1. No category

MAA5 Kurssin alku, vektorit, vektorien laskutoimituksia­5.notebook
April 09, 2015
Johdattelua tunnin aiheeseen
Yhteenlaskun voi merkitä lyhyemmin kertolaskuna:
3 + 3 + 3 + 3 = 4 3.
1. Merkitse kertolasku 5 2 yhteenlaskuna.
2. Merkitse luvun ja vektorin kertolasku 3a yhteenlaskuna.
3. Piirrä jokin aito vektori a ja sen avulla vektorit 3a ja 0,5a ja 1,5a.
4. Mitä tarkoittaa ­2a? Kirjoita ­2a jollain toisella merkintätavalla.
5. Mitä voi sanoa vektorien a, 3a ja ­2a suunnista?
1
MAA5 Kurssin alku, vektorit, vektorien laskutoimituksia­5.notebook
April 09, 2015
Luvun ja vektorin tulo
Määritelmä: Olkoon t ≠ 0 ja a aito vektori. Luvun t ja vektorin a tulo ta on se vektori, jolle pätee
|ta| = |t| |a| ja
ta | | a, jos t < 0.
ta | | a, jos t > 0,
Jos taas t = 0 tai a = 0, niin määritellään ta = 0. 3a
a
0,5a
­1,5a
Havainnollisesti: vektorin kertominen luvulla on vektorin venyttämistä, kutistamista tai nollaamista. Jos kerroin on negatiivinen, niin vektorin suunta vaihtuu vastakkaiseksi.
2
MAA5 Kurssin alku, vektorit, vektorien laskutoimituksia­5.notebook
April 09, 2015
Esimerkki: b
2a + 5(a + b) ­ =
3
Luvun ja vektorin tulon laskusäännöt:
liitännäisyys:
t (sa) = (ts) a
osittelulait:
(t + s) a = ta + sa
t (a + b) = ta + tb
Ts. vektoreilla voi laskea kuin polynomeilla.
Tee tunnilla tehtävät 21, 24, 26.
3
MAA5 Kurssin alku, vektorit, vektorien laskutoimituksia­5.notebook
April 09, 2015
Määritelmä: Vektori, jonka pituus on yksi, on yksikkövektori.
a
Lause: Aidon vektorin a suuntainen yksikkövektori on a0 = .
|a|
4
MAA5 Kurssin alku, vektorit, vektorien laskutoimituksia­5.notebook
April 09, 2015
Vektorien yhdensuuntaisuusehto: Olkoon b ≠ 0. Tällöin a || b,
jos ja vain jos a = tb.
Ts. vektorit ovat yhdensuuntaisia täsmälleen silloin, kun toisen niistä saa aikaan kertomalla toista jollain luvulla t.
(Yhdensuuntaisuusehdon todistus sivuutetaan.)
Tee tunnilla tehtävät 21, 24, 26.
5
MAA5 Kurssin alku, vektorit, vektorien laskutoimituksia­5.notebook
April 09, 2015
Esimerkki: Tiedetään, että a ja b ovat aitoja vektoreita. Lisäksi 3a + 5b = b ­ 2a. Mitä voidaan sanoa vektoreiden a ja b suunnista?
Tee tunnilla tehtävä 28, 30.
Kotitehtävät: 20, 25, 27, 29.
6