Mat vejl projekt gruppe 3 - Keiding Maes Specht
Uddannelse til matematikvejleder RUC Afsluttende projekt 2013-2015 Hold 3 Rapporten er udarbejdet af: Anders Keiding, Sankt Annæ Gymnasium Kasper Maes, Aurehøj Gymnasium Christina Specht, Aurehøj gymnasium Vejledere: Mogens Niss, Uffe Jankvist og Sif Skjoldager, RUC 1 Indholdsfortegnelse Indledning .......................................................................................................................................................... 5 Proces i projekterne .......................................................................................................................................... 6 Detektion og identifikation............................................................................................................................ 6 Diagnosticering .............................................................................................................................................. 7 Intervention ................................................................................................................................................... 7 Fremtiden. ......................................................................................................................................................... 8 Uddybning af diagnosticering og intervention .............................................................................................. 9 Intervention for fremtiden .......................................................................................................................... 13 Miniprojekt 1. semester januar 2014 .............................................................................................................. 16 Indledning .................................................................................................................................................... 17 Detektion ..................................................................................................................................................... 18 Fremgangsmåde. ..................................................................................................................................... 18 Vurdering af svar. .................................................................................................................................... 18 Kategorisering af spørgsmål. ................................................................................................................... 19 Resultater. ............................................................................................................................................... 19 Detektionstest – vores gæt ..................................................................................................................... 20 Fangede testen de elever vi gættede på - deltagende elever ................................................................. 21 Problemformulering .................................................................................................................................... 22 Teori............................................................................................................................................................. 22 Om forskellige former for matematikforståelse ..................................................................................... 23 Matematiske begreber og begrebsbilleder ............................................................................................. 23 Symbol- og formalismekompetencen ..................................................................................................... 24 Om at løse lineære ligninger (Filloy & Rojano 1989), (Vlassis 2002) ....................................................... 25 Diagnosticering ............................................................................................................................................ 26 Kenny – videosession 1............................................................................................................................ 27 Kenny – videosession 2............................................................................................................................ 32 Tommy – videosession 1 ......................................................................................................................... 34 Tommy – videosession 2 ......................................................................................................................... 38 Intervention ................................................................................................................................................. 40 2 Konklusion ................................................................................................................................................... 43 Bilag – miniprojekt 1 .................................................................................................................................... 46 Miniprojekt 2. semester januar 2014 .............................................................................................................. 72 Indledning: ................................................................................................................................................... 73 Hvad er et ræsonnement og et bevis, og hvad er deres rolle i gymnasiet .................................................. 74 Detektion ..................................................................................................................................................... 74 Fremgangsmåde ...................................................................................................................................... 75 Vurdering af spørgsmål og svarmuligheder ............................................................................................ 75 Kategorisering.......................................................................................................................................... 75 Resultater ................................................................................................................................................ 77 Valg af elever ........................................................................................................................................... 79 Teori............................................................................................................................................................. 81 Matematikforestillinger (’Beliefs’)........................................................................................................... 82 Bevisets funktion og bevisskemaer ......................................................................................................... 83 Beskrivelse af relevante matematiske kompetencer fra KOM-rapporten .............................................. 86 Diagnosticering - første interview ............................................................................................................... 87 James - første interview .......................................................................................................................... 89 Charles - første interview ........................................................................................................................ 91 Keith - første interview ............................................................................................................................ 94 Problemformulering .................................................................................................................................... 97 Diagnosticering - andet interview ............................................................................................................... 97 James - andet interview........................................................................................................................... 98 Charles - andet interview ...................................................................................................................... 101 Keith - andet interview .......................................................................................................................... 104 Intervention ............................................................................................................................................... 105 Intervention af James ............................................................................................................................ 112 Intervention af Charles .......................................................................................................................... 113 Intervention af Keith.............................................................................................................................. 115 Konklusion ................................................................................................................................................. 117 Perspektivering .......................................................................................................................................... 119 Bilag – miniprojekt 2 .................................................................................................................................. 120 Miniprojekt 3. semester december 2014 ...................................................................................................... 194 Indledning .................................................................................................................................................. 195 3 Detektion af elever .................................................................................................................................... 196 Fremgangsmåde .................................................................................................................................... 196 Præmisser for vurdering af svar i detektionstest .................................................................................. 196 Kategorisering........................................................................................................................................ 196 Resultater .............................................................................................................................................. 197 Valg af elever ......................................................................................................................................... 199 Teori........................................................................................................................................................... 200 Diagnosticering .......................................................................................................................................... 203 Interview med Ed................................................................................................................................... 204 Interview med James ............................................................................................................................. 211 Interview med Charles........................................................................................................................... 216 Interview med Mary .............................................................................................................................. 221 Interview med Jay.................................................................................................................................. 226 Konklusion på diagnosticering ............................................................................................................... 232 Intervention ............................................................................................................................................... 232 Prætest .................................................................................................................................................. 233 Resultater af prætest............................................................................................................................. 237 Modul 1 – modellering og matematisering ........................................................................................... 238 Modul 2 – modelleringsspil ................................................................................................................... 239 Modul 3 – aktiv modulering .................................................................................................................. 240 Sådan gik interventionsforløbet ............................................................................................................ 241 Resultater af posttest ............................................................................................................................ 246 Refleksioner over posttestens resultater .............................................................................................. 247 Konklusion ................................................................................................................................................. 248 Bilag – miniprojekt 3: ................................................................................................................................. 251 Litteraturlister: .............................................................................................................................................. 290 Litteraturliste – kappe: .............................................................................................................................. 290 Litteraturliste – miniprojekt 1: .................................................................................................................. 290 Litteraturliste – miniprojekt 2: .................................................................................................................. 291 Litteraturliste – miniprojekt 3: .................................................................................................................. 292 4 Indledning Ovenstående er en af Steen og Stoffer mange skønne matematikstriber, der giver anledning til smil og diskussioner. Først er det sjovt at Susie besvarer Steens spørgsmål med så højt et tal og at Steen i første omgang fuldstændig accepterer svaret - dernæst hans undren om rigtigheden. Der er håb, når man lige at tænke, inden man overraskes over hans videre tankegang, som er morsom på flere måder. Diskussionen blandt matematikere kan allerede fornemmes. Egentlig er det absurd at man som underviser i matematik stadig kan overraskes over Steens tankegang og kommentarer, idet han blot udtrykker, hvad vi ofte hører og ser. Men måske er det netop derfor, vi finder striben så underholdende. Elever kan indimellem spørge helt åbenlyst og uden blusel om banaliteter, som vi måske de første gange tænker at det burde de vide. Men ofte kommer man ikke mange minutter videre i undervisningen før et nyt spørgsmål dukker op og som overrasker én endnu mere. Man opdager at det f.eks. ikke blot er simple færdigheder, der mangler træning men hele sorte områder i elevens matematiske univers, er mangler belysning. Man morer sig ikke er over deres spørgsmål, men undres kraftigt og når måske lige en tankestrøm og en kort dialog med en kollega i et frikvarter udover et halvkort svar til eleven i timen. Man håber det afhjælper lidt, men har nok anet afgrundens dyb. I dagspressen har der den seneste tid været en del artikler om forældre der køber lektiehjælp til deres børn både i folkeskolen og gymnasiet. Dette kan diskuteres ud fra mange vinkler og er et anliggende med mange facetter, men set i lyset af vores matematikvejlederuddannelse kan det være et vidnesbyrd om at vi ikke er de eneste, der har set problematikken i lighed med den, der optræder i ovenstående stribe og at der vitterlig ER problemer derude i matematikland - måske ikke bare for de få elever, men også for elever der ved førte øjekast virker godt kørende. 5 Proces i projekterne "Denne sang, er ikke særlig lang". En halv tone op. "Denne sang, er ikke særlig lang". Endnu en halv tone op. "Denne sang... osv. En velkendt gentagelse af en simpel sætning til opvarmning af stemmer inden en koncert. Denne opvarmning ledte tankerne hen på vores projekt og uddannelse som matematikvejledere. For uddannelsen er en opvarmning til vores fremtidige virke og opvarmning er netop opvarmning og ikke selve koncerten eller selve matematikvejledningen. Vi vil derfor i det kommende afsnit se i bakspejlet, hvordan processen har været undervejs i vores uddannelse og dernæst diskutere hvordan arbejdsgangene og rutinerne kan blive i vores fremtidige virke. Detektion og identifikation I de tre semestre har vi arbejdet med de tre faser detektion, diagnosticering og intervention meget adskilt. En fase skulle gennemgås og klares før der kunne tages fat på en ny. Det har vist sig at vi i løbet af uddannelsen har haft fokus på hver af de tre faser i hver af de tre semestre. Således har vi læst og analyseret detektionstest af en del elever i første semester og samtidig indgående diskuteret betydningen af de mønstre som detektionstesten af den enkelte elev betyder. Vi har diskuteret hvordan vi skal fortolke og kategorisere spørgsmålene og ikke mindst pointtildeling af elevernes svar i de enkelte spørgsmål. Ofte svarer de ikke en helt korrekt ellert helt forkert men et sted midt i mellem. Og nogle svar er ikke særlig tydelige - hvad mener de egentlig med det de svarer - hvor langt hen ad vejen er de med på hvad der foregår. Endelig er der for vores skoler præstationsaspektet, som betyder at eleverne måske snyder lidt fx ved at se efter sidemanden for at præstere godt i testen selvom de har fået vide at de ikke er en sædvanlig vurderingstest. Derfor er vi heller ikke vilde med multiple choice spørgsmålene, hvor der for vores elever er 50/50 % chance for at gætte det korrekte svar. Svarmuligheden "Ved ikke" vil de ikke vælge. Herudover kom der en del arbejde med at udvælge elever. Vi havde på forhånd, ud fra de erfaringer vi har fra dagligdagen i timerne, gjort os tanker om vores elever og identificeret en række af mulige kandidater. Detektiontesten i første semester bød ikke på de store overraskelser med hensyn til bunden i klasserne, men disse elever blev af flere årsager ikke udvalgt til projektdeltagelse. Lidt overraskende var det dog at de to elever som vi endte med at bruge som cases ikke skilte sig mere positivt ud efter detektionstest 1 til trods for vores formodning herom. I andet og tredje semester brugte vi også uddannelsens spændende detektionstest til flere klasser for at undersøge om disse ville fange de elever vi som udgangspunkt ville anse som havende matematikvanskeligheder. Men vi brugte ikke så megen tid og mange kræfter på at diskutere detektionstestens kategoriseringer, pointtildeling mv. belært af erfaringerne fra første semester. Motivationen for kategoriseringen i andet semesters opgave var todelt. Vi ville for det første gerne have et værktøj til at give os et hurtigt overblik over hvilke hjørner af ræssonementskompetencen eleverne har særligt vanskeligt ved. Desuden ville vi gerne have et overblik over enkelte elever og hele klassers eventuelle problemer med matematiske emner eller kategorier. Da fokus i andet semester var beviser og ræsonnementer ville vi med denne todelte kategorisering prøve at styre lidt udenom de emner, som eleverne har problemer med. I tredje semester er detektionstesten rettet efter faserne i modelleringscyklussen og lavet på baggrund af Niss’ noter om de tretten spørgsmål [Niss, 2/2014]. 6 Diagnosticering I første semester brugte vi som nævnt meget tid på diskussion af detektionstesten og elevernes svar. Efter udvalg af elever blev deres svar af detektionstesten gransket yderligere, og vi opstillede nogle foreløbige hypoteser om disse elevers matematikproblemer og mulige årsager. Til den videre diagnosticering af de udvalgte elever, lavede vi to videosessioner. Vi valgte i første omgang at spørge eleverne igen om nogle af de spørgsmål, de havde besvaret både korrekt og forkert i detektionstesten for at høre deres uddybninger af svarene. Ud fra en analyse af svarene i første diagnoseinterview formulerede vi endnu en række opgaver, som vi bad eleverne om at løse mens de tænkte højt, så vi kunne få et indblik i deres tankegang. Begrundelsen var mere data til diagnosen af hver elev og måske at komme lidt dybere i hans problemer. Vi blev undervejs noget overrasket over at vores elever udviste vanskeligheder på flere og hele tiden nye områder. Diagnosesessionerne udviklede sig til en slags beskydning med spredehagl af spørgsmål til eleverne, idet deres svar indimellem lå langt fra det forventede - de lavede fejl og havde vanskeligheder flere steder i en opgave, end den var designet til at afdække. I andet semester var vi klar over, at vi skulle have mere fart på i forhold til detektionstesten, så projektet ikke blev en analyse af hvert spørgsmål med henblik på en kategorisering, og således fik vi hurtigere bevæget os over i diagnosticeringen af vores elever. Denne bestod af to lange individuelle interviewrunder. Vi valgte igen at starte med at spørge eleverne om nogle af spørgsmålene fra detektionstesten for at høre deres uddybninger af svarene og undersøge hvor store problemer de havde med ræsonnementskompetencen, og hvad eventuelle problemer i de matematiske emner havde af betydning. I anden interviewrunde havde vi indsnævret problemerne eller rettere valgt et fokuspunkt, så dette diagnoseinterview blev der brugt en del kræfter på at designe og diskutere udformningen af for at undgå de problemer, vi havde stødt på i diagnosedelen i første semester. I tredje semester var vores fokus på intervention, så der gjorde vi ikke så meget ud af diagnosedelen. Det blev til et interview pr. elev, hvor vi fulgte op på deres svar på udvalgte opgaver fra detektionstesten. I samtalerne med eleverne blev vi bekræftet i vores formodning om, at de alle havde vanskeligt ved matematisering. Intervention Vi har generelt ikke været helt tilfredse med den tid, vi i slutningen af hvert semester har haft til rådighed til intervention af vores elever. Denne del prøvede vi i det sidste semester at gøre mere ud af. Interventionsdelen i tredje semester kan ikke helt sammenlignes med interventionsdelene i 1. og 2. semester, da vi på forhånd havde et ønske om at gennemføre en klasserumsintervention, hvor vi i de foregående semestre havde arbejdet med individuelle interventionssessioner. Vi fik designet et lille forløb i modellering, som vi håber også kan benyttes som almindelig undervisning fremover af os selv og evt. af kollegaer. Vi nåede i tredje semester en del mere intervention end tidligere, men brugte også en kostbar tid på at teste før og efter vores interventionsmoduler for at se, om der var en fremgang at spore hos vores projektelever. I de to foregående semestre havde vi ikke udviklet særlige test til at undersøge effekten af interventionen, men har pga. de individuelle sessioner direkte kunne se, om nogle af elevernes matematikvanskeligheder er blevet afhjulpet. I det første semester brugte vi en del tid på at lede i litteraturen efter ideer til vores intervention, men meget af litteraturen bruger spalteplads på analyse af elevernes problemer og ikke så meget på, hvad man 7 så gør ved dem. Af tidsmæssige årsager, og da projektelevernes problemer ikke var så væsentlig forskellige, valgte vi at benytte den samme intervention til de to elever i første semester. Vi gentog mønstret i andet semester, hvor projekteleverne igen individuelt blev udsat for samme intervention. Her valgte vi dog at se bort fra opdagede vanskeligheder, der lå langt fra semestrets fokus på bevis og ræsonnement - såsom problemer med symbol –og formalismekompetencen. Vi har især i både første og andet semester kunne spore en vis utryghed hos eleverne ved de mange detektionstest og diagnosticeringsspørgsmål og en lille undren over, at der ikke var flere interventionsmoduler. Det har indimellem givet lidt frustrationer at have især diagnosedelen og interventionsdelen så adskilt, idet eleverne har efterspurgt svar og retning, men som vi i vores iver efter at stille sandfærdige, veldokumenterede og korrekte diagnoser ikke har afhjulpet. Vi har selv diskuteret denne kraftige opdeling undervejs og har også syntes, at den har givet visse udfordringer i forhold til kommunikationen med eleverne især i diagnosticeringsfasen. Det kan være svært at spørge ind til problemer uden at afhjælpe eller lede dem for kraftigt på vej. Alt i alt har det været den samme meget lineære proces, vi har bevæget os igennem i de tre semestre, men vi har dog haft et skiftende fokus på de tre delprocesser (detektion-diagnose-intervention) i løbet af de tre projekter; startende med fokus på detektion i første semester, fokus på diagnose i andet semester og fokus på intervention i tredje semester. Fremtiden. Det er i skrivende stund meget usikkert, hvordan vi som færdiguddannede matematikvejledere skal virke på vores skoler. Meget afhænger af skolernes økonomi, og hvad de respektive ledelser vil afsætte af midler til opgaven. Vi vil alligevel kort give et bud på, hvordan vi kunne forestille os vores kommende arbejde, givet at der afsættes tilstrækkelige resurser, og derefter vil vi diskutere et par elementer i vejledningen mere grundigt. Her følger vores bud på arbejdsopgaver, som vi forestiller os bliver relevante for vores fremtidige virke. Her opremset i 6 punkter: Identifikation af elever Vi forestiller os, at både ledelse og kolleger vil være interesseret i, at der i starten af skoleåret vil foregå en form for screening af de nye elever for at identificere elever med matematikvanskeligheder så tidligt som muligt i deres gymnasietid. Vi forestiller os derfor at lave en screeningstest med udgangspunkt i detektionstest 1, som handler om begreber og begrebsdannelse. Med udgangspunkt i denne test vil vi diskutere resultaterne med elevernes matematiklærere, og elever som særligt sprænger i øjnene i testen vil blive tilbudt videre konsultationer med matematikvejlederen. Skolens matematiklærere vil tillige i løbet af skoleåret kunne indstille elever som kandidater hos matematikvejlederen, som derefter vil tilbyde eleven mulighed for konsultationer. 8 Diagnosticering af elever Eleverne som tager imod tilbuddet vil komme til samtaler med en matematikvejleder og en egentlig diagnosticering vil derefter ske, såfremt matematikvejlederen mener, at der forelægger basis for dette. Diagnosticeringsseancerne vil foregå under fire øjne med matematikvejlederen. Intervention af elever Efter en diagnose er stillet vil interventionen begynde. Denne vil som udgangspunkt foregå med en elev af gangen, men det vil i nogle tilfælde også kunne være praktisk med en intervention med mindre grupper og måske endda hele klasser. Dette aspekt vil blive diskuteret grundigere senere i projektet. Opfølgning på elever Da det er svært at sige, hvornår man som matematikvejleder er ”færdig” med en elev mener vi, at det vil være godt, hvis vi som følger lidt op på vores ”afsluttede” elever. Det kunne være en løbende dialog med eleven og/eller med elevens matematiklærer om, hvordan det går dem, og om der er dukket nye problemer op. Kollegasamarbejde Vi forestiller os også, at vi løbende igennem året vil redegøre for vores praksis på en eller flere videndelingsdage med vores matematikfagkolleger. Her kunne vi også stille os til rådighed og svare på spørgsmål vedrørende enkelte elever eller hele klasser som udviser vanskeligheder med områder af faget f.eks. modellering. Vi vil desuden kunne komme med gode råd til øvelser, litteratur osv. Vi forestiller os ikke, at vi decideret skal undervise vores kolleger. Tests til klasser med Mat A eller Mat B I forlængelse af screeningstesten, som vi forestiller os at give samtlige nye elever i 1.g i starten af skoleåret, så kunne det også være en god idé at teste klasser med matematik på mindst B-niveau i bevis og ræsonnement samt modellering. Vi forestiller os, at dette kunne ske i januar (ræsonnement) og april (modellering), hvor antallet af samtaler med elever identificeret i screeningstesten forhåbentlig ikke er så voldsomt længere. Uddybning af diagnosticering og intervention Vores ovenstående beskrivelse af de tre trin (identifikation, diagnosticering og intervention) er helt lineær og beskriver en proces, hvor man går videre til næste trin, når det foregående trin er klaret. Det er også det, som hovedsagelig er sket i vores tre miniprojekter, hvilket uddannelsen da også lægger op til, når det kommer til udarbejdelse af de tre miniprojekter. En grafisk beskrivelse af dette ses til højre, hvor pilene illustrerer, at man kun kan gå den ene vej. Dette kunne f.eks. være en elev som diagnosticeres som havende problemer med ligningsløsning, hvilket så afhjælpes under interventionen. Dette vil dog ikke være den typiske situation vi vil møde i fremtiden. Oftest vil man under 9 interventionen også opdage andre vanskeligheder som eleven er i besiddelse af, som man enten ikke har opdaget i diagnosticeringen, eller som man måske har undervurderet betydningen af. Dette kunne i vores eksempel f.eks. være, at matematikvejlederen opdager, at elevens forståelse af lighedstegnets betydning i virkeligheden er kilden til de mange af problemer med ligningsløsning, eller at grunden til at eleven ikke kan løse visse typer ligninger er, at eleven ikke forstår brøker. Det vil oftere være reglen end undtagelsen, at matematikvejlederen løbende i interventionen vil støde på nye udfordringer. Derfor forestiller vi os at selve processen vedrørende diagnosticering og interventionen vil være meget mere cyklisk (se figur til højre), end vi har beskrevet i vores miniprojekter. Man vil, mens man er i gang med interventionen af et problem opdage, at eleven har vanskeligheder et andet sted, som man ikke har forudset, hvilket vil medføre en ændret diagnose eller måske en helt anden diagnose. Derefter må matematikvejlederen lave interventionen en smule om og processen kan forsætte igen. Et eksempel på dette, så vi i miniprojekt 1 under interventionen af Tommy. Her handlede interventionen om ligninger og ligningsløsning bl.a. om hvad en ligning er, hvad de variable kan hedde og hvor mange løsninger der kan optræde. Vi havde i diagnosticeringen godt bemærket, at Tommy havde væsentlige problemer med symbol- og formalismekompetencen, men alligevel blev vi overraskede, da Tommy i interventionen viste sig at have problemer med at se forskel på −3 − 4 og (−3) ⋅ (−4) og ikke mindst vide, hvornår der skal være parenteser eller ej. Havde vi haft mere tid til intervention i miniprojekt 1, så måtte vi have stillet en grundigere diagnose mht. til symbol- og formalismekompetencen og derefter have interveneret på dette område, inden vi igen fortsatte med ligningsløsning. Den anden elev fra samme projekt, Kenny, fortjener også en kommentar i den henseende. Han gennemgik nemlig en interessant udvikling fra første diagnoseinterview til det andet diagnoseinterview. Fra 1. diagnoseinterview at afsløre store problemer med at håndtere abstrakte ikke-aritmetiske ligninger – primært fordi han viste store mangler i sin omgang med operatoren og tegnet minus -, så viste det sig i 2. diagnoseinterview, at han uden problemer kunne løse ligninger af samme type. Siden vi bevidst undgik at hjælpe ham med de problemer, han udviste i 1. diagnoseinterview, så undrede det os synderligt, at han havde forbedret sig så meget på det felt indenfor så kort tid. Havde han fået hjælp af klassekammerater eller en klog onkel i mellemtiden? Ja, det havde han nok, men vi forestiller os ikke, at han på så kort tid havde fået grundlæggende bugt med sin uheldige opfattelse af det drilske minus. Årsagen til, at vi belyser dette er for at understrege, hvor svært det kan være at diagnosticere en elev. Det man troede var et problem for eleven, er nu kort tid efter tilsyneladende ikke noget problem længere eller måske er det stadig, men det er bare ikke længere noget, som vores valgte diagnosedesign kan fange. Vi har således erfaret igennem vores uddannelsesforløb, hvor lang tid man kan bruge på at diagnosticere en elev for så alligevel at blive overrasket over, at diagnosen ikke er præcis nok eller at der er andre og muligvis mere presserende problemer, der dukker op i kølvandet. I vores fremtidige virke forestiller vi os ikke, at vi har tilstrækkelige tidsmæssige resurser til en dybdegående diagnose af hver enkelt elev og derfor tænker vi, at den lineære model detektion-diagnose-intervention med fordel kan erstattes af den mere dynamiske model skitseret tidligere. I denne dynamiske model ligger der en grundlæggende erkendelse af, at den diagnose man stiller for en elev naturligvis må være et estimat, der givetvis ikke er tilstrækkelig præcis, men alligevel er så godt et første bud, at det er værd at ofre tid på og intervenere overfor. Ved at stille en relativ hurtig diagnose kan man i den dynamiske model således på ganske kort tid nå frem til rent faktisk at hjælpe eleven, hvilket de øvrige matematiklærere, ledelsen på 10 skolen og eleven selv givetvis vil sætte stor pris. Hvis interventionen så bidrager til at afsløre andre problemer, så kan dette forhåbentlig hjælpe til at fremsætte et nyt og mere præcist diagnoseestimat af eleven, som man så efterfølgende kan intervenere i forhold til. Det ville nok have været en særlig god idé, hvis vi havde gennemløbet en cyklisk proces med eleverne Tommy og Kenny, idet det viste sig, at en rediagnosticerig af disse elever ville have været påkrævet. I det følgende vil vi præsentere en model udarbejdet af Pirie og Kieren [Pirie & Kieren, 1994], som vi tænker ville være fin at tage udgangspunkt i for fremtiden, idet den netop tager højde for, at elevers forståelse af et matematisk område ikke altid udfolder sig lineært, men derimod mere cyklisk, hvor man ofte bliver nødt til at dykke ned og videreudvikle tidligere forståelseslag for at nå til et højere stadie i erkendelsen. Modellen ser ud som på nedenstående figur og som det ses, består den af 8 lag indlejret i hinanden. Udvikling af forståelse består af en dynamisk og rekursiv proces imellem lagene. De otte lag er følgende: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. PK = Primative Knowing IM = Image Making IH = Image Having PN = Property Noticing F = Formalising O = Observing S = Structuring I = Inventising 11 Vi vil kort beskrive de 8 lag: Primitive Learning er den viden som eleven har som udgangspunkt, når eleven skal arbejde med et nyt begreb. Næste lag er Image Making, hvor eleven danner billeder konkret f.eks. tegner en graf eller undersøger brøker vha. klodser. Når eleven ikke længere er nødt til at danne det konkrete billede (f.eks. tegne grafen for en sammenhæng, eller bygge klodser for at lægge brøker sammen) for at beskæftige sig med begrebet, så er eleven nået til laget Image Having. Her har eleven mentale billeder af begrebet. Når eleven kan benytte disse mentale billeder til at identificere egenskaber eller manipulere eller kombinere egenskaber for begrebet, så er eleven nået laget Property Noticing. I Formalising formaliseres disse egenskaber nu matematisk og eleven begynder at kunne opstille matematiske definitioner og algoritmer. Dette får så eleven til at reflektere og får eleven til at søge efter mønstre, som kan forklare egenskaberne. Herved er eleven nået til laget observing. Når eleven begynder at tænke over formaliseringerne som en teori er vi i laget Structuring. Her er eleven opmærksom på sætninger (egenskaber som gælder) om begrebet og søger en verifikation gennem logiske eller metamatematiske argumenter. Når begrebet er fuldt forstået hos eleven befinder vi os i yderste lag Inventising. Der skal desuden knyttes nogle yderligere kommentarer til modellen. Som det kan ses på figuren så består hvert lag bortset fra Primitive Learning og Inventising af to dele overordnet kaldet Acting (de nederste) og Expressing (de øverste). Eleven skal igennem begge dele i et lag, før forståelsen kan nå til næste lag. Elevens forståelse udvikles ved at bevæge sig mellem de to elementer i de enkelte lag. Et eksempel kan være det under Image Making tidligere nævnte eksempel, hvor eleven tegner en graf igennem nogle punkter. Når eleven tegner grafen er eleven Image Doing (Acting), og når eleven overvejer om grafen ser korrekt ud er eleven Image Reviewing (expressing). Ser det forkert ud (f.eks. hvis punkterne forbindes i forkert rækkefølge) kan eleven tegne grafen igen og derefter igen overveje den nye graf. På den måde fås samspillet mellem Acting og Expressing. Man kender også dette fra den daglige undervisning, hvor eleven mener at have forstået et emne eller et begreb, men hvor forståelsen typisk først er rigtigt på plads, når eleven er i stand til selv at udtrykke sig og forklare sig om netop dette emne/begreb. Et andet vigtigt element i Pirie og Kierens model er The Don’t need Boundaries. Disse grænser illustreres af de fede linjer i figuren. Disse grænser skal forstås således, at når man forståelsesmæssigt har krydset disse, så er det ikke længere nødvendigt at gå tilbage igen for at arbejde med begrebet. Et eksempel på dette kunne være den tidligere nævnte elev som under Image Making arbejder med addition af brøker ved at konstruere med klodser. Når denne elevs forståelse har krydset grænsen til Image Having, hvor eleven nu kan lægge brøker sammen i hovedet, så er det ikke længere nødvendigt for eleven at bruge de fysiske klodser mere. Ergo har eleven forståelsesmæssigt krydset en Don’t need Boundary. Den anden Don’t need Boundary er mellem Property Noticing og Formalising. For når et begreb først er blevet formaliseret hos eleven behøver eleven ikke længere de mentale billeder af begrebet. På samme måde har en elev med en matematisk struktur (structuring) ikke brug for noget fra de indre lag, og dermed findes den sidste Don’t need Boundary mellem netop Observing og Structuring. Sidste meget vigtige bemærkning om Pirie og Kierens model er begrebet Folding Back (tilbagefoldning). Det er her den ikke-lineære proces kommer frem, idet udvikling af forståelse er en dynamisk proces frem og tilbage imellem forståelseslagene også over Don’t need Boundaries. Når eleven støder på et problem som ikke umiddelbart kan løses, så må eleven gå tilbage i forståelseslagene og udvide sin viden. 12 Intervention for fremtiden Vi har i forlængelse af tredje miniprojekt diskuteret, hvordan man rent praktisk designer interventionsforløbet. Her tænker vi ikke på de enkelte opgaver der stilles, men derimod på det rent praktiske om hvorvidt interventionen skal foregå med en eller flere elever af gangen. Vi har prøvet begge dele, idet vi i første og andet miniprojekt intervenerede eleverne enkeltvis og i tredje miniprojekt, hvor vi lavede klasserumsintervention. Vi så i tredje miniprojekt, at en klasserumsintervention ikke er den bedste løsning, hvis vi har specifikke elever, som skal hjælpes. I dette projekt var det eleverne Ed, Charles, James, Jay og Mary der var vores forsøgselever, og som alle havde problemer med matematiseringsfasen i modelleringscyklussen. Vi lavede bl.a. derfor en klasserumsintervention på netop dette område. Resultaterne af interventionen viste sig desværre ikke helt som ønsket, og set i bakspejlet så kunne interventionen være løst bedre. En mulighed for dette kunne være, at vi samtidig med klasserumsinterventionen – som egentlig gav god mening ud fra de to klassers generelle niveau, når det kommer til modellering – havde ført individuelle samtaler med de fem elever. For godt nok havde de alle problemer med matematisering, men forskellen i deres indbyrdes niveau var nok for stort til at have gavn af samme intervention, samtidig med at der også var forskellige bagvedliggende problemer hos eleverne. Her havde Ed f.eks. problemer med matematisk problemløsning, Charles havde problemer med teksttunge opgaver, Mary var i præmatematiseringen styret af hverdagserfaringer og hos Jay fremstår faserne i modelleringscyklussen til tider som isolerede størrelser uden relation til hinanden. Vi synes dog stadig, at klasserumsintervention i specielle omstændigheder er en god idé. Det gælder hovedsagelig, når hele klasser viser vanskeligheder indenfor et område. Det så vi i tredje miniprojekt, hvor eleverne generelt ikke var gode til at modellere. Her gav en klasserumsintervention som nævnt god mening, og på trods at noget svingende resultater for vores forsøgselever i miniprojektet, så er det vores opfattelse af de involverede klasser som helhed har haft godt af interventionsforløbet. Har man samtidig specifikke elever i klasserne til vejledning bør disse elever dog samtidig have understøttende intervention i enerum med matematikvejlederen. Også emnet i interventionen spiller en rolle i valg af intervention. Det er klart at nogle emner egner sig bedre til klasserumsintervention end andre. Dette kunne være modellering, hvor vores tredje miniprojekt viste, at klasserne generelt ikke er stærke. Men også visse matematiske beliefs og sociomatematiske normer kunne med fordel behandles på klasserumsniveau. Man kan sige, at man som matematiklærer vel dagligt intervenerer i forhold til elevernes beliefs om, hvad matematik er i form af den måde undervisningen foregår på. Der er stor forskel på om matematik præsenteres som et fag, der er lukket om sig selv, og kun har en begrænset kontakt til andre fagområder eller det præsenteres som et fag, der har sin styrke i netop at kunne forklare fænomener indenfor den virkelige verden. Der er naturligvis også stor forskel på om matematikundervisningen præsenteres som noget, hvor man afsætter meget tid til at diskutere fordele og ulemper ved forskellige løsningstilgange til et problem eller man vælger en undervisningstilgang, hvor løsningsmetoden (bemærk entalsformen) præsenteres for eleven, og hvor hovedparten af undervisningstiden bruges på at træne eleverne i at lære metoden? Således mener vi, at det store arbejde i at forme elevernes forståelse af hvad matematik er som fag og hvad matematikundervisning er, ligger i den daglige undervisning i klasserummet. Og her kan vi så vende tilbage til vores forestillinger om arbejdsopgaver i fremtiden. For vi forestiller os ikke at en del af vores 13 arbejdsopgave som matematikvejleder bliver at belære vores fagkolleger om hvordan de skal undervise, så vores rolle i forhold til at forme elevers beliefs om matematik som fag og om matematikundervisning generelt bliver nok meget begrænset. Det vi formentlig kan gøre er at sætte fokus på området: elevers matematikforestillinger i en intern videndeling i faggruppen og derved håbe på at det kan påvirke vores kollegers måde at tilrettelægge undervisningen på for fremtiden. I vores projekt på 2. semester arbejdede vi med ræsonnement og bevisførelse og interesserede os i særlig grad for, hvordan man kan flytte elever fra et empirisk bevisskema til et deduktivt bevisskema. Vores ene testelev, Charles, demonstrerede meget tidligt i forløbet en forståelse for, at man ikke kan retfærdige en generel matematisk påstand via få eksempler. Dog var denne forståelse måske alligevel et tyndt lag fernis, for når man viste ham 3 eksempler, der bekræftede påstanden ”Alle tal på formen 2n + 1, hvor n er et naturligt tal, er primtal”, så mente han – dog en smule modvilligt - at så var den bevist. Erfaringer fra hverdagen, hvor man udtaler sig om generelle egenskaber ved et fænomen, ud fra få eksempler, er formentlig meget dominerende i elevernes forståelse af, hvad et gyldigt bevis er. Selv når en elev synes at have rodfæstet en skelnen mellem hverdagsbeviser og matematiske beviser, så er den måske ikke så rodfæstet endda. Derfor er der tegn på at en bevægelse fra det oplagte empiriske bevisskema hen imod et deduktivt bevisskema kræver vedvarende vedligeholdelse, hvilket typisk vil egne sig bedst i den daglige undervisning. Således mener vi, at arbejdet med at ændre på grundlæggende opfattelser indenfor matematik hvad enten det er matematikforestillinger (beliefs) eller bevisskemaer er noget, der bedst egner sig til at foregå i den daglige undervisning. Vi - som matematikvejledere - kan godt hjælpe til at skubbe til en udvikling hos eleven, men hvis den ikke bliver fulgt op i den normale undervisning, kan det blive vanskeligt at rykke eleverne meget indenfor disse områder. Hvad er fordelen ved en gruppebaseret eller klasserumsbaseret intervention? Umiddelbart ser vi en fordel i de tilfælde, hvor en række elever deler den samme udfordring og hvor en dialog mellem disse elever og evt. en lærer, virker særligt befordrende i forhold til at afhjælpe det problem, man har diagnosticeret. I relation til de temaer vi har været igennem på vores uddannelse kunne et område være ”ligningsbegrebet” herunder hvad forstår man ved en ligning, hvordan kan en ligning se ud og hvor mange løsninger kan en ligning have. Mange elever i en klasse har givetvis et noget ufuldstændigt ”ligningsbegreb” og her vil det give god mening med en klasserumsintervention for at afhjælpe det problem, som så mange af dem deler. Et andet område kunne være ”modellering som matematisk metode” og kendskab til hele modelleringscyklen. Her er eleverne igen fælles om kun at kende til ganske få af de 6 delfaser i cyklen, så de har en fælles udfordring i at lære alle delfaserne at kende og i at kunne skelne mellem dem. I vores interventionsmodul 1 i 3. semesterprojektet var temaet netop modellering som matematisk metode og her viste det sig særligt på SAG at være gavnligt med en gruppe -og klasserumsbaseret interventionsform. Det gav tydeligvis eleverne noget at kunne sidde sammen i grupper og diskutere løsninger til et hverdagslignende problem, og at de i fællesskab fik lov til at snakke om nødvendige idealiseringer og antagelser. Hvad er fordelen ved individuel intervention? Det vil typisk være i de tilfælde, hvor en elev har en helt særlig udfordring, som ikke deles af særligt mange andre elever i klassen, og hvor denne typisk har behov for en lærer med al dennes pædagogiske, didaktiske og faglige erfaring som støtte for at kunne komme videre. Hvis man fx skulle intervenere i forhold til Tommy fra projekt 1 og hans problemer med symbol –og formalismekompetencen, så ville en individuel intervention formentlig være den mest effektfulde, da 14 Tommy tydeligvis har behov for en lærer med overskud til at kunne analyse de problemer, der måtte opstå i løbet af en intervention og ændre på interventionsprogrammet, så det rammer præcist i forhold til de udfordringer, han viser sig at have. Tilsvarende ville Charles fra projekt 2 formentlig have behov for en individuel intervention i forhold til at kunne udføre formelle beviser. Af de tre testelever fra projekt 2 viste han sig særlig ved - som den eneste - at have en overordnet forståelse for, hvad der skal gælde for at kunne gennemføre et gyldigt bevis for en generel påstand. Hans problem ligger i, at han ikke har værktøjerne til gennemføre et sådant bevis, da han har store problemer med at håndtere algebraiske udtryk. I en intervention i forhold til at udføre formelle beviser, ville han således have brug for en lærer, der kan analysere hans problemer med symbol –og formalismekompetencen og reagere i forhold til dette i en interventionssektion. Som en eftertanke i forhold til vores projekt 2 indenfor ræsonnement og bevisførelse, så havde vi skræddersyet et fastlagt interventionsprogram, der matchede alle 3 elever. Der var således ikke plads til improvisation, hvilket naturligvis ville have været oplagt i hans tilfælde, så vi i højere grad kunne have taget hånd om hans udforinger med symbol –og formalismekompetencen. I den resterende del af dette afsluttende projekt på matematikvejlederuddannelsen følger vores tre miniprojekter. Der vil til sidst i hver af de tre miniprojekter følge en tilhørende bilagssamling. Litteraturlister til samtlige miniprojekter og kappe vil følge til sidst i dette afsluttende projekt. 15 Miniprojekt 1. semester januar 2014 Uddannelse til Matematikvejleder Begreber og begrebsdannelse i matematik Rapporten er udarbejdet af: Anders Keiding, Sankt Annæ Gymnasium Kasper Maes, Aurehøj Gymnasium Christina Specht, Aurehøj gymnasium Vejledere: Uffe Jankvist og Sif Skjoldager, RUC 16 Indledning Vi har som lærere alle oplevet det: elever, der flittigt læser deres lektier, altid er aktivt deltagende i timerne og laver deres afleveringer. På trods af dette imponerende engagement, så har man af og til oplevelsen af, at der ikke finder egentlig læring sted. Det er som om visse elever mangler ”nøglen” til at træde ind i den matematiske verden og finde mening i den abstrakte verden af tal, symboler og figurer. Hvordan hjælper man så dem? Det vil vi prøve at beskrive i det følgende. Vores projekt har som overordnet formål (1) at identificere gymnasieelever med læringsvanskeligheder i matematik og (2) at hjælpe udvalgte elever med at komme over deres læringsvanskeligheder i matematik. Projekt er inddelt i 3 faser: detektionsfasen som er den fase, hvor vi identificerer læringsvanskeligheder diagnosticeringsfasen som er den fase, hvor vi undersøger hvori læringsvanskelighederne består og interventionsfasen som er den fase, hvor vi aktivt forsøger at afhjælpe elevernes læringsvanskeligheder. Elever vil typisk have læringsproblemer i flere områder af faget, og da vi ikke kan gå i dybden med alle disse, har vi set os nødsaget til at indsnævre problemfeltet og fokusere på et mindre område af læringsvanskelighederne. Dette vil være et område, der knytter sig til temaet begreber og begrebsdannelser i matematik. I detektionsfasen vil vi indledningsvis bede eleverne i 5 klasser på vores skoler (Aurehøj Gymnasium og Sankt Annæ Gymnasium) om at besvare detektionstesten1 ”57 spørgsmål til professoren”. Detektionstesten er udarbejdet, så den tester elevernes forståelse indenfor forskellige af områder af matematikfaget såsom talbegrebet, algebra, ligningsløsning, funktioner mm. Svarene analyseres både kvantitativt og kvalitativt og disse analyser vil være en vigtig parameter i forhold til den senere udvælgelse af elever med læringsvanskeligheder. Udover svarresultater er en anden vigtig parameter for elevudvælgelse dog også elevernes personlighed og engagement i forhold til faget, da det er afgørende at finde nogle som med en positiv ånd vil gå ind i det her projekt. Som afslutning på detektionsfasen vil vi fremlægge vores problemformulering og den vil være styrende for vores videre arbejde i diagnosticerings -og interventionsfasen. I diagnosticeringsfasen vil vi arbejde frem mod en hypotese i forhold til, hvori vi mener læringsvanskelighederne består. Vores arbejde frem mod en hypotese sker vha. fokuserede videosessioner kun med de udvalgte elever. Det er således vigtigt, at vi i disse videosessioner får tilrettelagt et program, der gør os i stand til at opstille en begrundet hypotese om deres læringsvanskeligheder. Dette program vil vi begrunde ved at inddrage matematikdidaktisk teori, der omhandler individers læringsproblemer i forhold til matematikfaget. Efter den opstillede diagnose er det tid til at tage hul på interventionsfasen. Her vil vi på tilsvarende vis tilrettelægge et lille program for eleverne, men nu med det fokus rent faktisk at afhjælpe deres problemer. Også her vil programmet blive begrundet ved at inddrage relevant matematikdidaktisk teori. Fasen afsluttes med en kort opsummering, hvor vi samler op og vurderer i hvor høj grad interventionen har været udbytterig i forhold til at imødegå og afhjælpe de læringsvanskeligheder, som vi har opstillet i diagnosticeringen. 1 Se bilag 1 17 Detektion Vi vil i de følgende afsnit give en kort beskrivelse af vores fremgangsmåde i detektionsarbejdet samt give en kvantitativ analyse af vores resultater. Fremgangsmåde. Vores brug af detektionstesten skulle gerne udmønte sig i nogle kvalificerede bud på kandidater til at have læringsvanskeligheder i matematik. Vi havde fra starten af udpeget nogle elever, som vi havde en formodning om testen ville afsløre. Testen blev udleveret til 5 klasser i alt fordelt på to 1.g klasser (to på A niveau) og tre 2.g klasser (to på B niveau og en på A niveau). Resultaterne af disse test blev nu lagt ind i et Excel-dokument2, hvor vi også lavede en analyse af resultaterne. Denne analyse bestod af en kategorisering af spørgsmålene ud fra forskellige opgavetyper og kompetencer med formålet at få et overblik over, om nogle elever tydeligt fremstod som havende problemer inden for et specifikt område. Resultaterne af denne kategorisering sammenholdt med elevernes samlede resultat samt vores erfaringer med eleverne fra undervisning gav os nu mulighed for at vælge et lille antal elever, hvis besvarelser vi derefter kiggede grundigere på. Og dette sammen med vurderinger omkring elevernes interesse i at deltage gav os de kandidater, som vi har arbejdet videre med. Vurdering af svar. Inden vi gennemgik hver enkelt elevs besvarelse af testen, lavede vi en vurdering af, hvilke svar vi ville 2 acceptere som korrekt svar i hvert spørgsmål. F.eks. har vi i spørgsmål 2 (Giv et andet udtryk for 3 3) både ̅̅̅, men ikke varianter af 3,66 hvor der ikke rundes af. Dette accepteret 11/3 samt svar som 3,67 og 3, ̅66 bunder i, at vi betragter spørgsmålet som gående på, om eleven kan håndtere blandende tal og samtidig kan 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 runde korrekt af. Et andet eksempel er spørgsmålene 6 (Hvad er ⋅ ?), 10 (Hvad er 𝑎5 𝑎5 3 √2 ⋅ √2 ?) og 3 16 (Hvad er ?) hvor vi kun har accepteret svaret 1, da spørgsmålene efter vores vurdering handler om både at kunne gange brøker sammen (spørgsmål 6 og 10) og om at kunne forkorte resultatet. Der var et par årsager til, at vi lavede denne vurdering inden eleverne tog testen. For det første var det vigtigt for vores kvantitative analyse, at vi alle i gruppen rettede elevernes besvarelser ud fra de samme parametre, da en sammenligning mellem klasser ellers ikke ville give mening. Ydermere var det vigtigt for os at bestemme hvilke problematikker, som vi ville teste med de forskellige spørgsmål. F.eks. kunne man i spørgsmål 10 acceptere svaret 3⋅√2 √2⋅3 som svar, såfremt man ønsker et teste om eleven kan gange to brøker sammen, men vi har som tidligere nævn kun accepteret svaret 1, da vores ønske med spørgsmålet også var at teste elevens grundlæggende forståelse for brøker. 2 Se bilag 2-5. En klasses resultater er udeladt, da eleverne her har lavet testen uden lærer, og det ser ud til, at eleverne har arbejdet sammen. 18 Kategorisering af spørgsmål. Vi har haft flere motivationer for at lave en kategorisering af spørgsmålene fra detektionstesten3. Den ene var, at vi ønskede at få et hurtigt overblik over elevers eventuelle problemer. Kategoriseringen gav os mulighed for at se, hvis en elev helt tydeligt ikke kunne lave opgaver af en speciel problemtype som f.eks. ligninger eller brøker. En anden motivation var, at vi vha. en kategorisering samtidig med at teste eleverne individuelt også kunne teste om klasser som helhed havde problemer med visse gennemgåede emner som f.eks. brøkregning, procentregning og funktioner. Der var dog et problem i, at visse opgaver i detektionstesten brød så meget med den didaktiske ramme, at kun meget få kunne svare på dem. Når det kommer til selve kategoriseringen af spørgsmålene, så kunne denne inddeling laves på flere forskellige måder. Ydermere kan vores inddeling også justeres og nuanceres endnu mere, hvilket kan være en god idé, såfremt detektionstesten skal bruges til at teste f.eks. hele årgange på gymnasiet. Vi vil i denne opgave ikke bruge mere tid på selve inddelingen af spørgsmålene i kategorier, men henvise til bilag 6 for hele oversigten. Nedenfor er dog givet et lille uddrag af denne: Resultater. Ud fra resultaterne fra de fire klasser, kan vi drage flere konklusioner. Ser man på de 57 spørgsmål hvert for sig, så ser man, at nogle af disse har været meget svære for eleverne at besvare korrekt. Det drejer sig især om spørgsmål 12 (Hvad er 𝑐/𝑑 ?) 𝑐 3𝑥−1 og 57 (Hvad er −3𝑥+1 ?), hvor der er så få korrekte svar, at man til fremtidige tests måske skal overveje de to spørgsmåls berettigelse. Ydermere er der spørgsmål som f.eks. spørgsmålene omhandlende funktioner, der ikke vil være så relevante før til slut i 1.g, da eleverne ikke har lært emnet endnu. Ser vi på de samlede resultater for klasserne (se nedenstående boksplot), så får vi det forventede billede, især hvis vi ser på de tre 2.g klasser. Klassen 2g MA klarer sig som forventet bedst. Både klassen 2g valg Ma og 2g Ma er på B-niveau, men klassen 2g valg Ma er et valghold, og dermed vil det gennemsnitlige niveau ofte være lidt højere, da man typisk vil have færre svage elever end en klasse, der er ”født” som B-niveau, hvilket er tilfældet for 2g Ma. 3 Se inddelingen i kategorier på bilag 6 19 Man kan også kigge på klassernes resultater indenfor vores kategorisering (se bilag 5b). Her kan man f.eks. se, at klasserne 2g Ma og 2g valg Ma begge har en høj fejlprocent i kategorien ”funktioner”, og dermed kunne det tyde på, at funktionsbegrebet ikke er godt nok udviklet i de to klasser. Især for 2g valg Ma er det en brugbar information, idet eleverne på valghold ofte får ny lærer i forhold til 1.g. Dermed kan denne nye lærer se, at læreren bør bruge noget tid på at få funktionsbegrebet bedre på plads. Detektionstest – vores gæt Når vi ser på vores første gæt på (se bilag 7) hvad en gennemsnitselev i vores klasser vil svare i detektionstesten, er det tydeligt, at vi generelt har været lidt for hårde i vores bedømmelse af, hvad eleverne rent faktisk kan. For eksempel havde vi vurderet eleverne til i gennemsnit at være dårligere til talbegrebet end de rent faktisk viste sig at være. Til gengæld troede vi, at de nemt kunne klare fx opgave 18 (Findes der en værdi af b, således at 4𝑏 = 4 + 𝑏), hvor vi gættede på, at de ville svare ”ja”, men mange svarede ”nej”. Og tilsvarende i opgaverne 34 (Bestem 𝑛 når: 4 + 𝑛 − 2 + 5 = 11 + 3 + 5) samt 35 (Løs ligningerne: 3𝑥 + 20 = 𝑥 + 64 og 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15, og bestem om 𝑥 = 10 er en løsning til ligningen 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15) som også er ligninger – dog ikke multiple choice. Generelt er vi ikke glade for multiple choice opgaver, fordi vores elevtyper ikke vil svare ”ved ikke” men vil gætte på ”ja” eller ”nej”, hvis de ikke kender svaret, og dette kan give et misvisende billede af, hvad de rent faktisk kan. De elever vi så har valgt ud, har vi givet flere opgaver i de spørgsmål, hvor der er multiple choice for at se om de er konsistente i deres svar eller om de rent faktisk gættede. Overordnet har vi gættet forkert mht. elevbesvarelserne i ca. 50 % af tilfældene. Nogle opgaver hvor vi troede at det kunne eleverne snildt klare, og andre hvor vi troede, at det kunne eleverne ikke svare på, men hvor det modsatte var tilfældet. 20 Fangede testen de elever vi gættede på - deltagende elever I vores projekt har vi valgt at fokusere på to elever - Kenny og Tommy fra 2g Ma. Der er forskellige årsager her til. Før det første er det to elever, som vi havde en stærk formodning om ville have lyst til at deltage, da de begge er forholdsvis aktive i en ellers typisk mat./samf. klasse – dvs. med ringe interesse for faget i al almindelighed. De er begge to forholdsvis flittige elever, der ønsker at vide mere, men også to fyre der indimellem udviser underlige udfald i deres viden eller håndtering af opgaver i undervisningen i hverdagen. Vi havde en del andre elever i kikkerten fra start - der er flere kandidater i førnævnte 2b Ma, men eleverne skal for det første have en interesse i at forbedre sig og bruge tid på projektet, og for det andet skal der ikke være andre problematikker ind over. Endelig har nogle elever så store vanskeligheder at dette vil være for stor en udfordring til denne opgave. Med andre ord var den opgave for omfattende. På forhånd havde vi en fornemmelse af at den viden, vores to udvalgte elever Tommy og Kenny besidder, er karakteriseret ved en stor mængde udenadslære. Dette bygger vi på erfaringen fra undervisningen i deres klasse. Der ses lidt sære udfald i deres viden, store vanskeligheder ved ind i mellem at svare på lette spørgsmål, samt manglende evne til at løse opgaver der blot er vendt en smule på hovedet i forhold til gennemgåede eksempler og lignende. Når vi ser på deres testresultat (se nedenstående diagram og bilag 8 for en mere udførlig sammenligningen) springer de to elever ikke i øjnene som hverken bunden eller toppen, og læreren var en smule overrasket over, at de ikke lå lidt højere mht. rigtige svar. De scorede begge omkring 54 % (er faktisk 55 % - 56 %) korrekte svar, hvilket er helt på linje med klassegennemsnittet. Ser man på kategorien ”ligninger” ligger Tommy med en fejlprocent på hele 72 %, hvor klassen i gennemsnit ligger på 53 %. Også i kategorierne ”konventioner” samt ”variable/algebra” ligger Tommy over klassegennemsnittet med hhv. 10 og 8 procentpoint. Kenny har ikke store udsving i forhold til klassen i nogle kategorier (eller også er det i kategorier med ret få spørgsmål), men er udvalgt, fordi læreren forventede en højere score i testen samt pga. erfaringen med eleven fra den daglige undervisning. Diagram over fejlprocent indenfor en række kategorier: 80 60 Kenny 40 Tommy Klassegennemsnit 20 0 Talsystemet Konventioner Variable/Algebra Ligninger Når man studerer nærmere i hvilke opgaver, de to har vanskeligheder , ser det ud til, at de har problemer med begrebsdannelsen i algebra – hvad er en variabel og hvad er en ligning? Tommy har generelt et problem med algebra (bogstavregning) og Kenny et lignende problem, samt problemer med brøker ind i mellem. 21 Kenny har lidt problemer med tætheden af tallene på den reelle talakse og med løsninger af ligninger. Han har fejl i følgende spørgsmål: 2 3 41: Hvor mange decimaltal er der mellem 7 og 7? 42: Hvor mange brøker er der mellem 0,65 og 0,66? 1/2 2,1 43: Opskriv 1/4 og 4,1 som sædvanlige brøker: 48: Hvilke hele tal er der mellem -2 og 3,5? 49: Findes der et største tal 𝑎 som opfylder 2 ≤ 𝑎 < 4? Ydermere har Kenny fejl i spørgsmål 𝑎 𝑏 6: Hvad er 𝑏 ⋅ 𝑎? 10: Hvad er 3 √2 ⋅ ? √2 3 12: Hvad er 𝑐/𝑑 ? 𝑐 Tommy er lidt sværere i første omgang at afkode, men ligninger og opgaver med brøker (spørgsmål 6, 10 og 12 - se ovenfor) ser også her ud til at være et problematisk område. Begge har vanskeligheder, når det kommer til ligningsløsning hvilket et ret væsentligt område i gymnasiepensum, da dette emne rækker ind i mange stofområder. Vi kan se, at der er generelle ligningsløsningsproblemer, samt problemer med repræsentationen af den ubekendte – (det går ikke så godt når den ubekendte ikke hedder x). Kan de finde ud af at tjekke om en given værdi er løsning til en ligning og hvad med ligninger der ikke har løsninger eller ligninger der har flere eller uendelig mange løsninger? Således har vi efter nærmere overvejelse valgt at fokusere på elevernes læringsvanskeligheder i forhold til ligninger i dette projekt. Vi er fuldt opmærksomme på - som tidligere nævnt -, at eleverne også demonstrerer læringsvanskeligheder indenfor andre områder af matematikken og især for Tommy’ vedkommende indenfor variable/algebra og konventioner. Derfor har vi valgt en problemformulering, der anskuer elevernes problemer med at løse ligninger ud fra to forskellige vinkler. Vi ser på hvilken rolle både deres symbol- og formalismekompetence samt deres forståelse af ligningsbegrebet spiller for deres evne til at løse ligninger. Problemformulering Hvilken rolle spiller Kenny og Tommy’ forståelse af ligningsbegrebet og besiddelse af symbol- og formalismekompetencen for deres evne til at løse ligninger? Teori Vi vil i dette afsnit præsentere den teori, som vi henviser til i vores diagnosticering af eleverne. Vi har valgt af inddrage Richard Skemps teori om matematisk forståelse på forskellige niveauer for at kunne nuancere, hvor veludviklet elevernes forståelse for ligningsløsning og ligninger er helt overordnet. Desuden vælger vi at 22 inddrage David Tall og Schlomo Vinners teori om begreber og begrebsdannelser for at kunne analysere, hvilke udfordringer eleverne evt. måtte have specifikt med ligningsbegrebet. Derudover finder vi det nødvendigt at præsentere, hvad man forstår ved symbol- og formalismekompetencen, sådan som den er defineret i rapporten Kompetence og matematiklæring (KOM-rapporten) og endelig vil vi skildre forskellige teoretikeres syn på typiske læringsvanskeligheder med konkrete lineære ligninger. Disse teoretikere er Eugenio Filloy & Teresa Rojano samt Jöelle Vlassis. Om forskellige former for matematikforståelse Forskeren Richard Skemp indleder sin artikel [Skemp,1976] ”Relational Understanding and Instrumental Understanding” med at tematisere ords betydninger. Han fremviser en række eksempler på ord, hvis betydning ikke er entydig, men derimod kan opfattes forskelligt alt afhængig af hvilken person, du spørger og hvilken semantisk kontekst, det indgår i. Pointen med dette er at illustrere, at også ordet ”forståelse” og ordet ”matematik” kan opfattes forskelligt alt afhængig af, hvilken person du spørger. Han (Skemp,1976) taler således for en nuancering af betegnelsen matematisk forståelse ved at spalte den i to: i instrumental forståelse og relationel forståelse. Ved relationel forståelse forstås både at vide hvad man skal gøre og hvorfor, mens instrumental forståelse betyder at kende til en regel og være i stand til at bruge den korrekt, men uden at vide hvorfor. Typiske eksempler på instrumental forståelse i matematik er, at låne når man dividerer, at gange med den omvendte når man deler med en brøk, at man ikke må dele med 0 og at trække tallet over på den anden side og skifte fortegn, når man løser en ligning. Hvordan kan man så se Skemps teori udfolde sig indenfor det felt, vi arbejder med i dette projekt? Hvis man har en instrumental forståelse indenfor ligningsløsning kan man løse en ligning ved at foretage korrekte operationer på begge sider af lighedstegnet for til sidst at nå frem til et facit. Man har dog ikke nogen reel forståelse af, hvorfor man kan foretage disse operationer på begge sider af lighedstegnet ligesom man ikke nødvendigvis ved, hvordan man kan undersøge om løsningen er korrekt, og man er desuden ikke helt klar over hvad en ligning er. Hvis man derimod har en relationel forståelse indenfor ligningsløsning, så har man en grundlæggende forståelse for, hvad det vil sige, at løse en ligning. Man ved, at formålet med at løse en ligning er at bestemme værdier for den eller de ubekendte således, at udsagnet bliver sandt, dvs. at det der står på venstreside er lig højreside. Man ved desuden godt, at ”flytte noget over på den anden side” svarer til at foretage den samme regneoperation på begge sider af lighedstegnet ligesom man ved, at når man anvender de tilladte regneoperationer, så ændrer man ikke på løsningsmængden. Man er fuldt ud bevidst om, hvordan man kan undersøge om ens facit er rigtig, da man som før nævnt har en grundlæggende forståelse for, hvad det vil sige at løse en ligning. Matematiske begreber og begrebsbilleder De to teoretikere, David Tall og Schlomo Vinner,[Tall & Vinner, 1981] indleder deres artikel: ”Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity” med at præsentere det misforhold, der til tider er mellem det der konstituerer matematik som fag, og det der rent faktisk foregår mentalt, når man bedriver matematik. Matematik som fag handler om entydige definitioner og stiller krav til et logisk tankesæt, hvilket ikke altid harmonerer med det, der rent faktisk foregår i den menneskelige 23 hjerne, når man beskæftiger sig med matematik. Den menneskelige hjerne opererer ikke altid logisk. Den danner sine egne billeder af de begreber, som den bliver præsenteret for, og forskernes primære formål med artiklen er at forklare det samspil, der er mellem individets egne billeder af et matematisk begreb og så den formelle definition af et begreb. Individets begrebsbillede består af alle de kognitive strukturer i individets sind, der er knyttet til et givent begreb. Dette billede behøver ikke at være sammenhængende og kan indeholde aspekter som er væsentlig forskellige i forhold til hinanden og til den formelle definition af et begreb. Således skal man tænke begrebsbilledet som en sammensat størrelse, der formes og ændres over tid som følge af de forskellige sammenhænge og situationer, som begrebet indgår i. Forskellige former for stimuli kan aktivere forskellige dele af begrebsbilledet og udelade andre dele af det. Den del af begrebsbilledet, der aktiveres på et givent tidspunkt kaldes for det fremkaldte begrebsbillede. Kun når konfliktfyldte dele af begrebsbilledet fremkaldes samtidig opstår en egentlig kognitiv konflikt eller forvirring, som forhåbentligt kan føre til, at individet opnår et mere helstøbt begrebsbillede. Hvordan kan man så se Tall & Vinners teori udfolde sig indenfor det felt, som vi arbejder med i dette projekt? Den formelle definition af hvad en ligning er udelades ofte i lærebøger, og således er det ikke så underligt, hvis elevernes ”begrebsbillede” udelukkende formes ud fra det konkrete arbejde med at løse ligninger. Opgaveeksempler fra lærebøger eller læreren kommer således til at være bestemmende for, hvordan elever opfatter en ligning. Her er der ofte tradition for at vælge lineære ligninger med én ubekendt repræsenteret ved symbolet x. Desuden vil der typisk være én løsning til ligningen og resultatet vil ofte være et pænt tal. Hvis man som elev har løst tilstrækkelig mange ligninger af den type vil et oplagt ”billede” af en ligning således være: En ligning kan skrives på formen 𝑎𝑥 ± 𝑏 = 𝑐𝑥 ± 𝑑 Man skal foretage nogle regneoperationer dvs. ”gøre noget” for at løse en ligning Der er én ubekendt symboliseret ved x Man skal nå frem til ét svar Svaret skal helst være et pænt tal Ved at have dette ”billede” af ligningsbegrebet vil der naturligvis opstå en konflikt, hvis man møder ligninger, der ikke falder inden for det skema. Ligninger med flere end én løsning, ligninger med ingen løsning, ligninger hvor man ikke skal regne sig frem til noget eller ligninger med flere ubekendte vil således udgøre en form for stimuli, der skubber til og udfordrer det skitserede billede af, hvad en ligning er. Symbol- og formalismekompetencen I sommeren 2000 blev der igangsat et projekt med titlen Kompetenceudvikling og matematiklæring, som havde til formål at igangsætte en udvikling af matematikundervisningen, hvori bl.a. undervisningens mål og indhold nytænkes. Der blev nedsat en projektgruppe, der arbejdede med dette og resultaterne af arbejdet blev nedfældet i en større rapport [Niss, 2002]. En af de centrale skift som følge af projektgruppens arbejde er gå fra at tænke pensum og indhold til nu at tænke i kompetencer. Således blev én af de centrale opgaver for gruppen at få nuanceret, hvad man egentlig forstår ved matematisk kompetence. I rapporten står der: ”En person besidder kompetence indenfor et område, hvis han eller hun faktisk er i stand til at begå sig med gennemslagskraft, overblik, sikkerhed og dømmekraft indenfor det pågældende område.” [Niss, 2002 s. 43]. I 24 en matematisk kontekst oversættes dette til ”at en matematisk kompetence er indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer” [Niss, 2002 s. 43]. Forskerne bag KOM-rapporten argumenterer for, at matematisk kompetence med fordel kan deles i 8 kompetencer, der har hver deres unikke særpræg, men som naturligvis også realiseres og anvendes i samspil med en eller flere af de andre. Den kompetence, som vi har valgt at fokusere på i vores opgave er: symbol– og formalismekompetencen. Symbol– og formalismekompetencen består ifølge gruppen ”[…] dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have indsigt i karakteren af og ”spillereglerne” for formelle matematiske systemer (typisk aksiomatisk teorier).” [Niss,2002 s. 58]. I en kommentar nævnes der, at matematiske symboler ikke kun omhandler matematiske specialsymboler, men også talsymboler og basale tegn i forbindelse med regneoperationer. Som forfatterne skriver, er denne kompetence nært beslægtet med en anden matematisk kompetence nemlig repræsentationskompetencen, men én af de unikke egenskaber ved symbol– og formalismekompetencen ligger i fokusset på ”symbolernes karakter, status og betydning og på selve håndteringen af dem, inklusive reglerne herfor”[Niss, 2002 s. 59]. I håndtering af symboler og formler giver forfatterne selv eksempler på hvad det kunne være. Det er fx evnen til algebraisk omskrivning af matematiske udtryk i stil med 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 = 𝑥(3𝑥 2 − 2𝑥 − 1) = 𝑥(𝑥 − 1)(3𝑥 + 1). På det mere elementære plan, hvor man arbejder med tal og regneoperationer, handler det om at kunne forstå, at man ikke har lov til at skrive 6 +⋅ 5 eller 6 − −3 og at 5 ⋅ (3 + 4) ikke er det samme som 5 ⋅ 3 + 4. Om at løse lineære ligninger (Filloy & Rojano 1989), (Vlassis 2002) Eugenio Filloy og Teresa Rojano taler i deres artikel fra 1989 [Filloy & Rojano 1989] om skellet mellem aritmetisk tænkning og algebraisk tænkning og vigtigheden af at tage højde for disse typer af tænkning i studiet af elevers problemer med ligningsløsning. De to forskere har lavet et klinisk studie af 12-13-årige børn med titlen ”The aquisition of algebraic language”, hvor de viser, at det at manipulere med eller operere med den ubekendte er en handling, man bliver nødt til at udføre for at kunne løse visse typer af førstegradsligninger. Disse førstegradsligninger, som kaldes ikke-aritmetiske ligninger, er af typen: 𝑎𝑥 ± 𝑏 = 𝑐𝑥 ± 𝑑. En af forfatternes hovedpointer er, at overgangen fra aritmetiske ligninger 𝑎𝑥 ± 𝑏 = 𝑐 (ligninger, der udelukkende kræver at man multiplicerer, dividerer, subtraherer og adderer med tal for at komme frem til en løsning) til de føromtalte ikke-aritmetiske eller algebraiske ligninger (ligninger, der kræver at man opererer med den ubekendte) er mere vanskelig end man umiddelbart skulle tro. Man bliver nødt til at lære den algebraiske syntaks at kende, og her anvender man naturligvis den tidligere tillærte aritmetiske tænkning, men det er også vigtig at man på flere områder er i stand til at bryde med den aritmetiske tænkning. Når man beskæftiger sig med ligninger vil man i den aritmetiske måde at tænke på opfatte venstresiden af lighedstegnet som en processide, dvs. en side hvor man regner på og opererer med tal, hvorimod højresiden af lighedstegnet bliver til en resultatside; en side, der skal opfattes som en konsekvens af de operationer man har foretaget på venstresiden. I en algebraisk ligning bliver man nødt til at ændre sin opfattelse af, hvad en ligning er. Det er helt essentielt for løsning af sådan en type af ligning, at man indser, at det der står på venstresiden og højresiden er ”det samme”. Opfattelsen af en ligning går nu i mere i 25 retning af at være en ækvivalens mellem to udtryk end det er en matematisk fremstilling, hvor højresiden af lighedstegnet er resultatet af det der foregår på venstre side af lighedstegnet. I lyset af (Tall & Vinner, 1981) teori om begreber og begrebsdannelser kan man således sige, at billedet af selve tegnet ”=” kommer til at ændre sig, når man går fra en aritmetisk tankemåde, hvor det opfattes som ”udfør regneoperationen på venstreside og skriv resultatet på højreside” til en mere algebraisk tankemåde, hvor det opfattes som ”det der står på begge sider af = er det samme”. Jöelle Vlassis’ artikel: The Balance Model: Hindrance … [Vlassis,2002] er delvis udarbejdet som konsekvens af Filloy og Rojanos studier. Hun har sammenholdt flere forskellige forskeres forsøg på at lette elevernes evne til at løse ligninger ved hjælp af konkrete modeller og observerer her, at de kommer frem til forskellige konklusioner mht. modellernes anvendelighed. Hendes formål er at studere argumenterne fra disse forskere samt særligt at sætte lup på balancemodellen. En af de interessante pointer Vlassis [Vlassis,2002] har set i forhold til Filloy og Rojano (Filloy & Rojano, 1989) befinder sig indenfor det område, hvor man undersøger hvilke type af ligninger eleverne har vanskeligt ved at løse. I stedet for at opdele ligninger udelukkende i aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger [Filloy & Rojano, 1989] finder hun det relevant at tilføje de to kategorier ”konkrete” og ”abstrakte” ligninger. En konkret ligning skal forstås som en ligning, der er mulig at oversætte til en konkret situation (resultatet bliver et positivt tal og der vil altid være et positivt antal x-værdier) hvorimod abstrakte ligninger ikke lader sig oversætte til en konkret situation (resultatet kan være negativt og/eller der kan indgå et negativt antal xværdier i ligningen). I de abstrakte ligninger har man ikke mulighed for reelt at oversætte problemet til en konkret model. Man bliver så at sige nødt til at løse dem indenfor det abstrakte system af tal og symboler, og pointen for Vlassis [Vlassis, 2002] er, at vanskelighederne for eleverne i ligeså høj grad består i ikke at kunne henvise til en konkret model end om ligningen er aritmetisk eller ej. I Vlassis’ [Vlassis, 2002] studie konkluderer hun således, at den type af lineære ligninger som de fleste elever har særligt vanskeligt ved at løse er de ”ikke-aritmetiske” ligninger, hvor der indgår negative hele tal, altså de abstrakte ikke-aritmetiske ligninger. På bilag 9 kan ses en inddeling af spørgsmålene i detektionstesten omhandlende ligninger i konkrete/abstrakte aritmetiske/ikke-aritmetiske ligninger. Diagnosticering Efter den kvantitative analyse og udvælgelse af elever foretog vi den grundigere diagnosticering af vores to elever. Da detektionstesten tydede på problemer for begge elever med ligningsløsning rettede vi vores fokus på dette, og med vores teoretiske grundlag i hånden (se teoriafsnit) forsøgte vi at finde grunde til disse problemer. Vores diagnosticering foregik for begge elevers vedkommende i tre skridt: 1. Først kiggede vi på de overordnede resultater af deres detektionstest og på vores kategorisering for at se, om der var et tydeligt mønster i fejlene. 2. Derefter kiggede vi grundigt i deres detektionstest for at analyse dybere i deres problemer. Da vi valgte at fokusere på de to elevers problemer med ligninger kiggede vi her efter, om der var et mønster i typen af ligninger de løste forkert, om problemerne kunne bunde i f.eks. valg af variabel (x 26 eller a eller andet), om der specielt var fejl i de spørgsmål som tester elevernes overordnede ligningsbegreb osv. 3. Ud fra punkt 2 kunne vi så forberede spørgsmål osv. til samtale med eleverne med hensigten at komme helt ned i problemernes kerne og med henblik på at kunne give den endelige diagnosticering ud fra vores teoretiske viden. Vi vil i nedenstående afsnit gennemgå de tre trin for både Kenny og Tommy og derigennem give vores bud på en diagnosticering af de to elever: Da vi projektet igennem vil se på elevernes forståelse af ligningsbegrebet, vil vi starte med kort at præcisere vores benyttede definition af begrebet ”ligning”. Vi vil projektet igennem definere en ligning som værende: ”En ligning er et udsagn (en udtalelse, der enten er sand eller falsk), hvori der indgår et lighedstegn.” Vi har benyttet denne definition af flere grunde: (1) Da vi arbejder med ligninger uden løsninger og med ligninger med uendelig mange løsninger, så vil ligninger som 38𝑥 + 72 = 38𝑥 fra detektionstesten blive omskrevet af elever til udtrykket 72 = 0, hvilket vi finder brugbart også at definere som en ligning frem for en (altid falsk) identitet. (2) Vi ønskede en definition ”der passer med” definitioner fra kendte opslagsværker, og i dette tilfælde benyttede vi Den Store Danske Encyklopædi, hvis definition stemmer overens med vores. Ydermere er en klassisk definition af ligningsbegrebet følgende: ”Et udtryk som fastslår at to matematiske størrelser er lige store, forbundet med lighedstegn”. Her inddeles ligninger i 3 typer: a) Identiteter (udtryk der altid er sande) b) Absurditeter (udtryk der aldrig er sande) c) Bestemmelsesligninger (udtryk der er sande for en eller flere værdier) Vi mener ud fra dette, at vores definition giver god mening, idet vi beskæftiger os med alle tre typer. Kenny – videosession 1 Vi har tidligere begrundet, hvorfor Kenny blev valgt til videre deltagelse i projektet. Modsat Tommy skilte han sig ikke rigtig ud i forhold til klassen. Ser man på de overordnede resultater fra detektionstesten, så lå hans fejlprocent på 45 % (se bilag 3 og bilag 8), hvilket også var gennemsnittet for hans klasse. Ser man på kategoriseringen, så ligger han også tæt på gennemsnittet for sin klasse i langt de fleste kategorier. Der hvor han ligger en smule over gennemsnittet er i kategorien talsystemer og ligninger. Vi kiggede derfor nærmere på hans besvarelser med vores fokus på ligninger for at se, om vi kunne komme tættere på hans problemer og en diagnosticering. Kenny svarer rigtigt på ligningerne i spørgsmål 36 (Løs ligningerne −6𝑥 = 24 og 6𝑥 = 24) og spørgsmål 34 (Bestem 𝑛 når 4 + 𝑛 − 2 + 5 = 11 + 3 + 5) samt ligningen 𝑥 = 1 i spørgsmål 33. Men flere af de andre spørgsmål vedrørende ligninger giver ham problemer. I spørgsmål 35 (Løs ligningerne 3𝑥 + 20 = 𝑥 + 64 og 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15) bliver ligningerne lidt sværere, idet x optræder på begge sider af lighedstegnet, og her svarer Kenny forkert på begge ligninger. Det kunne altså tyde på, at han har svært ved den type ligninger som (Filloy & Rojano, 1989) kalder for ikke-aritmetiske ligninger. Heller ikke ligningen (𝑥 − 9)(𝑥 − 5) = 0 i spørgsmål 33 kan han lave. Kenny har endvidere også fejl i de to opgaver vedrørende antal af løsninger af 27 ligninger, dvs. spørgsmål 37 (For hvilke 𝑥 gælder 38𝑥 + 72 = 38𝑥) og spørgsmål 20 (Hvad er løsningen/løsningerne til ligningen 3𝑥 − 𝑥 = 2𝑥). Kenny har dog svaret rigtigt i spørgsmål 17 og 18 omhandlende, om der findes værdier af hhv. a og b så 𝑎2 = 2𝑎 hhv. 4𝑏 = 4 + 𝑏 er opfyldt. Ydermere har han svaret rigtigt på spørgsmål 21 (Hvad kan du sige om to tal 𝑐 og 𝑑 når 7𝑐 + 22 = 109 og 7𝑑 + 22 = 109?) og 35 c (Er 𝑥 = 10 en løsning til ligningen 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15). På baggrund af resultaterne fra hans detektionstest opstillede vi nogle foreløbige hypoteser om hans problemer og årsag til disse: Der var tegn på problemer med ikke-aritmetiske ligninger (Filloy & Rojano,1989). Vi formodede, at der kunne være problemer med hans begrebsbillede kontra begrebsdefinitionen af ligningsbegrebet (Tall & Vinner, 1981). Denne formodning skyldes hans fejl i spørgsmålene angående antal løsninger til ligninger. Grundet hans fejl formodede vi også, at han havde en instrumental forståelse, når det kommer til ligningsløsning og ikke en relationel forståelse (Skemp, 1976) Ydermere havde Kenny fejl i spørgsmål som tester symbol- og formalismekompetencen, og det var vores formodning, at også dette spillede ind i hans problemer med at løse ligninger. Længere var det ikke muligt at komme ud fra detektionstesten, og samtale med Kenny var derfor nødvendigt. Ud fra vores formodninger udvalgte vi spørgsmål fra testen samt lavede supplerende opgaver i håb om at få svar på vores formodninger. Vi valgte derfor at lave en session (som vi optog på video) med Kenny, hvor vi spurgte ham igen om følgende opgaver: 36: Løs ligningerne −6𝑥 = 24 og 6𝑥 = 24. 35: Løs ligningerne 30 + 20 = 𝑥 + 64 og 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15. 33: Løs ligningerne 𝑥 = 1 og (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 0. 37: For hvilke 𝑥 gælder 38𝑥 + 72 = 38𝑥. 20: Hvad er løsningen/løsningerne til ligningen 3𝑥 − 𝑥 = 2𝑥. 17: Findes der nogen værdier af 𝑎, således at 𝑎2 = 2𝑎? 18: Findes der nogen værdier af 𝑏, således at 4𝑏 = 4 + 𝑏? 21: Hvad kan du sige om to tal 𝑐 og 𝑑 når 7𝑐 + 22 = 109 og 7𝑑 + 22 = 109? 32: Hvornår er de to udtryk 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 og 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 lig hinanden? Til hver af disse opgaver havde vi lidt ekstraopgaver klar, så vi kunne undersøge om svarene var konsistente og så vi kunne skrue op eller ned for sværhedsgraden. 28 Vi startede med at bede Kenny løse opgaverne i spørgsmål 36 i detektionstesten, hvilke han kunne løse uden problemer. Han har forstået, at ligninger af typen 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏 kan løses ved at dividere med 𝑎 på begge sider også i tilfældet, hvor 𝑎 er negativt. Vi kiggede derefter på ligninger, hvor 𝑥 optræder på begge sider, dvs. de ikke-aritmetiske ligninger på formen 𝑎𝑥 ± 𝑏 = 𝑐𝑥 ± 𝑑. Her lykkedes det Kenny, at løse ligningen 3𝑥 + 20 = 𝑥 + 64 og han nævner undervejs ”at vi skal samle x’erne” og ”der hvor der er det mindste antal af x”. Men da det ene fortegn laves om i næste opgave går det galt. Opgaven er nu gået fra at være en konkret ikkearitmetisk ligning til nu at blive en abstrakt ikke-aritmetisk ligning (Vlassis, 2002) dvs. skelnen mellem konkrete og abstrakte ligninger. Kenny blev bedt om at løse ligningen 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15, hvilken han vil løse på samme måde som før. Det vil sige samle x’erne der, hvor der er flest til at starte med. Første skridt han vil lave er at samle x’erne på højre side, men her laver han en fejl. Kenny peger på minusset og siger: ”Der står minus her, så starter vi med at plusse med 7x”. Han får dermed −3 = 20𝑥 + 15. Kenny tror, at minusset i 7𝑥 − 3 hænger sammen med 7𝑥 og dermed har vi vores første bevis for, at problemer med symbol- og formalismekompetencen skaber problemer for ham i ligningsløsning4. Efter fejlen med minusset fortsætter Kenny og trækker korrekt 15 fra på begge sider og ender med ligningen −18 = 20𝑥. Herefter stopper Kenny op og siger: ”Her må være gået et eller andet galt.” Da intervieweren spørger indtil dette, siger Kenny: ”Det kommer til at give et underligt resultat.” Det viser sig, at en del af Kenny begrebsbillede af ligninger er, at løsningen skal give et pænt tal, for som han siger: ”Det plejer det.” Billede fra første videosession med Kenny For at teste Kennys forståelse af ligningsbegrebet spørger intervieweren, om Kenny kan tjekke sit resultat, men det kan Kenny ikke huske hvordan man gør. Kenny er dog klar over, at 𝑥 = 10 ikke kan være en løsning, idet han jo lige har fået løsningen til noget andet. Intervieweren spørger nu, ”hvad betyder 𝑥 = −3 for din 4 Senere vender intervieweren tilbage til problemet og spørger, hvordan minusset hænger sammen med 7𝑥, og Kenny indser at det gør det ikke og sætter et plus-tegn foran 7𝑥 og er derefter i stand til at løse ligningen korrekt. 29 ligning?”5, og der går det op for Kenny, at han kan sætte -3 ind i ligningen for at tjekke resultatet. Han bliver nu bedt om at gøre dette. Han skriver 7 ⋅ −3 − 3 = 13 ⋅ −3 + 15, hvilket i næste mellemregning bliver til 18=64. Igen viser der sig et problem, når der optræder minusser. Med lidt hjælp fra intervieweren kommer han dog frem til, at højre siden giver -23 (han tænker her rigtigt men regner forkert, da han først vil lægge 10 til -39 og får -28 og derefter korrekt lægger 5 til) imens venstresiden nu bliver til -18. Han har altså nu −18 = −23 og intervieweren spørger om, hvad han siger til det. Til dette svarer Kenny: ”Det er ikke i nærheden af 10” og siger derefter ”Var det ikke 10 jeg skulle tjekke?”. Intervieweren peger på -3 og nævner, at det er det tal Kenny har sat ind og spørger igen ind til resultatet −18 = −23 til hvilket Kenny ikke kan give en konklusion andet end, at ”det har bare ikke så meget med 10 at gøre.” Det er tydeligt at se, at Kenny forståelse med det at tjekke resultatet ikke er i orden. Billede fra Kennys første videosession Vi prøvede derefter at tjekke Kennys forståelse af ligningsbegrebet yderligere. Vi bad Kenny, om at løse spørgsmål 38 (For hvilke x gælder: 38𝑥 + 72 = 38𝑥? ). Det viser sig dog, at Kenny er i tvivl om, hvad ”For hvilke x gælder” betyder. Intervieweren hjælper ham i gang ved at sige: ”Hvad nu hvis der står ’løs ligningen’.” Kenny går derfor i gang med at løse ligningen og får først 72 = 𝑥, men kan dog selv se, at svaret må være forkert. Han prøver igen og får nu korrekt 72 = 0. Dette ved han dog ikke, hvad betyder. Intervieweren går derfor videre til spørgsmål 20: ”Hvad er løsningen/løsningerne til ligningen 3𝑥 − 𝑥 = 2𝑥. Med besvær kommer Kenny frem til ligningen 3𝑥 = 3𝑥. Kenny siger derefter: ”Det vil give 1, da 3 divideret med 3 giver 1.” Kenny kan godt se, at 𝑥 = 1 er en korrekt løsning, men spurgt ind til, om der kunne være flere løsninger, siger han: ”Jeg tror aldrig jeg har prøvet sådan en opgave før”. Hernæst spørger Intervieweren” Når man løser ligninger ved man så noget om hvor mange svar der er”. Kenny svarer: ”Når jeg løser ligninger plejer der kun at være én løsning.” Intervieweren spørger (med det just overståede forløb om andengradspolynomier klart i hukommelsen) om han har prøvet opgavetyper, hvor der ikke var løsninger eller mere end 1 løsning. Han siger dog, at han har prøvet ”hvor der ikke var nogen løsninger, men det var ikke i gymnasiet.”6 Igen ser det ud til at Kennys forståelse af ligningsbegrebet ikke er helt i orden. 5 6 Han har på nuværende tidspunkt med lidt hjælp regnet sig frem til, at 𝑥 = −3 er løsningen. Det kan bemærkes, at klassen kort inden har haft om andengradsligninger i undervisningen. 30 Vi ville derefter se på, om Kenny havde problemer, hvis den variable ikke hedder x. Vi bad ham svare på spørgsmål 17, omhandlende hvorvidt der findes værdier af a således, at 𝑎2 = 2𝑎. Han svarer ja og prøver med 1 som han dog indser ikke dur. Han prøver med nul som dur og dernæst med 2, som han også indser, er en løsning. Han kan dog ikke løse opgaven på anden måde end at gætte det ”Der vil jeg meget gerne have en metode” siger han. Det samme gør sig gældende, da intervieweren skriver 𝑥 2 = 2𝑥 op. Heller ikke ligningen 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 kan han løse, idet han prøver at isolere x. Han genkender simpelthen ikke, at opgaven er en andengradsligning. Intervieweren prøver nu spørgsmål 18: ”Findes der nogen værdier af b, således at 4𝑏 = 4 + 𝑏. Kenny nævner, at han tror svaret er nej, idet han ikke lige kan se nogle løsninger, når han prøver at sætte tal ind.7 Intervieweren prøver nu at skrive x’er i stedet for b’er, dvs. 4𝑥 = 4 + 𝑥 og pludselig ser Kenny 4 3 opgaven som en ligning, som kan løses på den sædvanlige måde. Han får korrekt løsningen 𝑥 = . Han er dog ikke tryg ved, at svaret står som en brøk. Vi kan ud fra samtale med Kenny forsøge at opstille en diagnose. Kenny har flere problemer. Der er en tydelig forskel på begrebsdefinitionen af begrebet ”ligning” og hans begrebsbillede [Tall & Vinner, 1981]. For Kenny er en ligning noget hvor x indgår, hvor der er netop en løsning, og hvor denne løsning er et helt pænt tal. Og det giver ham nogle problemer, hvis de variable hedder noget andet, hvis ligningen har flere end en løsning eller hvis løsningen ikke er pæn. Ydermere er det tydeligt, at Kenny udelukkende har en instrumental forståelse for begrebet ligninger [Skemp, 1976]. Kenny kan godt løse aritmetiske ligninger på formen 𝑎𝑥 = 𝑏 for alle værdier af a og b samt ligninger på formen 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 for positive værdier af a, b, c og d. Men Kenny støder på problemer, når det ikke handler om ligninger på præcis de to formler, idet han så ikke kan bruge sin indlærte metode. Dette stemmer fint overens med Vlassis’ teori om [Vlassis, 2002], at det særligt er de abstrakte ikke-aritmetiske ligninger, der volder problemer for elever. Og har ligningerne pludselig flere end én løsning, slet ingen løsning eller blot en løsning som ikke er et helt tal, så ved han ikke, hvad der sker. Ligesom han også i starten ikke vidste, hvordan han kunne kontrollere sit resultat. Kenny har ikke den relationelle forståelse til at udvikle sin metode til at løse ligninger f.eks. på formen 𝑎𝑥 − 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑. Dette kommer også til udtryk hans kommentar om, at han ”mangler en metode”, og hans kommentar da han skulle kontrollere et resultat: ”Den (metoden) kan jeg ikke huske.” Det er tydeligt, at Kenny har brug for det rigtige stikord for at forbinde en stillet opgave med en metode eller et begreb han har lært. I ligninger hvor den variable hedder a eller b betragter han ikke opgaven som en ligning, men derimod gætter han blot på et tal som passer. Skriver vi derimod samme opgave om med x’er, så passer opgaven ind i hans begrebsbillede og metode, og pludselig begynder han at løse opgaven som en ligning vha. kendte operationer. Dette afspejles også i, at Kenny ikke kunne genkende ligningen 𝑥 2 = 2𝑥 som en andengradsligning, og det er vores formodning, at såfremt der havde stået ”løs andengradsligningen”, havde han kunne klare denne. For ”det plejer der jo at stå” foran andengradsligninger. Skemp beskæftiger sig i sin artikel: Symbolic Understanding fra 1982 [Skemp, 1982] med at beskrive den sammenhæng individet danner mellem input, det symbolske system og den begrebsmæssige struktur. Hans tanke er, at den form inputtet har styrer hvilken forståelse man knytter til symbolerne. I Kennys tilfælde giver et input med ’a’ i stedet for ’x’ ham ikke en forståelse af, at det er en ligning, han skal løse. Han kan simpelthen ikke indse, at den struktur som symbolerne danner for ham udgør en ligning. På samme måde danner et input af formen 𝑥 2 = 2𝑥 ikke en forståelse hos Kenny af, at det er en andengradsligning vi har at gøre med. For ham vil det som 7 Bemærk, at Kenny her rent faktisk kan tjekke om hans bud på et svar løser ligningen. 31 nævnt nok være nødvendigt at servere inputtet som ”Løs andengradsligningen 𝑥 2 − 2𝑥 = 0” før han bliver klar over at det, symbolerne rent faktisk udtrykker, er en andengradsligning. Kenny har kendskab til den overordnede struktur i en ligning såsom, at der indgår et lighedstegn, og at han gennem en proces kan løse nogle ligninger. Han kan løse aritmetiske og konkrete ikke-aritmetiske ligninger, men ikke mere. Ydermere kan han ikke skelne forskellige typer ligninger (han opdager ikke, at han kigger på en andengradsligning) og hans generelle forståelse med ligningsbegrebet strækker sig ikke længere end, at der er netop en løsning som er et pænt tal. En del af Kennys problem ved f.eks. ikke-aritmetiske ligninger, at Kenny også har et problem med sin symbolog formalismekompetence. Det er tydeligt, at han er usikker på ligninger, hvor der indgår et minus. I ligningen 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15 tror han, at minusset på en eller anden måde hører til 7𝑥. Først da intervieweren hjælper opdager han, at fortegnet til 7𝑥 er et plus, hvilket han for øvrigt føler sig nødsaget til at skrive. Hans problem med symbol- og formalismekompetencen kommer også til udtryk, da han skal kontrollere om -3 er en løsning til ligningen. Først skriver han 7 ⋅ −3 − 3 = 13 ⋅ −3 + 15, hvilket i sig selv viser et problem, men samtidig beregnes venstresiden til først 18 og derefter -18. Kenny – videosession 2 Efter diagnosen af Kenny diskuterede vi yderligere i vores gruppe, og vi blev enige om, at det ville være en god idé med endnu en samtale med ham. Grunden til dette var, at vi gerne ville have lidt mere data at begrunde vores diagnose ud fra og for også at komme lidt dybere ned i eventuelle problemer. Vi valgte spørgsmål, der ville teste hans begrebsbillede af ligninger, samt ligninger der bl.a. ville teste deres symbolog formalismekompetence mht. at regne med ”minusser” (se bilag 10) Første spørgsmål var en opgave i at bestemme, hvilke udtryk på en liste, som Kenny ville kategorisere som ligninger. Vi havde bevidst valgt nogle forskelle ligningstyper med den hensigt at udfordre hans ligningsbegreb. Således var der både en ligning uden variable, ligninger med én variabel, men med forskellige tegn for den ubekendte (a og x), ligninger med 2 variable og ligninger med 3 variable (bl.a. Pythagoras’ sætning). Vi havde følgende udtryk: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 𝑥 + 𝑦 = 10 4=2 𝑥2 − 3 = 1 2𝑥 − 4 = 7 2𝑎 − 4𝑏 = 𝑧 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 𝑎+8=2 𝑥+8=2 2𝑥 − 5 = 3𝑥 − 𝑥 − 3 Kenny ser straks at udtryk h) er en ligning, hvorimod han er mere i tvivl om udtryk g), hvor x’et er udskiftet med et a. Her spørger Kenny i stedet, om det kaldes algebra. Intervieweren svarer ”ja, det er 32 bogstavregning” og spørger igen om det er en ligning. Hertil svarer Kenny efter nogen tids overvejelse dog ja. Kenny får derefter konkluderet, at udtryk a), c), d), i) og e) er ligninger, om end han synes at tilstedeværelsen af ”z” i udtryk e) er underlig. Han siger, at ”jeg går ud fra, at det er en ligning, men jeg ved ikke rigtigt hvad z’et skal betyde.” Ydermere betragter han ikke udtryk f) som en ligning og heller ikke b), hvor han spørger, om der mangler noget. Vi bliver dermed bekræftet i, at hans begrebsbillede af ligningsbegrebet ikke er helt på plads, når det kommer til hvad de(n) variable må hedde. Han er fortsat utryg ved ligninger, hvor den variable hedder noget andet end x. Men da han først overbeviser sig selv om, at udtryk g) var en ligning, så overbeviser han sig hurtigt om, at de andre udtryk med variable a, b, y og z også er ligninger. Dog er der undtagelsen med udtryk f) som er Pythagoras’ sætning, hvilket formentlig er grunden, idet han forbinder netop dette udtryk med noget andet. Endvidere forbinder han ikke udtryk uden variable (som udtryk b) ) som en ligning. Vi prøvede også at undersøge hans begrebsbillede af ligningsbegrebet nærmere, når det kommer til løsninger, mere præcist løsninger som ikke er ”pæne” tal og ligninger med flere eller ingen løsninger. Når det 6 kommer til resultater, som ikke giver hele tal, så er han stadig noget i tvivl. I en opgave får han svaret 𝑥 = 4 og prøver derefter straks at regne dette ud som decimaltal. Da intervieweren spørger, om han behøver at regne brøken ud, svarer Kenny: ”Må man godt skrive sådan der?” Det viser, at i Kennys begrebsbillede, så skal løsningen til en ligning helst være et helt tal eller til nød et decimaltal. Andre opgaver viste, at Kenny ikke har indvendinger imod negative tal som løsning. Han støder dog på et problem, da han i en opgave ender med ligningen −𝑥 = −2. Her ved Kenny ikke, hvad han skal gøre uden hjælp fra intervieweren. Han spørger, om han kan angive dette (−𝑥 = −2) som svar, hvilket igen viser noget manglende forståelse. Vi ønskede også at teste Kennys forståelse mht. antal af løsninger. Tidligere havde Kenny ikke kunnet klare opgaverne med uendelig mange løsninger eller slet ingen, og dette mener vi både kan skyldes hans begrebsbillede af ligningsbegrebet, hvor en ligning har netop en løsning, men også en instrumental forståelse [Skemp, 1976] hvor Kenny har metoder til at løse ligninger, men hvor han ikke har den relationelle forståelse for selve ligningsbegrebet. Denne samtale understregede dette. Kenny blev bedt om at løse ligningen 3𝑥 − 6 = 4𝑥 + 1 − 𝑥, og Kenny får reduceret dette til ligningen −7 = 𝑥 − 𝑥. Man kunne på dette tidspunkt tydeligt fornemme usikkerheden i hans stemme. Han får derefter −7 = −𝑥 og siger: ”forudsat at x’erne er det samme.” Intervieweren spørger om de er det, og her er Kenny usikker, formentlig fordi han har indset, at han i så fald vil få ligningen −7 = 0. Efter nogle hints kommer Kenny og intervieweren dog frem til, at −7 = 0 må være det rigtige resultat, og intervieweren spørger så Kenny (der har skyndt sig videre til næste opgave), hvad det svar så betyder. Kenny skyder både på, at x så må være 0 og derefter på at x må være 7, inden han tilkendegiver, at han ikke ved svaret. Kenny får også en ligning med uendelig mange løsninger, hvor han ender med udtrykket 0 = 0. Her er hans konklusion, at løsningen må være 𝑥 = 0, om end han også udtrykker sin tvivl ved svaret. Under tidligere samtale havde Kenny desuden svært ved abstrakte ikke-aritmetiske ligninger. Vi valgte derfor at stille en række af sådanne ligninger. Det viste sig noget overraskende, at Kenny nu havde godt styr på dem. Faktisk løser han dem alle uden at lave fejl. Hvad årsagen til dette skyldes ved vi ikke, men vi har en formodning om, at han dels nok var lidt nervøs i tidligere samtale og dels tror vi, at han må have øvet sig siden. Kenny har dog stadig ikke helt styr på regning med negative tal, idet han i flere andre opgaver laver fejl, når to negative tal skal divideres med hinanden. F.eks. skriver han 33 −24 −3 = −8 og −14 −2 = −7. Kenny anden videosession Tommy – videosession 1 Vi har valgt at arbejde videre med Tommy fordi han som tidligere skrevet er meget optaget af matematik og rigtig gerne vil faget, men slår voldsom ud med en fejlprocent på 72 i kategorien ligninger, hvor klassens gennemsnit ligger på 53 %. Det tyder på at der er store vanskeligheder i dette centrale emne og som må give ham problemer i mange andre matematikemner. Tommy svarer korrekt på ligningerne i spørgsmål 36 (Løs ligningerne −6𝑥 = 24 og 6𝑥 = 24) samt spørgsmål 21 (Hvad kan du sige om to tal 𝑐 og 𝑑 når 7𝑐 + 22 = 109 og 7𝑑 + 22 = 109?) og 35 c) (Er 𝑥 = 10 en løsning til ligningen 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15?) fra detektionstesten, men stort set alle andre ligningsopgaver volder ham problemer. I spørgsmål 35 (Løs ligningerne 30 + 20 = 𝑥 + 64 og 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15) bliver ligningerne lidt sværere, idet x optræder på begge sider af lighedstegnet, og her svarer Tommy dog kun forkert i 35 b). Det kunne altså tyde på, at han har svært ved abstrakte ikke-aritmetiske ligninger. Da den ene opgavetype går ok, men ikke den anden, vil vi gerne høre hvilke tanker han gør sig når han løser denne type opgaver. Heller ikke ligningen (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 0 eller 𝑥 = 1 i spørgsmål 33 kan han klare. Tommy har også fejl i de opgaver der vedrører antallet af løsninger, dvs. spørgsmål 37 (For hvilke 𝑥 gælder 38𝑥 + 72 = 38𝑥) og spørgsmål 20 (Hvad er løsningen/løsningerne til ligningen 3𝑥 − 𝑥 = 2𝑥 - alle tal er løsning – men hvor han dog skriver alle positive tal). Tommy har svaret forkert både i spørgsmål 17 og 18 (”Findes værdier af hhv. a og b så 𝑎2 = 2𝑎 hhv. 4𝑏 = 4 + 𝑏 er opfyldt). På baggrund af hans detektionstest opstillede vi nogle foreløbige hypoteser om hans problemer og årsag til disse. Inddeles på samme måde som Kenny: Der var tegn på problemer med abstrakte ikke-aritmetiske ligninger Vi formodede, at der kunne være problemer med hans begrebsbillede kontra begrebsdefinitionen af ligningsbegrebet. Denne formodning skyldes hans fejl i spørgsmålene angående antal løsninger til ligninger. Grundet hans fejl formodede vi også, at han havde en instrumental forståelse, når det kommer til ligningsløsning og ikke en relationel forståelse Formodning om væsentlige mangler i symbol- og formalismekompetence 34 Tommy bad vi om igen til vores videosession at gennemregne opgaver fra ligningskategorien og fortælle samtidig hvad han tænker for på den måde at få et indblik i hans metoder og problemer. Vi havde yderligere spørgsmål klar for at kunne uddybe problematikkerne – oftest opgaver som kunne ses som lidt mindre komplekse end dem fra testen. Opgaverne vi undersøgte nærmere med Tommy blev således de følgende: 36: Løs ligningerne −6𝑥 = 24 og 6𝑥 = 24. 35: Løs ligningerne 30 + 20 = 𝑥 + 64 og 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15. 33: Løs ligningerne 𝑥 = 1 og (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 0. 37: For hvilke 𝑥 gælder 38𝑥 + 72 = 38𝑥. 25: Er 𝑥 = 0 en løsning til ligningen 3𝑥 − 𝑥 = 2𝑥? 17: Findes der nogen værdier af 𝑎, således at 𝑎2 = 2𝑎? 18: Findes der nogen værdier af 𝑏, således at 4𝑏 = 4 + 𝑏? 𝑎5 16: Hvad er 𝑎5? 12: Hvad er 𝑎 𝑐/𝑑 ? 𝑐 𝑏 6: Hvad er 𝑏 ⋅ 𝑎? Også her havde vi ekstramateriale klar. Tommy klarede opgaverne fra spørgsmål 36 fint både i testen og igen da vi spurgte ham til videosessionen. Ligninger af denne type har han en fin forståelse af hvordan man skal løse. Når vi så tager hul på de ikke-aritmetiske ligninger begynder vanskelighederne at melde sig i spørgsmål 35 går opgaven 3𝑥 + 20 = 𝑥 + 64 fint både i test og til videosessionen, men opgaven 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15 giver problemer. Han havde lavet opgaven forkert i testen, og vi opdager under videosessionen at fejlen skyldes et ”cross-over” til en anden regel. Tommy første videosession. 35 Han vil samle de led der indeholder x på højresiden af ligningen da der er flest x´er her. Han trækker derfor 7 x fra på begge sider. Vi Han trækker bagefter 15 fra på begge sider men reducerer venstresiden til 18, da ”minus gange minus giver plus”, som han siger. Det er altså primært symbol- og formalismekompetencen, der spænder ben for ham her. 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15 −3 − 15 = 13𝑥 − 7𝑥 18 = 6𝑥 3=𝑥 Vi spørger ham om svaret kan valideres og han svarer korrekt, at vi kan indsætte 3 på x´s plads. Dette gør han og kommer frem til 18=54 og indser straks der må være en fejl i hans udregninger. Han opskriver ligningen endnu en gang og kommer igen i samme konflikt og dropper reglen om at minus gange giver plus og kommer frem til det korrekte svar som han tjekker. Igen får han en intern konflikt pga. ”minus gange minus giver plus”. Og er usikker på om reglen skal i brug eller ej og er derfor ikke sikker i sin validering af resultatet. Han kender fint til princippet om indsætning af svaret i den oprindelige ligning, men har problemer med reduktion af både algebraiske og ikke algebraiske udtryk. Da han skulle tjekke om x=10 var en løsning voldte det ingen problemer, da han ret hurtigt kunne se, at venstresiden blev langt mindre end højresiden. Spørgsmålet ”Løs ligningen 𝑥 = 1” gav problemer både i detektionstesten og i den efterfølgende session. Tommy konstaterede, at x er en konstant fordi der ikke er noget y. Vi bemærker at der heller ikke var y i de forrige ligninger, hvilket han giver os ret i, men det hjælper ham ikke videre. Han siger ”Dog kan vi ikke rigtig give et svar for vi kan ikke isolere x”. Det kunne således tyde på, at Tommy har et billede af, at man altid skal ”gøre noget” for at komme frem til en løsning på en ligning, hvilket kommer til at skabe en konflikt for ham i den pågældende situation. Han har tilsvarende problemer med opgavetypen ”For hvilke x gælder 38𝑥 + 72 = 38𝑥” som han ligeledes gerne vil have funktionsbegrebet ind over og ej heller kan finde ro i, fordi han ikke kan isolere x. I opgaven ”Hvad er løsningerne til 3𝑥 − 𝑥 = 2𝑥" kommer han dog efterhånden frem til at der er uendelig mange svar – han ender i 2x = 2x og prøver med diverse hele positive tal. Han indser dog ikke, at løsningsmængden faktisk er alle de reelle tal. Vi går videre med (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 0 Han genkender ikke denne ligningstype, og han vil derfor gerne gange parenteserne sammen. Han går i gang og får på venstresiden 𝑥2 − 𝑥 − 3 − 𝑥 − 5 Han tøver og kan huske, at hvis det skal give nul, så kan vi sætte nul ind på x´s plads. Altså en voldsom sammen blanding. Vi tog yderligere et par opgaver af samme type, men dette bestyrkede dog blot vores 36 opfattelse af, at han har enormt svært ved ligninger, hvor der stilles lidt større krav til symbol- og formalismekompetencen. Efterfølgende har vi haft en lille samtale om andengradsligninger og han kan godt huske formlerne, men kan kun genkende dem, hvis der i opgaveteksten eksplicit står ”løs andengradsligningen…” Når vi ser på opgavetyper hvor den ubekendte ikke hedder x, men et andet bogstav, så volder det også Tommy problemer. Han prøver med en enkelt værdi der ikke passer og så må svaret være nej. I andre tilfælde prøver han at isolere den ubekendte men med store vanskeligheder og med helt egne regler. Vi gentager visse opgaver nu blot med x som den ubekendte og så kommer vi lidt videre men stadig med store problemer som ligner noget vi har set i tidligere opgaver. Når vi ser på resultaterne i de opgaver, hvor han skal forkorte fx 𝑎5 𝑎5 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 og ∙ , så er det tydeligt at han laver den klassiske fejl med at forkorte korrekt, men så er der nul tilbage, så nul er svaret. Sætter man ham til at 23 23 8 regne med taleksempler f.eks. 23 , så forkorter han også først til nul, men beder man ham udregne 23 = 8 så får han 1 og dette gentager sig i flere opgaver. Med tal går det ok, men med bogstaver går det galt Tommy første videosession Vi kan ud fra første samtale med Tommy forsøge stille en diagnose. Der er en tydelig forskel på begrebsdefinitionen af begrebet ”ligning” og hans begrebsbillede. For Tommy er en ligning noget hvor x indgår, hvor der er netop én løsning (med få undtagelser) og hvor man skal ”gøre noget” for at komme frem til en løsning. Det giver ham nogle problemer, hvis de variable hedder noget andet end x, hvis ligningen har flere end en løsning eller ingen løsning eller hvis løsningen til ligningen er givet på forhånd. Dvs. det er tydeligt, at Tommy udelukkende har en instrumental forståelse med begrebet ligninger (jf. teoriafsnit). Tommy kan som Kenny godt løse aritmetiske ligninger samt konkrete ikke-aritmetiske ligninger på formen 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑. Men vi vil yderlige teste ham i opgaver med ligninger hvor dette ikke er tilfældet. Tommy har tydeligvis helt glemt, at der er noget der hedder andengradsligninger og hvordan disse løses. Han ser fint ud til at kunne kontrollere sit svar dvs. at kende reglen med at indsætte sit svar i den oprindelige ligning og tjekke at man får det samme tal på begge sider af ”=” men han havner her som i den direkte ligningsløsning i samme vanskeligheder idet ”minus og minus” giver plus” som han udtrykker det, når han f.eks. skal udregne stykket ”-3-10” og får 13. 37 I ligninger hvor den variable hedder noget andet end x betragter han ikke opgaven umiddelbart som en ligning. Han kan dog godt indsætte værdier og se om de passer (forudsat det ikke giver regnetekniske problemer). Hvis vi presser ham til et gæt i visse opgaver kan blot et enkelt fejl gæt medføre, at der ingen løsninger kan være. Skriver vi derimod samme opgave om med x’er, så passer opgaven bedre ind i hans begrebsbillede og metode, og han begynder så småt at løse opgaven som en ligning dog med mange fejl. Og han genkender stadig ikke en andengradsligning og de der tilhørende operationer. Sammenfattet kan vi konkludere, at Tommy har kendskab til den overordnede struktur i en ligning såsom, at der indgår et lighedstegn, og at han gennem en proces kan løse nogle ligninger. Han kan løse aritmetiske og konkrete ikke-aritmetiske ligninger, men ikke mere. Ydermere kan han ikke skelne forskellige typer ligninger (han opdager ikke, at han kigger på en andengradsligning) og hans generelle forståelse med ligningsbegrebet strækker sig ikke længere end, at der er netop en løsning, som er et pænt tal. En del af Tommy problem ved de abstrakte ikke-aritmetiske ligninger er, at Tommy har store mangler med sin symbol- og formalismekompetence. Det er tydeligt, at han er usikker på ligninger, hvor der indgår et minus. I ligningen 7𝑥 − 3 = 13𝑥 + 15 tror han da han er i gang med at løse den at −3 − 15 giver 18. Og dette gentager sig flere gange, også når han skal tjekke svar til opgaver. Tommy’ problemer med at gange parenteser ud understreger, at han har store problemer med symbol- og formalismekompetencen, når han skal løse ligninger. For at begrænse os ser vi os dog nødsaget til at lade parentesproblemerne ligge ligesom problematikken vedrørende andengradsligninger må hvile indtil klassen skal repetere engang i foråret. Men det har været en chokerende opdagelse at se hvilke fejl vores elever laver, og hvor hurtigt de taber/glemmer viden vi mener at have givet dem. Tommy – videosession 2 Efter første videosession 1 gik vi nu i gang med anden runde, som beskrevet under Kenny. Tommy løste første opgave hurtigt. I nedenstående skulle han udpege hvilke af nedenstående udtryk, der er ligninger a) b) c) d) e) f) g) h) i) 𝑥 + 𝑦 = 10 4=2 𝑥2 − 3 = 1 2𝑥 − 4 = 7 2𝑎 − 4𝑏 = 𝑧 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 𝑎+8=2 𝑥+8=2 2𝑥 − 5 = 3𝑥 − 𝑥 − 3 Han udpeger c) d) g) h) og i) som ligninger og siger, at ligninger jo indeholder én ubekendt, så det er tydeligt at den ubekendte ikke behøver hedde x da han udpeger g) til at være en ligning. Han accepterer dog ikke, at der kan optræde flere ubekendte/variable i en ligning, dvs. de resterende betragter han ikke som ligninger. 38 Den næste opgavetype klarede Tommy fint. Det er aritmetiske ligninger, hvor svarene ikke nødvendigvis er hele tal. Han demonstrerede fin talforståelse og er god til brøkregning i hovedet. Omsætning fra brøk til decimaltal har han styr på. Næste type opgaver er igen aritmetiske ligninger, hvor x optræder med negative koefficienter foran. Undervejs i løsningen af ligningerne demonstrerer Tommy, at det ikke betyder noget om x-leddet står på højre eller venstre side af lighedstegnet og lægger fint til på begge sider, så han slutter med et ”x=…” eller ”…=x”. Han er altså fortrolig med, at højre- og venstreside er ækvivalente. Anden videosession Tommy Han laver dog en fejl i opgaven −𝑥 − 5 = −7, idet han først korrekt lægger x til på begge sider men dernæst trækker 7 fra på begge sider. Han får derved svaret x=-12 og da intervieweren beder ham indsætte svaret og tjekke om det er korrekt, opdager han, at der er noget galt. Da han prøver at finde den kører han tilbage i samme fejlspor som sidst. Han opdager ikke fejlen ved, at han har trukket 7 fra på begge sider i stedet for at lægge det til, men konkluderer at ”-7-5 måske giver 12 fordi minus og minus giver plus”. Han indser dog, at x=12 heller ikke er et korrekt svar og opgiver derefter at komme videre. Anden videosession Tommy I de næste par opgaver er det lidt blandet hvordan det går nogle klares fint og andre løses med korrekte svar, men hvor man undres over tankegangen. I opgaven −4 − 3𝑥 = −28 lægger han pænt 3x til på begge sider, men 28 skal lægges til ”fordi der står minus her og her” siger han og peger på minus foran 28 OG på minus foran 3. Så går vi over til at studere de ikke-aritmetiske ligninger. Tommy vælger fint at samle leddene der indeholder x på den side af lighedstegnet hvor der er flest x. Det går fint i de fleste stykker men igen kommer der i en 39 opgave samme problematik som før. Opgaven lyder: 14 − 6𝑥 = 2 − 10𝑥. Her lægger han pænt 10x til på begge sider, men 14 ”som er positivt ” rykkes over (så der står 10𝑥 − 6𝑥 = 2 − −14 fordi der står minus her og her” siger han og peger på minus foran 10x i den oprindelige ligning . Anden videosession Tommy Da vi når til opgaverne der kan have flere løsninger (fx to eller uendelig mange) eller ingen løsninger så går Tommy lidt i stå. I en opgave uden løsning siger han direkte da han ender med -6 = 1 at ”så har vi ingen ubekendt mere og så har vi ingen ligning”. Udtrykket -6 = 1 får to streger under og skal angives som svar, siger han. Sidenhen mener han den har uendelig mange løsninger. Ligningen x 2 = 25 giver ham kvaler fordi han ikke kan huske en formel. Han ser altså ikke den hurtige løsning, som mange elever ellers ofte angiver som eneste løsning, men prøver at grave tidligere indlært metodik frem. I opgaven der har uendelig mange løsninger regner han fint indtil det er tydeligt at der står det samme på begge sider og indsætter så x= 1 og ser det passer og slutter så med 0 med to streger under og siger det er svaret. Intervieweren spørger til = og han skriver så 0 = 0. Vi borer lidt i x = 1 og Tommy siger vi også kan prøve med 3 og det passer også – vi får nul; Da vi så endnu en gang gerne vil ha præciseret hvad x er, så siger han x er nul. Vi går ham mere på klingen og kommer frem til at der må være uendeligt mange værdier som x kan være. På opgavesiden med de 4 ens ligninger der blot er skrevet lidt forskellige op går det ikke godt for Tommy. Første ligning går fint men i anden ligning kommer han frem til at 8𝑥 − 7 = 5 + 2𝑥 bliver til 8𝑥 − 2𝑥 = 5 − 7 ” fordi minus er stærkere end plus”, som han siger. Samme fejl gentages i de næste opgaver (og han glemmer let fortegn i endelige reduktioner). Alt i alt synes Tommy denne gang lidt svagere end Kenny Intervention På baggrund af vores diagnose af Kenny og Tommy planlagde vi en intervention af begge elever. Vi vil i dette afsnit beskrive vores metode samt bevæggrundene og det teoretiske belæg for den valgte metode. Ydermere vil udbyttet af interventionerne blive diskuteret Som beskrevet i afsnittet om diagnosticering af Kenny og Tommy, så har begge elever problemer med ligningsbegrebet og til dels også med symbol- og formalismekompetencen. Vi valgte i vores interventioner for begge elever at fokusere på deres problemer med ligningsbegrebet. Dette skyldes, at vi mener at problemerne med netop forståelsen af ligningsbegrebet er helt essentielt for begge elevers problemer med ligningsløsning. Ydermere lå der i vores valg et tidsmæssigt aspekt, idet en intervention omhandlende både 40 ligningsbegrebet og symbol- og formalismekompetencen ville blive for omfangsrigt i forhold til den begrænsede tid vi havde til rådighed. Vi opstillede fire mål for vores interventioner med Kenny og Tommy. 1. 2. 3. 4. Vi ville give eleverne en korrekt definition af, hvad en ligning egentlig er. Vi ville give eleverne forståelsen af, hvad det vil sige at løse en ligning. Vi ville give eleverne en anden repræsentationsform for ligninger. Vi ville give eleverne en korrekt forståelse af antallet af løsninger for ligninger. Det var vores håb (og forventning), at såfremt vi kunne lykkes med disse fire mål, så ville Kenny og Tommy få en bedre forståelse for ligningsbegrebet og af ligningsløsning, og dermed ville vi kunne eliminere flere af de fejl, som Kenny og Tommy tidligere havde lavet i detektionsdelen. Vi havde en session med de to elever hver for sig, men der er ikke den store forskel på hvad vi har set i de to omgange eller hvad vi udsatte dem for så interventionssessionen er sammenskrevet. Vi startede begge interventioner med at fortælle Kenny og Tommy, hvad definitionen for en ligning er, dvs. ”en ligning er et udsagn (en udtalelse, der enten er sand eller falsk), hvor der indgår et lighedstegn.” Vi gjorde dette for at give dem et mere korrekt begrebsbillede af ligningsbegrebet. Det handlede bl.a. om, at begge elever skulle blive opmærksom på, at udtryk med flere ubekendte, udtryk med andre ubekendte end x osv. også er ligninger. Som beskrevet tidligere, så havde begge elever tidligere vist problemer med netop dette, hvor Kenny bl.a. havde haft problemer med at løse ligninger, hvor den ubekendte ikke var x, idet han ikke anså disse udtryk for værende ligninger. Vi viste derefter Kenny og Tommy deres besvarelse fra opgave 1 i den sidste seance i diagnosedelen, hvor de skulle identificere, hvilke udtryk ud af en lang række de anså for værende ligninger. Det lykkedes os dermed at skabe nogle konflikter mellem deres tidligere begrebsbillede af ligningsbegrebet og det præcise definitionsbillede som netop var præsenteret, idet de i den tidligere besvarelse ikke havde ramt alle rigtige. Det kunne de nemt nu. Dermed var vi i kraft af disse konflikter forhåbentlig med til at give eleverne et mere helstøbt begrebsbillede ( Tall & Vinner, 1981) Vi brugte derefter noget tid på, at snakke med Kenny og Tommy om, hvad det vil sige at løse en ligning, altså at vi leder efter den eller de værdier vores variabel (vi holdt os til en variabel) skal antage for at højre- og venstresiden er lig hinanden, dvs. de værdier som gør udsagnet sandt eller hvad et falsk udsagn til slut betyder. Vi talte om, at alle linjer i ligningsproceduren skal være sande. Vi lod dem indsætte den fundne værdi for x i samtlige mellemregninger baglæns i en opgave, hvor de havde regnet forkert. Først i den oprindelige ligning for at tjekke svaret og dernæst baglæns fra svaret for at identificeres det sted hvor de havde regnet galt. Dette var givtigt for eleverne og det virkede til, at de fik en aha-oplevelse. Vi indførte nu - på baggrund af Raymond Duvals teori om semiotiske systemer og repræsentationer i matematik - grafer som repræsentation for ligninger. Et matematisk objekt (f.eks. ligninger) vil ifølge [Duval, 2006] være en slags ækvivalensklasse af mulige repræsentationer såsom symbolsk (ligning), grafisk (graf for ligning) og numerisk repræsentation (tabel). Disse er samlet i det Duval kalder registre. Ifølge [Duval, 2006] er forståelsen af et objekt knyttet til evnen at koordinere forskellige repræsentationer af objektet. [Duval, 2006] skelner mellem to slags matematiske processer, som er operationer og konversioner, hvilket hhv. er processer i samme register (f.eks. at løse en ligning symbolsk) og processer fra et register til et andet (f.eks. at illustrere en ligning grafisk). Det viser sig, at skift i disse repræsentationer på tværs af registre kan være 41 sværere for eleverne (end at arbejde indenfor det samme register), men samtidig er det netop disse repræsentationsskift der kan medføre tilegnelse af større forståelse af objektet (her ligninger). Duval skriver i sin konklusion [Duval, 2006 s128]: ”Changing representation register is the threshold of mathematical comprehension for learners at each stage of the curriculum. It depends on coordination of several representation registers and it is only in mathematics that such a register coordination is strongly needed”. Man kan her drage en sammenligning til teorien fra [Skemp, 1976], idet det er muligt at have en instrumental forståelse af et objekt, hvis man kan arbejde indenfor et register, men for at få den relationelle forståelse, skal man også kunne arbejde med repræsentationsskift på tværs af registrene. Det med at indføre en ligning grafisk havde for os to årsager. For det første mente vi på baggrund af Duvals teori [Duval, 2006], at det ville udvikle Kenny og Tommy’ forståelse af ligninger. Samtidig var det vores idé, at benytte disse grafiske repræsentationer til at skabe nogle konflikter for vores elever ved at betragte nogle ligninger, som de tidligere havde lavet fejl i. Endvidere ville vi bruge de grafiske repræsentationer til at illustrere antallet af løsninger til ligninger, idet både Kenny og Tommy havde vist forståelsesmæssige vanskelligheder med netop dette. Helt konkret startede vi med en ligning som Kenny og Tommy havde lavet rigtigt. Vi illustrerede vha. et computerprogram ligningen grafisk og via samtale med de to elever blev de gjort klart, hvor en løsning skulle aflæses. Vi viste dem at ved omformning af ligningerne, så ændrede graferne sig, men løsningen var hele tiden den samme. Dette er skitseret i interventionsbilag 11. Derefter betragtede vi et antal ligninger, som Kenny og Tommy hver især havde lavet forkert ved sidste samtale under diagnosticeringsdelen. Ydermere kiggede vi (symbolsk og grafisk) på de ligninger i sidste samtale, som havde to løsninger, uendelig mange løsninger og ingen løsninger. Det var vores idé, at den grafiske repræsentation af disse ligninger ville hjælpe Kenny og Tommy til at forstå, hvad svar som 4 = 2 og 0 = 0 betyder for en ligning. Vi kiggede bl.a. på en andengradsligning som Tommy løser pænt i hånden først. Han har før ikke kunne genkende andengradsligningerne, men har haft lidt repetition i klassen og til sessionerne, hvor han er blevet klar over at de dukker op. Vi taler om det grafiske udtryk og om at mere komplicerede udtryk kan være vanskelige at løse også grafisk da antallet af løsninger kan være uklart og at det kan være svært at vælge ”vindue”. Det var dog tydeligt (og nedslående) at de ikke kan huske at det grafiske værktøj er blevet brugt i forløbet om andengradspolynomier og andengradsligninger i klasseundervisningen. Kenny gættede hurtigt den ene løsning i sidste diagnosticeringssession og kunne denne gang fint se begge løsninger med det grafiske værktøj. I den type opgaver hvor der er en tom løsningsmængde eller der er uendelig mange svar, kunne vores to elever tydelig vha. det grafiske værktøj se de åbenlyse svar. De var helt med på at parallelle linjer ikke skærer hinanden og at to sammenfaldne linjer har uendelig mange punkter til fælles. Til afslutning har vi igen fire mindre opgaver i ligningsløsning som vi bruger som tjek efter vi har samlet op på lektionen og berører endnu engang, hvad man forstår ved en ligning, antal løsninger og tjek af svar, hvilke de begge klarer tilfredsstillende og er helt med på, at den ubekendte kan hedde andet end x. Vi taler lidt med begge om problemerne med minus. De erkender vigtigheden af ikke at ”rykke over” på den anden side, men benytte den modsatte regneoperation på begge sider af lighedstegnet, når de vil isolere den ubekendte. Særligt Tommy der har været på High School i USA udtrykte, at det var det man altid gjorde dengang han havde (forsøgt) at lære ligningsløsning. Og det var tydeligt at Tommy løste opgaverne langt bedre nu, hvor 42 han var bevidst om processen og hvad den indebar (det med den modsatte regneoperation – som dog kun volder problemer når minus er involveret…i simple ligninger). Vi talte om forskellen på −3 − 4 og (−3) ∙ (−4). Førstnævnte type reduktioner havde især Tommy en del problem er med, så vi tegnede tallinjer og illustrerede. Reduktionen af (−3) ∙ (−4) kan vi ikke rigtig tegne os ud af men vi talte lidt generelt om underforståede gangetegn og parenteser. Det er et vanskeligt område for eleverne og de sejler lidt rundt på åbent hav og prøver at huske hvordan og hvornår multiplikation er underforstået, samt hvornår man skal sætte parenteser og hvornår man skal lade være. Noget tilsvarende gælder for udtrykket x som eleverne gerne vil huskes på er det samme som +1x og at i udtrykker x-3 der hører minus til tretallet og der står +1x-3. Dette kommer frem når man giver dem samme opgave omskrevet til flere ”forskellige” ligninger. Alt i alt fik de ved sessionen en større forståelse for ligningsbegrebet og at der er mange muligheder for navngivning af den/de ubekendte. Ligeledes fik de en øget opmærksomhed på at antallet af løsninger ikke er givet på forhånd, og at man kan tjekke sine svar ved at indsætte i den oprindelige ligning. Grafisk løsning er også en metode som kan hjælpe og give et billede at situationen. Endelig blev Tommy og Kenny klar over vigtigheden af ikke bare at ”rykke over” på den anden siden af lighedstegnet om end de stadig begge bokser lidt med reduktioner på hver deres måde. Konklusion Når man kaster et blik på de forløbne måneder, er det tydeligt, at vores to elever Tommy og Kenny har haft mange og langt mere dybtliggende problemer, end vi i første omgang var klar over. For det første var vi overraskede over, at de ikke klarede indgangstesten bedre end gennemsnittet af deres b-niveau klasse, når man tager i betragtning, at det er to interesserede elever, der plejer at læse og deltage ret aktivt i timerne. Når vi så gik i dybden med at undersøge deres metoder og kendskab til ligninger, var det ligeledes overraskende, at de havde forholdsvis store og mangeartede problemer med dette væsentlige område. Vi forventede egentligt, at elever i 2g kan finde svaret i en ikke aritmetisk ligning, hvis løsning ikke er heltallig. Vi var ligeledes stærkt overraskede over, at det kræver bestemte Buzzwords at kunne genkende fx andengradsligninger og løse dem. Eleverne viste her helt tydelige instrumentelle tilgange til emnet, ja måske endda niveau under – hvis det findes. Forbløffende i betragtning af at det ikke var så længe siden, at de var igennem emnet i klassen. Endelig havde vi nok forventet, at de kunne løse ligninger uanset, hvordan den ubekendte navngives. Det er ikke så oplagt i gymnasiepensummet på B niveau, at beskæftige sig med ligninger med uendeligt mange løsninger, men det er noget man ofte kommer ind på bl.a., når man ser på fx rette linjer. Men ligninger uden løsning støder man jo på som en del af pensummet vedrørende andengradspolynomier. Det var dog tydeligt, at vores to elever havde lige svært ved begge typer ligninger. Skal vi drage en konklusion på vores problemformulering, ” Hvilken rolle spiller Kenny og Tommy’ forståelse af ligningsbegrebet og besiddelse af symbol- og formalismekompetencen for deres evne til at løse ligninger?”, ja så må svaret være, at deres manglende forståelse af ligningsbegrebet og deres problemer med netop symbol- og formalismekompetencen giver dem enorme problemer med netop ligningsløsning. Den manglende forståelse af ligningsbegrebet har betydet, at vores to elever bl.a. ikke har anset ligninger med andre variable end x som værende ligninger, og de har ikke kunnet skelne de forskellige typer ligninger 43 (f.eks. andengradsligninger) fra hinanden og dermed ikke kunnet løse disse. Ydermere har ligningstyper med ingen løsninger, med uendelig mange løsninger og ligninger hvor løsningen er givet på forhånd (og det således ikke er nødvendigt at ”gøre noget”) tydeligvis gjort dem usikre, da disse falder uden for deres billede af en ligning. Vores ene elev Kenny var også på bar bund, når man bad ham tjekke sit svar, når han har løst ligningen eller har et forslag til et svar. Og hvad det betyder, når han fik f.eks. 0=0 til slut, vidste Kenny heller ikke. Tommy var lidt bedre stillet umiddelbart, da han kendte til metoden med at tjekke sine svar, men han har så store reduktionsmæssige problemer, at det i praksis ikke er ham til gavn. Og bl.a. her viste deres problemer med symbol- og formalismekompetencen sig tydeligt. For bare det at indsætte sin løsning og tjekke resultatet viste sig for begge at give store problemer alene pga. regnetekniske vanskeligheder. Og i selve ligningsløsningen viste problemerne med symbol- og formalismekompetencen sig også at være af en grad, hvor ligningsløsningen næsten blev en umulighed. Især i de abstrakte ikkearitmetiske ligninger viste dette sig. Det har været frustrerende at se de mange typer af fejl, vores to elever har udvist og samtidig skulle begrænse os til at udvælge og beskrive et fåtal af disse. Tommy kan fx ikke gange simple parenteser sammen og Kenny har svært ved at regne med negative tal. Men vi mener, at det er lykkedes os at give dem en større forståelse af ligningsbegrebet, og at der er mange muligheder for navngivning af den/de ubekendte. Endvidere fik de en øget opmærksomhed på at antallet af løsninger ikke er givet på forhånd, og at man kan tjekke sine svar ved at indsætte i den oprindelige ligning eller de følgende reduktioner, hvor udtrykket også skal give et sandt udsagn. Det var tydeligt til interventionen, at det har hjulpet på deres ligningsløsning, at de har fået denne større forståelse af selve ligningsbegrebet. Det er dog vigtigt at understrege, at Kenny og Tommy ikke er i mål endnu som gode ”ligningsløsere”, idet problemerne med symbol- og formalismekompetencen stadig er til stede. Det hjælper noget at have styr på metoden til at løse ligninger, men man regner jo stadig forkert, hvis man ikke kan trække tal og variable fra hinanden. Det viste sig, at grafisk løsning er en metode, som kan hjælpe og give et godt billede af situationen. Begge elever fik sig nogle aha-oplevelser især mht. ligninger med ingen eller med flere løsninger. Endelig blev Tommy og Kenny klar over vigtigheden af ikke bare at ”rykke over” på den anden siden af lighedstegnet, om end de stadig begge nok kan bruge yderligere hjælp til reduktioner på hver deres måde. Det blev faktisk lidt af en øjenåbner for Tommy, der i interventionssessionen oplevede, at såfremt han var meget grundig med at lave modsat regneoperation i hvert skridt i udregninger, så kunne han faktisk løse alle stillede førstegradsligninger. Husker han dette, så er han hjulpet et godt stykke på vej. Skulle vi i fremtiden arbejde videre med Kenny og Tommy og deres ligningsløsning, så skulle vores fokus fremover nok rettes mod netop symbol- og formalismekompetencen. Her trænger begge til forbedringer. Her kunne emnerne bl.a. være negative tal, parenteser og ettaller og nuller (f.eks. i reducering af brøker med samme tæller og nævner). Endelig har vi fået øjnene op for de mange variationer af ligningsløsning, som eleverne anvender, og mange af disse havde vi ikke set komme. Udtrykket ”at rykke over på den anden side” er man som lærer vant til at høre, selvom man ikke er begejstret for det. Det viser sig dog at dække over en række fejl, som er ret forskellige. Det kan til dels være en helt generel manglende eller ikke godt nok udviklet symbol og 44 formalismekompetence, men det kan også være sære sammenblandinger af meget instrumentalt tillærte regneregler, der kommer til udtryk nogle helt forkerte steder. Arbejdet med projektet gennem detektionstest, diagnose og intervention har på mange måder været meget givende for os som lærere. Vi har fået øjnene op for en masse problemer og vanskeligheder hos eleverne, som vi ikke har været helt så opmærksomme på tidligere. Vi er gang på gang blevet overraskede over underlige fejl, metoder, ideer og beregninger, og vi er i den grad blevet forundret over hvor mange faldgrupper der egentlig er hos eleverne. Og det endda i så lille et område af gymnasiets pensum. 45 Bilag – miniprojekt 1 Dette er en bilagssamling til projekt 1. 46 Bilag 1 Detektionstest 1: 47 48 49 50 51 Bilag 2: Resultater for klassen 1gMA (CS) - 30 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: 52 Resultater for de enkelte kategorier: 53 Bilag 3: Resultater for klassen 2gMa (CS) - 23 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: 54 Resultater for de enkelte kategorier: 55 Bilag 4: Resultater for klassen 1gMa Valghold (KPM) - 17 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: 56 Resultater for de enkelte kategorier: 57 Bilag 5: Resultater for klassen 2gMA (KPM) - 28 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: 58 Resultater for de enkelte kategorier: 59 Bilag 6: Kategorisering af ”57 spørgsmål fra professoren”: 60 Bilag 7: Vores bud på den gennemsnitlige elevs besvarelse af detektionstesten: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 1,5 3,67 Ja Ja Nej Streger ud – mange muligheder for forkerte svar. Negativ 8,5 25 % Ved ikke – kan ikke regnes uden lommeregner. Ved ikke d 13/3 0 x , 0, 0, 2a + 2b De streger bare over Ja Ja s / (4/5) x=1 Ved ikke. x er 5 større end y De er forskellige Ja Ja 149+51=200 ¼ = 2/8 Ved ikke Lige søde 0,32 Der er 6 gange så mange professorer som studerende Når alle tal er 1 ingen ligning, ganger sammen og giver derefter op Ved ikke, hvad ”bestem n”betyder x=22, x=-3, ved ikke x=-4, x=4 Ved ikke Ja 61 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. Ja Kan ikke svare Ved ikke Ved ikke 2/4 og ved ikke Ved ikke Tegner og afleverer noget utydeligt y = 3x A B C D er funktioner, E og F er ikke funktioner, da grafen ikke hænger sammen -1, 0, 1, 2, 3 Kan ikke svare Ja Nej Ja Kan ikke svare 54. 𝑎 𝑏 55. Ja 56. Ja 57. Ved ikke Begrundelser for formodede svar på detektionstest: 1. Vi tror at den gennemsnitlige elev ved at 1½ er 1,5. 2. Eleven tror typisk at svaret skal skrives som decimaltal, og her vil eleven kende svaret godt kunne runde korrekt af. 3. Eleven ser, at der står et a og et 2-tal begge steder og tror derfor, at det er det samme.Skrev vi ikke nej? 4. Eleven ser, at der står et a og et 3-tal begge steder og tror derfor, at det er det samme. Eleven vil formentlig ikke være sikker, idet a3 ikke er en skrivemåde, som eleven ser så ofte. 5. Her ved eleven godt, at 4b betyder ”4 gange b”. Og ”gange” og ”plus” er jo ikke det samme. 6. Eleven vil strege ud, da ting jo går ud med hinanden. Eleven ved ikke, hvad det betyder, når alt er streget ud. 7. Eleven svarer negativt, da der står minus for a’et. Eleven har ikke nok viden om ”variabel”-begrebet til at overveje, at a jo kan være hvilket som helst tal. 8. Eleven tager 10% af 8,5 i stedet for 110%. Eleven forstår ikke, at man kan få et tal større end 85. 9. Tænker ikke, at der er forskel på at lægge 25 % til et tal og trække 25% fra dette resultat. 25% er jo 25%. 10. Eleven giver op, da eleven ikke kan regne med kvadratrod 2 uden lommeregner. 11. Eleven kender ikke svaret, da han ikke ved hvad 5/9 er. 12. c går ud med c og tilbage står d. 13. Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål. 14. Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål. 62 15. a) Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål. b) Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål. c) Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål. d) Eleven glemmer at skifte fortegn på a’et i parentesen og får 2a + 2b. 16. Eleven streger over, men ved ikke hvad det betyder når alt er streget over. 17. Eleven svarer ja, da eleven ser at 0 virker 18. Eleven svarer ja, da eleven kan løse denne type ligninger og ved, at der ”altid” er en løsning.4 19. Eleven plejer at dividerer med det som står foran x’et (som nu hedder k) fpr at isolere. 20. Eleven ser, at x=1 er løsning og qua den didaktiske kontrakt er der jo altid netop en løsning. 21. Eleven ved ikke pga. ”mærkelig” udformning af spørgsmål. 22. x og 5 er y, dvs. x er 5 større end y. Eleven tænker omvendt pga. dårlig talforståelse. 23. Eleven svarer at de to udtryk er forskellige, idet de jo ikke ligner hinanden. Ydermere vil eleven ikke være stærk nok i forståelsen af parenteser til at gange ind i denne. 24. Eleven svarer ja, idet dette (eller et lignende eksempel) typisk vil være gennemgået i undervisningen. Ellers havde svaret nok været nej, idet der jo ikke optræder noget x. 25. Den gennemsnitlige elev ved godt, at denne skal forsøge med at sætte 0 ind og se om det passer. 26. Eleven runder tallene af hvert for sig og lægger sammen. 27. Eleven ved at 1/4 og 2/8 er end?. Eleven glemmer dog 4/16, da denne ikke er så ofte brugt og dermed ikke genkendelig. Forståelsen med brøkstreg er ikke så god, at eleven blot dividerer og ser om brøkerne giver det samme. 28. Eleven ved ikke, da eleven kun kan gøre dette med 10. og 100.-dele. 29. Eleven kan spørgsmålet, da eleven er trænet i forholdsregning fra folkeskolen. 30. Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål 31. Der står 6 gange P, så dem er der 6 gange så mange af. 32. Eleven ser at de er lig hinanden, hvis eleven sætter 1 ind over alt. 33. a) Ved ikke, da der ikke står nogen ligning. b) Ganger parenteser sammen (for det plejer eleven) og giver derefter op. 34. Eleven ved ikke, hvad ”bestem n” betyder. 35. a) Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål b) Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål c) Eleven ved ikke, da han ikke kan overskue at sætte 10 ind og tjekke. 36. a) Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål. b) Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål. 37. Eleven ved ikke, da eleven ikke kan finde en løsning. Og svaret ”ingen løsning” er ikke en mulighed pga. den didaktiske kontrakt. 38. Vi tror, at vores gennemsnitlige elev kan klare dette spørgsmål 39. Eleven svare ja bl.a. som konsekvens af forrige spørgsmål hvor 1/10 var lig 0,1. Elevens forståelse af talbegrebet er ikke godt nok til at gennemskue denne lille ”fælde”. 40. 40: Den gennemsnitlige elev har svært ved at oversætte mellem decimaltal og brøker og bliver formentlig noget forvirret, når han/hun skal svare på spørgsmålet. Det ender derfor formentlig med et ”kan ikke svare”-svar 41. Gymnasieelever har generelt ikke et særlig godt talbegreb og mangler forståelse for tætheden på den reelle talakse. Vi vil tro, at der er meget få, der kan svare rigtig på disse spørgsmål. 63 42. Gymnasieelever har generelt ikke et særlig godt talbegreb og mangler forståelse for tætheden på den reelle talakse. Vi vil tro, at der er meget få, der kan svare rigtig på disse spørgsmål. 43. Elever er vant til at strege tal ud i tæller og nævner ved reduktion af brøker og ender derfor formentlig med det resultat, vi har gættet på i 43 a). I 43 b) står der et kommatal i både tæller og nævner, hvilket er så usædvanligt for dem, at de formentlig reagerer med et ”ved ikke”-svar. De ved simpelthen ikke, hvad de skal stille op med sådan en brøk. 44. Eleverne har vanskeligt ved at håndtere sådan en opgave, når der ikke er konkrete talværdier på siderne i rektanglet. De vil nemlig ofte tegne rektanglet, men det kræver for dem, at de ved hvad siderne er – altså hvor store de er. Derfor ender det formentlig med et ”ved ikke”-svar på både areal og omkreds 45. Vi har en formodning om, at den gennemnitlige elev vil prøve sig frem via en grafisk illustration. Det ender dog formentlig med en lidt utydelig tegning, hvor eleven på øjemål tegner et midtpunkt, men ikke ved hvordan han/hun præcis skal bestemme koordinatsættet. 46. Eleverne er generelt udmærkede til at tegne punkter i et koordinatsystem. Herfra kan de godt tegne en ret linje igennem punkterne og aflæse b og a-værdi. Den type opgaver er de rimelig godt trænet i. 47. Elevernes ”billede” af en funktion er formentlig, at den skal være sammenhængende. Vi tror, at den gennemsnitlige elev glemmer kravet om, at der til hver x-værdi svarer kun én y-værdi, hvorfor de svarer, at A, B, C og D er funktioner 48. Vi tror ikke, at den gennemsnitlige elev har nogle synderlige vanskeligheder ved denne opgavetype. Nogle vil dog muligvis svare, at -2 også er med, men ikke den gennemsnitlige elev. 49. Samme argument som i 41 og 42. Gymnasieelever har generelt ikke et særlig godt talbegreb og mangler forståelse for tætheden på den reelle talakse. De prøver sig formentlig frem med forskellige eksempler på ”det største tal” men kan ikke generalisere til, at der ikke findes noget. 50. Den gennemsnitlige elev har nok så veludviklet en forståelse af ”=” at han/hun sagtens kan se, at de to udtryk er ens. 51. Den gennemsnitlige elev har nok så veludviklet en forståelse af ”>, <” at han/hun sagtens kan svare rigtigt på spørgsmålet. 52. Den gennemsnitlige elev har nok så veludviklet en forståelse af ”>,<” at han/hun sagtens kan se, at de to udtryk er ens. 53. Mange elever er vant til ”at strege ud”, hvis de ser det samme tal i tæller og nævner, men her bliver de sikkert forvirrede over, at der står -1 i tæller og +1 i nævner, hvilket formentlig gør dem usikre, hvorfor de ender med et ”kan ikke svare”-svar. 54. Ud fra argumentet om, at elever er vant til ”at strege ud” på begge sider af brøkstregen. 55. Ud fra argumentet om, at elever er vant til ”at strege ud” på begge sider af brøkstregen. 56. Ud fra argumentet om, at elever er vant til ”at strege ud” på begge sider af brøkstregen. 57. Tja, eleven kan ikke rigtig strege noget ud og kommer formentlig herefter til kort. Ser ikke at nævneren kan omdannes til –(3x – 1), hvorefter han/hun kan strege ud på begge sider af brøkstregen. 64 Bilag 8: Bilag 9: Inddeling af ligning: 20. Hvad er løsningen/løsningerne til ligningen 3x – x = 2x? (tester ligningsbegreb) 25. Er x = 0 en løsning til ligningen 3x – x = 2x? (tester ligningsbegreb) 33 a. Løs ligningen x = 1 (aritmetrisk ligning, konkret, tester ligningsbegreb) 35 a. 3x+20 = x+64 (ikke-aritmetrisk ligning, konkret) 35 b. 7x-3=13x+15(ikke-aritmetrisk ligning, abstrakt) 35 c. Er x=10 en løsning til ligningen 7x-3=13x+15? (ligning, der tester ligningsbegreb) 36 a. −6x= 24 (aritmetrisk ligning, abstrakt) 36 b. 6x = 24 (aritmetrisk ligning, konkret) 37 For hvilke x gælder 38x+ 72 = 38x (ligning, der tester ligningsbegreb) 65 Bilag 10: Opgaver til anden session: 66 67 68 Bilag 11: 69 70 71 Miniprojekt 2. semester maj 2014 Uddannelse til Matematikvejleder Beviser og ræsonnementer i matematik A biologist, a statistician and a mathematician are on a photo-safari in Africa. They drive out on the savannah in their jeep, stop and scout the horizon with their binoculars. The biologist: "Look! There's a herd of zebras! And there, in the middle: A white zebra! It's fantastic! There are white zebra's! We'll be famous!" The statistician: "It's not significant. We only know there's one white zebra." The mathematician: "Actually, we only know there exists a zebra, which is white on one side." Rapporten er udarbejdet af: Anders Keiding, Sankt Annæ Gymnasium Christina Specht, Aurehøj gymnasium Kasper Maes, Aurehøj Gymnasium Vejledere: Uffe Jankvist og Sif Skjoldager, RUC 72 Indledning: Matematikken er fyldt med påstande såsom "vinkelsummen i en trekant er 180 grader", "hvis du har en retvinklet trekant, så er summen af kvadratet på hver af kateterne lig kvadratet på hypotenusen" og så videre. Mange elever synes, at der er så meget der skal huskes i matematik - regler og formler, som de ofte siger. Der er ofte også en tendens til at mange elever falder fra i timerne, når talen kommer på hvorfor diverse "formler" nu er som de er. Eleverne er ikke med på hvilken rolle beviserne spiller, og hvorfor vi laver dem. Mange synes egentlig de er unødige og kan ikke se meningen med dem. De vil hellere regne løs med formlerne og øve sig i at bruge dem i opgaver, hvilket for mange kan være svært nok. Måske er der en sammenhæng mellem den manglende forståelse og besværet med at bruge dem og især huske dem. Når det så lykkes at engagere nogle elever i bevisførelse, så fortaber de sig ofte i de enkelte algebraiske skridt der forekommer i et bevis for en sætning og øjner ikke meningen med beviset og opdager ej heller hvornår vi er færdige. For nogen elever, er det når læreren ser tilfreds ud og lægger kridtet, eller hvis eleven fører kridtet, så er eleven færdig, når læreren nikker og ser tilfreds ud og stopper med at spørge. Man har travlt i den daglige undervisning og når sjældent særlig meget om selve faget matematik. I enkelte AT-forløb eller tværfaglige forløb kan man indimellem få talt om bevisets stilling, om argumentation i forskellige fag og hvad en af grundstenene i matematikken er: beviserne. I hverdagen er det svært at nå, og hvornår skal man (hvis man ikke har tid) lægge et sådan forløb ind? Tidligt i gymnasietiden har eleverne svært ved at begribe meningen med beviser, for de er ikke rigtig stødt på beviserne endnu. Senere er denne situation bedre, men der er man jo allerede travlt beskæftiget. Men hvad er det så, vi vil med al denne bevisførelse og med de beviser? Det er ”at afsløre sagens kerne, forklare, verificere, systematisere, inkorporere velkendte fakta i en ny ramme og se vise tingene fra et nyt perspektiv, danne grundlag for ny matematik man undervejs i bestræbelserne på at bevise en sætning er kommet til ad nye veje” osv.8 Måske er det lidt meget at forlange af eleverne, men vi vil i hvert fald gerne have dem til at indse, hvordan man afgør om en påstand er sand, hvordan verificerer man, hvordan falsificerer man og hvad er forskellen mellem disse to discipliner. Vores problemformulering i denne opgave bygger netop på ovenstående. Problemformuleringen er formuleret og har udviklet sig gradvis igennem projektet, og den er derfor skrevet ind i projektet, så den kronologisk passer ind i arbejdet9. Vi vil dog for læserens skyld også præsentere vores problemformulering her: På hvilken måde påvirker elevernes matematikforestillinger og bevisskemaer deres evne til at evaluere og udføre beviser og ræsonnementer? Hvordan kan en intervention rettet mod elevernes bevisskemaer forbedre denne evne? 8 9 Kilde: "Proof and its classroom role; A survey" af Gila Hanna Se side 98 73 Hvad er et ræsonnement og et bevis, og hvad er deres rolle i gymnasiet Inden vi starter med at undersøge elevernes eventuelle problemer med ræsonnementer og beviser, så er det på sin plads at definere, hvad vi forstår ved et ræsonnement og et bevis, samt kort redegøre for deres rolle i gymnasieskolen. Ved et ræsonnement forstår vi følgende10: En kæde af forbundne argumenter, der skal retfærdiggøre en matematisk påstand. Ved et bevis forstår vi følgende11: En logisk deduktion, hvilende på et sæt af præmisser fremsat for at retfærdiggøre en påstand vedrørende egenskaber ved og relationer mellem veldefinerede matematiske objekter. Dermed er et bevis en særlig slags ræsonnement. Kigger vi i ræsonnementers og bevisers rolle i gymnasiet, så har de en fremtrædende rolle. Med udgangspunkt i læreplan og vejledning til Matematik A i STX ses at ræsonnementer og beviser dukker op flere steder. Allerede i fagets formål står der, at undervisningen skal give eleverne indsigt i matematisk ræsonnement. Her nævnes også KOM-rapporten [Niss, 2002], som også i vejledningen til Matematik A udfoldes i et afsnit og indeholder såvel matematisk ræsonnement som de matematiske beviser. Her nævnes bl.a. at: ”Eleverne bør på A-niveau selv arbejde med alle disse typer af beviser (Red: induktionsbeviser, direkte beviser, indirekte beviser, beviser ved kontraposition, eksistensbeviser og konstruktionsbeviser).” Ydermere stilles det som krav, at undervisningen blandt andet skal indeholde et sammenhængende forløb med vægt på ræsonnement og bevisførelse (dette krav stilles helt nede på Cniveau). Ræsonnement og bevisførelse testes da også til eksamen på A-niveau, hvor eleven for at få karakteren 12 bl.a. skal vise at eleven kan ”demonstrere indsigt i matematisk ræsonnement og teoribygning.” På C-niveau hedder samme krav, at eleven ”…kan gennemføre simple matematiske ræsonnementer.” Alt i alt må det konkluderes, at såfremt eleverne har vanskeligheder med ræsonnementer og bevisførelse, så har de ikke blot vanskeligheder med at forstå selve matematikkens opbygning og natur men også problemer med at klare sig godt karaktermæssigt i undervisning. Derfor må de siges, at ræsonnementer og bevisførelse har en så stor rolle i STX, at det giver god mening at undersøge og hjælpe elever med deres eventuelle vanskeligheder indenfor dette emne. Detektion Vi vil i de følgende afsnit beskrive vores fremgangsmåde i arbejdet med at identificere mulige kandidater, der har vanskelligt med ræsonnementer og bevisførelse. Vi vil give en kvantitativ analyse af vores resultater. 10 11 Definition af Niss på internat 2 Definition af Niss på internat 2 74 Fremgangsmåde Vi har valgt at undersøge elever fra i alt 6 klasser fordelt på Sankt Annæ Gymnasium (2 klasser) og Aurehøj Gymnasium (4 klasser). Af disse 6 klasser er der 3 gengangere fra første projekt angående begrebsdannelse. De 6 klasser fordelte sig på 3 klasser med A-niveau (to 1.g og en 2.g klasse) og 3 klasser med B-niveau (en 1.g og to 2.g klasser). Vi benyttede os af detektionstest 2 (se bilag 1), som vi først kiggede igennem og vurderede (se næste afsnit og bilag 2) og derefter udleverede til eleverne i de seks klasser. Derefter rettede vi testene og indførte alle elevernes resultater i et regneark for hver klasse (se bilag 3-8), samt et regneark hvor klassernes resultater sammenlignes med hinanden (se bilag 9). Ud over elevernes enkelte resultater i hver opgave foretog vi også en kategorisering af spørgsmålene. Ud fra vores regneark var det derfor også muligt at udtrække data til en kvantitativ analyse omkring de enkelte spørgsmål men også omkring forskellige emner. Efter en nærmere analyse af vores resultater kunne vi identificere nogle kandidater at arbejde videre med. Disse elevers besvarelser blev derefter nærstuderet, og vi traf den endelige beslutning om, hvilke elever vi ville arbejde videre med. Vurdering af spørgsmål og svarmuligheder Inden vi uddelte og rettede testen kiggede vi detektionstesten grundigt igennem og blev i vores gruppe enige om, hvordan vi ville taksere de forskellige svar. Vi gav som hovedregel 1 point for et rigtigt svar og 0 point for et forkert. Dog blev vi enige om, at vi ville differentiere lidt i opgaverne, således at det i nogle opgaver er muligt at få ½ point. Det drejer sig om opgaverne 2, 3, 5c, 11 og 22. Endvidere er hvert delspørgsmål i opgave 5 og opgave 21 blevet betragtet som et spørgsmål for sig selv, dvs. at det f.eks. i opgave 5 er muligt at få op til 3 point. For en grundigere redegørelse for vurdering af spørgsmål og svarmuligheder samt forklaring på pointgivning henvises til bilag 2. Kategorisering Vi har som i detektionstest 1 i første miniprojekt også valgt at lave en kategorisering af spørgsmålene i detektionstest 2. Vi har kategoriseret således12: 12 Som i vores kategorisering af detektionstest 1, så denne kategorisering blot ét eksempel på, hvordan man kategorisere spørgsmålene. En nærmere analyse af hvert spørgsmål med henblik kategorisering er et helt projekt i sig selv og vil ikke blive gjort i dette projekt. 75 Motivationen med kategoriseringen er ligesom i første miniprojekt todelt. Vi vil gerne have et værktøj til at give os et hurtigt overblik over hhv. enkelte elevers og hele klassers eventuelle problemer med enkelte emner eller kategorier. Det er vigtigt igen at præcisere, at kategoriseringen ikke kan bruges til diagnosticering af den enkelte elev, men vi har dog brugt resultaterne som et pejlemærke i forhold til, hvor vi skal undersøge nærmere for problemer. Vi får dermed en idé til, hvor vi skal starte som udgangspunkt, men de nærmere undersøgelser kan selvfølgelig sagtens vise, at problemerne til dels eller hovedsagligt ligger begravet et andet sted. Netop for at komme ovenstående situation (hvor problemer med mere grundlæggende algebra og aritmetik viser sig i form af problemer med ræsonnementer og beviser) lidt i forkøbet har vi lavet kategoriseringen todelt. Vi har lavet en kategorisering i det vi har kaldt ”ræsonnementsemner”, hvilket dækker emner som f.eks. ”implikationer”, ”evaluering af påstand” og ”modeksempler”, og en kategorisering i det vi har kaldt ”matematiske emner” som f.eks. dækker over ”geometri”, ”ligninger” og ”algebra”. Vores ”ræsonnementsemner” er altså en inddeling af de 23 spørgsmål i kategorier som hører med til ræsonnementskompetencen f.eks. at kunne begrunde en påstand, evaluere et argument og forstå betydningen af et modeksempel. Samtidig dækker ”matematiske emner” de grundlæggende matematiske discipliner som f.eks. geometri, algebra og sandsynlighedsregning indenfor hvilke de 27 spørgsmål omhandler. F.eks. er spørgsmål 11 (se nedenunder) hvor eleverne skal vurdere en påstand (ræsonnementsemne) og det handler som sandsynlighedsregning (matematisk emne). 76 Resultater Inden vi ser på resultaterne for klasserne og de enkelte elever, så vil vi lige knytte nogle kommentarer til enkelte spørgsmål. I spørgsmål 8 (se nedenunder) var der hos eleverne nogle forståelsesmæssige problemer allerede inden de begyndte at svare. Det drejer sig om ordet ”ræsonnement”, som flere elever ikke vidste hvad byder, og ikke mindst formuleringen ”Taget under ét” hvis betydning også var uklar for flere elever. Ser man på resultaterne for de enkelte spørgsmål13, så er der et par spørgsmål, hvor kun ganske få elever har kunnet svare rigtigt. Det drejer sig især om spørgsmål 5c og 9, som er gengivet herunder: 13 Se alle klassernes svarprocent til alle spørgsmål i bilag 9. 77 Her er klassernes procent af korrekte svar følgende: Det er ikke så overraskende, at netop spørgsmål 5c skaber problemer, idet eleverne præsenteres for et svært bevis, som de skal finde en fejl i. I spørgsmål 9 er det vores formodning, at elevernes problemer består i det faktum, at lodrette linjer ikke er noget som der gennemgås ret grundigt i gymnasiet. Man kan undres lidt over, at spørgsmål 5c skaber så store problemer for elever, imens spørgsmål 23, der måske er det mest matematisk komplicerede spørgsmål, ikke skiller sig ud som værende sværere end mange andre spørgsmål. Det er vores formodning, at dette skyldes at spørgsmålet er et multiple-choice spørgsmål. Det er vores overbevisning, at ikke ret mange elever har forståelse for, hvad der egentlig sker i beviset, men vi har i vores gennemgang af elevernes svar kunne se, at næsten ingen elever bruger svarmuligheden ”jeg kan ikke svare”. Eleverne på vores skoler ser ikke ud til at kunne abstrahere fra det faktum, at de ikke testes i skoleregi men som del af et forskningsprojekt. Eleverne svarer dermed som om testen har indflydelse på deres karakter, og eleverne ved ganske udmærket, at det i så fald er bedre at gætte på ”ja” eller ”nej” frem for at vælge ”jeg kan ikke svare”. Vi kan ud fra vores resultater se, at dette gælder i samtlige spørgsmål hvor muligheden ”jeg kan ikke svare” optræder, dvs. i spørgsmål 1, 5a, 5b, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21a og 23. Denne svar mulighed bliver simpelthen ikke benyttet i vores klasser. Når det kommer til resultaterne for klasserne helt overordnet er der ikke de helt store forskelle klasserne imellem. Vi har følgende fordeling i andel af rigtige svar: 78 Og laver vi boksplot over elevernes antal af rigtige svar i hver klasse ser det således ud: Ser man på gennemsnittene for klasserne, så ser resultaterne nogenlunde ud som forventet. I 1.g klasserne ligger de to hold på A-niveau over holdet på B-niveau, og i 2.g klasserne ligger holdet med A-niveau foran de to hold på B-niveau, hvoraf valgholdet ligger lidt bedre end det ”fødte” B-niveau-hold. Lidt overraskende er det dog måske, at 1.gMA (CS) ligger over 2.gMA (KPM). Ser man på de enkelte elevers resultater indenfor klasserne, så ser man at holdene 1gMa (AK) og 2.gMa (CS) har den største spredning i resultaterne. Også dette stemmer overens med vores oplevelser fra hverdagen, hvor eleverne i B-niveau klasserne ofte har meget forskelligt niveau. Her finder man både rigtig dygtige elever, men bestemt også elever med meget store vanskelligheder med matematik. Valg af elever Vi havde inden detektionsfasen gik i gang en række elever, som vi regnede med kunne være kandidater til at have vanskeligheder med ræsonnementer og bevisførelse. Vi valgte dog fra start af, at vi gerne ville arbejde med elever fra egne klasser, da vi havde en forhåndsviden om disse elever. Ydermere kunne vi godt 79 tænke os at eleverne var nogen, som vi kunne arbejde videre med efter sommerferien, dvs. at vi som udgangspunkt begrænsede os til elever fra klasser, som vi fortsætter med efter sommerferien. Vi ville dog fra start af ikke udelukke elever fra andre klasser, såfremt der ville dukke nogle overraskende resultater op i detektionstestene. Resultaterne af detektionstest 2 viste sig nogenlunde som forventet. I store træk var de fra start af udpegede elever også de elever som klarede sig dårligst. Dog var der i et par klasser en mindre forskel på de svage og de stærke elever end forventet og end detektionstest 1 viste. Detektionstest 2 viste også, at der i klasserne er nogle elever, som ud fra testen ser fagligt meget svage ud. Dette kommer qua vores forhåndsviden om eleverne ikke som en overraskelse, men disse elever blev dog ikke alle udvalgt til videre diagnosticering, hvilket skyldes flere forskellige faktorer. Nogle elever var vi usikre på, om de overhovedet ville fortsætte i gymnasiet, og nogle elever blev af andre årsager. Vi endte med at vælge tre elever fra klassen 1gMA (CS). Der var egentlig 5-6 elever i denne klasser, der både ud fra klassebetragtningen til hverdag og som ud fra detektionstesten kunne være rigtig interessante at arbejde med, men pga. forskellige betragtninger (bl.a. ovenstående) blev 3 af disse fravalgt. Bl.a. har den ene elev forholdsvis store læsevanskeligheder og ville derudover i øvrigt ikke kunne forstå, hvorfor han ville blive tilbudt hjælp. Han er ikke lydhør endnu, men det kommer måske med tiden. For de to sidste elevers vedkommende var det vores skøn, at de ikke ville modtage hjælp. Vores tre kandidater James, Charles og Keith er alle tre i den lave ende i en meget dygtig klasse, men de er også tre fyre der har masser af gå på mod og som selv mere eller mindre har udtrykt problemer med matematikken efter de er kommet i gymnasiet. I folkeskolen havde de ikke problemer, men de synes det er blevet noget sværere nu. Især har de udtrykt frustrationer over netop den megen bevisførelse, der jo især er knyttet til matematik på A-niveau. Klassen har kørt som A-niveau lige fra starten af, så der er hældt på dem lige fra start. Den ene elev har ligeledes fortalt tidligt i skoleåret, at han også har problemer med ligninger. Med vores tre kandidater har det været tydeligt at de ikke, når der har været bevisførelse i undervisningen, har kunnet bevare interessen og koncentrationen. De har ikke forstået meningen med at lave beviser og har ikke kunnet se ideen i det. De henfalder nemt til "anden aktivitet", når undervisningen kommer til beviser. Andre elever kan også have det svært med beviser og ræsonnementer, men de har ikke samme tendens til udfald i timerne, når det kommer til denne genre. Undervejs har CS (der har klassen til hverdag) oplevet vores tre elever lave "eksempelbeviser". Ser man på de tre elevers overordnede resultater fra detektionstesten sammenholdt med klassens resultater, ser det ud som følger: 80 Det ses, at alle tre elever ligger under klassens gennemsnit, når det kommer til antal rigtige svar. Ser man på boksplottet (lavet over antal rigtige svar) for klassen (se nedenunder) ser man, at alle tre elever ligger i den nederste fjerdedel for klassen, og faktisk er Keith den elev i klassen med færrest rigtige svar med 9,5. Kigger vi på enkelte udvalgte kategorier inden for ræsonnementsemner i vores kategorisering så skiller de tre elever sig især ud i nedenstående (markeret med gult): Og inden for de matematiske emner: Vi har dermed et udgangspunkt for vores diagnosticering. Teori Vi præsenterer nu den teori, som vi bruger i resten af projektet. Teorien er blevet udvalgt og studeret løbende igennem hele forløbet, men vi præsenterer hele teorien nu, da vi henviser til den allerede i kommende afsnit. 81 Matematikforestillinger (’Beliefs’) Hvad er det egentlig, der påvirker vores evne til tænke matematisk og løse matematiske problemer? Man kunne umiddelbart tro, at det udelukkende var vores evne til at vælge passende kognitive og metakognitive strategier, der havde nogen indflydelse, men det viser sig faktisk at andre og mere bløde områder som motivation og selvtillid - det man kunne kalde for konative og affektive faktorer - i mindst lige så høj grad spiller ind i forhold til at lære matematik og løse matematiske problemer. For således at forstå hvorfor en given elev har vanskeligt ved at løse matematiske problemer, giver det god mening at sætte lup på hvilke forestillinger han/hun har om matematik, idet disse matematikforestillinger (også kaldet ’beliefs’) ville kunne afdække nogle af disse centrale affektive og konative faktorer. I artiklen ”Framing students’ mathematcs-related beliefs’ fra 2002 har Peter Op’T Eynde i samarbejde med Erik De Cortes og Lieven Verschaffel til hensigt at samle de forskellige opfattelser af matematiske ’beliefs’, der eksisterer i det matematikdidaktiske miljø i håb om at formulere en sammenhængende model eller teori om elevrelaterede matematikforestillinger [OptEynde, 2002, s. 15]. Efter at have gået i dybden med at præsentere de forskellige opfattelser af ’beliefs’/forestillinger, kommer forfatterne frem til deres egen definition af, hvad elevers matematikrelaterede ’beliefs’ er: Student’s mathematics-related beliefs are the implicitly or explicitly held subjective conceptions students hold to be true about mathematics education, about themselves as mathematicians, and about the mathematics class context. These beliefs determine in close interaction with each other and with students’ prior knowledge their mathematical learning and problem solving in class. [OptEynde, 2002, s. 27] Vi vil her knytte et par kommentarer til ovenstående definition. Først og fremmest lægges der vægt på, at matematikforestillinger er subjektive. Det er således det enkelte individs blik på verden, dets egne forestillinger, der er i spil her. Desuden bemærkes det, at definitionen både indbefatter implicitte og eksplicitte opfattelser, hvilket betyder, at individets matematikforestillinger kan indeholde aspekter, som det muligvis ikke er i stand til at italesætte eller egentlig er klar over eksisterer. Således kan det være vanskeligt at diagnosticere alle de matematikforestillinger, der påvirker en persons evne til at lære matematik og løse matematiske problemer. Hvilke slags matematikforestillinger kan så spille en rolle i forhold til læring af matematik? Her mener de jfr. definitionen, at det er de forestillinger, der handler om (1) undervisning i matematik, (2) dem selv i forhold til faget og (3) matematik i en social klassekontekst, der er relevante. For at komme ind under huden og forstå vores elevers problemer med ræsonnement og bevisførelse, har vi i diagnosticeringsfasen bedt eleverne om at forholde sig til en række påstande. Disse påstande er udpluk af de ’beliefs’ som er præsenteret i den matematikdidaktiske litteratur. Vi har valgt en kategorisering, der minder om den Peter Op’T Eynde m.fl. præsenterer, men har dog undladt den sidste om ”matematik i en social klassekontekst”, idet vi i dette projekt ikke har lagt fokus på de sociomatematiske normers betydning for problemløsning. Vores formål med at bede dem om at forholde sig til disse påstande ’beliefs’ er at undersøge, hvorvidt der er en sammenhæng mellem den måde, eleverne forholder sig til påstandene på og så den tilgang, de vælger i forbindelse med opgaverne indenfor bevisførelse. 82 Bevisets funktion og bevisskemaer Bevisets forskellige funktioner ”Hvorfor skal vi føre beviser i matematik?”. Dette er et tænkt, men ikke helt urealistisk udsagn fra en elev, og man kan så i forlængelse af dette undersøge, hvad der ligger til grund for dette spørgsmål. En af de centrale pointer som teoretikeren Michel de Villiers [de Villiers, 1990] har er, at elevers problemer med bevisførelse ikke nødvendigvis skyldes kognitive problemer. I mange tilfælde beror problemet i stedet i, at elever ikke kan se et behov for et bevis, og derfor ikke føler sig motiveret til at foretage denne aktivitet [de Villiers, 1990, s. 17]. Hvis man skal sætte ind i forhold til at forbedre elevernes evner til at føre beviser, skal man ifølge de Villiers stræbe efter en ”appropriate negotiation of the various functions of proof to pupils” [de Villiers, 1990, s. 17], dvs. italesætte de forskellige funktioner/roller et bevis kan have overfor eleverne og legitimere dem i nogle velvalgte didaktiske situationer. De forskellige funktioner/roller er ifølge de Villiers: Verificering (er fokuseret på sandhedsværdien af en matematisk påstand) Forklaring (søger at forklare, hvorfor en matematisk påstand er sand) Systematisering (handler om at organisere matematiske resultater i et system af axiomer, definitioner og sætninger) Opdagelse (søger at opdage eller frembringe nye resultater) Kommunikation (søger at formidle af matematisk viden) Det har vist sig, hævder de Villiers, at man traditionelt i undervisningen har lagt meget stor vægt på funktionen verificering. Man søger således at bevise en påstand udelukkende med det formål at eftervise, at den er sand. Men i mange tilfælde er eleven allerede overbevist om sandheden af påstanden inden han/hun præsenteres for et bevis, hvorved beviset – for eleven – bliver en meningsløs aktivitet. Ofte bliver eleven ’overbevist’ om, at den er sand gennem empirisk inspektion eller ved at den stemmer overens med ens intuition. Derfor taler de Villier for at man søger at gøre aktiviteten bevisførelse mere meningsfuld ved at tage fat i nogle af de andre funktioner et bevis kan have fx bevis som forklaring eller bevis, som opdagelse der giver os ny viden og indsigt. I forlængelse af de Villiers arbejde ser Tommy Dreyfus og Nurit Hadas [Dreyfus & Hadas, 1996] på, hvordan man kan skabe didaktiske situationer, der flytter bevisførelse fra verificering til forklaring eller opdagelse. I deres artikel foreslår de en eksperimentel tilgang til matematikken baseret på dynamiske geometriprogrammer, men midlet er ikke det afgørende. Det centrale er, at man får placeret eleverne i nogle situationer, hvor de når frem til en given matematisk sammenhæng, som de umiddelbart ikke kan forklare eller som de synes virker kontra-intuitiv, hvorved kravet om et bevis opstår. Elevers problemer med universalpåstande Forskellen på ”matematisk tænkning” og ”hverdagstænkning” er en af de væsentlige årsager til elevers problemer med bevisførelse. Dette er en af de centrale påstande, der præsenteres i artiklen fra EMS [EMS 2011]. Artiklen præsenterer den ”solid finding”, at elever ofte bruger empirisk inspektion til at føre et bevis for en universalpåstand. Universalitet i matematik går ud på, at en generel påstand kun er sand, hvis den er sand i alle tænkelige tilfælde uden undtagelse. Dette står i kontrast til det man oplever, når man træder ud af klasseværelset, hvor undtagelser netop kan være med til at bekræfte en generel regel fra hverdagen. 83 Således – noteres det i artiklen– er det ikke så underligt, at elever beviser en generel regel ved at henvise til en række eksempler, idet et ”for alle”-argument ikke synes nødvendigt på baggrund af de erfaringer, man gør sig i hverdagen. En elev, der beviser universalpåstande gennem eksempler siges at have et empirisk bevisskema (mere om det senere) og et af de væsentlige karakteristika ved sådan en elev er, at enkelte modeksempler i forhold til påstanden ikke nødvendigvis ødelægger påstandens sandhedsværdi. Førnævnte empiriske bevisskema vælger forskeren Nicolas Balacheff [EMS, 2011] at opdele i to: Naive empirisme, der er karakteriseret ved at man beviser en universalpåstand ud fra et eller få beslægtede eksempler og crucial statement, der er karakteriseret ved, at man bruger en såkaldt generel case fx et stort tal som pladsholder for ’ethvert vilkårligt tal’ og idéen er således, at ”hvis påstanden er rigtig for dette tal, så må påstanden være rigtig for alle tal”. I artiklen bliver det yderligere begrundet hvorfor så mange elever har et empirisk bevisskema og hvad man som lærer kan gøre for at ændre på det. Èt af de forslag, som vi lader os inspirere senere i opgaven er det, at vi som lærere skal bevidstgøre eleverne om forskellen mellem matematikkens verden og den verden vi kender fra hverdagen gennem beviser, der forklarer. Dette uddybes, når vi når til interventionen. Om beviser og bevisskemaer Vi vil i dette projekt se nærmere på hvordan eleverne opfatter et bevis, og hvad de synes der er tilstrækkeligt for at bevise en påstand. I den forbindelse vil vi henvise til en del af de begreber og definitioner som Guershon Harel & Larry Sowder [Harel & Sowder, 2007] bruger til at italesætte elevernes opfattelse af hvad et bevis og hvad bevisførelse er. Begrebet bevisskema dækker meget kort sagt over det som et individ eller en gruppe opfatter som et bevis. Inden Harel & Sowder når til den mere præcise definition af hvad et bevisskema er, skal de først præsentere forskellige typer af påstande. En påstand er en antagelse (conjecture), siger de, hvis man er usikker på om den er sand, hvorimod en påstand er et faktum (fact), hvis man er sikker på at den er sand og det at bevise går ud på at flytte en påstand fra antagelse til faktum: ”Proving is the proces employed by an individual (or a community) to remove doubts abouth the truth of an assertion” (reference). En af udfordringerne ved bevisførelse er, at det ikke er absolut givet, hvad der skal til for at ændre en påstand fra antagelse til faktum, idet det er forskelligt fra individ til individ, hvad der skal til for at fjerne tvivlen om en påstand. Bevisførelse er derfor noget, der foregår i to processer: en proces de kalder for ascertaining, hvilket handler om at fjerne ens egen tvivl om en påstand og persuading, hvilket handler om at fjerne andres tvivl om en påstand. Den præcise definition af et bevisskema er det, der gør, at individet selv overbevises om, at en påstand er rigtig og det individet mener, der skal til for at overbevise andre om at en matematisk påstand er rigtig. Dvs. det har de to sider (1) at overbevise sig selv (ascertaining) og (2) at overbevise andre (persuading). Nedenfor er den præcise ordlyd præsenteret: Proof scheme. A person’s (or a community’s) proof scheme consist of what constitutes ascertaining and persuading for that person (or a community) [Harel & Sowder, 2007]. Idet bevisskemaer er subjektive, eksisterer der nødvendigvis også en række forskellige typer. Harel og Sowder taler for at inddele elevers bevisskemaer i tre overordnede klasser, og disse klasser vil vi henvise til i vores diagnose af de udvalgte elever. Klasserne betegnes som (1) external conviction proof schemes class, (2) empirical proof schemes class og (3) deductive proof schemes class. Den første klasse external conviction proof scheme (ydre bevisskema) består af tre særlige former for bevisskemaer. Hvis eleven udelukkende 84 beviser og accepterer beviser på baggrund af autoritative kilder f.eks. en lærer eller en fagbog, siges han at have et autoritativt bevisskema. Hvis eleven mener, at et bevis skal have et helt bestemt visuelt udtryk f.eks. 2 kolonner, hvor den venstre er til figurer og den højre er til argumenter, så siges eleven at have et rituelt bevisskema. Hvis eleven derimod mener, at beviser skal indeholde matematiske symboler også selvom eleven ikke forstår, hvad symbolerne repræsenterer og således udelukkende lader sig henføre af den autoritet, der ligger i deres brug, så siges eleven at have et symbolsk bevisskema. Den anden klasse empirical proof schemes class (empirisk bevisskema) består af to særlige former for bevisskemaer. Hvis eleven beviser en påstand ud fra eksempler herunder taleksempler, målinger mv. så siges eleven at have et induktivt bevisskema. Hvis eleven derimod beviser en påstand ved at henvise til erfaringer gennem sanserne siges eleven at have et perceptuelt bevisskema. Den tredje og sidste klasse deductive proof schemes eller analytical proof schemes (deduktivt bevisskema) består af to særlige former for bevisskemaer. Hvis eleven grundlæggende forstår det generelle i en universalpåstand dvs. at man skal vise, at den gælder ”for alle” elementer i mængden, hvis eleven demonstrerer forståelse for en operationel tankegang og således er i stand til at opstille mål/ delmål og kan forudsige udfald og endelig hvis eleven accepterer, at man skal benytte slutningsregler fra den formelle logik i sin argumentation, så siges eleven at have et transformativt bevisskema. Endelig kan eleven have et axiomatisk bevisskema, hvilket vi dog ikke vil vi uddybe nærmere i denne opgave. De forskelle klasser af bevisskemaer og deres underkategorier er skitseret i figuren på næste side14. Den opmærksomme læser vil bemærke, at underkategorierne til det ydre bevisskema og det empiriske bevisskema her er kommenteret, mens underkategorierne til det transformative og autoritative bevisskema ikke er kommenteret. Denne prioritering har vi valgt, idet vores elever stort set kun befinder sig indenfor det ydre bevisskema eller det empiriske bevisskema, hvorfor en nuancering gennem underkategorier her synes påkrævet. Da vi kun i meget få tilfælde oplever, at eleverne anvender et mere deduktivt bevisskema føler vi ikke, at en nuancering gennem underkategorier her er nødvendig. 14 Taget fra [Harel & Sowder, 1998]. 85 Beskrivelse af relevante matematiske kompetencer fra KOM-rapporten I løbet af vores projekt kommer vi nærmere ind på fire centrale matematiske kompetencer i vores diagnosticering af de involverede elever. Disse er: symbol –og formalismekompetencen, tankegangskompetencen, ræsonnementskompetencen og kommunikationskompetencen. Førstnævnte har vi allerede omtalt i forbindelse med vores 1. semesterprojekt om ’begreber og begrebsdannelse’, hvorfor vi her retter fokus mod at beskrive de tre sidstnævnte matematiske kompetencer. Tankegangskompetencen. Denne kompetence indeholder tre hovedaspekter 1) at være klar over hvilke slags spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes 2) at kende, forstå og kunne håndtere givne begrebers rækkevidde og kunne forstå, hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater og i selv at kunne generalisere til en større klasse af objekter og 3) at kunne skelne – både aktivt og passivt – mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande f.eks. definitioner, sætninger, formodninger mv. [KOM, s. 47]. I forbindelse med vores projekt, så er tankegangskompetencen relevant, da vi både vil se på arten af de svar eleverne giver på de enkelte spørgsmål, dvs. forstår eleverne de spilleregler, der ligger i spørgsmålets art eller gør de ikke? og på om de selv er i stand til at generalisere deres resultater til en større klasse af objekter. Ræsonnementskompetence. Dette er en kompetence, der indeholder en del aspekter. Man skal være i stand til at følge og bedømme et matematisk ræsonnement, men man skal også være i stand til at forstå hvad et matematisk bevis i grunden er og være bevidst om dets særstilling i forhold til andre typer af matematiske 86 ræsonnementer. Desuden skal man have overblik til at kunne skelne mellem bærende idéer og detaljer i et bevis, ligesom man selv skal være i stand til at gennemføre matematiske ræsonnementer. [KOM, s. 54]. Kompetencen har således en undersøgende del, der består i at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement, og en mere produktiv del, der består i selv at gennemføre et matematisk ræsonnement. I vores projekt gør vi ikke så meget ud af at undersøge om eleverne kan adskille beviser fra andre typer af matematiske ræsonnementer, ligesom vi heller ikke tester dem i at adskille bærende idéer fra detaljer i et bevis. Når vi således vurderer deres ræsonnementskompetence gør vi det på baggrund af deres evne til henholdsvis at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement og deres evne til selv at gennemføre et matematisk ræsonnement. Kommunikationskompetence. Denne kompetence består i at sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige udsagn og ”tekster” og i selv at kunne udtrykke sig varieret og præcist om matematikholdige anliggender overfor en given modtager. [KOM, s. 60]. En væsentlig del af kommunikationskompetencen består i evnen til at deltage i samtaler med andre om matematikholdige emner og vi vil i dette projekt bl.a. undersøge hvordan eleverne klarer sig i en samtale, og i hvor høj grad de er i stand til at udtrykke sig forståeligt og præcist overfor for os. Diagnosticering - første interview Efter den kvantitative analyse og udvælgelse af elever foretog vi den grundigere diagnosticering af vores tre elever. Vi startede med et indledende interview med de tre elever hver især med det formål at forsøge at indsnævre os til det eller de emner, som vi ville undersøge endnu grundigere i endnu et interview (se afsnittet diagnosticering - andet interview). Vi planlagde det første interview således, at vi ud fra elevernes besvarelser udvalgte en række spørgsmål fra detektionstesten, som vi ønskede at høre de tre elevers tanker om. Det var vores idé, at vi vha. en samtale med hver elev kunne bede eleverne begrunde deres svar i opgaverne, og dermed kunne vi nærmere undersøge hvori problemerne lå. Vores kvantitative analyse viste, at de tre elever alle havde en fejlprocent på 42-63 og at klassens gennemsnit kun var på ca. 33 %. Vores analyse ud fra kategoriseringen af spørgsmålene i detektionstesten viste bl.a., at alle tre elever havde problemer med at begrunde en påstand (se skema). Vi tog dog ikke alle spørgsmålene fra denne kategori med i det videre diagnosticeringsarbejde i første interview, da vi ikke ville arbejde for meget i retning af 1. semestres projekt. Dette begrunder vi med, at de tre elever ud fra detektionstesten også så ud til at have problemer med algebra, som dækker en del af de samme spørgsmål som kategorien ”Begrund påstand”, og som derfor også kan minde for meget om 1. semesters opgave. Vi er dog opmærksomme på, at eleverne kan have behov for hjælp på dette område (det har blot været vores ønske fra start af ikke at bevæge os for tæt på de samme problemstillinger som i første projekt omhandlende begrebsdannelser). I de øvrige kategorier var det ofte to af de tre elever, der lå højt i forhold til klassen og den sidste der lå på niveau med klassen. Generelt som det også ses på den 87 overordnede fejlprocent var det Keith, der havde de største problemer. Keith og James havde problemer med at evaluere påstande og argumenter samt opgaver med modeksempler, hvorimod det gik nogenlunde for Charles i disse. Han havde derimod problemer med negation. Ligninger, aritmetik og algebra gav ligeledes Charles problemer (se herunder), hvilket han ofte selv nævner. Han omtaler det generelt som at han ikke kan det der med ligninger. James havde sammen med Keith problemer med geometri og sandsynlighedsopgaverne, hvilke Charles klarede noget bedre. Analysen viste som nævnt tidligere, at de tre elever havde problemer med at begrunde påstande og i forlængelse af dette, havde to af de tre (James og Keith) også problemer med at evaluere en påstand eller et argument. Mange af spørgsmålene er (som nævnt i bilag 2) multiple-choice, hvorfor vi godt kunne tænke os en nærmere udredning af nogle af elevernes svar på disse. Vi har valgt spørgsmål, der stort set dækker alle de matematiske emner. Hermed kom vi også lidt rundt i disse, da der var problemer for mindst to af eleverne i alle kategorier. På denne måde håbede vi også at vi kunne afdække en smule for i hvor stor grad det var ræsonnementskompetencen der drillede eleverne, og hvad eventuelle problemer med de matematiske emner havde af betydning. Vi valgte derfor både spørgsmål, hvor eleverne har svaret korrekt og spørgsmål hvor der har været mere eller mindre forkerte svar samt manglende forklaringer. Alle tre er blevet spurgt om spørgsmål 8, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 4, 5, 6 og 21. (og nogle har lidt individuelle spørgsmål) Først har vi valgt at spørge dem om 8, 10 og 11. Disse spørgsmål falder i kategorien sandsynlighedsregning/gennemsnit men er også alle spørgsmål hvor de skal evaluere en påstand eller et argument. Spørgsmål 15 og 16 har vi taget med, fordi eleverne typisk har svaret og tegnet interessant på begge spørgsmål men ikke fyldestgørende. Begge spørgsmål handler om geometri og om at evaluere en påstand. Spørgsmål 17, 18 og 19 tester om de har forstået modeksempler. Spørgsmål 20 læner sig i samme retning, men er dog noget sværere for eleverne at besvare og i øvrigt også at læse. Det tester implikation kontra biimplikation. Spørgsmål 4 og 5 er valgt for at høre, om der er sammenhæng i det eleverne har svaret, og hvorfor de har valgt, som de har. Spørgsmål 5c har vi vurderet er for svært og problemer med at besvare dette kan hænge sammen med mange andre ting f.eks. problemer med symbol- og formalismekompetencen. Vi var ikke så begejstrede for spørgsmål 6, da man jo bruger mange kræfter på at lære dem kvadratsætningerne, men det giver i en interviewrunde mulighed for at undersøge netop om eleverne har en mekanisk tilgang til denne sætning. Enkelte spørgsmål har desuden været interessante at undersøge yderligere hos den enkelte elev og vil fremgå at nedenstående interview med hver af dem. 88 Vi vil nu gennemgå hovedpointerne i vores første interviews med vores tre elever.15 James - første interview James har i besvarelsen af spørgsmål 8 (BNP USA DK) vurderet at hvis DK og USA var et og samme land så ville nationalproduktet pr indbygger være 42000. Han forklarer at de skal lægges sammen og divideres med to fordi der er to lande. Vi spørger lidt ind til antal indbyggere i de to lande og James er med på forskellen. Da BNP allerede er pr indbygger, mener han ikke, at det derfor har betydning, når vi ser på de to lande tilsammen I spørgsmål 10 (cafeer og kvindelige gæster) har James svaret: ”Nej, fordi det betyder bare at 80 % af gæsterne er kvinder og 20 % er mænd.” James har lidt svært ved at forklare, og vi prøver at konkretisere med et eksempel; hvis vi går ned på Emmerys nu... James: Det er svært at forklare...lang tænkepause. Jeg tænker ikke så meget. Når man ser spørgsmålet, så er det virkeligt simpelt at det ikke er sådan, men virkelig svært at forklare. James har i spørgsmål 11 (Biblioteker) svaret: ”Nej der er flere mænd end kvinder i Danmark. Derfor kan du ikke lægge procenterne sammen.” Vi samtaler om et land med lige mange mænd og kvinder og prøver et eksempel hvor det nu er 80 % af mændene og 50 % af kvinderne, der aldrig kommer på biblioteket, og James ender med at more sig over sit tidligere svar. Men han kommer ikke helt til bunds i opgaven, idet han er i tvivl om, man så kun kan regne som han gør hvis tallene er under 50 % og hvilken betydning det i øvrigt har med kønsfordelingen i landet. Hvis den er ens, har han en ide om, at så kan vi godt lægge procenttallene sammen og dividere med to. James har problemer med både ræsonnementskompetencen samt kommunikationskompetencen [Niss, 2002], idet han har problemer med at formulere uddybende svar på spørgsmålene. Vi har lidt svært ved ikke at starte interventionsdelen af projektet allerede i dette interview, men prøver også for at få gang i samtalen og få en uddybende begrundelse ved at eksemplificere spørgsmålene. I spørgsmål 15 (To cirkler hvor den ene har den halve diameter af den anden. Omkredsen og arealet halveres) har James svaret nej med begrundelsen: ”cirkler vokser ikke på samme måde som rektangler.” Vi spørger ind til forklaringen på nej i besvarelsen. Det bliver en længere og noget rodet samtale, der så udspiller sig mellem os og James, idet han har svært ved at huske formlerne for hhv. omkreds og areal for cirkler og også har lidt problemer med at regne, når disse formler så er blevet givet ham. Endvidere har han problemer med at se på forhold mellem to udtryk og tal og er meget utydelig i sin henvisning - kalder alt for "det". Vi får ikke en egentlig forklaring på, hvorfor han har henvist til rektanglers voksemåde i besvarelsen. Vi ender med at opsummere svaret. Igen synes det at halte med både ræsonnementskompetencen samt kommunikationskompetencen [Niss, 2002]. Som svar på spørgsmål 16 (Terning fordoble længden af alle kanter) har James svaret ja (og ikke givet en begrundelse). James giver i interviewet en empirisk begrundelse. 15 En mere detaljerig gengivelse af de tre interviews kan ses i bilag 10-12. 89 James: Hvis en terning har 1 cm på hver side, så er rumfanget 1 𝑐𝑚3 . Hvis vi fordobler det, så er det to på hver side og så er det 2 ∙ 2 ∙ 2 og det er 8 𝑐𝑚3 . CS: Kunne det ikke være tilfældigt at det lige passer med de to tal? James: Nej, Sådan er det hver gang. CS: Sådan er det hver gang? Men hvordan kan man være sikker på det? James: Vi kan prøve med nogle andre tal f.eks. 2 og 4. Vi finder ud af det passer. Vi appellerer hernæst til en generalisering og med lidt hiv og sving og i samarbejde får vi generaliseret og bevist sammenhængen. Vi er dog nok de mest penne- og ordførende, og James virker ikke mere tilfreds med det generelle svar vi ender med. Vi vil derfor i en ny runde undersøge hans bevisskemaer nærmere. I spørgsmål 17 (Taxa) svarer James nej til om Aya skal betale dobbelt så meget som Ali og begrunder det med, at der er et startgebyr på 30kr. Når vi spørger til en uddybende forklaring, er han helt med på hvorfor. 1 1 James har i spørgsmål 18 (𝑎2 ≥ 𝑎 - Hvilke udsagn kan bruges til at vise det er falsk) krydset 𝑎 = − 2 , 𝑎 = 10 samt 𝑎 = 0,2 af. Han forklarer nogenlunde sine udregninger - dog med nogle regnefejl. Ved spørgsmål 19 (figurer) James har sat mærke i den alle på nær kvadratet. Det er i samtalen med James i denne opgave ikke helt nemt at følge ham. Det er altså her ikke nemmere for ham at vise, at et udsagn er falsk med nogle geometriske figurer frem for opgaver, hvor der skal regnes lidt. Dette er interessant, idet det står i kontrast til et citat fra [Harel& Sowder; 2007, s. 821]: "Often a figure can foster correct reasoning". Dette kan eventuelt skyldes lidt forvirring omkring sidelængder og vinkler, og så tæller han i øvrigt ikke sidelængderne :-) I spørgsmål 20 (Aya og Ali 3 og 11) har James svaret nej til om indholdet er det samme, men ikke begrundet. I samtalen omkring svaret skifter han mening flere gange. Han er tydeligvis i tvivl om man generelt kan vende sætningerne, eller om det bare eller evt. gælder i denne sammenhæng. Vi laver en sproglig analogi med regnvejr og paraplyer. Hvis det regner, så bruger jeg paraply. Hvis jeg bruger paraply, er det fordi det regner? Denne er han med på ikke altid holder vand (hehe), men han kan ikke bruge analogien til at forstå biimplikationer i matematik. I Spørgsmål 4 (a gang b bliver altid større end a) har James krydset de to nej af dvs. b og d. Han kommenterer alle 4 muligheder fornuftigt. Spørgsmål 5 (Ethvert tal er lig med nul) James har krydset af "Ja" - ethvert tal er lig med nul og ja til at beviset er korrekt. James (Griner): Ethvert tal er lig med nul - men det er det jo ikke. Det er lidt dumt svaret, men da jeg læste det her spørgsmål - det forvirrede det mig sindssygt meget. Du får at vide en lang ligning og lige pludselig så slutter den og så kommer du videre med noget helt andet hvor man ikke lige ved hvor man har lagt det gamle hen. 90 Vi taler lidt sammen, og han skifter mening til at hvert tal ikke er lig med nul. James: Og er det anførte bevis korrekt? (læser op). James: Det er jo ikke korrekt, at ethvert tal er lig med nul, så der må stå en eller anden fejl. Så er det bare lige at finde den fejl! James har ved anden læsning af opgaven en fin intuitiv forståelse af svaret på opgaven og kan også fint ræsonnere, at så må beviset være forkert. Han benytter her sin fornuft. Til spørgsmål 6 (en kvadratsætning) har James har svaret Ja til at det aldrig passer at ... James forklarer, at han har svaret ja, fordi han kan huske reglen om kvadratet på en toleddet størrelse. Han tænker efterfølgende et stykke tid. James: Hvis x og y var 1, så ville det godt kunne passe. James regner efter med lidt støtte og finder ud af at det alligevel ikke passer. Han tænker og CS kommer med et indspark. CS: Du er ikke helt off-road for du sidder og leder efter et tal, der kunne vise, at det der måske var rigtig. CS hjælper James på vej ved at påpege, at forskellen på de to udtryk er 2xy og spørger, hvilke tal vi skal vælge, så det led forsvinder. James tænker. CS: Kunne der stå nul på nogen måde? Vi samtaler lidt om, hvad det betyder at x og y er nul eller bare en af dem. CS forklarer mest og James lytter. Vi pointerer (og roser James for), at vi vil have dem til at huske den lange kvadratsætning som vi har terpet! James spørger ind til formlen. Skal lige være sikker på hvad det nu er vi sidder og roder med James: Siger du, at hvis f.eks. x er nul, så behøver jeg ikke bruge den her (og pege på de tre led). CS: Ja altså du kan sagtens bruge den stadigvæk, så står der bare nul der og der (peger på de to led der giver nul). I besvarelsen af dette spørgsmål kan man se, at vi rammer hovedet på sømmet mht. flere punkter. James husker sine kvadratsætninger tydeligvis og har ikke overvejet et sekund, at der kunne være tilfælde, hvor leddet med det dobbelte produkt forsvinder/giver nul. Det ser ud til, at han har et ydre autoritært ydre bevisskema. Sociomatematisk spiller det dog nok ind, at vi overhovedet spørger til det, og han vil gerne undersøge, om der kunne være undtagelser og prøver derfor via et modeksempel (som dog kikser i første omgang). MEN han er tydeligvis nærmest utilpas ved, at denne kvadratsætning nu skulle vise sig ikke at passe. Charles - første interview I interviewet med Charles viste det sig, at han er usikker på gyldigheden af sine egne forklaringer. Mange af de opgaver, vi snakker med ham om, resulterer i en kommentar af typen ”jeg ved ikke hvordan jeg skal forklare det/jeg ved ikke hvordan jeg skal argumentere for det”. I mange tilfælde forklarer han sig slet ikke, men i andre tilfælde forklarer han sig ganske fornuftigt, men føler – måske fordi læreren ikke sidder og siger begejstret ja på den anden side af bordet – at der mangler noget i argumentationen. I spørgsmål 10 91 (caféer og kvindelige gæster) har han fx svaret ”Nej”. Da han så i samtalen bliver bedt om at uddybe svaret, siger han: Jeg er syg dårlig til at forklare mig med sådan noget, men det er jo åbenlyst, fordi at 80 % af de dem der går på cafe er piger/kvinder - det er jo bare 80 % af selve befolkningen eller 80 % af de personer der går på cafe. Men det er jo ikke ensbetydende med at 80 % af alle kvinder og piger går på cafe. Jeg er meget dårlig til at forklare det. I sin forklaring får han faktisk demonstreret, at man ikke kan sætte lighedstegn mellem procentfordelingen i hele populationen (hele befolkningen eller dem, der går på café) og procentfordelingen i delpopulationen (alle kvinder), men alligevel afslutter han med kommentaren: Jeg er meget dårlig til at forklare det. Dette kunne tyde på, at han er en smule hæmmet af et ’belief’ om, at han ikke selv tror, at han er i stand til med ord at forklare eller argumentere for en matematisk påstand. Da vi beder om en uddybende kommentar til hans svar i opgave 18 ”𝑎2 ≥ 𝑎. Hvilke udsagn kan bruges til at vise det er falsk?” kalder han for det første udtrykket for en ligning og ikke en ulighed. Da han så bliver bedt om at undersøge om tallet 0 kan bruges til at vise, at udsagnet er falsk, svarer han noget kryptisk: nul i anden er nul, så det er ikke rigtigt. Vi havde lidt svært ved at forstå, hvad det var, der ikke var rigtigt. Det er ikke tydeligt, om det er uligheden, som Charles ikke synes er opfyldt, eller om det ikke er rigtig, at man kan bruge udsagnet til at vise at uligheden er falsk. Det viser sig således, at han har vanskeligheder med kommunikationskompetencen, hvilket han som før nævnt godt selv er klar over. I testen var hans svar på opgaven tallet 0 og ikke andre. Han finder dog med begrænset hjælp frem til de rigtige modeksempler i løbet af interviewet. Vi undrede os lidt over det forkerte svar i testen, når nu han i interviewet godt kunne. Herefter forløb samtalen således: Charles: Men der regnede jeg ikke rigtig, for der ku jeg ikke finde ud af det. Kasper: Var det spørgsmålet der var svært at forstå, eller...? Charles: Jamen det er bare ligninger.. I hans optik er det altså ”ligningerne” der er det egentlige problem. Det er dem, der er svære at forholde sig til. I spørgsmål 19 lurer ligningsspøgelset også. Han har korrekt markeret den ikke-retvinklede rhombe, som modeksempel. Vi fortæller ham, at han har svaret rigtigt, hvorefter han spørger: Er der en anden bedre måde at gøre det på? Christina svarer nej, men han stiller alligevel spørgsmålet: Er der ligninger? I spørgsmål 16 (terningens rumfang og fordobling af sidelængde) har han svaret ja og begrundet det empirisk med sidelængderne 1, 2 og 4. Vi kommer ind på problematikken med det empiriske og samtalen foregår således: CS: Det kunne jo være det var tilfældigt at det lige passede med de tal du havde valgt Charles:...Ja helt sikkert CS: Eller kan man gøre det mere generelt? Charles: Det er det, jeg er så dårlig til Så går vi derefter sammen i gang med at regne igennem CS: Hvis sidelængden ikke skal hedde 1, 2 eller 4 eller et andet tal - hvad kan vi så kalde den? 92 Charles: Nogle bogstaver, jeg ved ik´... CS: Ja, det kunne vil og der er frit valg på alle hylder. (Charles tøver) Og der er ikke noget der er mere rigtigt end andet Vi tegner sammen på papir - en terning og kalder sidelængden for a. CS overtager en smule. CS: Hvad er volumenet eller rumfanget. Charles: Der er a ..nej 𝑎2 . . 𝑛𝑒𝑗 𝑎3 CS: Så skal vi lave en der er det dobbelt i sidelængde, så hvad er sidelængden på den? Charles: Kan vi kalde den b? CS: Ja, det kan vi godt men kan vi så lave en sammenhæng mellem a og b? CS repeterer kort hvad vi lige er i gang med. Charles kommer lidt tøvende frem til at så må b være lig med a gange to. CS navngiver derefter de øvrige sider i terningen med a gange 2. CS afslutter med at spørge til volumenet. Charles: Det er 8 CS: 8 hvad? Charles: 8a CS: i? Charles: tredje CS: Ja, så hvad kan vi så sige om volumenet? Vi samler op på opgaven sammen og konkluderer at han har vist at volumenet er blevet 8 gange større uden af han har udtalt sig om hvad siden længden specifikt er. Det kunne altså tyde på, at Charles godt er klar over, at det mest optimale ville være at begrunde påstanden generelt, men at han simpelthen ikke ved, hvordan han skal gøre det. Hans usikkerhed i forhold til symbol – og formalismekompetencen hæmmer ham, som denne sekvens illustrerer. Således er det langtfra sikkert, at hans bevisskema er et empirisk induktivt bevisskema. Han ved godt, at han burde begrunde påstanden generelt, men han ved bare ikke, hvordan han skal gøre det. Selvom han viser han tegn på en del usikkerhed indenfor symbol– og formalismekompetencen og formentlig afledt heraf en utryghed ved ligninger, demonstrerer han også en evne til at bevare overblikket og stole på sin sunde fornuft. I opgave 5 (beviset for, at ethvert tal er 0) har han svaret nej til spørgsmålet er ”Er det sandt, at ethvert tal er lig med 0” og undladt at svare på 5b og 5c. Før vi når at stille ham et opklarende spørgsmål, siger han: Den synes jeg også var lidt svær når det kommer til alt det med ligninger der. Når vi spørger ind til om hans svar nu kan være rigtigt, idet påstanden faktisk bliver bevist, svarer han: Det [læs: udsagnet om ethvert tal er lig 0] virker ikke plausibelt. Det giver ikke mening. Jeg kan ikke forklare 93 det. Da vi så spørger ham opfølgende om beviset er rigtigt eller forkert, svarer han efter meget lang tids tavshed: Der må være noget forkert i beviset. Keith - første interview I de tre spørgsmål (spørgsmål 8, 10 og 11) der vedrører statistik og vejet gennemsnit er Keith ikke helt klar på, hvordan han skal gribe opgaverne an, men er heller ikke helt på glatis. Han er ikke helt med på selve opgaveteksten, og det kræver lidt samtale at få ham i gang med at forklare besvarelsen af opgaven på ny. Han har, når man spørger ind til det, en mere eller mindre vag fornemmelse af, at man ikke bare kan lægge tallene sammen i opgave 8 og 10, men kan ikke forklare nærmere hvorfor eller hvad man i stedet skal gøre. Han har derfor lidt problemer med både ræsonnementskompetencen samt kommunikationskompetencen, idet han ikke helt forstår alle spørgsmålene og yderligere har problemer med at formulere svar på disse. Men han har noget at bygge videre på, idet han har en intuitiv fornemmelse af i hvilken retning svarene ligger. Hvorvidt de sociomatematiske normer [Yackel & Cobb; 1996] spiller ind i og med vi sidder og interviewer, har vi valgt ikke at undersøge nærmere, men er klar over at det har en vis betydning. Ligeledes kan det være lidt svært ikke allerede at starte interventionsdelen af projektet i disse interviews. Man vil nødig bidrage med flere fejl eller misforståelser ved at tie og kommer derfor indimellem ud i for tidlige udregninger af problemer eller taler lidt for meget for at hjælpe eleven på rette spor. I spørgsmål 15 har Keith svaret "indskreven og omskreven cirkel." Da vi spørger ind til dette svar siger han: Det var bare noget jeg kunne huske, så jeg troede det var noget af det samme. Vi havde noget med firkanter og så var den indskrevne cirkel halvt så stor som den omskrevne cirkel. Vi begynder at regne sammen efter Keith uden megen tøven mener, at Søren har ret i sin påstand. Vi kommer frem til at det ene areal er 1/4 af det andet, og Keith kommer frem til, at så hænger det ikke sammen, men konkluderer ikke skarpt på opgaven. I dette tilfælde har han et ydre autoritært bevisskema, idet han som argument bruger noget, han kan erindre fra en tidligere undervisningssituation men ikke kan begrunde yderligere. Til spørgsmål 16 (Terning fordoble længden af alle kanter) svarer Keith: Jeg kunne ikke hitte ud af den. Jeg prøvede at gøre den visuelt. Vi griber til pen og papir og tegner sammen to terninger, hvoraf den ene har en sidelængde, der er det dobbelte af den anden. Keith: Jeg ved ikke, om der er noget tricky i det, men det giver logisk mening, at hvis du fordobler en terning, så må rumfanget også fordobles. Der er noget, der tyder på, at Keith mener at vide hvordan tingene hænger sammen uden at kunne forklare dem, og således læner sig op ad sin intuition. Spørgsmål 17 er der ingen problemer i. Han forklarer helt korrekt, hvorfor Aya ikke skal betale dobbelt så meget for at køre den dobbelte strækning i taxa. I Spørgsmål 18 (𝑎2 ≥ 𝑎. Hvilke udsagn kan bruges til at vise det er falsk) har Keith krydset 𝑎 = 0 af. Vi vil gerne have ham til at gennemgå alle fem tilfælde, hvilket vi beder ham om hen ad vejen, da han ikke selv tager initiativ til dette. Han har ikke overvejet, at der kunne være flere svarmuligheder i opgaven og har 94 ikke efterprøvet mulighederne. Det tyder på, at han har en matematikforestilling om, at der kun findes en løsning. Det viser sig desuden, at ulighedstegnet har forvirret lidt, så vi hjælper på vej her. Keith har yderligere lidt problemer med at multiplicere to negative tal og to tal mellem 0 og 1. Men i relation til dette semesters projekt, så er Keith heller ikke knivskarp på, hvad de egentlig beder om i opgave. Større end eller større end/lighed ser ikke ud til at betyde så meget, selvom vi har fået opklaret, hvad tegnet betyder, og han har lidt svært ved at konkludere om det pågældende udsagn kan bruges til at vise at udsagnet er falsk. Hvis udsagnet bliver sandt, så har han en tendens til at sige, at så kan det bruges, hvilket jo netop ikke er tilfældet. I spørgsmål 19 forklarer han korrekt, hvorfor sidste figur kan bruges til at vise, at Søren ikke har ret. Det er altså lettere for ham at vise at et udsagn er falsk vha. nogle geometriske figurer fremfor opgaver hvor der skal regnes lidt. Det stemmer overens med citatet: "Often a figure can foster correct reasoning" [Harel& Sowder; 2007, s. 821]. I spørgsmål 20 (Aya og Ali 3 og 11) har Keith svaret ja i selve detektionstest 2 til om indholdet er det samme, men ikke begrundet. Under det første interview her i diagnosedelen tænker han del over, hvad der står, men er ikke rigtig til at få til at sige noget. Vi må hjælpe ham på vej og ridser teksten op. CS: Hvis man kigger lidt matematisk på det, så kan vi sige, at her (peger på den Ayas udsagn) så medfører det her (peger på første sætning) det her (peger på anden sætning). Og neden under så er det vendt om. Der har de taget det der først (peger på anden sætning hos Aya, og viser det er første sætning hos Ali) og så siger han at det medfører den der (peger på første led hos Aya og så på Alis anden sætning). Keith tøver, og vi opsummerer teksten igen. Efter en tænkepause kommer han frem til, at det ikke nødvendigvis er sådan, men runder ikke spørgsmålet yderligere af. Keith har jo så vidt nu konkluderet korrekt på spørgsmålet, men hvad begrundelsen er for hans svar ligger lidt hen i det uvisse. Har han indset, hvorfor det ikke nødvendigvis er korrekt? Har han gættet? Har han fornemmet på os hvad svaret er? I spørgsmål 4 (a gange b bliver altid større end a) har Keith krydset ”c) For det meste…” af. Vi finder ud af at Keith ikke helt ved hvad forfatteren til spørgsmålet mener med "for det meste...", men Keith mener at f.eks. de negative tal udgør én undtagelse og tilsvarende udgør alle tal mellem nul og et én undtagelse, så derfor er det for det meste rigtigt - med få undtagelser. Keith har krydset af "Nej" - ethvert tal er lig med nul og "Kan ikke svare" til at beviset er korrekt i spørgsmål 5 Keith: Jeg kan huske at jeg tænkte meget over det. Fordi et bevis for at ethvert tal er lig med nul - hvordan giver det mening? Jeg har tænkt lang tid over det og har ikke kunne komme med en løsning. CS: Med hvad gjorde så at du svarede nej? Tænkte du jeg skrotter det hele - det giver ikke mening eller.. Keith: Jeg tænkte det kan ikke lade sig gøre. Det lyder underligt. Vi konkluderer, at han er vendt tilbage til sin almindelige snusfornuft og har brugt den til at besvare spørgsmålet. 95 På det næste spørgsmål om beviset så er korrekt, svarer han meget fornuftigt. Keith: Men om det så er et bevis der holder stik (tænker). Så ville jeg modsige mig selv, hvis jeg sagde ja. Det har altså voldt eleven store kvaler at besvare spørgsmålet, og han har ikke kunne benytte sin viden fra matematik eller selve beviset i spørgsmålet, men er derimod vendt tilbage til almindelig logik. Som svar på spørgsmål 6 (kvadratsætninger) har svaret NEJ til om argumentet holder. CS indleder med at forklare at vi gør meget ud af at lære dem kvadratsætningerne, men spørger til om (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 passer en sjælden gang i mellem. Keith er også her meget tøvende i sine svar. Han vil "gange ind " i parentesen, så vi får 𝑥 2 + 𝑦 2 . Igen kan vi se problemer med symbol- og formalismekompetencen. Vi prøver os i stedet frem med taleksempler i første omgang. Keith finder med en del hjælp ud af, at der nok er en forskel på de to udsagn på 2xy men er meget forvirret over, at kvadratsætningen som han kender nu betvivles. Vi må hjælpe til at læse spørgsmålet igen. Og ender med at konkludere for ham også og igen pointere at det dobbelte produkt giver nul, når x eller y er nul, og derfor "forsvinder" Keith: Generelt synes jeg de fleste spørgsmål var meget udfordrende formuleret. Men det var vel også meningen? Så generelt har Keith problemer med at se, hvad de egentlig spørger om i teksten dvs. problemer med både ræsonnementskompetencen samt kommunikationskompetencen. I Spørgsmål 21 har Keith svaret nej til, om vi har bevist at vinkelsummen er 180 grader. I interviewet siger Keith: Altså ...nej det er noget man bare generelt ved. Her viser Keith, at han ikke ved, hvad beviser helt er eller hvad de kan. Han har et ydre autoritært bevisskema, og vi taler med han om, at det er generelt noget "man" bare ved, fordi nogen har bevist det i matematik. CS: Skal vi så måle? (henviser til anden del af spørgsmål 21) Keith: Vi kan altid regne med at summen er 180. Opsummerende har Keith problemer med både ræsonnementskompetencen samt kommunikationskompetencen, idet han har svært ved at forstå/læse hvad flere af spørgsmålene egentlig går ud på. I visse typer af opgaver har han en intuitiv fornemmelse af, hvad svaret er (som dog ikke altid holder stik) men kan ikke begrunde sine svar. Alt afhængigt af opgavetypen læner han sig op af enten et ydre autoritært bevisskema eller et empirisk induktivt bevisskema. Vi ønsker derfor i næste diagnosticeringsinterview at undersøge Keith lidt nærmere mht. bevisskemaer, og ydermere vælger vi også at gå videre med at undersøge nogle af de beliefs Keith har, da disse ifølge [OptEynde, 2002, s.15] har indvirkning på, hvordan elever går til en opgave og hvilke teknikker de anvender og hvilke kognitive strategier de bruger. 96 Problemformulering Ud fra vores første interview opstillede vi følgende problemstilling: På hvilken måde påvirker elevernes matematikforestillinger og bevisskemaer deres evne til at evaluere og udføre beviser og ræsonnementer? Hvordan kan en intervention rettet mod elevernes bevisskemaer forbedre denne evne? Diagnosticering - andet interview Efter den første diagnose med de 3 elever valgte vi at indsnævre vores fokus og se nærmere på elevernes udfordringer ved generelle påstande, både når det handler om at bevise og modbevise. Vores teoretiske tilgang i forhold til design af diagnoseinterview16 var, at vi først ville undersøge deres forestillinger om matematik, idet der synes at være forskningsmæssige belæg for, at matematikforestillinger spiller en vigtig rolle i forhold til elevernes måde at håndtere matematiske problemer på. Det gjorde vi ved, at bede eleverne forholde sig til en række udtalelser (læs: matematikforestillinger) og begrunde, hvorvidt de var enige eller uenige med dem. De udsagn vi har taget med er skitseret i bilag 13 under interviewskema del 1 og er et udpluk fra forskellige kilder herunder Schoenfeld, OptEynde, Epps2013 mm. Samtidig ville vi også gerne prøve at få et indblik i deres bevisskemaer. I opgave 1 skulle eleverne forholde sig til 3 forskellige ”beviser” for en generel påstand. Det første ”bevis” er en empirisk tilgang, hvor påstanden verificeres ud fra ét eksempel (empirisk (induktivt) bevisskema - naive empirism). Det andet ”bevis” er en deduktiv tilgang, hvor påstanden verificeres via logiske slutninger på baggrund af den indførte variabel n (deduktiv (transformativt) bevisskema). Det tredje ”bevis” er også en empirisk tilgang, men nu anvendes der 2 eksempler til at verificere påstanden, hvor det andet taleksempel er valgt så tilpas stort, at der kunne repræsentere ”hvilket som helst tal” (empirisk (induktivt) bevisskema - crucial statement). I den anden opgave skulle eleverne forholde sig til modeksemplets magt. De blev præsenteret for en påstand fremsagt af personen Peter: ”Peter påstår at 𝑎 ⋅ 𝑏 altid er større end 𝑎 + 𝑏”. Peter verificerer påstanden gennem en række eksempler, hvorimod modparten Søren kommer med et modeksempel til påstanden. Elevernes opgave bliver herefter at begrunde, hvilken af de to parter de vil erklære sig enig med på baggrund af følgende: ”Peter påstår: min påstand gælder stadig, da den gælder i de fleste tilfælde, hvorimod Søren påstår, at den er falsk, da den ikke gælder for alle tal”. Opgaven er beregnet til at undersøge, hvor rodfæstet enkelte elevers eventuelle empiriske bevisskema synes at være og er inspireret af den ”finding”, der præsenteres i artiklen [EMS 2011], at visse elever med empiriske bevisskemaer ikke mener, at sandhedsværdien af en generel påstand ødelægges ved enkelte modeksempler. Opgave 3 er anderledes end de to første, idet eleverne her bliver bedt om at udlede en generel påstand på baggrund af en algoritme i øvelsen ”tænk på et tal” og derefter vise, at denne påstand er sand. Elevernes egen tilgang til at bevise en påstand bliver interessant at følge set i lyset af deres svar i opgave 1 og 2. Til slut hev vi atter udvalgte opgaver frem fra detektionstesten og prøvede ved hjælp af lidt stilladsering at give dem en større forståelse for, hvad et korrekt svar ville være til dem (se interviewdel 3). 16 Se bilag 13 for hele interviewskemaet. 97 James - andet interview I det følgende afsnit vil vi ud fra andet interview med James forsøge at komme med en diagnose på James´ problemer. For en mere detaljerig gengivelse af interviewet se bilag 14. Indledende samtale om påstande knyttet til beliefs James forholder sig til påstandene en af gangen og diskuterer dem højt med sig selv. Når vi spørger James til det der i litteraturen [EMS, 2013] kaldes folkelige beliefs, så er han enige med de fleste. Han diskuterer med sig selv vedrørende de enkelte beliefs, som han bliver præsenteret for og skifter mening et par gange undervejs i sin monolog. Først siger han, at matematik ikke er skabt. Matematik er der for at forstå forskellige ting og sammenhænge og for at løse opgaver. Tal er skabt, forskellige metoder er skabt, men han er i tvivl om matematikken er skabt. James:... jeg har da virkelig ingen ide om, hvem det er der har skabt matematikken. Jeg har aldrig hørt om, jo om Pythagoras der har lavet den der formel, men ellers synes jeg ikke, man har hørt om sådan nogle specielle personer, der har skabt matematikken. Konkluderer dog til slut at han er enig i udsagnet " Matematik er skabt af nogle få meget begavede og kreative mennesker. Andre mennesker prøver blot på at lære det, de har overleveret." James er også enig i at matematik ikke kan læres på egen hånd. Går man ham på klingen, mener han dog, at det nok er muligt ved selvstudie men hælder mest til, at det kræver en lærer. James: Ja man kan selv, men det er meget svært. Man kan læse og forstå lidt selv, men det står altid på en meget svær og kompliceret måde. Og hvis der ingen opgaver er, så ved man heller ikke, hvad man skal bruge det til. Det er fedt at have en lærer, der kan fortælle det til en på en lidt blidere måde. Men det kommer også an på hvor klog den enkelte er. Han mener dog, at man kan stimuleres gennem flere kilder og nævner f.eks. også internettet og venner og sammenligner det at lære (matematik) lidt med at lære at tale, hvilket jo er en ret interessant iagttagelse. Han mener ikke, at matematik er uretfærdigt, fordi få er gode til det, men siger at mange har svært ved faget. James: Der er mange, der har svært ved det selvfølgelig, men...de fleste siger også at de ikke ser noget formål med matematik, og de ikke rigtig ved hvad de skal bruge det til. Til udsagnet "Jeg forstår ikke formålet med at føre beviser i matematik." siger James: Jo ellers har du bare en formel, og så ved du ikke hvorfor den ser sådan ud. Det er fedt at forstå, hvorfor den ser sådan ud. Denne udtalelse er interessant, idet James når han arbejder selv ikke har behov for beviser men synes ting er lettere at forstå ud fra eksempler. Men han er på det rene med, at hvis han skal overbevise en anden f.eks. en lærer (eller for at blære sig som han siger), så skal det generelle bevis på bordet17. James er efter lidt overvejelse også enig i at "Matematik handler om at huske en masse formler udenad og lære at bruge dem" og at "Matematiske problemstillinger har ét og kun ét rigtigt svar". James: Ja, jeg kan ikke komme i tanke om nogle matematiske problemer, der har mere end et svar. Førstnævnte belief må derfor på en eller anden vis hindre ham i at se beviset som en forklaring på noget, men er måske mere et udtryk for en rituel trommedans, når der skal eksamineres eller lignende. På den ene side siger han, at han 17 Se bilag 14. 98 forstår formålet med at føre beviser (hvilket vi kan stille spørgsmål ved) og på den anden side at det handler om en masse udenadslære. Han mener til gengæld ikke, at der kun én korrekt måde at løse et givent matematisk problem på, idet han trækker på sin erfaring fra opgaveafleveringer, som kan klare på forskellige måder. Han mener heller ikke, at ethvert matematisk problem kan løses på få minutter, og hvis ikke man kan løse det på få minutter, så kan det slet ikke løses. Han diskuterer lidt, og det lyder som om han ved "problem" mest forstår bevis af sætninger eller hele teoridannelser. Som kommentar til hvorvidt den matematik man lærer i skolen kun har meget lidt at gøre med den ’virkelige’ verden, siger han grinende: Det kommer an på, hvad man vil i den virkelige verden. Hvis du har lyst til at være matematiklærer eller ingeniør, så kan man da godt bruge den. Dette fik selvfølgelig også os til at grine en del, men vidner endnu en gang om, at James nok har nogle beliefs, der kan være årsag til et ydre autoritært bevisskema. Vi har derefter spurgt ind til de beliefs vi ville undersøge i forhold til dem selv (mere personligt) og matematik James er tøvende efter at have læst påstandene. Vi siger, at hvis ingen passer, så må han også svare det. James: Det er vigtigt for mig at forstå faget grundigt som overhovedet muligt, men jeg tror aldrig, der er nogen der forstår matematik 100 %. Det er ligesom om man ikke kan forklare, hvad matematik overordnet er. Han mener dog, at hvis bare han sætter mig ned og læser på stoffet, så kan han godt finde ud af matematik. Man kunne så diskutere, hvad matematik egentlig er, og her har han jo tidligere svaret, at det egentlig er en masse formler (og udenadslære) selvom han godt ved/siger at (formelt i hvert fald) han gerne vil have beviserne med som forklaring (for lærerens skyld?). Han fremhæver igen, at tingene er langt lettere, når man har læreren ved hånden og synes også, at det er helt i orden at lave fejl - dem lærer man af, siger han. Resten af spørgsmålene kan han ikke rigtig forholde sig til - han er ikke enig i dem, og vi går hurtigt videre. Indledende samtale knyttet til bevisskemaer: I anden del af interviewet har vi konkrete opgaver som fiktive personer har besvaret og vi beder James kommentere dette. Opgave 1: Påstand: ”Vælg to hele positive tal med en forskel på 2. Gang dem med hinanden og læg 1 til. Det resultat du får er et kvadrattal”. 3 elever får til opgave at bevise, at denne påstand altid gælder. Vurdér efter at have læst dem igennem om de alle tre faktisk er beviser. Er der én eller flere du bedre kan lide end andre? 99 James: Jeg kan bedst lide Jesper og Hannes bevis for de står helt simpelt og ligetil. Det var også sådan jeg ville løse det. Simons bevis er sådan et som der står i bøgerne.. kæmpe lange formler med n og parenteser og umuligt at forstå og sådan noget. Lige når jeg læser det, så forstår jeg det stort set ikke. Simons forvirrer, fordi man ikke har et eksempel og umuligt at forstå. En lærer vil kunne forklare mig det, men jeg vil ikke kunne forstå det ud fra en bog. Tillægsspørgsmål: Hvilket bevis ville du vælge, hvis du skulle overbevise en klassekammerat? Forklar hvorfor James: Jeg ville vælge Hannes bevis for der er to eksempler. Det er det mest simple. Først nemme tal - vi ved at 36 ...6 gange 6 giver 36 og så bagefter tage lidt større tal og så regne det ud på lommeregneren for at bevise at det også er rigtigt. Starte med det nemme og bevæge sig til det sværere og sværere. Hvilket bevis ville du vælge, hvis du skulle overbevise en lærer? Forklar hvorfor James: Hvis jeg skulle overbevise en lærer (griner). I en prøvesituation - for at blære sig - så ville jeg måske vælge Simons bevis og stadig tage det mest simple - Jespers bevis. James´ forklaringer og valg i denne besvarelse placerer ham i henholdsvis den empiriske afdeling når det gælder hans egen overbevisning og i den autoritære ydre når det kommer til overbevisning af andre (og klogere personer). I opgave to tester vi igen hvordan James forholder sig til modeksemplets magt, og der tegner sig et billede af at James er nogenlunde med på at modeksemplets magt James: Jeg er enig med Søren i hans eksempel er 𝑎 + 𝑏 større end 𝑎 ⋅ 𝑏, og man kan ikke sige, at ens påstand er sandt bare fordi den gælder i de fleste tilfælde. Der er jo mange muligheder for at det ikke er sådan. Der er uendeligt med tal så der er lige mange muligheder for begge ting. I den tredje opgave går James i gang og prøver først med to små tal (og skal have lidt reduktionshjælp) før han hopper til at prøve kræfter med at udlede en generel regel. Han starter pænt med at kalde det tal han vælger for a og skriver udtrykket korrekt op (a*3(a+1)+11)/4-3= a. Han reducerer ikke og viser ikke tegn på over hovedet at ville bevæge sig i den retning. Han tjekker ikke, at det rent faktisk passer. Han tænker lidt og slutter med at sige. James: Jeg kan ikke bevise det..Nej. Han kan med andre ord ikke se, hvor snublende tæt på målstregen han er. Han har problemer med ræsonnements- samt tankegangskompetencen, idet han har et vist blik for hvilke spørgsmål, der kan stilles (dog hjulpet af os) men ikke kan komme i mål, da han ikke kan fornemme, hvordan han skal få svaret. Han kan endda ikke se, at han er tæt på. Derudover har han algebraiske vanskeligheder og kunne nok have haft glæde af at være case i 1. semester også. Det bliver rigtig svært at forstå, hvad James mener, da vi interviewer ham om opgave 9 (se bilag 13 med opgaver). James er i interviewet ret utydelig i sin tale og tøvende. Han skifter mening og virker usikker og ved ikke helt, hvad han skal svare. Han misforstår lidt, hvad konstant betyder og virker som om han tror, at 100 vi mener et helt specifikt tal. Dette viser endnu en gang, at han har problemer med de tre kompetencer: tankegangs- og kommunikations- samt ræsonnementskompetencen. Selve ideen om rette linjer synes også at være vag, desværre. Spørgsmål 20 er udvidet i forhold til diagnosesamtale 1, hvor vi (som i detektionstesten) spurgte om indholdet af Ali og Ayas påstande er de samme. Vi vil gerne høre, om eleverne hver især har ret i deres påstand samt en begrundelse. James mener, at Aya har ret, men kan ikke argumentere for det. Han er noget tøvende og forholder sig ikke til, om det Ali siger er sandt, men derimod om det de siger er det samme. Han er optaget af, at han har udtalt sig om det før, og at det nok var forkert. Vi prøver at få ham til at forholde sig til, hvad Ali siger. Han tænker og mumler og prøver med lidt taleksempler og mumler igen. Vi må hjælpe med lidt regneteknisk assistance og endelig kommer James frem til James: Alis udsagn er korrekt, men Ayas er ikke og de siger ikke det samme. Her bruger han på den gode måde et logisk hverdagsræsonnement [EMS;2011] hvis den ene er korrekt og den anden ikke er, så kan de ikke sige det samme. Men han havde svært ved at komme igennem opgaven selv og skulle have den del hjælp og støtte, så han har igen vist at det kniber med tankegangs- og ræsonnementskompetencen. Til gengæld ser det ud til, at han har fint styr på en del af mængdebegrebet og særligt delmængder i det han til spørgsmålet om enhver firkant er et rektangel svarer: Et dumt svar, men ja sommetider er en firkant et kvadrat og sommetider et rektangel. Det er en hver anden slags firkant sommetider. Men der er uendelige størrelser af firkanter og former af firkanter. Firkant er en stor overkategori hvor der er en masse underkategorier indenfor. Det samme gælder for spørgsmålet, hvor man skal vælge en figur, der viser en firesidet figur ikke nødvendigvis er et rektangel James: Det første kan ikke bruges. Den er et kvadrat. Det er det eneste, der er korrekt her, så det kan ikke bruges til at vise at Søren ikke har ret. Den anden har ikke fire lige lange sider, kan vi se, så den duer heller ikke og den sidste er slet ikke en firkant, men en femkant. Vores endelige diagnose af James er derfor: Det tyder ikke på, at James’ matematikforestillinger er nogen væsentlig hindring for hans forståelse af beviser og ræsonnementer. Selvom James ikke har et behov for et bevis for at overbevise sig selv om gyldigheden af en påstand, så ved han godt at det er nødvendigt for at overbevise andre. Vi blev derfor i interviewet bekræftet i, at James har et empirisk (induktivt) bevisskema, i hvert fald når det kommer til at overbevise sig selv. Selvom James viser problemer med ræsonnementskompetencen, så har han en rimelig forståelse med modeksemplets magt. Dog har han også nogle algebraiske vanskelligheder, og han viser flere steder, at han har problemer med tankegangs- og kommunikationskompetencen. Charles - andet interview Indledende samtale om påstande knyttet til ’beliefs’ Charles bliver ligesom de to andre elever bedt om at forholde sig til de forskellige påstande på første side (se bilag 13 – interviewdel 1 om påstande vedrørende matematikforestillinger). Efter at have læst de 101 forskellige udsagn beder han om at låne en kuglepen. Han sætter herefter ring om 1d (”Matematik handler om at kunne løse logiske problemer på en kreativ måde”) og 1i (”Afhængigheden af en lærer er særlig vigtig i matematik, så hvis en lærer ikke er i stand til at forklare faget, så er der kun en meget lille chance for, at eleven forstår matematik”). Desuden sætter han ring om 2c (”Det vigtigste for mig er at forstå faget så grundigt som overhovedet muligt”). Charles siger efterfølgende, at han også godt kunne have sat kryds ved 2d også (”Hvis bare jeg sætter mig ned og læser på stoffet, så kan jeg godt finde ud af matematik”). Efter at have sat kryds ved de forskellige påstande beder vi ham om at forholde sig til de forskellige udsagn: ”Hvorfor satte du/hvorfor satte du ikke kryds?”, hvilket gav os et lidt grundigere indblik i hans matematikforestillinger. Her følger en opsummering af det mest væsentlige fra interviewet. Hans opfattelse af matematik som fag viser sig at være rimelig nuanceret, idet han mener, at matematik både handler om at løse problemer på en kreativ måde og handler om at lære formler udenad og være i stand til at anvende dem. Han mener desuden, at der sagtens kan være flere forskellige metoder til at løse den samme opgave i matematik og kan godt se, hvorfor man skal føre beviser i faget, da det ”er vigtigt at bevise, at det giver mening det man har lavet”. Til spørgsmålet om hvor afhængig man er af en lærer i lige netop matematik, er der en smule inkonsistens i hans svar. Han erklærede sig ret hurtig enig i udsagnet ”afhængigheden af en lærer er særlig vigtig i matematik, så hvis en lærer ikke er i stand til at forklare faget, så er der kun en meget lille chance for, at eleven forstår matematik”, men samtidig er han ved nærmere eftertanke også enig i påstanden om ”at hvis bare jeg sætter mig ned og læser på stoffet, så kan jeg godt finde ud af matematik”. Det tyder altså på, at han i spørgsmålet om hvor meget man som elev kan klare på egen hånd ikke er helt enig med sig selv, og således bliver det interessant at se nærmere på hans holdninger til de affektive ’beliefs’, dvs. de ’beliefs’, der siger noget om hans personlige indstilling og selvtillid i forhold til matematik. Til spørgsmålet ”Jeg har aldrig været og jeg kommer aldrig til at blive god til matematik” siger han ”I folkeskolen var jeg helt fin. Nu er niveauet lige rykket op. Så jeg har været god og jeg håber, at jeg nok skal lære det”, hvilket vidner om, at han er ved godt mod og således ikke virker alvorligt hæmmet af manglende selvtillid. Samme mønster viser sig i svaret til spørgsmålet ”Jeg kommer aldrig til at forstå matematik, men jeg kan måske lære formler udenad og forstå at anvende dem korrekt”, hvor han siger ”Det er også det der med at man lige skal cracke den der kode der. Jeg kan godt det der med formler og sådan noget .. jeg kommer nok til at forstå det på et tidspunkt sådan fuldt ud”. Således igen en erkendelse af, at der for øjeblikket er noget han har svært ved i faget, men samtidig en tro på, at han nok skal lære det. Til slut skal det nævnes, at han i løbet af samtalen gav udtryk for, at han godt kan lide faget og han er opsat på at forstå det grundigt, og således synes han heller ikke hæmmet af uheldige konative ’beliefs’, dvs. ’beliefs’ om manglende motivation for faget. Indledende samtale knyttet til bevisskemaer Da vi når til de egentlige opgaver (se bilag 13 – interviewskema 2) og han skal forholde sig til de tre beviser for påstanden i opgave 1, vælger han straks Simons bevis. Han siger: ”Ja, det ville være toeren. Simons bevis. Det ville jeg både bruge på klassekammeraterne og læreren fordi .. det gælder jo for hele skidtet det her i modsætning til 5 og 7 … der kunne måske hvis man brugte nogle andre tal være en fejltagelse der. Det er der nok ikke”. Han er altså tydeligvis med på, at der er nogle problemer med den empiriske tilgang, når man skal bevise en påstand, og at den deduktive tilgang er den eneste farbare vej. I opgave 2 er han også helt med på, at Sørens modeksempel er nok til at fælde hele påstanden. I opgave 3 hvor han selv skal 102 begrunde en påstand, opstår der derimod lidt flere problemer for Charles. Efter at have tjekket at påstanden passer for tallene 4 og 5, skal han til at af bevise, at påstanden gælder for alle tal. Han er med på, at han skal give det vilkårlige tal et bogstavsymbol og vælger at kalde det for n. Han starter forsigtigt med at skrive 3·n eftersom algoritmen indledes med ”tænk på et tal, gang dette tal med 3 …”, men herefter går han i stå. Han bladrer i det dokument, vi har givet ham for at se, hvordan Simon har lavet sit bevis og skriver efter noget betænkningstid et algebraisk udtryk op: (𝑛⋅3)+(𝑛+1)+11 4 −3 = 𝑛 Udtrykket er sådan set helt fint, men Charles ved ikke helt, hvordan han skal komme videre derfra. Han er muligvis klar over, at han skal vise, at venstresiden er lig højresiden, men han ved ikke hvordan. Således viser der sig her et problem for Charles, som han også nævnte i det første diagnoseinterview, at han har svært ved at håndtere ligninger eller måske nærmere, at han har visse mangler inden for symbol –og formalismekompetencen. I forhold til at bestemme, hvilket bevisskema han har, så er det lidt vanskeligt præcist at afgøre. Han passer umiddelbart bedst ind i det deduktive transformative bevisskema, da han forstår, at han skal føre et bevis, der gælder for alle tal, men han har en del mangler i sin operationelle tankegang. Efter at have indført variablen n og opskrevet et algebraisk udtryk, så ved han ikke hvordan han skal komme videre. Han er her ikke i stand til opstille relevante mål og delmål for sin bevisførelse og forudsige udfald, hvilket jo er helt centralt for den operationelle tankegang. Vi vælger dog på grund af hans klare forståelse af det generelle argument at kalde hans bevisskema deduktivt (transformativt), selvom vi er klar over, at det er noget ufuldstændigt. Vi får ikke så meget yderligere information om Charles ud fra samtalen om de udvalgte opgaver fra detektionstesten. Dog var det interessant, at han i spørgsmål 7 (kan alle rette linjer i planen gennem (0,0) skrives på formen 𝑦 = 𝑎𝑥) var tavs i meget lang tid uden at give noget svar. Det viste sig, at han simpelthen ikke forstod, hvad han skulle svare på. Han forstod ikke spørgsmålet. Hans problemer med kommunikationskompetencen handler således ikke kun om at have vanskeligt ved at begrunde en påstand, det handler også om at kunne forstå en matematisk tekst. I spørgsmål 20 virker han overbevist om, at indholdet af begge udsagn er ens (ud fra den præmis, at han skal svare på om de begge er sande). Han er dog ikke tilfreds med bare at være overbevist gennem empirisk inspektion. Han vil gerne vise det generelt, men som han siger ”jeg ved ikke, hvordan man skal skrive en generel formel for sådan noget”. Igen er han helt med på, at har først kan sige noget endeligt, når han vist det generelt, men han mangler metoder til at kunne gøre det. Vores endelige diagnose af Charles er derfor: I diagnose 1 viser det sig, at han har en forestilling om, at ’han ikke kan løse ligninger’ og at ’han generelt ikke kan forklare en påstand’. Spørgsmålet er hvor rodfæstede disse ’beliefs’ er for i diagnose 2 viste det sig, at han er ved godt mod og har en tro på, at nok skal lære faget ligesom han generelt godt kan lide matematik og gerne vil forstå det grundigt. Således giver han udtryk for, at han præges af både positive affektive og konative faktorer. Det tyder altså ikke på, at forestillingerne fra diagnose 1 generelt vil hæmme ham på langt sigt. Hvis der er hæmmende ’beliefs’ må de være implicitte, dvs. nogle han ikke selv er klar over og derfor ikke er i stand til at italesætte. I forhold til hans bevisskemaer viser de to diagnoseinterview, at han udmærket er klar over, at empirisk inspektion ikke er tilstrækkeligt til at bevise en generel påstand, 103 ligesom han er helt klar over modeksemplets magt. Hans store problem består i at begrunde en påstand. Der viser det sig, at hans vanskeligheder med symbol –og formalismekompetencen gør ham ude af stand til selv at udføre de mest simple beviser, ligesom de hæmmer ham meget i hans operationelle tankegang, dvs. i hans evne til at formulere mål og delmål og til at forudsige udfald i hans bevisførelse. Vi vælger som før nævnt at stille diagnosen, at han har et deduktivt transformativt bevisskema på grund af hans forståelse for nødvendigheden af et ”for alle”-argument til at bevise en generel påstand, men vi er fuldt ud klar over, at hans mangler i forhold til den operationelle tankegang problematiserer denne diagnose en smule. Endelig viser de to interview, at Charles har vanskeligheder med kommunikationskompetencen, idet han har svært ved at vurdere ikke-universalpåstande, ligesom han har svært ved at forstå en matematisk tekst. Keith - andet interview Ligesom James og Charles blev også Keith interviewet endnu en gang18. Konklusionen på første interview var, at det det kunne se ud til, at Keith havde vanskelligheder med kommunikationskompetencen, symbolog formalismekompetencen såvel som ræsonnementskompetencen. Han viste bl.a. tegn på at have både et ydre autoritært bevisskema og et empirisk induktivt bevisskema [Harel & Sowder, 2007]. Som tidligere beskrevet ville vi i andet interview kigge nærmere på elevernes matematikforestillinger mht. de tre kategorier (se bilag 13), samt kigge nærmere på elevernes bevisskemaer. Ser vi på Keiths matematikforestillinger så springer et par udtalelser i øjnene: I påstanden ”Matematik handler om at huske en masse formler udenad og lære at bruge dem” er Keith helt enig. I Keiths verden er teorien bag altså ikke så vigtigt, hvis blot han kan bruge nogle formler. Han finder det altså nok at have en instrumental forståelse [Skemp, 1976] med matematikken, og det er vores vurdering at såfremt vi undersøgte det emne nærmere, så ville han nok også hovedsagelig have en instrumental forståelse indenfor mange områder i matematikken. Hans instrumentale tilgang til faget understreges i hans svar til påstanden ”Det vigtigste for mig er at forstå faget så grundigt som overhovedet muligt”, hvor Keith svarer: ” Det er vigtigt for mig at forstå faget, men måske ikke så grundigt. Selvfølgelig forstå det, men ikke sådan så når jeg ser formler, så skal ind og studere, hvordan det hænger sammen.” Keith er endvidere enig med påstanden ”Jeg forstår ikke formålet med at føre beviser i matematik”. Han siger direkte, at for ham er beviser næsten irrelevante, og han kan ikke se det nyttige i dem. En del af forklaringen kunne være, at Keith som set i første interview har tendenser til et ydre autoritært bevisskema, hvor Keith anser det som bogen eller læreren siger som værende korrekt. Derfor er der ikke den store grund til at bevise noget også. Endvidere har han også (ses senere i interviewet) en stor grad af empirisk induktivt bevisskema, og dermed kan et bevis også virke som spild af tid, da det jo ”bare” er et par eksempler som passer ind med påstanden. Ser man på opgaverne der skulle undersøge Keiths bevisskemaer (interviewskema del 2) fik vi følgende findings: 18 For transskription af interview se bilag 16 104 I opgave 1, hvor Keith er præsenteret for 3 beviser kan Keith bedst lide de to empiriske beviser. Og af de to kan han bedst lide Hannes bevis, hvor to eksempler vises. Her nævner Keith, at man så har vist at det ikke kun er tilfældigt. Det tyder altså på, at Keith har et empirisk induktivt bevisskema og dette ser ud til at være baseret på crucial statement.19 Keith fortsætter derefter i opgave 1 med at sige, at såfremt han skulle bevise påstanden for sin lærer, så skulle han vælge Simons (formelle) bevis. Vi tillægger dog denne udtalelse de sociomatematiske normer, idet han siger: ” Jeg er sikker på, at det er opgave 2 (red: bevis 2) som jeg skal vise. Men hvordan jeg skal bruge det til at overbevise, ved jeg ikke.” I opgave 2 viser Keith, at han har forstået hvordan et modeksempel/modbevis fungerer, idet han svarer helt rigtigt. I opgave 3 understreges vores formodning om, at Keith har et empirisk induktivt bevisskema, idet han prøver med to forskellige tal og udtaler: ”Ja nu har vi brugt det to gange, så nu har vi sådan set bevist det.” I tredje del af interviewet omhandlende yderligere uddybende spørgsmål til detektionstesten har Keith også nogle vanskeligheder, men disse handler hovedsagelig om symbol- og formalismekompetencen og en generel manglende matematisk forståelse for matematiske emner som rette linjer. Vi vil ikke gå yderligere i detaljer med dette her, idet vi som tidligere nævnt har valgt at fokusere på matematikforestillinger og bevisskemaer. Vores endelige diagnose for Keith er derfor: Keith har problemer med ræsonnementer og beviser bl.a. fordi han i stor grad har et empirisk induktivt (crucial statement) bevisskema. Endvidere forstår han ikke meningen med beviser, altså hvorfor man overhovedet er nødt til eller vil lave dem. Dybere liggende end hans problemer med ræsonnementskompetencen ligger endvidere en manglende forståelse (han har kun instrumental forståelse) med flere matematiske emner og har generelt problemer med symbol- og formalismekompetencen og kommunikationskompetencen. Han har altså vanskelligheder på en lang række parametre, men som det beskrives senere i interventionsdelen, så vil vi fokusere på hans bevisskemaer og hans manglende forståelse med behovet for beviser. Intervention På baggrund af diagnosticering af vores elever planlagde vi en intervention af alle tre. Vi benyttede samme intervention til dem alle, da alle i nogen grad havde samme problemer, og til dels også på grund af tidsmæssige årsager. Ud fra diagnosticeringen kunne vi se, at de tre elever ud over besværligheder hørende til ræsonnementskompetencen også havde problemer med symbol- og formalismekompetencen. Vi har dog 19 Kilde: Balacheff i [EMS, 2011] 105 valgt udelukkende at fokusere på problemerne inden for ræsonnementer og beviser i interventionen, idet vi af tidsmæssige årsager ikke kan nå det hele. Vi opstillede tre mål for vores intervention med James, Charles og Keith: 1. Vi ville gerne rykke eleverne fra at lave og acceptere empiriske beviser til at lave og udelukkende acceptere deduktive beviser. 2. Vi ville skabe et behov for beviser hos eleverne. 3. Vi ville gerne understrege betydningen af et modeksempel. Vi vil i det følgende gengive hver opgave og argumentere for vores valg af netop disse opgaver20. Det skal her bemærkes, at eleverne fik opgaverne i form af en Powerpoint-præsentation, hvor hvert spørgsmål (og underspørgsmål) kom på en ny slide, således at eleverne ikke kunne læse forud. Opgave 1: Jonas har opdaget følgende: Påstand: Tre på hinanden følgende naturlige tal opfylder altid Pythagoras sætning om at 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2. Jonas’ forklaring: Ser man på tallene 3, 4 og 5, så gælder 32 + 42 = 52, idet 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Derfor har vi bevist påstanden. Har Jonas bevist sin påstand? Prøv selv at vælge 3 på hinanden følgende naturlige tal og afprøv Jonas’ påstand. Er ét eksempel som passer med påstanden nok til at bevise påstanden? Baggrund for opgave 1: Jonas laver et empirisk bevis med ét eksempel. Eleverne skulle gerne på baggrund af deres eget forsøg indse, at ét eksempel ikke er nok til at bevise en påstand. Opgave 2a: Magnus har opdaget følgende: 20 For at se interviewskemaet for interventionen se bilag 17. 106 Påstand: Alle tal på formen 2𝑛 + 1, hvor 𝑛 er et naturligt tal, er et primtal. Magnus’ forklaring: Indsætter vi 𝑛 = 1 så får vi 2 ⋅ 1 + 1 = 3, hvilket er et primtal. Har Magnus bevist sin påstand? Baggrund for opgave 2a: Endnu en opgave med et empirisk bevis bestående af ét eksempel. Opgaven tester om eleverne har forstået opgave 1. Vi forventer, at eleverne nu svarer nej. Opgave 2b: Magnus fortsætter nu sin forklaring. Magnus’ forklaring - del 2: Indsætter vi 𝑛 = 2 så får vi 2 ⋅ 2 + 1 = 5, hvilket er et primtal. Har Magnus nu bevist sin påstand? Baggrund for opgave 2b: Eleverne får endnu et empirisk bevis for Magnus’ forklaring. Vi ønsker at undersøge, om eleverne nu anser påstanden som bevist eller ej. Vi formoder igen, at eleverne svarer nej. Denne opgave samt 2c og 2d bygger op til en senere kognitiv konflikt (såfremt eleverne mener at påstanden er bevist) Opgave 2c: Magnus fortsætter nu sin forklaring. Magnus’ forklaring - del 3: Indsætter vi 𝑛 = 3 så får vi 2 ⋅ 3 + 1 = 7, hvilket er et primtal. Har Magnus nu bevist sin påstand? Baggrund for opgave 2c: Eleverne får et tredje empirisk bevis for Magnus’ forklaring. Baggrunden er igen at undersøge, om endnu et empirisk bevis får eleverne til at anse påstanden som værende bevist. Vi bygger stadig op til en senere konflikt og undersøger samtidig, om eleverne har et specifikt antal eksempler, som de anser for at være tilstrækkelig for at bevise en påstand. Opgave 2d: 107 Magnus fortsætter nu sin forklaring. Magnus’ forklaring - del 4: Magnus bliver nu lidt irriteret over, at hans bevis ikke er godt nok. Han fortsætter derfor sin forklaring med nogle lidt anderledes valg af 𝑛: Indsætter vi 𝑛 = 8 så får vi 2 ⋅ 8 + 1 = 17, hvilket er et primtal. Indsætter vi 𝑛 = 14 så får vi 2 ⋅ 14 + 1 = 29, hvilket er et primtal. Indsætter vi 𝑛 = 41 så får vi 2 ⋅ 41 + 1 = 83, hvilket er et primtal. Indsætter vi 𝑛 = 363 så får vi 2 ⋅ 363 + 1 = 727, hvilket er et primtal. Er Magnus’ valg af tal bedre denne gang? Har Magnus nu bevist sin påstand? Hvor mange tal skal Magnus forsøge med, før påstanden er bevist? Baggrund for opgave 2d: Eleverne får 4 yderligere eksempler. Vi har her benyttet tal, som ser mere tilfældige ud og som måske også ser ud til at være smartere valgt. Dermed prøver vi igen at se, om eleverne anser påstanden som bevist (stadig på vej mod konflikten). Vi spørger om valget af tal er bedre for at se, om nogle af eleverne har empiriske bevisskemaer som afhænger af det Balacheff kalder ”crucial experiment” [Harel & Sowder, 2007 p. 810], altså beviser ved hjælp af grundigt udvalgte eksempler. Eventuelle elever med disse bevisskemaer forventer vi at have overbevist om gyldigheden af Magnus’ bevis på nuværende tidspunkt. Skulle der være elever, som stadig ikke er overbevist, så undersøger vi med sidste spørgsmål om hvor mange tal der skal forsøges med, inden påstanden er bevist. Vi håber, at disse elever giver svaret, at antallet er ligegyldigt, da bevis ved eksempler ikke er godt nok. Opgave 2e: Prøv selv at vælge naturligt tal 𝑛 og indsæt i formlen 2𝑛 + 1. Får du et primtal? Hvad er din konklusion på Jonas og Magnus’ bevismetoder, hvor de beviser deres påstande ved hjælp af eksempler? Baggrund for opgave 2e: Vi når nu til konflikten (såfremt eleverne har et empirisk induktivt bevisskema og har accepteret beviset i en af de tidligere opgaver), idet eleverne selv skal forsøge med et tal. Eleverne får nu et tal, som ikke er et primtal (eller får lov at prøve igen). Det skulle derefter gerne gå op for eleverne, at Magnus’ påstand er forkert trods alle de eksempler der underbygger påstanden, og det er vores håb at deres konklusion bliver, at den empiriske bevismetode ikke dur. Opgave 3a: 108 I weekenden var der et røveri i Danske Bank i Sønderborg. Vidner beskriver røveren som værende dansktalende og ca. 190 cm. høj. Politiet anholder hurtigt en tilfældig mand ved navn B. Ankrøver (B står for Bent) og stiller hurtigt Bent for retten. Dommeren vurderer nu politiets påstand om, at Bent er manden bag røveriet: Dommeren finder hurtigt ud af, at Bert taler dansk. Dette stemmer helt overens med politiets påstand om, at Bent er bankrøveren (som jo var dansktalende). Ydermere finder dommeren et målebånd frem og måler Bent til at være 189 cm. høj, hvilket også svarer til politiets påstand, idet røveren var ca. 190 cm. høj. Politiet har på nuværende tidspunkt ikke flere spor i sagen. Har politiet bevist, at Bent er bankrøveren? Baggrund for opgave 3a: Ifølge [EMS, 2011 p. 52] kan elevernes tendens til at have et empirisk bevisskema muligvis skyldes elevernes problemer med at skelne mellem den matematiske verden og den virkelige verden. Bare tænk på talemåden ”det er undtagelsen der bekræfter reglen”, hvilket i matematikkens verden ikke giver nogen mening, men samtidig står der i samme artikel, at man ved fordel kan inddrage hverdagseksempler for at understøtte en matematisk konklusion. Vi har derfor i opgave 3a forsøgt at vende billedet lidt, således at vi ud fra et eksempel fra virkelighedens verden forsøger at illustrere, at vi ikke har bevist en påstand blot fordi et par tilfælde passer med en påstand. Opgave 3a er dermed et videre forsøg på at understrege pointen fra opgave 2e. Opgave 3b: Dommeren valgte efter lidt overvejelse ikke at tro på politiets påstand om, at Bent var bankrøver. Og dette på trods af, at et par eksempler (dansk tale og hans højde) viste, at Bent kunne passe med påstanden. Dommeren vidste nemlig, at et par eksempler ikke er nok til at bevise en påstand. Senere kom det frem i lyset, at Bent havde været til traktortræk i Nordjylland hele weekenden, hvilket et utal af vidner kunne dokumentere. Er dette modeksempel på politiets påstand (om Bent som bankrøver) nok til for altid at have modbevist politiets påstand? Baggrund for opgave 3b: Vi fortsætter eksemplet fra den virkelige verden. Denne gang kommer der et modeksempel på politiets påstand, og det er vores formodning, at eleverne kan se at dette modeksempel er nok til at kunne frikende Bent. 109 Opgaven lægger op til næste opgave, hvor eleverne skal vurdere et modeksempel til Magnus’ påstand i opgave 2a. Det er vores håb, at eleverne drager den rigtige konklusion i denne opgave, og at de kan videreføre konklusionen til det matematiske eksempel i næste opgave. Opgave 4: I opgave 2 påstod Magnus, at tal på formlen 2𝑛 + 1 altid er et primtal. Hvis man indsætter 𝑛 = 4 får man 2 ⋅ 4 + 1 = 9, som ikke er et primtal. Har vi nu for altid modbevist Magnus’ påstand? Hvor mange modeksempler skal der til at modbevise en påstand? Baggrund for opgave 4: Som nævnt er det vores håb, at eleverne kan tage springet fra hverdagssituationen i opgave 3b til den matematiske situation i denne opgave. Endvidere får vi endnu engang understreget, at Magnus’ påstand fra tidligere er forkert. Opgaven skal desuden sikre, at eleverne indser at ét modeksempel er nok til at modbevise en påstand. Opgave 5: Politiet har efter Bents løsladelse fortsat efterforskningen. Det viser sig, at Bent har en tvillingbror, som hedder Brian. Brian snakker også dansk, han er også 189 cm høj og ydermere har politiets vidner fra Nordjylland fortalt, at Brian ikke var med til traktortræk. Politiet opstiller derfor en ny påstand om, at Brian er bankrøveren, og de underbygger dette med hele 3 eksempler på ting hos Brian (dansktalende, 189 cm høj, har ikke været i Nordjylland) som passer med politiets nye påstand. Har politiet nu bevist deres påstand, om at Brian er bankrøveren? ….. eller har vi brug for et klart bevis frem for eksempler? Baggrund for opgave 5: Endnu en opgave for at understrege, at det ikke er nok at nogle tilfældige ting passer med en påstand for at påstanden er bevist. Opgave 6: En matematiklærer giver følgende påstand: Påstand: Følgende 3 talopskrifter vil altid ende med det midterste tal: Opskrift 1: 1. Tænk på tre naturlige tal, der kommer lige efter hinanden. 2. Læg de tre tal sammen. 110 3. Divider resultatet med 3. Opskrift 2: 1. 2. 3. 4. 5. Tænk på tre naturlige tal, der kommer lige efter hinanden. Gang det mindste tal med sig selv. Gang det største tal med sig selv. Træk de to resultater fra hinanden. Divider med 4. Opskrift 3: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Tænk på tre naturlige tal, der kommer lige efter hinanden. Gang det mindste tal med 3. Gang det midterste tal med 2. Gang det største tal med 1. Læg 2 til. Divider med 6. Prøv talopskrifterne med forskellige talsæt. Tror du på påstanden om, at hver af de tre opskrifter altid ender på det midterste af de tal, du tænkte på? Vil du se et bevis på påstanden, før du tror på, at den altid er rigtig? Brug variable for at argumentere for, om påstanden er sand eller falsk. Baggrund for opgave 6: Denne opgave er designet både for at rykke eleverne væk fra deres empiriske bevisskemaer men også for at skabe et behov for et bevis hos eleverne. Behovet skulle gerne skabes ved at vække elevernes nysgerrighed for, om påstanden om de tre talopskrifter er rigtig. Dette skulle de tidligere opgaver, hvor eleverne har set at man ikke kan stole på empiriske beviser, også gerne hjælpe med, dvs. at eleverne forhåbentlig ikke køber påstanden blot ved at tjekke med et par eksempler. Der er desuden en sammenhæng mellem at rykke elevernes bevisskemaer væk fra de empiriske beviser og det at skabe et behov for beviser hos eleverne. Det kan man bl.a. læse i [EMS 2011 p.52] hvor der henvises til Dreyfus, Nardi og Leikin som mener, at transitionen fra netop empiriske argumenter til egentlige beviser indeholder dette behov for beviser, altså for et behov for et bevis der dækker alle tilfælde for en påstand. Denne sammenhæng understøttes også af Leng i samme artikel [EMS, 2011 p. 52] Sidste spørgsmål i opgaven skulle gerne være med til at skubbe eleverne i en retning, hvor de selv får ideen til at indføre en variabel og dermed lave et mere formelt bevis. Opgave 7: Afgør hvor mange diagonaler der er i de nedenstående regulære polygoner: 111 Baggrund for opgave 7: Denne opgave er som opgave 6 også designet både for at rykke eleverne væk fra deres empiriske bevisskema men også for at skabe et behov for et bevis hos eleverne. I dette tilfælde er der tale om bevis som opdagelse, hvorimod der i opgave 6 var et tale om bevis som forklaring jfr. de Villiers’ skelnen mellem bevisers forskellige funktioner [deVilliers, 1990]. Vi har valgt denne opgave, da Bartolini Bussi, Boero, Ferri, Garuti og Mariotti i [ems 2011 p 53] nævnes for at have præsenteret bevis for, at hvis man lader eleverne selv finde på og formulere påstande, så træner det evnen til at producere beviser. Denne opgave lægger netop op til dette, idet eleverne forhåbentlig bliver træt af at tegne diagonaler og tælle og i stedet forsøger sig med at opstille en formel. Intervention af James James lægger ud med umiddelbart først at være tilfreds med et eksempel med tre på hinanden følgende tal opfylder altid Pythagoras’ sætning. Han er ikke helt tydelig omkring, hvornår han er tilfreds, og hvornår tingene er bevist mere formelt. Han taler i de følgende opgaver om at flere eksempler, hvor tallene passer er bedre og gerne om eksempler med større tal, så er man mere overbevist om påstandenes rigtighed. Vi spørger lidt ind til hvor mange eksempler, og om han vil vædde en million eller højre hånd på om en påstande er korrekt. Han griner af vores væddemål og siger, at han selv tror på påstanden er rigtig ved en 5-10 eksempler, men at det ikke er bevist. Der kan være tal, der ikke passer ind. Da han selv går i gang med at efterprøve påstande i opgaverne, opdager han hurtigt eksempler, hvor påstandene ikke passer, og han er ikke sen til at konkludere, at ét eksempel ikke er nok til at bevise en påstand, men et eksempel er nok til at vælte eller modbevise en påstand. Det er næsten rørende at overvære James sætte n=16 i 2𝑛 + 1 og undersøge om det er et primtal, efter vi har afprøvet de 7 eksempler i teksten, hvor påstanden passer. Da han opdager at 33 ikke er et primtal udbryder han grinende "Nu er jeg blevet snørret igen". Og resten af interventionssessionen vender han tilbage til denne oplevelse. Det er tydeligt, at han er blevet fuldt opmærksom på, at nok så mange eksempler ikke beviser noget, og at ét modeksempel er nok til at vælte en påstand. Han formulerer endda selv denne konklusion. Vores relationer til hverdagseksemplet med bankrøveriet klarer han også fint og kan se analogien. Vi behøver heller ikke gå i dybden med disse, da han allerede har gjort store landvindinger alene ud de første matematiske opgaver. James afprøver opskrift 1 og 2 på påstanden om, at tre på hinanden følgende tal altid ender på det midterste (se bilag 17 med interventionsopgaver). Han prøver fornuftigt først hver af opgaverne af med et par taleksempler og er selvfølgelig meget skeptisk mht. om påstanden er sand og vil gerne have et bevis. På opfordring går han selv i gang. Han har lidt problemer med reduktion - især med brøker - som vi må hjælpe ham med, men ellers går det rigtig godt med at gennemføre begge beviser. Han lader sig ikke distrahere af sine problemer med reduktion og er stolt og glad, da han har klaret beviserne. Han er helt med på konklusionerne i begge tilfælde og ved præcis, hvornår beviset er slut. Han er helt tydeligt rykket fra et empirisk induktivt bevisskema til et deduktivt transformativt bevisskema. I den sidste opgave hvor han skal tegne diagonaler i en firkant, femkant, sekskant osv. går han frisk til opgaven og tegner korrekt diagonalerne i de fire første figurer. Da han er gået i gang med ti-kanten, 112 stopper han efter at have tegnet ca. 10 diagonaler og siger: "Nu kan jeg næsten ikke finde rundt i det". Han tænker sig om og siger, at der må være 35 diagonaler. Herefter samtaler vi om, hvordan han er kommet frem til svaret, og han efterprøver sin metode på de øvrige figurer. Vi støtter ham, og han får opskrevet formlen 𝑛∙(𝑛−3) 2 . Vi diskuterer den med ham, og Kasper spørger ind til hvorfor der står to og tre. Han er helt med på, hvorfor der divideres med 2 og med lidt støtte kommer det også frem, hvorfor man trækker tre fra 𝑛. Endnu en succesoplevelse, da han nu har opstillet sit tredje bevis næsten selv og er helt på omdrejningshøjde med hvad beviser kan, hvordan et enkelt modeksempel affejer en påstand og endelig i diagonalopgaven har oplevet/opdaget behovet for at bevise. Intervention af Charles Vi starter med at præsentere Charles for Jonas’ måde at forklare sin påstand på. Vi spørger ham: Har Jonas bevist sin påstand? Charles svarer uden tøven: Det har han ikke, nej. Herefter beder vi ham om selv at regne et eksempel, der kan afprøve påstanden. Han vælger tallene 4, 5 og 6 og skriver det op således: 42 + 52 = 62 16 + 25 = 36 På baggrund af udregningen, siger han: Det passer jo ikke, så den er ikke rigtig … bevist. Jeg ved ikke … man kan selvfølgelig ikke skrive en falsk formel op, men den er ikke … [læs: rigtig]. Her mener vi, at Charles med formel ikke henviser til om formlen 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 er rigtig, men til at påstanden om, at 3 på hinanden følgende tal passer i formlen ikke er rigtig. Herefter spørger vi ham om ét eksempel, som passer, er nok til at bevise påstanden? Han svarer igen uden tøven: Nej, det er det ikke, hvilket vi bekræfter. Han demonstrerer tydeligvis en forståelse for modeksemplets magt og en forståelse for, at ét eksempel ikke er nok til at bevise en generel påstand. Vi går videre til opgave 2 og Magnus’ påstand om, at alle primtal kan skrives på formen 2𝑛 + 1, hvor n er et naturligt tal. Magnus forklarer som bekendt sin påstand vha. ét eksempel (n = 1). Vi spørger nu Charles efter en kort afklarende samtale om, hvad man forstår ved et primtal og et naturligt tal og om påstanden herved er bevist. Han siger: Det … det ved jeg ikke. Altså det er jo også kun ét eksempel. Hvis man prøver med noget selv kunne det jo være, at det gav noget andet. Det ved jeg ikke helt og tilføjer lidt senere, at han efter den foregående Powerpoint-slide slet ikke føler sig overbevist. Vi præsenterer næste del af opgaven for ham, hvor Magnus viser, at den passer med endnu et eksempel (n = 2). Har Magnus nu bevist sin påstand? Charles synes, at to eksempler virker en smule mere overbevisende og siger: indtil videre har han bevist sin påstand, for jeg kan ikke modbevise den. Vi griber bolden og spørger: Så du mener altså, at når ikke du kan modbevise det, så må han have bevist det? Han svarer hurtigt nej, men han føler sig alligevel overbevist om, at det er rigtigt, hvis påstanden gælder for endnu et eksempel. Vi viser ham, at det sørme også gælder for n = 3. Charles siger: Ok ja så … så har han vel (læs: bevist sin påstand). Han virker nu alligevel lidt undrende og spørger atter til, hvad nu et primtal er for noget. Han har tydeligvis stadig ikke forstået, hvad det er, og vi bliver nødt til igen at forklare det. Herefter begynder han selv så småt at regne og finder ud af, at hvis n = 4 så bliver resultatet 9, hvilket følges af kommentaren: I sagde lige, at 9 ikke var et primtal, så går den jo ikke. Så den er jo ikke sand. Vi konfronterer ham med hans tidligere udtalelse om, at hvis bare han havde 3 eksempler, så var han overbevist. Charles: Ja, men nu er jeg ikke overbevist 113 længere, for nu har jeg lige fået styr på, hvad et primtal var. Vi viser ham en lang række andre eksempler, der bekræfter påstanden og spørger, om de kan få ham til at ændre holdning, men det kan de ikke Vi samler herefter op på de 2 første opgaver og spørger, hvad han synes om måden Magnus og Jonas beviser deres påstande på: Charles: De er ikke så plausible vel? Igen.. man skal generalisere lidt mere. Det er jo ikke så konkret når man bare prøver med nogle forskellige tal. Magnus godt eksempel … så dårligt eksempel .. bum Vi går videre til næste opgave (opgave 3), som handler om bevisførelse i et virkelighedsnært eksempel. Politiet skal vise, at én bestemt person har begået røveri i danske bank. Charles bruger en del tid på at læse de foreliggende tekster, hvorefter han spørger: Det er et lidt underligt spørgsmål det her. Kan man overhovedet sammenligne det her med matematik? Han er tydeligvis forstyrret af, at vi bryder den didaktiske kontrakt. Han kan godt se, som han siger, pointen i at en påstand (her mener han nok et eksempel) ikke gælder for alting og sådan noget, men synes ikke, at det er et særlig relevant eksempel. Vi gør ikke så meget ud af disse opgaver, da han lader til at have godt styr på, hvad der skal til for at eftervise og modbevise en påstand også i et ”virkelighedsnært” eksempel. I den efterfølgende opgave (opgave 7), der skal han forholde sig til en række ”opskrifter” og påstanden om, at disse ”opskrifter” resulterer i et bestemt tal. Charles indleder med at regne et konkret taleksempel og ser, at det stemmer overens med påstanden. Han tænker over en måde, hvorpå det kommer til at stemme overens med mange flere, men kommer ikke rigtig videre. Han udregner 2 eksempler mere, der også stemmer overens med påstanden. Da Charles stadig har svært ved at finde frem til en metode, der skal vise, at påstanden er rigtig for alle tal, hjælper vi ham lidt på vej og spørger: ”hvis du nu skulle generalisere og vælge det første tal. Hvad kunne du så kalde det?” Charles svarer med det samme: n. Da vi så spørger, hvad det næste hedder, siger han n streg. Han indser ikke umiddelbart, at det selvfølgelig må være n + 1. Den efterfølgende sekvens bærer præg af meget stor algebraisk usikkerhed, og det er kun med meget stor hjælp, at han kommer i mål med sit bevis. Alle de afgørende skridt bliver foretaget med hjælp fra os. Vi beder derefter Charles om at vise påstanden for opskrift 2. Han sidder længe og tænker over det, og har tydeligvis svært ved at forstå, hvad han bliver bedt om at gøre. Hans problemer med at forstå den matematiske tekst og herved hans problemer med kommunikationskompetencen kommer virkelig til udtryk. Vi bliver nødt til at gennemgå et konkret eksempel med ham meget grundigt, så han forstår, hvad han skal gøre i de enkelte trin. Da han herefter skal prøve at vise påstanden generelt, går det galt. Belært af forrige opgave ved han godt, at det mindste tal svarer til n, det midterste tal til 𝑛 + 1 og det største tal til 𝑛 + 2. Men da han så skal skrive et udtryk for ”det mindste tal ganget med sig selv” siger han, at det må være 𝑛𝑛 . Vi stopper og korrekser, men han indser ikke, at det er forkert, før vi fortæller ham, at 3 ganget med 3 ikke er det samme som 33 . Han fortsætter og mener, at ”det største tal ganget med sig selv” svarer til 𝑛2 + 2. Dette skal også rettes og som i den forrige opskrift, er det kun med meget stor hjælp, at han kommer i mål med sit bevis. Vi nåede desværre ikke mere med Charles. Hvad har han så fået ud af interventionen? Han er fuldstændig klar over, at bare ét modeksempel fælder en generel påstand og han er også godt klar over, at man ikke kan vise generelle påstande ud fra enkelteksempler. Det skal dog nævnes, at han i eksemplet med Magnus’ påstand synes at være overbevist efter 3 eksempler, men her kan man måske læne sig op ad Harel & Sowders opdeling af et bevis i to dele 114 ascertaining (overbevise sig selv) og persuading (overbevise andre). Således er Charles overbevist efter 3 eksempler, men muligvis føler han ikke, at det er bevist herved. Der mangler det andet ben persuading. Hans store problem er selv at agere som bevisfører, dvs. selv at udføre et bevis. Han er med på, at det er nødvendigt at træde ind i symbolverdenen, hvis en generel påstand skal bevises, men det er ikke en verden han befinder sig særlig godt i. Han kan simpelthen ikke komme i mål, fordi han ikke kan huske eller evner at anvende simple algebraiske regneregler. Hvis man skulle hjælpe sådan én som ham, er det vigtigste formentlig at lære ham algebra. Dette er nøglen til, at han kan udvikle det komplette deduktive bevisskema. Intervention af Keith Som tidligere nævnt, så veksler Keith mellem et ydre autoritært bevisskema og et empirisk induktivt bevisskema. Interventionsopgaverne er designet sådan, at vi ville forsøge at ”lokke eleverne i fælden” forstået på den måde, at de i nogle opgaver tilkendegiver at de empiriske beviser er gode nok. Det var så vores idé, at de vha. en konflikt kunne se, at dette ikke er tilfældet. Keith svarer ikke helt som forventet på første opgave, idet han siger, at Jonas’ påstand giver mening, men ”om det bevidst er et bevis, det vil jeg (Red: Keith) ikke sige om det er.” Og Keith fortsætter: ”..men han (Red: Jonas) har i hvert fald fundet nogle tal som passer, og som kan underbygge hans påstand.” Keith finder derefter 3 tal og regner påstanden igennem og finder en modstrid. Til dette konkluderer Keith at ”det (Red: Jonas’ bevis) er ikke rigtigt et bevis.” Det tyder altså på, at Keith forstår, at såfremt han kan finde et modeksempel, så kan Jonas’ bevis ikke være rigtigt. Keith fortsætter derefter til opgave 2 omhandlende Magnus’ påstand om primtal. Han læser opgaven og konkluderer efter empirisk bevis ved et eksempel, at Magnus’ ikke har bevist påstanden endnu. Keith læser så Magnus’ næste ”bevis” og Keith konkluderer nu at ”så er det lidt mere troværdigt.” Keith tøver nu og er lige ved at sige, at det er et bevis, men retter sig selv og siger: ”nej, det ligner ikke et bevis.” Intervieweren spørger nu, hvad et bevis for Keith vil være, og dertil svarer Keith: ”det skulle være mere troværdigt.” Keith fortsætter: ”Det virker for mig som om, han bare har sagt ’nu prøver jeg med en og to’, og det kan være at den tredje også passer, og den fjerde, men den femte…der er så mange muligheder.” Keith ser altså nu ikke ud til at tro på empiriske beviser. Vi fortsætter derfor med eksempler der passer med Magnus’ påstand. Da Keith ser tredje eksempel begynder han at blive overbevist om påstanden. Adspurgt om påstanden nu er bevist (vha. 3 eksempler) tøver Keith meget, men svarer at han ikke kan være sikker på, at påstanden er bevist. Keith får nu forevist de 4 næste eksempler som ser ud til at være tilfældigt valgte tal, og nu siger Keith: ”Det ser ud til at være et godt bevis.” Han nævner, at jo flere eksempler jo mere troværdigt er det, og siger: ”men det kræver også, at du har dem (Red: de 4 tilfældige eksempler) med.” Det ser altså ud til, at vi nu har ”fået lokket Keith i fælden”, og det understøtter os i den tidligere diagnose om, at Keith har et empirisk induktivt bevisskema som afhænger af ”crucial experiments”. Keith kan ikke svare, når han spørges om, hvor mange tal Magnus skal forsøge med før påstanden er bevist. Men det er tydeligt vigtigt for ham, at 115 tallene ligger lidt spredt og han siger: ”måske skal de bare vælges med lidt større interval i stedet for at lave tre efter hinanden.” Keith regner nu på sit eget eksempel og finder igen en modstrid, og han konkluderer, at Magnus alligevel ikke har bevist. Hans overordnede konklusion til Jonas’ og Magnus’ bevis metoder er, at ”man må regne efter” - altså at man ikke kan stole på et empirisk bevis. Endvidere tilkendegiver han ved nærmere snak med intervieweren, at såfremt han havde valgt et eksempel som også passede med Magnus’ påstand, så havde han stadig ikke bevist påstanden. Det er derfor vores konklusion, at vi ved hjælp af vores spørgsmål og skabelsen af den kognitive konflikt har fået Keith til at indse, at man ikke kan stole på et ”bevis” bestående af eksempler, og at man ikke kan bevise en påstand blot ved at prøve sig frem. Dette understøttes senere i interventionen i opgave 5, hvor han i den sidste opgave om røveriet svarer korrekt, nemlig at politiet ikke har bevist deres påstand. I opgave 3 om røveriet i Sønderjylland svarer Keith korrekt på alle delopgaver. I første opgaver mener Keith ikke, at politiet har bevist at Bent er røveren, og i anden opgave mener han, at et modeksempel er nok til at modbevise en påstand. Keith er også i stand til føre sin konklusion om modbeviset i opgave 3 over på opgave 4 og konkludere, at ét modeksempel er nok til at modbevise Magnus’ påstand. Det er derfor vores konklusion, at han har forstået modeksemplets betydning. I opgave 6 om talopskrifterne holdt vi os af tidsmæssige årsager til den første opskrift. Keith prøver med tre eksempler, som alle opfylder påstanden. Adspurgt om han tror på påstanden, så svarer han, at påstanden godt kunne være rigtigt, men han er ikke overbevist. Han siger bl.a. ”jeg ved ikke, om der er et modbevis.” Keith mener altså ikke, at påstanden er bevist. Intervieweren spørger nu, hvordan Keith eventuelt vil bevise påstanden, såfremt den er rigtig. Og her siger Keith, at ”så skal vi forsøge med en generel formel.” Keith ved altså godt, at der skal et generelt bevis til, men han kommer ikke med forslaget om at indføre en variabel. Han skal ydermere have lidt hjælp til at lave beviset, men da beviset er lavet, så har Keith forstået, at han nu sidder med et korrekt bevis. Det er derfor igen vores konklusion, at han har fået en bedre forståelse for, hvad et korrekt bevis er. I sidste opgave om antallet af diagonaler i regulære polygoner starter Keith med at tegne og tælle sig frem. I starten tegner Keith lidt tilfældigt, men fra 6-kanten begynder Keith at tegne mere systematisk. Det var vores håb med opgaven, at eleverne på et tidspunkt selv får lyst og er i stand til at formulere en påstand, og Keith nævner da også, at opgaven bliver lidt ensformig. Han tegner dog lystigt videre og får tegnet diagonaler i alle figurer. Keith går dog lidt død i den sidste figur, og da intervieweren siger, at Keith ikke behøver at tegne diagonalerne såfremt han kan svare på en anden måde, begynder Keith at tænke over problemet. Han nævner, at der er ”system i det”. Han prøver i starten at opstille en måde at regne problemet på, hvilket var det vi ønskede med opgaven, men han kommer i første omgang ikke frem til den rigtige formel. Han regner sig dog frem til, at sidste figur som er en 10-kant har 35 diagonaler, hvilket er korrekt. Det kniber dog igen med at forklare metoden, altså viser det endnu engang at Keith har vanskelligheder inden for kommunikationskompetencen. Vi har af tidsmæssige årsager desværre ikke haft tid til yderligere intervention. Men på baggrund af interventionssessionen er det vores overbevisning, at det er gået op for Keith, at empiriske beviser ikke dur som argumentation for en påstands gyldighed. Endvidere har vi forsøgt at skabe et behov hos ham for beviser, så han opdager, at de er nødvendige. Keith har dog stadig mange vanskeligheder inden for 116 kommunikationskompetencen, men bestemt også inden for ræsonnementskompetencen. Han vil nok stadig ikke selv kunne gennemføre et bevis, men det vi tror, at Keith har fået en større forståelse for hvad et bevis er, og hvad der skal til for at bevise en påstand. Konklusion Når vi kaster et blik på de forgangne måneder, er det interessant at se den udvikling vores tre elever har været igennem. CS havde allerede inden detektionstest 2 en ide om, at vores tre elever ville være egnede kandidater til projektet. De havde undervejs i undervisningen en gang i efteråret udtrykt, at de havde problemer med de mange beviser, der optræder i gymnasiet især på A-niveau. Hvad var ideen med dem, og hvorfor var eksempler ikke nok? Som det ses på den overordnede fejlprocent var det Keith, der havde de største problemer målt ud fra detekstionstest 2. Keith og James havde problemer med at evaluere påstande og argumenter samt opgaver med modeksempler, hvorimod det gik nogenlunde for Charles i disse. Han havde derimod umiddelbart problemer i andre kategorier såsom ligninger, algebra og med at begrunde en påstand. Ud fra vores første interview med James fandt vi nærmere ud af, hvilke problemer han havde med at begrunde en påstand. I spørgsmålene om bruttonationalprodukt i DK/USA og kvinder på cafébesøg, havde han vanskelligt ved at komme med en valid og sammenhængende forklaring, hvorved han afslørede vanskelligheder med kommunikationskompetencen. I spørgsmål, der omhandler universalpåstande, vælger han generelt en empirisk begrundelse, hvis han har mulighed for det (jfr. opgave 15 om terningen) eller også stoler han på, noget han tidligere har lært (jfr. opgave 6 om kvadratsætningerne). Således vekslede han mellem et empirisk induktivt bevisskema og et ydre autoritært bevisskema alt afhængigt af opgavetypen. Da vi spurgte ham om spørgsmål indenfor modeksempler demonstrerede han både mangler (jfr. opgave 19 om de geometriske figurer, hvor han markerede alle figurer på nær én) og gode færdigheder (jfr. opgave 4 om påstanden 𝑎2 ≥ 𝑎), så det var vanskelligt at stille en endelig diagnose i forhold til, hvor god han var til at forstå modeksemplets magt. I første interviewet med Charles, viser det sig, at han ligner James på flere områder. I spørgsmålet om bruttonationalprodukt i DK/USA havde han også vanskelligt med at komme med en valid og sammenhængende forklaring. Undervejs i samtalen blev det klart, at han er fuldt ud bevidst om sine kommunikative mangler. Det er vel nærmest et ’belief’, når han siger: ”jeg er dårlig til at forklare det”. I spørgsmål, der omhandler universalpåstande, vælger han ofte en empirisk begrundelse (som den i spørgsmål 15 om terningen), men noget peger i retning af, at han godt ved dog, at denne metode ikke er tilstrækkelig, hvis man skal overbevise andre. Således bliver det interessant at undersøge, om han har et egentligt empirisk induktivt bevisskema eller om det i stedet er mere deduktivt. Keith var den elev med de største udfordringer. I første interview viser han problemer med både ræsonnementskompetencen og kommunikationskompetencen, hvilket bl.a. viser sig i opgave 8 og 10, hvor han ikke forstår alle spørgsmål, og hvor han bagefter har problemer med at formulere et svar. Netop problemet med at forstå spørgsmål viser sig flere steder, og Keith udtaler bl.a.: ”Generelt synes jeg de fleste spørgsmål var meget udfordrende formuleret.” Keith har desuden problemer med symbol- og formalismekompetencen jfr. spørgsmål 18, hvor han viser store aritmetiske problemer. 117 Når det kommer til opgaver om universalpåstande veksler Keith (ligesom James) mellem et empirisk induktivt bevisskema og et ydre autoritært bevisskema afhængig af opgavetype. Flere gange begrunder han en påstand med, ”at det kan han huske fra tidligere undervisning” (Red: og dermed er det verificeret). I spørgsmål 18 har Keith ikke overvejet muligheden for, at der kan være flere korrekte svar. Dette kunne tyde på, at han har en matematikforestilling om, at et matematisk spørgsmål har netop et svar. På baggrund af denne foreløbige diagnose fra første interview med hver af de tre elever opstillede vi følgende problemformulering: "På hvilken måde påvirker elevernes matematikforestillinger og bevisskemaer deres evne til at evaluere og udføre beviser og ræsonnementer? Hvordan kan en intervention rettet mod elevernes bevisskemaer forbedre denne evne?" Efter at have været igennem anden diagnosedel og intervention kan vi drage følgende konklusion på problemformuleringen: Det tyder ikke på, at James’ og Charles’ matematikforestillinger er nogen væsentlig hindring for deres forståelse af beviser og ræsonnementer. Keith derimod har en matematikforestilling gående på, at beviser nærmest er irrelevante, og han forstår ikke meningen med disse. Dette er en udfordring for ham i forhold til at lære at lave og evaluere beviser, og ydermere er dette en stor motivationsbarriere. Kigger vi på elevernes bevisskemaer, så blev vi i anden diagnosedel yderligere bekræftet i, at James har et empirisk induktivt bevisskema. Dette giver problemer med at udføre beviser, da han ikke ved, hvad der kræves. Ydermere giver det også problemer med at evaluere et bevis. James ved simpelthen ikke, hvornår han ser et korrekt bevis, og hvornår han blot ser et par eksempler, som passer med en givet påstand. Det samme er tilfældet med Keith. Anden diagnosedel viste for Charles’ vedkommende, at han havde et deduktivt transformativt bevisskema. Her lå problemet ved beviser nærmere i, at han ikke selv var i stand til at lave beviser. Hans problemer ligger i højere grad forankret i symbol- og formalismekompetencen, som er en stor hæmsko for ham. Vi designede en intervention, der ved hjælp af eksempler og modargumenter skulle rykke elevernes bevisskemaer fra det empiriske induktive til det deduktive. Desuden designede vi nogle opgaver, så eleverne skulle føle et behov for bevisførelse. For James’ vedkommende fungerede dette rigtig godt. Til slut i interventionen gik der et lys op for ham, og det er vores betragtning, at han indså nødvendigheden og behovet for et bevis og han bliver i lette tilfælde i stand til at udføre det selv. Det ser altså ud til, at i hvert fald James og Charles har fundet ud af at empiriske eksempler er et fint udgangspunkt, men ikke er nok som bevis. For James’ vedkommende er der måske også blevet flyttet lidt på nogle beliefs, der stred lidt mod hinanden, idet James tidligere mente både at matematik bare var formelgymnastik og udenadslære men på den anden side fandt beviser nødvendige dog mest for andre og trommedansens skyld. Imens interventionen har hjulpet James, så har den nok ikke forbedre Charles’ evne til bevisførelse væsentligt. Her skulle vi i bakspejlet have interveneret mere i retning af symbol- og formalismekompetencen. Med hensyn til Keith så ser det ud til, at vi er lykkedes med at få ham til at indse, at beviser med empiriske eksempler ikke dur. Han opnår dog undervejs i interventionen ikke helt kompetence i selv at tage skridtet 118 til at indføre variable og dermed generalisere en påstand og bevise den, idet han stadig skal puffes til og hjælpes. Hvis tiden tillod det, kunne yderligere intervention nok rykke ham på dette felt. Det har heldigvis været tydeligt, at eleverne (nogle bedre end andre) på trods af problemer med f.eks. at reducere har lært at afdække de bærende ideer i lette beviser og kan skelne mellem hovedideer og teknikaliteter. Det vil sige, at de også på dette område udviklet sig indenfor ræsonnementskompetencen. Eleverne har også rykket sig på kommunikations- samt tankegangskompetencen, idet de er blevet bedre til at udtrykke sig i og om matematik på visse områder. De havde i begyndelsen ret svært ved at forklare, at finde ord for deres tanker, men efterhånden som projektet skred frem, blev de bedre og bedre til at forklare, hvad de tænkte og til at læse og forstå de opgaver, som vi stillede dem. Vi håber og tror, at deres aktionsradius omkring bevisførelse er blevet udvidet, omend deres tekniske niveau i andre kompetencer f.eks. symbol- og formalismekompetencen kan spænde ben for, hvor godt det går med bevisførelsen fremover. Perspektivering Vi har ikke behandlet de sociomatematiske normer i vores projekt, men alligevel kan vi ikke lade være med at nævne det og overveje, om det var en vej man i et videre arbejde skulle forfølge. Eleverne på vores to skoler er ofte fra intellektuelt velstimulerede hjem og ved derfor, at man til spørgsmål aldrig svarer "Kan ikke svare", når der er de tre muligheder ”Ja”, ”Nej” og ”Kan ikke svare”. Chancen for at ramme rigtig stiger voldsomt ved at udelukke det absolut "forkerte" svar. De kan, selvom vi siger at deres svar ikke har betydning for deres karakter i almindelighed i faget, ikke helt se bort fra vores tilstedeværelse under interview og i besvarelser af opgaver. Selv om det ikke er deres egen lærer, der interviewer dem, så kender de godt forventningerne og er temmelig dygtige til at afkode kropssprog, ansigtsmimik, toneleje, spørgeteknik osv. James giver et meget tydelig eksempel herpå i besvarelsen af "Hvilket bevis ville du vælge, hvis du skulle overbevise en lærer?" James: Hvis jeg skulle overbevise en lærer (griner). I en prøvesituation - for at blære sig - så ville jeg måske vælge Simons bevis og stadig tage det mest simple Jespers bevis. Han vil stadig tage taleksemplet for det er det, han forstår bedst selv i hvert fald inden interventionen, men han er udmærket klar over, hvad det er for en vare læreren efterspørger. Det tilsvarende gør sig gældende undervejs i diverse interviews, hvor eleverne svarer på en måde, som er korrekt, men hvor man alligevel sidder med en fornemmelse af, at de ikke selv er helt med på, hvad det er de sidder og siger - lidt som når der harpuneres i timen og går til tavlen med sidemandens opgavebesvarelse. Endelig kunne det være interessant at gøre noget ved deres problemer i forhold til 1. semester projekt og se hvilken betydning en intervention rettet mod f.eks. reduktionsproblemer, ligningsløsning mv. kunne have af indflydelse på deres ræsonnements- og tankegangskompetencer. 119 Bilag – miniprojekt 2 Dette er en bilagssamling til projekt 2. Bilag 1 Detektionstest 2: 23 Spørgsmål fra Professoren Her er 23 spørgsmål fra professoren. Det er meget vigtigt for vores undersøgelse, at du svarer på alle spørgsmålene, også hvis der skulle være nogle du ikke synes du kan gøre noget ved. På forhånd stor tak for hjælpen! Spørgsmål 1 I matematik er ethvert kvadrat et rektangel, og ethvert rektangel er en firkant. Er det så korrekt, at enhver firkant er et kvadrat? Ja: Nej: Sommetider: Jeg kan ikke svare: Spørgsmål 2 Begrund, at der ikke findes nogen løsning til ligningen 38𝑥 + 72 = 38𝑥. Spørgsmål 3 Begrund, at ethvert tal er løsning til ligningen 3𝑥 − 𝑥 = 2𝑥. 120 Spørgsmål 4 Søren siger, at når man ganger et tal, 𝑎, med et andet tal, 𝑏, bliver resultatet altid større end 𝑎. Hvilke(t) af følgende svar til Søren anser du for korrekt(e): a) b) c) d) Ja, det har du ret i. 1 Nej, for hvis man ganger f.eks. 4 med 2 får vi som resultat 2, der jo er mindre end 4. For det meste har du ret, men der er nogle få undtagelser. Nej, for hvis man f.eks. ganger 10 med −5 får man −50, som jo er mindre end 10. Spørgsmål 5 Det følgende skal forestille et bevis for at ethvert tal er lig med 0. ”Vi ser på et vilkårligt tal 𝑎 og sætter 𝑏 = 𝑎. Ved at gange med 𝑎 på begge sider af lighedstegnet får vi 𝑎𝑏 = 𝑎2 . Så kan vi udregne 𝑎(𝑏 − 𝑎) = 𝑎𝑏 − 𝑎2 = 0 (da vi har 𝑎𝑏 = 𝑎2 ). Da 0 gange hvad som helst (f.eks. 𝑏 − 𝑎) er 0, er 0 = 0 ∙ (𝑏 − 𝑎), som sættes ind ovenfor, så vi får 𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑎) = 0 = 0 ∙ (𝑏 − 𝑎). Nu kan vi dividere med 𝑏 − 𝑎 på begge sider af lighedstegnet. Tilbage står 𝑎 = 0. Da 𝑎 var vilkårligt valgt er ethvert tal lig med 0.” a) Er det sandt, at ethvert tal er lig med 0? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: b) Er det anførte bevis korrekt? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: c) Hvis du mener, at det anførte bevis er ukorrekt, hvad er så galt med det? Spørgsmål 6 Anser du følgende argument for holdbart: ”Det passer aldrig, at (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 𝑦 2, for vi ved jo, at der altid gælder (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 .” Ja: Nej: Måske: Jeg kan ikke svare: 121 Spørgsmål 7 Hvorfor er det forbudt at dividere et tal, 𝑡, med 0? a) Fordi, det har man nu engang vedtaget. b) Fordi der ikke findes noget tal der ganget med 0 giver 𝑡. c) Fordi der ikke findes noget tal der ganget med 0 giver 𝑡, med mindre 𝑡 selv er 0, og så vil alle tal kunne bruges. Spørgsmål 8 Vurdér følgende ræsonnement: ”I 2010 var nationalproduktet pr. indbygger ca. 47000 $ i USA og ca. 37000 $ i Danmark. Taget under ét for de to lande var nationalproduktet pr. indbygger derfor (47000+37000)/2 = 42000 $.” Spørgsmål 9 Vi ved, at en ligning af formen 𝑦 = 𝑎𝑥 (hvor 𝑎 er en konstant) giver en ret linje gennem (0,0) i et koordinatsystem. Er det så rigtigt at påstå, at enhver ret linje gennem (0,0) har en ligning af formen 𝑦 = 𝑎𝑥, hvor 𝑎 er en konstant? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Giv en kort begrundelse for dit svar. Spørgsmål 10 Lad os antage, at 80% af gæsterne på caféer er piger/kvinder. Er det så korrekt, at 80% af pigerne/kvinderne går på café? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Giv en kort begrundelse for dit svar. Spørgsmål 11 Et dansk folketingsmedlem udtalte i en folketingsdebat i 1999 følgende: ”Når 39% af den mandlige befolkning og 30% af den kvindelige befolkning aldrig kommer på bibliotekerne, vil det sige, at i alt 69% af hele befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne.” Vurdér denne påstand. 122 Spørgsmål 12 Et førstegradspolynomium er for alle tal 𝑥 givet ved forskriften 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, hvor 𝑎 ikke er 0. Er 𝑓(𝑥) = 0𝑥 − 2 et førstegradspolynomium? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Giv en kort begrundelse for dit svar. Spørgsmål 13 Et kvadrat er et rektangel, hvor alle fire sider er lige lange. Er ethvert kvadrat et rektangel? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Spørgsmål 14 Er ethvert rektangel også et kvadrat? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Spørgsmål 15 Søren siger, at hvis man laver en ny cirkel ved at halvere diameteren i en cirkel, har den nye cirkel både halvt så stor en omkreds og halvt så stort et areal som den oprindelige. Har Søren ret? 2d d Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Giv en kort begrundelse for dit svar. 123 Spørgsmål 16 Susanne siger, at hvis man laver en ny terning ved at fordoble længden af alle kanterne i en terning, har den nye terning et otte gange så stort rumfang som den oprindelige. Har Susanne ret? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Giv en kort begrundelse for dit svar. Spørgsmål 17 En taxa i Århus tager et startgebyr på kr. 30,00 og kr. 7,30 pr. kørt kilometer. Ali skal køre 10 kilometer med taxa i Århus og Aya skal køre 20 kilometer. Er det rigtigt at Aya skal betale dobbelt så meget som Ali? Ja: Giv en kort begrundelse for dit svar. Nej: Jeg kan ikke svare: Spørgsmål 18 Aya siger, at der for alle reelle tal gælder, at 𝑎2 ≥ 𝑎. Hvilke af følgende værdier af 𝑎 kan bruges til at vise, at dette udsagn er falsk? a) b) c) d) e) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 = −2 =0 1 = 10 =1 = 0,2 Spørgsmål 19 Søren siger, at hvis en 4-sidet figur har fire lige lange sider, så er figuren et kvadrat. Hvilken af de følgende figurer kan eventuelt bruges til at vise, at Søren ikke har ret? 124 Spørgsmål 20 Aya og Ali betragter tallene 3 og 11. De bemærker, at deres sum (3 + 11) er et lige tal, mens deres produkt (3 ∙ 11) er et ulige tal. Aya siger: ”Hvis summen af to heltal er lige, så er deres produkt ulige.” Ali siger: ”Hvis produktet af to heltal er ulige, så er deres sum lige.” Er indholdet i Ayas og Alis udsagn det samme? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Spørgsmål 21 Nedenstående figur udgør et bevis for at en trekants vinkelsum altid er 180° , hvilket ses ved at trekantens vinkelsum er 𝑢 + 𝑣 + 𝑤, den samme sum som ved den øverste linje, hvor summen klart er lig 180° . u w v w u Har vi bevist at alle trekanter har en vinkelsum på 180° ? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Eller bliver vi nødt til at måle på de konkrete trekanter, som vi betragter? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Spørgsmål 22 Tallet 7 er den mest sandsynlige sum ved kast med to terninger. Hvordan kan man begrunde, at det forholder sig sådan? 125 Spørgsmål 23 Vi vil nu bevise, at en 𝑛’te del, altså skal være. 1 𝑛 , hvor 𝑛 er et positivt helt tal, kan blive så lille et tal som det 1 Antag, at der findes en mindste 𝑛’te del, som vi kalder 𝑁 , hvor 𝑁 er et positivt helt tal. Men hvis 1 1 1 vi nu lægger 1 til i nævneren, altså 𝑁+1 , så vil der jo gælde, at 𝑁+1 < 𝑁 . Altså må vores antagelse være forkert, hvilket betyder, at der ikke findes en mindste 𝑛’te del. Er du enig i at ovenstående er et bevis for at en 𝑛’te del kan blive så lille som det skal være? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: 126 Bilag 2 Vurdering af spørgsmål og svarmuligheder og gennemgang af pointgivning: Vi giver i det følgende en grundig gennemgang af vores vurdering af spørgsmål, svar og pointgivning i spørgsmålene i detektionstest 2. Vi blev enige om, at vi som i detektionstest 1 som hovedregel ville give 1 point for rigtige svar og 0 point for forkerte. Samtidig blev vi dog enige om noget fleksibilitet i flere af spørgsmålene f.eks. spørgsmål 2: I dette spørgsmål gav vi muligheden for at give ½ point. Dette blev givet en besvarelser, hvor eleven har svaret næsten korrekt forstået på den måde, at eleven enten har lavet en (for os vurderet mindre) detalje forkert undervejs eller eleven har ikke formået at komme helt i mål med opgaven men dog med en (for os vurderet) væsentlig del af opgaven. Denne mulighed for at give ½ point har vi også benyttet spørgsmål 3, 5c, 11 og 22. I spørgsmål 4 (se nedenunder) har vi givet point på følgende måde: Hvis og kun hvis eleven har svaret ”b)” og ”d)” har eleven fået 1 point. Hvis og kun hvis eleven har givet et svar og dette er enten ”b)” eller ”d)” har eleven fået ½ point. Hvis eleven blot vælger én forkert svarmulighed får eleven 0 point uanset, hvad eleven ellers har svaret. 127 I spørgsmål 18 har vi gjort på lignende måde: Her gav vi point således: Hvis og kun hvis eleven har svaret ”c)” og ”e)” har eleven fået 1 point. Hvis og kun hvis eleven har givet et svar og dette er enten ”c)” eller ”e)” har eleven fået ½ point. Hvis eleven blot vælger én forkert svarmulighed får eleven 0 point uanset, hvad eleven ellers har svaret. Spørgsmål 5 ser ud som følger: 128 Dette spørgsmål har vi valgt at anskue som værende 3 forskellige spørgsmål, dvs. 3 helt korrekte svar vil give 3 point. Vi har valgt dette idet vi mener, at de tre underspørgsmål med god mening kan stå alene. Vi finder det især yderst interessant at kunne se i vores svarark i Excel, om nogle elever svarer i modstrid med dem selv i spørgsmål a) og b). Altså hvis en elev svarer nej til ”at ethvert tal er lig med 0” men samtidig svarer ja til ”Er det anførte bevis korrekt?” Ydermere vil de tre underspørgsmål indgå i hver deres kategori i vores kategorisering (gennemgås senere i projektet). Samme begrundelse har vi i spørgsmål 21 (se nedenunder), hvor vi også har valgt at se på de to underspørgsmål som værende to individuelle spørgsmål. Igen finder vi det interessant, hvis elever svarer i modstrid med sig selv. Altså hvis en elev svarer ja til første underspørgsmål men samtidig mener, at vi er nødt til at måle de trekanter, som vi betragter. I alle øvrige spørgsmål hvori der indgår underspørgsmål, som f.eks. spørgsmål 9, har vi valgt at betragte spørgsmålet som et. 129 Vi har rettet dette spørgsmål samt spørgsmål 10, 12, 15, 16 og 17 således, at et fuldstændig korrekt svar på begge underspørgsmål giver 1 point, et fuldstændigt korrekt svar på det ene underspørgsmål men med fejl/mangler i det andet giver ½ point og hvis ingen af de to underspørgsmål er korrekte gives 0 point. Vores begrundelse for at rette således er, at mange elever vil kunne klare første underspørgsmål, som består af en multiple-choice opgave, imens eleven ofte vil have svært ved at give en korrekt begrundelse i andet delspørgsmål. Ved at rette på denne måde fremgår det af vores retteark, hvilke elever der har denne type fejl. 130 Bilag 3: Resultater for klassen 1gMA (CS) - 26 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 131 Bilag 4: Resultater for klassen 1gMA (AK) - 29 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 132 Bilag 5: Resultater for klassen 1gMa (AK) - 15 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 133 Bilag 6: Resultater for klassen 2gMA (KPM) - 22 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 134 Bilag 7: Resultater for klassen 2gMa Valg (KPM) - 22 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 135 Bilag 8: Resultater for klassen 2gMa (CS) - 27 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 136 Bilag 9: Sammenligning af klassernes andel af rigtige svar i alle opgaver: 137 Bilag 10 Transskription af første interview med James: Spørgsmål 8 BNP USA DK James har vurderet i besvarelsen af testen at hvis DK og USA var et og samme land så ville nationalproduktet pr. indbygger være 42000. Han forklarer at de skal lægges sammen og divideres med to fordi der er to lande. CS: Ved du hvor mange mennesker der bor i USA i forhold til Danmark? James: Der bor 176 -177 mill. i USA. CS: (afbryder) Ja i hvert fald mange flere end i Danmark. Tror du det har nogen betydning? James: Det tror jeg ikke, for det er jo taget pr indbygger. (De er bare flere mennesker, men det har ikke indvirkning på tallet). Spørgsmål 10 cafeer og kvindelige gæster James har svaret at Nej, fordi det betyder bare at 80 % af gæsterne er kvinder og 20 % er mænd. James: Men hvor er så de sidste 20 % kvinder henne? CS afbryder: Hvis vi gik på Emmerys nu, så ville 80 % af gæsterne nok være kvinder og så må der være 20 % der er mænd og så siger du at så er det ikke rigtigt at 80 % af alle kvinder går på cafe - hvorfor det? James: Det er svært at forklare...lang tænkepause. Men så skulle de 80 %....øh... CS: bare sig hvad du tænker. James: Jeg tænker ikke så meget. Når man ser spørgsmålet så er det virkeligt simpelt at det ikke er sådan, men virkelig svært at forklare. Spørgsmål 11 Biblioteker kvinder Nej der er flere mænd end kvinder i Danmark Derfor kan du ikke lægge procenterne sammen. CS: Hvis vi nu finder et land hvor der er lige mange mænd og kvinder. James: Ja så kan vi godt CS: Hvad hvis det nu var 80 % af mændene og 50% af kvinderne der aldrig kom på biblioteket. 138 James: (griner) Nej så kunne man ikke. Kun hvis det er under 50 %...eh nej. Det kan man slet ikke. Du bliver nødt til at lægge dem sammen og så dividere med to...procenterne. Eller hvad? CS: Ja hvis der var lige mange (af hver køn) Spørgsmål 15 To cirkler hvor den ene har den halve diameter af den anden. Omkredsen og arealet halveres. James har svaret nej. Cirkler vokser ikke på samme måde som rektangler. ca. 6.50 og meget svært at forstå James: formlen for omkredsen er 0,5 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟. CS: Retter til 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟. Nej når du ganger radius med pi som er et tal med en hel masse decimaler på, så hænger det ikke sammen med det bliver halvt så stort. CS: Omkredsen? James: 2 ∙ 𝜋 ∙ 2diameter. Radius er så 1. to gang pi gange en halv. Eller to gange 3.14 cirka. Den er 4 gange mindre end den anden. CS (Tøver): ..Nej 2 og pi er de samme (i ligningerne). Vi finder ud af sammen at omkredsen bliver det halve i den cirkel hvor diameteren er halveret. James: OK. Og formlen for arealet, hvad er den? CS: 𝜋 ∙ 𝑟 2 . James: Vælger r= 2 og så står der pi gange 4.og den anden så er radius 1, så Pi gange to. CS nej 1. James: nå ja det er en. pi gange 1. Det er igen det samme. CS (bryder ind for at få klaring på hvad han mener): Først satte du r til 2, så giver det 4 pi fordi 2 i anden er 4. Så gjorde du r til det halve dvs. 1 og så er der pi gange 1 i anden og det er bare pi. Hvad hvis du skal se de to i forhold til hinanden? James: Ja, så er den (sidste) en fjerdedel af den (første). Så når diameteren bliver halveret så bliver arealet ikke. CS opsummerer. CS: Så det er rigtigt at der skal stå nej, men det har ikke noget med rektangler at gøre. Spørgsmål 16 Terning fordoble længden af alle kanter James har svaret ja (og ikke givet en begrundelse) CS: Hvorfor har du skrevet ja. 139 James: Hvis en terning har 1 cm på hver side, så er rumfanget 1 𝑐𝑚3 . Hvis vi fordobler det, så er det to på hver side og så er det 2 ∙ 2 ∙ 2 og det er 8𝑐𝑚3 . CS: Kunne det ikke være tilfældigt at det lige passe med de to tal? James: Nej, Sådan er det hver gang. CS: Sådan er det hver gang? Men hvordan kan man være sikker på det? James: Vi kan prøve med nogle andre tal fx 2 og 4. Vi finder ud af det passer. CS: Men hvordan kan vi vide at der lige pludselig ikke er et talsæt hvor det ikke duer. Og vi forsikrer James om at han har ret. Kasper: Det er svært at prøve med alle tal i hele verden. James: ...(tøver og tænker) CS: Kan du huske hvad det er man plejer at gøre når det er man skal lave sådan noget generelt noget? James (tøver og tænker): Vi kan bruge n eller x. CS Ja vi kan bruge et eller andet bogstav for sidelængden uden at angive hvilket tal det er. Vi tegner sammen på papir - en terning og kalder sidelængden for x. CS overtager en smule. CS: Så er vol eller rumfanget 𝑥 3 . CS: Så skal vi lave en der er det dobbelt, så hvad er sidelængden på den? James tænker. James: Den er 𝑥 2 . CS giver lyd og James retter til 2 gange x. og vi opsummerer lige og tegner den nye kasse med den dobbelte sidelængde. CS: Hvad er rumfanget. James: Det er 6x. CS:..........ikke helt, men hvad gør du for at finde det? James: Man ganger. CS: OK Prøv lige at skrive det op. James skriver op og tænker James: Men så får du 𝑥 6 . Nej 𝑥 3 . CS: Ja 𝑥 3 𝑜𝑔 ℎ 2 ∙ 2 ∙ 2. James: Det er 6, så er det 6x... nej 6𝑥 3 . Nej 8𝑥 3 . CS: Ja, så hvad kan vi så sige om volumenet? 140 Vi samler op på opgaven sammen og konkluderer (nok mest CS) at volumenet er 8 gange større når sidelængden fordobles og det ved vi med sikkerhed nu for vi har ikke regnet med et tal eksempel. Vi taler (CS :-)) lidt om de to opgaver - om at vi i spg. 15 bare skulle finde et tal eksempel for at modbevise Søren, men at vi for at vise at Susanne har ret skulle vise det generelt. Spørgsmål 17 Taxa James har svaret nej til om Aya skal betale dobbelt så meget som Ali. Og begrunder det med der er et startgebyr på 30kr. James: Hvis man bare tager de 7,30 kr for sig selv, så er det korrekt, men pga det her startgebyr, så kommer Ali til at betale mere i forhold til at han har kørt kortere. Spørgsmål 18 𝒂𝟐 ≥ 𝒂. Hvilke udsagn kan bruges til at vise det er falsk James har krydset a= -0,5, a= 1/10 samt a=0,2 af. Han forklarer at a=-0,5 i anden giver noget positivt, så den duer ikke. Og vi giver ham ret MEN det er forkert! 0,25 er større end -0,5!!! James: a=1/10. Det er det samme. 1/10 er også et negativt tal. CS: Negativt? James: nå nej. 0,1 i anden bliver mindre end 0,1. Og det samme med 0,2. CS: hvad kan du sige om a=0 og a=1? James: Det giver bare det samme på hver side (af lighedstegnet). Spørgsmål 19 figurer James har sat mærke i den alle på nær kvadratet. James: Jeg ved ikke lige med den og den, men den helt ude til højre, der kan de der er parallelle være lige lange eller 4. CS: det er alle 4. James: .... CS: Hvad kan du sige om vinklerne. James: De er to og to overfor hinanden lige store. CS: Er de rette? James: Nej det er de ikke. 141 Vi samler op sammen. CS taler og James nikker højlydt :-) CS: Hvad så med de to andre? James: Jeg ved ikke hvorfor den der (Han peget på femkanten) for der er siderne ikke lige lange. James fabulerer løseligt over rhombe til sidst og konkluderer at siderne ikke er lige lange, så den kan ikke bruges. Spørgsmål 20 Aya og ali 3 og 11 James har svaret nej til om indholdet er det samme, men ikke begrundet. James: De siger jo to forskellige ting, eller nej det gør de vel ikke - de siger præcis det samme. De har bare byttet rundt. CS: Ja så er spørgsmålet kan man det - kan man godt bare vende sætningerne om? James: Ja det kan man godt i det her tilfælde. (Tænker). Det kan man godt (tænker igen) Kasper: Hvad er så svaret på spørgsmålet. James: Det er ja, det er det samme. CS: Kan man altid vende sætninger om. James: Nej ikke altid men i det her tilfælde passer det. CS diskuterer det lidt og vi laver en analogi med regnvejr og paraply. Spørgsmål 4 a gange b bliver altid større end a James har krydset de to nej af dvs. b og d. James kommenterer alle 4 muligheder fornuftigt. James: c) For det meste har du ret, men der er nogle få undtagelser (oplæsning). Det kan man jo ikke sige i matematik for der er uendeligt med tal. Spørgsmål 5 Ethvert tal er lig med nul James har krydset af "Ja" - ethvert tal er lig med nul og ja til at beviset er korrekt James (Griner): Ethvert tal er lig med nul - men det er det jo ikke. Det er lidt dumt svaret, men da jeg læste det her spørgsmål - det forvirrede det mig sindssygt meget. Du får at vide en lang ligning og lige pludselig så 142 slutter den og så kommer du videre med noget helt andet hvor man ikke lige ved hvor man har lagt det gamle hen. James: Det giver egentlig bedre mening hvor jeg læser det nu. Vi taler lidt sammen og han skifter mening til at hvert tal ikke er lig med nul. James: Og er det anførte bevis korrekt? (læser op). James: Det er jo ikke korrekt at ethvert tal er lig med nul, så der må stå en eller anden fejl. Så er det bare lige at finde den fejl! Spørgsmål 6 James har svaret Ja til at det aldrig passer at ... James forklarer at han har svaret ja fordi han kan huske reglen om kvadratet på en toleddet størrelse. Han tænker. James: Hvis x og y var 1, så ville det godt kunne passe. James regner efter med lidt støtte og finder ud af at det alligevel ikke passer. Han tænker og CS kommer med et indspark. CS: Du er ikke helt off-road for du sidder og leder efter et tal der kunne vise at det der måske var rigtig. CS hjælper James på vej ved at påpege at forskellen på de to udtryk er 2xy og spørger hvilke tal vi skal vælge så det led forsvinder. James tænker. CS: Kunne der stå nul på nogen måde? Vi samtaler lidt om hvad det betyder at x og y er nul eller bare en af dem. CS forklarer mest og James lytter. Vi pointerer (og roser James for) at vi vil have dem til at huske den lange kvadratsætning som vi har terpet! James spørger ind til formlen. Skal lige være sikker på hvad det nu er vi sidder og roder med James: Siger du at hvis fx. x er nul så behøver jeg ikke bruge den her (og pege på de tre led). CS: Ja altså du kan sagtens bruge den stadigvæk, så står der bare nul der og der (peger på de to led der giver nul). Spørgsmål 2 James har svaret x er lig med nul. Hvis du trækker 38x fra venstre over på højre side trækker du 38 x fra 38x og får nul og 0x kan ikke være lig med 72. Vi hjælper lidt på vej. CS: Ja 0x kan ikke være lig 72. Men du har svaret to forskellige ting James: Men jeg har svaret forkert deroppe. Det skulle stå dernede eller det var bare et eksempel. CS: Hvis x=0 er det en rigtig løsning? James: Nej for så ville der stå 0+72=0 og der er ikke rigtig. Vi siger tak til James for interviewet. 143 Bilag 11 Transskription af første interview med Charles: Vi har valgt at interviewe Charles om besvarelse af Spørgsmål 8, 10,11,15,16,17,18,19,20,4,5,6 ,2, 3 og 12. Charles var (heller ikke) ikke frisk under interviewet Spørgsmål 8 BNP DK USA Charles har svaret at det er uklart da indbyggertal også spiller en rolle Charles: Jeg ved ikke om man kan sammenligne det på den måde for når man har nationalproduktet fra USA og Danmark, så kan det spille en rolle med indbyggertallet for der er langt flere mennesker i USA. Og så tænkte jeg ikke videre over den. CS: Ja det er rigtigt der er langt flere i USA. Så hvad betyder, det når man skal regne det ud? Vil du sige det er rigtigt eller forkert, det der står i spørgsmålet? Charles: Det vil jeg ikke sige er rigtigt, for der er jo også forskel på deres currency og alt det der. Jeg ved ikke om det har noget med det at gøre. CS: Fordi det er i dollars? Charles: nej, øh - Fordi er forskellighed over inddeling af penge, så at sige. Og nationalpoduktet er hvad de tjener af penge...ja øh hvad er det egentlig helt præcist? CS: Det betyder ikke så meget hvad det egentlig er men hvis det er på så og så mange milliarder dollars i USA og der er så og så mange indbyggere, så har de regner ud hvad det er pr indbygger. CS forklarer videre at det er tilsvarende i Danmark og peger på tallene i spørgsmålet. Og fortæller at det danske er omregnet til dollars for at det er til at sammenligne. Charles: Nu har jeg ikke regnet efter, så det kan sagtens være rigtigt, men jeg vidste bare ikke om... CS: Hvis du lægger de to tal sammen og dividerer med 2 så giver det 42000. Det er rigtig nok, men kan man gøre sådan? Du sagde der var noget med indbyggertallet? Charles: Det tror jeg ikke man ville kunne, nej, men jeg kan ikke helt se hvorfor. Spørgsmål 10 cafeer og kvindelige gæster Charles har svaret at Nej. De 80 % af kvinder/piger udgør cafeens måling og ikke decideret alle. CS: Det er korrekt at svaret er nej 144 Charles: Jeg er syg dårlig til at forklare mig med sådan noget, men det er jo åbenlyst, fordi at 80 % af de de går på cafe er piger/kvinder - det er jo bare 80 % af selve befolkningen eller 80 % af de personer der går på cafe. Men det er jo ikke ensbetydende med at 80 % af alle kvinder og piger går på cafe. Jeg er meget dårlig til at forklare det. CS: Du har en fornemmelse af at det ikke er rigtigt, men synes det er svært at argumentere for det? Charles: Ja det er jeg ikke så god til Spørgsmål 11 Biblioteker kvinder Damm!. Lad os sige at kønnet er delt 50/50 i DK: Altså 100 % kvinder og 100 % mænd=200% Tager han så 30% af kvinder og 39% af mænd Kvinder 100 % -30 % = 70 % Mænd 100 % - 39 % = 61 % Så mangler han dem her (Har sat én stor ring om 70 % og 61 %) Charles: Jeg kan sagtens se at det ikke er rigtigt jeg ved bare ikke hvordan jeg skal forklare det. CS: Nej, hvordan kan du se at det ikke er rigtigt? Hvad tænker du? Charles: Fordi det er jo ikke 30 % af hele befolkningen. Det er jo 30 % af kvinderne og 39 % af mændene, men man kan jo ikke bare lægge dem sammen. CS: Nu har du skrevet noget her med at hvis vi lægger alle mændene og kvinderne sammen så gav det 200 % Charles: Jeg ved ikke - Jeg tænkte bare.. CS: Jo det kan du godt, men hvad skal du så se de der 69 % i forhold til? Charles: 69 % ...(tænke..mumler). Det ved jeg ikke. De 69 procent svar vel bare til de mænd og kvinder der kommer... CS samler lidt op. Vi antager før det første for lige at gøre det lidt lettere at der er en 50/50 fordeling af mænd og kvinder i landet. Og de udgør 200 %. Så ser vi på hans skriverier hvor der står Kvinder 100 % -30 % =70% Mænd 100 % - 39 %=61 % Så mangler han dem her (Har sat én stor ring om 70 % og 61 %). Charles: Så mangler der jo de der procenter 145 CS: Hvis du nu lægger de to tal sammen (peger på 70 % og 61 %) Charles: 131 % CS: Hvad får du hvis du lægger 131 og 69 sammen? Charles: Så får man så lige 200. CS afslutter og forklarer kort at værdierne i eksemplet skal ses i forhold til de 200 som Charles har foreslået (69 i forhold til 200 osv.) Spørgsmål 15 To cirkler hvor den ene har den halve diameter af den anden. Omkredsen og arealet halveres. Charles har svaret nej, da der skal ganges med radius i anden. Eks 102 er ikke det dobbelte af 52 . Charles: Er det forkert, det jeg har svaret. CS: Nej det er korrekt. Søren har ikke ret. Vi vil bare godt høre hvad du har tænkt. Charles starter med at sige at når diameteren halveres og vi sætter i anden så vil den halve diameter blive til 1/4 når vi sætter i anden. Vi vil gerne høre hvad det er han er ved at regne ud og der går så lige lidt vrøvleri med at finde pi frem og om det er areal eller omkreds. Spørgsmål 16 Terning fordoble længden af alle kanter Charles har svaret Ja og tegnet tre terninger med hhv. sidelængde 1, 2 og 4 og regnet de tilsvarende volumener korrekt ud. Der er så sat streger mellem de tre resultater og skrevet "x8" udfor CS: Nu har du tegnet et eksempel og regnet at hvis vi fordobler sidelængden så bliver volumenet 8 gange større. Så kan man prøve med nogle flere tal? Charles: Ja CS: Det kunne jo være det var tilfældigt at det lige passede med de tal du havde valgt Charles:...Ja helt sikkert CS: Eller kan man gøre det mere generelt? Charles: Det er det, jeg er så dårlig til Så går vi derefter sammen i gang med at regne igennem CS: Hvis sidelængden ikke skal hedde 1, 2 eller 4 eller et andet tal - hvad kan vi så kalde den? 146 Charles: Nogle bogstaver, jeg ved ik´... CS: Ja, det kunne vil og der er frit valg på alle hylder. (Charles tøver) Og der er ikke noget der er mere rigtigt end andet Vi tegner sammen på papir - en terning og kalder sidelængden for a. CS overtager en smule. CS: Hvad er volumenet eller rumfanget. Charles: Der er a ..nej 𝑎2 . . 𝑛𝑒𝑗 𝑎3 CS: Så skal vi lave en der er det dobbelt i sidelængde, så hvad er sidelængden på den? Charles: Kan vi kalde den b? CS: Ja, det kan vi godt men kan vi så lave en sammenhæng mellem a og b? CS repeterer kort hvad vi lige er i gang med. Charles kommer lidt tøvende frem til at så må b være lig med a gange to. CS navngiver derefter de øvrige sider i terningen med a gange 2. CS afslutter med at spørge til volumenet. Charles: Det er 8 CS: 8 hvad? Charles: 8a CS: i ? Charles: tredje CS: Ja, så hvad kan vi så sige om volumenet? Vi samler op på opgaven sammen og konkluderer at han har vist at volumenet er blevet 8 gange større uden af han har udtalt sig om hvad siden længden specifikt er. Vi taler lidt om at vise generelt og forskellen til tal eksempler. Vi tal er kort om forskellen på spørgsmål 15 og 16 Spørgsmål 17 Taxa Charles har svaret nej til om Aya skal betale dobbelt så meget som Ali. Selvom Aya kører dobbelt så langt gør startgebyret at hun ikke skal betale dobbelt så meget. . Dernæst følger et udregnet eksempel hvor han selv fastsætter nye priser for startgebyr (5kr) og pris pr km (1 kr) Charles: Nej det giver ikke det dobbelte. Charles forklarer sit tal eksempel som han har angivet i teksten. 147 CS: Kan du skrive en matematisk sammenhæng op for det med taxaen? En formel - hvis man nu ikke ved man har kørt præcis 20 km eller 10 km eller.. Charles: Du tænker på en 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏? CS: Ja. Charles begynder at skrive op Charles: Vi har vores konstant a CS: Ja hvad er den. Charles: Det er startgebyret på 30 kr. Og b det er så efter hvor langt de kører, ik? CS: Joh, prøv at se ad. Hvad skal så være hvor langt de kører? Charles er forvirret og mumler CS: Du skal have et eller andet hvor du kan sætte ind og udregne hvad det koster hvis du kører 10 km, 17 km osv. Hvad skal det være rep ved? Charles: Så skal det være x...så er det 30 i fx. tiende? Er det på den måde? CS: Nej din lineære sammenhæng er god nok (peger på 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏?). Og så sagde ud at x er antal km og hvad skal du gange det med? Charles: Det skal jeg gange med 7,3. CS: Ja så det er a der er 7,30 klokken på filen 1505 Vi forsætter med opgaven lidt endnu og finder ud af at b må være startgebyret. Herefter vil Charles isolere x og nævner igen at han er så dårlig til ligninger. Han spørger om man kan det (altså isolere x). Vi svarer ja og siger det komme rjo an på hvad det er man vil regne ud. Vi får ham til at skrive den lineære sammenhæng op med værdierne på a og b´s pladser og lade x være og så først indsætte en værdi for x bagefter. Spørgsmål 18 𝒂𝟐 ≥ 𝒂. Hvilke udsagn kan bruges til at vise det er falsk Charles har krydset a= 0 af. CS: Lad os starte med den du har cirklet ind. Charles: nul i anden er nul, så det er ikke rigtigt. 148 Så diskuterer vi hvad det er, der ikke er rigtigt. Det er ikke tydeligt om det er uligheden som Charles ikke synes er opfyldt eller om det ikke er rigtig at man kan bruge udsagnet til at vise at uligheden er falsk. Vi konkluderer at a=0 gør uligheden sand og dermed ikke kan bruges til at vise at udsagnet er falsk. CS: Så er dit svar rigtigt? Charles: Nej Vi gennemgår de øvrige muligheder i spørgsmålet sammen og Charles regner med lidt hjælp og svarer korrekt på om de kan bruges til at vise om udsagnet er falsk eller ej. CS: Men da du regnede den (underforstået første gang), tror du... Charles: Men der regnede jeg ikke rigtig, for der ku jeg ikke finde ud af det. Kasper: Var det spørgsmålet der var svært at forstå, eller...? Charles: Jamen det er bare ligninger. CS: Og uligheder som den der (i spørgsmålet) Spørgsmål 19 figurer Charles har sat mærke i den sidste (og korrekte) og skrevet de kan godt være lige lange men mangler 90 grader (og har tegnet en ret vinkel) Vi starter med at fortælle Charles at spørgsmålet er helt korrekt besvaret. Charles forklarer kort og korrekt igen at den sidste figur har 4 lige lange sider og har ingen rette vinkler, så det er den der kan bruges. CS: Ja det er helt korrekt. Charles: Er der en anden bedre måde at gøre det på? CS: Nej Charles: Er der ligninger? CS: Nej, der er ingen ligninger der. Spørgsmål 20 Aya og Ali 3 og 11 Charles har svaret ja til om indholdet er det samme, men ikke begrundet. Charles: Ja, det tænker jeg giver meget god mening. Det gælder vel for alle tal. 149 CS: Prøvede du efter med nogen? Charles: Jaeh, ja bare sådan få, ikk´ Charles læser igen. Charles: Nå nej det giver jo ikke mening det øverste (Aya) Charles tjekker med tallene 2 og 4 og forklarer at produktet her er et lige tal og det er summen også. Han bliver usikker og tror han har misforstået noget og vi tager Ayas og Alis eksempel igen og hans eksempel igen. Charles: Jeg tror bare jeg har læst den forkert, nærmest. CS: Kan man vende sætningerne om på den måde? Er det så det samme der står? En ting er at man kan være uenig i det den ene siger eller det den anden siger, men er de to der ens (ridser lige op hvad den ene starter med og hvad det medfører og at den anden vender det rundt) Charles: Ja, fordi det må vel give det samme CS diskuterer det lidt (a medfører b og er det så altid sådan at b medfører a?). Charles tøver. Så vi griber til hverdagseksemplet med regnvejr og paraply. Charles: Nej, så er det selvfølgelig ikke Spørgsmål 4 a gang b bliver altid større end a Charles har krydset b) og d) af (begge nej svar). Charles: Det gælder ikke for hvis det ene tal er mindre end 1, så bliver det mindre. Han gentager også svaret i d) men tilføjer ellers ikke noget. CS konstaterer at man med eksempler kan vise at Søren ikke har ret. Spørgsmål 5 Ethvert tal er lig med nul Charles har krydset af "Nej" - ethvert tal er lig med nul og ikke svaret på de to sidste Charles: Den synes jeg også var lidt svær når det kommer til alt det med ligninger der. 150 Vi spørger til hvorfor han har svaret nej til det første spørgsmål. Charles: Jeg ved ik, jeg gik bare ud fra det ikke passede. Det var ikke fordi jeg kunne regne den ud det var bare... CS: Men hvad med det der står her i spørgsmålet - der viser de det jo? Charles: Det virker ikke plausibelt. Det giver ikke mening. Jeg kan ikke forklare det. CS: Men sådan alm. sund fornuft siger dig at det er forkert? Charles: Ja, præcis CS: Hvad vil du så sige til beviset, for de beviser det jo her? Charles: .....(tøver) CS: Vil du sige beviset er rigtigt eller forkert? Charles: (læser og tænker længe). Der må være noget forkert i beviset. Vi samler kort op på at de to spg må hænge sammen men undlader også her at finde fejlen sammen med eleven Spørgsmål 6 Charles har svaret ja til "anser du følgende argument for holdbart..." Charles: Men den har jeg jo altså heller ikke lige tænkt over for den der er jo rigtig (peger på (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 CS forklarer kort at det er korrekt husket at vi har brugt en del kræfter på at lære kvadratsætningerne og at de er korrekte, men om det aldrig passer at den kan se ud på den anden måde i spørgsmålet. Charles er ikke helt frisk og er noget svær at forstå på dette tidspunkt i interviewet, men begynder at tale om nul. kl 2846 CS: Hvad er det der kan være nul? Charles: x CS: JA, hvis nu x var nul? Hvad bliver det led så til? (peger på det dobbelte produkt) Charles: 2 gang nul er nul Vi samler op på spørgsmålet og konstaterer at påstanden gælder for nogle få tal og fortæller at vi ikke er så glade for den for vi bruger jo mange kræfter på at lære eleverne kvadratsætningerne og netop ofte må aflære den sjældne version ! 151 Spørgsmål 2 Charles har svaret at x har samme sum på begge sider af lighedstegnet Charles ser på ligningen igen og reducerer korrekt til 0x=-72. Charles: Og det giver jo ikke rigtig mening. CS: Hvad er nul gange x? Charles: Det er nul CS: Og er nul lig med 72. Charles: Nej Spørgsmål 3 Begrund at ethvert tal er løsning til ligningen 𝟑𝒙 − 𝒙 = 𝟐𝒙 Charles har svaret "Der er kun med x at gøre". Han har desuden reduceret ligningen til 2x= 2x og dernæst til x=x. Charles gennemgår lige reduktionen igen. Charles: Det giver jo så meget god mening. Nej det gør det så ikke. Det er det jo ikke - nej. Ethvert tal er løsning til ligningen - det kunne være...alle tal kunne være x. CS: Jo. Hvad kan du sige om x=x? Charles: ??Jeg ved ikk ehvad det vil sige. Jeg ved ikke: hvor du vil sætte den ind CS: Hvad hvis du trak x fra på begge sider. Hvad ville det så ende med? Charles: Nul. CS: Og hvordan ville ligningen så se ud? Charles: Så ville den ikke være der, så ville der ikke være noget overhovedet. CS: (peger på den ene side af ligningen) hvad ville der være tilbage herovre? Charles: 0x CS: Og herovre (peger på den anden side af ligningen) Charles: 0x Vi konstaterer at 0x er det samme som nul og så står der nul er lig med nul. CS: Er det rigtigt? 152 Charles: Ja Vi (CS) konkluderer dermed at alle tal er løsning til ligningen. Vi afslutter kort med at tale om at de ikke så ofte ser ligninger af typerne som optræder i spørgsmål 2 og 3. Spørgsmål 12 Et førstegradspolynomium a må ikke være nul. Er 0x-2 et førstegradspol?. Charles har bare tegnet et spørgsmålstegn Charles: Førstegradspolynomium - det ved jeg ikke rigtig hvad er. Vi forklarer - peger på f(x)=ax+b Charles: Det ved jeg ikke - det er det vel? Hvorfor skulle a ikke kunne være nul? CS: Men det er det der står heroppe - at a ikke er nul. Charles: Er det et krav? Nå, men så er det vel ikke. Det stemmer ikke overens. Så det er et nej. 153 Bilag 12 Transskription af første interview med Keith: Vi har valgt at interviewe Keith om besvarelse af Spørgsmål 8, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 4, 5, 6 og 21. Keith var ikke frisk under interviewet Spørgsmål 8 Nationalprodukt USA og Danmark. Vurder følgende ræsonnement... Keith har skrevet "Det lyder fint. " Keith: Hvis du har en masse observationer, så kan du godt tage gennemsnittet. CS: Ved du hvordan forholdet er mellem antallet af indbyggere i Danmark og USA? Keith: Der er betydelig flere indbyggere i USA end i Danmark. Du kan ikke tage alle under en kam. Jeg kan godt se nu at det er to forskellige statistikker. CS fisker lidt efter om han har tænkt på/over at BNP er opgivet pr indbygger. Det har han ikke, siger Keith. Spørgsmål 10 cafeer og kvindelige gæster Keith har svaret er Nej, Det er jo bare 80 % af dem som går på cafe. Keith: Jeg har bare tænkt at var 80 % af dem der går på cafe, er kvinder. CS: Hvis vi går på Emmerys nu, så er der nok 80 % af gæsterne der er kvinder. Keith: Ja, 80 % af dem der går på cafe (er kvinder). Ikke generelt. Af de kvinder der er. 80% af den danske kvindelige befolkning går ikke nødvendigvis på cafe Spørgsmål 11 Biblioteker kvinder I testen har Keith svaret "Det er virkelig en upræcis undersøgelse. Jeg går ikke ud fra at små børn er blevet spurgt. Plus at jeg ikke mener at det har den store betydning. " Keith spørger først ind til undersøgelsen. Han undres over værdierne i undersøgelsen og vi fortæller at dem kan man godt stole på, men det handler om måden tallene er håndteret på Keith: Men så lægger man dem sammen og så betyder det at 69 % af befolkning ikke går på biblioteket. Men det hænger jo ikke sammen. Jeg ved ikke om jeg skal tage det bogstavligt....den mandlige...med børn osv. 154 CS: Det har gjort det helt reelt i undersøgelsen - spurgt unge og gamle, børn osv. Det er 39% af al hankøn og 30 % af al hunkøn. Men kan man lægge procenterne sammen sådan der? Keith: Nej det kan du ikke. Det ene er 39 % af den mandlige befolkning og det andet er 30 % af den kvindelige befolkning. Det er to forskellige sæt tal. Spørgsmål 15 To cirkler hvor den ene har den halve diameter af den anden. Omkredsen og arealet halveres. Keith har svaret ja. Indskrevne og omskrevne cirkel. Keith: Hvis du halverer diameteren, så må den nye cirkel ha et halvt så stort areal. CS: Vi kan jo prøve at regne efter? Keith: Arealet er 𝜋 ∙ 𝑟 2 . CS og Keith regner i fællesskab..... Vi kommer frem til de to formler og sætter d=1. Arealet af den store bliver da π ∙ 1 og af den lille π ∙ 1/4. CS: Hvis du kigger på de to arealer, hvad så. Keith: så hænger det ikke helt sammen. Keith kommer frem til at den ene cirkels areal er 4 gange større end den anden. Vi samler op på opgaven og CS spørger ind til hvorfor han har skrevet indskrevne og omskrevne cirkel. Keith: Det var bare noget jeg kunne huske, så jeg troede det var noget af det samme. Vi havde noget med firkanter og så var den indskrevne cirkel halvt så stor som den omskrevne cirkel. Spørgsmål 16 Terning fordoble længden af alle kanter Keith har svaret "Kan ikke svare" og tegnet en terning med sidelængde at to tern Keith: Jeg kunne ikke hitte ud af den. Jeg prøvede at gøre den visuelt CS: Ja, vi kan se du er begyndt. Keith og CS tegner terninger igen hvor den ene har den dobbelte sidelængde af den anden. Keith: Jeg ved ikke om der er noget tricky i det, men det giver logisk mening at hvis du fordobler en terning, så må rumfanget også fordobles. CS: Ja, så du tænker det er forkert for det bliver ikke 8 gange større, men kun dobbelt så stort? Keith: Ja. 155 CS: Kan du huske hvordan man finder rumfanget af en terning. Keith: Ja - højde gange bredde gange dybde. CS hjælper med at få det skrevet op og spørger ind til om højde, bredde og dybde har samme længde og hvad vi skal kalde dem. Keith: Vi tegner sammen på papir - en terning og kalder sidelængden fors. CS overtager en smule. CS: Så er vol eller rumfanget 𝑠 3 . CS: Hvad hedder den (siden i den nye terning) så, hvis jeg gør den dobbelt så stor?? Keith tænker. Keith: Den hedder 𝑠 2 CS giver lyd og Keith retter til 2 gange ..... CS siger s. Vi opsummerer at de andre sider også må hedde 2s CS: Hvad er volumenet. Keith: Det er 2 ∙ 2 ∙ 2 eller 2𝑠 ∙ 2𝑠 ∙ 2 . CS: Og hvad giver det? Keith: Det giver 8...eller 8s. CS hiver lidt igen. ..8𝑠 3 . Keith gentager svaret CS opsummerer sammen med Keith, men det er mest CS der taler. Vi finder ud af at volumenet er blevet 8 gange større, når vi har fordoblet sidelængden. Vi ser lidt på forskellen på at skyde påstanden i spg 15 i sænk og påvise påstanden i spg. 16. Endvidere opsummeres (af CS) at vi har arbejdet helt generelt i spørgsmål 16 - altså ikke bare med et taleksempel Spørgsmål 17 Taxa Keith har svaret nej til om Aya skal betale dobbelt så meget som Ali. Aya skal betale dobbelt for kørt km men startgebyret gør at han samlet set ikke gør. Pris Ali 107 Aya: 176 Keith: Ja men der er startgebyr og det skal du så lægge oveni. Vi opsummerer at han rent faktisk også har regnet det ud i sin besvarelse og går hurtigt videre. Spørgsmål 18 𝑎2 ≥ 𝑎. Hvilke udsagn kan bruges til at vise det er falsk Keith har krydset a= 0 af. 156 Keith: Man skal vise hvornår det er falsk og det må jo være når a=0. CS beder ham regne det ud. Keith: Så får jeg nul. CS: Nul i anden er nul. Nul i anden er det større end eller lig med nul? Keith: Altså nul anden er nul og det er ikke større end nul. CS: Der står større end eller lig med? Keith: så det er falsk. CS: Næh, så er det jo sådan set rigtigt, ik? Keith: Nåh, den der streg betyder større end eller lig med? CS: Ja. Vi opsummerer kort om ulighedstegnet måske kunne have forvirret lidt og går videre. Vi spørger ind til om han har prøvet med nogle af de andre værdier for a. Keith: Det har jeg nok gjort, men nu er det så langt tilbage, så.... CS: OK, men så prøv igen Keith: a=-0,5 i anden giver minus en fjerdedel. CS retter og hjælper med at skrive uligheden op og spørger ind til om udsagnet er rigtigt eller forkert. Vi finder ud af sammen at det er sandt. (Keith har gabt flere gange og hoster og er tydeligvis træt, så intervieweren hjælper nok en del til for at nå alle spørgsmål og speeder lidt op, så han kan komme hjem igen. CS ridser den næste op: Er 1/10 i anden større end eller lig med 1/10 Keith: Det er vel større, ik? . Keith tænker og regner lidt på 0,1. og kommer så frem til at det må være mindre. Vi opsummerer. Keith regner kort og hurtigt på a=1 og konstaterer at det er det samme som vi lige har fundet ud af når a=0, så den er sand og kan ikke bruges til at vise at udsagnet er falsk. Så regnes der endelig på 0,2=a. Keith: 0,2 gange 0,2 - det må være større. CS foreslår at vi regner på det. Keith har glemt hvordan man ganger 0,2 med 0,2 og vi samarbejder om det og metoden dukker op af hukommelsens dis. Keith: 0,04 er mindre end 0,2. CS hjælper lidt til at opsummere Keith: så udsagnet er falsk Spørgsmål 19 figurer 157 Keith har sat mærke i den sidste (og korrekte). Keith: Den har lige lange sider og vinklerne er heller ikke ens. CS: Korrekt. Og de er ikke 90 grader. Keith opsummerer korrekt hvorfor de øvrige figurer ikke duer. Spørgsmål 20 Aya og Ali 3 og 11 Keith har svaret ja til om indholdet er det samme, men ikke begrundet. Keith læser og tænker og læser så Ayas udsagn op. Keith: Jeg ved ikke lige hvad jeg tænkte...men man kan sige at....(flere og halvlange tænkepauser) CS: Hvis man kigger lidt matematisk på det så kan vi sige at her (peger på den Ayas udsagn) så medfører det her(peger på første sætning) det her (peger på anden sætning). Og neden under så er det vendt om. Der har de taget det der først (peger på anden sætning hos Aya, og viser det er første sætning hos Ali)og så siger han at det medfører den der (peger på første led hos Aya og så på Alis anden sætning). CS: Og så er spørgsmålet om det altid gælder? Keith tøver lidt og vi taler kort om hvis a medfører b også betyder at b medfører a Keith: Ikke nødvendigvis. Keith samler ikke op af sig selv (er virkelig træt og tavs nu). CS opsummerer Spørgsmål 4 a gang b bliver altid større end a Keith har krydset c) For det meste...af. Keith: Nå ja. Du kan jo godt gange med et tal og så få et lavere tal. Minus fx. CS: Ja hvis du tager d) for eksempel Keith: Ja men den var måske lidt tvetydig fordi jeg har sat i "for det meste har du ret i .." . Der er undtagelser sådan og sådan, hvis du ganger med minus. CS: Ja? Keith: Jeg ved ikke hvad man mente med undtagelser, men.. Men hvis der nu står nogle få undtagelser, så lyder det som om der kun er tre, men der er jo uendelig mange negative tal... 158 Keith: Nu tænkte jeg bare sådan generelle undtagelser. CS: Ja, så du tænker de negative tal - det er én undtagelse? Keith: Ja, eller hvis du har et tal der er under 1. Vi opsummerer sammen og Keith ser på alle de negative tal under en kam og ligeledes for alle tal mellem 0 og 1 og derfor er der få undtagelser Spørgsmål 5 Ethvert tal er lig med nul Keith har krydset af "Nej" - ethvert tal er lig med nul og "Kan ikke svare" til at beviset er korrekt. Keith er træt og vi siger at han ikke behøver se på alle skridtene i beviset igen, men spørger til om han kan huske hvad han tænkte da han besvarede opgaven. Keith: Ja jeg ved ikke CS: Da du svarede - kan du så huske om du brugte det der stod heroppe til at svare ud fra? (peger på bevisteksten) Keith: Jeg kan huske at jeg tænkte meget over det. Fordi et bevis for at ethvert tal er lig med nul - hvordan giver det mening? Jeg har tænkt lang tid over det og har ikke kunne komme med en løsning. CS: Med hvad gjorde så at du svarede nej? Tænkte du jeg skrotter det hele - det giver ikke mening eller.. Keith: Jeg tænkte det kan ikke lade sig gøre. Det lyder underligt. Vi konkluderer at han er vendt tilbage til sin almindelige snusfornuft og har brugt den til at besvare spørgsmålet. CS: OK vi holder fast i snusfornuften. Hvad siger du så til det næste spørgsmål? (er det anførte bevis korrekt...Keith har i første runde krydset "kan ikke svare") De har jo lavet et bevis her. Keith: Men om det så er et bevis der holder stik (tænker). Så ville jeg modsige mig selv, hvis jeg sagde ja. Spørgsmål 6 Keith har svaret NEJ til om argumentet holder Keith tøver i starten CS indleder så med at forklare at vi jo gør meget ud af at lære dem kvadratsætningerne, men spørger til om (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 passer en sjælden gang i mellem Keith: Du kan jo godt gange to ind i parentesen. Så får du 𝑥 2 + 𝑦 2 . 159 CS er lidt tøvende (hvor meget skal vi rette at symbol-/formalismefejl tænker hun...) CS: Vi kan jo tage to tal x=2 og y=3. CS fører ordet. 2+3 er 5 og 5 i anden er 25. Keith men skal man ikke nogen gange sige to i anden plus tre i anden? og så tage roden først (vi retter til at det hedder eksponent) CS: Jo men så står det ikke sådan der. Fordi det der giver 25 (peger på (2 + 3)2 ) og det der (peger på 22 + 32 ) giver 4+9 og så mangler der jo ligesom noget og det der mangler, det er det der (peger på 2xy). Keith: Ja der er en forskel på 2xy. CS: Ja der er det der led til forskel. Keith er lidt forvirret og vi må pointere at den kvadratsætning der står er den vi bruger mange kræfter på at lære dem og anvende. Vi må sige at de jo nok stiller et lidt sjovt spørgsmål i opgaven - at de vender det hele lidt om. Er det sandt at det der (peger på (x + y)2 = x 2 + y 2 ) aldrig passer? Vi konkluderer for ham og fortæller at det kun passer hvis x eller y er nul, fordi så "forsvinder" leddet med det dobbelte produkt. Keith: Generelt synes jeg de fleste spørgsmål var meget udfordrende formuleret. Men det var vel også meningen? Vi taler kort om formuleringen og fortæller at vi er i langt højere grad interesseret i hvad de har tænkt da de svarede end hvad svaret rent faktisk er (kan jo være rene gæt i mange af besvarelserne blandt andet)og at det er derfor vi interviewer dem. Spørgsmål 21 Bevis vinkelsum Keith har svaret nej til om vi har bevist Keith: Altså ...nej det er noget man bare generelt ved. CS: Det med man bare generelt ved det (altså sætninger i matematik), er fordi nogen har bevist det. Keith: OK. (Tøver) Kasper: Ja det er i det store og hele sådan det er - der mangler måske lidt tekst, men ellers. .. Svaret er Ja i den første. CS: Kan du huske du har set det før? Var du der da vi havde det? Keith kan huske at summen over en linje er 180 grader. Det er jo en halv cirkel. Vi tager beviset kort. CS: Skal vi så måle? (henviser til anden del af spørgsmål 21) Keith: Vi kan altid regne med at summen er 180. 160 Så vi afslutter og siger tak til den syge Keith Bilag 13 Interviewskema til andet diagnosticeringsinterview. Interviewskema – del 1 1. Hvad forstår du ved matematik? ”Sæt kryds ud for de påstande du er enig i” a) Matematik er skabt af nogle få meget begavede og kreative mennesker. Andre mennesker prøver blot på at lære det, de har overleveret. b) Der er ikke muligt at beskæftige sig med matematik på egen hånd. Man har brug fra instruktion (ofte fra en lærer) c) Matematik handler om at huske en masse formler udenad og lære at bruge dem d) Matematik handler om at kunne løse logiske problemer på en kreativ måde e) Matematiske problemstillinger har ét og kun ét rigtigt svar f) Der er kun én korrekt måde at løse et givent matematisk problem på (og det er typisk den måde læreren vælger at løse problemet på) g) Den matematik vi lærer i skolen har kun meget lidt at gøre med den ’virkelige’ verden h) Jeg forstår ikke formålet med at føre beviser i matematik i) Afhængigheden af en lærer er særlig vigtig i matematik, så hvis en lærer ikke er i stand til at forklare faget, så er der kun en meget lille chance for, at eleven forstår matematik j) Ethvert matematisk problem kan løses på få minutter. Hvis ikke man kan løse det på få minutter, så kan det slet ikke løses. k) Matematik er uretfærdigt fordi kun nogle få elever er gode til faget, hvorimod de fleste har svært ved faget. 2. Dig og matematik ”Sæt kryds ud fra den/de kategori(er) der passer bedst på dig?” a) b) c) d) e) Jeg har aldrig været og kommer aldrig til at blive god til matematik Jeg kan godt finde ud af matematik, men det interesserer mig ikke Det vigtigste for mig er at forstå faget så grundigt som overhovedet muligt Hvis bare jeg sætter mig ned og læser på stoffet, så kan jeg godt finde ud af matematik Jeg kommer aldrig til at forstå matematik, men jeg kan måske lære formler udenad og forstå at anvende dem korrekt. f) Der er ikke noget værre end at lave fejl i matematik. Fejl dømmes hårdt i faget. g) En matematisk opgave har kun én løsning og af den grund kan jeg ikke lide faget, idet der er 1000 forkerte svar, men kun 1 rigtigt svar. 161 Interviewskema – del 2 Opgave 1 Påstand: ”Vælg to hele positive tal med en forskel på 2. Gang dem med hinanden og læg 1 til. Det resultat du får er et kvadrattal”. 3 elever får til opgave at bevise, at denne påstand altid gælder. Vurdér efter at have læst dem igennem om de alle tre faktisk er beviser. Er der én eller flere du bedre kan lide end andre? Jespers bevis: Jeg vælger tallene 5 og 7. Når jeg ganger dem med hinanden får jeg 35 og ved at lægge 1 til får jeg 36. Tallet 36 er et kvadrattal, idet 36 = 6 . Herved har jeg bevist påstanden. Simons bevis: Jeg vælger to tal og kalder det mindste for n. Derved bliver det største tal ganger dem med hinanden får jeg et kvadrattal, idet jeg ved, at n+ 2 . Når jeg n×(n+ 2) = n2 + 2n og ved at lægge 1 til får jeg n2 + 2n+1. Tallet er n2 + 2n+1= (n+1)2 og (n+1)2 = n+1. Herved har jeg bevist påstanden. Hannes bevis: Jeg vælger tallene 5 og 7. Når jeg ganger dem med hinanden får jeg 35 og ved at lægge 1 til får jeg 36. Tallet 36 er et kvadrattal, idet 36 = 6 . Jeg kan også vælge tallene 20 og 22. Når jeg ganger dem med hinanden får jeg 440 og ved at lægge 1 til får jeg 441. Tallet 441 er et kvadrattal, idet 441 = 21. Herved har jeg bevist påstanden. Tillægsspørgsmål: Hvilket bevis ville du vælge, hvis du skulle overbevise en klassekammerat? Forklar hvorfor Hvilket bevis ville du vælge, hvis du skulle overbevise en lærer? Forklar hvorfor 162 Opgave 2 Påstand: ”Peter påstår, at a× b altid er større end a+ b”. Peter giver eksemplerne: Hvis a = 2 og b = 3 får vi, at a× b = 2 ×3 = 6, mens a+ b = 2 + 3 = 5 . Hvis a =10 og b = 7 får vi, at a× b =10 × 7 = 70 , mens a+ b =10 + 7 =17 . Hvis a = 200 og b = 50 får vi, at a× b = 200 × 50 =10000, mens a+ b = 200 + 50 = 250. Søren mener ikke, at Peter har ret, idet han kan finde 2 tal, der ikke opfylder at a× b er større end a+ b. Søren giver eksemplet: Hvis a =1 og b = 3 får vi, at a× b =1× 3 = 3, mens a+ b =1+ 3 = 4. Peter siger nu: min påstand er stadig sand, da den gælder i de fleste tilfælde, hvorimod Søren siger, at den er falsk, idet påstanden ikke gælder for alle tal. Hvem er du enig med? Begrund dit svar. Opgave 3 Du får følgende besked: ”Vælg et tal og gang det med 3. Læg det tal, der er 1 større end det valgte tal til. Læg 11 til. Dividér resultatet med 4. Træk 3 fra. Hvad er resultatet?” Prøv at udføre denne øvelse nogle gange med forskellige starttal. Kan du udlede en generel regel og kan du evt. bevise denne regel? Interviewskema – del 321 21 Supplerende spørgsmål er inspireret af arbejde af Jørgen Ebbesen. 163 164 165 Bilag 14 Transskription af andet interview med James: Indledende samtale om påstande knyttet til beliefs: James bliver bedt om at forholde sig de forskellige påstande vedr. matematikforestillinger henvis til bilag. James forholder sig til påstandene en af gangen og diskuterer dem højt med sig selv. 1. Hvad forstår du ved matematik? ”Sæt kryds ud for de påstande du er enig i” a) Matematik er skabt af nogle få meget begavede og kreative mennesker. Andre mennesker prøver blot på at lære det, de har overleveret. James forholder sig først til overleveringen James: Øh ja, det gør de, det gør vi vel. Men jeg har da virkelig ingen ide om hvem det er der har skabt matematikken. Jeg har aldrig hørt om, jo om Pythagoras der har lavet den der formel, men ellers synes jeg ikke man har hørt om sådan nogle specielle personer der har skabt matematikken. Først siger han at matematik ikke er skabt. Men han diskuterer det med sig selv undervejs. Matematik er der for at forstå forskellige ting og sammenhænge og for at løse opgaver. Tal er skabt, forskellige metoder er skabt, men han er i diskussion med sig selv om matematikken er skabt. Konkluderer dog til slut at han er enig i udsagnet. b) Der er ikke muligt at beskæftige sig med matematik på egen hånd. Man har brug fra instruktion (ofte fra en lærer). James: Det er korrekt. Jeg kunne sgu ikke matematik da jeg var et lille barn. Det har jeg lært fra en lærer. James mener at man lærer det fra en lærer, internettet, venner. Det er ikke noget et lille barn kan lære. Det er ulogisk siger han. Det er noget man lærer - ligesom at tale. Man lærer det (tale) ved at dine forældre stimulerer dig. Anders: hvad hvis du fik en bog og vi sagde - vi ses om et år. James: Ja man kan selv, men det er meget svært. Man kan læse og forstå lidt selv men det står altid på en meget svær og kompliceret måde. Og hvis der ingen opgaver er, så ved man heller ikke hvad man skal bruge det til. Det er fedt at have en lærer der kan fortælle det til en på en lidt blidere måde. c) Matematik handler om at huske en masse formler udenad og lære at bruge dem. James: Det er jeg ikke enig i. Det handler jo om meget mere end bare en masse formler. Men det er selvfølgelig en del af det. På den anden side så er det jo formler som matematikken jo sådan er, så ja det er det jo egentlig. d) Matematik handler om at kunne løse logiske problemer på en kreativ måde. 166 James: Jeg ved ikke om det er en kreativ måde, det er vel bare en måde at løse problemer på" Jeg ved ikke hvordan man ellers skulle gøre det. e) Matematiske problemstillinger har ét og kun ét rigtigt svar. James Ja, jeg kan ikke komme i tanke om nogle matematiske problemer der har mere end et svar. f) Der er kun én korrekt måde at løse et givent matematisk problem på (og det er typisk den måde læreren vælger at løse problemet på). James: Jeg er 100 på at der er flere måder at løse et matematisk problem på. James opsummerer erfaringer fra blækafleveringer og lærens rettelser og gennemgang, samt forskellige måder at skrive division op på (fra hans folkeskoletid) g) Den matematik vi lærer i skolen har kun meget lidt at gøre med den ’virkelige’ verden. James: (griner lidt) Det kommer an på hvad man vil i den virkelige verden. Hvis du har lyst til at være matematiklærer eller ingeniør, så kan man da godt bruge den. Det hjælper en til at forstå logiske ting. h) Jeg forstår ikke formålet med at føre beviser i matematik. James: Jo ellers har du bare en formel og så ved du ikke hvorfor den ser sådan ud. Det er fedt at forstå hvorfor den ser sådan ud. i) Afhængigheden af en lærer er særlig vigtig i matematik, så hvis en lærer ikke er i stand til at forklare faget, så er der kun en meget lille chance for, at eleven forstår matematik., . James: Ja en lærer er meget meget vigtig. Det er det samme spørgsmål som med bogen (han refererer til spg b) Men det kommer også an på hvor klog den enkelte er. j) Ethvert matematisk problem kan løses på få minutter. Hvis ikke man kan løse det på få minutter, så kan det slet ikke løses. James: Der er jo mange på matematiske problemer....nu har jeg jo ikke nogen eksempler på nogen der ikke er løst endnu. men det har taget hundredevis af år. James diskuterer kort med sig selv og er ikke enig i påstanden siger han, men man er i tvivl om han mener beviser af sætninger ikke klares på kort tid (af dem der løste opgaven første gang). k) Matematik er uretfærdigt fordi kun nogle få elever er gode til faget, hvorimod de fleste har svært ved faget. James: Uretfærdigt vil jeg ikke rigtig sige det er. Der er mange der har svært ved det selvfølgelig men...de fleste siger også at de ikke ser noget formål med matematik og de ikke rigtig ved hvad de skal bruge det til. Og det synes jeg måske ikke rigtig er noget man får forklaret. 167 2. Dig og matematik ”Sæt kryds ud fra den/de kategori(er) der passer bedst på dig?” James Er tøvende efter at have læst påstandene. Vi siger at hvis ingen passer så må han også svare det. a) Jeg har aldrig været og kommer aldrig til at blive god til matematik b) Jeg kan godt finde ud af matematik, men det interesserer mig ikke c) Det vigtigste for mig er at forstå faget så grundigt som overhovedet muligt James: Det er vigtigt for mig at forstå faget grundigt som overhovedet muligt, men jeg tror aldrig der er nogen der forstår matematik 100 %. Det er ligesom om man ikke kan forklare hvad matematik overordnet er. d) Hvis bare jeg sætter mig ned og læser på stoffet, så kan jeg godt finde ud af matematik James: Hvis jeg sætter sig ned og læser så kan jeg også godt finde ud af det, men igen det er nemmere at forstå hvis man har en lærer, der kan formidle det til en. e) Jeg kommer aldrig til at forstå matematik, men jeg kan måske lære formler udenad og forstå at anvende dem korrekt. f) Der er ikke noget værre end at lave fejl i matematik. Fejl dømmes hårdt i faget. James: f er jeg meget uenig i, for hvis du laver en fejl så er det ok - man lærer af sine fejl. Det er bedre at lave fejl end at skrive af fra en anden og får alt rigtigt, så har du ikke lært noget som helst. Så er det bedre at lave fejl og prøve at lære noget fra det. g) En matematisk opgave har kun én løsning og af den grund kan jeg ikke lide faget, idet der er 1000 forkerte svar, men kun 1 rigtigt svar. Til slut James: Resten kan jeg ikke rigtig sætte på mig, nej. Interviewskema – del 2: Opgave 1 Påstand: ”Vælg to hele positive tal med en forskel på 2. Gang dem med hinanden og læg 1 til. Det resultat du får er et kvadrattal”. 168 3 elever får til opgave at bevise, at denne påstand altid gælder. Vurdér efter at have læst dem igennem om de alle tre faktisk er beviser. Er der én eller flere du bedre kan lide end andre? Jespers bevis: Jeg vælger tallene 5 og 7. Når jeg ganger dem med hinanden får jeg 35 og ved at lægge 1 til får jeg 36. Tallet 36 er et kvadrattal, idet 36 = 6 . Herved har jeg bevist påstanden. Simons bevis: Jeg vælger to tal og kalder det mindste for n. Derved bliver det største tal ganger dem med hinanden får jeg et kvadrattal, idet jeg ved, at n+ 2 . Når jeg n×(n+ 2) = n2 + 2n og ved at lægge 1 til får jeg n2 + 2n+1. Tallet er n2 + 2n+1= (n+1)2 og (n+1)2 = n+1. Herved har jeg bevist påstanden. Hannes bevis: Jeg vælger tallene 5 og 7. Når jeg ganger dem med hinanden får jeg 35 og ved at lægge 1 til får jeg 36. Tallet 36 er et kvadrattal, idet 36 = 6 . Jeg kan også vælge tallene 20 og 22. Når jeg ganger dem med hinanden får jeg 440 og ved at lægge 1 til får jeg 441. Tallet 441 er et kvadrattal, idet 441 = 21. Herved har jeg bevist påstanden. James: Jeg kan bedst lide Jesper og Hannes bevis for de står helt simpelt og ligetil. Det var også sådan jeg ville løse det. Simons bevis er sådan et som der står i bøgerne.. kæmpe lange formler med n og parenteser og umuligt at forstå og sådan noget. Lige når jeg læser det så forstår jeg det stort set ikke. AK: Er du med på hvad et kvadrattal er? James: JA Simons forvirrer fordi man ikke har et eksempel og umuligt at forstå. En lærer vil kunne forklare mig det, men jeg vil ikke kunne forstå det ud fra en bog. Tillægsspørgsmål: Hvilket bevis ville du vælge, hvis du skulle overbevise en klassekammerat? Forklar hvorfor James: Jeg ville vælge Hannes bevis for der er to eksempler. Det er det mest simple. Først nemme tal - vi ved at 36 ...6 gange 6 giver 36 og så bagefter tage lidt større tal og så regne det ud på lommeregneren for at bevise at det også er rigtigt. Starte med det nemme og bevæge sig til det sværere og sværere. Hvilket bevis ville du vælge, hvis du skulle overbevise en lærer? Forklar hvorfor James: Hvis jeg skulle overbevise en lærer (griner). I en prøvesituation - for at blære sig - så ville jeg måske vælge Simons bevis og stadig tage det mest simple - Jespers bevis. 169 CS: Fordi det er let at regne med? James: Ja CS: Sådan hurtigt James: Ja AK: Må jeg lige spørge kort - er Jespers og Hannes .....synes du den ene er bedre end den anden, eller? Er de lige gode, eller? Har du nogle kommentarer til det? James kan godt se at Hannes indeholder Jespers bevis og derfor er lidt bedre men han er vild med Jespers fordi det er tal der er til at regne i hovedet...vi ved ikke at 441 er et kvadrattal Opgave 2 Påstand: ”Peter påstår, at a× b altid er større end a+ b”. Peter giver eksemplerne: Hvis a = 2 og b = 3 får vi, at a× b = 2 ×3 = 6, mens a+ b = 2 + 3 = 5 . Hvis a =10 og b = 7 får vi, at a× b =10 × 7 = 70 , mens a+ b =10 + 7 =17 . Hvis a = 200 og b = 50 får vi, at a× b = 200 × 50 =10000, mens a+ b = 200 + 50 = 250. Søren mener ikke, at Peter har ret, idet han kan finde 2 tal, der ikke opfylder at a× b er større end a+ b. Søren giver eksemplet: Hvis a =1 og b = 3 får vi, at a× b =1× 3 = 3, mens a+ b =1+ 3 = 4. Peter siger nu: min påstand er stadig sand, da den gælder i de fleste tilfælde, hvorimod Søren siger, at den er falsk, idet påstanden ikke gælder for alle tal. Hvem er du enig med? Begrund dit svar. 1617skal slettes inden aflevering James: Jeg er enig med Søren i hans eksempel er a+b større end a*b og man kan ikke sige at ens påstand er sandt bare fordi den gælder i de fleste tilfælde. Der er jo mange muligheder for at det ikke er sådan. Der er uligeligt med tal så der er lige mange muligheder for begge ting. Du kan jo gange med halve tal og alt muligt så jeg er helt klart mest enig med Søren. 170 CS: Hvis nu Peter skulle have ret, kunne han så lave nogle begrænsninger? James: Han kunne sige at a og b skulle være større end 1, så ville 𝑎 ∙ 𝑏 altid være større....tror jeg nok. Opgave 3 Du får følgende besked: ”Vælg et tal og gang det med 3. Læg det tal, der er 1 større end det valgte tal til. Læg 11 til. Dividér resultatet med 4. Træk 3 fra. Hvad er resultatet?” Prøv at udføre denne øvelse nogle gange med forskellige starttal. Kan du udlede en generel regel og kan du evt. bevise denne regel? James: Jeg starter med 1. Han regner og løs og griner da resultatet er 1. Han spørger om han skal prøve igen med et andet tal og vi svarer ja. Han prøver herefter med 2 og har lidt regnetekniske problemer men kommer med hjælp hertil frem til resultat et 2. Hopper så videre til "Kan du udlede.. James: Det er jo så en generel regel, så hvis du ta´r det her starttal og laver den her formel så får du starttallet. Nu kan jeg kalde det tal jeg vælger for a . Han skriver (a*3(a+1)+11)/4-3= a Han reducerer ikke og tjekker ikke at det rent faktisk passer. Han tænker lidt og slutter med at sige. James: Jeg kan ikke bevise det..Nej Interviewskema – del 3 171 2250 James svarer på " Kan ligningen..." men er meget tøvende og lidt svær at forstå. James: Kan det godt men så skal a være...men så findes a ikke. Hvis ligningen er x=0 ..du kan sætte a til hvad som helst for det ganges med nul (han ser på linjen over med x=0). Tøver frem og tilbage. James: Vi ikke kan skrive på formen y=ax ,..men y=x ,..men jo vi kan godt skrive på formen y=ax, hvor du bare vælger a til et helt tilfældigt tal. Han går videre til " Er det så rigtigt at påstå..." James: Hvor a er en konstant - hvad er det nu, det betyder? CS: At det bare er et eller andet tal. James: Ja, men det er den ikke. Så er det jo bare et eller andet tal. Hvis du ganger et eller andet tal med nul, så får du nul og så får du y=0. Men så ved jeg ikke om der er en lodret linje igennem.... Jo det er der vel.. men y værdien ændres jo ikke hvis x forbliver nul. Det kommer vel an på hvad a er, men a er der jo ikke, så er der ikke bare et koordinat i (0,0)? James er i interviewet ret utydelig og tøvende. Skifter mening og virker usikker og ved ikke helt hvad han skal svare. Han misforstår lidt hvad konstant betyder - virker som om han tror vi mener et bestemt tal .(CS...dette afsnit skal evt ikke med her, men senere) Er Ayas påstand sand. 172 2603 James: Det er korrekt. Ud fra formlen i det eksempel hun har givet, er det korrekt. Når jeg betragter det hun siger, er det korrekt. Han er noget tøvende - forholder sig ikke til om det Ali siger er sandt, men om det de siger er det samme. Er optaget af at han har udtalt sig om det før og det nok var forkert. Vi prøver at få ham til at forholde sig til, hvad Ali siger . James: Han siger det er det samme bare på en omvendt måde. James: Men når jeg tænker over det, så passer det ikke. Prøver med 2 og 2 og ser at sum og produkt begge er 4 og konstaterer at så er summen lige, men produktet ikke ulige. James: Og det tror jeg vist nok gælder for de fleste - hvis du ganger med det samme tal..... Vi er i tvivl om hvem James mener ikke har ret. Anders: Hvad er det for en påstand? Er Aya eller Ali du kigger på? James: Det er ....min "ajen" påstand. James svarer ret utydeligt. Vi griner sammen af ordvalg egen/aya. James: Det passer så ikke, det de to siger. Men jeg vil så stadig sige at indholdet i deres udsagn er det samme men at det ikke er korrekt. Han tænker lidt. James: Jo, vent lidt - måske Ali. James prøver med 2 og 3 og efterfølgende med 2 og 7. Lidt regnetekniske vanskeligheder og hjælp til afgøre om tal er lige eller ulige :-) Endelig prøver han med 7 gang 3 og regner korrekt. James: Så den er korrekt i det til fælde og....for meget baggrundsstøj 3005. James: Så Alis udsagn er korrekt, men Ayas er ikke og de siger ikke det samme. James: Et dumt svar, men ja sommetider er en firkant et kvadrat og sommetider et rektangel. Det er en hver anden slags firkant sommetider. Men der er uendelige størrelser af firkanter og former af firkanter. Firkant er en stor overkategori hvor der er en masse underkategorier indenfor. 173 James: Det første kan ikke bruges. Den er et kvadrat. Det er det eneste, der er korrekt her, så det kan ikke bruges til at vise at Søren ikke har ret. Den anden har ikke fire lige lange sider, kan vi se, så den duer heller ikke og den sidste er slet ikke en firkant, men en femkant. 174 Bilag 15 Transskription af andet interview med Charles: Indledende snak om påstande knyttet til ’beliefs’ Charles bliver bedt om at forholde sig til de forskellige påstande på første side (påstande vedrørende matematikforestillinger). Efter at have læst de forskellige udsagn beder han om at låne en kuglepen. Han sætter herefter ring om 1d (”Matematik handler om at kunne løse logiske problemer på en kreativ måde”) og 1i (”Afhængigheden af en lærer er særlig vigtig i matematik, så hvis en lærer ikke er i stand til at forklare faget, så er der kun en meget lille chance for, at eleven forstår matematik”). Desuden sætter han ring om 2c (”Det vigtigste for mig er at forstå faget så grundigt som overhovedet muligt”). Charles siger efterfølgende, at han også godt kunne have sat kryds ved 2d også (”Hvis bare jeg sætter mig ned og læser på stoffet, så kan jeg godt finde ud af matematik”) Efter at have sat kryds ved de forskellige påstande beder vi ham om at forholde sig til de forskellige udsagn. ”Hvorfor satte du/hvorfor satte du ikke kryds?” a) Matematik er skabt af nogle få meget begavede og kreative mennesker. Andre mennesker prøver blot på at lære det, de har overleveret. Charles: Det er jo ikke rigtigt.. altså.. man er i skole for at lære ikke? Og hvis det kun var for nogle få så ville det ikke rigtig give helt mening, synes jeg. Jeg ved ikke hvad jeg ellers skal tilføje. Det er bare ulogisk jo. b) Der er ikke muligt at beskæftige sig med matematik på egen hånd. Man har brug fra instruktion (ofte fra en lærer) Charles: Både og, fordi der er jo igen nogle som bare er virkelig gode til matematik og som sagtens kan klare sig uden. I mit tilfælde … jeg har brug for en lærer helt klart .. men man kan jo også … hvis man har lyst til selv at læse sig frem til stoffet og sådan noget.. nogle gange er det bare dejligt at få det forklaret c) Matematik handler om at huske en masse formler udenad og lære at bruge dem 175 Charles: Det gør det også .. helt klart. Den kunne jeg også have krydset af, men det synes jeg også gik lidt ind under d’eren på en måde. Det er dog ikke kun (tryk på stavelsen) det det handler om jo. Det kommer også an på hvordan spørgsmålet kommer til udtryk synes jeg. d) Matematik handler om at kunne løse logiske problemer på en kreativ måde Har svaret ja til den. e) Matematiske problemstillinger har ét og kun ét rigtigt svar Charles: Det kunne man også, men så tænkte jeg mere du ved .. altså ... er ét svar hvis det både kan give 0 og 2. Er det også ét rigtigt svar? Det er vel åben for fortolkning. f) Der er kun én korrekt måde at løse et givent matematisk problem på (og det er typisk den måde læreren vælger at løse problemet på) Charles: Nej, der er flere metoder, så det synes jeg ikke. g) Den matematik vi lærer i skolen har kun meget lidt at gøre med den ’virkelige’ verden Charles: Det synes jeg heller ikke for nu har vi fx om renteformlen og sådan noget .. og det kan man jo bruge her i livet. h) Jeg forstår ikke formålet med at føre beviser i matematik Charles: Det kan jeg så godt se, at man skal. Fordi, at det er vigtigt at bevise, at det egentlig giver mening, det man har lavet, hvis man kan sige det på den måde. 176 i) j) Afhængigheden af en lærer er særlig vigtig i matematik, så hvis en lærer ikke er i stand til at forklare faget, så er der kun en meget lille chance for, at eleven forstår matematik Ethvert matematisk problem kan løses på få minutter. Hvis ikke man kan løse det på få minutter, så kan det slet ikke løses. Charles: Nej, det giver jo bare ikke mening jo. k) Matematik er uretfærdigt fordi kun nogle få elever er gode til faget, hvorimod de fleste har svært ved faget. Charles: Sådan er det jo med alle fag. Nogle har sine stærke sider og nogle vil have sine svage sider, så det synes jeg heller ikke Dig og matematik a) Jeg har aldrig været og kommer aldrig til at blive god til matematik Charles: I folkeskolen var jeg helt fin. Nu er niveauet lige rykket op. Så jeg har været god og jeg håber, at jeg nok skal lære det b) Jeg kan godt finde ud af matematik, men det interesserer mig ikke Charles: Passer ikke. Jeg kan rigtig godt lide matematik. Jeg synes bare at det er svært. c) Det vigtigste for mig er at forstå faget så grundigt som overhovedet muligt Har sat kryds her d) Hvis bare jeg sætter mig ned og læser på stoffet, så kan jeg godt finde ud af matematik 177 e) Jeg kommer aldrig til at forstå matematik, men jeg kan måske lære formler udenad og forstå at anvende dem korrekt. Charles: Det er også det der med at man lige skal cracke den der kode der. Jeg kan godt det der med formler og sådan noget .. jeg kommer nok til at forstå det på et tidspunkt sådan fuldt ud. f) Der er ikke noget værre end at lave fejl i matematik. Fejl dømmes hårdt i faget. Charles: Aldrig fedt at lave en fejl i noget, men jeg synes ikke det er så slemt. g) En matematisk opgave har kun én løsning og af den grund kan jeg ikke lide faget, idet der er 1000 forkerte svar, men kun 1 rigtigt svar. Charles: Jeg kan godt lide faget, så det ….. Pause: 07:40 – 09:50 (eleven læser opgaven igennem) Matematiske beviser Opgave 1 Charles: Hvilket bevis ville du vælge hvis du skulle overbevise en klassekammerat (red: læser selv spørgsmålet op)? Nu synes jeg folk er meget begavede i min klasse, så jeg ville nok tage Simons bevis for det er mere generelt for de andre … ham her bruger trods alt to eksempler .. men ham her (red: den tredje) det kunne jo bare være, at han lige havde ramt rigtigt, men det her er jo sådan overodnet og mere generelt. CS: Ja, så hvis du starter helt deroppe ”Er der en du bedre kan lide end andre?” Charles: Ja, det ville være toeren. Simons bevis. Det ville jeg både bruge på klassekammeraterne og læreren fordi .. det gælder jo for hele skidtet det her i modsætning til 5 og 7 … der kunne måske hvis man brugte nogle andre tal være en fejltagelse der. Det er der nok ikke. 178 Pause til 11.45 Opgave 2 Charles: Her vil jeg sige: Søren han har ret. Hvis han kommer med en påstand om de altid er større (Charles lægger tryk på ordet ”altid”) og så lige pludselig siger, at de nogle gange er større, så giver det jo ikke mening. Det synes jeg giver lidt sig selv. Jeg ved ikke hvordan jeg ellers skal begrunde det. Peter påstår, at ab altid er større end a + b, så siger Søren at det ikke er rigtigt og kommer med et eksempel, der modbeviser det. Så giver det lidt sig selv: man bør være enig med Søren. Ja, jeg ved ikke hvordan jeg ellers … CS: det er også fint nok Opgave 3 Efter en længere pause, hvor Charles læser opgaven … CS: Vi kan godt lave det som en øvelse, hvis det er. Skal vi det? Så kan jeg sige ”tænk på et tal” Charles: Ja ok … men altså ”Vælg et tal .. (Charles læser den indledende tekst op)” Han vælger herefter tallet 4 og udfører øvelsen. Vælger derefter at udføre øvelsen med et nyt tal 5. Demonstrerer fornuftige kompetencer indenfor basal regning med tal. Han begynder at udlede – uden at fortælle om ”den generelle regel”. CS: Hvad tænker du så? Charles har skrevet n·3 Charles: Jeg tænker ”Vælg et tal” det er et vilkårligt tal, så det kan jo bare være n. Kan det ikke? CS: Hhm (støttende) Skriver lidt videre og kommer frem til n× 3+ n+1+11 = n -3 4 Charles stopper lidt op derefter og siger: ”Ved ikke om det giver nogen mening overhovedet” AK: Hvad ville du tro, at resultatet så ville blive? Charles: Det ville blive.. øhm .. det ville være det samme … n… altså 179 Længere pause CS: Det er rigtigt. Det ville det Charles prøver at skrive regnestykket op på ny. Starter på samme måde n·3 +, men bladrer derefter hen til Simons bevis for inspiration. CS: Nå.. du kigger på Simons bevis [ha ha]. Ja, det er altid godt med lidt inspiration. Det er rigtigt. Charles skriver derefter videre og kommer frem til ( (n× 3) + (n+1) +11 )-3= n 4 Charles: Altså … kunne man ikke gøre det ”oder was”? CS: Nu svarer vi ikke på så meget i dag jo, men hvis du selv kigger på den hvad tænker du så? Hvad er det du mangler eller hvad er det du skal gøre for at komme videre? Charles tænker (længere pause) Charles: Det ved jeg ikke AK: Hvis du præsenterede det her for en klassekammerat, at det der (peger på venstresiden af udtrykket) er lig det der (peger på højresiden af udtrykket), tror du så at han ville sige ”ja, det har du fuldstændig ret i” Charles: Det er et lidt ledende spørgsmål .. nej sikkert ikke. Men jeg ved ikke hvordan man skulle gøre det CS: Nej, men det kan vi komme tilbage til for du er sådan set meget godt i gang. Så har vi noget at sige næste gang, om hvordan du så kommer videre Charles: ok Uddybende opgaver fra detektionstesten Opgave 7 Charles kigger i længere tid på den uden at svare. Starter om sider med at sige noget, hvilket er: ”Det det .. det ved jeg ikke helt faktisk”. AK spørger ind til om han tænker over ligningen for den lodrette linje gennem (0,0). Charles bekræfter. Længere pause. Christina spørger ind til om han savner metoder til at afgøre om det er rigtigt eller ej. Charles svarer ja. Christina siger omsider: ”Så lad os bare gå videre til 20’eren”. AK stopper op og spørger: ”Hvis nu svaret er ja i det første spørgsmål, hvilken indflydelse har det så på det andet spørgsmål?”Charles: ”Jamen jeg tror overhovedet ikke, at jeg forstår spørgsmålet … Nej jeg forstår overhovedet ikke spørgsmålet” 180 Opgave 20 Charles kigger længe på opgaven. Siger på et tidspunkt: ”Jeg kan godt se, at hendes påstand er rigtig, men jeg ved ikke hvordan jeg skal forklare det”. CS: ”men det vil sige at hendes påstand er sand”. Chrstoffer: ”ja, hm hm … begge to, men hvordan jeg skal forklare det med formler, det ved jeg ikke”. CS: ”Nej, men nu kommer hun med et taleksempel.. [længere pause] men du tænker, at du kan se at det passer med taleksemplet”. Charles: ”ja, men så prøvede jeg med nogle andre tal og så giver det jo meget god mening ikke? […] men jeg ved ikke hvordan man skal skrive en generel formel for sådan noget”. CS: ”men du har selv i hovedet prøvet med nogle taleksempler?”. Charles: ”ja ja, men jeg ved ikke hvordan jeg skal skrive det generelt nej”. CS: ”må jeg være nysgerrig og spørge hvilke tal du prøvede med?” Han prøvede med 7 og 9. CS: ”så du ville skrive hendes er sand og hans er sand og indholdet er det samme for de to?” Charles: ”Hvis indholdet går på om de begge to er sande så vil jeg sige ja”. Vi kommer ikke videre og forlader opgaven. Opgave 1 Charles: ”Enhver firkant er et kvadrat (forholder sig til påstanden) .. det er jo ikke sandt. Somme tider er så åbent .. det er ikke et rigtigt svar”. AK: ”Hvis du skulle være psykolog, hvorfor tror du så at de har svaret som de har gjort?” Charles: ”Hvorfor de har svaret sommetider? Nogle gange er en firkant et kvadrat, men det er jo ikke generelt nej” Opgave 19 Charles: ”Det her er selvfølgelig i første omgang fordi det jo ikke er en firkant (red: peger på femkanten), og denne her har ikke lige lange sider (red: peger på trapezet) .. og denne her (red: peger på kvadratet) hvis han kun tager denne her frem så kunne han jo godt, men det giver jo ikke mening fordi det ikke passer … ved heller ikke hvad jeg skal sige her”. Charles kommer ind på, at hvis det kun var eksemplet med kvadratet der fandtes, så ville det give meget god mening ”men det er jo heller ikke et modeksempel”. 181 Bilag 16 Transskription af andet interview med Keith: Indledende snak om påstande knyttet til ’beliefs’ Hvad forstår du ved matematik? Keith indleder med at læse de 11 påstande (se bilag???) og sætter kryds ved følgende, som han er enige i: c) Matematik handler om at huske en masse formler udenad og lære at bruge dem. d) Matematik handler om at kunne løse logiske problemer på en kreativ måde. e) Matematiske problemer har ét og kun ét rigtigt svar. Keith og intervieweren snakker derefter kort om hver påstand for at afdække Keiths holdning til disse. a) Matematik er skabt af nogle få meget begavede og kreative mennesker. Andre mennesker prøver blot at lære det, de har overleveret. Keith: Øhh ja altså skabt af nogle mennesker. Altså kreative mennesker. Jeg kan sige, at det handler mere om få mennesker, der har taget det til det næste step - altså de er gået videre med ideen i matematikken. Mens den der logiske tænkning i lang tid har været der. Det er sådan, det ligger naturligt for de fleste. b) Det er ikke muligt at beskæftige sig med matematik på egen hånd. Man har brug for instruktion (ofte fra en lærer) Keith: Det er positivt at have en lærer, som kan vise en hvordan man skal, altså ligesom bære sig ad i matematikkens verden. Og sådan giver én nogle redskaber og muligheder for at løse de her ting. Det kan godt være man sidder på egen hånd og så lærer man noget om et eller andet emne, men du ved ikke hvordan man skal bruge det for eksempel. Så har du en lærer som så kan hjælpe dig med det. c) Matematik handler om at huske en masse formler udenad og lære at bruge dem. Keith: Der er jeg måske meget enig. Det handler om at huske en masse formler uden ad. Og samtidig også lære at bruge dem. d) Matematik handler om at kunne løse logiske problemer på en kreativ måde. Keith: Enig. Altså matematik handler om at løse logiske problemer på en kreativ måde. e) Matematiske problemstillinger har ét og kun ét svar. Keith: Ja. Det er sådan rigtigt matematik tænker jeg. Du skal altid finde et facit. Altså enten kan der være to facit eller intet facit har jeg også være ude for. Altså du kan ikke sådan finde resultat for det her. Altså det stemmer meget godt overens med matematiske problemstillinger. f) Der er kun én korrekt måde at løse et givent matematisk problem på (og det er typisk den måde læreren vælger at løse problemet på). 182 Keith: Nej, der er vel ikke kun en korrekt måde at løse et problem på. Der er mange forskellige metoder, altså alle fra vores klasse kommer forskellige steder, altså alle med forskellige metoder til udregning af de forskellige opgaver vi nu får. Og det ser man jo også når man gennemgår det i klassen, og folk gennemgår det på tavlen og man tænker: ”ok kan man også gøre det på den måde. Jeg har lavet det på en anden måde.” g) Den matematik vi lærer i skolen har kun meget lidt at gøre med den ’virkelige’ verden. Keith: Jeg ved ikke hvor meget, at det matematik vi lærer lige nu, man kan bruge i verden, men sådan noget som renter og procenter som vi laver, det kan man godt bruge hvis vi skal en vis vej. Ellers så sådan noget som købmandsregning. Det er altid godt at have. h) Jeg forstår ikke formålet med at føre beviser i matematik. Keith: Ja det med at bevise formler, det har jeg ikke rigtigt forstået. Det er lidt sådan... Det kan godt være at man kan få en måde at finde frem til det på. Nu tænker jeg:” Det holder stik.” At man så skal forklare den her måde. For mig virker det næsten irrelevant synes jeg. Det er måske groft sagt, men… Interviewer: Det må man godt. Men du kan ikke rigtigt se ideen med at lave beviserne? Hvad man skal med dem? Keith: Øhh nej. Jeg har en ide hvad man sådan…nej, jeg kan ikke se formålet i det. Hvorfor det skulle være nyttigt at bevise det. Interviwer: Nej, hvad nyttigheden er. Keith: Fordi det er tit hvor man sådan - i hvert fald i folkeskolen - hvor man får formler stukket i hånden og så skal man bruge dem her og så tænker man bare sådan - okay så bruger man bare dem her og så tænker man ikke så meget på beviser. Man kan selvfølgelig lige godt lige sætte sig for øje og tænke ”okay det er måske…det er det her du ganger med det her, og det her du dividerer med det her”, og så giver det god mening. Men hvis det er sådan nogle - det ved jeg ikke - jeg kan ikke huske - vi lavede ikke nogle beviser i hvert fald i vores timer. Jeg tænkte: ” er det nødvendigt?” i) Afhængigheden af en lærer er særlig vigtig i matematik, så hvis en lærer ikke er i stand til at forklare faget, så er der kun en meget lille chance for, at eleven forstår matematik. Keith svarer ikke på denne påstand. j) Ethvert matematisk problem kan løses på få minutter. Hvis ikke man kan løse det på få minutter, så kan det slet ikke løses. Keith: Det kommer an på, hvordan man lige sådan tackler det. Hvordan man selv som individ er. Men det kan godt…det er jo ikke sådan at hvis man ikke kan løse på de få minutter, så kan de slet ikke løses. Interviewer: Nej, så det er du ikke enig i? Keith: Nej det er jeg ikke enig i. Umiddelbart kan det tage lidt ekstra tid lige at sætte sig ind i det. 183 k) Matematik er uretfærdigt fordi kun nogle få elever er gode til faget, hvorimod de fleste har svært ved faget. Keith: Det er ikke kun få elever, der er gode til faget. Det handler bare om at huske, det der bliver lært og så sådan tænke logisk. For det meste vi har gennemgået er jo som regel bare formler, og hvis man kan huske det, er det logisk at bruge det til at sætte det sammen og regne det ude. Det vi nu skal løse og sådan noget. Så er det så spørgsmålet igen om at kunne tænke logisk og få det til at hænge sammen og få det overblik over opgaven. Dig og matematik? Keith tager derefter stilling til påstandene omhandlende ”Dig og matematik”. Her sætter Keith ikke nogle krydser på papiret, men han snakker med intervieweren om de enkelte påstande. a) Jeg har aldrig været og kommer aldrig til at blive god til matematik. Keith: Jeg synes ikke at det er sådan. Altså man kan sige at skridtet fra folkeskolen til gymnasiet er ikke så stort i forhold til matematik. Der er flere formler. Flere ting du skal have styr på. Men det kan sagtens lade sig gøre. Det er ikke noget hvor jeg tænker, ”nu står jeg helt af”. Hvis bare man tager de der skridt, altså et skridt af gangen, og får fundamentet på plads. b) Jeg kan godt finde ud af matematik, men det interesserer mig ikke. Keith: Jeg føler selv, at jeg kan finde ud af matematik, så det er jeg ikke enig med. Jeg føler, at matematikken interesserer mig. c) Det vigtigste for mig er at forstå faget så grundigt som overhovedet muligt. Keith: Det er vigtigt for mig at forstå faget, men måske ikke så grundigt. Selvfølgelig forstå det, men ikke sådan så når jeg ser formler, så skal ind og studere, hvordan det hænger sammen. d) Hvis jeg bare sætter mig ned og læser stoffet, så kan jeg godt finde ud af matematik. Keith: Jeg skal lige bruge lige ekstra tid på at sætte mig ind i stoffet. Jeg kan ikke bare læse det og så huske det hele. Så skal man lige bruge lidt tid til at forstå begreberne helt. Og så måske prøve det af, det kan jeg godt lide. Og sætte nogle tal ind, og så når man har fundet resultatet så regne efter. e) Jeg kommer aldrig til at forstå matematik, men jeg kan måske lære formler udenad og forstå at anvende dem korrekt. Keith: Det er måske et underligt spørgsmål. Forstå matematik…ja man kan måske forstå at bruge det til noget. Der er et eller andet ved det spørgsmål synes jeg. Der er mange ting man kan forstå omkring det, der omhandler matematik. Der er mange synsvinkler at forstå det på. Tanken bag det eller måden at forstå at bruge det på. Og måske hvorfor matematikken, altså hvilket formål. Men det synes jeg, at jeg har godt styr på. Altså at bruge matematik. f) Der er ikke noget værre end at lave fejl i matematik. Fejl dømmes hårdt i matematik. 184 Keith: Det er i orden at lave en lille fejl, hvis metoden er rigtig. Og resultatet måske tæt på, så synes jeg ikke, at det gør så meget. Det har jeg det fint nok med. Så længe at man bare ved, at jeg forstod det. g) En matematisk opgave har kun én løsning og af den grund kan jeg ikke lide faget, idet der er 1000 forkerte svar, men kun 1 rigtigt svar. Keith: Ja der er mange forkerte svar, det er selvfølgelig rigtigt nok. Men igen, der er ikke kun et rigtigt svar. Og jeg kan sådan set godt lide faget. Matematiske beviser Opgave 1: Keith kan bedst lige Jespers og Hannes bevis. Han siger bl.a.: Keith: Den anden (red: Simons bevis) den slog mig lidt ud. Jeg synes det var lidt svært at holde styr på det. Jeg har det bedre, hvis det er nogen tal. Og Keith fortsætter: Keith: Jeg ser ikke noget galt med det første (red: Jespers) og det sidste (red: Hannes) bevis, bortset fra at man finder ikke rigtigt ud af hvorfor. Det virker lidt tilfældigt. Det er ikke så generelt. Intervieweren spørger igen indtil, hvilke(t) bevis(er) han bedst kan lide, og han svarer: Keith: De (red: Jesper og Hannes beviser) er mere overskuelige. Det kan sikkert godt være, at Simons bevis også er rigtigt, men det er bare mere generelt. Keith spørges så om, hvilket bevis han ville bruge til at overbevise en kammerat, og her svarer han: Keith: Så ville jeg vælge den første. Nej måske den sidst, for så har jeg vist det to gange. Det er samme princip, men så har du bevist at ikke kun er en tilfældig grad. Keith spørges om han mener, at Hannes bevis er bedre end Jespers, og her svarer han: Keith: Ja. Men Hannes er bare Jespers bevis og så bare lige en ekstra. Keith spørges om, hvilket bevis han ville vælge for at overbevise sin lærer. Keith: Så skal man prøve det af med en masse tal. Eller man kunne som Simon har gjort - lave et generelt bevis. Keith spørges igen og han svarer nu: Keith: Jeg er sikker på, at det er opgave 2 (red: bevis 2) som jeg skal vise. Men hvordan jeg skal bruge det til at overbevise, ved jeg ikke. Men det ser overbevisende ud. Så er der virkelig nogen som har gjort sig tanker i, at finde en generel måde. Så er du i princippet fri for at regne alle mulige tal efter. 185 Opgave 2: I denne opgave giver Keith Søren ret. Han siger: Keith: Det holder ikke stik det Peter siger. Søren har ret. Det giver logisk mening, det Søren siger. ”De fleste tilfælde” (red: det Peters siger) er ikke et argument. I matematik skulle det gerne være noget man kan bruge regelmæssigt. Opgave 3: Keith prøver algoritmen i opgave 3 to gange og får begge gange det tal han starter med. Dette indser Keith straks. Og formulerer dette som en generel regel. Han spørges om man kan lave et bevis for det, eller om vi måske allerede havde et bevis, da vi har regnet det igennem med to forskellige tal. Han svarer: Keith: Ja nu har vi brugt det to gange, så nu har vi sådan set bevist det. Uddybende opgaver til detektionstesten Spørgsmål 9: Keith siger hurtigt ja til spørgsmålet: ”Kan ligningen for den lodrette linje gennem (0,0) skrives på formen 𝑦 = 𝑎𝑥, hvor 𝑎 er en konstant” Til spørgsmålet ”Er det så rigtigt at påstå, at enhver ret linje gennem (0,0) har en ligning af formen 𝑦 = 𝑎𝑥, hvor 𝑎 er en konstant” svarer Keith: Keith: Det er afgørende, hvilke tal du bruger i koordinatsættet. Ja det lyder meget rigtigt. Hvis du har en ligning gennem (0,0) og den er lodret, så er den vel også stigende konstant. Spørgsmål 20: Først spørges Keith om spørgsmålet: ”Er Ayas påstand sand?” Keith: Jeg tænker om man kunne finde andre tal, så det vil give et andet resultat. Keith prøver med 4 og 5 og finder at summen er ulige (og Ayas krav er at de er lige). Intervieweren forsøger at stoppe Keith, men han regner videre og finder ud af, at produktet er lige. Keith: I forhold til hvad Aya siger her, så er deres produkt ulige (red: I Ayas påstand). Her er produktet ulige (red: Keith peger på sin egen beregning med tallene 4 og 5) Så har vi bevist, at det er modsigende. 186 Intervieweren spørger, om Keith synes han har fundet noget som modbeviser (Ayas påstand) og til det svarer Keith ”ja”. Keith går videre til Alis påstand. Og prøver at finde et eksempel der modbeviser Alis påstand. Han prøver med tallene 7 og 7. Keith finder ud af, at Alis påstand i dette tilfælde holder og konkluderer: Keith: Så det er rigtigt (red: Alis påstand). Han har i hvert fald fundet noget som underbygger hans påstand. Det ser ikke ud til, at der er noget galt i det Ali siger. Intervieweren spørger nu, om Ayas og Alis udsagn er det samme. Keith: Det vil være forkert at sige ja. Det er vel derhen af. Det er bare vendt om. Jeg ser det som lidt et trickspørgsmål. Når man ser sådan noget, så har jeg det som om, at der må være et eller andet galt. Det er bare mærkeligt, hvis nogen ting virker simpelt, så tænker jeg, at der må stå noget bag. Han begrunder bagefter med: Keith: Nej, da produkt og sum er to forskellige tal. Spørgsmål 1: I dette spørgsmål omhandlende elever, der svarer ”sommetider”, svarer Keith: Keith: Jeg ved ikke, hvorfor folk skulle skrive ”sommetider”. Måske kunne de have uddybet lidt mere som svar. Måske fordi der er flere former for firkanter. De skulle bare have været mere præcise i deres svar. Spørgsmål 19: Her kunne Keith svare på spørgsmålene. 187 Bilag 17 Opgaver til interventionen: Opgave 1: Jonas har opdaget følgende: Påstand: Tre på hinanden følgende naturlige tal opfylder altid Pythagoras sætning om at 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 . Jonas’ forklaring: Ser man på tallene 3, 4 og 5, så gælder 32 + 42 = 52 , idet 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 . Derfor har vi bevist påstanden. Har Jonas bevist sin påstand? Prøv selv at vælge 3 på hinanden følgende naturlige tal og afprøv Jonas’ påstand. Er ét eksempel som passer med påstanden nok til at bevise påstanden? Opgave 2a: Magnus har opdaget følgende: Påstand: Alle tal på formen 2𝑛 + 1, hvor 𝑛 er et naturligt tal, er et primtal. Magnus’ forklaring: Indsætter vi 𝑛 = 1 så får vi 2 ⋅ 1 + 1 = 3, hvilket er et primtal. Har Magnus bevist sin påstand? Opgave 2b: Magnus fortsætter nu sin forklaring. Magnus’ forklaring - del 2: Indsætter vi 𝑛 = 2 så får vi 2 ⋅ 2 + 1 = 5, hvilket er et primtal. Har Magnus nu bevist sin påstand? 188 Opgave 2c: Magnus fortsætter nu sin forklaring. Magnus’ forklaring - del 3: Indsætter vi 𝑛 = 3 så får vi 2 ⋅ 3 + 1 = 7, hvilket er et primtal. Har Magnus nu bevist sin påstand? Opgave 2d: Magnus bliver nu lidt irriteret over, at hans bevis ikke er godt nok. Han fortsætter derfor sin forklaring med nogle lidt anderledes valg af 𝑛: Magnus’ forklaring - del 4: Indsætter vi 𝑛 = 8 så får vi 2 ⋅ 8 + 1 = 17, hvilket er et primtal. Indsætter vi 𝑛 = 14 så får vi 2 ⋅ 14 + 1 = 29, hvilket er et primtal. Indsætter vi 𝑛 = 41 så får vi 2 ⋅ 41 + 1 = 83, hvilket er et primtal. Indsætter vi 𝑛 = 363 så får vi 2 ⋅ 363 + 1 = 727, hvilket er et primtal. Er Magnus’ valg af tal bedre denne gang? Har Magnus nu bevist sin påstand? Hvor mange tal skal Magnus forsøge med, før påstanden er bevist? Opgave 2e: Prøv selv at vælge naturligt tal 𝑛 og indsæt i formlen 2𝑛 + 1. Får du et primtal? Hvad er din konklusion på Jonas og Magnus’ bevismetoder, hvor de beviser deres påstande ved hjælp af eksempler? 189 Opgave 3a: I weekenden var der et røveri i Danske Bank i Sønderborg. Vidner beskriver røveren som værende dansktalende og ca. 190 cm. høj. Politiet anholder hurtigt en tilfældig mand ved navn B. Ankrøver (B står for Bent) og stiller hurtigt Bent for retten. Dommeren vurderer nu politiets påstand om, at Bent er manden bag røveriet: Dommeren finder hurtigt ud af, at Bert taler dansk. Dette stemmer helt overens med politiets påstand om, at Bent er bankrøveren (som jo var dansktalende). Ydermere finder dommeren et målebånd frem og måler Bent til at være 189 cm. høj, hvilket også svarer til politiets påstand, idet røveren var ca. 190 cm. høj. Politiet har på nuværende tidspunkt ikke flere spor i sagen. Har politiet bevist, at Bent er bankrøveren? Opgave 3b: Dommeren valgte efter lidt overvejelse ikke at tro på politiets påstand om, at Bent var bankrøver. Og dette på trods af, at et par eksempler (dansk tale og hans højde) viste, at Bent kunne passe med påstanden. Dommeren vidste nemlig, at et par eksempler ikke er nok til at bevise en påstand. Senere kom det frem i lyset, at Bent havde været til traktortræk i Nordjylland hele weekenden, hvilket et utal af vidner kunne dokumentere. Er dette modeksempel på politiets påstand (om Bent som bankrøver) nok til for altid at have modbevist politiets påstand? Opgave 4: I opgave 2 påstod Magnus, at tal på formlen 2𝑛 + 1 altid er et primtal. Hvis man indsætter 𝑛 = 4 får man 2 ⋅ 4 + 1 = 9, som ikke er et primtal. Har vi nu for altid modbevist Magnus’ påstand? Hvor mange modeksempler skal der til at modbevise en påstand? 190 Opgave 5: Politiet har efter Bents løsladelse fortsat efterforskningen. Det viser sig, at Bent har en tvillingbror, som hedder Brian. Brian snakker også dansk, han er også 189 cm høj og ydermere har politiets vidner fra Nordjylland fortalt, at Brian ikke var med til traktortræk. Politiet opstiller derfor en ny påstand om, at Brian er bankrøveren, og de underbygger dette med hele 3 eksempler på ting hos Brian (dansktalende, 189 cm høj, har ikke været i Nordjylland) som passer med politiets nye påstand. Har politiet nu bevist deres påstand, om at Brian er bankrøveren? ….. eller har vi brug for et klart bevis frem for eksempler? 191 Opgave 6: En matematiklærer giver følgende påstand22: Påstand: Følgende 3 talopskrifter vil altid ende med det midterste tal: Opskrift 1: 1. Tænk på tre naturlige tal, der kommer lige efter hinanden. 2. Læg de tre tal sammen. 3. Divider resultatet med 3. Opskrift 2: 6. 7. 8. 9. 10. Tænk på tre naturlige tal, der kommer lige efter hinanden. Gang det mindste tal med sig selv. Gang det største tal med sig selv. Træk de to resultater fra hinanden. Divider med 4. Opskrift 3: 7. 8. 9. 10. 11. 12. Tænk på tre naturlige tal, der kommer lige efter hinanden. Gang det mindste tal med 3. Gang det midterste tal med 2. Gang det største tal med 1. Læg 2 til. Divider med 6. Prøv talopskrifterne med forskellige talsæt. Tror du på påstanden om, at hver af de tre opskrifter altid ender på det midterste af de tal, du tænkte på? Vil du se et bevis på påstanden, før du tror på, at den altid er rigtig? Evt.: Brug variable for at argumentere for, om påstanden er sand eller falsk. 22 Opgaven kommer fra [Kaas Kolorit 9] 192 Opgave 7: Afgør hvor mange diagonaler der er i de nedenstående regulære polygoner: 193 Miniprojekt 3. semester december 2014 Uddannelse til Matematikvejleder Matematisk modellering Rapporten er udarbejdet af: Anders Keiding, Sankt Annæ Gymnasium Kasper Maes, Aurehøj Gymnasium Christina Specht, Aurehøj gymnasium Vejledere: Mogens Niss, Uffe Jankvist og Sif Skjoldager, RUC 194 Indledning "Hvad er matematisk modellering og hvad skal eleverne med det". Det spørgsmål kan man stille sig selv og diskutere med andre (matematikere). I gymnasiet kan man lede i læreplanerne og undervisningsvejledningen efter svar - ikke om hvad det er, men hvor meget det skal fylde i undervisningen og hvad eleverne skal med det. Der står bl.a. "Gennem undervisningen skal eleverne opnå kendskab til vigtige sider af matematikkens vekselvirkning med kultur, videnskab og teknologi. Endvidere skal de opnå indsigt i, hvorledes matematik kan bidrage til at forstå, formulere og behandle problemer inden for forskellige fagområder" (STX MAT A læreplan formål) Endvidere står der "Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling". (STX MAT A læreplan identitet.) Og videre "– anvende funktionsudtryk og afledet funktion i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modellerne, kunne analysere givne matematiske modeller og foretage simuleringer og fremskrivninger" (STX MAT A læreplan faglige mål) Som udplukket viser, er der fra Undervisningsministeriet fokus på, at eleverne skal vide hvad en matematisk model er og arbejde med disse herunder med opstilling af en matematisk model. På lavere niveauer ses et tilsvarende fokus. Da vi satte os ned med dette projekt fra start af, begyndte vi at overveje, hvor eleverne rent faktisk møder matematisk modellering, og hvornår de selv modellerer. Typisk kommer eleverne ud for modellering i regressionsopgaver23 og nok i højeste grad i optimeringsopgaver24. Og netop optimeringsopgaver har eleverne ofte meget svært ved både i undervisningssituationer men også til skriftlig eksamen. Her er det ofte allerede i matematiseringsprocessen (se teoriafsnit), hvor det går galt. Derfor fandt vi det interessant at undersøge, hvor elevernes vanskeligheder ligger i modelleringskompetencen med henblik på, om en intervention på dette (disse) område(r) kunne hjælpe elever med netop optimeringsopgaver og mere specifikt med matematiseringsdelen af optimeringsopgaver. Dette førte os i retning af vores endelige problemformulering: I hvilket omfang kan en intervention rettet mod elevernes evne til at matematisere forbedre deres evne til at løse netop denne fase i optimeringsopgaver og dermed optimeringsopgaver generelt? Vores fokus i dette projekt har været på interventionsdelen, da vi i de to tidligere miniprojekter har haft fokus på diagnose. Endvidere valgte vi fra start af det benspænd, at vi ville lave en klasserumsintervention, da det er vores generelle opfattelse af mange elever i vores klasser har vanskeligt med netop matematisering, og fordi vi ikke tidligere har prøvet en klasserumsintervention. Vi vil i dette projekt beskrive vores proces fra detektion til intervention og til slut diskutere vores resultater. 23 24 Typisk modelanalyse [KOM]. Aktiv modelbygning [KOM] 195 Detektion af elever Vi vil i de følgende afsnit beskrive fremgangsmåden til at detektere mulige emner til elever med matematikvanskeligheder inden for modelleringskompetencen. Fremgangsmåden ligner metoden benyttet i de to første miniprojekter og ligesom i disse miniprojekter, vil vi også her give en kort kvantitativ analyse af vores resultater. Fremgangsmåde Vi har gennemført en undersøgelse med detektionstest 3 (se bilag 3) i fire klasser fordelt på én klasse på Sankt Annæ Gymnasium (SAG) og tre klasser på Aurehøj Gymnasium (AU). De fire klasser fordelte sig på tre A-niveau hold (en 3.g og to 2.g) og et B-niveau hold (2.g valghold). Af disse fire klasser er alle Aniveauholdene gengangere fra sidste miniprojekt, imens B-niveau holdet er en ny klasse. Undersøgelsen foregik som tidligere ved, at vi uddelte detektionstesten i de fire klasser, hvorefter vi rettede alle testene ud fra nogle præmisser, som vi havde aftalt på forhånd. Ydermere lavede vi en kategorisering af opgaverne i detektionstesten for at se, om elevernes svar allerede i detektionstesten kunne give os en pejling om, hvor elevernes vanskeligheder kunne ligge. Disse resultater sammenlagt med de overordnede resultater for detektionstesten og vores kendskab til eleverne fra undervisningen gav os et godt fundament i forhold til at udvælge et antal elever, som vi ville arbejde videre med. Præmisser for vurdering af svar i detektionstest For at få et så ens vurderingsgrundlag som muligt, aftalte vi inden undersøgelserne af klasserne nogle præmisser for at rette elevernes besvarelser. Som hovedregel gav hver korrekt besvarelse af et spørgsmål 1 point og en forkert besvarelse 0 point. Men da alle spørgsmål i denne detektionstest stillede som krav, at eleverne skulle begrunde deres svar, så har vi tilladt os muligheden at give ½ point. Dette har vi gjort i de tilfælde, hvor eleven har svaret korrekt, men hvor begrundelsen har været eksisterende men mangelfuld. Kategorisering Vi har igen i dette projekt forsøgt at lave en kategorisering af spørgsmålene i detektionstesten. Dette er som nævnt gjort for at få en tidlig idé om, hvor elevernes vanskeligheder kunne ligge begravet. Som nævnt i de andre projekter, så er detektionstesten og den dertilhørende kategorisering ikke brugt som et værktøj til at diagnosticere men udelukkende som en tidlig hjælp til at spore sig ind på de egentlige problemer. Vores kategorisering i dette projekt er opdelt efter faserne i modelleringscyklussen (se teoriafsnit), dvs. præmatematisering, matematisering, matematisk problemløsning, afmatematisering og validering. Kategoriseringen er lavet på baggrund af Niss’ noter om de tretten spørgsmål [Niss 2/2014]. Vores kategorisering kan ses her: 196 Vi har i kategoriseringen vægtet alle de - i det givne spørgsmål - optrædende faser ens, dog har vi tilladt os at ignorere faser, som kun i mindre grad kommer i spil i et givent spørgsmål. F.eks. har vi i spørgsmål 2 vurderet, at præmatematiseringen udgør så lille en del af opgaven, at vi har set bort fra denne i kategoriseringen. Det som vi har vurderet hovedsagelig er i spil i spørgsmålet er matematisering og matematisk problemløsning, og disse er vægtet lige højt i kategoriseringen på trods af, at opgavens kerne er matematiseringen [Niss 2/2014]. Resultater Resultaterne af hvert enkelt spørgsmål for eleverne i hver klasse kan ses i bilag 2-5. Her kan også ses resultaterne ud fra vores kategorisering. De elever, der optræder i bilaget, er dem som vi har udvalgt til videre diagnosticering. De overordnede resultater for de fire klasser har fordelt sig således: Klasse: Procent rigtige svar: 2gMA (AK) (Sankt Annæ Gymnasium 2.g A-niveau) 60,08% 2gMA (CS) (Aurehøj Gymnasium 2.g A-niveau) 65,81% 3gMA (KPM) (Aurehøj Gymnasium 3.g A-niveau) 73,25% 2gMa Valg (KPM) (Aurehøj Gymnasium 2.g B-niveau valghold) 50,00% 197 Resultaterne ser ud, som det kunne forventes, hvis vi inden skulle vurdere klassernes evner inden for kompetencerne i matematikfaget. Klassen fra 3.g med A-niveau klarede sig som ventet bedst, og valgholdet i 2.g som ”kun” har matematik på B-niveau klarede sig som ventet dårligst af de fire klasser. Det kunne derfor ud fra vores lille undersøgelse tyde på at på trods af, at elever som normalt er dygtige til andre kompetencer inden for matematik godt kan have vanskeligheder med modelleringskompetencen (og omvendt), så vil klassernes samlede resultater inden for modelleringskompetencen følge klassernes samlede resultater samlet set indenfor de andre matematiske kompetencer. Kigger man nærmere på hvordan resultaterne fordeler sig inden for de fire klasser hver for sig, så er disse illustreret i følgende boksplot over antal rigtige svar (ud af 13 mulige): Disse resultater stemmer også overens med vores formodninger inden testen. Ikke overraskende har klassen 3gMA (KPM) den mindste spredning, da klassen har haft et år mere end de andre til at udvikle deres matematiske kompetencer, og desuden er flere af klassens svage elever stoppet, hvilket naturligvis gør det overordnede bundniveau bedre. Resultaterne for holdet 2gMa Valg (KPM) ser også ud som ventet. Holdet er et valghold samlet af elever fra studieretningerne Engelsk A / Musik A og Engelsk A / Fransk A. Helt typisk for disse valghold er der en stor gruppe af middelelever samt enkelte rigtig dygtige og enkelte rigtig svage elever. Holdet 2gMA (AK) er i studieretningen Matematik A/ Samfundsfag B og Musik B. Omkring en femtedel af eleverne i klassen er såkaldt MGK-elever, dvs. elever der går på en særlig talentlinje indenfor musik og har fået tilrettelagt et 4-årigt gymnasieforløb. Den store spredning i resultaterne kan delvist forklares ved, at ikke alle MGK-eleverne har særlig meget fokus på det faglige i gymnasiet (musikken tager det meste af deres tid) og at de øvrige elever er sammensat af en lille gruppe dygtige selvstændige elever og en større gruppe flittige elever, som er gode til at anvende formler, løse skabelonopgaver og forholde sig til præsenteret teori, men ikke er så gode til at løse ukendte problemstillinger. Holdet 2gMA 198 (CS) har studieretningen Matematik A / Musik A / Fysik B og er generelt en rigtig god og dygtig klasse, hvilket ofte er tilfældet med elever fra den studieretning. Valg af elever Vi havde som i de to forrige projekter stillet tre kriterier op i forhold til udvælgelse af elever til videre undersøgelse i projektet. Første kriterie var, at eleverne skulle vise tegn på vanskeligheder i detektionstesten, dog uden at de nødvendigvis skulle være blandt de elever med ringeste resultater. Ydermere skulle eleverne selvfølgelig være interesseret i at deltage med alt det arbejde og tid, som det nu kræver. Vores sidste kriterie var, at vi ville undgå at arbejde med elever med alt for store problemer fagligt som ikke-fagligt. Det kunne f.eks. være elever med så store vanskeligheder inden for matematik, at det ville besværliggøre arbejdet med modelkompetencen for meget, elever som generelt har svært ved at følge med i gymnasiet og elever med problemer uden for gymnasiet. Vi havde i vores forarbejde diskuteret muligheden for at arbejde videre med vores elever fra det andet miniprojekt (James, Keith og Charles), såfremt de igen ville skille sig ud i detektionstesten. Deres samlede resultater ser således ud sammenlignet med deres klasse: Navn: Antal rigtige Procent rigtige Charles 7 53,85% James 5,5 42,31% Keith 5,5 42,31% 2gMA (CS) (gennemsnit) 8,6 65,81% Dermed ligger både James og Keith i nederste 25% for klassen, imens Charles klarede sig en smule bedre. De klarede sig dog alle på et niveau, hvor vi vurderede, at det kunne være interessant at arbejde videre med dem. Både James og Charles sagde straks ja, men desværre ønskede Keith af personlige årsager ikke at deltage i dette projekt. I stedet for Keith rettede vi blikket mod eleven Ed, som også opfyldte alle vores tre kriterier. Han resultater var således: Navn: Antal rigtige Procent rigtige 6 46,15% Ed Ed ville gerne deltage, og dermed havde vi tre elever på plads fra Aurehøj Gymnasium. 199 Ud over de tre elever fra Aurehøj Gymnasium besluttede vi, at vi også gerne ville arbejde med elever fra Sankt Annæ Gymnasium. Detektionstesten blev givet til klassen 2gMA (AK) med det resultat, at flere elever sprang i øjnene, og vi begyndte at tale med flere elever om en mulig deltagelse i projektet. Til sidst endte vi med to elever fra klassen, nemlig eleverne Jay og Mary, hvis overordnede resultater var således sammenlignet med deres klasses gennemsnit: Navn: Antal rigtige Procent rigtige Jay 4 30,77% Mary 5 38,46% 7,8 60,08% 2gMA (AK) (gennemsnit) Både Jay og Mary ligger begge blandt de nederste 25 % i klassen. En sidste bemærkning til dette afsnit er, at vi i dette projekt har haft særdeles svært ved at finde elever til at deltage. Bare det at få eleverne til at skrive navn på detektionstesten har været en ikke ubetydelig opgave. Vi må atter en gang konstatere, at eleverne på vores to gymnasier er så karakterfikseret, at de er bange for, at en dårlig detektionstest vil have indflydelse på deres karakterer på trods af et utal af garantier om det modsatte. Endvidere ser mange elever det som et nederlag at blive udvalgt til projektet, også selv om de får at vide, at de nødvendigvis ikke er blandt klassens dårligste, men blot dem med de mest interessante svar i testen. Vi har denne gang bl.a. oplevet en elev blive nærmest panisk, da vi spurgte hende om deltagelse, da det jo måtte betyde, at hun var dårlig til matematik. Endvidere har vi måttet love Jay, at ingen fra hans klasse må få at vide, at han deltager i projektet, før han turde sige ja. Teori Når matematik anvendes til at beskrive sider af den virkelige verden, sker det ofte med modeller matematiske modeller. Det kan være man ønsker at overskue og forstå komplicerede dele af virkeligheden, undersøge vækst over tid, se på sammenhængen mellem to størrelser eller på en eller anden måde at skabe let overskuelige intervaller eller grænser for menneskelig gøren og laden. "Models are systems of elements, operations, relationships, and rules that can be used to describe, explain, construct, predict or control the behavior of some other system", citat fra en af Helens Doerrs slides fra internat maj 2014 i et oplæg til tredje semesteropgave om modellering. Vi prøver gennem nogle forskellige processer at komme fra virkeligheden til et matematisk beskrevet område. Modellen kan (måske) analyseres og det svar man kommer frem til kan hernæst fortolkes i den virkelige verdens regi og evalueres. Måske er man i første omgang ikke tilfreds, hvilket fører til, at modellen skal justeres og man må således tage en omgang i modelleringskarusellen igen. Dette er en første og enkel tilgang til modelleringscyklussen faser - fra virkelighed til matematisk opgave over til matematisk løsning og endelig til en løsning i den virkelige verden 200 Det er selve processen, hvori man skaber en matematisk model, det kaldes modellering og denne cykliske proces kan beskrives mere indgående ved nedenstående figur. Figuren er fra [Bjerring ;2012] Vi starter i en oplevet virkelighed. Virkeligheden er fuld af indtryk og informationer, og vi hiver de vigtigste træk som er relevante for situationen frem og ser bort fra resten – f.eks. vil man i en proces der handler om betaling for en ydelse fx taxakørsel ikke hæfte sig ved chaufførens valg af tøjfarver. Cyklussen består af seks faser: Motivering, systematisering, matematisering, matematisk analyse, fortolkning og procesevaluering. I motiveringsfasen stiller man skarpt på, hvad det er man vil undersøge. Herefter følger en systematisering man udvælger de særlige karakteristiske træk, der skal indgå i et system - man sætter begrænsningerne og skærer til om nødvendigt. Hvilke relationer er der, og hvilke antagelser skal med. Dernæst følger matematiseringsfasen, hvor det forenklede problem oversættes til matematik, der i den næste fase kan analyseres. Herefter følger en fortolkning af det svar den matematiske analyse giver og til slut kan svaret afprøves og evalueres i den virkelige verden. På alle trin i processen kan man bevæge sig både frem og tilbage efter behov. Frem er måske den naturlige vej at vælge, men er man usikker eller tvivlende, kan man tage et hop den anden vej. Det er måske endda en lidt idealiseret procesbeskrivelse, idet man ofte kan komme til at springe frem og tilbage mellem de enkelte dele uden af følge den cirkulære bevægelse særligt når behovet for flere omgange i modelleringscyklussen er til stede (og det er den ofte for den arbejdende modellør, men sjældent i gymnasieskolen). Denne model har vi anvendt overfor eleverne i forbindelse med interventionen. Undervejs på uddannelsen er vi blevet præsenteret for følgende model, som måske er en kende for avanceret for eleverne 201 [Niss; 2010] I modelleringsprocessen som er skitseret på ovenstående figur, starter vi med et problem i den virkelige verden, som vi ønsker at modellere. Da disse ofte er for komplekse, er det nødvendigt at simplificere, at skære til og nedfælde hvilke antagelser man lægger til grund i sit videre arbejde. Dette hedder på figuren "specification" og "identification" og er på uddannelsen også kendt som præmatematiseringsfasen i modelleringscyklussen. Dette forenklede problem sammenlignes med det oprindelig problem for at se, om man har skåret for hårdt til, eller om der kræves en yderligere justering. Man kan spørge sig selv, om forenklingen er OK eller for omfattende. Herefter følger matematiseringsfasen, hvor problemet oversættes til matematik. Man kan benytte forskellige repræsentationer herunder tegne skitser, opstille funktionsudtryk, ligninger, tegne grafer osv. for at koge problemet ind til en matematisk suppeterning, som sidenhen kan analyseres. Vi er nu ovre i det matematiske domæne M. Selve analysen kan finde sted med diverse matematiske værktøjer. Til slut bevæger man sig så fra analysens resultat og over i virkeligheden igen. Resultaterne kan på forskellig vis valideres og evalueres og på baggrund af denne validering kan det blive nødvendigt at gennemarbejde forskellige faser af cyklussen igen. Man kan foretage en opdeling i præskriptive og deskriptive modeller. De deskriptive modeller anvendes, når vi vil erkende et eller andet. Det kaldes deskriptive modeller, da de beskriver en del af en allerede eksisterende verden. De beskriver sammenhænge i et system, og man kan ved ændring af parametrene undersøge påvirkningen af systemet. Hvis modellen kan reproducere eksisterende data, kan den anvendes til at fremsætte nye sammenhænge og teorier om systemet (nye sammenhænge mellem de parametre der undersøges eller indbyrdes forhold mellem parametrene). Der er også de præskriptive modeller, der som sådan ikke er en reel del af den virkelig verden, men som skabes i skulptørens værksted for at komme med en løsning på et eller andet - det være sig et optimeringsproblem, et spådom om hvad der sker i fremtiden 202 eller et mål der angiver f.eks. kondital, BMI og lignende. Formålet er at sætte os i stand til at træffe et valg, når der er flere muligheder. Det vil sige, vi bruger de præskriptive modeller til at foreskrive regler og standarder der bør/kan følges. Man kan sige vi indretter virkeligheden efter modellen og ikke omvendt. Vi har gennem forløbet på tredje semester arbejdet med begge typer modeller men måske hovedsagelig med de deskriptive. Vi har fra den daglige undervisning masser af erfaring med elevernes problemer med håndtering af disse. Vi kom tidligt i forløbet til at tale om optimeringsopgaverne i de skriftlige eksamensopgaver og om de vanskeligheder vi ser eleverne møde, når vi er i gang med forløb og projekter i optimering. De deskriptive modeller møder eleverne også, når de skal introduceres til regression og simpel modellering. Her bliver de forelagt datamateriale og skal opstille en ofte præfabrikeret model (fx lineær) eller får en sammenhæng beskrevet i ord, som de så skal modellere matematisk (fx. taxaopgaver). Når vi har arbejdet med eleverne i forhold til bibringe dem en (større/bedre) modelleringskompetence, har vi bevidst prøvet at bringe dem til både at udføre aktiv og passiv modellering. [KOM; 2002] Ved den passive modellering foretager man en analyse af en allerede eksisterende model. Man kan undersøge grundlaget for den, egenskaberne, rækkevidden og holdbarheden af den. Dette har været det fremherskende formål i et af vores interventionsmoduler, hvorimod vi det efterfølgende modul har arbejdet med den aktive modelleringskompetence hos eleverne, idet de selv skulle strukturere problemet og bringe matematikken i spil for at matematisere og evt. løse en række problemstillinger. Vi har dog ikke haft voldsom fokus på selve analysedelen af modelleringscyklussen, men har prøvet at holde eleverne fast på, at matematiseringsfasen fortrinsvis var i spil. Fra den daglige undervisning er de geometriske optimeringsopgaver oftest den type aktive modellering eleverne støder på, dog indimellem med det tvist at den matematiske model faktisk er givet, men skal eftervise, og så er vi røget over i den mere passive del af kompetencen. Der er et vist overlap eller flydende grænse mellem modelleringskompetencen og problembehandlingskompetencen, som er - ja, evnen til at formulere og løse matematiske problemer. "Jo mere det er nødvendig at tage specifikke træk ved de elementer der indgår i problemstillingen i betragtning, jo mere er der tale om modelbygning" KOM s. 50. Man skal holde sig for øje, at det at løse færdigformulerede opgaver ikke er det samme som selv at finde og formulere matematiske problemer. Diagnosticering Efter udvælgelsen af vores fem elever var vi klar til en egentlig diagnosticering. Da vi som udgangspunkt for dette miniprojekt havde givet os selv det benspænd, at der modsat miniprojekt 1 og miniprojekt 2 nu skulle være fokus på interventionsdelen, så besluttede vi os for at begrænse os til kun en samtale pr. elev til diagnosticering. Vi havde lavet en kategorisering af de 13 spørgsmål i detektionstesten for få et hint om, hvor vi kunne starte diagnosticeringen. De udvalgte elevers resultater så således ud: 203 Heraf ser vi, at alle de fem elever med undtagelse af Charles klarede sig dårligt i stort set samtlige kategorier sammenlignet med deres klassekammerater. Charles klarede sig dog temmelig dårligt i matematiseringsopgaverne, og dermed havde vi en kategori, hvor alle fem elever havde klaret sig dårligere end kammeraternes resultater. Samtidig havde vi inden projektets begyndelse snakket om, hvor modelleringskompetencen spiller ind og giver problemer for vores elever, og her blev svaret, at især optimeringsopgaver og specifikt elevernes vanskeligheder med at opstille de udtryk, der skal optimeres, er et af de store problemer. Det var derfor naturligt for os at kigge nærmere på selve matematiseringsfasen, og vi fokuserede derfor på denne fase i vores interviews for at se, om vores fem udvalgte elever viste så store vanskeligheder i interviewene som resultaterne af kategoriseringen kunne tyde på. Ved alle fem elever havde vi forud for interviewet udvalgt en række spørgsmål fra detektionstesten, som vi ønskede at eleverne skulle forklare og snakke om for at afdække deres tankegang og problemer. Disse spørgsmål var hovedsagligt udvalgt blandt opgaverne involverende matematisering og var hovedsagelig opgaver, som eleverne havde svaret forkert på. Interview med Ed Ed havde i detektionstesten 46 % rigtige svar. Ud fra vores kategorisering kunne vi se, at Ed lavede fejl i samtlige af modelleringscyklussens faser, men at han især skilte sig ud fra klassen, når det kom til præmatematisering og matematisering. Vi havde derfor udvalgt de spørgsmål i detektionstesten, hvor kernen er præmatematematisering og matematisering, og hvor Ed havde svaret forkert. Dette drejer sig om spørgsmål 1, 3, 4, 6, 7 8 og 12. Vi ønskede at høre om Eds tanker til netop disse spørgsmål for at komme nærmere en diagnosticering. De indscannede billeder er elevernes besvarelser fra detektionstesten. Spørgsmål 1: 204 Ed: ”Jeg har sagt 7 minutter, da det er lige imellem Grete og Hans med 6 og 8 minutter, dvs. gennemsnittet. Det var nu ikke det jeg tænkte først, der var 7 minutter bare det mest åbenlyse” Lærer: ”Men hvad nu hvis Grete skal bruge 8 minutter? ” (Ed svarer ikke) Lærer: ”Hvis nu man tager hvad der står som værende rigtigt, altså at Grete skal bruge 8 minutter, kan man så tage gennemsnittet?” Ed: ”Øhh, det kommer an på, om man ser det som tal der ikke kan ændres, eller om man kigger på den virkelige model. Hvis man kigger på den virkelige model, kan man bare gå hurtigere, går jeg ud fra.” Lærer: ”Ok, så du lægger en ekstra antagelse ind om, at Grete bare kan gå hurtigere?” Ed: ”Ja” Konklusion: Ed viser her problemer med præmatematiseringen. Han forstår ikke, ar de givne forudsætninger ligger fast, idet han ikke accepterer, at Grete ikke kan gå hurtigere. Spørgsmål 3: Ed: ”Jeg har sagt, at de får det samme ud af det, da 0,25% gange 4 er 1%. Lærer:” Men hvad med renters rente?” Ed: ”Renters renter?” (Læreren giver et eksempel, som Ed virker til at forstå.) 205 Ed: ”Ja det kan jeg godt se, så får han faktisk mere ved at sætte pengene i banken Bank…nej nu bliver jeg lidt i tvivl.” Lærer: ”Kan man skrive det op og regne på det” (læreren fisker efter en matematisering af problemet) Ed: ”Det kan lade sig gøre….øhhh.” (Ed går i stå) (Læreren hjælper nu Ed, der med lærerens hjælp får skrevet renterne op) Konklusion: Ed har her både svært ved præmatematiseringen og matematiseringen. Ed forstår godt spørgsmålet og ved bl.a. godt, at der er fire kvartaler på et år, men han er ikke i stand til at se, at der er en nominel forskel på de to tilbud. Matematiseringen af problemet kan han heller ikke klare. Først da læreren hjælper ham, lykkes det Ed at skrive formlerne for de to forskellige renter ned. Det fremgår tydeligt, at han ikke ville være i stand til dette uden hjælp. Spørgsmål 4: Ed nævner, at han ikke har svaret på opgaven (det havde han dog), og at han skal finde et udtryk for det ”hvor y er det samlede antal lærere og elever.” (Læreren bryder ind og siger, at der spørger om et udtryk der beskriver sammenhængen mellem antallet af elever og antallet af lærere.) Lærer: ”Du kan godt kalde den ene for x og den anden for y, men kan du opskrive sammenhængen?” Ed svarer ”ja” men kommer ikke i gang. Lærer: ”Kunne du gøre det med nogen tal, f.eks. hvis der er 10 lærere, hvor mange elever er der så?” 206 Ed: ”Så er der 60 elever.” Lærer: ”Og hvis der er 15 lærere?” Ed: ”90” Lærer: ”Ja. Hvad er det du gør hver gang?” Ed: ”Ganger med 6.” Lærer: ”Kan du skrive det helt generelt, hvis nu vi kalder eleverne for E og lærerne for L?” Ed: ”Jeg ved ikke, om det er noget med E er lig L gange 6.” (Ed skriver udtrykket (𝐸 = 𝐿6), men er i tvivl om der skal stå et gangetegn eller om L6 er nok.) Konklusion: Her er igen tydelige problemer med matematiseringen. For det første tror Ed (lige som flere andre), at opgaven er at finde en formel for det samlede antal af personer. Og for den anden og måske mere vigtigt, så er Ed igen ikke i stand til selv at opstille den ønskede formel uden en stor hjælp fra læreren. Spørgsmål 6: 207 Her svarer Ed mundtligt på spørgsmålet og formår at give en rigtig og god forklaring. Han opskriver dog ikke formlerne. Spørgsmål 7: Lærer: ”Hvad tænker du til dette spørgsmål.” Ed: ”Det er jo et snydespørgsmål. Det er lige meget, hvor lang den (bakken) er. Hun går med den samme hastighed op, og så bliver hun dobbelt så hurtig ned. Det har ikke noget at gøre med, hvor lang bakken den er. Det er jo bare at lægge de hastigheder sammen og dividere med to.” Læreren vælger på grund af tidsmangel at gå videre til næste spørgsmål. Konklusion: Ed går her galt i byen allerede ved præmatematiseringen, da Ed ikke har den nødvendige forståelse for begrebet gennemsnitsfart. 208 Spørgsmål 8: Ed: ”Der har jeg bare sagt, at pizzaen har en diameter lige så stor som prisen, dvs. de giver lige meget for pengene. Lærer: ”Ja, men det gør man faktisk ikke.” Ed: ”Ja, det har noget med arealet at gøre.” (eleverne har snakket om opgaven i klassen, og Ed har gennem der opdaget arealets betydning i opgaven) Ed: ”Når diameteren bliver større, vokser arealet ikke lineært men eksponentielt. Lærer: ”Njaa, men kan du huske hvordan man finder arealet af en cirkel?” Ed: ”Pi gange r i anden.” Lærer: ”Ja, og radiussen er her 15 og 20, hvad sker der med arealet?” Lærer: ”Kunne man regne ud, hvilken der gav mest for pengene?” Ed: ”Ja” (Ed begynder at skrive og får skrevet udtrykkene 𝜋 ⋅ 152 og 𝜋 ⋅ 202 ) Lærer: ”Ja, og hvad hvis de er 700 og 1200, hvor får man så mest for pengene.” Ed: ”Den der kostede 40 kr.” – (Ed tager ikke hensyn til prisen) Konklusion: Ed forstår godt den del af præmatematiseringen, som går ud på at pizzaerne er runde, samme type, bund osv. (det passer godt ind i hans forestilling om den virkelige verden), ligesom det også er vores vurdering, at han forstår hvad ”mest pizza for pengene” betyder. Men det går galt for ham i matematiseringen allerede 209 fra start, idet han ikke matematiserer hver enkelt pizza ved dens areal, men derimod ved dens diameter. Da læreren får drejet samtalen over til arealet af pizzaerne, kan Ed godt opstille formler for dette. Men det går galt i hans konklusion, idet han ikke tager højde for prisen for pizzaerne, men blot pizzaernes areal. Spørgsmål 12: Ed har ikke svaret på opgaven i testen og siger nu: ”Jeg kunne ikke lige overskue opgaven. Men det er nok noget med, at man skal isolere (peger på formlerne i spørgsmålet), og da det er alderen vi ikke kender, kunne man forestille sig, at det er den vi skal isolere. (Læreren spørger, om Ed kan skrive de to formler lidt mere matematisk (underforstået indsætte nogle variable i stedet for de megen tekst).) (Ed skriver: 𝑦 = 220 − 𝐴 og 𝑦 = 208 − (0,7 ⋅ 𝐴).) Lærer: ”Ved du, hvad man skal gøre for at svare på opgaven?” (Ed vil nu isolere A i begge, men læreren stopper ham.) Lærer: ”Hvad skal man bruge de to (peger på de to udtryk) til? (Læreren fisker meget efter svaret (at de skal sættes lig hinanden), men Ed kan ikke svare.) (Læreren stopper dermed interviewet.) Konklusion: Spørgsmålet viser, at Ed også har problemer med den matematiske problemløsning, idet han i dette tilfælde ikke har noget strategi for at et problem af denne type. 210 Overordnet konklusion: Vores kategorisering viste, at Ed har problemer med stort set alle dele af modelleringscyklussen. I vores interviews valgte vi at fokusere på præmatematiseringen og matematiseringen og blev her bekræftet i, at Ed har store vanskeligheder med begge faser. Ed accepterer ikke altid de formulerede forudsætninger, og benytter sig af forudsætninger, som passer bedre ind i hans ”virkelige liv”. Interviewet understregede endvidere, at Ed har problemer, når der skal matematiseres. Han har store problemer med at oversætte problemerne til matematiske formler, hvilket kommer til udtryk i stort set alle de ovenfor beskrevne spørgsmål. Også den matematiske problemløsning ser ud til at give Ed vanskeligheder. Det viste sig i sidste spørgsmål. Og det er vores formodning, at såfremt vi gravede dybere med fokus netop på den matematiske problemløsning, så vil der også dukke store problemer op her. Interview med James James havde i detektionstesten ca. 42 % rigtige svar. Ud fra vores kategorisering kan vi se, at James også laver fejl i samtlige af modelleringscyklussens faser, men at han som Ed skiller sig lidt ud fra klassen, når det kommer til præmatematisering og matematisering. Vi udvalgte derfor de spørgsmål i detektionstesten, hvor kernen var præmatematisering og matematisering, og hvor han havde svaret forkert eller hvor vi savnede lidt forklaring. Dette drejer sig om spørgsmål 1, 2, 6, 7, 8, 9, 11 og 12. Vi ønskede at høre om James’ tanker til disse spørgsmål for at komme nærmere en diagnosticering. Det følgende er et lille referat af samtalen med James. Spørgsmål 1: 211 James starter med at angribe præmissen - man kan ændre tempo, når man følges med nogle. "Hvis jeg skulle løse den på en matematisk måde, så ville jeg lægge de to tal sammen og dele med 2" Underforstået han vil stadig ikke acceptere præmissen. Vi spørger ind til præmissen og han klarer så opgaven og præciserer selv "skal". Han synes, det er en ikkematematisk løsning Spørgsmål 2: I denne opgave var han ikke så tydelig i sin første besvarelse, og vi spørger derfor ind til denne. James klarer opgaven helt i top denne gang. Spørgsmål 6: James synes, at opgaven er svært at forstå. Han synes ikke, at de taler om det samme. Han siger, at han ikke forstår Ayas formulering. Han synes, at den er mærkeligt formuleret. CS foreslår ham at tage de to udsagn et af gangen. Han kommer frem til at Alis udsagn er OK. Han forklarer videre - 1% af det der er tilbage. Han kommer i tanke om, hvad det betyder og forklarer fint. 212 Spørgsmål 7: Denne opgave synes James er lidt svær at regne ud. Han tænker og taler. "Hvis vi nu siger, hun er en time om at gå op". CS må hjælpe på vej ved at pointere, at han kender afstand og hastighed og så klares opgaven i god stil Spørgsmål 8: Pizzaopgaven forvirrer James, selvom han har set den før eller noget der ligner. Han kommer dog hurtigt i tanke om at arealet og diameteren ikke vokser ens, som han udtrykker det. Han kommer efter lidt samtale i tanke om formlen for en cirkels areal og konkluderer korrekt. 213 Spørgsmål 9: James er lidt forvirret og optaget af, hvad han har svaret i første runde (d). Han sniksnakker, og vi må guide ham til at dissekere de fire svarmuligheder. Han kan hurtigt se at (a) og (b) ikke er gode nok pga. Zedlandposten. Vi finder også ud af sammen, at i (c) og (d) er Zedland Posten ens, så det er ikke den, der afgør hvilken der er den korrekte svarmulighed. James argumenterer derefter for, at (d) er den rigtige, men pga. tidsmangel går vi videre. Spørgsmål 11: 214 Denne opgave kan James genkende fra tidligere opgaver af Professoren "Det er sådan en ligningsopgave, ikk?". Han forklarer kort og hurtigt, hvorfor vægten bliver 8 gange større. Spørgsmål 12: James starter med at læse og begynder at gætte sådan nærmest helt uden overvejelser." 10 år ..nej...". Vi foreslår en lidt mere systematisk tilgang til gætteriet, idet vi prøver at få ham til at regne og dernæst overveje de nye værdier, han sætter ind. Dette har vi ikke den store succes med Vi foreslår så, at han prøver at løse opgaven med en mere matematisk tilgang f.eks. ved at opstille og sammenligne udtryk evt. grafisk. Han er ikke helt med på ideen, idet han vil have alder gange 0,7 på den ene akse, så vi hjælper lidt mere på vej, men vil heller ikke intervenere for meget, så vi opsummerer, hvordan man kunne foretage kvalificerede gæt og gemme data i et sildeben til eventuel senere afbildning. Konklusion på diagnose af James: Vores kategorisering viste, at James har problemer med stort set alle dele af modelleringscyklussen. I vores interviews valgte vi at fokusere på præmatematiseringen og matematiseringen. Vi blev bekræftet i, at James har vanskeligheder i begge kategorier. James har lidt problemer med at acceptere præmisserne i opgaverne. Nogle gange accepterer han ikke, hvad der står og andre gange overser han dem (opgave 1, 6 og 7). Hvis opgaveteksten bliver for lang skal han hjælpes på vej i læsningen af opgaven og have et passende antal delspørgsmål og forslag til, hvordan man kan nærme sig opgaven f.eks. med eksempler eller 215 grafisk anskuelse og lignende. Interviewet understregede, at James har problemer, når der skal matematiseres. Han har store problemer med at oversætte problemerne til matematiske udtryk eller sammenhænge, hvilket kommer til udtryk i en del af de ovenfor beskrevne spørgsmål. Den matematiske problemløsning ser umiddelbart ikke ud til i disse opgaver at give James vanskeligheder. Det er dog hans matematiklærers erfaring, at der også i nogen grad er nogle problemer på dette felt. Han klarer de simple opgaver godt, og hvis man deler de lidt sværere opgaver op i passende delspørgsmål, ser stilladsering ud til at være en god mulighed i forhold til at forbedre hans resultater både mht. matematisering samt analyse. Interview med Charles Charles havde i detektionstesten ca. 54 % rigtige svar. Ud fra vores kategorisering kan vi se, at Charles laver fejl i samtlige af modelleringscyklussens faser, men at han som Ed skiller sig lidt ud fra klassen, når det kommer til præmatematisering og matematisering. Han har dog ikke så store fejlprocenter som Ed og James, men han har tidligere deltaget i projektet og er en af de elever, der meget gerne vil hjælpes med sine matematikvanskeligheder. Vi udvalgte derfor de spørgsmål i detektionstesten, hvor kernen er præmatematematisering og matematisering, og hvor han havde svaret forkert, eller hvor vi savnede lidt forklaring. Dette drejer sig om spørgsmål 1, 3, 4, 7, 8, 11 og 12. Vi ønskede at høre om Charles tanker til netop disse spørgsmål for at komme nærmere en diagnosticering. Det følgende er et mindre referat af samtalen med Charles. Spørgsmål 1: Her svarer Charles at det tager 8 minutter hvis Grethe skal bruge 8 minutter. Han spørger ind til opgavens pointe, da han ikke kan se, hvad det har med matematik at gøre. Spørgsmål 3: 216 Her svarer Charles, at det er en fordel at vælge den rentetilskrivning, der giver rente hvert kvartal. Han kan delvist argumentere matematisk med renteformlen. Han kan til at starte med ikke huske renteformlen fuldstændigt og siger som så ofte før, at han lidt frygter ligninger. Han har svært ved at skrive en værdi for a. Først angiver han a som 0,25 så 1,25 dernæst 1,025 osv. i samme stil. Spørgsmål 4: Charles har ikke besvaret opgaven korrekt under detektionstesten, men da vi denne gang spurgte ind til opgaven, leverede han en korrekt besvarelse. Spørgsmål 7: 217 Charles har i selve testen lavet den næsten ok, men han har dog skrevet samlet distance som 4 km. Vi tror, at det skæve resultat skyldes tastefejl på lommeregnere, hvor han har glemt en parentes. Han har lidt svært ved at overskue opgaven, da vi stiller den her igen, så vi deler den kort op i delspørgsmål, hvilket leder til at Charles finder gennemsnitshastigheden fint. Spørgsmål 8: 218 Charles har udregnet "Areal pr. pris" og det er ok, men han konkluderer forkert. Vi får ham til at tjekke svarene, som er ok. Vi er lidt i tvivl, om han tror, at han har regnet pris pr areal ud og derfor konkluderer galt. I løbet af samtalen indser Charles forskellen og får lidt af en AHA- oplevelse og kan nu komme til den rette konklusion. Spørgsmål 11: Her angiver Charles, at når siderne fordobles, så bliver vægten ikke bare det dobbelte. Han tænker en del over opgaven, men kan ikke komme videre. Vi hjælper og foreslår, at han tegner, hvilket hjælper ham videre. Han finder volumen, men har ret svært ved at komme videre i opgaven, når vi spørger til den terning, hvor hver side er fordoblet. Han tager ikke initiativ til at regne volumen ud og kan ikke se, hvor mange gange større det bliver. Vi fremlægger svaret, som vi kan høre han accepterer, men ikke er med på. Vi går over til densitet og fysik for at komme videre, men uden held, og vi ender med nærmest at undervisning, da han afkræver et svar. 219 Spørgsmål 12: Charles læser længe og siger, at han ikke ved, hvordan han skal komme i gang med opgaven. Han tænker længe over opgaven. Vi spørger, om man kan prøve sig frem, og han svarer straks ja, men siger også, at han ved der er en smartere metode. Vi er lidt i tvivl om han er helt med på opgaven. Han mener, at en af formlerne er forkert. Vi taler om den igen, og han siger igen, at det kan han ikke svare på. Vi foreslår så Charles at prøve sig frem grafisk. Vi prøvede at lede ham i den retning med eksempler først, men må foreslå det mere direkte. Han kommer i gang og skal hjælpes lidt, men han fortæller forholdsvis hurtigt, at det er skæringen, vi er interesseret i. Han kræver dog "ligningssvar" af os inden afgang. Konklusion af diagnose af Charles: Umiddelbart virker det som om, at Charles på mange områder fungerer fint matematisk set. Han accepterer præmisserne i opgaverne og tænker og udtrykker sig ganske fornuftigt. Han har dog stadig problemer, når det kommer til at skulle stille udtryk (eller ligninger, som han kalder det) op, hvilket også kan bekræftes i dagligdagen indimellem. I opgave 3 om Banken TÆSK, har han det korrekte svar (pga. af renter rente skal vi vælge TÆSK), men når vi graver lidt i renters rente begrebet og vil have det uddybet matematisk, så opstår der problemer i forbindelse med udtryk og værdier. Når opgaverne bliver for tekstmæssigt tunge eller komplicerede, kan han ikke rigtig komme i gang, men er de lette som i opgave 4 med 6 gange så mange elever som lærere, så går det let og nemt for ham, når matematiklæreren er der som støtte. Pizza opgaven starter fint, men konklusionen får han vendt på hovedet - måske fordi han regner lidt omvendt nemlig 𝑐𝑚2 𝑘𝑟 𝑘𝑟 og ikke 𝑐𝑚2 . I hvert fald tænker han omvendt af den brøk han udregner og kommer derfor til den forkerte konklusion. Denne opgave ligner lidt opgaven med volumen af klodsen og vægten, som han har set før (eller noget der ligner) i forbindelse med ”23 spørgsmål til professoren”. Alligevel volder opgaven ham en del besvær. Vi kan vha. stilladsering og enkelte 220 delspørgsmål bringe ham på vej, men følger det ikke op her i diagnosedelen. Han tager ikke selv initiativ til at dele opgaven op i enkelte delspørgsmål og vil ej heller anvende eksempler for at bringe sig selv et skridt fremad på vej til løsning af en opgave. På foranledning af os vil han gerne anvende grafiske metoder, men han synes ikke, at det er helt korrekt. Det ser ud til, at han kan miste overblik, fordi han prøver at løse opgaverne perfekt og fuldstændigt fra start af, og han accepterer ikke eller kommer ikke selv på den idé at anvende tegninger, grafer og eksempler undervejs i processen. Det er tydeligt, at han har svært ved matematiseringen udover de andre problemer såsom udfordringer med ligninger og udtryk, og han har brug for stilladserende opgaver og guides i forbindelse med opgaverne. Han kan hjælpes ved at tage udgangspunkt i andre tilgange til opgaveløsningen og ved at lære, at man kan tage flere runder i en opgave. Det skal til slut nævnes, at Ed, James og Charles går i samme klasse, og det er siden kommet os for øre, at de har snakket sammen i hele klassen om professoropgaverne efter detektionstesten og inden diagnosticeringsinterviewene. Det kan forklare, hvorfor især James klarer sig noget bedre i diagnosticeringsinterviewet end i detektionstesten. Interview med Mary Mary havde i detektionstesten ca. 38,5 % rigtige svar. Ud fra vores kategorisering kan vi se, at Mary laver fejl i samtlige af modelleringscyklussens faser, dog knap så mange i validering set i forhold til de andre faser i modelleringscyklussen. I den daglige matematikundervisning virker hun til at være godt med rent fagligt og er en af de elever, der arbejder fint med faget, og som vi har en forhåbning om kan forbedre sig meget i et interventionsforløb. I samtalen med hende ville vi særligt gerne høre hendes tanker til opgave 1, 4, 6, 7, 8, 11, 3 og 5 (bemærk at dette angiver rækkefølgen i interviewet). I det følgende har vi kun skitseret samtalerne til opgave 1, 4, 6, 7 og 8, da samtalen vedrørende 3 og 5 ikke tilføjede noget yderligere i forhold til vores samlede billede af hende. Spørgsmål 1: Som set i hendes svar valgte hun at anskue løsningen som et gennemsnit af de to gåtider. I interviewet spurgte vi lidt ind til hendes opfattelse af ordet “skal” i konteksten “Grethe skal bruge..” og der gav hun 221 tydeligt udtryk for, at hun opfattede “skal bruge” som “bruger normalt” og ikke som “skal mindst bruge”. Hun perspektiverede til sin egen hverdagserfaring, hvor hun typisk går lidt hurtigere med drengevenner end med pigevenner for at understrege, at menneskers gåtempo ikke er en fast størrelse, men afhænger af sammenhængen. Hun var dog helt med på den præmis, at hvis “Grethe skal bruge 8 minutter” betyder “Grethe skal mindst bruge 8 minutter” så ville svaret være, at Hans sænker sit normale gåtempo, hvorfor det ville tage 8 minutter at følges ad. Spørgsmål 4: I samtalen med hende om spørgsmål 4 blev det tydeligt, at hun har overset opgavetekstens definition af L og E og valgt sin egen måde at opfatte dem på. Hun anskuer L som forkortelse for ordet “lærer” og E som forkortelse for ordet “elev”. Bogstaverne opfattes således ikke som antalsparametre men som pladsholdere for de respektive ord lærer og elev og tilsvarende får lighedstegnet betydning af “så er der” frem for “lig med”. Herved bliver udtrykket L = 6 E i hendes optik til “når der er én lærer så er der 6 elever”, 2L = 12 E til “når der er 2 lærere så er der 12 elever”, etc. Vi spurgte ind til hendes opfattelse af bogstaverne E og L, men hun synes ikke i situationen at kunne gennemskue forskellen mellem bogstaverne som antalsparametre og som pladsholdere for et ord, hvorfor det blev svært for hende under samtalen at ændre på sit oprindelige svar. 222 Spørgsmål 6: I samtalen med hende demonstrerer hun fint, hvorfor Ali har ret, men når det kommer til Aya’s påstand siger hun: ”Først tænkte jeg, at det ikke kan lade sige gøre at Aya har ret for på et eller andet tidspunkt må olien vel slippe op.” Hendes konkrete hverdagserfaringer går således ind og sætter rammen for hendes svar, hvorfor det overhovedet ikke giver mening for hende at forholde sig til matematikken bag eller præmisserne for Ayas slutning. Når vi så tvinger hende til at gøre det, er hun med på, at når man bliver ved med at tage 1%, så bliver det mindre og mindre, men tænker så ”at til sidst bliver det så lidt at det jo reelt er nul. Når det er så lidt som næsten ingenting, så kan man vel næsten ikke bruge det til noget”. Herefter fulgte en længere samtale om forskellen på ”næsten ingenting” og ”ingenting”, hvor vi gik ind og intervenerede lidt i forhold til at få hende til at forstå den fine forskel, der er mellem de 2 situationer. Hun deltog høfligt i samtalen, men det virkede som om, at det ikke rigtig fik hende overbevist. Muligvis ville hendes svar havde været anderledes, hvis domænet havde været rent matematisk. Man kunne f.eks. have bedt hende om at forholde sig til an aftagende eksponentiel udvikling og en påstand om, at den aldrig skærer x-aksen. Det kunne have været interessant, men det fik vi ikke fulgt op på. 223 Spørgsmål 7 En lille læsevejledning: hendes oprindelige svar på spørgsmålet var 4,5 km/t samt teksten der følger ”Rikkes fart for den samlede tur er 4,5 km/t. Hun kan gå op […] vil udflugten tage lige lang tid”. Det øvrige, der står ude i venstre margen og konklusionen 4 km/t med en ring omkring er fra selve diagnoseinterviewet. I samtalen starter Mary med at forklare hendes tanker, hvor hun siger, at ligesom i opgave 1 tænker hun, at det må være gennemsnittet på de to hastigheder. Vi prøver at få hende til at reflektere lidt mere over det, men hun synes ikke at ville revidere sit bud. Derfor stiller vi hende to spørgsmål. Det første er 1) ”Hvor langt har hun gået i alt?” Her svarer Mary hurtigt ”8 km”. Det andet er 2) ”Hvor lang tid bruger hun i alt på at gå de 8 km?” Her bruger hun lidt tid på at overveje, hvor lang tid det tager at gå op. Hun skriver 4/3, men kan ikke umiddelbart oversætte det til en målbar tid. Vi hjælper hende og siger, at det svarer til 1 time og 20 minutter. Derefter finder hun selv ud af, at det må tage hende 40 min at gå ned igen. Hun konkluderer selv, at hun så i alt har gået 2 timer. Efter lidt pause, hvor tankerne skal samle sig siger hun, at hendes gennemsnitsfart så må være 4 km/t og ”det var sådan jeg skulle have regnet den ud”. 224 Spørgsmål 8 Hun har oprindeligt ikke skrevet noget til opgaven, så det der står her er udelukkende fra samtalen med hende. Hun starter med at tegne diameteren på de to cirkelskiver og skrive hhv. 30 og 40 lige ved siden af. Desuden skriver hun prisen til højre for cirklerne. AK spørger om hun har en generel idé om hvordan opgaven kan løses. Hun svarer: ”Man kan finde ud af hvor meget større den store pizza er i forhold til den lille pizza målt i procent og se om det svarer sig i forhold til prisforskellene”. AK svarer bekræftende. Hun er med på, at man skal benytte formlen for arealet af en cirkel til at regne størrelsen af pizzaerne ud, men kan ikke huske den. AK hjælper hende med at sige hvad den er, hvorefter hun fortsætter med at regne arealerne ud. Hun bestemmer selv radius ud fra diameteren og skriver så et udtryk for de to arealer. AK spørger hende derefter hvordan man bestemmer procentforskellen, hvorefter hun svarer ”man dividerer den ene med den anden”. AK går ind og retter det lidt til ved at tilføje ”at du skal huske at trække en fra”. Ved fælles hjælp regner vi ud, at det giver ca. 78%. Prisforskellen regner hun selv ud til 40/30 – 1, men kan ikke lige se hvad det giver uden brug af lommeregner. AK siger 33%. Herfra konkluderer hun selv, at det bedst kan svare sig at købe den store pizza. Spørgsmål 11 225 Denne opgave havde hun heller ikke skrevet så meget til i selve detektionstesten kun 4,8 · 2 = 9,6. Resten er noget, hun har noteret under samtalen med AK. Hun griner lidt over svar fra testen ”4,8 · 2 = 9,6” og siger, at det opstod som resultat af tidspres. Herefter sætter hun sig for at løse opgaven. Hun finder selv ud af at rumfanget på terningen med sidelængderne 2 er 8 cm3, og at rumfanget på terningen med sidelængden 4 er 64 cm3. Derefter siger hun, at den store terning må være 8 gange større end den lille og derfor må den veje 4,8 · 8 = 38,4 gram. Således viser hun under samtalen, at hun udmærket er i stand til at løse den uden hjælp udefra. Konklusion på diagnose af Mary: I løbet af vores samtale med Mary er der nogle interessante aspekter ved hendes måde at tænke på, der kommer til at stå ret klart frem. For det første viser det sig, at hendes umiddelbare hverdagserfaringer spiller en stor rolle for hendes svar på flere opgaver. I opgave 1 tænker hun tydeligvis, at gåtempo er noget, der varierer alt efter hvem man går sammen med, og derfor skelner hun ikke mellem betydningsindholdet i ordene ”kan” og ”skal” fra opgaveteksten. I opgave 6 ser vi, at hendes umiddelbare opfattelse af ”at olien jo må slippe op på et tidspunkt” skygger for reelt at forholde sig til tankegangen bag Aya’s udsagn, og da hun så endelig gør det, synes hun ikke, at det er relevant at skelne mellem bittesmå størrelser og ingenting. For hende er der en bagatelgrænse, og hvis man overskrider den, så er det ingenting. Man kan vel helt overordnet konkludere, at Mary ikke altid er med på præmisserne i opgaven. Hun accepterer ikke præmissen i den lille forskel mellem ”kan” og ”skal” i opgave 1, hun accepterer ikke at E og L er antalsparametre i opgave 3 og hun forholder sig ikke til Ayas påstand ud fra de præmisser det hviler på i opgave 6. Desuden viser samtalen med hende, at hun tydeligvis har været presset på tid i sin første besvarelse af opgaverne, og at hun med hjælp f.eks. i form af stilladsering kan bringes i situationer, hvor hun er i stand til at formulere nogle ideer, eksempler osv., der kan hjælpe hende frem til en løsning af opgaverne. Således demonstrerer hun rimelig fornuftige evner til matematisk problemløsning i både pizzaopgaven og opgaven om terningens vægt. I pizzaopgaven var det matematiseringen, der i særlig grad spændte ben for hende. Der var den manglende erindring om formlen for af arealet af en cirkel, der fik hende til at gå i stå. Og opgaven om terningens rumfang kunne hun godt løse, så længe hun bare fik lidt tid til at tænke sig om. Det er således i spændingsfeltet mellem præmatematisering, matematisering og matematisk problemløsning, at hun er interessant som elev. Det er formentlig i den manglende accept af eller forståelse for præmatematiseringen i opgave 3, at hun senere hen har svært ved at matematisere (opstille en formel for sammenhængen) og det er fordi hun ikke er i stand til at foretage relevant matematisering i pizzaopgaven, at hun ikke får besvaret spørgsmålet for hendes problemorienterede tankegang er faktisk ganske fornuftig, hvilket hun også demonstrerer i opgaven om terningens rumfang. Interview med Jay Jay havde i detektionstesen ca 30,8% rigtige svar. Ud fra vores kategorisering kan vi se, at Jay laver fejl i samtlige af modelleringscyklussens faser, men skiller sig særligt ud i præmatematisering og afmatematisering. Han har dog en fejlprocent på over 60% i alle faser, hvorfor det bestemt også giver mening at fokusere på matematisering og matematisk problemløsning. Han arbejder flittigt i den daglige undervisning og laver generelt nogle pæne opgavebesvarelser og vil rigtig gerne deltage i dette projekt for 226 at forbedre sig. I samtalen bad vi ham om at uddybe sine svar til opgaverne 1, 4, 6, 7 og 8 og i det følgende er skildret nogle af hovedlinjerne. Der skal gøres opmærksom på, at det der står med sort er Jays svar fra selve detektionstesten, mens det der står med blåt er noget Jay har noteret under diagnosesamtalen Spørgsmål 1 I interviewet forklarer Jay sin metode således: ”hvis Hans skal bruge 6 minutter og Grethe skal bruge 8 minutter så har jeg bare lagt dem sammen dvs. 14 minutter og så divideret med 2 for at få gennemsnittet”. Heri ligger ikke en eksplicit tolkning af ordene i opgaveteksten, men bare en gennemgang af hans metode. AK spørger lidt ind til hans fortolkning af ordet skal i Gittes tilfælde. Her giver han udtryk for, at skal for ham ikke betyder skal mindst bruge, men bare udtrykker, at det er det, hun normalt går. Han fortæller, at hvis Grethe går lidt hurtigere end hun plejer og Hans sænker tempoet lidt, så passer det meget godt med 7 minutter. Da AK introducerer en anden tolkning af ordet skal som skal mindst, så er han helt med på at svaret ville være 8 minutter - hvis de skal følges ad - da Hans kan gå langsommere, mens Grethe ikke kan gå hurtigere. Spørgsmål 4 I hans besvarelse angiver han den rigtige formel for sammenhængen, men vi søgte i samtalen efter en uddybning af begrundelsen ”man er nødt til at forøge antallet af lærer før det går op”. Jay er modsat Mary fuldstændig klar over at bogstaverne E og L er antalsparametre og i samtalen prøver han at uddybe sine begrundelse: ”jeg tænke sådan set bare fysik. Jeg blev nødt til at forøge antallet af lærere så det går op”. Således tilføjede han ikke meget udover der, der allerede stod i besvarelsen, men i hans tonefald kunne man fornemme, at han er helt med på, at lighedstegnet beskriver en form for ligevægt og hvis antallet af 227 elever er 6 gange så stort som antallet af lærere, kræver det at antallet af lærere multipliceres med 6 for at der opstår ligevægt. Det han kalder for ”at gå op”. Det var svært at få ham til at formulere dette, da han sprogligt er noget usikker, så vores slutning er baseret på en tolkning af hans lidt upræcise udsagn. Spørgsmål 6 Som man kan se på billedet ovenover, svarer Jay ikke på det egentlige spørgsmål: “Hvem har ret og hvorfor?” Men vi får præsenteret nogle beregninger, som kunne være interessante at få uddybet. I samtalen forklarer Jay, at Ali har ret, idet hvis man udvinder 1 million tønder hvert år og der går 100 år så ville der ikke være noget tilbage. Da han kommer til Ayas påstand læser han op af sit svar, hvorefter han siger: “De (læs: de 2 udsagn) bekræfter vel bare hinanden, gør de ikke?” Der følger en længere tavshed, da AK prøver at få ham til at indse fejlen. Dette sker dog ikke, så AK spørger: “Svarer 1% altid til en million?” Herefter endnu en længere pause, hvorefter Jay svarer: “Nej, det vil det ikke gøre for efter 1 år vil der være 99 millioner tilbage, men så skal vi tage 1% af det og så vil man fjerne et vist antal tønder, og så vil der komme en ny procentdel, og så skal man tage 1% af det, og så vil der komme en ny procentdel […]” Som tidligere beskrevet har Jay svært ved at formulere sig præcist, og det kan være lidt svært at forstå, hvad han her mener med de nye procentdele. Det virker dog til, at han kognitivt forstår, at de absolutte værdier (mængde af olie der udvindes) ændrer sig og bliver mindre for hvert år der går, men han har svært ved at sætte ord på den forståelse. AK spørger senere hen: “Hvad er så Ayas påstand?” hvortil Jay svarer “hun mener faktisk, at vi skal udvinde mindre olie for, at det kan blive udlignet og at olieforbruget skal mindskes”. AK afbryder: “Nej, hvad er det helt præcist Aya påstår?” Jay læser nu op fra opgaveteksten og AK spørger: “Har hun ret?” Jay: “Ja, hun har ret fordi en procentdel aldrig kan blive 0. Hvis vi fjerner halvdelen af et tal, så kan det aldrig blive 0, så hun har ret. De har faktisk begge to ret” Jay kommer således til en erkendelse af, at de begge to har ret, men han skal hjælpes meget undervejs med at holde fokus på, hvad det er egentlig er, han skal forholde sig til, og hans sproglige usikkerhed og lidt spøjse eksempler gør det lidt svært at afkode, hvor meget han egentlig forstår. 228 Spørgsmål 7 Da vi beder ham om, at forklare sit svar på opgaven starter Jay med at tegne en tegning for at illustrere problemet (den lille bakke, der er 4 km lang og notation om hastighed op og ned). Efter at have tænkt i ca. 1 minut begynder han at forklare sit resultat. Han siger, at det ville tage hende 80 min at løbe opad bakken og hun kan løbe ned igen på den dobbelte fart. Derefter konkluderer han: ”Dvs. så tog jeg bare gennemsnittet af det hele og fik 4,5 km/t”. Jay her en lidt besynderlig måde at ræsonnere på. Han regner varigheden af turen opad bakken helt korrekt, men skifter derefter fuldstændig fokus og siger, at så tager han bare gennemsnittet af hastighederne og får sit resultat. AK røber nu for ham, at resultatet på 4,5 km/t er forkert hvorefter Jay tænker forfra. Han gentager, at hun bruger 80 min på at løbe op ad bakken, men supplerer nu med at sige, at når hun løber nedad igen med den dobbelte fart, må det tage 40 min. Herefter konkluderer han: ”Det vil tage en time for hende at løbe denne her tur” Ak spørger nu: ”Hvor mange minutter er en time?”. Jay svarer hurtigt, at der er 60 minutter på en time og konkluderer herefter, at det ville tage hende 2 timer at løbe turen. Han kan dog ikke helt finde ud af, hvad hendes gennemsnitsfart så må være. Han tænker i et par minutter, hvorefter han giver udtryk for, at han har svært ved at se det for sig. AK stiller herefter to spørgsmål? ”Hvor langt har hun gået i alt?” Jay svarer ”8 km” ”Hvor lang tid har hun brugt på at gå de 8 km?” Jay svarer ”120 min” AK opsummerer, at så bruger hun 2 timer på at gå 8 km og spørger: ”Hvis hun er 2 timer om at gå de 8 km hvad er hendes gennemsnitsfart så?” Jay svarer ”4 km/t” og supplerer efter lidt tid med ”nå ja hun løber selvfølgelig både op og ned og det er en samlet tur på 8 og det er hun 2 timer om, og så er det bare at fjerne halvdelen igen for at få det ned til en time”. 229 Spørgsmål 8 I samtalen starter Jay med at tegne 2 pizzaer. Herefter siger han, at den store pizza må være “en tredjedel større end den mindste pizza”. AK spørger, hvad han mener med “en tredjedel større” hvorefter han svarer, at en tredjedel af 30 er 10 og hvis man lægger 10 til 30 får man 40, dvs. den får 10 cm mere på sig i diameter. AK spørger igen, “men er den en tredjedel større?” Vi prøver at sammenligne størrelserne af de tegnede cirkler for at give Jay en fornemmelse af, at den store måske ikke er en tredjedel større (det skal dog nævnes at tegningerne I samtalen var lidt upræcise) og efter længere tids tænkepause siger Jay, muligvis lettere presset af AKs ledende spørgsmål, at den store cirkel nok ikke kun er en tredjedel større. Jay undrer sig samtidig over, at han i teksten har skrevet, at den vokser med 66,7%, da det ikke svarer til de 33%. Han synes forstyrret over den konflikt, men vi vælger ikke at forfølge det mere I samtalen. AK spørger derefter, hvad det er for nogle figurer, vi har tegnet. Jay svarer, at det er cirkler. AK: “Hvis du nu skal finde ud af, hvor stor pizzaen er, hvordan ville du så regne det ud?” Han siger, at han vil begynde at tegne nogle figurer. AK leder ham lidt I en anden retning: “Ved du, hvor stor arealet af en pizza er?” Jay svarer “30 gange pi”. AK giver ham derefter formlen for arealet af en cirkel. Herefter er Jay selv i stand til at omdanne fra diameter til radius og skrive beregningen for arealet af den lille og store pizza korrekt op. De to arealer udregnes på lommeregner. Jay skriver selv udtrykket for fremskrivningsfaktoren op. AK hjælper ham med at regne og det giver 1,77, hvortil Jay siger: ”det vil sige, at den kan være derinde 77% mere … den vokser altså med 77%”. Dvs. hans evne til matematisk problemløsning er faktisk ganske fornuftig her. Senere siger Jay dog ret hurtigt at prisen også stiger med 77%, men retter sig selv og siger “nej, det gør den ikke. Det er jo ikke en cirkel”. Herefter regner han selv ud at prisen stiger med 33%. AK spørger herefter ind til hans konklusion fra detektionstesten: “Hvad er dit argument for at vælge den store pizza?” hvortil Jay svarer “Ét er, at du får en større pizza […]” Her er det tydeligvis svært at holde Jay fokuseret på det opgaven handler om. AK prøver at dreje samtalen over i retning af pris i forhold til størrelse, hvorefter Jay siger “Jeg har bare sagt til mig selv, at hvis pizzaerne vokser med 77% og prisen kun vokser med 33% så kan jeg ikke se, hvorfor jeg ikke bare skulle købe den stor pizza”. AK pointerer, at det ikke er det, der står i hans besvarelse. Her 230 sammenligner han nemlig procentvis vækst i pizzaerne med absolut vækst i prisen. AK prøver at forklare ham det problematiske i at sammenligne procentvis vækst med absolut vækst, men det virker til at Jay ikke er helt med på, hvorfor man ikke lige kan det. Samtalen afsluttes med at Jay siger: “jeg tror bare jeg tænkte sådan, at stykkerne handlede om mig I stedet for objektivt. Jeg tænkte opgaverne subjektivt i stedet for. Hvad er højden af bygningen? (læs: opgave 5) Det er noget jeg bestemmer. Hvilken pizza skal man vælge? Det er noget jeg bestemmer” Konklusion på diagnosticering af Jay: Samtalen med Jay var interessant på en række måder. Hans afsluttende kommentar fra diagnosen “jeg tænkte opgaverne subjektivt” er måske meget sigende for hans måde at gå til besvarelsen af spørgsmålene på. Han forholder sig således ikke altid til selve opgavens fokus, men vælger sin egen måde at fortolke dem på. I spørgsmål 1 tænkte han, at Grethe kunne gå lidt hurtigere og mente herved, at gennemsnittet som metode ville være nærliggende. I opgave 6 om olieudvinding svarer han ikke på spørgsmålet “Hvem har ret?” men skitserer i stedet hans forståelse af deres udsagn og i opgave 8 har han svært ved at argumentere for, hvorfor man skal vælge den store pizza. Hans argument “Ét er at du får en større pizza” forholder sig således på ingen måde til opgavens fokus om sammenhængen mellem pris og størrelse. Udover hans subjektive måde at forholde sig til opgaverne, så har han svært ved at skabe sammenhængende begrundelser, holde fokus undervejs i sin argumentation og formulere sig forståeligt. Det virker som om, at han har en udemærket matematisk basisviden, men han skal ofte gøres opmærksom på nogle af de uheldige slutninger, han foretager undervejs. Han mente f.eks. at Aya og Alis påstande bekræfter hinanden i opgave 6 lige, indtil man spørger ind til, om 1% altid svarer til en million. På tilsvarende måde kan han godt regne procentvis forskel ud i opgave 8, når han bliver presset til det, men ofte er hans svar baseret på en umiddelbar – og ofte forkert - indskydelse, hvilket ødelægger det for ham. Et eksempel på mangel på sammenhængende begrundelse opleves i samtalen om opgave 7 (pigens tur op og ned ad bakken). Her starter han fint med at tegne en skitse og ræsonnere sig frem til, at hun bruger 1 time og 20 minutter på at løbe opad, hvorefter han skifter fuldstændig fokus og siger, at så tager han bare gennemsnittet af hastighederne og får sit resultat. Mogens Niss bruger betegnelsen ”implemeted anticipation” i sin artikel ”Modeling A Crucial Aspect of Students’ Mathematical Modeling ” [Niss; 2010], hvilket på dansk oversættes til iværksat foregribelse. Betegnelsen dækker over, at man som succesfuld modellør skal kunne forudsige, hvordan det man foretager sig i én fase af modelleringscyklussen typisk præmatematiseringsfasen kan anvendes i en anden fase af modelleringscyklussen. Man kan sige, at Jay mangler denne ”iværksatte foregribelse” indenfor selve ræsonnementskompetencen. Han har svært ved at forudsige, hvordan det han gør lige nu (i det her tilfælde bestemme hvor lang tid det tager pigen at gå opad) kan anvendes som led i den overordnede argumentation, der skal begrunde, hvad pigens gennemsnitsfart er på hele turen. På samme måde mangler han denne ”implemented anticipation” i overgangen fra matematisk problemløsning til tolkning, idet han har svært ved at anvende viden om både procentvis forskel i pizzaernes størrelse og procentvis forskel i pizzaernes pris i forhold til at begrunde hvilken en pizza, der giver mest for pengene. Det er som om faserne i modelleringscyklussen for ham til tider fremstår som isolerede størrelser uden relation til hinanden. Det er således en del man kan arbejde med hos Jay, og man kan vel opsummere, at han reelt har vanskeligt ved nærmest alle faser i modelleringscyklussen og ikke mindst særligt svært ved at se en forbindelse mellem dem. 231 Konklusion på diagnosticering På baggrund af interviewet med de 5 elever kan man konkludere, at de på mange områder deler nogle udfordringer, mens også at de er ret forskellige. Flere af dem havde særligt svært ved præmatematisering og matematisering. I forbindelse med præmatematisering så man det ofte udtrykt ved, at deres virkelighedsopfattelse går ind og udfordrer de præmisser, som opgaverne hviler på. I løbet af samtalerne viste nogle af dem, at de ofte kun har behov for let stilladsering for at kunne løse opgaverne rigtigt, mens andre har behov for at holde fokus og se sammenhængen mellem faserne i modelleringscyklussen. Fælles for dem alle fem er dog, at de i større eller mindre omfang har vanskeligheder med matematisering. Vi vil derfor tillade os at forlade diagnosearbejdet i dette miniprojekt for at koncentrere os om arbejdet med intervention og fokusere på netop dette emne. Intervention Vi har designet vores interventionsforløb som en klasserumsintervention jvf vores forudbestemte benspænd, og da vi ud fra testresultaterne i ”13 spørgsmål til professoren” har set, at flere elever i klasserne har vanskeligt ved en række af de faser, der indgår i matematisk modellering. Vi har valgt at fokusere på matematisering inden for matematisk modellering, da vi både ud fra diagnosesamtaler med de udvalgte elever og ud fra vores daglige erfaring med eleverne i klasserne oplever, at særlig matematisering er noget, de har svært ved. Vores interventionsforløb varede i 3 moduler med følgende indhold: 1. modul: Præsentation af matematisk modellering med fokus på matematisering. Formål: at give eleverne en forståelse for de forskellige faser i matematisk modellering og matematiseringens rolle heri. 2. modul: Eleverne træner passiv matematisering. Formål: eleverne arbejder målrettet med matematisering gennem et særligt designet spil, hvor de skal sammenholde et tekstproblem med en række matematiseringer i form af grafer, algebraiske udtryk og tabeller. 3. modul: Eleverne træner aktiv matematisering. Formål: Eleverne arbejder her selv med at løse matematiske problemer og er her nødsaget til at foretage relevante matematiseringer for at løse de givne problemer. Vi ville gerne måle effekten af dette forløb både for at se, hvor meget forløbet ville rykke eleverne, når det kommer til matematisering og til dels løsning af optimeringsopgaver, men også for at se om vores designede forløb kunne forbedre elevernes kompetencer mere end den sædvanlige undervisning på dette område. Vi lavede derfor en prætest og en posttest til vores forsøgselever. De to test ligner hinanden meget (se bilag), og vi gjorde specifikt det, at vores forsøgselever fik en test inden vi startede forløbet og en test efter forløbet sluttede. Samtidig brugte vi klassen 2gMa Valg (KPM) som kontrolklasse, hvor alle elever i klassen også fik begge test. Dermed kunne vi se, om de målte resultater hos vores testelever måske skyldtes at den ene test var sværere/nemmere end den anden, og ikke mindst kunne vi få et mål på, om 232 forsøgseleverne som gennemførte vores designede forløb rykkede sig mere eller mindre end elever på et normalt forløb i differentialregning og optimering. Prætest Inden vi påbegyndte interventionen uddelte vi, som nævnt, en prætest25. Vi ville her gerne se, hvor gode vores elever var til at matematisere og også i mindre grad til at løse optimeringsopgaver. Vi har i vores arbejde som lærere erfaringer med elevers problemer netop med optimeringsopgaver. Og i matematiseringenfasen af disse er der typisk to problemer: 1. Eleverne har problemer med at indføre variable. 2. Eleverne har problemer med at opstille de nødvendige udtryk, som du skal regne på i den matematiske problemløsning. Vi ville forsøge at afhjælpe begge problemer i vores intervention. Derfor ville vi også gerne teste for begge problemer i vores præ- og posttest. I nedenstående vil vi kort gennemgå hvert spørgsmål i prætesten og forklare meningen med disse. Opgave 1: I denne opgave vil vi gerne undersøge, om eleverne selv indsætter variable, eller om de skriver formlen for arealet med ord. Opgave 2: 25 Se bilag 6. 233 Her vil vi igen tjekke, om eleverne selv indsætter variable. I anden opgave vil vi ydermere se, om eleverne kan oversætte problemet til et formeludtryk. Opgave 3: Igen tjekkes der, om eleverne selv indfører variable. Endvidere stilles der større krav til opstilling af et matematisk udtryk end i de tidligere opgaver. Opgave 4: Her tjekkes der, om eleverne indfører variable. Forskellen her er, at eleverne er nødt til at indføre 4 forskellige variable. Endvidere er matematiseringen (opskrivning af udtryk) igen blevet lidt sværere. 234 Opgave 5: Dette er et typisk ”første spørgsmål” i en optimeringsopgave i et eksamenssæt på STX. Variablen er givet til eleven, men der kan være vanskeligheder med at opstille et formeludtryk. Vores erfaring er, at det et en opgave som mange elever har særdeles svært til eksamen. Opgave 6: Vi tjekker om eleverne - efter at have svaret på de 5 første spørgsmål - nu får ideen at indføre en variabel. Endvidere udfordres de yderligere i forhold til at opstille et matematisk udtryk, idet det ikke er helt enkelt her. 235 Opgave 7: Vi tjekker her, om eleverne kan klare en hel optimeringsopgave. Opgaven er stilladseret, idet eleverne i undervisningen endnu ikke har lært at løse optimeringsopgaver. Opgave 8: 236 Tankegangen er den samme som i forrige spørgsmål. Eleverne kommer igennem en hel optimeringsopgave, som dog er stilladseret. Et andet formål ved opgaven er at vise, at optimeringsopgaver ikke nødvendigvis skal være geometriske. Resultater af prætest Resultaterne for vores forsøgselever blev følgende: Til sammenligning blev gennemsnittet for kontrolklassen (2gMa Valg (KPM)) følgende26: Det ses altså, at de fleste af vores forsøgselever klarer sig bedre end kontrolklassen, og kun Charles og Jay marginalt dårligere. Det kan skyldes flere ting. For det første er de udvalgte elever ikke blandt de dårligste i deres respektive klasser, og desuden er kontrolklassen den af klasserne, som klarede sig dårligst i detektionstesten. Endvidere kan man forestille sig, at forsøgseleverne var mere motiveret og koncentreret i prætesten end eleverne i kontrolklassen som f.eks. fik lov til at være anonyme. Ydermere skal det bemærkes, at formålet med prætesten og posttesten var at sammenligne, hvor meget eleverne har rykket sig undervejs i interventionsforløbet og ikke at kigge på, hvor de lå inden forløbet. 26 Se bilag 7 for alle resultater for kontrolklassen. 237 Ud over de samlede resultater lavede vi også en kategorisering af spørgsmålene i præ- og posttestene for at se, hvilke områder eleverne rykker sig mest på, og om der er forskel på, hvor eleverne rykker sig, når interventionsforløbet sammenlignes med et almindeligt optimeringsforløb. Kategoriseringen27 er opdelt i grupperne Indføre variable Opstille formeludtryk Optimering. Her omfatter optimering alle de delopgaver i en typisk optimeringsopgave fra det punkt, hvor der er matematiseret – altså fra der er opskrevet en formel for det, der skal optimeres. Det dækker altså reelt over den matematiske problemløsning i opgaverne. Resultaterne ud fra kategoriseringen28 ser således ud: Her angiver tallene antal rigtige og procenterne angiver andelen af rigtige svar (ud af det i parentes angivne tal). Modul 1 – modellering og matematisering I første modul havde vi lavet en Powerpoint-præsentation29, som skulle give eleverne et indblik i matematisk modellering. Vi startede med at vise dem en kort videosekvens, der introducerede et problem, som vi bad eleverne forholde sig til. I videoen ser man to glas og to dåser sodavand hhv. Sprite og Coca Cola. De to dåser åbnes, Sprite hældes i det ene glas (glas 1) og cola hældes i det andet (glas 2). Herefter bliver der med en pipette overført en mængde Sprite fra glas 1 til glas 2. Der røres rundt med en lille rørepind og bagefter bliver der med samme pipette overført en mængde væske fra glas 2 over i glas 1. Eleverne skulle herefter besvare spørgsmålet: ”Hvilket glas indeholder mest af dets oprindelige sodavand?” Øvelsens umiddelbare formål var selvsagt at få eleverne til at løse problemstillingen, men det var mindst lige så vigtigt få dem til at reflektere over øvelsens forudsætninger. Således stillede vi spørgsmålet: ”Hvilke antagelser skal vi gøre os for at løse problemet?” for at få dem til at sætte ord på noget af det, de implicit tager for givet. Vi forventede svar i stil med: ”der er lige meget Sprite og cola i hver glas til at starte med”, ”der bliver overført en lige stor mængde hver gang” og ”efter omrøring antages det, at Spriten fordeler sig jævnt i glas 2”. Vi stillede også spørgsmålet: ”ville du have svaret anderledes, hvis vi havde blandet olie med vand?” Med det spørgsmål ville vi have dem til at forholde sig til nogle af de antagelser, de havde stillet fra 27 Se bilag 8 for kategorisering af præ- og posttest. Se bilag 7 for kontrolklassens resultater mht. kategorisering. 29 Se bilag 9 28 238 start af. For hvis deres svar var nej, ville antagelsen om at Spriten fordelte sig jævnt i colaglasset ikke være nødvendig. Øvelsen havde et didaktisk sigte i både at få motiveret eleverne i forhold til emnet, matematisk modellering, og til at sætte fokus på det fundament som matematiske modeller hviler på i form af antagelser og idealiseringer. Efter denne indledende teaser til matematisk modellering præsenterede vi et nyt problem for dem. Vi viste eleverne en video, hvor man ser en stor vandtank blive fyldt op med vand fra en haveslange. Spørgsmålet lød: ”Hvor lang tid tager det at få fyldt vandtanken op?” Opgaven for eleverne var ikke at besvare spørgsmålet, men derimod at overveje hvilken information, der er nødvendig for at løse problemet. Efter en snak om nødvendige forudsætninger for at løse problemet gennemgik vi modelleringscyklen, sådan som den er præsenteret i Kasper Bjering Søby Jensens artikel LMFK-bladet februar 2012 [Søby Jensen; 2012], for at give eleverne indblik i de faser, man som modellør skal igennem, når man skal anvende matematik til at løse et ’virkeligt problem’. For at vise hvordan denne cykliske model kan bruges i praksis, valgte vi det tidligere problem: ”påfyldning af vandtank” som case. Her illustrerede vi, hvordan man kan løse udfordringen ”hvor lang tid tager det at få fyldt vandtanken op?” ved at bevæge sig indenfor de enkelte delfaser fra modelleringscyklussen (se bilag 9 for indblik, i hvordan vi konkret har gjort dette) I den sidste del af modulet var formålet at sætte lup på matematiseringsfasen og på hvilke faser af modelleringscyklen, der typisk er centrale i forbindelse med skriftlige eksamensopgaver. Vi tog udgangspunkt i en konkret eksamensopgave, der handlede om at bestemme det størst mulige areal af en hønsegård, når man har 20 meter hegn til rådighed. Vi valgte samme model som i forrige sekvens dvs. at løse udfordringen gennem eksplicit at bevæge os i de enkelte faser fra modelleringscyklussen. Her illustrerede vi for dem, at motivering af problemet og systematiseringen typisk allerede er foretaget i opgaveteksten ligesom visse dele af matematiseringen også er. Dette blev demonstreret ved at den tekst, der er markeret med blå i vores slides, er information fra opgaveteksten, mens den øvrige tekst er det - vi som problemløsere - selv skal foretage os på baggrund af opgaveteksten (se bilag 9). Således var formålet at vise eleverne, at de først og fremmest skal demonstrere evner til at matematisere, evner til at foretage matematisk problemløsning og evne til at fortolke deres resultater til en skriftlig eksamen. Hvis der ville være tid til overs i slutningen af modulet, kunne vi vælge at give eleverne et tydeligt indblik i, hvor vanskeligt det kan være at matematisere. Dette kunne illustreres ved at tage fat i første øvelse om hvilket glas, der indeholdt mest af dets oprindelige sodavand og bede eleverne opskrive en formel for hvor meget Sprite, der ville være i glas i 1 efter de to trækninger. Herved skulle de både tænke over relevante variable og nøje overveje, hvordan forskriften for sådan en sammenhæng kunne se ud. Modul 2 – modelleringsspil Efter første modul, som hovedsagelig tog udgangspunkt i at introducere modelleringscyklussen og præsentere elever for matematisering, og før tredje modul som gik mere i dybden med aktiv matematisering, indlagde vi et modul med en lidt anden form. Vi lavede et modelleringsspil30, som eleverne skulle arbejde sammen om to og to. Spillet går i al sin enkelthed ud på, at eleverne får en stak kort, hvorpå der enten står en tekst (som skal matematiseres) eller en eller anden form for repræsentation af 30 Se bilag 7 for hele modelleringsspillet – ideen til et modelleringsspil kommer fra Jørgen Ebbesen. 239 matematiseringen af teksten. Eleverne skulle så finde ud af, hvilke kort som passede sammen og selvfølgelig også hvorfor. Et eksempel kunne være disse fire kort: 31 Her ses en opgave udtrykt i tekst, samt tre repræsentationer (ligningen, en grafisk repræsentation af ligningen og ligningen sat op som tabel) af en matematisering af problemet. Det var vores mål at eleverne dermed får trænet matematiseringsprocessen gennem passiv matematisering, og vi håber at de forskellige repræsentationer og især skiftene imellem disse kan hjælpe eleverne til at tilegne sig større forståelse og udvikle deres repræsentationskompetence. Det var også vores mål med spillet, at det skulle hjælpe elever med andre læringsstile end den auditive, idet eleverne nu får spillet imellem fingrene. Efter eleverne havde matchet de forskellige kort (der var i alt 11 forskellige opgaver), så skulle eleverne forklare, hvorfor kortene passede med hinanden. Dette kunne gøre i plenum eller i grupper f.eks. i matrixgrupper. Det vigtigste var at eleverne satte ord på deres forklaringer, således at de var nødt til at forstå sammenhængen mellem kortene. Modul 3 – aktiv modulering Arbejdet med matematisering kræver mod til at begå fejl, og det kræver, at eleverne kommer i gang med at få skrevet noget via papir eller tavle, så de hurtigt og effektivt kan tegne skitser, skrive udtryk og så videre, mens tankerne flyder. Eleverne må gerne springe i opgavernes rækkefølge32, men der er fra vores side opstillet således, at de letteste opgaver står først, hvorefter der følger en stigende sværhedsgrad. Endvidere er der opgaver af forskellige typer, som vi vil beskrive om lidt. Der er rigeligt med opgaver til et enkelt modul, og man kan 31 32 Se bilag 10. Kortene udleveres udklippet til eleverne. Se bilag 11 for alle opgaver 240 som lærer evt. udvælge en række af opgaverne. Selve opgaverne er inspireret af diverse lærerbøger i matematik og gamle eksamensopgaver Vi har talt om forskellige muligheder at afprøve materialet på. Man kan på normal vis lade eleverne løse opgaverne i grupper, eller man kan sætte opgaverne på kuverter og lade dem gå rundt et par gange, således at grupperne afleverer deres besvarelse i kuverten (uden af kigge på dem der ligger der i forvejen). Sidste gruppe åbner kuverterne og retter eller samler svarene til den bedst mulige besvarelse - evt. med fremlæggelse. Det er vores håb, at den fulde introduktion til modelleringsverdenen og spillet fra modul 2 har lært eleverne så meget, at de kaster sig over disse opgaver med stort gå-på-mod og med flere instrumenter i værktøjskassen, så de kan løse opgaverne. Vi har sagt, at fokus er på selve matematiseringsfasen, og at eleverne ikke skal have så meget for øje, at det er vigtig med et svar på opgaven (sålænge matematiseringen er foregået). Det er vigtigere at nå nogle stykker af forskellig art end at komme til et egentlig svar på den enkelte opgave. Opgaverne falder lidt i nogle kategorier. Opgave 1-4 er af samme type og kan klares med en enkelt variabel. Alle grupper skulle gerne nå mindst disse 4 opgaver. Opgave 5 er valgt af hensyn til den oplagte grafiske mulighed for løsning og tilknytning til de lineære funktioner, som eleverne er velkendte og fortrolige med. Opgave 6, 7 samt 8 er gamle eksamensopgaver, der er lettere omskrevet og som kan tilføjes den oprindelige optimeringsdel, hvis der er tid til det. De repræsenterer også geometriske opgaver, som er den slags eleverne oftest møder, når det i det skriftlige arbejde kommer til modellerings og optimeringsopgaver. Opgave 10,11, 12 og 13 er hentet fra fysikkens modelleringsverden. De er af varierende sværhedsgrad, men generelt noget sværere end de første opgaver 1-4. Men måske har eleverne gavn af, at de har arbejdet mere med modellering i fysik? Opgave 9 er i en slags kategori med fx opgave 1 og 4, idet man til start kan prøve sig frem med diverse tal, hvilket evt. kan hjælpe opgaveløseren på vej til en egentlig matematisering. Dette er også tilfældet med den sidste og nok sværeste opgave 14. Her er der også mulighed for afprøvning med tal omend det måske tager lidt længere tid, men selve matematiseringen er svær. Sådan gik interventionsforløbet Intervention på AU Af forskellige årsager strakte interventionsmodulerne på AU sig over 5 moduler i klassen, men den reelle tid svarede til tre moduler, da vi et par gange blev afbrudt af andre aktiviteter. Første interventionsmodul blev kun et halv modul, hvor vi talte om, hvordan eleverne tidligere i deres matematikkarriere har arbejdet med modeller. CS præsenterede dele af Powerpointen. Da der var et vist tidspres og visse tekniske vanskeligheder, blev det uden Cola/Sprite-modelleringensopvarmningen og få filmklip af vandtanken, men vi talte om modelleringscyklussen og vi gennemgik vandtanksproblematikken. Klassen er generelt ret kvikke og var med på ideerne. Vi har arbejdet med opgaven vedrørende optimering af hønsegård før i forbindelse med andengradspolynomier, så det blev bare til en hurtig genopfriskning af denne. 241 Det andet interventionsmodul startede med en lille repetition af modelleringscyklen vha. pizzaopgaven fra de 13 spørgsmål til professoren, da en elevgruppe havde efterspurgt en gennemgang af denne. Herefter præsenterede CS kort det fremstillede modelleringsspil, og det blev delt rundt. De fik at vide, at alle sedler skulle bruges, og der var minimum 2 og maksimalt 4 brikker der hørte sammen, samt at alle sedlerne skulle bruges - ingen snydere. Klassen blev delt op i grupper af 4 personer - som de sad. Ed var desværre fraværende pga. session. Charles var i gruppe med klassens geni, og vi fik ikke hørt meget til deres diskussion, men den har nok i nogen grad været anført af den kloge og søde elev. James var i en mere jævn gruppe, som havde lidt sværere ved opgaven. De skulle have hjælp til at placere de sidste sedler. De havde svært ved at koble Yrsa med de to øvrige sedler fra denne opgave, men kunne se at forskrift og parabel måtte høre sammen. Der var ingen grupper, der kunne koble dette med Yrsa. James’ gruppe havde også problemer med "et firmas fortjeneste" opgaven - toppunktets førstekoordinat, samt især nogle af graferne. Det kan være lidt svært at vurdere hvor meget de enkelte grupper har præsteret hver især, da de godt kan have hjulpet hinanden undervejs. Til slut i modulet fremlagde grupperne hver 1-2 opgaver og der blev argumenteret fint for sammenhængene i mellem tekst, ligninger og tabeller. I det tredje interventionsmodul arbejdede eleverne (i nye grupper) med at modellere selv. De er blevet gjort opmærksom på, at vi skal have fokus på at få matematiseret opgaven og ikke så meget selve problemløsningsfasen, som de ellers er vant til. Det er vigtigt, at de prøver kræfter med mange og gerne lidt forskellige modelleringsopgaver. Det var ret forskelligt, hvordan grupperne havde lyst til at gribe det an nogen gik bevidst efter sværere opgaver og andre lette. I gruppearbejde er det altid lidt svært at holde den dygtigste i gruppen tilbage, så det kan være svært at se, hvor meget den enkelte bidrager. Vores tre elever var alle sammen i gruppe med rimelig dygtige elever, som der er vældig mange af i klassen. De blev ikke inddelt i grupper andet end hvordan de sidder - de bryder sig ikke om at blive udstillet. Alle grupperne havde fint gang i ligninger, sammenhænge og udtryk, samt grafer og tabeller og deres metoder bar tydelig præg af, at de havde arbejdet med spillet i modulet før. Det var interessant at se, at flere havde problemer med tagrendeopgaven, og flere nævnte at "der står jo ikke noget". Af de tre geometriske opgaver er det, den mest nøgne. Så det at lave antagelser og indføre variable er stadig noget af en hurdle for en stor del af eleverne Der var undervejs i processen pænt gang i gaffelfunktionerne i telefonopgaven (efter vi havde introduceret disse). Eleverne kunne godt tegne graferne i hånden, men skulle have hjælp til at tegne i Maple. De angreb også opgaven med de rene forskrifter. Den sidste opgave med tørklæderne er temmelig svær, men blev klaret (med meget lidt hjælp) af en dygtig elev, der også deltager i Georg Mohr. Tilsvarende var der en enkelt elev, der brugte sin læring fra fysik i opgave 10 Da ca. halvdelen af tiden var gået, bad CS eleverne alle om at se, hvad de havde nået og gribe fat i opgave 1-4, hvis disse endnu ikke var besvaret. Klassen arbejde på den måde, at opgaverne hver især var påklistret 242 en kuvert. Når en gruppe havde klaret en opgave skulle de putte deres svar i kuverten. Efterfølgende blev kuverterne fordelt igen til grupper, der skulle se besvarelserne igennem og lave en fremlæggelse. Vi sluttede interventionsforløbet af med, at eleverne fremlagde udvalgte opgaver. Der var ingen, der havde nået at se på opgave 9, 11, 12 og 13. Til fremlæggelsen måtte vi desværre undvære opgave 8 om tagrenden, da flere gruppemedlemmer var fraværende, og det var notaterne også! Vi har sidenhen samlet op på denne opgave Både Ed og James var ved tavlen og deltog på fin vis i fremlæggelse af hhv. opgave 8 om drivhuset og opgave 1 (røde og sorte stole) og opgave 3(KAC lottoklub). Særlig James var godt på banen i sin gruppe. Det var et godt og interessant forløb, men for mange fremlæggelser kan virke lidt dræbende på en klasse de første opgaver kunne alle elever forholde sig til og kunne løse, men ved de sidste var eleverne ukoncentrerede og trætte. Vi talte en del om opgave 4 (hvornår er Eva det halve af sin mors alder), da mange elever godt kendte svaret, men ikke havde en matematisk tilgang til at løse opgave. De opstillede lidt sære formler, der var konstrueret til at give det rigtige svar. Og de havde svært ved at formulere, hvor mange år der går før Eva når den alder, der på det pågældende tidspunkt er det halve af sin mors. Mange kunne kun opstille et udtryk, der gav selve alderen. Men det er et skridt på vejen, og vi debatterede igen, hvordan man kommer fra tekst til matematisering. Der skal flere tiltag til, og de behøver ikke være perfekte i første hug. Man kan have behov for at prøve med tal først, at lave grafer eller andet. Intervention på SAG I modul 1 valgte vi som tidligere nævnt, at give eleverne indblik i, hvad matematisk modellering i grunden er for noget. Eleverne fik præsenteret problemet om mængden af Sprite og Cola i de to glas, og de gik til opgaven med stor interesse. De sad ved gruppeborde og diskuterede lystigt og mange skiftede mening undervejs. Det viste sig, at eleverne have en række forskellige tilgange til løsning af opgaven. Nogle argumenterede empirisk: ”Hvis jeg tog 20% af den væske, der var oprindeligt og førte over, så ville der være x % af den oprindelige sodavand i hver glas. Hvis jeg tog halvdelen af den oprindelige væske, ville der være y % af den oprindelige sodavand i hver glas. Altså må der generelt gælde …”. Det var et argument som Mary brugte sammen med de klassekammerater hun sad i gruppe med. Andre så på fordelingen af cola og Sprite i pipetten og argumenterede derudfra. Ved opsamling viste det sig faktisk, at en af de elever der i den daglige undervisning fremstår som en af de svagere, havde gennemskuet - som en af de få -, at der var lige meget af den oprindelige sodavand i hver glas. Og hun argumenterede udmærket for det. Det var en tydelig succesoplevelse for hende, at hun kunne finde ud af det, mens mange andre ikke kunne. Ved opsamlingen diskuterede vi forskellige argumenter for påstanden, og det endte med en udbredt forståelse af, at der var lige meget af den oprindelige sodavand i hvert glas. Da AK spurgte til hvilke antagelser vi skal gøre os, var eleverne generelt enige om, at ”der skal være lige meget af hver sodavand til at begynde med”, ”der skal trækkes lige meget sodavand fra pipetten hver gang” og ”at Sprite’n skal være jævnt fordelt i glas 2 efter den første overførsel af væske fra glas 1 til glas 2”. Det sjove var, at da AK spurgte om de ville have svaret anderledes, hvis vi havde blandet olie med vand, sagde mange af dem ”ja, da olie vil lægge sig ovenpå og således ikke er jævnt i glasset”. Vi diskuterede, om det var et problem, at olien ikke var jævnt fordelt i glasset med vand og efter udveksling af argumenter i en klassediskussion, blev vi enige om, at det ikke ville påvirke svaret. Herefter kunne vi så også konstatere, at forudsætningen ”Sprite’n skal være jævnt 243 fordelt i colaglasset” ikke var nødvendig. Andre begyndte at snakke om, at hvis vi ændrede spørgsmålet til ”Er der den samme procentdel af den oprindelige sodavand i hvert glas?” så ville forudsætningen om, at der skulle være lige meget af hver glas til at starte med heller ikke være nødvendig. Dette nåede vi ikke at følge op på, men det var en interessant udtalelse, fordi det viser, at de fleste elever tydelig er med på den nære kobling, der er mellem systematiseringen og formulering af problemet i matematisk modellering. Vi gik herefter videre og talte om problemet ”påfyldning af vand i vandtank” og om hvilken information, der er nødvendig for at løse problemet. Her var de fleste elever ret hurtigt enige om, at man skulle kende til tankens rumfang, og så skulle man vide noget om vandgennemstrømningen i haveslangen. En af de kvikke elever sagde, at hvis vi antager at tanken har parallelle sider behøver vi strengt taget ikke at kende tankens volumen, vi kan bare måle tankens samlede højde h, tage tid på hvor lang tid det tager at fylde den 1 cm op og derefter gange den målte tid med h. Et par elever foreslog, at man skal kende til massefylden af vand, hvilket vi i klassen diskuterede og blev enige om, at det ikke havde den store betydning for opgaven. Herefter gennemgik AK en løsning af problemet udspecificeret i de forskellige faser af matematisk modellering. Da vi nåede til den sidste fase, vurdering af modellen, havde flere af eleverne udemærkede overvejelser om, hvorfor beregningerne i modellen ikke passede fuldstændig overens med den faktiske måling af, hvor lang tid det tog at få fyldt tanken op. En sagde: ”I eksemplet (læs: videoen) stoppede de først tiden lige efter vandet skvulpede over, og vores beregninger måler kun hvor lang tid der går, til vandet nøjagtig når toppen”, en anden sagde: ”det er nok urealistisk at tro at vandgennemstrømningen i slangen er helt jævn, og desuden kan det være, at noget af vandet fordamper undervejs”. Vi snakkede lidt om hvorvidt fordampning er en afgørende parameter her, men at vandgennemstrømningen nok ikke er helt jævn i de lidt over 8 minutter virker troværdigt. Præsentationen af den skriftlige eksamensopgave om hønsegården gik forholdsvist hurtigt uden så mange spørgsmål fra elevernes side. Som afslutning på modulet vendte AK tilbage det første eksempel med Coca Cola vs. Sprite for at give eleverne et indblik i, hvor vanskeligt det kan være at matematisere. Vi arbejdede i de sidste 10 minutter af timen med at prøve at matematisere indholdet af Sprite i glas 1 efter processen med at overføre væske fra det ene glas til det andet glas og tilbage igen var foregået. Bare det at indføre nogle passende variable var vanskeligt. Vi kunne bliver enige om, at y eller f(x) skulle være mængden af Sprite i glas 1, men bud på x var først ”mængden af sodavand der overføres pr. gang.” Enkelte elever protesterede og mente at x skulle være ”mængden af Sprite der overføres pr. gang.” Vi arbejdede dog med den første definition af x hvorefter AK kort redegjorde, hvilken forskrift sammenhængen, da ville have. Mange af eleverne synes tydeligvis, at det var vanskeligt og kunne ikke helt forstå hvorfor formlen var: 𝑓(𝑥) = 330 − 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑥 330 + 𝑥 hvor x er mængden der overføres pr. gang (målt i ml væske) og 𝑓(𝑥) er indholdet af Sprite i ml. Vores testelever Mary og Jay arbejdede fint i modulet ligesom resten af eleverne, men der var primært andre elever fra klassen, der deltog mundtligt i undervisningen. 244 I modul 2 skulle eleverne arbejde med det nøje designede kortspil. De sad i grupper på 3-4 personer og det viste sig, at de klarede de fleste opgaver udmærket. De var gode til at matche kortene og kunne argumentere for den indbyrdes sammenhæng. Der var dog et par opgaver, som stort set alle grupper havde vanskeligt ved, og disse vanskeligheder vil vi beskrive lidt mere detaljeret i det følgende. I opgaven med pladesamlingen (11, 19 og 29) havde mange svært ved at se, hvorfor den grafiske illustration i nr. 29 passer til problemet. Et par sandsynlige forklaringer er, at højresiden i ligningsudtrykket i kort 19 ikke umiddelbart fremstår som en ret linje. Det er ikke åbenlyst for eleverne, at man kan reducere den til en 𝑎𝑥 + 𝑏 form. Reduktion er i hvert fald ikke en aktivitet, de tager i brug, med mindre man som lærer gør dem opmærksom på, at det ville være en god idé. Desuden er enhederne ikke ens på x og y-aksen, hvilket også kan forvirre lidt. Nogle grupper - bl.a. vores gruppen med vores testelever Mary og Jay - kunne se, at svaret til ligningen var 18 og at de rette linjer i kort nr. 29 skar hinanden i x = 18, hvorfor de mente, at kortet måtte høre hertil. De kunne dog ikke komme med en anden forklaring på, hvorfor kortene hang sammen end at x = 18 var særlig for begge kort. Ved udelukkelsesmetoden kunne de fleste grupper godt se, at kortene 10, 21 og 32 hørte sammen, men de kunne ikke rigtig forklare hvorfor. De kunne godt se koblingen mellem andengradspolynomiet og parablen, men hvorfor disse to kort forholdt sig til problemet med Yrsas urtepotter var ikke åbenlyst for nogle. Her kunne man tydeligt mærke, at det med at indføre passende variable var svært, og en af de stærke grupper havde tænkt længe over den og var kommet frem til, at der måtte være flere end blot 2 variable i spil, men hvilke? I modul 3 skulle eleverne selv aktivt matematisere. Der var rigeligt med opgaver til dem og ingen af grupperne nåede længere end til opgave 9 på den 1,5 time, de havde til rådighed. Første interessante observation var, at de fleste af grupperne valgte at matematisere problemet i opgave 5 (mobilabonnementer) grafisk og løse problemet ud fra viden om grafernes skæringspunkter. Eleverne havde dog ligesom på Aurehøj vanskeligt ved overhovedet at tegne de stykkevis lineære funktioner i et relevant computerprogram, og det tog desværre en del tid at hjælpe dem med det. Én gruppe valgte at gå deres helt egen vej. De valgte en udelukkende algebraisk tilgang, og da vi efterfølgende i klassen drøftede løsninger til opgaven, var det fint ud fra et sociomatematisk perspektiv at få deres syn på opgaven frem, så vi i fællesskab kunne drøfte hvilken en matematisering, der er mest frugtbar i forhold til den efterfølgende problemløsning. I de første 3 opgaver var det relativt enkelt for hovedparten af grupperne at indføre en variabel, definere variablen og heraf foretage en færdig matematisering af problemet. Men i opgave 6 (den åbne opgave om tværsnitareal af tagrenden) var der mange grupper, som gik i stå og erfaringerne er her stort set de samme som fra Aurehøj. Eleverne kunne for det første ikke indføre en variabel, og da AK efterfølgende hjalp dem med at kalde længden af de sider, man flipper op, for x, tog det lidt tid for flere grupper at se, at midterstykket på den venstre tegning svarede til 20 – 2x. Desuden var det interessant at observere, at mange skrev tværsnitsarealet på højre tegning som x · y, og hvis man efterfølgende gav dem den opgave at skive tværsnitsarealet som et udtryk med kun én variabel, tog det lang tid før de indså, at y kunne erstattes med 20 – 2x. Ved opsamling på opgaven var der én elev, som syntes, at opgaven var dårligt formuleret, idet - der ifølge ham - manglede en række oplysninger, for at man kunne løse den. Anken gik på, at man ikke kunne vide at tværsnittet var et rektangel. Det vil sige, at man ikke kunne vide, at det var samme længde man ”flippede op” i begge sider. Det var et interessant udsagn, fordi det symboliserede en bevidsthed om nødvendigheden af præcise forudsætninger for at kunne løse opgaven. Således virkede det til, at noget af det vi arbejdede med i modul 1 om antagelser og nødvendig information, stadig sad i den pågældendes bevidsthed. 245 Hvornår skal man vælge et abonnement frem for et andet? Opgave 6 En speciel type tagrender laves ved at bøje en metalplade som vist på nedenstående figur Illustration af tegningerne til opgave 6 linje) stiplede Opskriv en formel for tværarealet af tagrenden (det grå område til højre) Vores to testpersoner Jay og Mary arbejdede godt i modulet og særligt Mary nåede relativt langt i rækken af opgaver. Hun skulle fremlægge resultaterne fra opgave 2 og gjorde det rigtig fint. Hun var med på, at x kunne defineres som den samlede gevinst, skrev en korrekt ligning op og løste den også godt, hvor hun bl.a. demonstrerede god anvendelse af brøkregneregler og fin ræsonnementskompetence. Jay var lidt mere tilbageholdende i sin fremlæggelse af opgave 1 og lod primært de andre i hans gruppe føre ordet. Undervejs i arbejdet med opgaverne ville han dog gerne høre AKs mening om sin løsning til opgaven. Han havde skrevet en fin ligning op - dog en han havde ladet sig inspirere af fra en klassekammerat – og løst den fornuftigt, men hans problem gik på, hvad x repræsenterede i ligningen. Var det antal sorte bolde eller røde bolde? Resultater af posttest Som afslutning på forløbet lavede vi en posttest i et forsøg på at måle, om eleverne var blevet dygtigere af vores interventionsforløb. Vi vil ikke gennemgå posttestens opbygning her men blot henvise til bilag 12 og nævne at posttestens opgaver typemæssigt er identisk med prætesten. På den måde håbede vi på, at det var muligt at sammenligne elevernes resultater før interventionsforløbet med deres resultater efter. Resultaterne for vores forsøgselever og kontrolklasse33 ser således ud: Og set på kategorier ser resultaterne således ud: 33 Se bilag 13 for alle resultater i kontrolklassen. 246 Refleksioner over posttestens resultater Som det kan ses, så viser tabellerne ikke umiddelbart den ønskede fremgang hos vores forsøgselever. Tværtimod er både James, Ed og Jay gået tilbage. I modsatte grøft er kontrolklassen på baggrund af et klassisk undervisningsforløb i optimering gået 12,11% frem i gennemsnit. Det er selvfølgelig ikke de resultater, som vi håbede at få, og vi har derfor i gruppen drøftet, hvad resultaterne kan skyldes. Først og fremmest skal det selvfølgelig bemærkes, at vi har et særdeles sparsomt talmateriale, og dermed er usikkerheden selvfølgelig alt for stor til at drage nogle konklusioner. Men hvis vi alligevel skal forsøge at forklare resultaterne, så kan man dele en begrundelse op i tre: For det første kan man se på resultaterne ud fra kategoriseringen. Ser vi på kategorien ”Indfør variabel” ses, at bortset fra Charles så er der sket en meget lille udvikling. Hverken James, Ed, Jay eller Mary og kun få af eleverne i kontrolklassen har ændret strategi, når det kommer til at indføre variable. Det er i hvert fald ganske få af eleverne, der i posttesten pludselig indfører flere (eller færre) variable end i prætesten. Eleverne skriver stadig oftest tekst som svar på f.eks. ”hvordan et areal kan beregnes” og indfører kun variable, hvis der spørges efter et udtryk eller en formel. Dette kunne tyde, at dette er en for eleverne typisk opfattelse af de socio-matematiske normer (at ”giv udtryk” betyder svar med formel ellers gør man det med ord) på netop dette område, og det er nok også typisk sådan normerne afspejles i undervisningen. Ser man på kategorien ”opstil formeludtryk”, så er det en skuffelse for os, at forsøgseleverne ikke har klaret sig bedre, idet det er her vores fokus har ligget i opgaverne. Der er en meget lille ændring i Charles, Ed og Jays resultater, ingen ændringer i Marys resultater, mens James er gået rimelig markant tilbage. Nærlæser man James’ svar vil man se, at nogle af fejlene skyldes en fortegnsfejl i opgave 3b og 3c, hvilket vi fortolker mere som en sjuskefejl end en forståelsesmæssig fejl. Vi tror egentlig, at forsøgseleverne er blevet bedre til at opstille formeludtryk, men at vores præ- og posttests ikke har været gode nok til at afdække dette. Der har - set i bakspejlet - nok været for få forskellige slags spørgsmål. Det har desværre betydet, at der ikke har være tilstrækkelig mulighed for eleverne til at vise, at de har forbedret sig. Enten har spørgsmålene være så lette, at eleverne har kunnet klare dem i både præ- og posttest, eller også har de været så svære at eleverne ikke har kunnet klare dem i nogle af de to tests. Dette gælder bl.a. spørgsmål 6 (at klippe en snor over og lave to kvadrater). Resultaterne for kategorien ”optimer” overrasker os til gengæld ikke så meget. I interventionsforløbet har der ikke være fokus på den matematiske problemløsning i optimeringsopgaverne (dvs. opgave 7b, 7c, 7d og 8c). Vi havde dog håbet, at arbejdet med forsøgseleverne også havde båret lidt frugt mht. disse opgaver, men det viser (det yderst begrænsede) talmateriale desværre ikke, at det har i særligt stort omfang. Kun Mary har oplevet en fremgang, hvilket vi vil kommentere på lidt senere. Derimod har kontrolklassen forbedret sig markant, hvilket også gerne skulle være tilfældet, da de i deres ”normale” forløb har gennemgået en håndfuld optimeringsopgaver. I forhold til konklusionen på kategorien ”optimer”, skal de siges at eleverne Mary og Jay fik posttesten noget senere end Charles, Ed og James. Dette skyldes, at AK (deres lærer) desværre blev ramt af sygdom i den uge i slutningen af november, hvor det var planlagt, at de skulle have taget posttesten. Det viste sig først praktisk muligt at få eleverne til at tage posttesten midt i december og i den mellemliggende periode havde de sammen med de øvrige elever i deres klasse trænet ”almindelig optimering” via arbejdet med matematikprojektet vodkaklovn. Dette kan formentlig forklare, hvorfor lige netop Mary oplever en så klar forbedring i forhold til prætesten indenfor kategorien ”optimér”. 247 Den anden del af forklaringen på vores forsøgselevers resultater kan ligge i de socio-matematiske normer gældende for deres egen klasse og for dem selv. En af grundene til at eleverne ikke har vist fremgang er måske, at vi har lavet en klasserumsintervention. De tre elever er temmelig bevidste om niveauet i klassen og putter sig i ly af de klogere og mere frembrusende elever i klassen. De bringer ikke gerne sig selv i spil f.eks. ved at spørge løs og debattere, men læner sig op ad de kendte strategier med at lytte og evt. spørge kammeraterne. Når man intervenerer i et klasserum, har man ikke helt samme fokus på de elever, man vil hjælpe, og de får mindre opmærksomhed. Dels fordi man har en hel klasse siddende, og dels fordi man ikke vil udstille de elever, der er involveret i projektet. Man er også mindre fleksibel, hvis der opstår sygdom hos en elev, som derved er fraværende til et eller flere interventionsmoduler, hvilket var tilfældet med Ed, der var fraværende under modelleringsspillet. Om Ed kan desuden nævnes, at han først på et sent tidspunkt er kommet ind i klassen, og at han tidligere har gået i en noget sløv Mat B klasse. Den tredje del af forklaringen er, at vores udvalgte testelever faktisk klarede sig relativ godt i forhold til kontrolklassen i prætesten. Tre af eleverne (James, Ed og Mary) klarede sig markant bedre end kontrolklassens gennemsnit og kun Charles og Jay klarede sig en lille smule dårligere en kontrolklassens gennemsnit. Således var kontrolklassen nødvendigvis bedre stillet i forhold til at opnå en øget relativ forbedring fra prætest til posttest, end vores testelever var. Der er mange faktorer, der spiller ind i en læringsproces og erfaringen siger os, at netop 2.g opleves som særlig hård, hvilket eleverne måske også er påvirket af. En af vores elever har i efteråret haft lidt personlige problemer og haft svært ved at koncentrere sig i timerne. Generelt kan de opfatte sig selv som svage i flere fag og da der i 2g skrues op for forventninger, niveau mv. kan det presse eleverne yderligere. Endelig er den tid, som vi valgte at anvende på interventionen måske en årsag. Eleverne kunne måske godt have behov for at have haft mere tid til visse dele af forløbet, og det var især forstyrrende, at vi skulle nå andre ting ind i mellem. Konklusion I dette projekt har vi fra starten af forsøgt at lægge et større fokus end tidligere på interventionen frem for detektionen og diagnosticeringen. Således blev vi i gruppen hurtigt enige om nogle retningslinjer for hvordan detektionstesten skulle rettes og om en kategorisering af, hvad der særligt er på færde i de enkelte opgaver i forhold til modelleringscyklussens delprocesser. Denne kategorisering er udarbejdet med kraftig inspiration fra Niss’ skriftlige kommentarer til detektionstest 3. Elevernes testresultater har naturligvis haft en stor indflydelse på, hvilke elever der er udvalgt som testpersoner, men lige så vigtigt har det været at finde nogle, vi følte havde et udviklingspotentiale og havde lyst til at deltage i projektet. Det endte med 5 elever, 2 fra 2gMA fra Sankt Annæ Gymnasium (Jay og Mary) og 3 fra 2g MA fra Aurehøj Gymnasium (Ed, James og Charles). På baggrund af en nærmere inspektion af deres detektionstest blev de hver især indkaldt til én samtale, hvor vi søgte at få en mundtlig forklaring på nogle af de interessante svar, de havde noteret. Det viste sig, at flere af dem havde vanskeligt ved en lang række af modelleringscyklussens faser, specielt præmatematisering og matematisering. Præmatematisering, fordi flere af dem ikke accepterede opgavens præmisser, men snarere lod sig påvirke af erfaringer fra hverdagen og matematisering, fordi manglende kendskab til centrale formler og manglende evne til at arbejde med variable var en effektiv stopklods i forhold til at komme i mål med en række af opgaverne. Vi har fra starten af haft et ønske om at 248 arbejde specielt med matematisering, og da vi desuden gerne vil arbejde med et projekt, der havde en umiddelbar tilknytning til vores hverdag synes et projekt om matematisering i forhold til optimeringsopgaver at være nærliggende. Det ville desuden også egne sig til klasserumsintervention, da det ville kunne glide naturligt ind i den daglige undervisning. Det ledte frem til vores problemformulering: I hvilket omfang kan en intervention rettet mod elevernes evne til at matematisere forbedre deres evne til at løse netop denne fase i optimeringsopgaver og dermed optimeringsopgaver generelt. Med denne problemformulering som udgangspunkt valgte vi et interventionsdesign, der arbejdede hen imod i første omgang at forbedre elevernes evne til at matematisere. Dette gjorde vi ved - efter et indledende modul om matematisk modellering generelt - at sætte fokus på både passiv modellering og aktiv modellering i de to efterfølgende moduler. Vores håb var naturligvis, at dette ville have en positiv ”spin-off”-effekt i forhold til at løse optimeringsopgaver, da en betydelig del af denne type opgaver netop består i at matematisere det oprindelige problem. For at kunne sige noget fornuftigt om, hvorvidt en målrettet indsats i forhold til matematisering kunne hjælpe på elevernes evne til at løse optimeringsopgaver og specielt matematiseringsfasen i optimeringopgaver, valgte vi udover vores 5 forsøgselever fra Aurehøj Gymnasium 2.g MA og Sankt Annæ Gymnasium 2.g MA at have en kontrolklasse fra Aurehøj at sammenligne med. Kontrolklassen fik en såkaldt klassisk undervisning i optimering, mens vores 5 forsøgselever blev udsat for vores særlige interventionsforløb. De 5 personer samt kontrolklassen har alle fået prætesten og posttesten (Mary og Jay besvarede dog posttesten noget senere end Charles, James og Ed grundet sygdom hos AK), og resultaterne viser umiddelbart ikke, at vores interventionsforløb har haft en mere positiv indvirkning på elevernes evne til at optimere end kontrolklassens. Som nævnt i refleksionerne over testresultaterne, så kan vores resultater have mange årsager. Dels er datamaterialet noget begrænset, dels må det overvejes om præ -og posttestenes design har fungeret ordentligt og dels viste det sig, at vores testelever generelt klarede prætesten noget bedre end kontrolklassen, hvilket på forhånd gav kontrolklassen bedre mulighed for en relativ forbedring end vores testelever. Den mest væsentlige årsag til kontrolklassens store fremskridt i forhold til forsøgseleverne ligger dog nok i, at vi ikke havde ret meget fokus på den matematiske problemløsning i optimeringsopgaverne, hvilket kontrolklassen havde. Skal vi derfor konkludere på vores problemformulering, så må det være, at vi på det foreliggende grundlag må sande, at vores interventionsforløb kun i begrænset omfang har forbedret elevernes evner indenfor matematiseringsfasen i optimeringsopgaver, og at det generelt ikke har forbedret elevernes evner indenfor den del af optimeringsopgaverne, der handler om at optimere. Af de 5 elever oplevede kun Mary en markant fremgang i kategorien ”optimér”, hvilket formentlig skyldes, at hun sammen med Jay – til forskel fra Charles, Ed og James – faktisk fik mulighed for at optimere i den daglige matematikundervisning inden posttesten blev taget. Den begrænsede fremgang indenfor matematisering tilskriver vi problemer med rent faktisk at måle fremgangen (et for lille talmateriale og utilstrækkelige tests), da det er vores overbevisning, at eleverne rent faktisk har forbedret deres evner til at matematisere på trods af posttestens resultat. Det andet tilskriver vi hovedsagelig manglende fokus på den matematiske problemløsning i optimeringsopgaverne. 249 Vi synes, at det har været et yderst interessant projekt at lave, og det er vores overbevisning, at både vi og eleverne har lært noget af vores interventionsforløb. Vi har fået nogle gode erfaringer og ikke mindst et miniforløb om matematisering lige til at tage op af tasken og gennemføre. Vi har dog også lært, at såfremt vi ønsker at benytte dette i undervisningen i fremtiden, så er det ikke tilstrækkeligt, når det kommer til at lære eleverne at lave optimeringsopgaver. Hertil må der trænes og læres mere især i den matematiske problemløsning. Her kunne en stilladsering i form af en ”opskrift” til at løse den type opgaver hjælpe mange elever et langt stykke. Eleverne kunne afslutningsvis passende prøve det kendte projekt ”Vodkaklovn”34, som er en modelleringsøvelse omhandlende netop optimering. 34 Fra bogen ”Eksperimentel matematik” udgivet af Matematiklærerforeningen. 250 Bilag – miniprojekt 3: Dette er en bilagssamling til projekt 3. Bilag 1: Detektionstest 3: 13 Spørgsmål fra Professoren Her er 13 spørgsmål fra professoren. Det er meget vigtigt for vores undersøgelse, at du svarer på alle spørgsmålene, også hvis der skulle være nogle du ikke synes du kan gøre noget ved. På forhånd stor tak for hjælpen! Spørgsmål 1 Hans kan gå fra Roskilde Station til Roskilde Domkirke på 6 minutter. Grethe skal bruge 8 minutter. Hvor lang tid tager det, hvis de følges ad? Begrund dit svar. Spørgsmål 2 Du er ved at lave din egen dressing til en salat. Her er en opskrift på 100 milliliter (ml) dressing. Salatolie 60 ml Eddike 30 ml Soyasauce 10 ml Hvor mange ml salatolie skal du bruge for at lave 150 ml af denne dressing? Begrund dit svar. Spørgsmål 3 Søren vil sætte sine sparepenge i banken. Banken Tæsk tilbyder 0,25 % i rente hvert kvartal, hvis han lader pengene stå i 2 år. Banken Bank tilbyder 1% i årlig rente, hvis han lader pengene stå i 2 år. Er det ligegyldigt hvilken bank Søren vælger, eller har han fordel af at vælge den ene frem for den anden? Begrund dit svar. 251 Spørgsmål 4 På en bestemt skole er der 6 gange så mange elever som lærere. Opskriv en formel der udtrykker sammenhængen mellem antallet, E, af elever og antallet, L, af lærere. Begrund dit svar. Spørgsmål 5 Se på billedet ovenfor. Hvor høj er den forreste bygning cirka? Begrund dit svar. Spørgsmål 6 Et oliefelt indeholder 100 millioner tønder olie. Ali siger, at hvis man hvert år udvinder 1 million tønder olie, slipper olien op efter 100 år. Aya siger, at hvis man hvert år udvinder 1% af den olie, der er tilbage, slipper olien aldrig op. Hvem har ret og hvorfor? 252 Spørgsmål 7 På en ret stejl bakke i Athen findes en vej op, der er ca. 4 km lang. Rikke, som er i god form, kan bestige bakken med en gennemsnitsfart på 3 km i timen, og gå ned igen med den dobbelte fart. Hvad er Rikkes gennemsnitsfart for den samlede tur? Begrund dit svar. Spørgsmål 8 Et pizzeria serverer to runde frokostpizzaer af samme slags og tykkelse, men i forskellig størrelse. Den mindste har en diameter på 30 cm og koster 30 kr. Den største har en diameter på 40 cm og koster 40 kr. Hvilken pizza giver mest for pengene? Vis, hvordan du kom frem til dit resultat. Spørgsmål 9 I landet Zedland er der to aviser, der søger sælgere. Annoncerne nedenfor viser, hvordan de betaler deres sælgere. ZEDLAND POSTEN ZEDLAND TIDENDE BRUG FOR EKSTRA PENGE? GODT BETALT JOB, DER IKKE TAGER LANG TID! SÆLG VORES AVISER Sælg Zedland Tidende og tjen 60 zeds om ugen, plus ekstra 0,05 zeds pr. avis du sælger. Du vil blive betalt: 0,20 zeds pr. avis for de første 240 aviser, du sælger på en uge, plus 0,40 zeds for hver ekstra avis, du sælger. John beslutter sig for at søge en stilling som avissælger. Han skal vælge mellem Zedland Posten og Zedland Tidende. Hvilken af de følgende grafer (A, B, C eller D) er en korrekt fremstilling af, hvordan de to aviser betaler deres sælgere? Begrund dit svar. 253 A B C D Spørgsmål 10 Mohammed sidder på en gynge. Han begynder at gynge. Han forsøger at komme så højt op som muligt. Hvilken af følgende grafer (A, B, C eller D) afbilder bedst højden af hans fødder over jorden mens han gynger? Begrund dit svar. 254 Højde af fødder Tid Højde af fødder Tid Højde af fødder Tid Højde af fødder Tid Spørgsmål 11 En træterning med alle sider lig 2 cm vejer 4,8 gram. Hvad vejer en træterning, hvor alle siderne er 4 cm? Begrund dit svar. Spørgsmål 12 Af helbredsmæssige årsager bør folk begrænse deres anstrengelser, fx under udøvelse af sport, for ikke at overskride en bestemt hjertefrekvens (antal hjerteslag pr. minut). Før i tiden var sammenhængen mellem en persons anbefalede maksimale hjertefrekvens og personens alder (målt i år) beskrevet ved følgende formel (hvor der ses væk fra enheder): Anbefalet maksimale hjertefrekvens = 220 – alder. 255 Nyere forskning viste at denne formel burde ændres en smule. Den nye formel er som følger: Anbefalet maksimale hjertefrekvens = 208 – (0,7 × alder). En avisartikel skrev: ”Et resultat af at benytte den nye formel i stedet for den gamle er, at det anbefalede maksimale antal hjerteslag per minut for yngre mennesker nedsættes en smule, mens det for ældre mennesker forhøjes en smule.” Avisens påstand er korrekt. Fra hvilken alder og frem forhøjes den anbefalede maksimale hjertefrekvens ved overgang til den nye formel? Begrund dit svar. Spørgsmål 13 Kelly kørte en tur i sin bil. Pludselig løb en kat ud foran bilen. Kelly bremsede hårdt op og undgik at ramme katten. Lettere rystet besluttede Kelly sig for at køre hjem igen. Diagrammet nedenfor viser en forenklet gengivelse af bilens fart i løbet af turen. Hvad var klokken, da Kelly bremsede hårdt op for at undgå at ramme katten? Begrund dit svar. Kellys køretur Fart (km/t) Tid 256 Bilag 2 Resultater for klassen 2gMA (AK) – 29 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 257 Bilag 3 Resultater for klassen 2gMA (CS) – 27 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 258 Bilag 4 Resultater for klassen 3gMA (KPM) – 22 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 259 Bilag 5 Resultater for klassen 2gMA Valg (KPM) – 19 elever Resultater for de enkelte spørgsmål: Resultater for de enkelte kategorier: 260 Bilag 6 Prætest: Opgave 1: Her er et billede af fodboldbanen i Parken i København. Hvordan kan Morten Olsen bestemme arealet af hele banen, hvis han kender længderne af kridtstregerne. Opgave 2: Jens ved, at en lille pose med vingummibamser indeholder 15 vingummibamser. Jens lægger nogle poser i indkøbsvognen. Hvordan kan Jens bestemme det samlede antal vingummibamser ud fra det antal poser, som han har lagt i indkøbsvognen? Opskriv en matematisk formel som Jens kan bruge til at beregne antallet af vingummibamser, når han ved hvor mange poser, han har lagt i indkøbsvognen. Opgave 3: Et firma sælger en vare for 5 kr. pr. stk. Opskriv et udtryk for omsætningen (det antal kr. der i alt sælges for). 261 Prisen for at lave et stk. af denne vare er 2,25 kr. Opskriv et udtryk for omkostningerne (det som det i alt koster at lave varerne). Opskriv et udtryk for den samlede fortjenesten (det som man tjener på varerne), under antagelse af at alle producerede varer også sælges. Opgave 4: En lærer har 20 elever i en klasse. Læreren er meget gavmild og benytter kun karaktererne 4, 7, 10 og 12. Opskriv en formel til at beregne elevernes gennemsnit. Opgave 5: Nedenfor ses en tegning af en æske uden låg: Opskriv en formel til at beregne lågets rumfang. 262 Opgave 6: Et stykke metal på 100 cm. klippes over i to dele, og hver del bruges til at lave en kvadratisk ramme. Opskriv et udtryk for det samlede areal af de to rammer. Opgave 7: En mark skal indhegnes som illustreret til højre. Hver linje illustrerer en del af hegnet og skal indgå i indhegningen. Landmanden har 1200 meter hegn til rådighed. Opskriv et udtryk for det samlede areal af marken som er indhegnet. Opskriv sammenhængen mellem det samlede forbrug af hegn ved hjælp af rektanglets bredde x og rektanglets længde y, når landmanden skal bruge alle 1200 meter hegn. Opskriv en formel med kun en variabel til at beregne markens samlede areal Hvor store skal x og y være, for at det samlede areal er størst muligt, hvis landmanden bruger præcis de 1200 meter hegn han har til rådighed. 263 Opgave 8: Et lille dansk firma sælger varer til de danske gymnasier. Firmaet sælger deres varer for 1500 kr. pr. stk. Opskriv et udtryk for omsætningen (det antal kr. der i alt sælges for) Firmaet har i forbindelse med produktionen af varer omkostninger i kr. beskrevet ved formlen 3𝑥 2 − 4500𝑥 + 2.000.000 hvor 𝑥 er lig antal varer solgt. Firmaets fortjeneste (det de tjener i kr.) beregnes ved Fortjeneste = omsætning - omkostninger Det antages, at firmaet sælger alle de varer, som de producerer. Opskriv en formel til at beregne firmaets fortjeneste, når firmaet ved hvor mange varer de producerer. Hvor mange varer skal firmaet producere for at tjene flest penge? 264 Bilag 7 Resultater af prætest for kontrolklasse: Resultater af kategorisering for kontrolklasse: 265 Bilag 8 Kategorisering af præ- og posttest: 266 Bilag 9 Slides til første modul af interventionen: 1) 2) 3) 267 4) 5) 268 6) 7) 8) 269 9) 10) 270 11) 12) 271 13) 14) 15) 272 16) 17) 18) 273 19) 20) 274 21) 275 Bilag 10 Modelleringsspil (udleveres udklippet til eleverne): 276 277 278 279 Bilag 11 Arbejdsark til tredje modul i interventionen: Modelleringsopgaver Arbejdet med matematisering kræver mod til at begå fejl og det kræver du kommer i gang med at få skrevet noget ned. Brug papir eller tavle, så I hurtigt og effektivt kan tegne skitser, skrive udtryk og så videre, mens tankerne flyder. Opgave 1 Søren har 18 stole og nogle er røde og andre sorte. Han har fire flere af de sorte stole end af de røde. Hvor mange sorte stole har Søren? Opgave 2 Fire lærere er på vej hjem fra fest og deler en taxa. Da de ikke kører lige langt enes de om at sidste mand betaler 30 kr mere end den næstsidste. Han/hun skal dog betale 20 kr mere personen der skal af som nummer to. Og endelig skal personen der stiger ud som nummer to betale 10 kr mere end den person der skal først af. Regningen kom til at lyde på 460 kr. Hvor meget skulle de hver især betale? Opgave 3 Kasper, Anders og Christina har en lottoklub, hvor de deler gevinsten efter deres indsats. Af en gevinst får Anders halvdelen, Kasper en fjerdedel og Christina en sjettedel, men de bestemmer at give resten på 2500 kr. til Børns Vilkår. Hvor stor er gevinsten? Opgave 4 Eva er 14 år og hendes mor er 47 år. Hvor lang tid går der før Eva er det halve af sin mors alder? 280 Opgave 5 Hvornår skal man vælge et abonnement frem for et andet? Opgave 6 En speciel type tagrender laves ved at bøje en metalplade som vist på nedenstående figur (bøjes i den stiplede linje) Opskriv en formel for tværarealet af tagrenden (det grå område til højre) 281 Opgave 7 Et stykke metal har form som et rektangel med sidelængderne h og 2r. To halvcirkler med radius r skæres ud af metalstykket som vist på figuren. Det tilbageværende metalstykke har omkredsen 6. Bestem ℎ udtrykt ved 𝑟. Bestem en formel for arealet som funktion af 𝑟. Bestem 𝑟, så metalstykkets areal bliver størst muligt Opgave 8 På figuren ses et drivhus, der er placeret op ad en mur. Glasoverfladen af drivhuset består af to retvinklede trekanter med kateter h og b og et rektangel, hvis ene side er 5b. Det oplyses at rumfanget af drivhuset er 40. Bestem h udtrykt ved b og bestem glasoverfladen af drivhuset som funktion af b Opgave 9 Musikbixen sælger 1400 albums pr måned til en pris af 200 kr pr album. For hver 10 kr prisen sænkes, sælges der 100 flere albums. Hvilken pris giver den største omsætning? Opgave 10 Benny er gammel cykelrytter. Han holder sig stadig i form sammen med vennerne i den lokale cykelklub. Da han skal deltage i et landevejsløb en uge senere, har han besluttet sig for at teste sig selv på en enkeltstart 282 på lige vej. I det følgende antager vi at Benny holder konstant fart på hele turen. Desværre glemte Benny at nulstille sit stopur hjemmefra Undervejs kommer Benny forbi to steder på ruten, som han ved ligger hhv. 15,2 km og 26,6 km fra udgangspunktet. Det sker når stopuret viser hhv. 36 min og 54 min. Hvad viste stopuret, da Benny startede? Hvor langt kan han cykle på halvanden time Hvad er hans fart? Opgave 11 Et tog gennemkører en strækning med konstant fart. Hvis farten sættes op med 10 km/h kan turen gøres 40 minutter hurtigere. Hvis farten derimod sættes ned med 10 km/h tager turen en time længere. Hvor langt har toget kørt? Opgave 12 En lastbil kører halvdelen af en strækning med en fart på 30 km/h. Hvor hurtigt skal den køre på den anden halvdel af turen for at den i gennemsnit har kørt med 40 km/h?...eller 60 km/h? Opgave 13 Et IC3-tog skal køre mellem Odense og Nyborg. Afstand er 29 km. Først accelererer toget konstant i 2 𝑘𝑚 minutter med 1 𝑚𝑖𝑛2. Derefter fortsætter toget med konstant fart i 12 minutter. Til sidste bremser toget med konstant acceleration. Hvad er den højeste fart toget opnår? Hvad er accelerationen under opbremsningen? 283 Opgave 14 Karen køber altid smukke tørklæder på sine ferier. I år købte hun et tørklæde den første dag og hver dag købte hun et tørklæde mere end den foregående dag. Med hjem havde hun 528 tørklæder. Hvor lang var Karens ferie 284 Bilag 12 Posttest: Opgave 1: Her er et billede af en håndboldbane. Hvordan kan Ulrik Wilbek bestemme arealet af hele banen, hvis han kender længderne af stregerne? Opgave 2: Janni ved, at en pakke med tyggegummi indeholder 12 tyggegummi. Janni lægger nogle pakker i indkøbsvognen. Hvordan kan Janni bestemme det samlede antal tyggegummi ud fra det antal pakker, som hun har lagt i indkøbsvognen? Opskriv en matematisk formel som Janni kan bruge til at beregne antallet af tyggegummi, når hun ved hvor mange pakker, hun har lagt i indkøbsvognen. Opgave 3: Et firma sælger en vare for 7 kr. pr. stk. Opskriv et udtryk for omsætningen (det antal kr. der i alt sælges for). 285 Prisen for at lave et stk. af denne vare er 4,50 kr. Opskriv et udtryk for omkostningerne (det som det i alt koster at lave varerne) Opskriv et udtryk for den samlede fortjenesten (det som man tjener på varerne), under antagelse af at alle producerede varer også sælges. Opgave 4: Et fodboldhold kan få enten 3 point (ved en sejr), 1 point (ved uafgjort) eller 0 point (ved nederlag) for en kamp. Fodboldholdet har spillet 20 kampe i denne sæson. Opskriv en formel til at beregne det gennemsnitlige antal point pr. kamp, som holdet har spillet i denne sæson. Opgave 5: Nedenfor ses, hvordan en kasse kan laves ud af en metalplade. Det skraverede område smides ud og de fire sider svejses sammen til en kasse. Opskriv en formel til at beregne kassens rumfang. 286 Opgave 6: Et stykke metal på 20 cm. klippes over i to dele, og hver del bruges til at lave en kvadratisk ramme. Opskriv et udtryk for det samlede areal af de to rammer. Opgave 7: En mark skal indhegnes som illustreret til højre. Hver linje illustrerer en del af hegnet og skal indgå i indhegningen. Landmanden har 800 meter hegn til rådighed. Opskriv et udtryk for det samlede areal af marken som er indhegnet. Opskriv sammenhængen mellem det samlede forbrug af hegn ved hjælp af rektanglets bredde x og rektanglets længde y, når landmanden skal bruge alle 800 meter hegn. Opskriv en formel med kun en variabel til at beregne markens samlede areal Hvor store skal x og y være, for at det samlede areal er størst muligt, hvis landmanden bruger præcis de 800 meter hegn han har til rådighed. Opgave 8: Et lille dansk firma sælger software til de danske skoleelever. Firmaet sælger deres varer for 30 kr. pr. stk. Opskriv et udtryk for omsætningen (det antal kr. der i alt sælges for) Firmaet har i forbindelse med produktionen af varer omkostninger i kr. beskrevet ved formlen 2𝑥 2 − 3970𝑥 + 1.500.000 287 hvor 𝑥 er lig antal varer solgt. Firmaets fortjeneste (det de tjener i kr.) beregnes ved Fortjeneste = omsætning - omkostninger Det antages, at firmaet sælger alle de varer, som de producerer. Opskriv en formel til at beregne firmaets fortjeneste, når firmaet ved hvor mange varer de producerer. Hvor mange varer skal firmaet producere for at tjene flest penge? 288 Bilag 13 Resultater af posttest for kontrolklassen: Resultater for kategoriseringen for kontrolklassen: 289 Litteraturlister: Litteraturliste – kappe: Niss, M & Hermann. 1982 Alment om matematiske modeller. Pirie, S & Kieren, T (1994) Growth in Mathematical Understanding: How can we characterize it and how can we represent it? Litteraturliste – miniprojekt 1: Duval, R (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics” Educational studies in Mathematics 2006 p103-131. Springer Filloy, E & Rojano, T (1989)Solving Equations: The transition from Arithmetics to Algebra. For the Learning of Mathematics 9, june 1989. Laursen, N.N. (2008) Variabelsammenhæng I gymnasiets matematikundervisning MONA 2008-4 Niss, M & Jensen, T. H. (2002). Kompetancer og Matematiklæring (KOM-rapport) Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr 18 - 2002 Sfard, A (1991). On the dual nature of Mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22; 1-36, 1991 Skemp, R. P. (1982) Symbolic Understanding Mathematics Teaching 1982 99 59-61 Skemp R. P. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching 77, 1976 Skemp, R. P. (1979). Goals of Learning and qualities of understanding1979. Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity Vlassis, J (2002). The balance model: Hindurance or support for the solving of linear equations with one unknown. Educational Studies in Mathematics 49: 341-359 2002 Vlassis, J (2004). Making sense of the minus sign or becoming flexible in “negativity”. Learning and Instruction 2004 469-484 Winsløw C(2002). Et grundproblem i matematikundervisningen – og en fransk visit. Uddannelssesfronten Mathilde nr 14 2002 (www.matilde.mathematics.dk/arkiv/M14/UddFront14.doc) 290 Litteraturliste – miniprojekt 2: Bell (1976) A study of pupils´ proof -explanations in mathematical situations Brousseau G. (1997) Theory of didactical situations in mathematics, chapter 5 de Villiers (1990) The role and function of proof in mathematics Dreyfus & Hadas (1996) Proof as answer to the question why EMS (2011) Do theorems admit expections? EMS (2013) Solid findings in mathematics educations Harel & Sowder (1998) Students´ proof schemes: Results from exploratory studies, CBMS 1998 Harel & Sowder (2007) Towards comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof Hanna G. (1990) Some pedagogical aspects of proof Hanna G. (????) Proof and its classroom role; A survey Hanna G. (2010) Explanation and proofs in mathematics, Springer Hanna G (2007). The ongoing value of proof Healy L. & Hoyles C. (2000) A Study of proof conceptions in algebra NCTM 2000 Kaas T. (2010) Kolorit 9, Gyldendal 1.udg. 1. oplag Knuth E. J. (2002) Proof as a tool for learning mathematics Mason J. (2010) Thinking mathematically Prentice Hall 2. edition Niss, M & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og Matematiklæring (KOM-rapport) Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr 18 - 2002 Op´t Eynde P. et. al. . (2002) Beliefs: A hidden variables in mathematics education. Framing Students’ Mathematics-Related Beliefs Plaxco, D. B. (2011) Relationship between students´ proof schemes and definitions. 2011 Schoenfeld A. H. (1992) Learning to think mathematically: Problem solving metacognition and sense making in mathematiktics. Skemp, R. P. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching 77, 1976 Yackel E. & Cobb P. (1996) Sociomathematical norms, argumentation and autonomy in mathematics NCTM 1996 291 Litteraturliste – miniprojekt 3: Bjerring Søby Jensen, K. Anvendelse og modellering i matematik - et teoretisk blik. LMFK-bladet 2/2012 Doerr, H. 2014. Oplæg og Slides fra internat maj 2014 Duval, R (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics” Educational studies in Mathematics 2006 p103-131. Springer EMS 2012. Models and Modeling in Mathematics Education Gregersen, P og Limkilde. Kernestof Mat B. L & R 2014 Højgaard, T og Limkilde, P. Opgavesamling til kurset MIA - Matematik i anvendelse. RUC 2010 Niss, M & Hermann. 1982 Alment om matematiske modeller. Niss, M & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og Matematiklæring (KOM-rapport) Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr 18 - 2002 Niss, M 2010. Modeling a Crucial Aspect of Students´ Mathematical Modeling Niss, M 2014 Slides fra internat sept. 2014 Niss, 2/2014 MN Kommentarer-Detektionstest3.docx Diverse lærebøger fra STX undervisningen og gamle STX eksamensopgaver - inspiration til modelleringsopgaver Links Dan Mayer http://blog.mrmeyer.com/2013/three-act-modeling-v-textbook-modeling-v-common-coremodeling/ http://www.101qs.com/index.php https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AjIqyKM9d7ZYdEhtR3BJMmdBWnM2YWxWYVM1UWowT EE#gid=0 292
© Copyright 2024