‫אוטומטים ושפות פורמליות‬ ‫מבחן מועד ב' תשע"א ‪23.02.2011‬‬ ‫פרופ' יעקב הל‪-‬אור‬ ‫מספר ת‪.‬ז‪______________________________:‬‬ ‫מספר מחברת‪_________________________:‬‬ ‫שאלה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫סה"כ‬ ‫ניקוד‬ ‫‪/25‬‬ ‫‪/25‬‬ ‫‪/25‬‬ ‫‪/25‬‬ ‫‪/100‬‬ ‫הנחיות‪:‬‬ ‫‪ .1‬משך הבחינה ‪ 3‬שעות‬ ‫‪ .2‬יש לענות על דפים אלו בלבד ואין לחרוג מהמקום המוקצה לכל תשובה‪ .‬יש לענות בכתב יד קריא וברור‪ .‬תשובה‬ ‫שאיננה קריאה תפסל!‬ ‫‪ .3‬המבחן עם חומר סגור‪ .‬דף סיכום מצורף‪.‬‬ ‫‪ .4‬מותר להסתמך בתשובותיכם על טענות שהוכחו בכתה או טענות שמצורפות בדף הסיכום‪.‬‬ ‫‪ .5‬שימו לב‪ :‬אין צורך ולא כדאי ל"המציא" תשובות‪ .‬במידה ואינכם יודעים תשובה על סעיף מסויים ניתן לכתוב‬ ‫"אינני יודע" ולקבל ‪ 02%‬מהניקוד עבור הסעיף‪ .‬תשובה לא נכונה לא תקבל ניקוד כלל‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫שאלה ‪ 25( 1‬נקודות)‬ ‫השלם את הטבלה הבאה‪ ,‬סמן בכל כניסה בטבלה נכון (‪ )‬או לא נכון (‪ .)x‬אין צורך לנמק!‬ ‫איננה חסרת‬ ‫הקשר‬ ‫חסרת‬ ‫הקשר‬ ‫רגולרית‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫}‪{w | w is not a palindrom‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫} ‪{an(a+b)m | m0, and n is a prime number‬‬ ‫}|‪{vb*w | v{a,b}*, w{b,c}* and |v|=|w‬‬ ‫} )‪{ 0i1j0k | kmax(i,j‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שפה‬ ‫‪V‬‬ ‫} |‪{xy | x,y{a,b}* and |x|=|y‬‬ A. w is not a palindrom can be expressed (over ={0,1}) as k02n1k or k12n2k each of which can be easily defined by a CF grammar. B. The language {an(a+b)m | m0, and n is a prime number} is eventually a(a+b)* C. Can be defined by the CFG: SASB | C ; Aa | b ; Bb | c ; CbC |  D. Non CFL. Can be shown by the pumping lemma for CFL using the word w=0p1p1p (we solved in class a similar problem). E. ()* )‫ נקודות‬25( 2 ‫שאלה‬ .)‫לכל אחת מהטענות הבאות קבע אם נכון או לא נכון ונמק בקצרה (במקום המוקצה לכך בלבד‬ .‫ נק' לנימוק‬3-‫ נק' יינתנו לאבחנה נכונה ו‬3 ,‫בכל טענה‬ ‫ היא שפה המכילה את כל תתי המילים‬subs(L) ‫ ( ז"א‬subs(L)={y | xyzL } :‫ נגדיר‬L ‫ עבור שפה‬.‫א‬ .‫ היא בהכרח ח"ה‬subs(L) ‫ היא שפה ח"ה אזי‬L ‫ אם‬.)L ‫שבשפה‬ :‫נימוק‬ ‫ לא נכון‬/‫נכון‬ True. Proof: Apply a CF substitution F()=’. Intersect with the regular language ’**’* Apply a CF substitution G(’)= .‫ שפה המקיימת את לימת הניפוח עבור שפות ח"ה ניתנת לזיהוי ע"י אוטומט מחסנית‬.‫ב‬ :‫נימוק‬ ‫ לא נכון‬/‫נכון‬ Wrong. LCFL  L satisfies the pumping lemma for CFL, but not vice versa. .‫ רגולרית‬L1 ‫ אזי‬L1L2=L4 ‫ וגם‬L1L2=L3 ‫ הן שפות רגולריות ומתקיים‬L2, L3, L4 ‫ אם השפות‬.‫ג‬ :‫נימוק‬ ‫ לא נכון‬/‫נכון‬ True. L’=L3-L2 is regular (closure of RL under subtraction). L1=L’L4 is regular (closure of RL under union) ‫ כך שמתקיים‬C ‫ וקיים אוטומט מינימלי‬,(DFA) ‫ הם אוטומטים דטרמניסטיים‬B -‫ ו‬A ‫ אם שני אוטומטים‬.‫ד‬ ) X ‫| מציין מספר המצבים באוטומט‬X| ( |C||A|*|B| ‫ אזי‬, L(C)=L(A)L(B) :‫נימוק‬ ‫ לא נכון‬/‫נכון‬ True. C can be built by the product automaton of A and B which has |A|*|B| states. Since C is minimal |C|  |A|*|B| 2 )‫ נקודות‬25( 3 ‫שאלה‬ ‫ במידה‬.‫ לכל שפה מהשפות הבאות קבע אם היא שפה רגולרית או ח"ה‬. ={a,b } ‫השפות הבאות מוגדרות מעל‬ ‫ ובנה דקדוק או אוטומט מחסנית‬,‫ במידה ולא רגולרית הוכח זאת‬.)NFA( ‫ורגולרית הוכח בעזרת בניית אוטומט‬ .‫שמזהה את השפה‬ L1={w | x,y* s.t. xy=w | #a(x) - #b(x) |  2 } .a .2-‫ בכל רישא של המילה קטן או שווה ל‬b-‫ ומספר ה‬a-‫ המקיימות שההפער בין מס' ה‬* ‫ כל המילים מעל‬,‫ז"א‬ L1 is a regular language: L2={w | x,y* s.t. xy=w | #a(xy) - #b(xy) |  2 } .b L2 is CFL. Proof: by applying the pumping lemma for CFL on w=an+2bn Grammar: S E | EaE | EbE | EaEaE | EbEbE ; E EaEbE | EbEaE |  L3={w | x,y* s.t. xy=w | #a(x) - #b(y) |  2 } .c .2-‫ בסיפא קטן או שווה ל‬b-‫ ברישא לעומת מספר ה‬a-‫ הפער בין מס' ה‬,‫ המקיימות שבכל רישא‬* ‫כל המילים מעל‬ L3 is regular (when the prefix is , no more than 2 b’s in the word are permitted. Similarly, when the prefix is , no more than 2 a’s in the word are permitted). The FA is : 3 )‫ נקודות‬25( 4 ‫שאלה‬ L(A)=L :L ‫( המזהה את‬DFA) A ‫ ואוטומט מינימלי‬L={1n | n>0 and (n mod 1000)=0} ‫נגדיר שפה‬ 10 ‫ הגדר מהן מחלקות השקילות מסדר‬.)‫ הוא המצב ההתחלתי‬q0 ‫ (כאשר‬’(q0,1k)=qk ‫ נגדיר כי‬.a .(10-equivalence) A ‫של מצבי‬ E10={ {q0,q1,..,q989},{q990},{q991},…,{q1000}} .‫? הוכח‬A ‫ כמה מחלקות שקילות יש לאוטומט‬.b There are 1001 equivalenct class in A. Proof: Denote by K the number of equivalent class in A. If K>1001, there must be i>1 such that, two states qi and q1000+i are in two different equivalent class. However ’(qi,1k)F  (1i+k mod 1000)=0  (11000+i+k mod 1000)=0  ’(qi+1000, 1k)F  qi and q1000+i are in the same equivalent class  contradiction  K1001. If K<1001, there must be 1000i,j0 and ij, such that qi  qj . However ’(qi,11000-i)F while ’(qj,11000-i)F  qi and qj are not equivalent  contradiction  K  1001 and K1001  K=1001. QED. ?A ‫ מה מספר המצבים באוטומט‬.c Since A is minimal, A has 1001 states (=number of equivalent classes) 4