x0 , y0 ), r) ⇔ |(x, y) − (x0 , y0 )| < r
⇔
q
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r,
mutta edellä todettiin jo, että
|x − x0 |, |y − y0 | ≤
q
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 .
Siis valinta r = 2ε kelpaa.
Täten jos (x, y) ∈ B((x0 , y0 ), 2ε ), niin
|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε,
eli
f (x, y) ∈]f (x0 , y0 ) − ε, f (x0 , y0 ) + ε[.
Kun yhdistetään kaksi jatkuvaa kuvausta, saadaan jatkuva kuvaus. Tämän sisältöinen lause todistettiin analyysin peruskurssilla heti jatkuvuuden
määrittelemisen jälkeen. Sama pätee myös topologisessa mielessä. Tämän todistaminen ei kuitenkaan vaadi läheskään niin paljon työtä kuin analyysissa.
14
Lause 2.4. Olkoot X, Y, Z topologisia avaruuksia. Jos kuvaukset f : X → Y
ja g : Y → Z ovat jatkuvia, niin samoin on yhdistetty kuvaus g ◦ f : X → Z.
Todistus. Olkooon W ⊆ Z avoin. Yhdistetty kuvaus on jatkuva, mikäli alkukuva (g ◦ f )−1 (W ) ⊆ X on avoin.
Merkitään (g ◦ f )−1 (W ) = f −1 (g −1 (W )).
Havaitaan, että koska g on jatkuva ja lisäksi W ⊆ Z on avoin, niin myös
alkukuvan g −1 (W ) ⊆ Y on oltava avoin. Edelleen, koska f on jatkuva ja
g −1 (W ) ⊆ Y on avoin, nin alkukuvan f −1 (g −1 (W )) on oltava avoin.
15
Luku 3
Suljetut joukot ja sulkeumat
Kun nyt olemme tutustuneet topologian peruskäsitteisiin, on seuraavaksi siirryttävä tarkastelemaan joitakin näistä peruskäsitteistä johdettuja määritelmiä. Tässä luvussa perehdytään sellaisiin käsitteisiin, joiden tunteminen on
välttämätöntä, kun halutaan analysoida joukkoja topologisessa mielessä.
1
Suljetut joukot
Edellisessä luvussa määriteltiin avoimet joukot, joista topologiset avaruudet
muodostuvat. Me olemme kuitenkin kiinnostuneita myös muista avaruuden
pistejoukoista. Seuraavaksi määritelläänkin suljetut joukot, jotka ovat eräänlaisia erikoistapauksia topologisten avaruuksien pistejoukkojen joukossa.
Määritelmä 3.1. Olkoon X topologinen avaruus. Joukko F ⊆ X on suljettu, mikäli sen komplementti X \ F ⊆ X on avoin.
Suljetut joukot ovat siis täsmälleen ne topologisen avaruuden pistejoukot,
joiden komplementti kuuluu kyseisen avaruuden topologiaan.
Joitakin esimerkkejä jo tuntemiemme topologisten avaruuksien suljetuista
joukoista on esitetty seuraavassa.
Esimerkki. Kuten aiemmin on jo tietyille tapauksille osoitettu, sekä tyhjä
joukko että kaikkien pisteiden joukko ovat suljettuja:
•
X = X \ ∅, joten ∅ on suljettu.
•
∅ = X \ X, joten X on suljettu.
Esimerkki. Olkoon X joukko varustettuna kofiniittisella topologialla. Tällöin F ⊆ X on suljettu jos ja vain jos sen komplementti X \ F on avoin,
eli
X \F =∅
tai
X \ (X \ F ) on äärellinen.
⇔ F =X
tai
F on äärellinen.
16
Edellisestä luvusta muistamme, että avoimien joukkojen yhdisteet sekä äärelliset leikkaukset ovat avoimia. Myös suljetuille joukoille on olemassa vastaavat säännöt, jotka todistamme seuraavaksi.
Lause 3.2. Olkoon X topologinen avaruus. Tällöin
a)
Jos joukot Fi ⊆ X ovat suljettuja (i ∈ I), niin leikkaus
\
Fi on suljettu.
i∈I
b)
Jos joukot F1 , . . . , Fn ⊆ X ovat suljettuja, niin yhdiste F1 ∪ . . . ∪ Fn on
suljettu.
Todistus. Käytetään De Morganin kaavoja:
a)
X\
\
Fi =
i∈I
[
X \ Fi .
i∈I
Nyt koska Fi on suljettu kaikilla i ∈ I, niin X \ Fi on avoin kaikilla
i ∈ I. Tällöin aksiooman T2 perusteella yhdiste
[
X \ Fi = X \
i∈I
on avoin. Siis
\
\
Fi
i∈I
Fi on suljettu.
i∈I
b)
X \ (F1 ∪ · · · ∪ Fn ) = (X \ F1 ) ∩ . . . ∩ (X \ Fn ).
Nyt koska Fi on suljettu kun i ∈ {1, . . . , n}, niin X \ Fi on avoin kun
i ∈ {1, . . . , n}. Tällöin aksiooman T3 perusteella leikkaus
(X \ F1 ) ∩ . . . ∩ (X \ Fn ) = X \ (F1 ∪ · · · ∪ Fn )
on avoin. Siis F1 ∪ . . . ∪ Fn on suljettu.
Nyt voidaan määritellä jatkuvat kuvaukset suljettujen joukkojen avulla aivan
yhtä hyvin kuin avoimien joukkojenkin avulla.
Esimerkki. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Kuvaus f : X → Y on
jatkuva jos ja vain jos alkukuva f −1 (F ) on suljettu kaikilla suljetuilla joukoilla F ⊆ Y .
Todistus. HT.
2
Sisäpisteet, ulkopisteet ja reuna
Tässä kappaleessa tutustutaan eräisiin topologiassa varsin keskeisiin termeihin. Monet topologiset ominaisuudet perustuvat siihen, mitkä pisteet muodostavat tarkasteltavan joukon ulkopisteet, sisäpisteet ja reunan.
Ennen näiden käsitteiden formalisointia on kuitenkin tarpeen esitellä määritelmä tietyn pisteen ympäristölle. Tätä määritelmää tullaan käyttämään
tästä eteenpäin varsin ahkerasti.
17
Määritelmä 3.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon x ∈ X. Jos U ⊆
X on avoin siten, että x ∈ U , niin sanotaan, että U on pisteen x ympäristö.
Määritelmä 3.4. Olkoon X topologinen avaruus, A ⊆ X ja x ∈ X. Sanotaan, että x on
•
A:n sisäpiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U ⊆ A.
•
A:n ulkopiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U ⊆ X \A.
•
A:n reunapiste, mikäli kaikilla x:n ympäristöillä U pätee, että U ∩ A 6= ∅
ja U ∩ (X \ A) 6= ∅.
Merkitään:
int(A) := { A:n sisäpisteet }
ext(A) := { A:n ulkopisteet }
∂(A)
:= { A:n reunapisteet }
Nyt siis X = int(A) ∪· ext(A) ∪· ∂(A) (∪· := erillinen yhdiste).
Jokainen joukko koostuu siis sisäpisteistä, ulkopisteistä ja reunapisteistä, ja
niiden joukot ovat toisistaan erillisiä (tämä seuraa suoraan määritelmästä).
Sovelletaan tätä määritelmää seuraavaksi tutulle topologialle.
Esimerkki. Tarkastellaan euklidisen avaruuden Rn standarditopologiaa. Olkoon x ∈ Rn ja r > 0. Tällöin avoimille kuulille pätee:
a)
Sisäpisteiden joukko int(B(x, r)) = B(x, r).
b)
Reunapisteiden joukko ∂(B(x, r)) = { y ∈ Rn | |x − y| = r } =: S(x, r).
Todistus. a) Riittää osoittaa, että B(x, r) on avoin, koska tästä seuraa että
kaikilla y ∈ B(x, r) on olemassa sellainen δ > 0, että B(y, δ) ⊆ B(x, r),
kun valitaan δ = r − |y − x|.
Olkoon y ∈ B(x, r). Osoitetaan, että B(y, r − |y − x|) ⊆ B(x, r).
Olkoon z ∈ B(y, r − |y − x|). Nyt |z − y| < r − |y − x|. Tällöin
|z − x| = |z − y + y − x|.
Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla
|z − y + y − x| ≤ |z − y| + |y − x|
< r − |y − x| + |y − x| = r.
b)
Osoitetaan osajoukkous molempiin suuntiin.
18
•
S(x, r) ⊆ ∂(B(x, r)): Pitää osoittaa, että
(
y ∈ S(x, r) ⇒
U ∩ B(x, r)
6 ∅
=
U ∩ (Rn \ B(x, r)) =
6 ∅
kaikilla y:n ympäristöillä U .
Koska U on avoin ja y ∈ U , niin on olemassa δ > 0 siten, että
B(y, δ) ⊆ U . Nyt riittää todistaa, että
B(y, δ) ∩ B(x, r)
6 ∅ ja
=
n
B(y, δ) ∩ (R \ B(x, r)) =
6 ∅
kaikilla δ > 0.
Merkitään z(t) := x + t(y − x) (t ∈ R).
Todetaan, että
|z(t) − y| ≤ |x − y| + |t(y − x)| = |t − 1||y − x| = |t − 1|r,
Ja edelleen
|z(t) − y| = |t − 1|r < δ, jos |t − 1| <
δ
r
Näin ollen z(t) ∈ B(y, δ), jos |t − 1| < rδ .
Edelleen,
(
|z(t) − x| = |t||y − x| = |t|r =
Siis
|t − 1| <
t>1
•
δ
r
> r,
< r,
jos t > 1,
jos 0 ≤ t < 1.
)
⇒ z(t) ∈ B(y, δ) ∩ (Rn \ B(x, r)).
∂(B(x, r)) ⊆ S(x, r):
a)-kohdan perusteella pätee: Jos |y − x| < r, niin y on B(x, r):n
sisäpiste. Täten riittää todistaa, että jos |y − x| > r, niin y on
B(x, r):n ulkopiste.
Olkoon y ∈ Rn siten, että |y − x| > r. On osoitettava, että tällöin
B(y, |y − x| − r) ⊆ Rn \ B(x, r).
Olkoon z ∈ B(y, |y − x| − r). Tällöin |z − y| < |y − x| − r. Nyt
kolmioepäyhtälön nojalla
|x − y| = |x − z + z − y| ≤ |z + x| + |z − y|.
Näin ollen
|z − x| ≥ |x − y| − |z − y| > |x − y| − (|y − x| − r) < r,
joten z ∈ Rn \ B(x, r).
19
Jotta edellä esitetyissä määritelmissä olisi topologisessa mielessä järkeä, täytyy sisä-, ulko- ja reunapisteiden joukkojen tietenkin olla avoimia ja/tai suljettuja. Tämä todistetaan seuraavaksi.
Lause 3.5. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A ⊆ X, niin int(A) ja ext(A)
ovat avoimia, mutta ∂(A) on suljettu.
Todistus. 1)
int(A) on avoin:
Jos x ∈ int(A), niin on olemassa sellainen x:n ympäristö Ux , että pätee
Ux ⊆ A. Havaitaan, että Ux sisältyy int(A):han, nimittäin mielivaltaiselle
pisteelle y ∈ Ux pätee, että Ux on y:n ympäristö (koska Ux on avoin ja
y ∈ Ux ), joten tällöin y ∈ int(A). Siis
•
[
Kun x ∈ int(A), niin x ∈ Ux . Joten int(A) ⊆
Ux .
x∈int(A)
•
Kun x ∈ int(A), niin Ux ⊆ int(A)
[
Siis
Ux = int(A). Koska siis int(A) on avoimien joukkojen yhdiste,
x∈int(A)
se on avoin.
2)
ext(A) on avoin, sillä
ext(A) = int(X \ A).
Tämä seuraa suoraan määritelmästä.
3)
∂(A) on suljettu:
Koska
X = int(A) ∪· ext(A) ∪· ∂(A),
niin
X \ ∂(A) = int(A) ∪ ext(A).
Näin ollen X \ ∂(A) on avoimien joukkojen yhdiste (kohtien 1 ja 2 nojalla), eli se on avoin. Siis ∂(A) on suljettu.
3
Sulkeuma
Tässä kappaleessa käsitellään erästä tärkeää konstruktiota, joka muodostetaan joukon sisä- ja reunapisteistä. Sulkeuma on intuitiivisella tavalla tiettyyn joukkoon yhteydessä olevien pisteiden joukko. Tämän käsityksen formalisoimme seuraavaksi.
Määritelmä 3.6. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A ⊆ X, niin A:n
sulkeuma on:
A := int(A) ∪ ∂(A).
20
Esimerkki. Tarkastellaan topologista avaruutta R (standarditopologia). Tällöin
[0, 1[ = [0, 1].
Nimittäin
int([0, 1[) = ]0.1[ ja ∂([0, 1[) = {0, 1}.
Ainakin reaalisissa joukoissa sulkeuma siis noudatta sitä intuitiota, jonka siitä saatoimme aluksi muodostaa. Abstraktimpien joukkojen tapauksessa määritelmä toimii aivan yhtä hyvin, joskin sen konkreettinen käsitteellistäminen
on vaikeampaa.
Seuraavaksi todistetaan joitakin sulkeuman ominaisuuksia, jotka ovat erilaisten sovellusten kannalta äärimmäisen hyödyllisiä.
Lause 3.7. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A ⊆ X, niin
\
A :=
F.
F suljettu,
F ⊇A
Tällöin A on suppein suljettu joukko F ⊆ X siten, että A ⊆ F .
Todistus. 1)
A on suljettu:
Koska X = int(A) ∪· ext(A) ∪· ∂(A), niin
X \ A = X \ (int(A) ∪· ∂(A))
= ext(A), mikä on avoin.
Siis A on suljettu.
2)
A ⊆ A:
Koska A ∩ ext(A) = ∅, niin on oltava
A ⊆ int(A) ∪· ∂(A) = A.
3)
Kohdista 1 ja 2 seuraa, että
\
F ⊆ A.
F suljettu,
F ⊇A
Osoitetaan sitten, että A ⊆
\
F.
F suljettu,
F ⊇A
Olkoon x ∈ A. Tehdään vastaoletus, että on olemassa suljettu F ⊆ X
siten, että F ⊇ A, mutta x 6∈ F .
Nyt koska x 6∈ F , niin x ∈ X \ F . Tällöin, koska F on suljettu, niin
X \ F on avoin. Mutta toisaalta koska A ⊆ F , niin X \ F ⊆ X \ A.
Täten X \ F on x:n ympäristö siten, että
X \ F ⊆ X \ A,
21
joten määritelmän mukaan x ∈ ext(A). Tämä on ristiriita. Voidaan siis
todeta, että
\
A⊆
F,
joten
F suljettu,
F ⊇A
\
A=
F.
F suljettu,
F ⊇A
4)
A suppein tällainen joukko:
Olkoon F ⊆ X suljettu siten, että F ⊇ A. Todistettava, että A ⊆ F .
Koska A =
\
F , niin A ⊆ F .
F suljettu,
F ⊇A
Lause 3.8. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X. Tällöin A on
suljettu jos ja vain jos A = A.
Todistus. ” ⇐ ” Lauseen 3.7 nojalla A on suljettu, joten jos A = A, niin
tietenkin A on suljettu.
” ⇒ ” Jos A on suljettu, niin tällöin X \ A on avoin. Nyt
X \ A = ext(A),
koska X \ A on jokaisen pisteen x ∈ X \ A ympäristö. Edelleen
A = X \ (X \ A)
= X \ ext(A)
= int(A) ∪ ∂(A)
=A
Esittelemme vielä yhden mielenkiintoisen käsitteen ennen siirtymistä seuraavaan aiheeseen.
Määritelmä 3.9. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X. Sanotaan, että A on tiheä, mikäli
A=X
Huomautus.
x ∈ A ⇔ x 6∈ ext(A)
⇔ Ei ole olemassa x:n ympäristöä U siten, että U ⊆ X \ A
⇔ Kaikilla x:n ympäristöillä U pätee: U ∩ A 6= ∅
Nyt eräs esimerkki tiheästä joukosta, joka saattaa nousta mieleen, on tietenkin rationaalilukujen joukko tarkasteltaessa reaalilukujen joukkoa. Tämä
ominaisuus onkin varsin helppo todistaa käyttämällä analyysistä tuttuja työkaluja.
22
Esimerkki. Q = R, eli Q on tiheä R:ssä.
Todistus. Olkoon x ∈ R ja olkoon U ⊆ Rx:n ympäristö. Nyt koska U on
avoin, niin on olemassa ε > 0 siten, että
]x − ε, x + ε[ ⊆ U.
Analyysin peruskursseilla on todistettu, että jokaisella tällaisella välillä on
olemassa q ∈ Q siten, että
x − ε < q < x + ε.
Näin ollen
U ∩ Q 6= ∅,
joten
x ∈ Q.
Esimerkki. Jos R on varustettu kofiniittisella topologialla, niin jokainen
joukko ∅ =
6 V ⊆ R on tiheä.
Todistus. Pitää osoittaa, että V = R.
Olkoon x ∈ R. Jos U ⊆ R on x:n ympäristö, on todistettava että leikkaus
U ∩ V 6= ∅. Tehdään siis vastaoletus, että U ∩ V = ∅. Tällöin U ⊆ R \ V .
Nyt koska ∅ =
6 V on avoin, niin R \ V on äärellinen, joten myös U on
äärellinen. Toisaalta ∅ =
6 U on avoin, joten R \ U on äärellinen.
| {z }
x∈U
Siis R = U ∪ (R \ U ) on äärellinen. Tämä on tietenkin ristiriitaista. Koska
vastaoletus johtaa ristiriitaan, voidaan todeta että U ∩ V 6= ∅.
4
Kasaantumispisteet ja erakkopisteet
Tähän asti olemme huomanneet, että topologisilla määritelmillä on olemassa selvät vastaavuudet analyysissa ja reaalilukujen maailmassa. Myöskään
seuraavat määritelmät eivät tee poikkeusta tässä suhteessa.
Me olemme kiinnostuneita tekemään eron joukkojen ja pisteiden välillä
sen mukaan, onko niiden ympärillä tilaa vai ei.
Määritelmä 3.10. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X joukko.
Jos x ∈ X, niin sanotaan, että
•
x on A:n kasaantumispiste, mikäli U ∩ (A \ {x}) 6= ∅ kaikilla x:n ympäristöillä U .
•
x on A:n erakkopiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että
U ∩ (A \ {x}) = ∅.
•
Jos A:n jokainen piste on erakkopiste, niin sanotaan että A on diskreetti.
Voidaan siis sanoa, että erakkopisteiden ympärillä on tilaa, mutta kasaantumispisteiden ympärillä ei ole (tarkasteltaessa tietyn joukon pisteitä).
23
Esimerkki. Piste 0 ∈ R on joukon A := { n1 | 0 6= n ∈ N } kasaantumispiste.
Todistus. Olkoon U ⊆ R 0:n ympäristö. Nyt on olemassa sellainen ε > 0,
että ] − ε, ε[ ⊆ U . Tällöin
n>
1
1
1
⇒
<ε ⇒
∈ ] − ε, ε[ ⊆ U ⇒ U ∩ (A \ {0}) 6= ∅.
| {z }
ε
n
n
=A
Esimerkki. Z ⊆ R on diskreetti (eli jokainen piste n ∈ Z on erakkopiste).
Todistus. Olkoon n ∈ Z. Nyt ]n − 1, n + 1[ ∩ Z = {n}, joten
]n − 1, n + 1[ ∩ Z \ {n} = ∅.
Huomautus. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X joukko. Tällöin
•
Jos x ∈ A, niin x on joko A:n kasaantumispiste tai A:n erakkopiste.
•
Jos x 6∈ A ja lisäksi x on A:n kasaantumispiste, niin x ∈ ∂(A).
Nimittäin:
Olkoon U x:n ympäristö. Tällöin jos x on A:n kasaantumispiste, niin
U ∩ (A \ {x}) = U ∩ A 6= ∅
ja toisaalta
x 6∈ A, x ∈ U ⇒ U ∩ (X \ A) 6= ∅.
Siis x ∈ ∂(A).
24
Luku 4
Hausdorffin avaruudet
Tässä luvussa esitellään topologisten avaruuksien luokka, jossa eri pisteille pätee hieman vahvempi erottelu kuin yleisesti topologisissa avaruuksissa.
Tällaiset Hausdorffin avaruudet ovat eräitä kiinnostavimmista topologisista
avaruuksista.
1
Suppenevat jonot
Yleistetään ensin ennestään tuttu raja-arvon käsite toimimaan topologisessa
mielessä. Tämä on varsin helppoa tehdä, sillä olemme jo edellisissä luvuissa
määritelleet tarvitsemamme käsitteet.
Määritelmä 4.1. Olkoon X topologinen avaruus. Sanotaan, että jono (xn )n≥1
X:n alkioita suppenee kohti pistettä x ∈ X, mikäli jokaisella X:n ympäristöllä U on olemassa N ≥ 1 siten, että
n ≥ N ⇒ xn ∈ U.
Tällöin merkitään n→∞
lim xn = x.
Esimerkki. Varustetaan joukko X = {0, 1} topologialla T = {∅, {0}, {0, 1}}.
Jos xn = 0 kaikilla n ≥ 1, niin n→∞
lim xn = 0, mutta toisaalta n→∞
lim xn = 1.
Todistus. Olkoon U 1:n ympäristö. Tällöin on oltava U = {0, 1}. Edelleen
xn ∈ U kaikilla n ≥ 1, joten n→∞
lim xn = 1, mutta samoin n→∞
lim xn = 0.
2
Hausdorffin avaruudet
Määritelmä 4.2. Olkoon X topologinen avaruus. Sanotaan että X on Hausdorffin avaruus (tai X on Hausdorff ), mikäli kaikilla pisteillä x, y ∈ X, x 6= y
on olemassa avoimet joukot U, V ⊆ X siten, että x ∈ U, y ∈ V ja U ∩ V = ∅.
Toisin sanoen, X on Hausdorff, mikäli sen kaikilla eri pisteillä on olemassa
erilliset ympäristöt.
25
Määritelmästä nähdään, että ei taaskaan ole kovin vaikea keksiä tällaiselle
avaruudelle konkreettista esimerkkiä reaalianalyysin puolelta.
Esimerkki. Rn on Hausdorff.
Todistus. Olkoon x, y ∈ Rn ja olkoon x 6= y. Osoitetaan, että tällöin leikkaus
B(x, |x−y|
) ∩ B(y, |x−y|
) = ∅.
2
2
) ∩ B(y, |x−y|
), niin tällöin pitäisi olla
Jos olisi olemassa z ∈ B(x, |x−y|
2
2
|x−y|
|x−y|
|x − z| < 2 ja |y − z| < 2 . Tällöin
|x − y| = |x − z + z − y|.
Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla
|x − z + z − y| ≤ |x − z| + |y − z| <
|x − y| |x − y|
+
= |x − y|,
2
2
mikä on ristiriitaista.
On siis todettu, että ei ole olemassa pistettä z ∈ B(x, |x−y|
) ∩ B(y, |x−y|
),
2
2
joten Rn on Hausdorff.
Kuten edellisessä kappaleessa todettiin, että raja-arvot eivät välttämättä ole
yksikäsitteisiä kaikissa topologioissa. Eräs hausdorffin avaruuksien ominaisuuksista on se, että raja-arvot ovat niissä yksikäsitteisiä. Tämä todistetaan
seuraavaksi.
Lause 4.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon (xn )n≥1 jono X:n pisteitä. Oletetaan, että x, y ∈ X siten, että n→∞
lim xn = x ja n→∞
lim xn = y. Tällöin,
jos X on Hausdorff, niin y = x.
Todistus. Oletetaan, että X on Hausdorff ja että n→∞
lim xn = x ja n→∞
lim xn = y.
Tehdään vastaoletus, että x = y.
Nyt, koska X on Hausdorff, niin on olemassa x:n ympäristö U ja y:n
ympäristö V siten, että U ∩ V = ∅.
Koska n→∞
lim xn = x, niin on olemassa N1 ≥ 1 siten, että xn ∈ U kaikilla
n ≥ N1 . Toisaalta, koska n→∞
lim xn = y, niin on olemassa N2 ≥ 1 siten, että
xn ∈ V kaikilla n ≥ N2 .
Mutta kun n ≥ max(N1 , N2 ), niin xn ∈ U ∩ V = ∅, mikä on ristiriitaista.
On siis oltava x = y.
Todistetaan vielä yksi, joskin ehkä vähemmän mielenkiintoinen ominaisuus
Hausdorffin avaruuksille.
Lause 4.4. Jos X on Hausdorffin avaruus, niin yksikkö {x} on suljettu kaikilla x ∈ X.
Todistus. On osoitettava, että X \ {x} on avoin kaikilla x ∈ X.
Olkoon y ∈ X \ {x}. Nyt tietenkin y = x. Tällöin koska X on Hausdorff,
niin on olemassa x:n ympäristö Ux,y ja y:n ympäristö Vx,y siten, että leikkaus
Ux,y ∩ Vx,y = ∅.
26
Koska Ux,y ∩ Vx,y = ∅, niin Vx,y ⊆ X \ {x}. Havaitaan, että
[
X \ {x} =
Vx,y ,
y∈X\{x}
nimittäin:
•
Koska y ∈ X \ {x}, niin y ∈ Vx,y .
•
Koska Vx,y ⊆ X \ {x} kaikilla y ∈ X \ {x}, niin
[
Vx,y ⊆ X \ {x}.
y∈X\{x}
Täten X \ {x} on avoin avoimien joukkojen yhdiste.
27
Luku 5
Topologian kanta
Edellisissä kappaleissa olemme tarkastelleet topologian peruskäsitteitä ja tietynlaisia topologisia avaruuksia. Seuraavaksi esittelemme topologioiden konstruoimisen kannalta tärkeän käsitteen, topologian kannan. Tämä auttaa jatkossa siten, että eräiden topologioiden avoimia joukkoja koskevat ominaisuudet voidaan pelkistää kannan alkioiden ominaisuuksia koskeviksi väitteiksi.
Aloitamme määritelmällä.
1
Kannan määritelmä
Määritelmä 5.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon B ⊆ P(X) kokoelma sen avoimia osajoukkoja. Sanotaan, että B on X:n topologian kanta,
mikäli kaikilla avoimilla joukoilla U ja pisteillä x ∈ U on olemassa joukko
Bx ∈ B siten, että x ∈ Bx ⊆ U .
Siis jokaisen tietyn topologian avoimen joukon jokainen alkio on myös jonkin
kyseisen topologian kannan alkio. Tarkastelemme nyt tuttuja topologioita
tältä kannalta.
Esimerkki. Avoimet kuulat
B(x, r) := { y ∈ Rn | |y − x| < r },
missä x ∈ Rn ja r > 0, muodostavat Rn :n standarditopologian kannan.
Esimerkki. Avoimet kuutiot
K(x, r) := { y ∈ Rn | |yi − xi | < r }
= ]x1 − r, x1 + r[ × . . . × ]xn − r, xn + r[ ,
missä x ∈ Rn ja r > 0, muodostavat niin ikään Rn :n standarditopologian
kannan.
Todistus. Pitää osoittaa, että
28
•
K(x, r) on avoin (HT).
•
Jos U ⊆ Rn on avoin ja x ∈ U , niin on olemassa r > 0 siten, että kuutio
K(x, r) ⊆ U .
Oletetaan, että U ⊆ Rn on avoin ja x ∈ U . Nyt koska U on avoin, niin on
olemassa δ > 0 siten, että avoin kuula B(x, δ) ⊆ U .
Todetaan, että K(x, √δn ) ⊆ B(x, δ): Olkoon y ∈ K(x, √δn ). Tällöin avoimen kuution määritelmän nojalla
δ
|yi − xi | < √
n
kaikilla i ∈ {1, . . . , n}.
Näin ollen
|y − x| =
<
q
(y1 − x1 )2 + . . . + (yn − xn )2
v
u
u δ 2
u √
u
t| n
s
=
Siis K(x, r) ⊆ U , kun r =
n·
δ
+ ... + √
n
{z
n kpl.
2
}
δ2 √ 2
= δ = δ.
n
√δ .
n
Joskus saattaa olla tarpeen todistaa, että jokin tietty kokoelma topologisen
avaruuden osajoukkoja on todellakin kyseisen topologian kanta. Seuraavaksi
esitellään tälle välttämätön ja riittävä ehto.
Lause 5.2. Olkoon X topologinen avaruus ja B ⊆ P(X) kokoelma sen avoimia osajoukkoja. Tällöin B on X:n topologian kanta jos ja vain jos kaikilla
avoimilla U ⊆ X on olemassa joukot Bi ∈ B (i ∈ I) siten, että
U=
[
Bi .
i∈I
Todistus. ” ⇒ ” Olkoon U ⊆ X avoin. Jos x ∈ U , niin on olemassa joukko
Bx ∈ B siten, että x ∈ Bx ⊆ U . Silloin
[
Bx ⊆ U.
x∈U
Toisaalta kun x ∈ U , niin x ∈ Bx , joten
U⊆
[
Bx .
x∈U
” ⇐ ” Olkoon U ⊆ X ja x ∈ U . Oletuksen nojalla
U=
[
Bi ,
i∈I
missä Bi ∈ B (i ∈ I). Nyt on siis olemassa i ∈ I siten, että x ∈ Bi , ja
tietenkin Bi ⊆ U .
29
2
Kantakriteeri
Edellä esitelty välttämätön ja riittävä ehto on käyttökelpoinen silloin, kun
topologinen avaruus on tunnettu. Jos emme kuitenkaan tiedä perusjoukon
topologioista mitään, on hieman konstikkaampaa osoittaa, että jokin kokoelma on todella jonkin topologian kanta. Tähän on kuitenkin olemassa kantakriteerinä tunnettu työkalu, jonka pätevyyden todistamme seuraavaksi.
Lause 5.3 (Kantakriteeri). Olkoon X joukko ja B kokoelma sen osajoukkoja. Tällöin B on jonkin X:n topologian kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot
ovat voimassa:
B1: Jos x ∈ X, niin on olemassa B ∈ B siten, että x ∈ B.
B2: Jos x ∈ B1 ∩ B2 , missä B1 , B2 ∈ B, niin on olemassa B ∈ B siten, että
x ∈ B ⊆ B1 ∩ B2 .
Todistus. ” ⇒ ” Oletetaan, että on olemassa X:n topologia T siten, että B
on T :n kanta.
B1: Topologian määritelmän kohdasta T1 seuraa, että X ∈ T . Tällöin kannan määritelmän nojalla jokaisella x ∈ X on olemassa B ∈ B siten, että
x ∈ B ⊆ X. Näin ollen ensimmäinen ehto pätee.
B2: Topologian määritelmän kohdasta T3 seuraa, että B1 ∩ B2 ∈ T . Tällöin
kannan määritelmän nojalla jokaisella x ∈ B1 ∩ B2 on olemassa B ∈ B
siten, että x ∈ B ⊆ B1 ∩ B2 . Näin ollen myös toinen ehto pätee.
” ⇐ ” Oletetaan, että ehdot B1 ja B2 ovat voimassa. Merkitään
T := { U ⊆ X | Jos x ∈ U , niin on olemassa Bx ∈ B siten, että x ∈ Bx ⊆ U }.
Osoitetaan sitten, että T on X:n topologia.
T1: Tyhjän joukon tapaus ∅ ∈ T on triviaali. Toisaalta ehdon B1 suora
seuraus on, että X ∈ T . Näin ollen ensimmäinen ehto pätee.
T2: Oletetaan, että Ui ∈ T , kun i ∈ I. Olkoon sitten
x∈
[
Ui .
i∈I
On siis olemassa sellainen i ∈ I, että x ∈ Ui . Edelleen, koska Ui ∈ T ,
niin on olemassa Bx ∈ B siten, että
x ∈ Bx ⊆ Ui ⊆
[
Ui .
i∈I
Näin ollen yhdiste
[
Ui ∈ T , joten toinen ehto pätee.
i∈I
30
T3: Oletetaan, että U1 , . . . , Un ∈ T . Olkoon sitten x ∈ U1 ∩ . . . ∩ Un . Tällöin,
koska Ui ∈ T , niin on olemassa Bi ∈ B siten, että
x ∈ Bi ⊆ Ui
(i ∈ {1, . . . , n}),
joten x ∈ B1 ∩ . . . ∩ Bn ⊆ U1 ∩ . . . ∩ Un . Nyt huomataan että ehdon B2
ja induktioperiaatteen nojalla on olemassa sellainen B ∈ B että
x ∈ B ⊆ B1 ∩ . . . ∩ Bn ⊆ U1 ∩ . . . ∩ Un .
Näin ollen U1 ∩ . . . ∩ Un ∈ T , eli kolmaskin ehto pätee.
On vielä todettava, että kaikki B ∈ B ovat avoimia, eli että B ⊆ T . Tämä on
tietenkin totta, sillä kun x ∈ B, niin triviaalisti x ∈ B ⊆ B (eli ”Bx = B”).
Täten B on T :n kanta.
Kantakriteerillä pystymme siis osoittamaan, jos tietty kokoelma on tunnetun
perusjoukon jonkin topologian kanta. Tässä piilee kuitenkin sellainen ongelma, että kantakriteerin toimivuus vaarantuu, jos tietty kanta voi määritellä useamman eri topologian. Onneksi näin ei kuitenkaan ole, vaan kannan
määrittelemä topologia on yksikäsitteinen.
Huomautus. On olemassa yksikäsitteinen X:n topologia T siten, että B on
T :n kanta. Nimittäin lauseesta 5.2 seuraa, että
U ∈T ⇔ U =
[
Bi , missä Bi ∈ B
(i ∈ I).
i∈I
Siis välttämättä
T := { U ⊆ X | Jos x ∈ U , niin on olemassa Bx ∈ B siten, että x ∈ Bx ⊆ U }.
31
Luku 6
Aliavaruudet
Meille on ennestään tuttua, että useimmilla matemaattisilla struktuureilla
on olemassa tietynlaisia alistruktuureja: Malleilla on olemassa alimalleja ja
ryhmillä aliryhmiä. Tuntuu luonnolliselta olettaa, että myös topologisille avaruuksille voidaan konstruoida tämän kaltaisia alistruktuureja. Tämä oletus
onkin täysin aiheellinen, kuten seuraavaksi todetaan.
1
Indusoidut topologiat ja aliavaruudet
Aloitetaan osoittamalla, että minkä tahansa topologisen avaruuden mielivaltaiselle osajoukolle saadaan konstruoitua oma topologiansa varsin helposti,
käyttämällä pohjana jo tunnettua perusjoukon topologiaa.
Lause 6.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X joukko. Jos T
on X:n topologia, niin
TA := { U ∩ A | U ∈ T }
on A:n topologia.
Todistus. T1: Koska ∅, X ∈ T ja lisäksi ∅ = ∅ ∩ A ja A = X ∩ A, niin
tietenkin myös ∅, X ∈ TA .
T2: Oletetaan, että Vi ∈ TA , kun i ∈ I. Nyt Vi = Ui ∩ A, missä Ui ∈ T . Näin
ollen
[ [
[
Vi = (Ui ∩ A) =
Ui ∩ A.
i∈I
i∈I
i∈I
Koska T on topologia, niin ehdosta T2 seuraa, että
[
Ui ∈ T , joten
i∈I
[
Vi ∈ TA .
i∈I
T3: Oletetaan, että V1 , . . . , Vn ∈ TA . Nyt Vi = Ui ∩ A, missä määritelmän
mukaisesti Ui ∈ T (i ∈ {1, . . . , n}). Näin ollen
Vi ∩ . . . ∩ Vn = (U1 ∩ . . . ∩ Un ) ∩ A.
32
Nyt koska T on topologia, niin ehdon T3 perusteella U1 ∩ . . . ∩ Un ∈ T ,
joten
Vi ∩ . . . ∩ Vn ∈ TA .
Juuri tämä leikkauksien kautta konstruoitu topologia määrittelee sen käsitteen, josta olemme kiinnostuneita, eli aliavaruuden.
Määritelmä 6.2. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Jos A ⊆ X, niin
(A, TA ) on tämän aliavaruus.
Topologia TA on T :n indusoima topologia.
Esimerkki. Tarkastellaan R:n aliavaruutta [0, 1]. Tällöin mm. väli
[0, 1/2[ = ] − 1, 1/2[ ∩ [0, 1]
on avoin aliavaruudessa [0, 1].
2
Aliavaruuden ominaisuuksia
Seuraavaksi tarkastellaan joitakin jatkossa hyödyllisiä ominaisuuksia aliavaruuksille. Näistä kaksi ensimmäistä liittyvät joukkojen avoimuuteen aliavaruuksissa. Avointen joukkojen yhteys alkuperäisessä topologiassa ja indusoidussa topologiassa on nimittäin ilmiselvä.
Lause 6.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X avoin. Tällöin
V ⊆ A on avoin A:ssa jos ja vain jos V on avoin X:ssä.
Todistus. ” ⇒ ” Oletetaan, että V on avoin A:ssa. Nyt siis on olemassa sellainen avoin U ⊆ X, että V = U ∩ A. Täten V on avoin X:ssä avoimien
joukkojen leikkauksena.
” ⇐ ” Oletetaan, että V on avoin A:ssa. Nyt koska alkuoletuksen mukaan
V ⊆ A, niin pätee V = V ∩ A. Tällöin, koska V on avoin X:ssä, niin se on
avoin A:ssa.
Sama logiikka pätee tietenkin myös suljetuille joukoille, joskin tämän todistaminen on hieman monimutkaisempaa.
Lause 6.4. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X. Tällöin G ⊆ A
on suljettu, jos ja vain jos G = F ∩ A, missä F ⊆ X on suljettu.
Todistus. ” ⇒ ” Oletetaan, että G on suljettu A:ssa. Tällöin A \ G täytyy olla
avoin A:ssa. On siis olemassa sellainen avoin U ⊆ X, että A \ G = U ∩ A.
Nyt
G = A \ (A \ G) = A \ (U ∩ A) = (X \ U ) ∩ A.
Tässä U on avoin X:ssä, joten X \ U on suljettu X:ssä. Voidaan siis valita
F = X \ U , jolloin ekvivalenssin toinen puoli pätee.
33
” ⇐ ” Oletetaan, että on olemassa sellainen suljettu F ⊆ X, että pätee
G = F ∩ A. Nyt
A \ G = A \ (F ∩ A) = (X \ F ) ∩ A.
Tässä F on suljettu X:ssä, joten X \ F on avoin X:ssä. Näin ollen A \ G on
avoin A:ssa, joten G on suljettu A:ssa.
Esimerkki. Puoliavoin väli ]0, 1/2[ on suljettu aliavaruudessa ]0, 1[ ⊆ R, sillä
]0, 1/2[ = [0, 1/2] ∩ ]0, 1[.
Tarkastellaan seuraavaksi sulkeuman käsitettä, ja sen käyttäytymistä aliavaruuksissa. On selvää, että tätä käsitettä on hieman muokattava, jotta siitä
saadaan käyttökelpoinen aliavaruuksien tapauksessa. Tämä ei onneksi kuitenkaan ole vaikeaa, ja hoituu jo ennestään tutulla logiikalla.
Lause 6.5. Olkoon X topologinen avaruus ja A ⊆ X. Jos B ⊆ A, niin
B:n sulkeuma A:ssa =: clA B = B ∩ A
(closure).
Erityisesti B on suljettu A:ssa, jos ja vain jos B = B ∩ A.
Todistus. Käytetään lausetta 3.7, eli osoitetaan, että B ∩ A on suppein A:ssa
suljettu joukko G siten, että G ⊇ B.
•
Tiedetään, että B on suljettu X:ssä. Nyt lauseen 6.4 nojalla B ∩ A on
suljettu A:ssa.
•
Oletetaan, että G ⊆ A on suljettu A:ssa siten, että G ⊇ B. Tällöin
lauseen 6.4 perusteella on olemassa X:ssä suljettu joukko F siten, että
G = F ∩ A. Tällöin, koska B ⊆ G = F ∩ A, niin B ⊆ F . Siis lauseen 3.7
peusteella B ⊆ F , joten edelleen
B ∩ A ⊆ F ∩ A = G.
Siis B ∩ A on suppein A:ssa suljettu joukko, joka sisältää B:n. Näin ollen
lauseen 3.7 perusteella pätee
B ∩ A = clA B.
Lauseen 3.8 nojalla
B suljettu A:ssa ⇔ clA B = B ⇔ B ∩ A = B.
Todistetaan vielä muutama ominaisuus jatkuvista kuvauksista aliavaruuksiin
liittyen. On tarpeen todistaa, että myös ennestään tutut jatkuvien kuvausten
ominaisuudet pätevät, kun kuvausten lähtöjoukkoa muutetaan tarkasteltavan aliavaruuden mukaiseksi.
34
Lause 6.6. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X. Tällöin
a)
Inkluusio eli kuvaus i : A → X on jatkuva.
b)
Jos kuvaus f : X → Y on jatkuva, niin samoin on sen rajoittuma
f|A : A → Y .
Todistus. a)
Olkoon U ⊆ X avoin. Nyt
i−1 (U ) = { x ∈ A | i(x) ∈ U } = U ∩ A.
|{z}
=x
Aliavaruuden määritelmän perusteella U ∩ A on avoin A:ssa, joten i on
jatkuva.
b)
Huomataan, että
f
i
f|A = f ◦ i : A → X → Y,
missä x 7→ x 7→ f (x). Täten lauseen 2.4 perusteella kuvaus f ◦ i on
jatkuva (koska f ja i ovat jatkuvia), joten f|A on jatkuva.
Lause 6.7. Olkoon f : X → Y jatkuva kuvaus. Oletetaan, että B ⊆ Y
siten, että f (X) ⊆ B. Jos g : X → B on kuvaus jolla x 7→ f (x), niin f on
jatkuva jos ja vain jos g on jatkuva.
Todistus. ” ⇐ ” Oletetaan g jatkuvaksi. Olkoon j : B → Y inkluusio. Tällöin
g
j
f = j ◦ g : X → B → Y,
missä x 7→ f (x) 7→ f (x). Nyt lauseen 6.6 perusteella j on jatkuva. Siis lauseen
2.4 nojalla f on jatkuva.
” ⇒ ” Oletetaan f jatkuvaksi. Olkoon W ⊆ B avoin B:ssä. Tällöin on
olemassa avoin V ⊆ Y siten, että W = V ∩ B. Nyt
g −1 (W ) = { x ∈ X | g(x) ∈ W }
= { x ∈ X | f (x) ∈ W }
= { x ∈ X | f (x) ∈ V ∩ B }
= { x ∈ X | f (x) ∈ V }
= f −1 (V ).
Mutta koska V on avoin Y :ssä ja f on jatkuva, niin f −1 (V ) = g −1 (W ) on
X:ssä avoin. Siis g on jatkuva.
35
Luku 7
Tuloavaruudet
Seuraavaksi siirrytään käsittelemään tuloavaruuksia, jotka saadaan aikaiseksi
”yhdistämällä” tunnettuja topologisia avaruuksia. Yhteydet muihin matematiikan osa-alueisiin ja samantyyppisiin käsitteisiin on jälleen helppo havaita.
1
Tuloavaruuden määritelmä
Palautetaan ensiksi mieleen muutama aiemmilta kursseilta tuttu määritelmä.
Olkoot X ja Y joukkoja. Näiden karteesinen tulo on
X × Y := { (x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.
Tämän avulla voimme määritellä myös projektiot:
p :X × Y → X, (x, y) 7→ x
q :X × Y → Y, (x, y) 7→ y
Näiden käsitteiden yhdistämiseen topologiaan onkin seuraava tehtävä, mutta
ensin on ratkaistava eräs ongelma.
Ongelma: Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia, niin onko karteesisella
tulolla X × Y topologiaa siten, että projektiot p ja q ovat jatkuvia?
Jos näin olisi, niin
U ⊆ X avoin ⇒ p−1 (U ) ⊆ X × Y avoin ja
V ⊆ Y avoin ⇒ q −1 (V ) ⊆ X × Y avoin.
Huomataan, että nyt
p−1 (U ) = { (x, y) ∈ X × Y | p(x, y) ∈ U }
= { (x, y) ∈ X × Y | x ∈ U }
= U × Y.
Samoin g −1 = X × V .
36
Jos ajatellaan esimerkiksi reaalilukuakseleita, niin nämä tulojoukoto olisivat jonkinlaisia yhdessä suunnassa ”rajoittamattomia suorakulmioita”. Tässä
ei vielä välttämättä olisi ylitsepääsemätöntä ongelmaa, mutta toisaalta topologian ehdot eivät tässä kuvitteellisessa topologiassa toimisi aivan samoin
kun niiden pitäisi toimia reaalilukutason normaalissa topologsiassa.
Edellisestä kohdasta seuraa nimittäin, että koska U × Y ja X × V ovat
avoimia, niin myös leikkauksen (U × Y ) ∩ (X × V ) = U × V on oltava avoin.
Emme siis saa aikaiseksi topologiaa näin helposti, mutta sen sijaan huomataan, että itse asiassa olemme tulleet määritelleeksi erään topologian kannan.
Lause 7.1. Jos T on X:n topologia ja S on Y :n topologia, niin kokoelma
B := { U × V | U ∈ T , V ∈ S }
on erään X × Y :n topologian kanta.
Todistus. Todistetaan erikseen kantakriteerin (Lause 5.3) molemmat kohdat.
B1: Tämä kohta on selvä, sillä tietenkin X ×Y ∈ B (koska X ∈ T ja Y ∈ S).
B2: Olkoon U × V, U 0 × V 0 ∈ B. Nyt
(U × V ) ∩ (U 0 × V 0 ) = (U ∩ U 0 ) × (V ∩ V 0 ).
Edelleen, koska U, U 0 ∈ T , niin U ∩ U 0 ∈ T . Toisaalta, koska V, V 0 ∈ S,
niin V ∩ V 0 ∈ S. Näin ollen
(U ∩ U 0 ) × (V ∩ V 0 ) ∈ B,
joten tämäkin ehto pätee.
Muistetaan, että kannan määrittelemä topologia on itse asiassa yksikäsitteinen. Voimme siis päättää määritellä tulotopologian tämän kannan kautta.
Määritelmä 7.2. Edellämainittua joukon X × Y topologiaa sanotaan T :n
ja S:n tulotopologiaksi.
Tällä topologialla varustettuna X × Y on X:n ja Y :n tuloavaruus.
Huomautus. Siis W ⊆ X × Y on avoin täsmälleen silloin, kun kaikilla
(x, y) ∈ W on olemassa avoimet U ⊆ X ja V ⊆ Y siten, että x ∈ U ja y ∈ V .
Toisin sanoen
(x, y) ∈ U × V ⊆ W.
Käytetään nyt esimerkkinä reaalitasoa, jonka tapauksen tarkastelu aiheutti
aiemmin ongelmia. Huomataan, että tämä tuloavaruus käyttäätykin varsin
mallikkaasti.
Esimerkki. Varustetaan R standarditopologialla. Nyt joukon R × R = R2
tulotopologia on sama kuin R2 :n standarditopologia.
37
Todistus. Tiedetään, että neliöt
K(x, r) := { y ∈ R2 | |yi − xi | < r, i ∈ {1, 2} },
missä x ∈ R2 ja r > 0 muodostavat standarditopologian kannan. Nyt
K(x, r) = ]x1 − r, x1 + r[ × ]x2 − r, x2 + r[.
•
Olkoon W ⊆ R2 avoin standarditopologiassa ja olkoon x ∈ W . Yllä
sanotun nojalla on olemassa sellainen r > 0, että K(x, r) ⊆ W . Tällöin
välit
]x1 − r, x1 + r[ ja ]x2 − r, x2 + r[
ovat avoimia, joten K(x, r) on avoin tulotopologiassa.
•
Olkoon W ⊆ R2 avoin tulotopologiassa ja olkoon x ∈ W . Tällöin on
olemassa avoimet U, V ⊆ R siten, että
x ∈ U × V ⊆ W.
Merkitään x = (x1 , x2 ). Nyt pätee x1 ∈ U ja x2 ∈ V , joten on olemassa
sellaiset δ1 , δ2 > 0, että
]x1 − δ1 , x1 + δ1 [ ⊆ U
ja
]x2 − δ2 , x2 + δ2 [ ⊆ V.
Jos δ = min{δ1 , δ2 }, niin
]x1 − δ, x1 + δ[ ⊆ ]x1 − δ1 , x1 + δ1 [
]x2 − δ, x2 + δ[ ⊆ ]x2 − δ2 , x2 + δ2 [.
ja
Näin ollen
K(x, δ) ⊆ ]x1 − δ1 , x1 + δ1 [ × ]x2 − δ2 , x2 + δ2 [ = U × V ⊆ W.
Joten W on avoin standarditopologiassa.
2
Jatkuvat kuvaukset tuloavaruuksissa
Lähdimme liikkeelle tässä luvussa siitä ajatuksesta, että tulojoukkojen topologioissa jatkuvien kuvausten projektioiden tulisi olla jatkuvia. Seuraavaksi
todistamme, että tämä ominaisuus on todellakin voimassa tuloavaruuksille.
Lause 7.3. Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia ja X × Y näiden tuloavaruus, niin projektiot p : X × Y → X ja q : X × Y → Y ovat jatkuvia.
Todistus. Olkoot U ⊆ X ja V ⊆ Y avoimia. Tällöin alkukuvat
p−1 (U ) = U × Y
ja
q −1 (V ) = X × V
ovat avoimia X × Y :ssa. Siis p ja q ovat jatkuvia.
38
Projektiot eivät itsessään ole kovin mielenkiintoisia kuvauksia. Niitä käytetään kuitenkin apuna seuraavassa todistuksessa, jossa esitetään välttämätön
ja riittävä ehto sille, että kuvaus joltain topologiselta avaruudelta jollekin
tuloavaruudelle on jatkuva.
Lause 7.4. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Jos Z on topologinen
avaruus ja f : Z → X × Y kuvaus, niin f on jatkuva jos ja vain jos kuvaukset
p ◦ f ja q ◦ f ovat jatkuvia.
Todistus. ” ⇒ ” Oletetaan, että f on jatkuva. Edelleen lauseen 7.3 nojalla
tiedetään, että projektiot p ja q ovat jatkuvia. Siispä lauseen 2.4 nojalla
voidaan todeta, että kuvaukset p ◦ f ja q ◦ f ovat jatkuvia.
” ⇐ ” Oletetaan, että p ◦ f ja q ◦ f ovat jatkuvia. Nyt riittää osoittaa, että
−1
f (U × V ) ⊆ Z on avoin kaikilla avoimilla U ⊆ X, V ⊆ Y .
Huomataan, että
U × V = (U × Y ) ∩ (X × V )
= p−1 (U ) ∩ q −1 (V ).
Näin ollen
f −1 (U × V ) = f −1 (p−1 (U ) ∩ q −1 (V ))
= f −1 (p−1 (U )) ∩ f −1 (q −1 (V ))
= (p ◦ f )−1 (U ) ∩ (q ◦ f )−1 (V ).
Koska p◦f ja q◦f ovat jatkuvia ja U ja V avoimia, niin alkukuvat (p◦f )−1 (U )
ja (q ◦ f )−1 (V ) ovat avoimia. Tällöin f −1 (U × V ) on kahden avoimen joukon
leikkaus, joten se on avoin. Siis f on jatkuva.
Huomautus. Jos f : Z → X × Y on kuvaus, niin merkitään
f1 = p ◦ f
ja
f2 = q ◦ f.
Nämä ovat f :n komponentit. Jos nyt z ∈ Z, niin
f (z) = (p(f (z)), q(f (z)))
= ((p ◦ f )(z), (q ◦ f )(z))
= (f1 (z), f2 (z)).
Merkitään siis f := (f1 , f2 ).
Esimerkki. Kuvaus f : R → R2 , t 7→ (cos t, sin t) on jatkuva, sillä analyysin
peruskursseilta muistetaan, että kuvaukset
f1 : R → R, t 7→ cos t
f2 : R → R, t →
7 sin t
ovat jatkuvia.
39
ja
Määritellään vielä jatkuville kuvauksille joitakin tuttuja laskutoimituksia.
Tämä on jälleen eräänlaista laajennusta analyysissa ja algebrassa käsitellyille
asioille.
Lause 7.5. Olkoon Z topologinen avaruus. Jos f : Z → R ja g : Z → R
ovat jatkuvia, niin samoin ovat
f + g : Z → R, z 7→ f (z) + g(z)
f g : Z → R, z 7→ f (z)g(z).
ja
Mikäli g(z) 6= 0 kaikilla z ∈ Z, niin myös kuvaus
f
f (z)
: Z → R, z 7→
g
g(z)
on jatkuva.
Todistus. Tiedetään, että kuvaukset
a : R2 → R, (x, y) 7→ x + y
m : R2 → R, (x, y) 7→ xy
ja
ovat jatkuvia. Huomataan, että
(f,g)
a
(f,g)
m
f + g = a ◦ (f, g) : Z −→ R × R
−→ R
z 7−→ (f (z), g(z)) 7−→ f (z) + g(z).
Ja toisaalta
f g = m ◦ (f, g) : Z −→ R × R
−→ R
z 7−→ (f (z), g(z)) 7−→ f (z)g(z).
Tässä siis kuvaukset
(f,g)
p
(f,g)
q
f = p ◦ (f, g) : Z −→ R × R
−→ R
z 7−→ (f (z), g(z)) 7−→ f (z),
g = q ◦ (f, g) : Z −→ R × R
−→ R
z 7−→ (f (z), g(z)) 7−→ g(z).
ovat jatkuvia, joten lauseen 2.4 nojalla voidaan todeta, että kuvaukset f + g
ja f g ovat jatkuvia.
Oletetaan sitten, että g(z) 6= 0 kaikilla z ∈ Z. Nyt
1
f
=f· ,
g
g
joten riittää todeta, että kuvaus
1
1
: Z → R, z 7→
g
g(z)
40
on jatkuva. Vedotaan jälleen analyysin peruskursseihin. Tiedämme analyysistä, että kuvaus
1
k : R \ {0} → R, t 7→
t
on jatkuva. Olkoon sitten
g : Z → R \ {0}, z 7→ g(z).
Nyt lauseen 43 nojalla g on jatkuva. Huomataan, että
1
g
g
k
= k ◦ g : Z −→ R \ {0} −→ R
1
z 7−→ g(z)
7−→ g(z)
.
Täten lauseen 2.4 nojalla kuvaus
1
g
on jatkuva.
Tuloavaruuksista on tärkeää huomioida, että ne eivät suinkaan rajoitu ainoastaan kahteen ”ulottuvuuteen”. Induktion avulla voidaan nimittäin nähdä, että tuloavaruuksille voidaan muodostaa tuloavaruuksia muiden topologisten
avaruuksien kanssa, ja niin edelleen.
Huomautus. Jos X1 , . . . , Xn ovat topologisia avaruuksia, niin vastaavasti
voidaan määritellä tuloavaruus
X1 × . . . × Xn .
Sen topologian kanta on
{ U1 × . . . × Un | Ui ∈ Xi avoin (i = 1, . . . , n) }.
Tällöin projektiot
pi : X1 × . . . × Xn → Xi , (x1 , . . . , xn ) 7→ xi
ovat jatkuvia (i= 1, . . . , n).
Edelleen f : Z → X1 × . . . Xn on jatkuva jos ja vain jos komponentit
fi = pi ◦ f : Z → Xi ovat jatkuvia, kun i = 1, . . . , n.
Joten huomataan, että samat jatkuvien kuvausten ominaisuudet säilyvät,
kun tuloavaruutta laajennetaan.
41
Luku 8
Homeomorfismit
Palautetaan mieleen esipuheessa mainittu anekdootti kahvikupista ja munkkirinkilästä. Tulimme ohimennen maininneeksi, että nämä oliot ovat itse
asiassa topologille täysin samanlaiset. Ominaisuus, jota tuossa yhteydessä
tarkoitetaan, on topologinen homeomorfisuus, johon tutustumme seuraavaksi. Tässä luvussa esitellään homeomorfismin määritelmä kiintoisine esimerkkeineen, sekä käsitellään joitakin homeomorfismien ominaisuuksia.
Aloitamme tuttuun tapaan määritelmästä.
1
Homeomorfismin määritelmä
Määritelmä 8.1. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Sanotaan, että kuvaus f : X → Y on homeomorfismi, mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa:
1)
f on bijektio
2)
f on jatkuva
3)
f −1 on jatkuva
Tällöin X ja Y ovat homeomorfiset. Tätä merkitään
X ≈ Y.
Homeomorfismi on siis ”molempiin suuntiin jatkuva” bijektiivinen kuvaus
topologisten avaruuksien välillä.
Seuraava analyysissä klassinen esimerkki osoittaa, että eräs avoin väli on
(ja itse asiassa kaikki avoimet välit) on homeomorfinen koko reaalilukusuoran
kanssa.
Esimerkki. Kuvaus f :] − 1, 1[→ R, x 7→
x
=
1 − |x|
(
1
−1 + 1−x
,
1
1 − 1+x ,
42
x
1−|x|
on homeomorfismi. Tässä
jos − 1 ≤ x < 1
jos − 1 < x < 0
Todistus. •
Osoitetaan, että f on bijektio:
Todetaan, että yhtälöllä y =
ratkaisu, kun x ∈] − 1, 1[.
x
,
1−|x|
missä y ∈ R, on yksikäsitteinen
Oletetaan nyt, että x on ratkaisu, jolloin
y=
x
|x|
⇒ |y| =
1 − |x|
1 − |x|
|y|
⇒ |x| =
|y| + 1
⇒ 1 − |x| =
1
|y| + 1
⇒ x = (1 − |x|)y =
y
1 + |y|
Tämä on ratkaisu, sillä
x
y
1
=
·
= y.
|y|
1 − |x|
1 + |y| 1 − 1+|y|
Siis f on bijektio, käänteiskuvauksena
g : R →] − 1, 1[, y 7→
•
y
.
1 + |y|
Analyysin keinoilla voidaan osoittaa, että sekä f että g ovat jatkuvia.
Sitä ei kuitenkaan tehdä tässä.
x
,
Samalla tavoin voidaan todistaa, että kuvaus f : B(0, 1) → Rn , x 7→ 1−|x|
n
missä B(0, 1) = { x ∈ R | |x| < 1 } on homeomorfismi.
On tietenkin olemassa myös sellaisia bijektioita topologisten avaruuksien
välillä, jotka eivät ole halutulla tavalla jatkuvia. Seuraavassa esimerkissä esitellään yksi tällainen kuvaus.
Esimerkki. Kuvaus f : [0, 1[→ S 1 = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 }, missä
t 7→ (cos 2πt, sin 2πt), on jatkuva ja bijektio, mutta se ei ole homeomorfismi.
Todistus. Selvästi f on jatkuva bijektio. Tehdään vastaoletus, että f on homeomorfismi.
Tarkastellaan väliä [0, 1/2[ ⊂ [0, 1[. Nyt
[0, 1/2[ = ] − 1, 1/2[ ∩ [0, 1[,
joten [0, 1/2[ on avoin aliavaruudessa [0, 1[. Tällöin, koska f −1 on jatkuva,
niin (f −1 )−1 ([0, 1/2[) on avoin alivaruudessa S 1 . Nyt siis
f ([0, 1/2[) = {(1, 0)} ∪ { (x, y) ∈ R | x2 + y 2 = 1, y > 0 }.
43
Tällöin koska f ([0, 1/2[) on avoin S 1 :ssa, niin on olemaassa avoin U ⊆ R2
siten, että f ([0, 1/2[) = U ∩ S 1 . Todetaan, että
(1, 0) = f (0) ∈ f ([0, 1/2[) ⊆ U.
On siis olemassa ε > 0 siten, että (1, 0) ∈ B((1, 0), ε) ⊆ U . Siis
(1, 0) ∈ B((1, 0), ε) ∩ S 1 ⊆ U ∩ S 1 = f ([0, 1/2[).
Koska kuvaus g : R → S 1 , t 7→ (cos 2πt, sin 2πt) on jatkuva, niin on olemassa
sellainen δ > 0, että
g(] − δ, δ[) ⊆ B((1, 0), ε) ∩ S 1 ⊆ f ([0, 1/2[).
Mutta: Koska t ∈ ] − δ, 0[, niin
(cos 2πt, sin 2πt) ∈ f ([0, 1/2[),
joka on ristiriita, koska sin 2πt < 0 kaikilla −1 < t < 0. Vastaoletuksen on
siis oletava väärä, joten f ei ole homeomorfismi.
Seuraava esimerkki on varsin klassinen ”stereografinen projektio”, jonka ideana on, että punkteerattu (yksi piste poistettu) pallopinta kuvataan koko reaalilukutasolle. Me käytämme tässä yhteydessä palloa, jonka säde on 1, ja
josta on poistettu pohjoisnapa (projektiopiste).
Esimerkki. Tarkastellaan joukkoa
S 2 = { x ∈ R3 |
q
x21 + x22 + x23
|
{z
= 1 }.
}
=|x|(= vektorin x pituus
Merkitään P = (0, 0, 1) .
| {z }
pohjoisnapa
Stereograafinen projektio f : S 2 \ {P } → R2 on homeomorfismi. Jos piste
A ∈ S 2 \ {P }, niin f (A) ∈ R2 on pisteiden P ja A kautta kulkevan suoran
ja tason x3 = 0 leikkauspiste. Mikä siis on f (A)?
Merkitään O = (0, 0, 0) ∈ R3 ja A = X = (x1 , x2 , x3 ) ∈ S 2 , sekä lisäksi
A0 = (x1 , x2 ), B = f (A) = W . Nyt
w2
OB
w1
=
=
.
x1
x2
OA0
Siispä
(
Tästä voidaan ratkaista
OB
OA0
w1 =
w2 =
OB
x
OA0 1
OB
x
OA0 2
graafisesti, jolloin saadaan
(
w1 =
w2 =
x1
1−x3
x2
1−x3
Meillä on siis kuvaus f : S 2 \ {P } → R2 , x 7→
tava homeomorfismiksi.
44
x1
, x2
1−x3 1−x3
, joka on osoitet-
Stereograafinen projektio kuvaa siis tason x3 = 0 alapuolella sijaitsevat pallopinnan pisteet avoimelle, origokeskilelle ja 1-säteiselle kuulalle tasossa R2 .
Sen sijaan tason x3 = 0 yläpuolella sijaitsevat pisteet kuvautuvat koko muulle tasolle, ja kuten arvata saattaa, kuvapisteiden etäisyys origosta suurenee
yhä nopeammin, mitä lähempänä pohjoisnapaa olevia pisteitä kuvataan.
Todistus. Osoitetaan ensin, että f on bijektio. Olkoon w ∈ R2 . Ratkaistaan
yhtälöt
x2
x1
ja w2 =
, missä x ∈ S 2 \ {P }.
w1 =
1 − x3
1 − x3
Jos x on ratkaisu, niin
x21 + x22
(1 − x3 )2
1 − x23
=
(1 − x3 )2
(1 − x3 )(1 + x3 )
=
(1 − x3 )2
1 + x3
=
,
1 − x3
|w|2 = w12 + w22 =
joten
x3 =
Näin ollen
|w|2 − 1
|w|2 + 1
1 − x3 =
ja




x1 =
x2 =



x3 =
2
.
+1
|w|2
2w1
|w|2 +1
2w2
|w|2 +1
|w|2 −1
|w|2 +1
Laskemalla voidaan todistaa, että tämä on todellakin ratkaisu. On siis olemassa yksikäsitteinen ratkaisu tälle yhtälöryhmälle, joten f on bijektio, ja
sen käänteiskuvaus on
2w
2w2
|w|2 − 1 1
,
,
.
w 7→
|w|2 + 1 |w|2 + 1 |w|2 + 1
Osoitetaan sitten, että f on jatkuva. Lauseen 7.4 perusteella riittää osoittaa,
että komponentit
x1
f1 : S 2 \ {P } → R2 , x 7→
ja
1 − x3
x2
f2 : S 2 \ {P } → R2 , x 7→
1 − x3
ovat jatkuvia. Nyt lauseen 7.5 perusteella riittää todeta, että kuvaukset
S 2 \ {P } → R, x 7→ x1 ,
S 2 \ {P } → R, x →
7 x2
2
S \ {P } → R, x →
7 x3
45
ja
ovat jatkuvia. Lauseen 7.3 nojalla projektiot
R3 → R, x 7→ x1 ,
R3 → R, x 7→ x2
R3 → R, x 7→ x3
ja
ovat jatkuvia. Tällöin lauseen 6.6 b)-kohdan perusteella myös halutut kuvaukset ovat jatkuvia, joten f on jatkuva.
Osoitetaan vielä, että käänteiskuvaus f −1 on jatkuva. Tässä siis f −1 = g,
missä
2w
2w2
|w|2 − 1 1
g : S 2 \ {P }, w 7→
,
,
.
|w|2 + 1 |w|2 + 1 |w|2 + 1
Nyt lauseen nojalla riittää osoittaa, että kuvaus
g : R2 → R3 , w 7→ g(w)
on jatkuva. Edelleen lauseen 7.4 perusteella täytyy nyt osoittaa, että komponentit
g 1 : R2 → R,
g 2 : R2 → R
g 3 : R2 → R
ja
ovat jatkuvia. Näin onkin, koska lauseen 7.3 nojalla projektiot ovat jatkuvia,
ja toisaalta lauseen 7.5 perusteella voidaan edelleen todeta, että g 1 , g 2 ja g 3
ovat jatkuvia. Siis myös käänteiskuvaus f −1 = g on jatkuva.
Olemme siis todistaneet, että punkteerattu pallopinta on homeomorfinen tason R2 kanssa. Intuitiivisesti näyttäisi siltä, että sama pätisi myös esimerkiksi punkteeratulle tetraedri- tai kuutiopinnalle, joskin sopivan kuvauksen
löytäminen on haastavaa.
2
Homeomorfismien ominaisuuksia
Tässä kappaleessa käsitellään vain muutama lause siitä, miten eräitä kuvauksia on hieman helpompi todistaa homeomorfismeiksi. Myöhemmin tullaan puuttumaan muissa yhteyksissä siihen, mitä homeomorfismit tarkkaan
ottaen merkitsevät topologisille avaruuksille.
Lause 8.2. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Bijektio f : X → Y
on homeomorfismi, jos ja vain jos U ⊆ X on avoin täsmälleen silloin kun
f (U ) ⊆ Y on avoin.
Todistus. ” ⇒ ” Olkoon f homeomorfismi. Osoitetaan, että yllämainittu ekvivalenssi on voimassa.
46
•
Oletetaan, että U ⊆ X on avoin. Koska f on homeomorfismi, niin f −1 on
jatkuva. Tällöin (f −1 )−1 (U ) ⊆ Y on avoin. Mutta f (f −1 )−1 (U ) = f (U ),
joten nähdään että f (U ) on avoin.
•
Oletetaan, ett U ⊆ X siten, että f (U ) ⊆ Y on avoin. Tällöin koska f
on jatkuva, niin f −1 (f (U )) ⊆ X on avoin. Mutta f −1 (f (U )) = U , joten
nähdään että U on avoin.
” ⇐ ” Oletetaan sitten, että ekvivalenssi
U ⊆ X on avoin ⇔ f (U ) ⊆ Y on avoin
on voimassa. Osoitetaan, että tällöin f on homeomorfismi.
•
Oletuksiin kuuluu, että f on bijektio, joten sitä ei tarvitse erikseen todistaa.
•
Osoitetaan, että f on jatkuva:
Olkoon V ⊆ Y avoin. Tällöin V = f (f −1 (V )), jolloin oletuksen nojalla
alkukuva f −1 (V ) ⊆ X on avoin, eli f on jatkuva.
•
Osoitetaan, että f −1 on jatkuva:
Olkoon U ⊆ X avoin. Tällöin oletuksen nojalla f (U ) ⊆ Y on avoin.
Toisaalta pätee: f (U ) = (f −1 )−1 (U ), joten myös f −1 on jatkuva.
Siis f on jatkuva bijektio, ja myös käänteiskuvaus f −1 on jatkuva, joten f
on homeomorfismi.
Lause 8.3. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y
homeomorfismi. Jos A ⊆ X on aliavaruus, niin f indusoi homeomorfismin
f : A → f (A), x 7→ f (x).
Todistus. Merkitään g = f −1 . Tarkastellaan kuvausta
g : f (A) → A, y 7→ g(y).
Tällöin, koska f (x) = f (x) kaikilla x ∈ A ja g(y) = g(y) kaikilla y ∈ f (A),
−1
niin f ◦ g = id ja g ◦ f = id. Näin ollen g = f .
Edelleen, koska f on jatkuva, niin lauseen 6.6 b)-kohdan nojalla kuvaus
A → f (A), x 7→ f (x)
|
{z
}
=f
on jatkuva. Ja tietenkin samalla periaatteella myös g on jatkuva.
Huomautus. Homeomorfismien perusominaisuuksista seuraa, että jos kuvaukset f : X → Y ja g : Y → Z ovat homeomorfismeja, niin samoin on
yhdistetty kuvaus g ◦ f : X → Z.
Myöskin, jos f : X → Y on homeomorfismi, niin samoin on käänteiskuvaus f −1 : Y → X
47
Todistus. HT.
Tästä ominaisuudesta seuraa, että relaatio
R := { (X, Y ) | X ≈ Y }
on ekvivalenssirelaatio, ja keskenään homeomorfiset topologiset avaruudet
muodostavat ekvivalenssiluokkia.
48
Luku 9
Metriset Avaruudet
Tähän asti olemme tarkastelleet topologisia avaruuksia melko abstraktilla tasolla. Nyt siirrymme kuitenkin tutkimaan hieman konkreettisempia erikoistapauksia, joita edustavat mm. euklidiset avaruudet Rn . Metristen avaruuksien
erikoispiirteiksi voidaan lukea konstruointi yksinkertaisten aksioomien avulla,
sekä eräät melko intuitiiviset ominaisuudet, joihin tutustutaan jäljempänä.
Aloitamme kuitenkin käsitteiden määrittelystä.
1
Metriikat
Metristen avaruuksien konstruoimisen työkaluna toimii kuvaus, jota kutsutaan metriikaksi. Seuraavaksi esittelemme tällaiselle kuvaukselle aksiomaattisen määrittelyn.
Määritelmä 9.1. Olkoon X joukko. Kuvausta
d : X × X → R≥0
sanotaan X:n metriikaksi, mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa:
M1: d(x, y) = 0 ⇔ x = y
M2: d(x, y) = d(y, x)
kaikilla x, y ∈ X.
kaikilla x, y ∈ X.
M3: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
kaikilla x, y, z ∈ X.
Tällöin pari (X, d) on metrinen avaruus.
Toisin sanoen, metriikka on sellainen kuvaus ei-negatiivisille reaaliluvuille,
joka antaa eri pisteille positiivisen ”etäisyyden”, on symmetrinen, ja toteuttaa kolmioepäyhtälön.
Huomautus. Usein puhutaan vain metrisestä avaruudesta X.
Varmasti tutuin metriikka onkin normaali euklidinen etäisyys avaruuksissa
Rn . Olisikin hieman kummallista, jos nämä kuvaukset eivät toteuttaisi metriikan aksioomia.
49
Esimerkki. Kuvaus
Rn × Rn → R≥0 , (x, y) 7→ |x − y|
on Rn :n metriikka.
Tutustutaan seuraavaksi joihinkin hieman epätavallisempiin metriikkoihin.
Esimerkki. Olkoon X joukko. Määritellään kuvaus
d : X × X → R≥0
asettamalla
(
d(x, y) =
1, x 6= y
0, x = y.
Tällöin d on X:n metriikka (ns. diskreetti metriikka).
Todistus. M1: Seuraa suoraan määritelmästä.
M2: Myöskin triviaali, koska tietenkin x 6= y ⇔ y 6= x.
M3: •
Tapaus x = y: Tällöin d(x, y) = 0 ≤ d(x, z) + d(z, y), riippumatta
z:sta.
•
Tapaus x 6= y: Tällöin d(x, y) = 1. Nyt d(x, y) > d(x, z) + d(z, y)
vain jos d(x, z) + d(z, y) = 0, eli d(x, z) = 0 ja d(z, y) = 0. Näin
ei kuitenkaan voi olla, koska silloin olisi x = z ja z = y, eli myös
x = y.
Esimerkki. Tarkastellaan kuvausta
d : Rn × Rn → R≥0 ,
missä
(x, y) 7→ max{ |xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n }.
Nyt d on Rn :n metriikka.
Todistus. M1: Jos x, y ∈ Rn , niin
d(x, y) = 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
max{ |xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n } = 0
|xi − yi | = 0 kaikilla i ∈ {1, . . . , n}
xi = yi kaikilla i ∈ {1, . . . , n}
x = y.
M2: Triviaali.
50
M3: Jos x, y, z ∈ Rn , niin kaikilla j ∈ {1, . . . , n} pätee:
|xj − yj | ≤ |xj − zj | + |zj − yj |
≤ max{ |xj − zj | | 1 ≤ j ≤ n } + max{ |zj − yj | | 1 ≤ j ≤ n }
= d(x, z) + d(z, y)
Tällöin myös
max{ |xj − yj | | 1 ≤ j ≤ n } ≤ d(x, z) + d(z, y),
joten d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Esimerkki. Olkoot a, b ∈ R ja a < b. Merkitään
C([a, b]) := { jatkuvat funktiot [a, b] → R }.
Määritellään kuvaus
d : C([a, b]) × C([a, b]) → R≥0
asettamalla
d(f, g) = max{ |f (x) − g(x)| | a ≤ x ≤ b }.
Muistamme analyysin kursseilta, että tällainen määritelmä voidaan todella
tehdä mielekkäästi. Näin saadaan aikaan C([a, b]):n metriikka.
Todistus. Kuten edellä.
2
Metriikan indusoima topologia
Kun nyt tunnemme metriikan käsitteen, voimme vastata kysymykseen: Mikä
on metristen avaruuksien ja topologisten avaruuksien yhteys? Tämä yhteys
on mielenkiintoinen, sillä seuraavaksi todetaan, että metriikan avulla pystytään joukossa määrittelemään eräs topologia.
Ensin on kuitenkin syytä yleistää jo euklidisista avaruuksista tuttu ”avoimen kuulan” käsite kaikille metriikoille.
Määritelmä 9.2. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Jos x ∈ X ja r > 0, niin
x-keskinen ja r-säteinen avoin kuula määritellään seuraavasti:
Bd (x, r) := { y ∈ X | d(x, y) < r }.
Esimerkki. Olkoon X joukko. Jos kuvaus d : X × X → R≥0 on diskreetti
metriikka, niin
(
{x}, jos r ≤ 1
Bd (x, r) =
X,
jos r > 1.
51
Esimerkki. Jos d on Rn :n metriikka siten, että
d(x, y) = max{ |xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n },
niin tällöin
Bd (x, r) = { y ∈ Rn | max{ |xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n } < r }
= { y ∈ Rn | |xi − yi | < r kaikilla i ∈ {1, . . . , n} }
=]x1 − r, x1 + r[× . . . ×]xn − r, xn + r[
= K(x, r).
Edellisestä esimerkistä nähdään, että avoimet kuulat tietyssä metriikassa eivät välttämättä suoraan anna meille topologiaa. Se ei kuitenkaan tarkoita,
että kyseinen käsite olisi topologisessa mielessä käyttökelvoton. Havaitaan
nimittäin, että voimme käyttää sitä erään topologian kannan määrittelemiseen, jolloin pääsemme tietysti käsiksi haluttuun topologiaan.
Lause 9.3. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Tällöin avoimet kuulat Bd (x, r),
missä x ∈ X ja r > 0, muodostavat X:n erään topologian kannan.
Todistus. Käytetään lausetta 5.3 (kantakriteeri).
B1: Ensimmäinen ehto pätee, sillä tietenkin x ∈ Bd (x, r) kaikilla x ∈ X
(koska metriikan määritelmän perusteella d(x, x) = 0 < r).
B2: Oletetaan, että x1 , x2 ∈ X ja r1 , r2 > 0. Oletetaan lisäksi, että pätee
x ∈ Bd (x1 , r1 ) ∩ Bd (x2 , r2 ). Merkitään
r = min(r1 − d(x1 , x), r2 − d(x2 , x)).
Osoitetaan, että
Bd (x, r) ⊆ Bd (x1 , r1 ) ∩ Bd (x2 , r2 ).
Olkoon z ∈ Bd (x, r). Tällöin d(x, z) < r. Jos i ∈ {1, 2}, niin
M3
d(xi , z) ≤ d(xi , x) + d(x, z)
< d(xi , x) + r
≤ d(xi , x) + ri − d(xi , x)
= ri
Näin ollen pätee z ∈ Bd (xi , ri ), aina kun i ∈ {1, 2}, joten myöskin pätee
z ∈ Bd (x1 , r1 ) ∩ Bd (x2 , r2 ).
Mikä on tämä topologia?
Lause 9.4. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Joukko U ⊆ X on avoin edellä
mainitussa topologiassa täsmälleen silloin, kun kaikilla x ∈ U on olemassa
rx > 0 siten, että Bd (x, rx ) ⊆ U .
52
Todistus. ” ⇐ ” Triviaali.
” ⇒ ” Vedotaan lauseen 5.3 todistukseen. Sen nojalla on olemassa y ∈ X
ja δ > 0 siten, että x ∈ Bd (y, δ) ⊆ U . On siis osoitettava, että
Bd (x, δ − d(y, x)) ⊆ Bd (y, δ).
Olkoon z ∈ Bd (x, δ − d(y, x)). Tällöin d(x, z) < δ − d(y, x). Näin ollen
M3
d(y, z) ≤ d(y, x) + d(x, z)
< d(y, x) + δ − d(y, x)
= δ.
Näin ollen pätee z ∈ Bd (y, δ). Eli voidaan valita r = δ − d(y, x), jolloin väite
pätee.
Merkintä. Jos (X, d) on metrinen avaruus, niin merkitään
Td := e.m. topologia.
Tätä sanotaan metriikan d indusoimaksi topologiaksi
Olemme siis todenneet, että joukko U on avoin metriikan d indusoimassa
topologiassa täsmälleen silloin, kun jokaisella U alkiolla on olemassa U :hun
sisältyvä avoin kuulaympäristö. Tämä on syytä muistaa jatkossa.
Esimerkki. Olkoot a, b ∈ R, a < b. Varustetaan joukko C([a, b]) metriikalla
d(f, g) = max{ |f (x) − g(x)| | a ≤ x ≤ b }.
Saadaan topologinen avaruus C([a, b]).
Oletetaan, että (fn )n≥1 on jon0 C([a, b]):n alkioita, siis toisin sanoen että
fn : [a, b] → R on jatkuva funktio kaikilla n ≥ 1. Jos f ∈ C([a, b]), niin
milloin pätee n→∞
lim fn = f ?
Selvästi tämä ehto toteutuu täsmälleen silloin, kun pätee: Aina kun joukko U ⊆ C([a, b]) on avoin siten, että f ∈ U , niin on olemassa N ≥ 1, jolle
pätee fn ∈ U .
Siis jos ε > 0, niin on olemassa N ≥ 1 siten, että fn ∈ Bd (f, ε) kaikilla
n ≥ N . Toisin sanoen, jos ε > 0, niin on olemassa N ≥ 1 siten, että pätee
d(fn , f ) < ε kaikilla n ≥ N .
Siis, jos ε > 0, niin on olemassa N ≥ 1 siten, että
max{ |f (x) − fn (x)| | a ≤ x ≤ b } < ε
kaikilla n ≥ N . Eli, |f (x) − fn (x)| < ε kaikilla a ≤ x ≤ b, kun n ≥ N .
Huomataan, että tämä vastaa analyysin kursseilta tuttua ”tasaisen suppenemisen” määritelmää.
Joskus kaksi eri metriikkaa voi indusoida täsmälleen saman topologian (tästä
esimerkkejä myöhemmin). Formaalisti tämä asia esitetään seuraavasti:
53
Määritelmä 9.5. Olkoon X joukko ja d1 , d2 sen metriikkoja. Jos Td1 = Td2 ,
niin sanotaan että d1 ja d2 ovat ekvivalentteja.
Metriikkojen ekvivalenssin testaamiseksi ei välttämättä tarvitse ryhtyä tarkastelemaan niiden indusoimia topologioita yksityiskohtaisesti, vaan siihen
on olemassa oikotie.
Lause 9.6. Olkoon X joukko ja d1 , d2 sen metriikkoja. Jos on olemassa
a, A > 0 siten, että
ad1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ Ad1 (x, y)
kaikilla x, y ∈ X, niin d1 ja d2 ovat ekvivalentteja.
Todistus. Pitää osoittaa, että Td1 = Td2 .
•
Td1 ⊆ Td2 : Olkoon U ∈ Td1 ja olkoon x ∈ U . Tällöin on olemassa r > 0
siten, että Bd1 (x, r) ⊆ U .
Todistetaan, että Bd2 (x, ar) ⊆ Bd1 (x, r). Olkoon y ∈ Bd2 (x, ar). Nyt
d2 (y, x) < ar. Näin ollen
oletus
ad1 (x, y) ≤ d2 (x, y) < ar,
joten d1 (x, y) < r ja näin ollen y ∈ Bd1 (x, r). Tällöin voidaan päätellä,
että koska Bd1 (x, r) ⊆ U , niin Bd2 (x, ar) ⊆ U . Joten U ∈ Td2 .
•
Td2 ⊆ Td1 : Huomataan, että
ad1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ Ad1 (x, y),
joten koska a, A > 0, niin
1
1
d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ d2 (x, y).
A
a
Täten väite pätee symmetrian nojalla.
Seuraavaksi todistetaan, että kaksi aikaisemmin esitettyä metriikkaa Rn :lle
indusoivat todellakin saman topologian (eli jo ennestään tutun ”normaalin”
topologian).
Esimerkki. Rn :n metriikat
d(x, y) = |x − y| (x, y ∈ Rn )
ja
ρ(x, y) = max{ |xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n } (x, y ∈ Rn )
ovat ekvivalentteja.
54
Todistus. Käytetään lausetta 9.6. Huomataan, että
max{ |xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n } ≤
≤
Eli voidaan valita a = 1 ja A =
v
u
u(x1
t|
− y1 )2 + . . . + (xn − yn )2
{z
≤n·(max{ |xi −yi ||1≤i≤n })2
}
√
n · max{ |xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n }.
√
n, jolloin ehto toteutuu.
Tähän asti olemme käsitelleet sellaisia metriikoita, jotka indusoivat jonkin
tutun tai muuten intuitiivisen topologian. On kuitenkin tärkeää huomioida,
että kaikkia topologioita ei voida määritellä minkään metriikan avulla.
Määritelmä 9.7. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Jos on olemassa X:n
metriikka d siten, että T = Td , niin sanotaan että X on metristyvä.
Huomautus. On mahdollista todistaa (jätetään harjoitustehtäväksi), että
avaruus (X, Td ) on aina Hausdorff. Näin ollen on todellakin olemassa eimetristyviä topologisia avaruuksia.
Esimerkki. Olkoon p alkuluku. Jos 0 6= x ∈ Q, niin kirjoitetaan
a
x = pr ,
b
missä a, b, r ∈ Z, p - a, p - b. Nyt r on yksikäsitteinen. Merkitään
|x|p := p−r
(p-adinen itseisarvo).
Sovitaan, että |0|p = 0.
Nyt kuvaus
d : Q × Q → R≥0 ,
(x, y) 7→ |x − y|p
on metriikka.
Todistus. M1: Seuraa suoraan määritelmästä.
M2: Triviaali.
M3: Osoitetaan, että itse asiassa
|x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p )
kaikilla x, y ∈ Q. Tällöin
max(|x|p , |y|p ) ≤ |x|p + |y|p ,
joten |x + y|p ≤ |x|p + |y|p kaikilla x, y ∈ Q. Näin ollen
d(x, y) = |x − y|p = |x − z + z − y|p
≤ |x − z|p + |z − y|p
= d(x, z) + d(z, y)
55
kaikilla x, y, z ∈ Q.
Huomautus: Kaikilla x, y, z ∈ Q pätee ns. ultrametrinen epäyhtälö:
d(x, y) = |x − y|p
= |x − z + z − y|p
≤ max(|x − z|p , |z − y|p )
= max(d(x, z), d(z, y)).
Osoitetaan siis, että
|x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p )
kaikilla x, y ∈ Q. Jos nyt x = 0 tai y = 0, niin asia on selvä. Oletetaan
siis, että x 6= 0 ja y 6= 0. Tällöin
x = pr
a
b
ja
a0
y = ps 0 ,
b
missä p - a, p - b, p - a0 , p - b0 . Voidaan olettaa, että s ≥ r. Nyt
x+y =p
ra
b
+
0
sa
p 0
b
a
a0
=p
+ ps−r 0
b
b
0
s−r 0 ab
+
p
ab
= pr
(p - bb0 )
bb0
r
Jos nyt
a00
,
b00
missä p - a00 , p - b00 , niin on siis oltava r ≤ t. Näin ollen pätee −r ≥ −t ja
edelleen p−r ≥ p−t , joten |x|p ≥ |x + y|p . Eli, kun s ≥ r, niin |y|p ≤ |x|p .
Näin ollen
|x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p ).
x + y = pt
56
Luku 10
Yhtenäisyys
Siirrymme nyt tutkimaan joitakin topologisten avaruuksien keskeisimpiä ominaisuuksia. Ensimmäinen näistä on yhtenäisyys, joka intuitiivisella tasolla
tarkoittaa, että topologinen avaruus ei koostu erillisistä ”palasista”. Pyrimme formalisoimaan tämän määritelmäksi.
1
Yhtenäisyyden määritelmä
Määritelmä 10.1. Topologinen avaruus X on yhtenäinen, mikäli sitä ei
voida lausua kahden erillisen avoimen joukon yhdisteenä.
Joukko A ⊆ X on yhtenäinen, jos vastaava aliavaruus on yhtenäinen.
Tämä määritelmä saattaa vaikuttaa hieman hankalalta, sillä siinä yhtenäisyys on määritelty negatiivisen ominaisuuden kautta. Saattaakin olla helpompaa mieltää, mitä tarkoittaa epäyhtenäisyys.
Huomautus. Topologinen avaruus X on siis epäyhtenäinen jos ja vain jos
on olemassa avoimet joukot U, V ⊆ X siten, että U ∩ V = ∅, U 6= ∅, V 6= ∅
ja X = U ∪ V .
Esimerkki. Tarkastellaan aliavaruutta
X := [0, 1] ∪ [2, 4].
Tällöin X on epäyhtenäinen, sillä
3
[0, 1] = ] − 1, [ ∩X
2
ovat avoimia X:ssä.
ja
3
[2, 4] = ] , 5[ ∩X
2
Yhtenäisyyden todistaminen saattaa olla työlästä, koska negatiivisten ominaisuuksien todistaminen on yleensäkin hieman konstikasta. Samoin epäyhtenäisyyttä voi olla hankala todistaa, jos ei ole suoraan nähtävissä, minkä
joukkojen yhdisteenä tutkimuksen kohteena oleva avaruus tulisi esittää. Asiaa helpottaa seuraavaksi esiteltävä välttämätön ja riittävä ehto sille, että
topologinen avaruus X on yhtenäinen.
57
Lause 10.2. Topologinen avaruus X on yhtenäinen, jos ja vain jos sen ainoat
yhtä aikaa avoimet ja suljetut joukot ovat ∅ ja X.
Todistus. ” ⇒ ” Olkoon X yhtenäinen topologinen avaruus. Tehdään vastaoletus, että on olemassa U ⊆ X siten, että U on avoin ja suljettu, mutta U 6= ∅
ja U 6= X.
Nyt koska U on suljettu, niin X \ U on avoin. Mutta X = U ∪ (X \ U )
ja tietenkin U ∩ (X \ U ) = ∅. Tässä U 6= X, joten myös X \ U 6= ∅. Tällöin
määritelmän mukaisesti X on epäyhtenäinen, mikä on ristiriitaista oletuksen
kanssa.
Koska vastaoletus johtaa ristiriitaan, on todettava, että kyseisiä ominaisuuksia omaavaa joukkoa ei ole olemassa.
” ⇐ ” Oletetaan, että X:n ainoat yhtä aikaa avoimet ja suljetut joukot
ovat ∅ ja X. Oletetaan sitten, että X = U ∪ V , missä U, V ⊆ X ovat avoimia
ja U ∩ V = ∅.
On siis oltava U = X \ V ja V = X \ U , joten U ja V ovat suljettuja.
Koska nyt sekä U että V ovat sekä avoimia että suljettuja, niin oletuksen
nojalla on oltava
(
(
U =∅
U =X
tai
V =X
V =∅
Täytyy siis olla joko U = ∅ tai V = ∅, joten määritelmän perusteella X on
yhtenäinen.
Nyt kun käytössämme on tällainen työkalu, on helpompaa tutkia joidenkin
ennestään tuttujen topologisten avaruuksien yhtenäisyyttä.
Esimerkki. Olkoon X diskreetti topologinen avaruus. Jos pätee X 6= ∅ ja
X 6= {x} kaikilla x ∈ X, niin X on epäyhtenäinen.
Todistus. Kun valitaan mikä tahansa x ∈ X, niin X = {x} ∪ (X \ {x}).
Tässä {x} ja X \ {x} ovat avoimia, koska X on diskreetti avaruus. Niinpä
X voidaan esittää kahden erillisen avoimen joukon yhdisteenä, joten X on
epäyhtenäinen.
Esimerkki. Varustetaan joukko {0, 1} aikaisemmin esitellyllä Sierpinskin
topologialla T = {∅, {0, 1}, {0}}. Mitkä ovat yhtä aikaa avoimet ja suljetut
joukot?
Luonnollisesti ∅ ja {0, 1} ovat yhtä aikaa avoimia ja suljettuja. Niiden
lisäksi ei ole muita, sillä {1} ∈ T . Niinpä {0, 1} \ {0} ei ole avoin, joten {0}
ei ole suljettu.
Siis avaruus {0, 1} on yhtenäinen lauseen 10.2 nojalla.
Seuraava lause saattaa vaikuttaa melko triviaalilta tai yhdentekevältä, mutta tulemme hyödyntämään sitä jatkossa monta kertaa. Siksi se on tässäkin
yhteydessä erikseen käsitelty.
Lause 10.3. Aliavaruus [0, 1] ⊆ R on yhtenäinen.
58
Todistus. Käytetään lausetta 10.2.
Tehdään vastaoletus, että [0, 1] ei ole yhtenäinen, eli on olemassa joukko
E ⊆ [0, 1] siten, että E 6= ∅, E 6= [0, 1] ja E on sekä avoin että suljettu.
Voidaan olettaa, että 1 6∈ E (Mikäli olisi 1 ∈ E, voidaan korvata E
joukolla [0, 1] \ E, nimittäin koska E on avoin, niin [0, 1] \ E on suljettu, ja
koska E on suljettu, niin [0, 1] \ E on avoin, ja tietenkin [0, 1] \ E 6= ∅, [0, 1]).
R:n täydellisyysaksiooman nojalla on olemassa C := sup E. Nyt kaikilla
ε > 0 on olemassa x ∈ E siten, että C − ε < x ≤ C. Niinpä on oltava C ∈ E.
Kuitenkin, koska E on suljettu aliavaruudessa [0, 1], niin on oltava
cl[0,1] E = E ∩ [0, 1].
Edelleen, koska E ⊆ [0, 1], ja toisaalta E:n sulkeuma on suppein suljettu
joukko, joka sisältää E:n, niin on oltava E ⊆ [0, 1]. Silloin nähdään, että
koska E ∩ [0, 1] = E, niin E = E. Siis C ∈ E.
Aiemmin valitsimme, että 1 6∈ E. Koska kuitenkin pätee C ∈ E, niin
voidaan päätellä, että C 6= 1, eli C < 1.
Tällöin, koska E on avoin, niin E = U ∩ [0, 1], missä U ⊆ R on avoin. Nyt
koska C ∈ E, niin C ∈ U . On siis olemassa ε > 0 siten, että ]C −ε, C +ε[ ⊆ U .
Tällöin
]C − ε, C + ε[ ∩ [0, 1] ⊆ U ∩ [0, 1] = E.
Tästä nähdään, että koska C < x < C + ε, niin on oltava x 6∈ E (kun
C + ε < 1, eli ε < 1 − C).
Tämä on ristiriitaista, joten vastaoletus on väärä ja [0, 1] on yhtenäinen.
Suunnilleen yhtä paljon käyttöä tulee olemaan myös seuraavaksi esitettävälle
lauseelle, joka käsittelee yhtenäisen avaruuden kuvaa jatkuvassa kuvauksessa.
Näitä kahta lausetta käytetäänkin monesti yhdessä.
Lause 10.4. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y
jatkuva kuvaus. Tällöin, jos X on yhtenäinen, niin f (X) ⊆ Y on yhtenäinen.
Todistus. Lauseen 6.7 perusteella indusoitu kuvaus f : X → f (X), x 7→ f (x)
on jatkuva.
Selvästi f on surjektio, joten nyt voidaan olettaa, että f on surjektio, eli
f (X) = Y (Siis korvataan kuvauksella f ).
Oletetaan siis, että Y = U ∪V , missä U, V ⊆ Y ovat avoimia ja U ∩V = ∅.
Tällöin
f −1 (Y ) = f −1 (U ∪ V ) = f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) = X.
Tässä U ⊆ Y on avoin, joten f −1 (U ) ⊆ X on avoin. Samalla periaatteella
myös f −1 (V ) ⊆ X on avoin. Edelleen
f −1 (U ) ∩ f −1 (V ) = f −1 (U ∩ V ) = f −1 (∅) = ∅.
Kuitenkin aiemmin oletimme, että X on yhtenäinen. Nyt on siis oltava joko
f −1 (U ) = ∅ tai f −1 (V ) = ∅. Tästä seuraa tietenkin, että joko f (f −1 (U )) = ∅
59
tai f (f −1 (V )) = ∅, eli joko U = ∅ tai V = ∅ (koska f on surjektio, niin
f (f −1 (B) = B kaikilla B ⊆ Y ).
Huomataan, että Y :tä ei voi esittää kahden erillisen epätyhjän avoimen
joukon yhdisteenä, joten määritelmän mukaisesti Y on yhtenäinen.
Huomautus. Edellisestä lauseesta seuraa siis, että yhtenäisyys on topologinen ominaisuus, eli jos f : X → Y on homeomorfismi, niin X on yhtenäinen
jos ja vain jos Y on yhtenäinen.
2
Polkuyhtenäisyys
Voimme nyt siirtyä käsittelemään polkuyhtenäisyyttä, joka on käsitteenä
ikään kuin vahvempi versio yhtenäisyydestä. Ensin on määriteltävä mitä tarkoitetaan polulla.
Määritelmä 10.5. Olkoon X topologinen avaruus. Polku on jatkuva kuvaus
α : [0, 1] → X.
Tällöin α(0) on sen alkupiste ja α(1) loppupiste.
Määritelmä 10.6 (Polkuyhtenäisyys). Topologisen avaruuden X sanotaan olevan polkuyhtenäinen, mikäli kaikilla x, y ∈ X on olemassa polku
α : [0, 1] → X
siten, että α(0) = x ja α(1) = y.
Todistamme seuraavaksi joidenkin tuttujen avaruuksien polkuyhtenäisyyden.
Esimerkki. R on polkuyhtenäinen.
Todistus. Valitaan mielivaltaiset x, y ∈ R. Määritellään kuvaus α : [0, 1] → R
asettamalla
α(t) = x + t(y − x).
Analyysin keinoin voidaan osoittaa, että tämä on todella polku, jolle pätee
α(0) = x ja α(1) = y.
Esimerkki. Avoin kuula
B(x, r) := { y ∈ Rn | |y − x| < r }
on polkuyhtenäinen kaikilla x ∈ Rn , r > 0.
Todistus. Olkoon y, z ∈ B(x, r). Määritellään kuvaus α : [0, 1] → B(x, r)
asettamalla
α(t) = y + t(z − y)
60
kaikilla t ∈ [0, 1]. Tällöin
|α(t) − x| = |y + t(z − y) − x|
= |(1 − t)y + tz − (1 − t)x − tx|
= |(1 − t)(y − x) + t(z − x)|
k.e.y.
≤ |(1 − t)(y − x)| + |t(z − x)|
= (1 − t)|y − x| + t|z − x|
< (1 − t)r + tr
= r.
Näin ollen kaikilla t ∈ [0, 1] pätee α(t) ∈ B(x, r), joten α on halutun kaltainen
kuvaus. Lisäksi on helppo todeta, että α(0) = y ja α(1) = z.
Osoitetaan vielä, että kuvaus α on jatkuva. Tätä asiaa helpottaa se, että
lauseen 6.7 nojalla riittää osoittaa, että kuvaus
[0, 1] → Rn , t 7→ α(t)
on jatkuva. Edelleen lauseen 7.4 perusteella voidaan yleistää, että edellä mainittu kuvaus on jatkuva, jos sen komponentit
[0, 1] → R t 7→ yi + t(zi − yi )
ovat jatkuvia. Tämä voidaan nähdä edellisen esimerkin todistuksesta.
Siis α : [0, 1] → B(x, r) on polku, jolla α(0) = y ja α(1) = z. Täten
B(x, r) on polkuyhtenäinen.
Seuraava lause liittyy epäyhtenäisten topologisten avaruuksien yhtenäisiin
aliavaruuksiin. Intuitiivisesti on helppo ymmärtää, että yhtenäinen aliavaruus ei voi ulottua epäyhtenäisessä avaruudessa olevan ”aukon” yli. Nyt siis
todistamme tämän.
Lause 10.7. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoot U, V ∈ X avoimia
joukkoja siten, että X = U ∪ V ja U ∩ V = ∅ (siis X epäyhtenäinen). Jos
aliavaruus A ⊆ X on yhtenäinen, niin A ⊆ U tai A ⊆ V .
Todistus. Nyt koska X = U ∪ V , niin A = (A ∩ U ) ∪ (A ∩ V ). Koska U ja V
ovat avoimia X:ssä, niin A ∩ U ja A ∩ V ovat avoimia A:ssa. Edelleen
(A ∩ U ) ∩ (A ∩ V ) = A ∩ (U
∩ V}) = ∅.
| {z
=∅
Tällöin, koska A on yhtenäinen, niin on oltava joko A ∩ U = ∅ tai A ∩ V = ∅.
Voidaan siis todeta, että koska X = U ∪ V , niin pätee joko A ⊆ U tai
A⊆V.
Kuten aikaisemmin todettiin polkuyhtenäisyys on tavallaan vahvempi versio
yhtenäisyydestä. Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen polkuyhtenäinen avaruus on myös yhtenäinen, mikä todistetaan seuraavaksi.
61
Lause 10.8. Olkoon X topologinen avaruus. Jos X on polkuyhtenäinen,
niin X on yhtenäinen.
Todistus. Olkoon X polkuyhtenäinen topologinen avaruus. Tehdään vastaoletus, että X on epäyhtenäinen. Nyt määritelmän perusteella on olemassa
sellaiset epätyhjät avoimet joukot U, V ⊆ X, että X = U ∪ V ja U ∩ V = ∅.
Koska U, V 6= ∅, niin voidaan valita alkiot x ∈ U ja y ∈ V . Nyt koska
X on polkuyhtenäinen, niin on olemassa polku α : [0, 1] → X, jolle pätee
α(0) = x ja α(1) = y.
Lauseen 10.3 nojalla väli [0, 1] on yhtenäinen. Edelleen lauseen 10.4 perusteella kuva α([0, 1]) on yhtenäinen, koska polku α on jatkuva. Tällöin lauseen
10.7 voidaan todeta, että täytyy olla joko α([0, 1]) ⊆ U tai α([0, 1]) ⊆ V .
Tässä päädytään ristiriitaan, koska nyt y = α(1) ∈ U tai x = α(0) ∈ V .
On siis todettava, että X on yhtenäinen.
Huomautus. Nyt herää väistämättä kysymys, päteekö tämä implikaatio
myös toiseen suuntaan? Toisin sanoen, ovatko yhtenäisyys ja polkuyhtenäisyys ekvivalentteja ominaisuuksia? Näin ei kuitenkaan ole. On nimittäin olemassa sellainen yhtenäinen topologinen avaruus, joka ei ole polkuyhtenäinen.
Emme tässä yhteydessä tutustu tämän avaruuden yksityiskohtiin, vaan toteamme ainoastaan, että tällainen avaruus on mahdollista konstruoida ”topologin sinikäyrän” avulla.
Seuraavaksi todetaan yhtenäisten avaruuksien yhtenäisiä aliavaruuksia koskeva hyödyllinen ominaisuus, joka on tietyssä mielessä myös hyvin intuitiivinen.
Lause 10.9. Olkoon X topologinen avaruus. Jos aliavaruudet A, B ⊆ X
ovat yhtenäisiä, ja lisäksi A∩B 6= ∅, niin aliavaruus A∪B ⊆ X on yhtenäinen.
Todistus. Tehdään vastaoletus, että aliavaruus A∪B ⊆ X on epäyhtenäinen.
Nyt lauseen 10.2 perusteella on olemassa sellainen yhtä aikaa avoin ja suljettu
U ⊆ A ∪ B, että U 6= ∅ ja U 6= A ∪ B.
Nyt koska U 6= ∅, voidaan valita jokin x ∈ U . Koska x ∈ U , niin tietenkin
x ∈ A∪B, eli x ∈ A tai x ∈ B. Oletetaan nyt, että esimerkiksi x ∈ A (tapaus
x ∈ B käsiteltäisiin täsmälleen samalla tavalla). Nyt koska x ∈ A ∩ U , niin
A ∩ U 6= ∅.
Lauseen 6.4 nojalla voidaan todeta, että koska A ⊆ A ∪ B ja U ⊆ A ∪ B
on sekä avoin että suljettu, niin A ∩ U on sekä avoin että suljettu A:ssa.
Oletuksen nojalla A on yhtenäinen, ja lisäksi tiedetään, että A ∩ U 6= ∅,
joten lauseen 10.2 perusteella voidaan todeta, että A ∩ U = A. Nyt siis
erityisesti A ⊆ U . Tällöin
oletus
∅ = A ∩ B ⊆ U,
joten
B ∩ U 6= ∅.
Täten äskeinen päättely voidaan toistaa myös B:lle. Näin ollen pätee B ⊆ U .
Mutta silloin, koska sekä A ⊆ U että B ⊆ U , niin myös A ∪ B ⊆ U . Toisaalta
62
oletettiin, että U ⊆ A ∪ B, joten
U = A ∪ B.
Tämä on ristiriitaista. On siis todettava, että A ∪ B on yhtenäinen.
3
Yhtenäiset komponentit
Tarkastellaan topologista avaruutta X. Määritellään siinä relaatio ∼ asettamalla
x ∼ y ⇔ On olemassa yhtenäinen Cxy ⊆ X siten, että x, y ∈ Cxy
kaikilla x, y ∈ X.
Havaitaan, että ∼ on ekvivalenssirelaatio:
•
x ∼ x: Valitaan Cxx = {x}.
•
x ∼ y ⇒ y ∼ x: Valitaan Cyx = Cxy .
•
x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z: Nyt on olemassa yhtenäiset Cxy , Cyz ⊆ X, missä
x, y ∈ Cxy ja y, z ∈ Cyz .
Siis koska y ∈ Cxy ja y ∈ Cyz , niin Cxy ∩ Cyz 6= ∅. Tällöin lauseen 10.9
nojalla Cxy ∪ Cyz on yhtenäinen. Voidaan siis valita Cxz = Cxy ∪ Cyz .
Merkitään kaikilla x ∈ X:
C(x) := x:n ekvivalenssiluokka.
Saadaan siis X:n ositus. Toisin sanoen:
X=
[
C(x)
x∈X
ja lisäksi kaikilla x, y ∈ X pätee:
C(x) ∩ C(y) 6= ∅ ⇔ C(x) = C(y) ⇔ x ∼ y.
Jokainen topologinen avaruus (yhtenäinen tai epäyhtenäinen) on siis mahdollista jakaa yhtenäisyyttä käyttämällä ekvivalenssiluokkiin.
Lause 10.10. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon x ∈ X. Tällöin
a)
C(x) on yhtenäinen.
b)
Jos C ⊆ X on yhtenäinen ja x ∈ C, niin C ⊆ C(x).
Tällöin
[
C(x) =
C yhtenäinen,
x∈C
63
C.
Todistus. a) Oletetaan, että C(x) = U ∪V , missä U, V ⊆ C(x) ovat avoimia
C(x):ssä ja U ∩ V = ∅. Jos olisi U 6= ∅ ja V 6= ∅, niin olisi olemassa
alkiot y ∈ U ja z ∈ V .
Silloin y, z ∈ C(x), eli x ∼ y ja x ∼ z. Nyt symmetrisyyden ja transitiivisuuden perusteella myös y ∼ z, eli on olemassa yhtenäinen Cyz ⊆ C(x)
siten, että y, z ∈ Cyz .
Tällöin lauseen 10.7 nojalla joko Cyz ⊆ U tai Cyz ⊆ V . Nyt siis y, z ∈ U
tai y, z ∈ V . Edelleen on oltava joko y ∈ U ∩ V tai z ∈ U ∩ V . Tällöin
U ∩ V 6= ∅, mikä on ristiriitaista.
On siis oltava joko U = ∅ tai V = ∅, joten C(x) on yhtenäinen.
b)
Oletetaan, että C ⊆ X on yhtenäinen siten, että x ∈ C. Tällöin jos
y ∈ C, niin x, y ∈ C, eli määritelmän mukaisesti x ∼ y. Näin ollen
y ∈ C(x). Siis C ⊆ C(x).
Todistetaan vielä, että
[
C(x) =
C.
C yhtenäinen,
x∈C
”⊆” Jos C on yhtenäinen siten, että x ∈ C, niin kuten edellä todettiin,
C ⊆ C(x). Joten
[
C ⊆ C(x).
C yhtenäinen,
x∈C
”⊇” Olkoon y ∈ C(x). Tällöin a)-kohdan perusteella C(x) on yhtenäinen,
joten C(x) on yhtenäinen siten, että x ∈ C(x). Siis
[
y∈
C,
C yhtenäinen,
x∈C
eli
[
C(x) ⊆
C.
C yhtenäinen,
x∈C
Määritelmä 10.11. Jos X on topologinen avaruus ja x ∈ X, niin sanotaan,
että C(x) on X:n yhtenäinen komponentti.
Esimerkki. Olkoon X = [0, 1] ∪ [2, 4] ⊆ R. Tällöin
(
C(x) =
[0, 1]
[2, 4]
jos
jos
x ∈ [0, 1]
x ∈ [2, 4]
Todistus. Nyt lauseen 10.3 yleistyksen nojalla [0, 1] ja [2, 4] ovat yhtenäisiä.
Olkoon x ∈ X. Tällöin lauseen 10.10 nojalla C(x) on yhtenäinen. Havaitaan, että
1
3
[0, 1] =] − 1, [ ∩X ja ] , 5[ ∩X
2
2
64
ovat avoimia X:ssä. Täten lauseen 10.7 nojalla joko C(x) ⊆ [0, 1] tai C(x) ⊆
[2, 4]. Mutta nyt lauseen 10.10 nojalla C(x) = [0, 1] tai C(x) = [2, 4].
65
Luku 11
Kompaktisuus
Kompaktisuus on toinen mielenkiintoinen, joskin yhtenäisyydestä lähes täysin erillinen topologisten avaruuksien ominaisuus. Kompaktit topologiset avaruudet käyttäytyvät tietyillä tavoilla, ja niiden ominaisuuksien tutkimiseen
paneudutaankin siksi tässä luvussa lähes syvällisesti. Aloitetaan jälleen määritelmästä.
1
Kompaktit topologiset avaruudet
Määritelmä 11.1. Olkoon X topologinen avaruus. Jos (Ui )i∈I on perhe X:n
avoimia joukkoja siten, että
[
Ui ,
X=
i∈I
niin sanotaan, että perhe (Ui )i∈I on X:n avoin peite. Mikäli on olemassa
äärellinen J ⊆ I siten, että
[
X=
Ui ,
i∈J
Niin perhe (Ui )i∈J on peitteen (UI )i∈I äärellinen osapeite.
Esimerkki. Avoimella peitteellä (Ui )i∈I , missä Ui = X kaikilla i ∈ I, on
äärellinen osapeite (Ui )i∈{i0 } , kun i0 ∈ I.
Määritelmä 11.2. Topologisen avaruuden X sanotaan olevan kompakti, mikäli sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Jos A ⊆ X, niin
joukon A kompaktisuudella tarkoitetaan vastaavan aliavaruuden kompaktisuutta.
Huomautus. Jotta X olisi kompakti, pitää siis todentaan seuraava implikaatio:
(Ui )i∈I mielivaltainen X:n avoin peite
⇒ On olemassa i1 , . . . , in ∈ I siten, että X = U1 ∪ . . . ∪ Un .
66
Tässä vaiheessa saattaa tuntua siltä, että suurin osa meille jo tutuista topologisista avaruuksista ei olekaan kompakteja. Tämä pitääkin paikkansa,
ainakin tavallisimpien topologioiden osalta.
Esimerkki. R varustettuna standarditopologialla ei ole kompakti.
Todistus. Tehdään vastaoletus, että R on kompakti. Tällöin erityisesti R:n
peitteellä (] − n, n[)n∈N on oltava äärellinen osapeite, eli on oltava olemassa
n1 , . . . , np ∈ N siten, että
R = ] − n1 , n1 [ ∪ . . . ∪ ] − np , np [.
Nyt siis R = ] − n, n[, missä n = max{n1 , . . . , np }. Tämä on tietenkin järjetöntä, joten on todettava, että R ei ole kompakti.
Esimerkki. [0, 1[ ⊆ R ei ole kompakti.
Todistus. Havaitaan, että ([0, 1 − n1 [)n>1 on avoin peite, jolla ei ole äärellistä
osapeitettä. Nimittäin:
1
n
•
Valitaan mielivaltainen x ∈ [0, 1[. Nyt x ∈ [0, 1 − n1 [, kun 1 −
1
n > 1−x
. Näin ollen
[
1
[0, 1 − [.
[0, 1[ =
n
n>1
•
Jos olisi [0, 1[ ⊆ [0, 1 − n11 [ ∪ . . . ∪ [0, 1 − n1p [, niin pitäisi tietenkin myös
olla [0, 1[ ⊆ [0, 1 − n1 [, missä n = max{n1 , . . . , np }.
> x, eli
Edellä esitellyt tavanomaiset topologiset avaruudet eivät olleet kompakteja. Tarkastellaan seuraavaksi joitakin tuttuja kompakteja (tietyin oletuksin)
topologisia avaruuksia.
Esimerkki. Olkoon X diskreetti topologinen avaruus. Milloin X on kompakti?
•
Oletetaan ensin, että X on kompakti. Nyt
[
X=
{x},
x∈X
joten perhe ({x})x∈X on X:n avoin peite.
Jos X on kompakti, niin silloin on olemassa alkiot x1 , . . . , xn ∈ X siten,
että X = {x1 } ∪ . . . ∪ {xn } = {x1 , . . . , xn }. Nähdään, että nyt X on
äärellinen.
•
Oletetaan, että X on äärellinen. Olkoon (Ui )i∈I on perhe X:n osajoukkoja. Jos X = {x1 , . . . , xn }, niin ehdosta
X=
[
i∈I
67
Ui
seuraa, että kaikilla k ∈ {1, . . . , n} on olemassa ik ∈ {1, . . . , n} siten,
että xk ∈ Uik .
Täten X = Ui1 ∪ . . . ∪ Uin . Siis X on kompakti.
Olemme siis todistaneet, että diskreetti topologinen avaruus X on kompakti
täsmälleen silloin, kun sen on äärellinen.
Esimerkki. Jos X on varustettu kofiniittisella topologialla, niin X on kompakti.
Todistus. Olkoon (Ui )i∈I X:n avoin peite. Voidaan olettaa, että X 6= ∅. On
siis olemassa i0 ∈ I siten, että X \ Ui0 on äärellinen. Joten on olemassa alkiot
[
x1 , . . . , xn ∈ X siten, että X \ Ui0 = {x1 , . . . , xn }. Tällöin koska X =
Ui ,
i∈I
niin jokaisella k ∈ {1, . . . , n} on olemassa ik ∈ I siten, että xin ∈ Uik . Täten
X \ Ui0 ⊆ Ui1 ∪ . . . ∪ Uin
⇒ X = Ui0 ∪ (X \ Ui0 ) ⊆ Ui0 ∪ . . . ∪ Uin
⇒ X = Ui0 ∪ . . . ∪ Uin .
Näin ollen X on kompakti.
Seuraava lause saattaa vaikuttaa varsin spesifiltä, triviaalilta tai yhdentekevältä, mutta sitä tullaan käyttämään tulevaisuudessa erilaisissa kompaktisuustodistuksissa. Sen merkityst kompaktisuuden tarkastelussa onkin verrattavissa lauseen 10.3 merkitykseen yhtenäisyyden tarkastelussa.
Lause 11.3 (Heine-Borel). Jos a, b ∈ R, missä a < b, niin suljettu väli
[a, b] on kompakti.
Todistus. Olkoon (Vi )i∈I välin [a, b] avoin peite. Merkitään
E := { x ∈ [a, b] | [a, x] ⊆
[
Vi jollakin äärellisellä J ⊆ I }.
i∈J
Nyt koska [a, b] =
[
Vi , niin a ∈ Vi0 jollakin i0 ∈ I. Siis [a, a] ⊆
i∈I
[
Vi ,
i∈{i0 }
joten a ∈ E. Näin ollen E 6= ∅.
Itse asiassa, koska Vi0 on avoin, niin nyt on olemassa sellainen ε > 0, että
]a − ε, a + ε[ ∩ [a, b] ⊆ Vi0 .
Nyt siis [a, a + ε[ ⊆ Vi0 (kun ε < b − a), joten edelleen [a, a + ε[ ⊆ E.
Vedotaan sitten R:n täydellisyysaksioomaan. Sen perusteella on olemassa
c = sup E. Todetaan, että x ≤ b kaikilla x ∈ E, joten myös c ≤ b. Ja koska
[a, a + ε[ ⊆ E, niin on oltava c > a.
Siis koska a < c ≤ b, niin c ∈ Vi0 jollakin i0 ∈ I (ei sama kuin edellä).
Nyt koska Vi0 on avoin, niin on olemassa sellainen ε > 0, jolla pätee
]c − ε, c + ε[ ∩ [a, b] ⊆ Vi0 .
68
Tämän perusteella siis ]c − ε, c] ⊆ Vi0 (kun ε < c − a). Edelleen koska
c = sup E, niin on olemassa x ∈ E siten, että pätee c − ε < x ≤ c, joten on
olemassa indeksit i1 , . . . , in ∈ I siten, että
[a, x] ⊆ Vi1 ∪ . . . ∪ Vin .
Näin ollen
[a, c] ⊆ [a, x] ∪ ]c − ε, c] ⊆ Vi1 ∪ . . . ∪ Vin ∪ Vi0 .
Siis c ∈ E.
Mikäli c = b, niin väite on todistettu. Voiko kuitenkin olla c < b? Näin ei
voi olla, sillä kun [c, c + ε[ ⊆ Vi0 ja lisäksi ε < b − c, niin [c, c + 2ε [ subseteqVi0 .
Näin ollen pitäisi olla c + 2ε ∈ E, mikä on ristiriitaista, koska c = supE. Seuraava lause taas vastaa lausetta 10.4 tässä yhteydessä. Vahvistetaan siis
seuraavaksi se epäily, että kompaktin kuva jatkuvassa kuvauksessa on myös
kompakti.
Lause 11.4. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y
jatkuva kuvaus. Jos X on kompakti, niin samoin on aliavaruus f (X) ⊆ Y .
Todistus. Lauseen 6.7 nojalla myös indusoitu kuvaus f : X → f (X) on jatkuva. Voidaan siis olettaa, että Y = f (X) korvaamalla kuvaus f kuvauksella
f.
Olkoon (Vi )i∈I Y :n avoin peite. Tällöin
Y =
[
Vi ⇒ X = f −1 (Y ) =
i∈I
[
f −1 (Vi ).
i∈I
Koska f on jatkuva, niin alkukuva f −1 (Vi ) on avoin kaikilla i ∈ I. Täten
(f −1 (Vi ))i∈I on X:n avoin peite. Edelleen, koska X on kompakti, niin on
olemassa äärellinen J ⊆ I siten, että
X=
f −1 (Vi ),
[
i∈J
ja edelleen
Y = f (X) =
[
f (f −1 (Vi )).
i∈J
Tässä f on surjetktio, joten f (f
−1
(Vi )) = Vi kaikilla i ∈ J. Siis Y =
[
Vi .
i∈J
Tämä on halutun kaltainen äärellinen osapeite, joten f (X) = Y on kompakti.
Huomautus. Kompaktisuus on siis topologinen ominaisuus: Jos f : X → Y
on homeomorfismi, niin X on kompakti jos ja vain jos Y on kompakti.
Tämä tarkoittaa täsmälleen samaa kuin yhtenäisyyteen liittyen.
Seuraavaksi käytetään kahta edellä esitettyä lausetta erään avaruuden
kompaktisuuden todistamiseen. Tällöin kompaktisuuden todistamisesta tulee
melko paljon helpompaa.
69
Esimerkki. Avaruus S 1 := { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 } on kompakti
lauseiden 11.3 ja 11.4 perusteella, sillä on olemassa homeomorfinen kuvaus
α : [0, 1] → S 1 , t 7→ (cos 2πt, sin 2πt).
Seuraavaksi todistamme joitakin ominaisuuksia kompaktien topologisten avaruuksien aliavaruuksille, aivan kuten teimme yhtenäisyys-luvussakin.
Lause 11.5. Jos X on kompakti topologinen avaruus ja A ⊆ X on suljettu,
niin aliavaruus A on kompakti.
Todistus. Olkoon (Vi )i∈I A:n avoin peite. Tällöin jokainen Vi on avoin A:ssa,
eli kaikilla Vi on olemassa avoin Ui ∈ X siten, että Vi = Ui ∩ A (kun i ∈ I).
Tässä Vi ⊆ Ui kaikilla i ∈ I, joten
A=
[
Vi ⊆
i∈I
[
Ui .
i∈I
Havaitaan, että
X = A ∪ (X \ A) ⊆
[
Ui ∪ (X \ A),
i∈I
| {z }
avoin
eli
X=
[
Ui ) ∪ (X \ A).
i∈I
Tämä on X:n avoin peite, sillä X \ A on avoin joukko, kuten myös joukot
(Ui )i∈I . Täten koska X on kompakti, niin on olemassa äärellinen J ⊆ I siten,
että
[ X=
Ui ∪ (X \ A).
i∈J
Edelleen
A=A∩X
=A∩
[
Ui ∪ (X \ A)
i∈J
=
[
=
[
Ui ∩ A ∪ A ∩ (X \ A)
i∈J
Ui ∩ A
i∈J
=
[
Vi .
i∈J
Huomautus. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A ⊆ X. Jos (Ui )i∈I
on perhe X:n avoimia joukkoja, niin pätee
A⊆
[
Ui ⇔ A =
i∈I
[
Ui ∩ A.
i∈I
Usein sanotaan, että (Ui )i∈I on A:n avoin peite, jos A ⊆
[
i∈I
70
Ui .
Lause 11.6. Jos A ⊆ Rn on kompakti, niin A on rajoitettu (ts. on olemassa
R > 0 siten, että A ⊆ B(0, R), eli |x| < R kaikilla x ∈ A).
Todistus. Nyt Rn =
[
B(0, r), joten A ⊆
r>0
[
B(0, r). Siis (B(0, r))r>0 on
r>0
A:n avoin peite. Tällöin koska A on kompakti, niin on olemassa sellaiset
r1 , . . . , rn > 0, että A ⊆ B(0, r1 ) ∪ . . . ∪ B(0, rn ).
Merkitään R = max{r1 , . . . , rn }. Nyt A ⊆ B(0, R).
Nyt siirrymme hetkeksi tuloavaruuksien pariin. Huomataan, että kompaktisuuden ominaisuus periytyy myös äärellisille tuloavaruuksille. Tämän todistaminen on kuitenkin konstikasta.
Lause 11.7. Jos X ja Y ovat kompakteja topologisia avaruuksia, niin samoin on tuloavaruus X × Y .
Todistus. Olkoon (Wi )i∈I X × Y :n avoin peite. Todistetaan aluksi ns. putkilemma:
Apulause (Putkilemma). Jos x ∈ X, niin on olemassa sen avoin ympäristö Ux ⊆ X ja äärellinen Ix ⊆ I siten, että
[
Ux × Y ⊆
Wi .
i∈Ix
Todistus. Nyt X × Y =
[
Wi . Tästä seuraa, että kaikilla y ∈ Y on olemassa
i∈I
ixy ∈ I siten, että (x, y) ∈ Wixy .
Tällöin Wixy ⊆ X ×Y on avoin , joten tulotopologian määritelmän nojalla
on olemassa avoimet Uxy ⊆ X ja Vxy ⊆ Y siten, että
(x, y) ∈ Uxy × Vxy ⊆ Wxy .
Havaitaan, että
{x} × Y ⊆
[
Uxy × Vxy .
y∈Y
Nyt huomataan, että {x} × Y on homeomorfinen Y :n kanssa ({x} × Y ≈ Y ),
nimittäin kuvaus f : Y → {x} × Y, y 7→ (x, y) on jatkuva bijektio, jonka
käänteiskuvaus g : {x} × Y → Y, (x, y) 7→ y on jatkuva (Lause 7.4, lause
7.3).
Nyt lauseen 11.4 nojalla koska Y on kompakti, niin myös {x} × Y on
kompakti. Täten on olemassa alkiot y1 , . . . , yn ∈ Y siten, että
{x} × Y ⊆
n
[
Uxyi × Vxyi .
i=1
Erityisesti, jos y ∈ Y , niin voidaan valita pari (x, y) ∈ {x} × Y , jolloin
(x, y) ∈ Uxyi × Vxyi ,
71
eli y ∈ Vxyi jollain i ∈ {1, . . . , n}. Siis
n
[
Y =
Vxyi .
i=1
Merkitään
Ux =
n
\
Uxyi
i=1
Ix : = {ixy1 , . . . , ixyn }.
Tällöin
Ux × Y = Ux ×
n
[
Vxyi
i=1
=
⊆
⊆
n
[
i=1
n
[
i=1
n
[
Ux × Vxyi
Uxyi × Vxyi
Wixyi
i=1
=
[
Wi
i∈Ix
Tällöin siis Ux × Y sisältyy äärellisen monen avoimen joukon yhdisteeseen.
Näin apulause on todistettu.
Todistetaan sitten alkuperäinen
väite.
[
Ux . Tällöin koska X on kompakti, niin on oleTodetaan ensin, että
x∈X
massa alkiot x1 , . . . , xm ∈ X siten, että
m
[
X=
Uxj .
j=1
Siis
X ×Y =
⊆
m
[
j=1
m
n
[[
j=1
Eli X × Y =
[
Uxj × Y
Wi
(Putkilemman nojalla)
i=1
Wi .
i∈Ixj ,
j=1,...,n
Palataan hetkeksi konkreettisempien avaruuksien pariin. Todistamme nyt
euklidisten avaruuksien kompakteille aliavaruuksille yleisiä ominaisuuksia.
72
Lause 11.8. Olkoon A ⊆ Rn . Tällöin A on kompakti jos ja vain jos A on
suljettu ja rajoitettu.
Todistus. ” ⇐ ” Todetaan, että koska A on rajoitettu, niin on olemassa R > 0
siten, että A ⊆ B(0, R), eli |x| < R kaikilla x ∈ A. Nyt
R > |x| =
q
x21 + . . . + x2n ≥ |xi |
kaikilla i ∈ {1, . . . , n}. Toisin sanottuna xi ∈] − R, R[ kaikilla i ∈ {1, . . . , n}.
Tällöin
A ⊆ ] − R, R[ × . . . × ] − R, R[
|
{z
}
n kpl.
⊆ [−R, R] × . . . × [−R, R]
|
{z
}
n kpl.
Lauseen 11.3 nojalla suljettu väli [−R, R] on kompakti. Edelleen lauseen 11.7
yleistyksen nojalla tulojoukko [−R, R] × . . . × [−R, R] on kompakti.
Koska lauseen 11.5 perusteella kompaktin avaruuden suljetut joukot ovat
kompakteja, niin A on kompakti. Nimittäin A on tietenkin suljettu aliavaruudessa [−R, R] × . . . × [−R, R], koska se on suljettu Rn :ssä (Lause 6.4).
” ⇒ ” On jo todistettu, että Rn :n kompaktit joukot ovat rajoitettuja
(11.6). A on myös rajoitettu, ja tämä seuraa alla olevasta lauseesta.
Ennen siirtymistä seuraavaan aiheeseen todistetaan vielä muutama yleisemmän tason lause kompaktisuudesta.
Lause 11.9. Olkoon X topologinen avaruus. Jos X on Hausdorff, niin seuraava implikaatio pätee kaikille aliavaruuksille A ⊆ X:
A ⊆ X on kompakti ⇒ A on suljettu.
Todistus. Osoitetaan, että X \ A on avoin.
Riittää todistaa, että jos x ∈ X \ A, niin on olemassa
avoin Ux ⊆ X siten,
[
että x ∈ Ux ⊆ X \ A (nimittäin tällöin X \ A =
Ux ).
x∈X\A
Nyt koska X on Hausdorff, niin jokaisella y ∈ A on olemassa avoimet
Uxy , Vxy ⊆ X siten, että x ∈ Uxy , y ∈ Vxy ja[Uxy ∩ Vxy = ∅.
Koska A on kompakti ja selvästi A ⊆
Vxy , niin on olemassa sellaiset
y∈A
y1 , . . . , yn ∈ A siten, että
A ⊆ Vxy1 ∪ . . . ∪ Vxyn .
Merkitään
Ux := Uxy1 ∩ . . . ∩ Uxyn .
Todetaan, että Ux ⊆ X \ A, eli Ux ∩ A = ∅: Tehdään ensin vastaoletus, että
Ux ∩ A 6= ∅, eli on olemassa y ∈ Ux ∩ A.
73
Mutta koska y ∈ A, niin y ∈ Vxyi jollakin i ∈ {1, . . . , n}. Toisaalta y ∈ Ux ,
joten y ∈ Uxyi . Täten y ∈ Uxyi ∩ Vxyi , mikä on ristiriitaista. On siis oltava
U ⊆ X \ A.
[
Nyt siis X \ A =
Ux , eli se on avoin avoimien yhdiste. Niinpä A on
x∈X\A
suljettu.
Huomautus. Kun merkitään
Vx := Vxy1 ∪ . . . ∪ Vxyn ,
on edellä todettu seuraavat ominaisuudet:
•
A ⊆ Vx .
•
x ∈ Ux .
•
Ux ∩ Vx = ∅.
Tässä Ux ja Vx ovat avoimia. Siis kompakti joukko käyttäytyy aivan kuten
yksittäinen piste!
Lause 11.10. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y
jatkuva bijektio. Jos X on kompakti ja Y on Hausdorff, niin f on homeomorfismi.
Todistus. Pitää osoittaa, että käänteiskuvaus f −1 : Y → X on jatkuva.
Aikaisemmin on osoitettu, että suljetun joukon alkukuva jatkuvassa kuvauksessa on suljettu. Riittää siis todeta, että jos F ⊆ X on suljettu, niin
alkukuva
(f −1 )−1 (F ) ⊆ Y
|
{z
=f (F )
}
on suljettu. Tämä onnistuu, kun todetaan ensin, että lauseen 11.5 perusteella
F on suljettu. Näin ollen lauseen 11.4 nojalla f (F ) on kompakti. Edelleen
siis lauseen 11.9 nojalla f (F ) on suljettu.
Esimerkki. Tarkastellaan aliavaruutta
S 1 := { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 } ⊆ R2 .
Nyt ei ole olemassa jatkuvaa bijektiota S 1 → R.
Todistus. Tehdään vastaoletus, että on olemassa jatkuva bijektio f : S 1 → R.
Nyt saadaan bijektio f : S 1 → f (S 1 ), joka on jatkuva lauseen 6.7 nojalla.
Meillä on siis jatkuva bijektio
f : S 1 → f (S 1 ).
Tässä f (S 1 ) on Hausdorff ja lisäksi lauseen 11.8 nojalla S 1 on kompakti.
Niinpä lauseesta 11.10 seuraa, että f :n täytyy olla homeomorfismi.
74
Olkoon p ∈ S 1 . Nyt lauseen 8.3 perusteella saadaan homeomorfismi
S 1 \ {p} → f (S 1 ) \ {f (p)}.
Lauseen 10.4 nojalla pätee täten, että S 1 \ {p} on yhtenäinen jos ja vain
jos f (S 1 ) \ {f (p)} on yhtenäinen. Tässä on ristiriita, mikäli p voidaan valita
siten, että 1) f (S 1 ) \ {f (p)} on epäyhtenäinen ja 2) S 1 \ {p} on yhtenäinen.
Tarkastellaan tätä mahdollisuutta.
1)
Tiedetään, että f on injektio, joten se ei ole vakiokuvaus. On siis olemassa a, b ∈ f (S 1 ) siten, että a < b.
Nyt f (S 1 ) on yhtenäinen, nimittäin jos valitaan ennestään tuttu kuvaus
α : [0, 1] → S 1 , t 7→ (cos 2πt, sin 2πt), niin pätee S 1 = α([0, 1]). Tällöin
lauseiden 10.3 ja 10.4 perusteella S 1 ja edelleen f (S 1 ) ovat yhtenäisiä.
Jos nyt a < c < b, niin c ∈ f (S 1 ). Valitaan siis p ∈ S 1 siten, että
f (p) = c. Merkitään
U :=] − ∞, c[ ∩(f (S 1 ) \ {c})
V :=]c, ∞[ ∩(f (S 1 ) \ {c}).
Tällöin U, V ⊆ f (S 1 ) ovat avoimia ja epätyhjiä, U ∩ V 6= ∅ ja lisäksi
f (S 1 ) \ {c} = U ∪ V . Näin ollen f (S 1 ) \ {c} on epäyhtenäinen.
2)
Kirjoitetaan p = (cos s0 , sin s0 , missä s0 ∈ [0, 2π]. Jos β on jatkuva
kuvaus
]s0 , s0 + 2π[→ R, s 7→ (cos s, sin s),
niin S 1 \ {p} = β(]s0 , s0 + 2π[). Tällöin lauseen 10.4 nojalla S 1 \ {p} on
yhtenäinen.
Lause 11.11. Olkoon X kompakti topologinen avaruus. Jos f : X → R on
jatkuva kuvaus, niin f :llä on suurin ja pienin arvo. Toisin sanoen on olemassa
x1 , x2 ∈ X siten, että
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 )
kaikilla x ∈ X.
Todistus. Lauseen 11.4 perusteella f (X) ⊆ R on kompakti. Näin ollen lauseen
11.8 nojalla f (X) on suljettu ja rajoitettu. Vetoamme R:n täydellisyysaksioomaan, jolloin näistä seuraa yhdessä, että a := inf f (X) ja b := sup f (X) ovat
olemassa.
Pitää vielä osoittaa, että a, b ∈ f (X), eli että a = f (x1 ) ja b = f (x2 )
joillakin x1 , x2 ∈ X.
Todetaan esimerkiksi, että b = f (x2 ). Tehdään vastaoletus, että b 6∈ f (X).
Nyt siis b ∈ R\f (X). Koska f (X) on suljettu, niin R\f (X) on avoin. Niinpä
täytyy olla olemassa ε > 0 siten, että
]b − ε, b + ε[ ⊆ R \ f (X).
75
Mutta koska b = sup f (X), niin täytyy olla olemassa x ∈ X siten, että
b − ε < f (x) ≤ b. Tällöin pitäisi olla f (x) ∈ R \ f (X), mikä on ristiriitaista.
Siis on todettava, että b = f (x2 ) jollakin x2 ∈ X.
Myös a = f (x1 ) osoitetaan samalla periaatteella.
2
Jonokompaktisuus
Nyt esitellään toinen kompaktisuuteen vahvasti liittyvä käsite, joka liittyy
suppeneviin osajonoihin. Tällaisten suppenevien osajonojen olemassaoloa tarkastelemalla, voidaan tarvittaessa osoittaa avaruuksia jonokompakteiksi.
Määritelmä 11.12. Topologisen avaruuden X sanotaan olevan jonokompakti, mikäli jokaisella sen alkioiden jonolla (xn )n≥1 on suppeneva osajono
(xnk )k≥1 .
Esimerkki. R ei ole jonokompakti. Nimittäin, lukujonolla (n)n≥1 ei ole suppenevaa osajonoa.
Jonokompaktisuudella on merkitystä erityisesti metristen avaruuksien ollessa
kyseessä. Tämä todetaan seuraavaksi.
Lause 11.13. Jos X on metrinen avaruus, niin seuraava ekvivalenssi pätee:
X on kompakti ⇔ X on jonokompakti.
Todistus. Todistetaan vain ” ⇒ ”.
Olkoon (xn )n≥1 jono X:n alkioita. Todistetaan, että on olemassa x ∈ X
siten, että
{ n ≥ 1 | xn ∈ B(x, ε) }
on ääretön kaikilla ε > 0.
Tehdään vastaoletus, että kaikilla x ∈ X on olemassa εx > 0 siten, että
joukko
{ n ≥ 1 | xn ∈ B(x, εx ) }
on äärellinen. Nyt X =
[
B(x, εx ). Nyt on siis löydetty X:n avoin peite.
x∈X
Täten tällä on äärellinen osapeite (koska X kompakti). Toisin sanoen on
olemassa alkiot x1 , . . . , xr ∈ X siten, että
r
[
X=
B(xi , εxi ).
i=1
Tällöin kun n ≥ 1, niin xn ∈ B(xi , εxi ). Joten
n ∈ { n ≥ 1 | xn ∈ B(xi , εxi ) }
⇒ N \ {0} ⊆
r
[
i=1
{ n ≥ 1 | xn ∈ B(xi , εxi ) } .
|
{z
äärellinen
76
}
Nyt siis N \ {0} on äärellinen, mikä on järjetöntä. On siis todistettu, että
{ n ≥ 1 | xn ∈ B(x, ε) } on ääretön kaikilla ε > 0.
Nyt voidaan valita n ≥ 1 siten, että xn ∈ B(x, 1). Tällöin joukko
1
{ n ≥ 1 | xn ∈ B(x, ) }
2
on ääretön. On siis olemassa n2 > n1 siten, että xn2 ∈ B(x, 12 ). Tätä jatkamalla saadaan osajono (xnk )k≥1 siten, että
1
xnk ∈ B(x, )
k
kaikilla k ≥ 1. Siis lim xnk = x.
k→∞
Tämä ekvivalenssi tarkoittaa sitä, että metrisen avaruuden ollessa kyseessä
voidaan todistaa joko kompaktisuus tai jonokompaktisuus, jolloin molemmat
pätevät joka tapauksessa.
Tiedämme ennestään, että reaalilukujen joukko on metrinen avaruus.
Niinpä lauseista 11.13 ja 11.8 seuraa reaalianalyysin peruskursseilta tuttu
Bolzanon–Weierstrassin lause.
Seuraus 11.14 (Bolzanon–Weierstrassin lause). Jos (xn )n≥1 on rajoitettu jono reaalilukuja, niin tällä on suppeneva osajono (xnk )k≥1 .
Todistus. Jono (xn )n≥1 on rajoitettu, joten on olemassa M > 0 siten, että
|xn | ≤ M kaikilla n ≥ 1. Toisin sanoen, xn ∈ [−M, M ] kaikilla n ≥ 1.
Nyt lauseen 11.8 perusteella [−M, M ] on kompakti. Täten lauseen 11.13
nojalla [−M, M ] on jonokompakti, joten suppeneva osajono on olemassa. Esimerkki. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Kuvaus f : X → X on isometria, mikäli
d(x, y) = d(f (x), f (y))
kaikilla x, y ∈ X.
Jos X on kompakti, niin jokainen isometria f : X → X on surjektio.
Todistus. Tehdään vastaoletus, että f ei ole surjektio, eli f (X) 6= X. Nyt on
siis olemassa x ∈ X \ f (X).
Havaitaan, että f on jatkuva: Olkoon y0 ∈ X. Nyt
d(f (y), f (y0 )) = d(y, y0 ) < ε,
kun d(y, y0 ) < ε.
Nyt lauseen 11.4 perusteella f (X) on kompakti.
Tiedetään, että X on Hausdorff. Täten lauseen 11.9 nojalla f (X) on
suljettu, eli X \ f (X) on avoin.
On siis olemassa r > 0 siten, että B(x, r) ⊆ X \ f (X). Määritellään jono
(xn )n≥1 X:n alkioita siten, että x1 = x ja xn+1 = f (xn ) kaikilla n ≥ 1.
77
Tässä f (xn ) ∈ f (X) kaikilla n > 1. Tästä seuraa, että d(x, xn ) ≥ r
kaikilla n > 1. Toisin sanoen, d(x1 , xn ) ≥ r. Siis d(x2 , xn+1 ) ≥ r ja edelleen
d(x3 , xn+2 ) ≥ r, ja yleisesti
d(xl , xn+l−1 ) ≥ r
kaikilla l ≥ 1, n > 1.
Siis
d(xm , xn ) ≥ r
kaikilla m, n ≥ 1, m 6= n.
Nyt lauseen 11.13 nojalla on olemassa osajono (xnk )k≥1 siten, että
lim xnk = a,
k→∞
missä a ∈ X. Tällöin on olemassa K siten, että kun k ≥ K, niin d(xnk , a) < 21 .
Siis kaikilla k, l ≥ K pätee:
k.e.y.
d(xnk , xnl ) ≤ d(xnk , a) + d(a, xnl )
r r
< +
2 2
= r,
mikä on ristiriitaista. Todetaan siis, että f on surjektio.
78
Luku 12
Tekijäavaruudet
Seuraavaksi ryhdymme tarkastelemaan sellaisia topologisia avaruuksia, jotka
muodostetaan olemassaolevista avaruuksista tietynlaisten ekvivalenssirelaatioiden avulla. Tätä voidaan konkretisoida esimerkiksi kuvittelemalla pisteiden yhteenliimausta.
Havainnollistetaan tätä ajatusta seuraavalla esimerkillä: Me haluamme
muokata välistä [0, 1] ympyrän kehän S 1 , samaistamalla tai ”liimaamalla
yhteen” pisteet 0 ja 1. Täsmällisemmin sanottuna, määritellään joukossa [0, 1]
ekvivalenssirelaatio ∼ siten, että sen ekvivalenssiluokat ovat
{x} (0 < x < 1)
ja
{0, 1}.
Nyt tavoitteena on määritellä uusi topologinen avaruus siten, että tämä ekvivalenssiluokkien joukko on itse asiassa sama kuin S 1 .
Aloitetaan kertaamalla hieman ekvivalenssirelaatioiden ominaisuuksia.
1
Kertausta
Määritelmä. Olkoon X joukko ja olkoon ∼ ekvivalenssirelaatio X:ssä. Merkitään kaikilla x ∈ X
[x] := { y ∈ X | y ∼ x }.
Tällöin [x] = [x0 ] jos ja vain jos x ∼ x0 kaikilla x, x0 ∈ X.
Määritelmä. Edelleen kokoelma P joukon X osajoukkoja on sen ositus,
mikäli
•
X=
[
P.
P ∈P
•
P 6= ∅ kaikilla P ∈ P.
•
Jos P1 , P2 ∈ P, niin P1 ∩ P2 6= ∅ ⇔ P1 = P2 .
Nyt siis joukon X ekvivalenssirelaatiot ovat myös sen osituksia, ja myös toisinpäin. Nimittäin
79
•
Olkoon ∼ joukon X ekvivalenssirelaatio. Tällöin P = { [x]∼ | x ∈ X }
on sen ositus.
•
Olkoon P joukon X ositus. Määritellään ekvivalenssirelaatio ∼ X:ssä
asettamalla
x ∼ y ⇔ on olemassa P ∈ P siten, että x, y ∈ P
kaikilla x, y ∈ X. Tämä on todellakin ekvivalenssi, nimittäin
–
Jos x ∈ X, niin
X=
[
P ⇒ x ∈ P jollakin P ∈ P
P ∈P
⇒ x, x ∈ P
⇒ x ∼ x.
–
Jos x ∼ y, niin tietenkin y ∼ x.
–
Olkoon x, y, z ∈ X siten, että x ∼ y ja y ∈ z. Nyt
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
on olemassa P1 , P2 ∈ P siten, että x ∼ y, y ∼ z
y ∈ P1 ∩ P2
P1 ∩ P2 6= ∅
P1 = P2
x ∼ y.
Merkitään nyt X:n ekvivalenssiluokkien joukkoa seuraavasti:
X/ ∼ = { [x] | x ∈ X }.
Tällöin voidaan konstruoida kuvaus, jota kutsutaan kanoniseksi surjektioksi:
p : X → X/ ∼,
x 7→ [x]
Tässä siis jokainen piste kuvautuu ekvivalenssiluokalleen ∼:ssä. Olkoon nyt
X topologinen avaruus.
Ongelma: Voidaanko joukko X/ ∼ varustaa topologialla siten, että kanoninen surjektio p : X → X/ ∼ on jatkuva? Mikä on hienoin tällainen
topologia?
Jos T on tällainen topologia, niin on joukon p−1 (V ) on oltava avoin aina
kun V ∈ T . Merkitään
T := { V ⊆ X/ ∼| p−1 (V ) ⊆ X on avoin }.
Lause. T on joukon X/ ∼ topologia.
80
Todistus. T1: Koska p−1 (X/ ∼) = X ja p−1 (∅) = ∅, niin X/ ∼, ∅ ∈ T .
T2: Jos Vi ∈ T (i ∈ I), niin p−1
[
Vi =
i∈I
[
p−1 (Vi ), joten
i∈I
[
Vi ∈ T .
i∈I
T3: Jos V1 , . . . , Vn ∈ T , niin
p−1 (V1 ∩ . . . ∩ Vn ) = p−1 (V1 ) ∩ . . . ∩ p−1 (Vn )
missä p−1 (Vi ) on avoin X:ssä kaikilla i ∈ I, ja näin ollen V1 ∩. . .∩Vn ∈ T .
Huomautus. Jos V ⊆ X/ ∼, niin p−1 (V ) =
[
[x] (yhdiste ekvivalenssi-
[x]inV
luokista, joita V sisältää). Nimittäin
•
Jos x[
∈ p−1 (V ), niin [x] = p(x) ∈ V . Tällöin, koska x ∈ [x], niin myös
x∈
[x].
[x]∈V
•
Jos [x] ∈ V , niin p(x) ∈ V , joten edelleen x ∈ p−1 (V ). Tällöin
y ∈ [x] ⇒
⇒
⇒
⇒
2
y∼x
[y] = [x]
p(y) = p(x) ∈ V
y ∈ p−1 (V ).
Tekijätopologiat
On siis lähdettävä määrittelemään topologioita ekvivalenssirelaatioiden avulla määritellyille joukoille kanonisten surjektioiden kautta. Tämä saattaa vaikuttaa kehäpäätelmältä, mutta sen avulla päädytään itse asiassa hienosti
toimivaan topologiaan.
Määritelmä 12.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon ∼ ekvivalenssirelaatio. Edellämainittua joukon X/ ∼ topologiaa T sanotaan sen tekijätopologiaksi relaation ∼ suhteen. Tällä topologialla varustettuna X/ ∼ on
tekijäavaruus.
Huomautus. Tekijätopologia on hienoin sellainen joukon X/ ∼ topologia,
että kanoninen surjektio p : X → X/ ∼ on jatkuva.
Esimerkki. Merkitään X = [0, 1] ⊆ R. Tarkastellaan tekijäavaruutta X/ ∼,
missä ∼ vastaa X:n ositusta {x} (0 < x < 1), {0, 1}. Tällöin
•
V := { [x] | 0 ≤ x < 41 tai 34 < x ≤ 1 } on avoin. Nimittäin alkukuva
p−1 (V ) = [0, 14 [ ∪ ] 43 , 1] ⊆ [0, 1] on avoin X:ssä.
81
•
V 0 := { [x] | 0 ≤ x < 14 } ei ole avoin, sillä p−1 (V ) = [0, 14 [ ∪ {1} ⊆ [0, 1]
ei ole avoin X:ssä ({1} suljettu).
Tässä avaruudessa siis avoimet välit ympyrän kehällä ovat avoimia, mutta
puoliavoimet eivät ole.
Tekijätopologian määritelmästä seuraa joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia jatkuvien kuvausten suhteen, joita käsitellään seuraavaksi.
Lause 12.2. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon ∼ ekvivalenssirelaatio
X:ssä. Jos Y on topologinen avaruus ja g : X/ ∼→ Y kuvaus, niin g on
jatkuva jos ja vain jos yhdistetty kuvaus g ◦ p : X → Y on jatkuva.
Todistus. ” ⇒ ” Oletetaan, että kuvaus g on jatkuva. Tiedetään, että kanoninen surjektio p : X → X/ ∼ on jatkuva. Täten lauseen 2.4 nojalla yhdistetty
kuvaus g ◦ p on jatkuva.
” ⇐ ” Oletetaan, että kuvaus g ◦ p : X → Y on jatkuva. Olkoon V ⊆ Y
avoin. Onko nyt g −1 (V ) ⊆ X/ ∼ avoin? Nyt p−1 (g −1 (V )) = (g ◦p)−1 (V ) ⊆ X
on avoin, koska g ◦ p on jatkuva.
On helppo päätellä, että tämä ominaisuus helpottaa joidenkin homeomorfisuustodistusten käsittelyä. Tarkastellaan tätä ominaisuutta esimerkillä.
Esimerkki. Merkitään X = [0, 1]. Olkoon relaatio ∼ joukon X osituksen
{x} (0 < x < 1), {0, 1} määräämä ekvivalenssirelaatio. Osoitetaan, että
avaruudet X/ ∼ ja S 1 ⊆ R2 ovat homeomorfiset. Tässä
S 1 := { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 }.
Tarvitaan kuvaus g : X/ ∼→ S 1 . Meillä on kuvaus
f : [0, 1] → S 1 ,
t 7→ (cos 2πt, sin 2πt).
Tämä indusoi kuvauksen
g : [0, 1]/ ∼→ S 1 ,
[t] 7→ (cos 2πt, sin 2πt).
Nimittäin, jos [t] = [s], niin silloin joko t = s tai {t, s} = {0, 1}, jolloin
selvästi cos 2πt = cos 2πs ja sin 2πt = sin 2πs. Tämä kuvaus on bijektio,
nimittäin se on selvästi surjektio, ja lisäksi jos g([s]) = g([t]), niin silloin
cos 2πt = cos 2πs ja sin 2πt = sin 2πs, jolloin joko s = t tai {t, s} = {0, 1},
joten [s] = [t], eli g on injektio.
Todistetaan vielä tämä kuvaus homeomorfismiksi. Käytetään lausetta
11.10. Nyt lauseen 11.3 perusteella väli [0, 1] on kompakti. Siispä lauseen
11.4 nojalla kuva p([0, 1]) = X/ ∼ on kompakti, sillä kanoninen surjektio on
tietenkin surjektio.
Toisaalta tiedetään, että avaruus R2 on Hausdorff, joten myös aliavaruus
1
S on Hausdorff.
Näin ollen lauseen 11.10 perusteella jatkuva bijektio g : X/ ∼→ S 1 on
homeomorfismi.
82
Seuraavat kaksi lausetta, joista jälkimmäin on selvästi vahvempi, osoittautuvat myöhemmin erittäin hyödyllisiksi homeomorfismitarkasteluissa sekä
muissa jatkuvien kuvausten tarkasteluissa.
Lause 12.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon ∼ ekvivalenssirelaatio
X:ssä. Jos Y on topologinen avaruus ja f : X → Y kuvaus, jolle pätee
implikaatio
[x] = [x0 ] ⇒ f (x) = f (x0 ),
niin on olemassa yksikäsitteinen jatkuva kuvaus f : X/ ∼→ Y siten, että
f = f ◦ p.
Todistus. Yksikäsitteisyys: Jos x ∈ X, niin f ([0]) (oletetaan, että f on olemassa), siis
f ([0]) = f (p(x)) = (f ◦ p)(x) = f (x).
Olemassaolo: Määritellään kuvaus f : X/ ∼→ Y asettamalla f ([x]) = f (x).
Tämä on mielekästä, sillä oletuksen mukaan kun [x] = [x0 ], niin f (x) = f (x0 )
kaikilla x, x0 ∈ X. Nyt tietenkin f ◦ p = f . Todetaan vielä, että f on jatkuva
joten koska f ◦ p = f , niin lauseen 12.2 nojalla kuvaus f on jatkuva.
Lause 12.4. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon ∼ ekvivalenssirelaatio
X:ssä. Jos Y on topologinen avaruus ja f : X → Y jatkuva surjektio, jolle
pätee ekvivalenssi
[x] = [x0 ] ⇔ f (x) = f (x0 ),
kaikilla x, x0 ∈ X, niin f : X/ ∼→ Y on jatkuva bijektio. Se on homeomorfismi, mikäli X on kompakti ja Y on Hausdorff (riittävä ehto).
Todistus. Lauseen 12.3 nojalla kuvaus f on jatkuva. Todetaan, että f on
bijektio:
•
Tässä f ([x]) = f (x) kaikilla x ∈ X, joten koska f on surjektio, niin
myös f on surjektio.
•
Jos x, x0 ∈ X, niin pätee
f ([x]) = f ([x0 ])
⇒
f (x) = f (x0 )
oletus
⇒
[x] = [x0 ].
Siis f on injektio.
Nyt jos X on kompakti, niin lauseen 11.4 nojalla myö p(X) = X/ ∼ on
kompakti. Jos nyt Y on Hausdorff, niin lauseen 11.10 nojalla jatkuva bijektio
f : X/ ∼→ Y on homeomorfismi.
Näiden lauseiden merkitys ei ehkä avaudu suoraan tekstistä, joten lienee
tarpeellista havainnolistaa näitä periaatteita muutamien esimerkkien kautta.
Tarkastellaan joitakin erilaisia tekijätopologioita je kuvauksia.
83
Esimerkki. Tarkastellaan tuloavaruuden [0, 1] × [0, 1] ⊆ R2 ositusta
{(x, 0), (x, 1)} (0 < x < 1),
{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},
{(x, y)} (0 < x < 1, 0 < y < 1)
vastaavaa ekvivalenssirelaatiota ∼. Osoitetaan, että
[0, 1] × [0, 1]/ ∼ ≈
S 1 × S 1.
Todistus. Määritellään kuvaus f : [0, 1] × [0, 1] → S 1 × S 1 asettamalla
f (s, t) = ((cos 2πs, sin 2πs), (cos 2πt, sin 2πt)).
Tämä on selvästi jatkuva.
Havaitaan nyt, että





cos 2πs1
sin 2πs1
f (s1 , t1 ) = f (s2 , t2 ) ⇔

cos 2πt1



sin 2πt1
(
⇔
s1 = s2
t1 = t2
=
=
=
=
cos 2πs2
sin 2πs2
cos 2πt2
sin 2πt2
tai
tai
|s1 − s2 | = 1
|t1 − t2 | = 1
⇔ (s1 , t1 ) ∼ (s2 , t2 ).
Tietenkin f on surjektio. Käytetään nyt lausetta 12.4. Todetaan nyt siis, että
koska lauseen 11.3 nojalla väli [0, 1] on kompakti, niin lauseen 11.7 nojalla
tuloavaruus [0, 1] × [0, 1] on kompakti. Lisäksi tiedetään, että tuloavaruus
S 1 × S 1 ⊆ R2 × R2 = R4 on Hausdorff.
Täten kuvaus f : [0, 1] × [0, 1]/ ∼→ S 1 × S 1 on homeomorfismi.
Esimerkki. Tarkastellaan tuloavaruuden [0, 1] × [0, 1] ositusta
{(0, y), (1, 1 − y)} (0 ≤ y ≤ 1),
{(x, y)} (0 < x < 1, 0 ≤ y ≤ 1)
vastaavaa ekvivalenssirelaatiota ∼. Saadaan Möbiuksen nauha [0, 1]×[0, 1]/ ∼.
Edelleen osituksella
{(0, y), (1, 1 − y)} (0 < y < 1),
{(x, 0), (x, 1)} (0 < x < 1),
{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},
{(x, y)} (0 < x < 1, 0 < y < 1)
saadaan aikaan ns. Kleinin pullo [0, 1] × [0, 1]/ ∼.
84
Esimerkki. Tarkastellaan lähemmin ositusta
{(0, y), (1, 1 − y)} (0 < y < 1),
{(x, 0), (x, 1)} (0 < x < 1),
{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},
{(x, y)} (0 < x < 1, 0 < y < 1).
Tämä on reaalinen projektiivinen taso [0, 1] × [0, 1]/ ∼=: P2 (R).
Yleisemmin: Projektiivinen avaruus Pn (R): Määritellään jossain avaruudessa Rn+1 \ {0} relaatio ∼ siten, että x ∼ y jos ja vain jos on olemassa
0 6= λ ∈ R siten, etty y = λx. Tämä on ekvivalenssirelaatio:
•
Koska x = 1 · x, niin x ∼ x.
•
Jos x ∼ y, niin y = λx, missä λ 6= 0. Tällöin x = λ1 y, joten y ∼ x.
•
Jos x ∼ y ja y ∼ z, niin y = λx ja z = µy, missä λ, µ ∈ R. Tällöin
z = (λµ)x, joten x ∼ z.
Jos x ∈ Rn+1 \ {0}, niin
[x] = { y ∈ Rn+1 \ {0} | y = λx jollakin 0 6= λ ∈ R },
mikä on Rn+1 :n origon kautta kulkeva suora, poislukien origo. Merkitään
nyt Pn (R) := Rn+1 \ {0}/ ∼ (n-ulotteinen projektiivinen avaruus, eli n + 1ulotteisen origon kautta kulkevien suorien joukko).
Millainen on siis projektiivinen taso P1 (R)? (HT.)
2
Esimerkki. Osoitetaan, että B / ∼≈ S 2 , missä
2
B := { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1 }
ja
S 2 := { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1 }
2
ja ekvivalenssirelaatio ∼ vastaa B :n ositusta
{(x, y)} (x2 + y 2 < 1),
q
q
{(− 1 − y 2 , y), ( 1 − y 2 , y)} (0 ≤ y ≤ 1).
Todistus. Edellä mainittu ositus voidaan visualisoida sellaisena suljetun kiekon ”liimauksena”, missä saman y-koordinaatin omaavat kehäpisteet liimataan yhteen. Tavoitteena on siis osoittaa, että tällaisella operaatiolla luotu
uusi avaruus on homeomorfinen pallopinnan kanssa.
2
Tarvitaan jatkuva surjektio B → S 2 . Ideana tässä on taivuttaa kiekon
kehäpisteiden A ja B välinen jana AB, missä
q
A = (− 1 − y 2 , y)
ja
85
q
B = ( 1 − y 2 , y)
pallon S 2 leveysympyräksi seuraavalla tavalla: Koska janalla AB pätee
q
− 1 − y2 ≤ x ≤
niin pätee suhde
−π ≤ √
q
1 − y2,
πx
≤ π.
1 − y2
2
Määritellään siis kuvaus f : B → S 2 asettamalla
 √
√
2
√πx , 1 − y 2 sin √πx , y),


2
2
 ( 1 − y cos
f (x, y) =









1−y
2
1−y
kun (x, y) ∈ B \ {(0, −1), (0, 1)}
(0, 0, 1), kun (x, y) = (0, 1)
(0, 0, −1), kun (x, y) = (0, −1)
2
Todetaan, että f on jatkuva jokaisessa pisteessä (x, y) ∈ B :
2
•
Tapaus (x, y) ∈ B \ {(0, −1), (0, 1)} on selvä. Voidaan nimittäin tarkas2
tella kuvausta B \ {(0, −1), (0, 1)} → R3 ja edelleen sen komponentteja
2
B \ {(0, −1), (0, 1)} → R.
•
Tapaus (x, y) = (0, ±1): Olkoon ε > 0. Nyt
|f (x, y) − f (0, ±1)| = |f (x, y) − (0, 0, ±1)|
s q
2 q
2
πx
πx
2 sin √
+
−
0
−
0
1
−
y
1 − y2
1 − y2
s
πx
2 √ πx
= (1 − y 2 ) cos2 √
+
sin
+ (y ± 1)
1 − y2
1 − y2
=
1 − y 2 cos √
q
= (1 − y 2 )(y ± 1)2 → 0, kun (x, y) → (0, ±1).
|
{z
jatkuva
}
Osoitetaan sitten, että f on surjektio. Olkoon (u, v, w) ∈ S 2 . Onko nyt ole2
massa sellaista (x, y) ∈ B , että f (x, y) = (u, v, w)?
Jos (u, v, w) ∈ {(0, 0, −1), (0, 0, 1)}, niin asia on selvä. Oletetaan siis, että
(u, v, w) 6= (0, 0, ±1). Merkitään y = w. Tällöin
(u, v, w) ∈ S 2 ⇒ u2 + v 2 + w2 = 1
⇒ u2 + v 2 = 1 − y 2
Tällöin on olemassa α ∈ [−π, π] siten, että
(
√
u = √ 1 − y 2 cos α
v = 1 − y 2 sin α
86
Merkitään x =
√
1 − y 2 απ . Nyt
q
−π ≤ α ≤ π ⇒ − 1 −
⇒ |x| ≤
q
≤x≤
y2
q
1 − y2
1 − y2
⇒ x2 + y 2 ≤ 1
⇒ (x, y) ∈ B
2
2
Edelleen, koska (u, v, w) 6= (0, 0, ±1), niin pätee (x, y) ∈ B \{(0, −1), (0, 1)}.
Siis
f (x, y) =
q
1 − y 2 cos √
q
πx
πx
2 sin √
1
−
y
,
,
y
= (u, v, w).
1 − y2
1 − y2
Selvitetään, milloin f (x, y) = f (x0 , y 0 ). Todetaan, että koska
2
f (B \ {(0, −1), (0, 1)}) ⊆ S 2 \ {(0, 0, −1), (0, 0, 1)}
ja lisäksi f (0, ±1) = (0, 0, ±1), niin voidaan olettaa, että
2
(x, y) ∈ B \ {(0, −1), (0, 1)}.
Tällöin
0
0
f (x, y) = f (x , y ) ⇔





√
√
1 − y 2 cos √πx
1−y 2
1−
y2
sin




y = y0

πx

 cos √
⇔






⇔
⇔


1−y 2
sin
√πx
1−y 2
0
√πx
1−y 2
√
=
=
√
0
1 − y 02 cos √πx
1−
y 02
sin
1−y 02
0
πx
√
1−y 02
0
= cos √πx
= sin
1−y 2
0
πx
√
1−y 2
y=y
√πx
1−y 2
0
=
0
√πx
1−y 02
√πx ,
1−y 2
n
−
tai

y=y
(
x = x0 tai {x, x0 } =
y = y0
0
√πx
1−y 2
= {−π, π}
o
√
√
1 − y2, 1 − y2
⇔ (x, y) ∼ (x0 , y 0 )
2
Nyt voidaan käyttää lausetta 12.4, koska lauseen 11.8 nojalla B on kompakti
ja lisäksi tiedetään, että S 2 ⊆ R3 n on Hausdorff. Voidaan siis todeta, että
2
kuvaus f : B / ∼→ S 2 on homeomorfismi.
Tutustutaan vielä kursorisesti siihe, mitä tapahtuu kun kokonainen aliavaruus luhistetaan yhdeksi pisteeksi.
87
Määritelmä 12.5. Olkoon X topologinen avaruus ja A ⊆ X aliavaruus.
Tarkastellaan X:n ositusta
A, {x}, x ∈ X \ A
vastaavaa ekvivalenssirelaatiota ∼. Näin saadaan tekijäavaruus X/ ∼. Sanotaan, että edellä mainittu tekijäavaruus X/ ∼ on saatu luhistamalla aliavaruus A pisteeksi. Merkitään
X/ ∼=: X/A.
Esimerkki. Tiedetään, että [0, 1]/{0, 1} ≈ S 1 .
Esimerkki. Millainen on R/Z? (HT.)
On huomioitava, että tässä R/Z ei ole algebrasta tuttu R/Z!
3
Samaistuskuvaukset
Tässä vaiheessa on paikallaan tutustua erääseen jatkuvien kuvausten erikoistyyppiin, eli samaistuskuvauksiin. Aloitetaan määritelmästä.
Määritelmä 12.6. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X →
Y jatkuva surjektio. Sanotaan, että f on samaistuskuvaus, mikäli kaikilla
V ⊆ Y pätee:
f −1 (V ) ⊆ X avoin ⇒ V ⊆ Y avoin.
Huomautus. Samaistuskuvauksen määritelmään kuuluu, että f on jatkuva.
Tiedetään, että tällöin alkukuva f −1 (V ) ⊆ X on avoin kaikilla avoimilla
V ⊆ Y . Edellä olevassa määritelmässä voitaisiin siis yhtä hyvin kirjoittaa
ekvivalenssi:
f −1 (V ) ⊆ X avoin ⇔ V ⊆ Y avoin.
Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon ∼ ekvivalenssirelaatio
X:ssä. Tällöin kanoninen surjektio p : X → X/ ∼ on samaistuskuvaus.
Nimittäin, tekijätopologian määritelmän perusteella V ⊆ X/ ∼ on avoin
täsmälleen silloin kun p−1 (V ) ⊆ X on avoin.
Esimerkki. Olkoon X diskreetti topologinen avaruus ja olkoon Y ei-diskreetti
topologinen avaruus. Jos f : X → Y on surjektio, niin f on jatkuva, mutta
ei samaistuskuvaus.
Tässä f :j jatkuvuuden osoittaminen on triviaalia. On kuitenkin varmasti
olemassa sellainen V ⊆ Y , että V ei ole avoin. Kuitenkin f −1 (V ) ⊆ X on
oletuksen nojalla avoin.
Seuraavat lauseet liittyvät siihen, miten samaistuskuvauksia voidaan hyödyntää. Kuten arvata saattaa, tämäkin asia liittyy homeomorfismitodistuksiin.
88
Lause 12.7. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y
jatkuva surjektio. Jos pätee
a)
U ⊆ X avoin ⇒ f (U ) ⊆ Y avoin (eli f on avoin kuvaus)
TAI
b)
F ⊆ X suljettu ⇒ f (F ) ⊆ Y suljettu (eli f on suljettu kuvaus)
niin f on samaistuskuvaus.
Todistus. a) Olkoon V ⊆ Y siten, että f −1 (V ) ⊆ X on avoin. Tällöin,
koska f on avoin kuvaus, niin f (f −1 (V )) ⊆ Y on avoin. Edelleen, koska
f on surjektio, niin V = f (f −1 (V )).
Siis V ⊆ Y on avoin.
b)
Olkoon V ⊆ Y siten, että f −1 (V ) ⊆ X on avoin. Tällöin
f −1 (Y \ V ) = f −1 (Y ) \ f −1 (V ) = X \ f −1 (V )
on suljettu. Nyt koska f on suljettu kuvaus, niin f (f −1 (Y \ V )) ⊆ Y on
suljettu. Edelleen, koska f on surjektio, niin f (f −1 (Y \ V )) = Y \ V .
Siis Y \ V on suljettu ja V on avoin.
Samaistuskuvausten avulla homeomorfisuuden todistamisesta saadaan hieman vähemmän työläs operaatio. Selvitetään aiempaa määrittelyä muistuttavan tapauksen avulla, miten tämä voidaan tehdä.
Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y jatkuva
surjektio. Määritellään ekvivalenssirelaatio ∼ asettamalla
x 1 ∼ x2
⇔
f (x1 ) = f (x2 ) (x1 , x2 ∈ X).
Nyt lauseen 12.3 nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen kuvaus f , että
f : X/ ∼→ Y
f ◦ p = f,
ja
eli
f ([x]) = f (x) (x ∈ X)
Lisäksi koska f on jatkuva ja f on surjektio, niin myös f on surjektio. Tällöin
lauseen 12.4 todistuksessa esitetyn nojalla myös f on injektio, eli tällöin f
on bijektio.
On siis todettu, että on olemassa sellainen yksikäsitteinen jatkuva bijektio
f : X/ ∼→ Y , että f ◦ p = f .
Lause 12.8. Edellä mainittuja merkintöjä käyttäen f on homeomorfismi
täsmälleen silloin kun se on samaistuskuvaus.
89
Todistus. ” ⇒ ” On jo todettu, että f on jatkuva bijektio. Pitää vielä osoittaa,
−1
että käänteiskuvaus f : Y → X/ ∼ on jatkuva.
−1
Olkoon U 0 ⊆ X/ ∼ avoin. Onko tällöin alkukuva (f )−1 (U 0 ) ⊆ Y avoin?
−1
Ensinnäkin (f )−1 (U 0 ) = f (U 0 ). Havaitaan, että
f −1 (f (U 0 )) = (f ◦ p)−1 (f (U 0 ))
−1
= p−1 (f (f (U 0 )))
= p−1 (U 0 ).
Tällöin, koska U 0 ⊆ X/ ∼ on avoin, niin tekijätopologian määritelmän
perusteella alkukuva p−1 (U 0 ) ⊆ X on avoin. Siis alkukuva f −1 (f (U 0 )) ⊆ X
on avoin, joten koska f on samaistuskuvaus, niin myös f (U 0 ) ⊆ Y on avoin.
” ⇐ ” Olkoon V ⊆ Y siten, että f −1 (V ) ⊆ X on avoin. Onko tällöin V
avoin? Nyt
f −1 (V ) = (f ◦ p)(V )
= p−1 (f
−1
(V ))
Nyt tekijätopologian määritelmän perusteella
f −1 (V ) = p−1 (f
−1
(V ))
⇒
f (V ) ⊆ X/ ∼ on avoin.
−1
−1
Mutta koska f on homeomorfismi, niin (f )−1 (f (V )) ⊆ Y on avoin. Toisin
−1
sanoen f (f (V )) ⊆ Y on avoin. Nyt koska f on surjektio, niin tietenkin
−1
pätee f (f (V )) = V . On siis todistettu, että V on avoin.
90
Luku 13
Äärettömät tuloavaruudet
Tässä luvussa käsitellään äärettömän joukon topologisia avaruuksia yhdistämistä yhdeksi topologiseksi avaruudeksi. Lopuksi esitellään topologiassa
merkittävä tulos, niinsanottu Tihonovin lause. Aloitetaan peruskäsitteiden
määrittelyllä.
1
Johdanto
Olkoot X1 , . . . , Xn joukkoja. Näiden karteesinen tulo on
X1 × . . . × Xn = { (x1 , . . . , xn ) | xi ∈ Xi (i = 1, . . . , n) }.
Tässä (x1 , . . . , xn ) on jono, tai toisalta
(x1 , . . . , xn ) := kuvaus f : {1, . . . , n} →
n
[
Xi
i=1
siten, että xi = f (i) ∈ Xi (i = 1, . . . , n).
Olkoon (Xi )i∈I perhe joukkoja. Tämän karteesinen tulo
Y
Xi
i∈I
koostuu kuvauksista
[
f :I→
Xi
i∈I
siten, että f (i) ∈ Xi kaikilla i ∈ I.
Merkitään:
xi := f (i) kaikilla i ∈ I
ja
(xi )i∈I := f.
Esimerkki. Huomataan, että
(xi )i∈{1,...,n} = (x1 , . . . , xn ).
Ja edelleen
(xi )i∈N = (x0 , x1 , x2 , . . .).
91
Voidaan siis muotoilla yleistys:
Y
Xi := { (xi )i∈I | xi ∈ Xi (i ∈ I) }.
i∈I
Nyt voidaan päätellä joukko-opin valinta-aksiooman perusteella, että jos jokainen joukko Xi on epätyhjä, myös niiden karteesinen tulo on epätyhjä.
Formaalisti:
Y
Xi 6= ∅ kaikilla i ∈ I
⇒
Xi 6= ∅.
i∈I
Merkintä. Jos I on joukko, niin ”melkein kaikilla i ∈ I” tarkoittaa: ”Kaikilla i ∈ I \ I0 , missä I0 ⊆ I on äärellinen.”
Tätä merkitään: ”m.k. i ∈ I”.
Ongelma. Jos (Xi )i∈I on perhe topologisia avaruuksia, niin mikä on mieleQ
käs topologia joukolle i∈I Xi ?
Ongelmaan saadaan ratkaisu seuraavassa kappaleessa.
2
Äärettömän tulotopologian kanta
Merkintä. Jos Xi = X kaikilla i ∈ I, niin merkitään
XI =
Y
Xi .
i∈I
Esimerkki.
X {1,...,n} = X
× .{z
. . × X} = X n .
|
n kpl.
Esimerkki.
RR := { kuvaukset R → R }
Tarkastellaan nyt joukkojen
Y
Ui ,
i∈I
missä Ui ⊆ Xi on avoin kaikilla i ∈ I ja Ui = Xi m.k. i ∈ I kokoelmaa B.
Huomautus. Tässä tulkitaan, että
Y
Ui
Y
⊆
i∈I
Xi ,
i∈I
vaikka joukon
Y
Ui
i∈I
alkiot ovat kuvauksia
f :I→
[
i∈I
92
Ui
siten, että f (i) ∈ Ui kaikilla i ∈ I, eivätkä kuvauksia
[
f :I→
Xi .
i∈I
Nyt olemme valmiita konstruoimaan topologian näiden määritelmien pohjalta. Tämä tapahtuu määrittelemällä kanta halutulle topologialle.
Lause 13.1. Edellämainittu kokoelma B on erään joukon
Y
Xi
i∈I
topologian kanta.
Todistus. Käytetään kantakriteeriä (Lause 5.3).
Y
B1: Tämä kohta on selvä, sillä määritelmän mukaan
Xi ∈ B.
i∈I
B2: Olkoot
Y
Ui ,
i∈I
Y
Vi ∈ B. Todetaan, että
i∈I
Y
Ui ∩
Y
i∈I
i∈I
Jos (xi )i∈I ∈
Y
Vi ∈ B.
Xi , niin
i∈I
(xi )i∈I ∈
Y
Ui ∩
Y
⇔ (xi )i∈I ∈
i∈I
i∈I
Y
Vi
Ui ja (xi )i∈I ∈
Y
Vi
i∈I
i∈I
⇔ xi ∈ Ui ja xi ∈ Vi kaikilla i ∈ I
⇔ xi ∈ Ui ∩ Vi kaikilla i ∈ I
⇔ (xi )i∈I ∈
Y
(Ui ∩ Vi ).
i∈I
Siis
Y
Ui ∩
i∈I
Y
Vi =
i∈I
Y
Ui ∩ Vi .
i∈I
Tässä Ui , Vi ⊆ Xi ovat avoimia, joten myös Ui ∩ Vi ⊆ Xi on avoin, kun
i ∈ I.
Nyt on olemassa sellaiset äärelliset joukot I1 , I2 ⊆ I, että
(
Ui = Xi
Vi = Xi
kaikilla
kaikilla
i ∈ I \ I1 ,
i ∈ I \ I2 .
Täten
Ui = Vi = Xi kaikilla i ∈ (I \ I1 ) ∩ (I \ I2 ),
93
eli
Ui = Vi = Xi kaikilla i ∈ I \ (I1 ∪ I2 ).
Tässä I \ (I1 ∪ I2 ) on äärellinen, joten
Y
Ui ∩ Vi ∈ B.
i∈I
Q
Määritelmä 13.2. Edellämainittua joukon i∈I Xi topologiaa sanotaan sen
tulotopologiaksi.
Q
Tällä topologialla varustettuna i∈I Xi on avaruuksien Xi , i ∈ I tuloavaruus.
Huomautus. Joukko U ∈ i∈I Xi on siis avoin, mikäli jokaisella sen jonolla
X = (xi )i∈I ∈ U on olemassa avoimet joukot Ui ∈ Xi (i ∈ I) siten, että
Ui = Xi m.k. i ∈ I ja
Y
X∈
Ui ⊆ U.
Q
i∈I
Huomautus. Lauseesta 5.3 seuraa, että joukot i∈I Ui , missä Ui ⊆ Xi on
Q
avoin kaikilla i ∈ I, muodostavat erään joukon i∈I Xi topologian kannan.
Tämä on ns. laatikkotopologia.
Q
Todetaan seuraavaksi, että tulotopologia on laatikkotopologiaa karkeampi,
Q
eli jos U ⊆ i∈I Xi on avoin tulotopologiassa, niin se on avoin laatikkotopologiassa.
Todistus. Olkoon U ⊆
Y
Xi avoin tulotopologiassa. Nyt lauseen 5.2 perus-
i∈I
teella
[
U=
B.
B⊆U,
B∈B
Täten riittää todeta, että B on avoin laatikkotopologiassa kaikilla B ∈ B.
Tämä on kuitenkin selvää, sill
B=
Y
Ui ,
i∈I
missä Ui ⊆ Xi on avoin kaikilla i ∈ I (ja Ui = Xi m.k. i ∈ I).
Ongelma. Milloin joukko
Y
Ui ,
i∈I
missä Ui ⊆ Xi kaikilla i ∈ I on avoin tulotopologiassa?
Ratkaisu. Oletetaan, että
Y
Ui 6= ∅.
i∈I
Tällöin on olemassa X = (xi )i∈I ∈
Q
i∈I
94
Ui .
Q
Mikäli nyt i∈I Ui on avoin tulotopologiassa, on siis oltava olemassa avoimet joukot Vi ⊆ Xi (i ∈ I) siten, että Vi = Xi m.k. i ∈ I ja
X∈
Y
Vi ⊆
i∈I
Y
Ui .
i∈I
Tällä perusteella Vi ⊆ Ui kaikilla i ∈ I, ja edelleen koska Xi = Vi m.k. i ∈ I,
niin myös Ui = Xi m.k i ∈ I.
3
Tulotopologian ominaisuuksia
Tarkastellaan seuraavaksi projektioita äärettömissä tuloavaruuksissa. Tulotopologian määritelmälle on tärkeää, että tämän määritelmän puitteissa projektiot ovat jatkuvia, muuten määritelmä ei olisi mielekäs. Periaate on tässä
samankaltainen kuin äärellisissä tapauksissakin.
Olkoon (Xi )i∈I perhe topologisia avaruuksia. Jokaisella j ∈ I on projektio
pj :
Y
Xi → Xj ,
(xi )i∈I 7→ xj .
i∈I
Onko nyt pj jatkuva?
Lause 13.3. Olkoon (Xi )i∈I perhe topologisia avaruuksia. Tulotopologia on
karkein joukon
Y
Xi
i∈I
topologia siten, että projektiot
pj :
Y
Xi → X j
(j ∈ I)
i∈I
ovat jatkuvia.
Todistus. Todistetaan erikseen väitteen molemmat osat.
•
Osoitetaan ensin, että pj :t ovat jatkuvia, kun
topologialla.
Q
i∈I
Xi varustetaan tulo-
Olkoon U ⊆ Xj avoin. Mikä on tällöin p−1
j (U )? Nyt
(xi )i∈I ∈ p−1
j (U )
⇔
pj ((xi )i∈I ) ∈ U
Täten
p−1
j (U ) =
Y
Ui ,
i∈I
missä
(
Ui =
Xi ,
U,
kun
kun
Tästä seuraa, että p−1
j (U ) ∈ B on avoin.
95
i 6= j
i = j.
⇔ xj ∈ U.
•
Osoitetaan sitten, että tulotopologia on karkein tällainen topologia.
Olkoon T sellainen joukon i∈I Xi topologia, että pj :t ovat jatkuvia, kun
Q
i∈I Xi varustetaan tällä topologialla. Osoitetaan, että jos U ⊆
i∈I Xi
on avoin tulotopologiassa, niin U ∈ T .
Q
Q
Kuten aikaisemmassa huomautuksessa, myös tässä voidaan lauseen 5.2
nojalla olettaa, että U ∈ B, eli
U=
Y
Ui ,
i∈I
missä Ui ⊆ Xi on avoin kaikilla i ∈ I ja Ui = Xi m.k. i ∈ I. Merkitään
{ i ∈ I | Ui 6= Xi } = {i1 , . . . , in }.
Tällöin
x = (xi )i∈I ∈ U
⇔
⇔
⇔
⇔
xi ∈ Ui kaikilla i ∈ I,
xik ∈ Uik kaikilla k = 1, . . . , n
pik (x) ∈ Uik kaikilla k = 1, . . . , n
x ∈ p−1
ik (Uik ) kaikilla k = 1, . . . , n.
Siis
−1
U = p−1
i1 (Ui1 ) ∩ . . . ∩ pin (Uin ).
Koska oletuksen nojalla p−1
ik (Uik ) ∈ T kaikilla k = 1, . . . , n, niin on
oltava U ∈ T .
Projektiot ovat siis jatkuvia tulotopologiassa, mikä olikin ennustettavissa.
Mutta projektiot ovat itse asiassa myös avoimia kuvauksia, mikä todistetaan
seuraavaksi.
Lause 13.4. Olkoon (Xi )i∈I perhe topologisia avaruuksia. Jos joukko
Y
Xi
i∈I
varustetaan tulotopologialla, niin projektiot
pj :
Y
X i → Xj
(j ∈ I)
i∈I
ovat avoimia kuvauksia. Toisin sanoen,
U⊆
Y
Xi on avoin
⇒
i∈I
kaikilla j ∈ I.
96
pj (U ) ⊆ Xj on avoin
Todistus. Olkoon y ∈ pj (U ). Riittää todistaa, että on olemassa avoin joukko
Vy ⊆ Xj siten, että y ∈ Vy ⊆ pj (U ). Nimittäin tällöin pätee
[
pj (U ) =
Vy .
y∈pj (U )
Nyt koska y ∈ pj (U ), niin y = pj (x) jollakin x ∈ U . Tällöin on olemassa
avoimet Ui ⊆ Xi siten, että Ui = Xi m.k. i ∈ I ja
x∈
Y
Ui ⊆ U.
i∈I
Tästä seuraa, että
pj (x) ∈ pj
Y
Ui ⊆ pj (U ).
i∈I
Siis y ∈ Uj ⊆ pj (U ), joten voidaan valita Vy = Uj .
Seuraava lause vastaa täysin aiemmin esiteltyä äärellisten tuloavaruuksien
ominaisuutta. Myös äärettömien tuloavaruuksien tapauksessa kuvausten jatkuvuus on riippuvainen ko. kuvauksen komponenttien jatkuvuudesta.
Lause 13.5. Olkoon (Xi )i∈I perhe topologisia avaruuksia ja
tuloavaruus. Jos Y on topologinen avaruus, niin kuvaus
f :Y →
Y
Q
i∈I
Xi näiden
Xi
i∈I
on jatkuva täsmälleen silloin, kun sen komponentit
fj := pj ◦ f : Y → Xj
ovat jatkuvia kaikilla y ∈ I.
Huomautus. Jos y ∈ Y , niin pätee
f (y) = (xi )i∈I
⇒
fj (y) = (pj ◦ f )(y) = xj
kaikilla j ∈ I. Toisin sanoen
f (y) = (fj (y))i∈I .
Todistus. ” ⇒ ” Oletetaan, että f on jatkuva. Nyt lauseen 13.3 nojalla pj :t
ovat jatkuva. Täten myös fj :t ovat jatkuvia lauseen 2.4 perusteella.
” ⇐ ” Oletetaan, että komponentit fj ovat jatkuvia. Nyt riittää todistaa,
että jos Ui ∈ Xi (i ∈ I) ovat avoimia joukkoja siten, että Ui = Xi m.k. i ∈ I,
niin alkukuva
Y Ui ⊆ Y
f −1
i∈I
on avoin.
97
Jos y ∈ Y , niin pätee
y ∈ f −1
Y
Ui
⇔
f (y) ∈
i∈I
Y
Ui
i∈I
⇔
(fi (y))i∈I ∈
Y
Ui
i∈I
⇔
⇔
fi (y) ∈ Ui kaikilla i ∈ I
y ∈ fi−1 (Ui ) kaikilla i ∈ I
⇔
y∈
\
fi−1 (Ui ).
i∈I
Siis
f −1
Y
Ui =
i∈I
\
fi−1 (Ui ).
i∈I
Jos Ui = Xi , niin fi−1 (Ui ) = Y . Merkitään
{ i ∈ I | Ui 6= Xi } = {i1 , . . . , in }.
Täten
f
−1
Y
i∈I
n
\
Ui =
fi−1
(Uik ).
k
k=1
Tämä on avoimien joukkojen äärellinen leikkaus, joten se on avoin.
Aikaisemmin on todistettu, että jos topologiset avaruudet X1 ja X2 ovat
kompakteja, niin myös tuloavaruus X1 × X2 on kompakti (Lause 11.7). Totesimme myös, että tämä periaate toimii yhtä hyvin myös mielivaltaisille
äärellisille kompaktien avaruuksien tuloille. Seuraavaksi esiteltävä Tihonovin
lause (heikko versio) laajentaa tämän periaatteen koskemaan kaikkia kompaktien avaruuksien joukkoja.
Lause (Heikko Tihonovin lause). Olkoon (Xi )i∈I perhe topologisia avaQ
ruuksia. Jos Xi on kompakti jokaisella i ∈ I, niin myös tuloavaruus i∈I Xi
on kompakti.
Tämä voi tuntua uskomattomalta. Tiedämmehän jo ennestään, että suljettu
väli [0, 1] on kompakti (Lause 11.3). Näin ollen Tihonovin lauseen nojalla
myös niinsanottu Hilbertin kuutio, [0, 1]N on kompakti!
Tässä
[0, 1]N := [0, 1] × [0, 1] × . . .
:= { Välin [0, 1] jonot (x0 , x1 , . . .) }.
Voimme edelleen tarkastella joukon A ⊆ Rn halkaisijaa:
d(A) = sup{ |x − y| | x, y ∈ A }.
98
Siispä
Välin
Neliön
Kuution
Hyperkuution
[0, 1]
[0, 1]2
[0, 1]3
[0, 1]n
halkaisija
halkaisija
halkaisija
halkaisija
on
on
on
on
1,
√
√2,
√3,
n.
√
Tässä n → ∞, kun n → ∞. Hilbertin kuution kompaktisuus vaikuttaa
siis intuition vastaiselta. Tämä kuitenkin seuraa Tihonovin lauseesta, kuten
todettiin.
Emme kuitenkaan vielä tässä vaiheessa kykene todistamaan Tihonovin
lausetta, sillä ensin on löydettävä tähän tehtävään sopivat työkalut.
4
Filtterit
Tihonovin lauseen todistuksessa nojataan vahvasti filttereiksi kutsuttujen
konstruktioiden ominaisuuksiin. Siksi meidän onkin nyt tutustuttava filttereihin. Aloitetaan määritelmillä.
Määritelmä 13.6. Olkoon X topologinen avaruus. Sen osajoukkojen kokoelmaa F sanotaan filtteriksi, mikäli seuraavat ehdot pätevät:
F1: X ∈ F, ∅ 6∈ F.
F2: F1 , F2 ∈ F ⇒ F1 ∩ F2 ∈ F.
F3: F ∈ F, A ⊇ F ⇒ A ∈ F.
Huomautus. Ehdosta F2 seuraa, että jos pätee F1 , . . . , Fn ∈ F, niin ko.
filtteriin kuuluu myös leikkaus F1 ∩ . . . ∩ F2 ∈ F.
Edelleen ehdosta F3 seuraa, että jos Fi ∈ F kaikilla i ∈ I, niin myös
S
unioni i∈I Fi ∈ F.
Filtteri F toteuttaa siis topologian määritelmän ehdot T2 ja T3, mutta
F ei kuitenkaan ole topologia, koska ∅ 6∈ F.
Seuraavaksi käydään läpi joitakin havainnollistavia esimerkkejä filttereistä.
Esimerkki. Jos X on topologinen avaruus ja x ∈ X, niin
Ux := { A ⊆ X | On olemassa avoin U ⊆ X s.e. x ∈ U ja U ⊆ A }
|
{z
ts. on olemassa x:n ympäristö U ⊆A
}
on X:n filtteri (ns. ympäristöfiltteri).
Todistus. F1: Koska X on avoin ja x ∈ X, niin X ∈ Ux . Toisaalta, jos
A ∈ Ux , niin x ∈ A, joten A 6= ∅. Näin ollen ∅ 6∈ Ux .
F2: Jos A1 , A2 ∈ Ux , niin on olemassa sellaiset avoimet joukot U1 , U2 ⊆ X,
että x ∈ U1 , U2 ja U1 ⊆ A1 , U2 ⊆ A2 . Tällöin
x ∈ U1 ∩ U2 ⊆ A1 ∩ A2
99
⇒
A1 ∩ A2 ∈ Ux .
F3: Olkoon A ∈ Ux ja A0 ⊇ A. Tällöin on olemassa avoin joukko U siten,
että x ∈ U ⊆ A ⊆ A0 . Täten A0 ∈ Ux .
Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon (xn )n≥1 jono sen alkioita. Jonon (xn )n≥1 m:s loppu on
Lm := { xn | n ≥ m } (m ≥ 1).
Tällöin
L := { L ⊆ X | L ⊇ Lm jollakin m > 1 }
on X:n filtteri.
Todistus. HT.
Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon ∅ =
6 A ⊆ X. Tällöin
A := { B ⊆ X | B ⊇ A }
on X:n filtteri (ns. pääfiltteri).
Todistus. HT.
Aikaisemmin on käsitelty jonojen suppenemista ja siihen liittyviä topologisia
ominaisuuksia. Myös filttereille voidaan määritellä suppenemisen käsite, jota
hyödynnetään myöhemmin.
Määritelmä 13.7. Olkoon X topologinen avaruus ja F sen filtteri. Sanotaan, että F suppenee kohti pistettä x ∈ X, mikäli kaikilla avoimilla U ⊆ X,
joilla x ∈ U (x:n ympäristöillä) on olemassa F ⊆ F siten, että F ⊆ U (ts.
U ∈ F). Tällöin merkitään
F → x.
Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon (xn )n≥i jono X:n alkioita ja x ∈ X. Tarkastellaan filtteriä
L := { L ⊆ X | L ⊇ Lm jollakin m },
missä
Lm = { xn | n ≥ m }.
Tällöin
L→x
⇔
xn → x.
Todistus. ” ⇐ ” Olkoon U ⊆ X avoin siten, että x ∈ U . Tällöin jos xn → x,
niin on olemassa sellainen m ≥ 1, että xn ∈ U kaikilla n ≥ m. Täten Lm ⊆ U ,
joten U ∈ L. Siis L → x.
” ⇒ ” Olkoon U ⊆ X avoin siten, että x ∈ U . Tällöin jos L → x, niin
U ∈ L. Täten Lm ⊆ U jollakin m ≥ 1, joten edelleen xn ∈ U kaikilla n ≥ m.
Siis xn → x.
100
Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus. Jos x ∈ X, niin ympäristöfiltteri Ux → x.
Todistus. Olkoon U ⊆ X avoin siten, että x ∈ U . Tällöin pätee määritelmän
perusteella U ∈ Ux , joten voidaan todeta, että Ux → x.
Määritelmä 13.8. Olkoon X topologinen avaruus. Sen filtteri F on ultrafiltteri, mikäli pätee
F ⊆ F 0 , F 0 on filtteri
⇒
F = F 0.
Esimerkki. Olkoon X topologinen avaruus. Jos x ∈ X, niin pääfiltteri
A := { A ⊆ X | x ∈ A }
on ultrafiltteri.
Todistus. Olkoon F filtteri siten, että A ⊆ F. Valitaan mielivaltainen F ∈ F.
Nyt koska {x} ∈ A, niin myös {x} ∈ F. Tällöin filtteriehdon F2 nojalla pätee
{x} ∩ F ∈ F, jolloin ehdon F1 nojalla pätee {x} ∩ F 6= ∅.
Näin ollen ∅ =
6 {x} ∩ F ⊆ F , joten {x} ⊆ F ja edelleen x ∈ F . Nyt siis
määritelmän nojalla F ∈ A. Siis F ⊆ A, eli A = F.
Joukko-oppia
Seuraavien lauseiden todistamisessa joudutaan käyttämään joitakin joukkoopin käsitteitä, joten on tarpeellista kerrata näitä hieman. Myöhemmin esitetään myös Zornin lemma, jota voidaan hyödyntää matematiikassa usein,
kun ei haluta sotkeutua joukko-oppiin liiallisesti.
Määritelmä. Olkoon X joukko. Relaatio ≤ on sen osittainen järjestys, mikäli kaikilla x, y, z ∈ X pätee:
•
x≤x
•
x ≤ y ja y ≤ x
⇒
x=y
•
x ≤ y ja y ≤ z
⇒
x ≤ z.
Järjestys ≤ on täydellinen, jos kaikilla x, y ∈ X pätee joko x ≤ y tai y ≤ x.
Esimerkki. Joukon N∗ = N \ {0} järjestys
a≤b
⇔
a|b
ei ole täydellinen, koska ei ole esimerkiksi 3 ≤ 5 tai 5 ≤ 3.
101
Määritelmä. Olkoon Y ⊆ X. Tällöin Y on ketju, mikäli Y on täydellisesti
järjestetty (Esimerkiksi edellä {2, 4, 8} ⊆ N∗ on ketju).
Alkio x ∈ X on Y :n yläraja, mikäli y ≤ x kaikilla y ∈ Y (Edellä 16 on
joukon {2, 4, 8} yläraja).
Alkio y0 ∈ Y on maksimaalinen, mikäli pätee
y0 ≤ y, y ∈ Y
⇒
y0 = y.
Esimerkki. Joukon {1, 2, . . . , 10} ⊆ N∗ maksimaaliset alkiot ovat 6, 7, 8, 9, 10.
Apulause (Zornin lemma). Olkoon X 6= ∅. Jos sen jokaisella ketjulla on
yläraja, niin X:ssä on maksimaalinen alkio.
Nyt voidaan todistaa joitakin erityisiä ominaisuuksia ultrafilttereille, joita
käytetään edelleen myöhempien lauseiden todistamisessa.
Lause 13.9. Olkoon X topologinen avaruus. Jos F on X:n filtteri, niin on
olemassa ultrafiltteri F 0 siten, että F ⊆ F 0 .
Todistus. Tarkastellaan kaikkien X:n filtterien G, joille F ⊆ G kokoelmaa.
Meillä on osittainen järjestys:
G1 ≤ G2
⇔
G1 ⊆ G2 .
Olkoon K ketju. Onko sillä ylärajaa? Havaitaan, että
[
F
F ∈K
on haluttu yläraja, ja samalla ultrafiltteri (todistus tarkemmin HT).
Lause 13.10. Olkoon X topologinen avaruus. Jos F0 on X:n filtteri, niin
on olemassa ultrafiltteri F 0 siten, että F0 ⊆ F 0 .
Todistus. Väite seuraa suoraan Zornin lemmasta.
Näiden lauseiden hyvin mielenkiintoinen seuraus on, että ultrafiltteri sisältää
kyseisen topologisen avaruuden joukon tai sen komplementin.
Lause 13.11. Olkoon X topologinen avaruus. Jos F on X:n ultrafiltteri,
niin pätee
A⊆X
⇒ A ∈ F tai X \ A ∈ F.
Todistus. Olkoon A ⊆ X.
•
Oletetaan, että F ∩ A = ∅ jollakin F ∈ F. Tällöin F ⊆ X \ A, joten
X \ A ∈ F.
•
Oletetaan, että F ∩ A 6= ∅ kaikilla F ∈ F. Merkitään
F 0 := { F 0 ⊆ X | F 0 ⊃ F ∩ A jollakin F ∈ F }.
102
Nyt F ⊃ F ∩ A kaikilla F ∈ F, joten F ∈ F 0 kaikilla F ∈ F. Täten
F ⊆ F 0.
Normaalilla tavalla voidaan todistaa, että F 0 on filtteri. Nyt koska F on
ultrafiltteri, niin määritelmän nojalla F = F 0 . Tästä seuraa, että
A ⊇ A ∩ X, X ∈ F
⇒
A ∈ F0
⇒
A ∈ F.
Kuvafiltterit
Käsitellään vielä kuvausten kautta muodostettavia filttereitä, eli kuvafilttereitä. Niihin liittyy tiettyjä ominaisuuksia, joita tarvitaan myöhemmin.
Määritelmä 13.12. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon lisäksi
f : X → Y kuvaus. Jos F on X:n filtteri, niin kuvafiltteri on
f (F) := { G ⊆ Y | G ⊇ f (F ), missä F ∈ F }.
Huomautus. Tämä on todella filtteri:
F1: Koska Y ⊇ f (X) ja X ∈ F, niin Y ∈ f (F). Toisaalta, koska ei voi olla
f (F ) = ∅ millään F ∈ F, niin ∅ 6∈ f (F).
F2: Oletetaan, että G1 , G2 ∈ F. Nyt G1 ⊇ f (F1 ) ja G2 ⊇ f (F2 ), missä
F1 , F2 ∈ F. Näin ollen
G1 ∩ G2 ⊇ f (F1 ) ∩ f (F2 ) ⊇ f (F
∩ F ).
| 1 {z 2}
∈F
F3: Triviaalia.
Lause 13.13. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y
kuvaus. Tällöin f on jatkuva jos ja vain jos kaikilla X:n filttereillä F ja
pisteillä x ∈ X pätee:
F →x
⇒
f (F) → f (x).
Todistus. ” ⇐ ” HT.
” ⇒ ” Olkoon V ⊆ Y avoin siten, että f (x) ∈ V . Pitää osoittaa, että
V ∈ f (F). Nyt koska f on jatkuva, niin alkukuva f −1 (V ) ⊆ X on avoin.
Tällöin suppenemisen määritelmän perusteella pätee:
F → x, x ∈ f −1 (V )
⇒
f −1 (V ) ∈ F.
Mutta koska f (f −1 (V )) ⊆ V , niin V ∈ f (F).
Lause 13.14. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon f : X → Y
kuvaus. Tällöin pätee:
F on X:n ultrafiltteri
⇒
103
f (F) on Y :n ultrafiltteri.
Todistus. Oletetaan, että G on Y :n filtteri siten, että f (F) ⊆ G. Tehdään
vastaoletus, että on olemassa G ∈ G siten, että G 6∈ f (F). Nyt siis on oltava
f −1 (G) 6∈ F, nimittäin muuten olisi G ∈ f (F) edellisen lauseen todistuksen
nojalla.
Tällöin lauseen 13.11 perusteella pätee:
F on ultrafiltteri, f −1 (G) ∈ F
X \ f −1 (G) ∈ F.
⇒
Mutta X \ f −1 (G) = f −1 (Y \ G). Nyt siis
f (f −1 (Y \ G)) ⊆ Y \ G, f −1 (Y \ G) ∈ F
⇒
Y \ G ∈ f (F) ⊆ G.
Siis G ∈ G ja Y \ G ∈ G, joten filtteriehdon F2 nojalla G ∩ (Y \ G) = ∅ ∈ G,
mikä on ristiriita.
On siis oltava f (F) = G, eli f (F) on ultrafiltteri.
Seuraava lause käsittelee jo kompaktisuutta, joten olemme nyt hyvin lähellä
maalia, eli Tihonovin lauseen todistusta.
Lause 13.15. Topologinen avaruus X on kompakti jos ja vain jos sen jokainen ultrafiltteri suppenee.
Todistus. ” ⇒ ” Olkoon F X:n ultrafiltteri. Tehdään vastaoletus, että F ei
suppene.
Nyt siis jokaisella x ∈ X on olemassa avoin ympäristö Ux ⊆ X siten,
S
että x ∈ Ux , mutta Ux 6∈ F. Tällöin X = x∈X Ux , eli kompaktisuuden
määritelmän nojalla on olemassa sellaiset x1 , . . . , xn ∈ X, että
X = Ux1 ∪ . . . ∪ Uxn .
Kuitenkin lauseen 13.11 nojalla, jos Ux 6∈ F ja F on ultrafiltteri, niin täytyy
olla X \Ux ∈ F. Nyt erityisesti X \Ux1 , . . . , X \Uxn ∈ F. Tällöin filtteriehdon
F2 nojalla
(X \ Ux1 ) ∩ . . . ∩ (X \ Uxn ) ∈ F.
Täten
X \ (Ux1 ∪ . . . ∪ Uxn ) ∈ F,
{z
|
=X
}
eli ∅ ∈ F, mikä on ristiriitaista. On siis todettava, että X:n jokainen ultrafiltteri suppenee.
” ⇐ ” Tehdään vastaoletus, että X ei ole kompakti, eli on olemassa X:n
avoin peite (Ui )i∈I , jolla ei ole äärellistä osapeitettä.
Olkoon
F := { F ⊆ X | F ⊇ X \
[
Ui jollakin äärellisellä J ⊆ I }.
i∈J
Osoitetaan, että F on X:n filtteri.
104
F1: Triviaalisti pätee X ∈ F. Jos toisaalta olisi ∅ ∈ F, niin olisi X =
jollakin äärellisellä J ⊆ I, joten on oltava ∅ 6∈ F.
S
i∈J
Ui
F2: Olkoon F1 , F2 ∈ F. Nyt on olemassa äärelliset J1 , J2 ⊆ I siten, että
[
F1 ⊇
F2 ⊇
ja
[
.
i∈J2
i∈J1
Nyt siis
F1 ∩ F2 ⊇ X \
[
Ui ∪
[
i∈J1
=X\
[
U1
i∈J2
[
Ui
i∈J2
i∈J1
=X\
[
U1 ∩ X \
Ui .
i∈J1 ∪J2
Tässä J1 ∪ J2 on äärellinen, joten pätee F1 ∩ F2 ∈ F.
F3: Triviaalia.
Siis F on filtteri. Nyt lauseen 13.10 nojalla on olemassa ultrafiltteri F 0 siten,
että F ⊆ F 0 . Nyt siis oletuksen nojalla on olemassa sellainen x ∈ X, että
F 0 → x.
Nyt siis
[
X=
Ui ⇒ x ∈ Uj jollakin j ∈ I.
i∈I
Tällöin, koska F 0 → x, niin Uj ∈ F 0 . Valitaan F:n määritelmään J = {j}.
Tästä seuraa, että
X \ Uj ⊇ X \
[
Ui
⇒
X \ Uj ∈ F
⇒
X \ Uj ∈ F 0 .
i∈J
Näin ollen ∅ = Uj ∩ (X \ Uj ) ∈ F 0 , mikä on ristiriita.
On siis todettava, että X on kompakti.
Lause 13.16. Olkoon (Xi )i∈I perhe topologisia avaruuksia ja olkoon F tuloavaruuden
Y
Xi
i∈I
filtteri. Tällöin pätee
F → x = (xi )i∈I
⇔
pi (F) → xi kaikilla i ∈ I.
Tässä siis
pi :
Y
Xi → X i
i∈I
on projektio.
105
Todistus. ” ⇒ ” Lauseen 13.3 perusteella pj :t ovat jatkuvia. Tällöin, koska
F → x, niin lauseen 13.13 nojalla
pi (F) → pi (x) kaikilla i ∈ I.
| {z }
=xi
” ⇐ ” Riittää todistaa, että jos Ui ⊆ Xi (i ∈ I) ovat avoimia siten, että
Q
Q
Ui = Xi m.k. i ∈ I ja x ∈ i∈I Ui , niin i∈I Ui ∈ F. Nyt pätee
s∈
Y
⇒
Ui
xi ∈ Ui kaikilla i ∈ I.
i∈I
Tällöin
pi (F) → xi
Siis F ⊆
T
i∈I
⇒
⇒
⇒
Ui ∈ pi (F)
Ui ⊇ pi (F ) jollakin F ∈ F
F ⊆ p−1
i (Ui ) kaikilla i ∈ I.
p−1
i (Ui ). Mutta
y = (yi )i∈I ∈
\
p−1
i (Ui )
i∈I
⇔
yi = pi (y) ∈ Ui kaikilla i ∈ I
⇔
y∈
Y
Ui
i∈I
Siis
\
p−1
i (Ui ) =
i∈I
Tällöin
F ⊆
Y
Y
Ui .
i∈I
Ui
⇒
i∈I
Y
Ui ∈ F.
i∈I
Nyt meillä on hallussamme kaikki tarvittavat välineet, jotta voimme siirtyä
varsinaiseen loppuhuipennukseen, eli Tihonovin lauseen todistukseen. Aiemmin esitimme heikomman version tästä lauseesta, mutta itse asiassa on mahdollista todistaa vahvempi versio, jossa implikaatio on korvattu ekvivalenssilla.
Lause 13.17 (Tihonovin lause). Olkoon (Xi )i∈I perhe topologisia avaruuksia. Tällöin pätee
Y
Xi on kompakti
⇔
Xi on kompakti kaikilla i ∈ I.
i∈I
Todistus. ” ⇒ ” Lauseen 13.3 perusteella pj :t ovat jatkuvia, joten lauseesta
11.4 seuraa, että kuva
Xi = pi
Y
Xi on kompakti.
i∈I
106
” ⇐ ” Käytetään lausetta 13.15.
Q
Olkoon F tuloavaruuden i∈I Xi ultrafiltteri. Tällöin lauseen 13.14 perusteeella jokainen kuvafiltteri pi (F) on Xi :n ultrafiltteri kaikilla i ∈ I.
Koska oletuksen mukaan Xi on kompakti kaikilla i ∈ I ja toisaalta pi (F):t
ovat ultrafilttereitä, niin lauseen 13.15 nojalla kaikilla i ∈ I on olemassa
xi ∈ Xi siten, että pi (F) → xi . Merkitään
x = (xi )i∈I ∈
Y
Xi .
i∈I
Näin ollen lauseen 13.16 nojalla F → x.
Q
On siis osoitettu, että tuloavaruude i∈I Xi jokainen ultrafiltteri suppenee, joten lauseen 13.15 nojalla ko. tuloavaruus on kompakti.
107