1. No category

Geometri,
(E-opgaver 9b)
Indhold
GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B) ......................................................................................................................................................... 1
Arealet af en trekant er ½ højde · grundlinje ................................................................................................................................ 1
Vinkelsummen i en trekant er altid 180° ......................................................................................................................................... 1
Ensvinklede trekanter ...................................................................................................................................................................... 1
Retvinklede trekanter ....................................................................................................................................................................... 2
Sinus, Cosinus og Tangens .............................................................................................................................................................. 2
FORMLER .............................................................................................................................................................................................. 3
EKSEMPLER........................................................................................................................................................................................... 3
Areal af trekant ............................................................................................................................................................................ 3
Vinkelsum i en trekant ..................................................................................................................................................................... 3
Ens- vinklede trekanter .................................................................................................................................................................... 3
Ret- vinklet trekant ......................................................................................................................................................................... 4
Pytha- goras, Sinus, Cosinus og Tangens ................................................................................................................................. 4
FLERE EKSEMPLER PÅ ANVENDELSE AF FORMLERNE............................................................................................................................. 5
Arealet af en trekant er ½ højde · grundlinje
(hvor grundlinjen er siden vinkelret på højden)
Arealet = ½ha · a = ½hb · b = ½hc · c
Bemærk ha er ikke indtegnet
Vinkelsummen i en trekant er altid 180°
Ensvinklede trekanter
Hvis 2 trekanter er ensvinklede, så er den ene en forstørrelse af den anden.
Sidelængderne i den sidste er lig sidelængderne i den første ganget med en faktor,
forstørrelsesfaktoren. Den kaldes også skalafaktoren.
Hvis skalafaktoren er 1, så er trekanterne lige store.
Hvis skalafaktoren er mellem 0 og 1, så er der faktisk tale om en formindskelse.
Hvis man kender længden på tilsvarende sider i de 2 trekanter, så kan skalafaktoren
beregnes.
© PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9.
Opdateret 9/2-13
side
1 /5
Nedenfor ses 2 ensvinklede trekanter.
6
Der gælder: skalafaktoren = /4
(Kaldes også forstørrelsesfaktoren)
4
6
Retvinklede trekanter
Hvis den ene vinkel i en trekant er 90°, så kaldes trekanten retvinklet.
En ret vinkel markeres ofte med et lille kvadrat.
Siden over for den rette vinkel kaldes hypotenusen.
De 2 andre sider kaldes kateter.
Sinus, Cosinus og Tangens
Hvis man kender 2 sider i en retvinklet trekant, kan man beregne de spidse vinkler ved at
benytte Sinus, Cosinus og Tangens på lommeregneren, forkortet: Sin, Cos og Tan.
Til enhver spids vinkel er knyttet et tal vi kalder Sinus til vinklen.
Også til Cosinus og Tangens er knyttet et tal til enhver spids vinkel og der gælder:
Sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er modstående katete divideret med
hypotenusen.
Cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er hosliggende katete divideret med
hypotenusen
Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er modstående katete divideret med
hosliggende katete.
© PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9.
Opdateret 9/2-13
side
2 /5
Lad os betragte en retvinklet trekant:
Sammenhængen mellem sider og vinkler kan udtrykkes således:
Sin v
=
Cos v =
modstående katete
/ hypotenusen
/ hypotenusen
modstående katete
/ hosliggende katete
hosliggende katete
Tan v =
Når man kender Sin, Cos eller Tan til en vinkel kan selve vinklen findes ved hjælp af ArcSin, ArcCos eller
ArcTan, som på de fleste lommeregnere betegnes med sin-1, som fås ved først at taste 2nd eller INV og
derefter Sin.
Formler
Bogstaver
Areal
af
trekant
T = ½·10·15 = 75
T = Areal =
½ højde · grundlinje
hb er
højden på b
og
hc er højden
på c
Vinkelsum
i en
trekant
h
2  75
 15
10
g
2  75
 15
10
T = ½·h·g
T er areal,
ha er højden
på a,
Eksempler
h
2A
g
g
2A
h
T= 0,5·a·ha = 0,5ab·Sin C
T= 0,5·b·hb = 0,5bc·Sin A
T =0,5·4·9·Sin(30°)
T= 0,5·c·hc = 0,5ca·Sin B
Herons formel:
T=
hvor
Vinkelsummen
i en trekant
er 180°
u =180° - 70° - 80°
v + u + w = 180°
k = skalafaktor
= forstørrelsesfaktor
Ensvinklede
trekanter
k=
b1 = 1,5 · 4 = 6
b1 = k · b
c=
© PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9.
= 1,5
Opdateret 9/2-13
side
3 /5
= 8
Symboler m.m.
Formler
Eksempler
Pythagoras
Pythagoras
Kvadratet på
hypotenusen er lig
summen af
kateternes kvadrat.
hyp2 = hosl.k² + modst²
5² = 4² + 3²
hyp  4 2  32  5
Retvinklet
trekant
Pythagoras,
Forkortelser:
hosl.k  5 2  32  4
hyp:
mod st  5 2  4 2  3
Hypotenusen
hosl.k: Hosliggende katete
modst: Modstående katete
Sinus
Sinus
mod st
Sin (v) 
hyp
Sinus,
1
Sin , Cos og Tan på
lommeregner svarer til
ArcSin , ArcCos og ArcTan i
Calculator.dk og i RegneRobot.
-1
Cosinus
og
Tangens
(
)
(
)
-1
Også i regneark benyttes ArcSin
, ArcCos og ArcTan; men her
angives vinkler i radianer i stedet
for grader.
Radianetal = gradtal * 2pi() /
180
Gradtal = radiantal * 180 / 2pi()
Modst = hyp·Sin(v)
hyp 
Cosinus
Cosinus
(
I regneark Excel kan man
konvertere med funktionerne
grader og radianer.
3
5
Sin (37)
hosl.k
Cos (v) 
hyp
(
)
fx:
0,5 =Sin(30 * 2pi() / 180)
og
30 =ArcSin(0,5) * 180 / 2pi()
Modst = 5·Sin(37°)= 3
)
hosl.k  hyp  Cos(v)
hosl  5  Cos(37)  4
hosl.k
hyp 
Cos(v)
hyp 
Tangens
Tan(v) 
Fx
0,5 =Sin(radianer(30))
4
5
Cos (37)
Tangens
Sin (v)
Cos (v)
Tan(v)= ¾
(
)
v=Tan-1( 3/4)=37°
(
)
v=ArcTan ( 3/4)=37°
og
30 =Grader(ArcSin(0,5))
Modst = hosl·Tan(v)
Modst = 4·Tan(37°) = 3
3
hosl 
4
Tan(37)
-+
© PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9.
Opdateret 9/2-13
side
4 /5
Flere eksempler på anvendelse af formlerne
Sin(30°)= b/8 Dvs b = 8·Sin(30°) = 8·0,5 = 4
Tan(A)= 2/4 = 0,5
Sin(70°)
5,0
=
Dvs Vinkel A = 26,6°
Sin(50°)
c
Dvs c =
(Benyt Tan-1 eller ArcTan)
5,0·Sin(50°)
Sin(70°)
b² = 5,02 + 4,02 – 2·4,0·5,0·Cos(60°) =21,0 Dvs B =
T = 0,5·4·9·Sin(30°) = 0,5·4·9·0,5 = 9
© PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9.
Opdateret 9/2-13
side
5 /5
= 4,0
= 4,6