1. No category

Kun salg ved direkte
kontakt mellem skole og forlag.
Kopiering er u-økonomisk
og forbudt til erhvervsformål.
Side
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Emne
Indholdsfortegnelse
Måling af vinkler
Tegning og måling af vinkler
Tegning og måling af vinkler
Tegning af trekanter vinkelsum i trekant
Nabovinkler, komplementvinkler,
vinkelberegning
Tegning af trekanter,
modstående/hosliggende
sider og vinkler
Tegning af trekanter, højden
Højden - fortsat
Midtnormalen
Midtnormalen,
den omskrevne cirkel
Trekanttegning,
retvinklet, ligebenet, ligesidet trekant
Vinkelberegning, vinkelhalveringslinien
Den indskrevne cirkel, opgaver
Medianen, opgaver
Cirklen
Cirklen - fortsat
Blandede opgaver
Firkanter
Opgaver med firkanter
Opgaver med firkanter
Ku
Læ
13
14
15
16
17
18
19
20
21
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
GEOMETRI 89
Side
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Emne
Opgaver med firkanter
Flytninger - spejling
Opgaver - spejling
Opgaver - spejling
Punktspejling
Blandede opgaver
Spejlingsakser
Parallelforskydning
Drejning - opgaver
Drejning - opgaver
Ensliggende vinkler ved parallelle linier
Blandede opgaver
Centervinkler
Periferivinkler
Opgaver - periferi/centervinkler
Opgaver - periferi/centervinkler
Firkanter
Firkanter - opgaver
Firkanter - opgaver
Firkanter - opgaver
Den retvinklede trekant
Den retvinklede trekant - opgaver
Den retvinklede trekant - opgaver
Blandede opgaver
Blandede opgaver
Blandede opgaver
Vinkelberegninger, symetriakser
Geometri 89 betyder geometri for 8.-9. kl.
Det forudsættes at eleverne har haft geometri før, da enkelte begreber anses for kendte.
Husk venligst, at der er emner og begreber, som ikke er omtalt, og som for år tilbage indgik i
geometriundervisningen f.eks.: Ensvinklede trekanter, synsvinkelbue, multiplikation omkring et
punkt.
Det vil uden tvivl være nødvedigt, at vise og diskutere mange af konstruktionerne før eleverne
selv kan gå i gang, og brugen af beviser må afhænge af elevernes standpunkt.
Mange opgaver skal løses i et kladdehæfte. (Tidligere var det uden linier!).
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Mål vinklerne og skriv
resultatet inde i vinklen.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn disse vinkler i dit kladdehæfte.
De SKAL ligge som på prøvetegningerne.
Ku
Læ
Mål vinklerne og skriv
resultatet inde i vinklen.
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Mål vinklerne og skriv
resultatet inde i vinklen.
Tegn disse vinkler i dit kladdehæfte. De SKAL ligge som på prøvetegningerne.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Her er prøvetegninger til nogle trekanter.
Du skal tegne trekanter med disse mål. (Alle længder er i cm).
Mål disse vinkler.
∠ A = ________
∠ B = ________
∠ C = ________
∠ E = ________
∠ F = ________
I alt = ________
Ku
Læ
I alt = ________
∠ D = ________
∠ J = ________
∠ G = ________
∠ K = ________
∠ H = ________
∠ L = ________
∠ I = ________
I alt = ________
I alt = ________
∠ x = ________
∠ y = ________
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
På side 5 lærte du, at de 3 vinkler
i en trekant tilsammen altid er 180o.
∠ x + ∠ y =90o.
Ku
Læ
∠ u + ∠ v =180o.
Find ud af hvor store vinklerne er,
uden at bruge vinkelmåler.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Når du tegner en trekant, er det lige meget, hvor du begynder.
Du skal se på prøvetegningen. Prøv at se, hvordan du nemmest kommer igang.
Det kan lige så godt være med A som B som C
Ku
Læ
Tegn nu disse trekanter i dit kladdehæfte.
De skal måske vendes i forhold til prøvetegningen.
De er gjort lidt sværere end dem på side 5.
Man siger, at b og c er vinkel
A’s hosliggende sider.
a er vinkel A’s modstående side.
Vinkel A og vinkel C er b’s
hosliggende vinkler.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Indtil nu har du kunnet tegne trekanterne med en lineal og en vinkelmåler.
Det kan man imidlertid ikke altid.
I disse opgaver SKAL du bruge passer. (Alle længdemål er i cm.)
Læ
Så bliver det igen lidt sværere. Nu skal du selv tegne en prøvetrekant.
Derefter sætter du målene ind på den, og tegner så den rigtige trekant.
Ku
Højden
Højden er en linie i en trekant.
Den går fra en vinkelspids, og
står vinkelret på modstående
side eller dennes forlængelse.
Det kan skrives f. eks:
hb, hc, ha osv.
alt efter, hvilken vinkel den
starter i.
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn de 3 højder.
Mål siderne.
Mål siderne.
A og B er centrum for
de 2 cirkler med samme
radius.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Midtnormalen
Ku
Læ
Tegn midtnormalerne til de
4 liniestykker.
Den omskrevne cirkel
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn normalerne til de 3 sider i begge trekanter.
De 3 normaler skal skære hinanden i ét punkt.
Dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel.
Tegn derefter den omskrevne cirkel.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
OPGAVER. (Tegn trekanten midt på siden i dit kladdehæfte).
Tegn disse 4 trekanter og deres omskrevne cirkel.
Læ
Siderne der danner den rette
vinkel kaldes kateter.
Siden over for den rette vinkel
kaldes hypotenusen.
Ku
o
∠ A + ∠ B = 90 .
At en trekant er en ligebenet
trekant betyder, at to af
siderne er lige store.
Her a = c.
Derfor er to af vinklerne lige
store. De kaldes for
„vinklerne ved grundlinien“.
∠ B kaldes topvinklen.
I en ligesidet trekant er
alle sider lige store, og
derfor er de 3 vinkler
også lige store.
Dvs. = 60o.
OPGAVER.
1.
2.
3.
Tegn en retvinklet trekant, hvor
kateterne er 4 cm og 5 cm.
4.
5.
I en retvinklet trekant er kateterne
a og b tilsammen 9 cm.
a er dobbelt så stor som b.
Tegn trekant ABC og beregn dens areal. 6.
Tegn en ligesidet trekant hvor siderne
er 5,5 cm.
Tegn en ligebenet trekant, hvor
grundlinien AC = 6,5 cm og ∠ B = 50o.
Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor
C er den rette vinkel og a = 10 cm
og c = 11,5 cm.
Tegn en ligebenet trekant ABC, hvor
grundlinien AB = 7 cm og vinklerne ved
o
grundlinien tilsammen er 110 .
Tegn den omskrevne cirkel.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn disse trekanter. (Alle længdemål er i cm).
Tegn hc
Tegn hc og ha
Tegn den
omskrevne cirkel.
Vinkelhalveringslinien
Ku
Læ
Lær (i første omgang) at tegne
vinkelhalveringslinien med passer og lineal.
Vises på tavlen.
Siderne er 6 cm.
Tegn de 3 højder.
Den indskrevne cirkel
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn vinkelhalveringslinierne i de 2 trekanter.
Tegn derefter den indskrevne cirkel.
Centrum for den indskrevne cirkel er der hvor
vinkelhalveringslinierne skærer hinanden.
De skal skære hinanden i èt punkt.
Medianen
Medianen er en linie, der går fra en
vinkelspids over til midten af den
modstående side.
Der er tegnet én her. Den kaldes ma, fordi den
udgår fra vinkel A.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Der er altid 3 medianer i en trekant.
Når du har fundet midten af c og b kan du
tegne de 2 andre.
Du finder midten ved at tegne normalerne.
De går jo gennem en linies midtpunkt.
Tegn mb og mc.
Tegn medianerne til denne trekant.
Start med at tegne normalerne.
Ku
Læ
Tegn disse trekanter.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Cirklen
Radius er _________ cm
Ku
Læ
Diameteren er __________ cm.
Tegn en tangent gennem P.
Tegn en sekant gennem Q
Tegn Korden PQ
Tegn en cirkel med r = 2 cm i det
viste kvadrat, så centerlinien bliver
10 cm.
Korden AC = 5,5 cm. Tegn den.
ABC er en ligebenet trekant.
Find ud af, hvor B ligger og tegn
trekanten.
Mål vinklerne.
____________
∠B=
____________
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
∠A=
∠C=
____________
Tegn ha og hc.
Tangenten PQ = 8 cm.
Tegn den anden tangent QR.
Ku
Læ
M er midtpunkt for en anden
cirkel med r=3 cm.
Centerlinien NM = 10 cm.
o
∠ PQM = 100 .
Tegn den anden cirkel.
Den tegnede cirkel er trekant ABC’s
indskrevne cirkel.
a, b, og c er tangenter til cirklen.
Tegn trekant ABC.
Tegn de 3 vinkelhalveringslinier.
OPGAVER. (Du skal selv lave en prøvetegning).
AC = 7 cm
o
∠ A = 65
hb = 4 cm
3.
a = 4 cm
b = 7 cm
c = 5 cm
5.
a = c = 7 cm
hb = 5,5 cm
2.
AC = 8 cm
∠ C = 75o
hb = 4,5 cm
4.
AC = 6,5 cm
∠ C = 135o
hb = 5 cm
6.
∠ A =∠ C
∠ A + ∠ C = 130O
b = 8 cm
7.
8.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
1.
Tegn en ligesidet trekant
med siden 7 cm.
Tegn den omskrevne cirkel.
Tegn en cirkel med r = 4 cm.
Inde i denne ligger en ligebenet trekant
ABC, hvor ∠ B er topvinkel og
AC = 6 cm. Tegn trekanten.
Mål vinklerne.
9.
I en retvinklet trekant er den ene katete
a = 5 cm, den anden b = 9 cm.
Tegn trekanten.
Tegn den indskrevne cirkel.
10. Centerlinien mellem to cirkler er 9 cm.
radius i den ene cirkel er 2 cm, og i den
anden er radius 3 cm.
Tegn cirklerne.
Tegn de 4 tangenter, der rører de
to cirkler
11. Tegn her en trekant med målene:
a = 6 cm, b = 8 cm og c = 10 cm. (Det er b der er tegnet).
Find midtpunktet af c og kald det P. Mål nu disse afstande:
PB = __________cm
PC = _________ cm
PA = _________ cm
Tegn en cirkel med P som centrum og r = PB.
Ku
Læ
BC bliver ___________________ i cirklen.
AC bliver ___________________ i cirklen.
AB bliver ___________________ i cirklen.
PA bliver ___________________ i cirklen.
Firkanter
Rektangel.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
I et rektangel er de modstående sider lige store og parallelle.
Alle vinkler er 90o.
I et rektangel halverer diagonalerne hinanden.
Parallelogram.
I et parallelogram er de modstående sider lige store
og parallelle.
I et parallelogram halverer diagonalerne hinanden.
I et parallelogram er de modstående vinkler lige store.
Kvadrat.
Ku
Læ
I et kvadrat er alle sider lige store.
I et kvadrat er alle vinkler lige store.
I et kvadrat er diagonalerne lige store,
og står vinkelret på hinanden.
Rombe.
I en rombe er alle sider lige store.
I en rombe står diagonalerne vinkelret på hinanden
og er samtidig vinkelhalveringslinier.
I en rombe er de modstående vinkler lige store.
Trapez.
En trapez er en firkant, hvor to af siderne er parallelle.
I et ligebenet trapez er de skrå sider lige store.
Tegn diagonalerne.
Kald skæringspunktet mellem dem for M.
Mål disse vinkler:
∠ CAD = __________
∠ BDA = __________
∠ AMD = __________
∠ ACB = __________
Hvilken type trekant er: (ret, spids, stump)
__________________________
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Trekant BAD
Trekant AMD
__________________________
Trekant DMC
__________________________
Tegn diagonalerne. Skæringspunktet
kaldes M. Hvilken type trekant er:
Trekant AMD
________________________
Trekant DMC
________________________
Tegn højden BE. Den er __________ cm.
Hvilken type trekant er
BED:___________________________
Mål vinklerne: ∠ CAD =
__________,
∠ BAD = __________,
∠ AMD = __________
Ku
Læ
Find 2 vinkler der er lige store (Brug 3 bogstaver til hver vinkel) __________ = __________
Tegn diagonalen BD.
Mål vinklerne:
∠A=
__________
∠B=
__________
∠C=
__________
∠D=
__________
Hvilken type vinkel er: (ret, spids, stump)
∠A=
__________________________
∠C=
__________________________
Der opstår derved 2 trekanter. Hvilken typer er de?
Den stumpvinklede trekant er ________. Den spidsvinklede er ________.
Tegn højden BE. Den er ________ cm. Vinkel ABE er ________o.
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn disse firkanter i kalddehæftet.
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn disse firkanter i kladdehæftet.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Spejling
Ligningen for spejlingsaksen er y = 1.
Find billedet af PQ ved spejling i s.
Billedets koordianter bliver:
Ku
Læ
P1 = (_____,_____)
Q1 = (_____,_____)
Ved spejling af RS i S bliver billedets
koordinater:
R1 = (_____,_____)
S1 = (_____,_____)
Tegn billedet af ABC ved spejling i s.
Billedets koordinater bliver:
A1 = (_____,_____)
C1 = (_____,_____)
B1 = (_____,_____)
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Spejlingsaksens ligning er : ____________
Find billedet af PQR ved spejling i s.
Billedets koordinater bliver:
Ku
Læ
P1 = (_____,_____)
Q1 = (_____,_____)
R1 = (_____,_____)
Når STU er spejlet i s bliver koordinaterne:
S1 = (_____,_____)
T1 = (_____,_____)
U1 = (_____,_____)
Tegn spejlingsaksen y = -1.
Tegn firkant ABCD når: A(-4,-3), B(-1,-1), C(2,-2) og D(-1,-5)
Find billedet af firkanten. Tegn billedet. (Du må gerne bruge en “tus“).
Billedets koordinater bliver: A1 = (____,____) B1 = (____,____) C1 = (____,____)D1 = (____,____)
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Flytninger
Alle spejlbilleder SKAL angives med koordinater.
Tegn i kladdehæftet. I koordinatsystemet skal 1 = 1 cm.
Find billedet af PQ ved spejling i s.
s: x = 2
Find billedet af RS ved spejling i s.
s: y = -1.
Find billedet af trekanten ved spejling i
x-aksen.
Læ
Find spejlbilledet af AB ved spejling i
spejlingsaksen s.
s: y = 1
Find billedet af firkanten ved spejling i s.
s: x = 2
Ku
Find billedet af trekanten ved spejling i s.
s: x = 2
Find billedet af ABCD ved spejling i
y-aksen. Dette kaldes R.
Find billedet af R ved spejling i x-aksen.
Find billedet af ABC ved spejling i y = x
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Punktspejling
Find billedet af ABC ved spejling i P. Skriv punkternes koordinater.
A = (_____,_____)
B = (_____,_____) C = (_____,_____)
Ku
Læ
Skriv billedets koordinater her. A1 = (_____,_____) B1 = (_____,_____) C1 = (_____,_____)
Tegn trekant ABC når:
A(-1,-1), B(3, -1) og C(2,-3)
Find billedet af ABC ved spejling i P(0,0)
Skriv billedets koordinater her.
A1 = (_____,_____)
C1 = (_____,_____)
B1 = (_____,_____)
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
I de opgaver, hvor du skal finde billedet af en figur, skal billedet altid tegnes og billedets
koordinater skal angives. Du skal bruge, at A bliver til A1, B til B1 osv.
Find billedet af trekanten ved spejling
i P(0,0).
Find billedet af trekanten ved spejling
i P(-1,0).
Spejlingspunktet P har koordinaterne (2,1).
Find billedet af ABC ved spejling i P.
P(2,2)
Find billedet af trekanten ved spejling i P.
Beregn arealet af trekant APB1.
5. I et koordinatsystem ligger en cirkel.
y-aksen er tangent til cirklen og centrum
er (3,1). Tegn cirklen.
Tegn en tangent til cirklen gennem (0,-4)
9. I et koordinatsystem ligger A(-2,1), B(1,4)
og C(3,0).
Tegn trekanten.
Indtegn en spejlingsakse s: y = -1.
Find billedet af ABC ved spejling i s.
Læ
6. Tegn en trekant ABC når AB = 9 cm,
∠ B = 46o og ∠ C = 74o.
Tegn desuden de tre midtnormaler og den
omskrevne cirkel.
Ku
7. Tegn et koordinatsystem.
A har koordinaterne (-2,-1) og B(4,-1).
Linien AB er korde i en cirkel, der har centrum
i (1,1). Tegn cirklen.
C ligger på periferien.
Tegn den ligebenede trekant ABC.
o
o
8. I et trapez ABCD er ∠ A = 50 , ∠ D = 75 ,
AD = 9 cm og DC = 6 cm.
Tegn trapetzet. (HUSK prøvetegning).
Tegn diagonalerne.
Hvor mange grader er ∠ B +∠ C ?
10. Tegn i et koordinatsystem den figur, der
har koordinaterne:
A(-1,-1), B(-3,5), C(-1,4) og D(1,5)
Find billedet af figuren ved spejling i A.
Beregn arealet af trekant CC1A.
11. Tegn to figurer: et rektangel og et
kvadrat.
De skal have samme omkreds.
Kvadratets areal er 25 cm2.
12. Tegn en ligesidet trekant med
siden 7 cm.
Tegn trekantens indskrevne cirkel.
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Indtegn spejlingsakserne i bogstaverne.
(Hvis der er nogle).
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Parallelforsk
ydning
arallelforskydning
Ku
Læ
Ved parallelforskydning skal du finde
billedet af trekant PQR.
Derved kommer billedet af R til at
ligge i (8,1).
Angiv koordinaterne til:
Q1(_____,_____) og P1(_____,_____)
Ved parallelforskydning kommer
billedet af U til at ligge i (-2,-1).
Tegn billedet af trekant STU.
Angiv koordinaterne til:
S1(_____,_____) og T1(_____,_____)
En figur K er angivet ved disse koordinater:
A(-4,1), B(-1,4), C(2,1) og D(-1,2).
Tegn K.
Find billedet af K ved parallelforskydning så billedet af B kommer til at ligge i (-1,0).
Angiv billedets koordinater: __________________________________________________
Drejning
Her skal du bruge passer.
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Drej ABC 90o om P
i negativ retning.
Drej firkanten 100o om P
i positiv retning.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Ku
Læ
Drej trekant ABC 85o om P
i negativ retning.
Tegn en ligesidet trekant ABC
med siden 4,5 cm.
Drej trekant 75o om P i positiv
retning.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Ensliggende vinkler
ved parallelle linier
Ku
Læ
Beregn samtlige vinkler.
Skriv resultatet i vinklen.
Du må IKKE bruge vinkelmåler.
Blandede opgaver
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Find billedet af ABC ved at spejle
trekanten i P.
Hvor mange grader er vinklerne?
∠ x = __________
∠ y = __________
∠ z = __________
Ku
Læ
∠ v = __________
Tegn normalerne til a, b og c.
Tegn den omskrevne cirkel.
Tegn 3 cirkler der har m som tangent.
De 3 cirkler har diameteren:
5 cm, 4 cm og 3 cm.
Vinkler ved cirklen
Centervinkler
Centervinkler er vinkler med toppunkt i centrum
af cirklen.
Cirklens omkreds, periferien, inddeler man i 360o.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Som du ser, er der tegnet 4 rette vinkler med
toppunkt i centrum. De er hver 90o.
Periferien er inddelt i 4 lige store stykker.
De må være 360o : 4 = 90o.
En centervinkel er lige så mange grader,
som det buestykke den spænder over.
På figuren er en centervinkel på 60o.
Buen AB er derfor 60o.
En anden centervinkel er 110o.
Buen CD er derfor også _____________o.
Ku
Læ
Mål selv.
∠ v =__________o
¯ BD =
__________o
∠ u =__________o
¯ CA =
__________o
Her skal du måle de 5 vinkler og skrive,
hvor mange grader de tilhørende buer er.
∠ u =__________o
¯ AB =____________o
∠ v =__________o
___________________o
∠ x =__________o
___________________o
∠ y =__________o
___________________o
∠ z =__________o
___________________o
Vinkler ved cirklen
Periferivinkler
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Periferivinkler har deres toppunkt på periferien.
Man kan vise, at en periferivinkel er halvt så mange grader som det buestykke,
den afskærer på periferien.
∠ u er 56o, og buestykket AB er
derfor 56o . 2 = 112o.
Vinkeltyper.
∠ u er en _________________________________
∠ v er en _________________________________
∠ u er ______________o.
Læ
Derfor er ¯ AB = ______________o.
∠ v er ______________o og spænder over
Ku
et buestykke, der er ______________o.
Mål vinklerne.
Beregn buerne.
∠ A =__________o
¯ BC = __________o
∠ B =__________o
¯ AC = __________o
∠ C =__________o
¯ AB = __________o
¯ CD er 60o og ∠ v er derfor 30o.
Vinkler ved cirklen
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Opgaver
Tegn en regelmæssig 6-kant inde i cirklen.
Tegn en regelmæssig 5-kant inde i cirklen.
6.
Tegn en cirkel med r = 3,5 cm.
Tegn inde i denne en periferivinkel på 30o.
2.
Tegn en cirkel med d = 7 cm.
Tegn i denne en centervinkel på 100o.
7.
Tegn en cirkel med diameteren 8 cm.
Tegn inde i denne en periferivinkel på 45o.
3.
Tegn en cirkel med r = 4,5 cm.
Angiv herpå et buestykke på 80o.
8.
Ku
Læ
1.
Tegn en cirkel med r = 4 cm.
Tegn inde i denne en centervinkel på 55o.
4.
Tegn en halvcirkel med r = 5 cm.
Angiv på denne en cirkelbue på 140o.
5.
Tegn en cirkel med r = 4 cm.
Afsæt på denne cirkelbuen AB = 50o og
cirkelbuen BC = 100o.
Angiv det punkt D på cirkelbuen der ligger
lige langt fra A og C.
Tegn firkant ABCD.
Hvor mange grader er:
a) ¯AB
b) ¯BC
d) ¯PQ
e) ¯QR
c) ¯AC
f) ¯RP
9.
Tegn en cirkel som denne.
o
o
Afsæt herpå ¯AB = 120 og ¯BC = 110 .
Tegn trekant ABC.
Hvor mange grader bliver vinkel A, B og C?
∠ A = __________
∠ B = __________
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
∠ C = __________
10. Tegn en trekant som denne.
Tegn derefter den omskrevne cirkel.
Hvor mange grader bliver:
¯AB: __________
¯AC: __________
¯BC: __________
Find punktet D midt på bue AC.
Hvor mange grader bliver vinkel D? ____________
Vinkler ved cirklen
Læ
Andre vinkler
Ku
Tangentvinkel
o
En tangentvinkel er 180 minus den
mindste af de buer, den spænder over.
Udvendig vinkel
En udvendig vinkel er halvt så mange grader
som differensen mellem de buer, der ligger
mellem vinkelbenene.
Korde - tangent-vinkel
En korde-tangent-vinkel er halvt så mange
grader som den bue, der ligger mellem
vinkelbenene.
Indvendig vinkel
En indvendig vinkel er halvt så mange grader
som summen af de buer, den selv og dens
topvinkel spænder over.
Tegning af firkanter
Hvor mange grader er:
∠ A = __________
∠ B = __________
∠C = __________
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
∠ D = __________
Ialt
______________
∠ BAC = __________
∠ BCA = __________
∠ ACB = __________
∠ CAD = __________
I alt
Hvilken type trekant er ABC?
____________
___________________________
Hvad kaldes en linie som AC? ___________________________
Ku
Læ
Hvad kaldes en linie som BE? ___________________________
Her er en prøvetegning til en firkant.
Tegn den her. (Alle længdemål er i cm).
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Her er en prøvetegning til en firkant ABCD.
Sæt disse mål ind på prøvetegningen og
tegn så den rigtige firkant.
AC = 9 cm
BC = 8 cm
AD = DC
o
o
∠ D = 100
∠ ACB =45 .
Ku
Læ
Sæt disse mål ind på prøvetegningen:
AB = 4,5 cm BC = 6 cm
AC = 7 cm
o
AC = AD
∠ D = 72 .
Tegn firkanten.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Sæt disse mål ind på prøvetegningen og tegn firkanten.
AD = 6 cm
∠ BDC =35o
∠ B = 60o
BC = 7 cm
hc på BD = 4 cm
Ku
Læ
∠ A = 80o
AB = AD = 5,5 cm
AC = 9 cm
CD = 6 cm
Sæt målene ind på prøvetegningen og tegn ABCD.
Tegn en rombe ABCD
med siden 4,5 cm. AC = 4 cm.
(Husk prøvetegning).
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Tegn et parallelogram ABCD når
AD = 5 cm, AB = 3,5 cm og ∠ A = 70o
Ku
Læ
Tegn et parallelogram ABCD hvor ∠ A + ∠ C = 110o.
AD = 7 cm og BD = 6 cm.
Den retvinklede trekant
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Pythagoras læresætning
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Ku
Læ
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Ku
Læ
Prøv en gang at måle de to omkredse for
at se hvad du får.
Blandede opgaver
1.
Tegn en cirkel med r = 4 cm.
Tegn i denne en centervinkler på 115o.
2.
Tegn en cirkel med d = 7 cm.
Tegn i denne en periferivinkel på 50o.
4.
Tegn en ligebenet trekant ABC, hvor
o
topvinklen ∠ B = 54 og AC = 7,6 cm.
5.
Tegn en cirkel med r = 4 cm.
Tegn i denne en korde AC = 7 cm.
Afsæt i positiv retning ¯CB = 90o.
Tegn trekant ABC.
6.
I et rektangel ABCD er AD = 8 cm
o
∠ ADB =28 . Tegn rektanglet.
Hvor mange grader er de vinkler diagonalerne
danner: a) den største, b) den mindste.
7.
Diagonalerne i et rektangel danner en
vinkel på 110o. AD = 9 cm.
Tegn rektanglet.
8.
14. Tegn en cirkel med d = 9 cm.
Afsæt på denne en korde AD = 7,5 cm.
o
o
Afsæt ¯AB =90 og ¯BC =110 .
Tegn firkanten ABCD.
Find målene på alle 4 vinkler.
Hvor mange grader er de tilsammen?
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
3.
Tegn en ligesidet trekant med siden
5 cm. Tegn dens omskrevne cirkel.
13. Tegn trekant ABC idet.
a = 6 cm, b = 9 cm og c = 8 cm.
Tegn de tre højder.
Tegn et kvadrat med siden 6 cm.
9.
I et kvadrat er diagonalerne 10 cm.
Tegn kvadratet.
Læ
10. I en rombe ABCD er ∠ A =55o.
Siden er 5,5 cm. Tegn romben.
Ku
11. I et parallelogram ABCD er
o
o
AD = 9 cm, ∠ A =65 og ∠ ADB =35 .
Tegn ABCD.
Diagonalernes skæringspunkt er M.
a) Hvor mange grader er ∠ AMD?
b) Hvor mange grader er ∠ DMC?
12. Tegn trekant ABC idet:
a = 6 cm, b = 7,5 cm og c = 9 cm.
Tegn de tre vinkelhalveringslinier.
15. Tegn en cirkel med r = 3,5 cm.
Tegn et kvadrat inde i cirklen.
(Vinklerne skal ligge på periferien).
16. Tegn en cirkel med d = 8 cm.
Afsæt på denne ¯AB =80o, ¯BC =85o og
¯CD =60o. Tegn firkant ABCD.
Beregn vinklerne.
17. Tegn en cirkel med d = 10 cm.
o
o
Afsæt på denne ¯AB =120 , ¯BC =80 og
¯CD =50o.
Tegn firkant ABCD og beregn vinklerne.
18. Tegn i et koordinatsystem trekanten T:
A(1,3), B(1,7) og C(5,5).
Indtegn spejlingsaksen(s): y = 2.
Find billedet af T ved spejling i s.
Angiv billedets koordinater.
19. En figur Q er angivet ved disse punkter:
A(1,2), B(1,4), C(2,5), D(4,3) og E(3,2)
Tegn Q og billedet af Q ved spejling i (0,0)
Angiv billedets koordinater. A1, B1, ...
20. En retvinklet trekant (R) er angivet med
disse punkter: A(-5,2), B(-1,5) og C(-1,2).
Find billedet af R ved drejning 90o om (1,0).
Angiv billedets koordinater.
21. Tegn trekanten og beregn vinkel
u, v, x, y, z.
∠ A =70o
∠ B =60o
AC = 8 cm
a)
b)
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Blandede opgaver
Arealet af ABCD er
_____________cm2
Tegn diagonalerne og beregn deres længder.
_____________ ______________
Angiv koordinaterne
til C1’s centrum:
Ku
Læ
_____________
Tegn cirklen C2 med
r = 4 cm og centrum i
(0,-1).
I hvilke punkter
skærer C2 y-aksen?
________ ________
Tegn tangenter til
begge cirkler
gennem (0,6)
Beregn længden af
centerlinien.
_______________
(2 decimaler)
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Indtegn en rombe(R) ABCD med koordinaterne: A(-6,1), B(-2,4), C(2,1), D(-2,-2).
Omkredsen af R = ____________
Arealet af R = _________
Find og tegn billedet(R1) af R ved parallelforskydning så A kommer til at ligge i A1(-2,1).
Hvor stort er det areal R og R1 har fælles? _______________.
Ku
Læ
I et parallelogram ABCD skærer diagonalerne
hinanden i M. ∠ AMD =135o.
AC = 10 cm, BD = 8 cm.
Tegn parallelogrammet. (Husk prøvetegning).
I denne retvinklede trekant
er ∠ A =56o.
re
n re
til k
s
læ em
re p
rb la
ru r
g
Beregn de nævnte vinkler
uden brug af vinkelmåler.
= ____________
∠ ABM
= ____________
∠ CNP
= ____________
∠ AOM
= ____________
∠ ANP
= ____________
∠ AOB
= ____________
Hvor mange retvinklede
trekanter er der på
figuren?
∠ BNA
= ____________
∠ NOM
= ____________
___________
∠C
Ku
Læ
Indtegn alle de symmetriakser du kan finde.