Luento 3 matriisit_vektorianalyysi_tensorit
10/28/2015 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 28.10.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Päivän aihe: matriisilaskennan kertausta ja tensorin esittely Kurssikirjan kappaleet 2.5-2.7 • Vektorikannan muuntoyhtälö (jäi käsittelemättä eilen) • Matriisin määritelmä • Matriisien laskutoimituksia • Vektorianalyysi • Gradientti • Divergenssi • Roottori • Tensorit 1 10/28/2015 Koordinaatistomerkintöjä Kun kantavektorit ovat yksikkövektoreita ja toisiaan vastaan kohtisuorassa (ortonormaaleja), kyseessä on suorakulmainen karteesinen kanta, tai lyhyesti karteesinen kanta, jota merkitään tällä kurssilla Karteesisia koordinaatteja merkitään (x , y , z) tai (x1 , x2 , x3) Koordinaatistomerkintöjä Paikkavektori r origosta pisteeseen (x , y , z) tai (x1 , x2 , x3) on Summaussäännön avulla kirjoitettuna paikkavektori r on HUOM! Paikkavektorille käytetään myös symbolia x r=x 2 10/28/2015 Vektorikannan muuntoyhtälö • Tarkastellaan kahta ortonormaalia kantaa vs. Vektorikannan muuntoyhtälö • Sama vektori A voidaan esittää molemmissa koordinaatistoissa • Siten missä 3 10/28/2015 Vektorikannan muuntoyhtälö • Yhtälö antaa yhteyden komponenttien Kertoimet ja välillä ovat suuntakosineja Vektorikannan muuntoyhtälö Esimerkki 2.4.4 4 10/28/2015 Vektorikannan muuntoyhtälö Esimerkki Matriisin määritelmä • Vektorikannan muuntoyhtälö ilmoittaa vektorin komponentit uudessa koordinaatistossa (merkitään viivalla komponentin päällä) alkuperäisen koordinaatiston komponenttien funktiona suuntakosinien avulla • Muuntoyhtälö auki kirjoitettuna 5 10/28/2015 Matriisin määritelmä • Edellisissä yhtälöissä on yhdeksän kerrointa • Kirjoitetaan ne taulukkomuotoon • Tämä taulukko L on matriisi ja ovat sen alkiot Matriisin määritelmä - nimityksiä • Matriisia, jolla on m riviä ja n saraketta, kutsutaan m kertaa n ( m x n ) matriisiksi • Alkiota rivillä i ja sarakkeessa j merkitään aij • Matriisi voidaan kirjoittaa myös muodossa A = [A] = [aij] • Neliömatriisilla on sama lukumäärä rivejä ja sarakkeita, n x n 6 10/28/2015 Matriisin määritelmä – nimityksiä • Neliömatriisin alkiot, joilla rivi- ja sarakenumerot ovat samat, ovat nimeltään matriisin diagonaali tai lävistäjä • Jos kaikki diagonaalin ulkopuoliset alkiot ovat nollia, matriisi on nimeltään diagonaalimatriisi • Jos kaikki diagonaalin alkiot ovat arvoltaan 1, matriisi on nimeltään yksikkömatriisi ja sitä merkitään I = [I] • Diagonaalialkioiden summa on nimeltään matriisin jälki, jota merkitään tr(A) Matriisin määritelmä - nimityksiä • Jos matriisilla on vain yksi rivi tai sarake, sen alkioille määritellään vain yksi alaindeksi • Rivi- ja sarakematriisit ovat yksi tapa merkitä vektoria 7 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia matriisien summa ja kertominen skalaarilla • Kahden saman kokoisen matriisin summa saadaan laskemalla toisiaan vastaavat elementit yhteen • Matriisi kerrotaan skalaarilla kertomalla sen jokainen elementti Matriisin laskutoimituksia matriisien summa ja kertominen skalaarilla 8 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Matriisin transpoosi ja symmetrisyys • Matriisin A transpoosi AT saadaan vaihtamalla sen rivit ja sarakkeet päittäin. Matriisin laskutoimituksia Matriisin transpoosi ja symmetrisyys • Matriisin transpoosilla on seuraavat ominaisuudet • Neliömatriisi on symmetrinen, jos sille on voimassa AT = A (aij = aji) • Neliömatriisi on antisymmetrinen, jos AT = -A (aij = -aji) 9 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Matriisin kertolasku • Vektori sarakematriisin tulona voidaan esittää rivimatriisin ja Matriisin laskutoimituksia Matriisin kertolasku • Määritellään vektorit, eli yksisarakkeiset matriisit, x ja y • Vektorien tulo xTy on skalaari 10 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Matriisin kertolasku • Määritellään matriisin kertolasku yleisemmin. Olkoon A = [aij] m x n matriisi ja B = [bij] m x p matriisi. Tulo AB on m x p matriisi C = [cij] Matriisin laskutoimituksia Esimerkki Esimerkistä 2.4.4 (käyty eilisen luennolla) saatiin suuntakosineille arvot: 11 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Esimerkki Komponentit uudessa koordinaatistossa ovat alkuperäisen koordinaatiston komponentit kerrottuna suuntakosineilla Matriisin laskutoimituksia Matriisin kertolasku • Matriisien kertolaskulla on seuraavat ominaisuudet. Olkoon A m x n matriisi ja B p x q matriisi. 12 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Matriisin kertolasku Matriisin laskutoimituksia Käänteismatriisi ja determinantti • Jos A ja B ovat n x n matriiseja joille on voimassa AB = BA = I, niin B on matriisin A käänteismatriisi • Käänteismatriisi merkitään A-1 • Matriisia, jolla ei ole käänteismatriisia, kutsutaan singulaariseksi • Jos käänteismatriisi on olemassa, käänteismatriisin transpoosi on yhtä suuri kuin transpoosin käänteismatriisi • Käänteismatriisin laskemiseen tarvitaan determinanttia, joka määritellään seuraavaksi 13 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Käänteismatriisi ja determinantti • Matriisi A = [aij] on n x n matriisi. Matriisin A determinantti detA = 𝐴 lasketaan seuraavasti Missä 𝐴𝑖𝟏 on sen (n -1) x (n -1) matriisin determinantti, joka jää jäljelle, kun poistetaan rivi i ja ensimmäinen sarake matriisista A Matriisin laskutoimituksia Käänteismatriisi ja determinantti • 2 x 2 matriisin determinantti on 14 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Käänteismatriisi ja determinantti • Vektorien A ja B ristitulo voidaan esittää determinanttina eˆ 1 A B A1 B1 eˆ 2 A2 B2 eˆ 3 A3 B3 • Skalaarikolmitulo voidaan esittää determinanttina C1 C ( A B) A1 B1 C2 A2 B2 C3 A3 B3 15 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Käänteismatriisi ja determinantti • Determinantilla on seuraavat ominaisuudet Matriisin laskutoimituksia Käänteismatriisi ja determinantti • Matriisin sanotaan olevan singulaarinen jos sen determinantti on nolla • Merkitään matriisin A alimatriisin (saatu poistamalla rivi i ja sarake j) determinanttia Mij(A) • Määritellään matriisin alkion aij kofaktori • Determinantti voidaan nyt kirjoittaa muodossa (j on kiinnitetty) 16 10/28/2015 Matriisin laskutoimituksia Käänteismatriisi ja determinantti • Adjungoitu matriisi AdjA on transpoosi matriisista A, jonka alkiot on korvattu kofaktoreillaan • Käänteismatriisi lasketaan kaavalla 17 10/28/2015 Vektorianalyysi Gradientti • Esitellään Nabla-operaattori (del operator englanniksi), joka on tärkeä operaattori matemaattisessa mallinnuksessa • Nabla-operaattorilla on joitakin vektorin ominaisuuksia, mutta ei kaikkia, koska se ei ole vektori vaan operaattori • Nabla-operaattorilla saadaan funktion 𝜙 gradienttivektori, jota merkitään grad 𝜙 tai 𝛻𝜙 Vektorianalyysi Gradientti • Gradientin avulla voidaan ilmaista skalaarikentän muutosnopeus etäisyyden funktiona • Mietitäänpä ensin, mikä on skalaarikenttä 18 10/28/2015 Vektorianalyysi Gradientti • Skalaarikenttää kuvaa funktio 𝜙 𝐱 , missä 𝐱 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) on paikkavektori Vektorianalyysi Gradientti Funktion 𝜙 gradienttivektori, jota merkitään grad 𝜙 tai 𝛻𝜙, saadaan siis operoimalla funktio Nabla-operaattorilla 19 10/28/2015 Vektorianalyysi Divergenssi • Nabla-operaattorin ja vektorin pistetuloa kutsutaan divergenssiksi • Gradienttivektorin divergenssi on joka karteesisessa koordinaatistossa on • Notaatiota kutsutaan Laplace-operaattoriksi Vektorianalyysi Roottori • Vektorin roottoriksi kutsutaan nabla-operaattorin ja vektorin ristituloa 20 10/28/2015 Esimerkki 21 10/28/2015 22 10/28/2015 • Lasketaan kohta (3) vielä kirjoittamalla termit auki F eˆ i F F F F eˆ 1 eˆ 2 eˆ 3 xi x1 x2 x3 F eˆ j ( F F F eˆ i F ( eˆ 1 eˆ 2 eˆ 3 ) ( eˆ 1 eˆ 2 eˆ 3 ) x j xi x1 x2 x3 x1 x2 x3 F F F F F F ) eˆ 1 ( )eˆ 2 ( )eˆ 3 x2 x3 x3 x2 x3 x1 x1 x3 x1 x2 x2 x1 F ( 2F 2F 2F 2F 2F 2F ) eˆ 1 ( )eˆ 2 ( )eˆ 3 x2 x3 x3x2 x3x1 x1x3 x1x2 x2 x1 Osittaisderivaattojen järjestyksellä ei ole väliä, kun F on jatkuvasti differentoituva, jolloin F 0 Teoreemat Kurssilla käytetään kontinuumimekaniikan yhtälöiden johtamisessa seuraavia integraaliyhtälöitä, joissa tilavuus- ja pintaintegraalien yhteyksiä esitetään vektorin gradientin, divergenssin ja roottorin avulla Yhtälöissä Ω on alue kolmiulotteisessa avaruudessa. Aluetta Ω rajaa pinta Γ. 𝑑𝑠 on pinnan differentiaalielementti ja 𝐧 on yksikkönormaali, joka osoittaa pinnalta ulospäin, ja 𝑑𝐱 on differentiaalinen tilavuuselementti alueessa Ω. 23 10/28/2015 Tensorit • Vektorilla on suuruus ja suunta • Tensorilla on suuruus ja useita suuntia • Tensorit kuitenkin noudattavat vektorien summauksen ja skalaarilla kertomisen sääntöjä • Esimerkiksi jännitysvektori, voima per yksikköpinta-ala, pitää sisällään voiman suuruuden ja suunnan sekä sen tason suunnan, johon voima vaikuttaa Tensorit • Jännitys pitää sisällään voiman (suuruus ja suunta) sekä tason (toinen suunta), eli sen määrittelemiseen tarvitaan kaksi suuntaa • Suureita, joiden määrittelyyn tarvitaan kaksi suuntaa, kutsutaan dyadeiksi tai toisen asteen tensoreiksi • Koska vektorilla on yksi suunta, vektori on siis ensimmäisen asteen tensori 24 10/28/2015 Tensorit • Toisen asteen tensori määritellään kahtena rinnakkaisena vektorina, jotka toimivat yhdessä • Olkoon ja mielivaltaisia vektoreita. Toisen asteen tensori on Φ A1B1 A 2 B 2 A n B n Tensorit • Toisen asteen tensorin laskutoimituksia Transpoosi Pistetulo vektorin kanssa Pistetulo vektorin kanssa ilmoitettuna tensorin transpoosin avulla 25 10/28/2015 Tensorit • Toisen asteen tensorin laskutoimituksia Tensorien tulon transpoosi Pistetulo itsensä kanssa Tensorit • Toisen asteen tensori komponenttimuodossa, karteesisessa koordinaatistossa • Toisen asteen tensorilla on siis yhdeksän riippumatonta komponenttia 26 10/28/2015 Tensorit • Toisen asteen tensori voidaan kirjoittaa myös matriisimuodossa Tensorit • Yksikködyadi 27 10/28/2015 Tensorit • Tuplapistetulo Tensorit • Tensorien koordinaatiston muunnos Tensori voidaan esittää eri koordinaatistoissa: 28 10/28/2015 Tensorit • Nabla-operaattori toimii tensoreilla kuten vektoreillakin • Huomaa, että vektorin gradientti on toisen asteen tensori • Huomaa, että toisen asteen tensorin divergenssi on vektori Tensorit • Tarkastellaan vielä vektorin gradienttia 𝛻𝐀 • 𝛻𝐀 ei yleisessä mielessä ole symmetrinen tensori. 𝛻𝐀 ja sen transpoosi (𝛻𝐀)T voidaan ilmoittaa symmetrisen ja antisymmetrisen osan summana • Tämä on tärkeä ominaisuus, jota käytetään myöhemmin kurssilla ainakin venymien ja venymänopeuksien johtamisessa 29 10/28/2015 Tensorit 𝐕 on symmetrinen toisen asteen tensori 𝐖 on antisymmetrinen toisen asteen tensori Teoreemat tensoreille Vektoreiden integraaliteoreemat ovat voimassa myös tensoreille. Huomaa, että operaatioiden järjestystä ei pidä muuttaa. Yhtälöissä Ω on alue kolmiulotteisessa avaruudessa. Aluetta Ω rajaa pinta Γ. 𝑑𝑠 on pinnan differentiaalielementti ja 𝐧 on yksikkönormaali, joka osoittaa pinnalta ulospäin, ja 𝑑𝐱 on differentiaalinen tilavuuselementti alueessa Ω. 30 10/28/2015 Mitä tällä luennolla opimme? • Kertasimme matriisilaskentaa • Tutustuimme nabla-operaattoriin, jolla voidaan laskea gradientti, divergenssi ja roottori • Opimme, mikä on toisen asteen tensori Ensi viikolla • Viikon aihe on kontinuumin kinematiikka, eli muodonmuutoksen ja venymien kuvaaminen ilman voimien vaikutusta • Maanantai • Muodonmuutos, mitä se tarkoittaa? • Insinöörivenymät • Kinematiikan peruskäsitteet • Tiistai • Kinematiikan peruskäsitteet • Muodonmuutostilan matemaattiset esitysmuodot • Keskiviikko • Muodonmuutostilan matemaattiset esitysmuodot 31
© Copyright 2024