2016 אוטומטים ושפות פורמליות

‫אוטומטים ושפות פורמליות ‪2016‬‬
‫עבודה ‪ :3‬למת הניפוח‪ ,‬סדרת הפרשים ומחלקות שקילות‬
‫מתרגלים אחראים‪ :‬יהונתן כהן וטל באומל‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫לכל אחת מהשפות בסעיפים א'‪-‬ו'‪ ,‬קבעו האם היא רגולרית או לא‪ ,‬והוכיחו בקצרה תשובתכם (אין צורך בהוכחה‬
‫מפורטת – כ ‪ 3-10‬שורות)‪.‬‬
‫עבור השפה בסעיף ז'‪ ,‬חשבו את )𝐿(𝑘𝑛𝑎𝑅 ומצאו )𝐿(𝑘𝑛𝑎𝑅 מילים שאינן שקולות זו לזו (אין צורך בהוכחה)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫}‪.𝐿 = {𝑎𝑛 +2𝑛 : 𝑛 ≥ 0‬‬
‫}𝑙 ‪.𝐿 = {𝑎𝑛 𝑏 𝑙 𝑎ℎ ∶ ℎ ≥ 𝑛 +‬‬
‫} ‪𝐿 = {w ∶ |w|a ≠ |w|b‬‬
‫} ∗}𝑏 ‪.𝐿 = {𝑤𝑤 𝑅 𝑤: 𝑤 ∈ {𝑎,‬‬
‫כל המילים 𝑤‪ ,‬מעל ∗}𝑏 ‪ {𝑎,‬כך שלכל רישא 𝑧 של 𝑤‪( .||𝑧|𝑎 − |𝑧|𝑏 | ≤ 100 ,‬שימו לב לערך המוחלט!)‬
‫ו‪.‬‬
‫כל המילים 𝑤‪ ,‬מעל ∗}𝑏 ‪ {𝑎,‬כך שלכל רישא 𝑧 של 𝑤‪,‬‬
‫𝑛 𝑚‬
‫ז‪.𝐿 = {𝑎 𝑏 : 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 ≤ 2𝑚} .‬‬
‫|𝑧|‬
‫‪3‬‬
‫≥ 𝑎|𝑧|‪.‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ .‬הראו שאם סדרת ההפרשים של שפה 𝐿 אינה חסומה‪ ,‬אז 𝐿 אינה מקיימת את תנאי למת הניפוח‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראו כי הכיוון השני אינו נכון‪ :‬קיימת שפה 𝐿 שאינה מקיימת תנאי למת הניפוח אך סדרת ההפרשים‬
‫שלה חסומה‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫הוכיחו או הפריכו‪ :‬עבור 𝐿 ‪ 𝐿1 , 𝐿2 ,‬שפות רגולריות‪:‬‬
‫א‪𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿1 ∪ 𝐿2 ) ≤ 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿1 ) × 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿2 ) .‬‬
‫ב‪𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿1 ∪ 𝐿2 ) ≤ 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿1 ) + 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿2 ) .‬‬
‫ג‪𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿) = 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿∗ ) .‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫עבור שפה רגולרית 𝐿 נסמן‪:‬‬
‫ )𝐿(𝑝 ‪ -‬קבוע הניפוח המינימלי לשפה‪ .‬כלומר‪ ,‬הטבעי הקטן ביותר כך ש 𝐿 מקיימת את תנאי למת‬‫הניפוח עבור )𝐿(𝑝 = 𝑁‪.‬‬
‫ )𝐿(𝑛 ‪ -‬מספר המצבים של אוטומט אי דטרמיניסטי בעל מספר מצבים מינימלי‪ ,‬המקבל 𝐿‪.‬‬‫ )𝐿(𝑚 ‪( 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐿) -‬מספר מחלקות שקילות)‪.‬‬‫א‪ .‬הראו כי‪.𝑝 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚 :‬‬
‫ב‪ .‬יהא ‪ ,𝑘 > 0‬מצאו שפה רגולרית עבורה 𝑚 = 𝑛 = 𝑝 = 𝑘‪.‬‬
‫ג‪ .‬תנו דוגמה לשפה רגולרית 𝐿 עבורה )𝐿(𝑛 < )𝐿(𝑝‪.‬‬
‫בהצלחה !!!‬