1. No category

Differentialregning
for A-niveau i stx
udgave 3
t
f (x)
f
s
f (1)
2015 Karsten Juul
Differentialkvotient
1. Tangent og r€ringspunkt.................................................................................1
2. Funktionsv•rdi og differentialkvotient. .........................................................1
3. Fortolkning af f '(x) vedr. graf. ..........................................................................2
4. Fortolkning af f '(x) n‚r x er tiden. ....................................................................2
5. Fortolkning af f '(x) n‚r x ikke er tiden..............................................................2
6. Fortolkninger af f '(x) begrundet. ......................................................................2
7. Bestem f '(x) med Nspire. ................................................................................3
8. Reglerne for at bestemme f '(x) uden hj•lpemidler. .......................................3
9. Advarsler om regler fra ramme 8......................................................................4
10. Eksempel p‚ brug af regler fra ramme 8...........................................................4
11. Eksempel p‚ brug af regler fra ramme 8...........................................................4
12. Eksempler p‚ brug af regel 8j med ydre og indre funktion. ............................5
13. Afl•s tallet f (r) p‚ figur.................................................................................6
14. Afl•s tallet f '(r) p‚ figur.................................................................................6
15. Afl•s l€sninger til f (x)=t p‚ figur. ................................................................7
16. Afl•s l€sninger til f '(x)=s p‚ figur. ................................................................7
17. Afledede funktion. ............................................................................................8
18. Er det grafen for den afledede?.........................................................................8
Tangent
19. Bestem ligning for tangent................................................................................9
20. Bestem punkt p‚ graf n‚r vi kender x-koordinat . ...........................................9
21. Bestem punkt p‚ graf n‚r vi kender y-koordinat . .........................................10
22. Bestem punkt p‚ graf n‚r vi kender tangenth•ldning . .................................10
23. Bestem tangenth•ldning.................................................................................11
24. Har grafen en tangent med h•ldningskoefficienten a? ..................................11
25. Bestem f (x0) ud fra tangents ligning. ...........................................................11
26. Er linjen tangent? ............................................................................................12
27. Bestem r€ringspunkt for tangent. ...................................................................13
28. Vinkel og tangent............................................................................................13
29. Bestem konstant i forskrift..............................................................................14
30. Bestem r€ringspunkt for tangent gennem givet punkt....................................14
VÄksthastighed
31. V•ksthastighed...............................................................................................15
32. Afl•s st€rrelsen n‚r tidspunktet er kendt. ......................................................15
33. Afl•s v•ksthastigheden n‚r tidspunktet er kendt. .........................................16
34. Afl•s tidspunktet n‚r st€rrelsen er kendt. ......................................................16
35. Afl•s tidspunktet n‚r v•ksthastigheden er kendt. .........................................17
36. Udregn st€rrelsen n‚r tidspunktet er kendt. ....................................................17
37. Udregn v•ksthastigheden n‚r tidspunktet er kendt. .......................................17
38. Udregn tidspunktet n‚r st€rrelsen er kendt. ....................................................18
39. Udregn tidspunktet n‚r v•ksthastigheden er kendt. .......................................18
40. Du skal ikke altid differentiere for at finde hastighed. ...................................18
Monotoni
41. Voksende og aftagende...................................................................................19
42. Hvad er monotoniforhold?..............................................................................20
43. Regel for at finde monotoniforhold. ...............................................................20
44. Bestem monotoniforhold. ...............................................................................21
45. G€r rede for at f er voksende (eller at f er aftagende). ...............................22
46. Bestem k s‚ f er voksende (eller s‚ f er aftagende). .................................22
47. Tegn f-graf ud fra f '-fortegn m.m................................................................22
48. Bestem monotoniforhold for f ud fra f-graf. ...............................................23
49. Bestem monotoniforhold for f ud fra f '-graf. .............................................23
Ekstrema
50. Maksimum og minimum.................................................................................24
51. Bestem med f '(x) den v•rdi af x hvor y er st€rst. ........................................25
52. Bestem med f '(x) den st€rste v•rdi af y.......................................................26
53. Bestem med f '(x) den v•rdi af x hvor y er mindst. ......................................27
54. Bestem med f '(x) den mindste v•rdi af y ....................................................27
55. Bestem ekstrema. ............................................................................................27
56. G€r rede for at funktionen har et minimum (eller maksimum). .....................27
57. Lokalt maksimum og minimum......................................................................28
58. Bestem lokale ekstrema. .................................................................................29
59. Bestem for hver v•rdi af a antal l€sninger til f (x) = a ...............................30
60. G€r rede for at ligning ikke kan have mere end ƒn l€sning............................30
61. Bestem konstant i forskrift ud fra lokalt ekstremum. .....................................30
Beviser
62. Differentiabel. .................................................................................................31
63. Gr•nsev•rdi. ..................................................................................................32
64. Vi kan finde en differentialkvotient ved at udregne en gr•nsev•rdi. ............33
65. Udledning af formlen for at differentiere x2. ..................................................34
66. Udledning af formlen for at differentiere udtryk plus udtryk . ......................34
Tidligere udgaver af dette h€fte har skiftet adresse til:
http://mat1.dk/differentialregning_for_a_niveau_i_stx_udgave_1.pdf
http://mat1.dk/differentialregning_for_a_niveau_i_stx_udgave_2.pdf
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3 , Ä 2015 Karsten Juul
4/8-2015
Nyeste version af dette h€fte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm
H€ftet m• benyttes i undervisningen hvis l€reren med det samme sender en e-mail til [email protected] som
oplyser at dette h€fte benyttes, og oplyser hold, niveau, l€rer og skole.
Differentialkvotient
1. Tangent og r€ringspunkt.
l er tangent i P
l er linjen gennem P som f€lger grafen n•r P.
1a.
At
betyder at
1b.
P kaldes tangentens rÅringspunkt.
f
P
1c.
Grafpunkterne n•r P ligger normalt ikke p‚ tangenten
(selv om det ser s‚dan ud p‚ en tegning da stregen ikke er uendelig tynd).
1d.
l
P‚ figuren er linje l tangent til f-graf i P .
2. Funktionsv•rdi og differentialkvotient.
2a.
At
betyder at
og skrives
som l•ses
2b.
At
betyder at
og skrives
som l•ses
t er funktionsvÄrdien af r
t er y-koordinaten til grafpunktet
med x-koordinat r
t = f (r)
t er lig f af r
a
1
a er differentialkvotienten i r
a er tangenthÄldningen i grafpunktet
med x-koordinat r
a = f '(r)
a er lig f mÄrke af r
f
P
t
l
r
2c.
2d.
2e.
2f.
2c og 2d er vedt€gter.
f (r) = y-koordinat til f-grafs punkt med x-koordinat r.
2e og 2f er begrundet i ramme 6.
f ' (r) = tangents hÄldning i f-grafs punkt med x-koordinat r.
f ' (r) = vÄksthastighed for f (x) p‚ tidspunkt r . (Hvis x er tid).
N‚r x er lig r , og vi l•gger et lille tal til x , s‚ l•gges ca. f ' (r) gange dette lille tal til y .
2g.
I ligninger af typerne
f (m) = n og f ' (m) = p
g•lder:
Tallet p‚ m 's plads er en x-v•rdi .
Tallet p‚ n 's plads er en y-v•rdi .
Tallet p‚ p 's plads er en tangenth•ldning eller v•ksthastighed .
2h.
Opgavetyperne i rammerne 20-23, 27-29, 36-39, 61 l€ses med f€lgende metode:
Skriv en ligning af en af typerne f (m)  n og
f (m)  p .
Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en konstant i forskriften .
Denne metode indg‚r som en del af opgavetyperne i mange af de andre rammer.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 1
2015 Karsten Juul
3. Fortolkning af f '(x) vedr. graf.
Opgave Fortolkning af f ' vedr. grafen.
L€sningerne til ligningen f ' (x) = 2 er x = 3 og x = 7. Hvad fort•ller dette om grafen?
Besvarelse
f ' (x) = tangenth•ldning (se 2d) s‚ det at l€sningerne er x = 3 og x = 7 , fort•ller:
Det er grafpunkterne med x-koordinat 3 og 7 hvor tangenth•ldningen er 2.
4. Fortolkning af f '(x) n‚r x er tiden.
Opgave Fortolkning af f ' vedr. noget fra virkeligheden n•r x er tiden.
Der er et tegnet dyr p‚ sk•rmen. f (x) er dyrets h€jde m‚lt i mm, og x er tiden m‚lt i
minutter. Det er oplyst at f (20)  2 . G€r rede for betydningen af dette.
Jeg har brugt bl• farve for at pege p•
Besvarelse
udskiftningen. Du behƒver ikke bruge farve.
Regel (se 2e):
Hvis du glemmer ordet ”hastighed”, s• betyder
f ' (r) er v•ksthastighed for f (x) p‚ tidspunkt r.
s€tningen at hƒjden i lƒbet af et minut vokser
I denne regel inds•tter vi de aktuelle ord og tal:
2 mm, og det er ikke det der er meningen.
2 er v•ksthastighed for hÅjden p‚ tidspunktet 20.
Dvs. P‚ tidspunktet 20 minutter vokser dyrets h€jde med hastigheden 2 mm pr. minut.
5. Fortolkning af f '(x) n‚r x ikke er tiden.
Opgave Fortolkning af f ' vedr. noget fra virkeligheden n•r x ikke er tiden.
Der er et tegnet dyr p‚ sk•rmen. f (x) er dyrets h€jde m‚lt i mm, og x er l•ngden m‚lt i
mm. Det er oplyst at f (20)  2 . G€r rede for betydningen af dette.
Besvarelse
Jeg har brugt bl• farve for at pege p•
udskiftningen. Du behƒver ikke bruge farve.
Regel (Se 2f):
N‚r x er lig r , og vi l•gger et lille tal til x , s‚ l•gges ca. f ' (r) gange dette lille tal til y .
I denne regel inds•tter vi de aktuelle ord og tal:
N‚r lÄngde lig 20, og vi l•gger et lille tal til lÄngde, s‚ l•gges ca. 2 gange det lille tal til hÅjde.
6. Fortolkninger af f '(x) begrundet.
Symbolet f ' (20) betyder tangenth•ldning,
s‚ f ' (20) = 2 betyder tangenth•ldning er 2 ,
s‚ p‚ tangenten g•lder:
n‚r x bliver 1 st€rre, s‚ vil y blive 2 st€rre.
For x n•r 20 er graf og tangent n•sten ens, s‚
(*) n‚r x er ca. 20 og x bliver 1 st€rre,
s‚ vil f (x) blive ca. 2 st€rre.
l
f
ca. 2 h
I ramme 4 betyder (*) :
N‚r tidspunktet er ca. 20 minutter og der g‚r ƒt minut,
vil dyrets h€jde blive ca. 2 mm st€rre.
dvs. v•ksthastigheden er ca. 2 mm pr. minut.
I ramme 5 betyder (*) :
N‚r x er n•r 20 og vi l•gger et lille tal til x, s‚ bliver der
lagt ca. 2 gange dette lille tal til y, dvs. n‚r vi l•gger et lille
tal til l•ngden, s‚ l•gges 2 gange dette lille tal til h€jden.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 2
h
2015 Karsten Juul
7.
Bestem f '(x) med Nspire.
x 1
x2
7a For at f‚ Nspire til at differentiere f ( x) 
mht. x bruger vi skabelonen
:
Udregnet af Nspire
HUSK at skrive dette!
7b Hvis forskrift indeholder cos eller sin:
H€jreklik p‚ matematikfelt, v•lg Attributter og s•t vinkel til radianer.
7c For at udregne f '(3) skal vi f€rst bestemme forskriften for f '(x) som vist i 7a.
S‚ inds•tter vi 3 for x i denne forskrift:
Symbolet
d
kan IKKE skrives ved hj€lp af en brƒkstreg.
dx
Dette er b•de korrekt matematiksprog og korrekt Nspiresprog.
7d Eksempel
Her fort€ller vi til Nspire og til l€seren at fm betyder f ' .
7e Eksempel
:= bevirker at f(x) kommer til at betyde xln(x) s• vi kan skrive f(x) og f(3) i stedet for xln(x) og 3ln(3) .
8. Reglerne for at bestemme f '(x) uden hj•lpemidler.
f.eks.
4  0
og
 ln(2)
8b ( k x)  k
f.eks.
x  1
og
( 4 x )  4
8c ( x a )  a  x a 1
f.eks.
( x 4 )  4 x 3
og
( x 3,6 )   3,6 x 4,6
8a k   0
n‚r k er en konstant.
8d (e x )  e x
8e
 ln( x) 
 0
e er et bestemt tal (ligesom ). e  2,71828. e er ikke den s•dvanlige e-tast. Brug tegn-palet.
 1
x
Funktionen ln(x) kaldes "den naturlige logaritmefunktion".
8f k  f ( x)   k  f ( x)
f.eks.
1
7

x
x
1
1
( ln( x)  4  7 x 4 )   0  28 x3   28 x3
x
x
1
1
( ln( x)  4  7 x 4 )   0  28 x3   28 x3
x
x

f.eks.
x 2  ln( x)  ( x 2 )  ln( x)  x 2  ln( x) 
(7 x 4 )  7  4 x 3  28 x 3
8g
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)
f.eks.
8h
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)
f.eks.
8i
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

og
7 ln( x) 
 7

 2 x  ln( x)  x 2  1x  2 x ln( x)  x
8j
 f ( g ( x) ) 
 f ( g ( x) )  g ( x)
8k Da 1x  x 1 og
1
x  x2
f.eks.
 (1 x )   5(1 x )
2 5
2 51  ( 0 2 x 2 1 )
 10 x(1 x2 ) 4
kan vi udregne ( 1x ) og ( x ) med reglen ( x a )  a  x a 1 .
P‚ de to n•ste sider er der flere eksempler p‚ brug af reglerne 8a-8k.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 3
2015 Karsten Juul
9. Advarsler om regler fra ramme 8.
(a x ) er IKKE x  a x 1

x2
ex


er IKKE
og
2x  e x
og
(1  x)  er IKKE 3(1  x)
 ln(1 x ) er IKKE 11x
3
2
2
2
2
2
(e1 x ) er IKKE e1 x
(4 x ) er IKKE x  4 x1 .
 x 2 
  er IKKE 2 x .
 ex 
ex
 

(1  x) 3 er IKKE 3(1) 2 .
og
 
 ln(1 x )
og
2
(e1 x ) er IKKE e 2 x .
og
2
er IKKE
1
.
2x
10. Eksempel p‚ brug af regler fra ramme 8.
Opgave
En funktion f er givet ved f ( x)  e x  x  ln( x) .
Bestem f (1) .
 Her m• vi fƒrst finde f '(x). Derefter inds€tter vi 1 for x i det differentierede udtryk.
Besvarelse
F€rst finder vi f (x)
Heraf f‚r vi
f ( x)  (e x )  ( x  ln( x) )
f (1)  e1  ln(1)  1
f ( x)  e x  x ln( x)  x ( ln( x))
f (1)  e  0  1
f ( x)  e x  1ln( x)  x  1x
f (1)  e  1
f ( x)  e x  ln( x)  1
11. Eksempel p‚ brug af regler fra ramme 8.
Opgave
En funktion f er givet ved f ( x)  8x  x .
Bestem f (4) .
 Her m• vi fƒrst finde f '(x). Derefter inds€tter vi 4 for x i det differentierede udtryk.
Besvarelse
1
f ( x)  8  x 1  x 2
s‚
1 1
f ( x)  8  (1) x ( 1) 1  12 x 2
f ( x)  8 x  2  12 x
f ( x)  8  12
x

Heraf f‚r vi
 12
f (4)  82  1
4
1 1
2 12
f (4) 
x
f ( x)  82  1
x
2 4
 212
f (4)   14
2 x
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
8
16
Side 4
2015 Karsten Juul
12. Eksempler p‚ brug af regel 8j med ydre og indre funktion.
8j N‚r
f ( x)  g ( h( x)) er
f ( x)  g ( h( x))  h( x)
g( ) er ydre funktion og h(x) er indre funktion
12a Opgave
En funktion f er bestemt ved
SÇdan tÄnker vi
For ( 2 x 3 ) 4 er
f ( x)  (2 x  3) 4 . Bestem f (x) .
= (  )4
3
ydre differentieret = 4(  )
og
indre funktion = 2 x 3
og
indre differentieret = 2
= 4(  )3  2 = 4(2x+3)3  2
ydre funktion
f ' (x) = ydre differentieret gange indre differentieret
Besvarelse
f ' (x) = 4(2x+3)32
f ( x)  8(2 x 3)3
f ( x)  ln(1 x)  2 x . Bestem f (x) .
12b Opgave En funktion f er bestemt ved
SÇdan tÄnker vi
F€rste del af forskriften vil vi differentiere ved hj•lp af reglen om ydre og indre funktion.
For g(x)= ln(1 x ) er
ydre funktion
= ln(  )
1
= –––

og
= 1 x
= –1
1
1
–––
g' (x) = ydre differentieret gange indre differentieret = –––
  (–1) = 1–x  (–1)
Vi skal ogs‚ huske at differentiere sidste del af forskriften:
ydre differentieret
Besvarelse
1
f ' (x) = ––– (–1) + 2
1–x
f ( x) 
og
indre funktion
indre differentieret
M•ske synes du ikke at det er klart at vi kan omskrive til dette.
Man kan evt. forklare det med fƒlgende mellemregninger:
1
 2
x 1
1
 ( 1) 
1 x
12c Opgave En funktion f er bestemt ved
1  ( 1)
1 x
1


1 x
 1  ( 1)
(1  x )  ( 1)

1
1 x

1
x 1
2
f ( x)  e1 x . Bestem f (x) .
SÇdan tÄnker vi
For e1 x
f ' (x)
2

= e

ydre differentieret = e
er
=
ydre funktion
og
og
ydre differentieret gange indre differentieret
indre funktion
= 1 x 2
indre differentieret
=
e  2x
= 2x
=
2
e1+x  2x
Besvarelse
2
f ' (x) = e1+x  2x
f ( x)  2 x e1 x
2
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 5
2015 Karsten Juul
13. Afl•s tallet f (r) p‚ figur.
Opgave
Afl•s tallet f (4) p‚ figuren.
f
SÇdan tÄnker vi
Der st‚r 4 i parentesen, s‚ vi skal vi finde det punkt p‚ grafen
hvor x-koordinaten er 4.
Der st‚r f ( ) , s‚ y-koordinaten er facit.
Besvarelse
f (4) = y-koordinat til grafpunkt med x-koordinat 4
f (4)  3 .
f
Se markering p‚ figur.
Husk
N‚r vi afl•ser et tal p‚ en figur, skal vi skrive tallet p‚
figuren der hvor vi har afl•st det.
Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil fra tallet til det
sted hvor det er afl•st.
14. Afl•s tallet f '(r) p‚ figur.
Opgave
Afl•s tallet f ' (4) p‚ figuren.
f
SÇdan tÄnker vi
Der st‚r 4 i parentesen, s‚ vi skal finde det punkt p‚
grafen hvor x-koordinaten er 4.
Der st‚r f ( ) , s‚ tangenth•ldningen er facit.
Besvarelse
f ' (4) = h•ldningskoefficient for tangent l i
grafpunkt med x-koordinat 4.
(6 , 7)
Vi tegner l .
Vi afl•ser punkterne (4,3) og (6,7) p‚ l .
l 's h•ldningskoefficient er
l
f
(4 , 3)
73
2
64
s‚
f ' (4)  2 .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 6
2015 Karsten Juul
15. Afl•s l€sninger til f (x)=t p‚ figur.
Opgave
f
Afl•s l€sningerne til ligningen f ( x)  6 p‚ figuren
SÇdan tÄnker vi
Der st‚r f ( )  6 , s‚ vi skal finde de punkter p‚ grafen
hvor y-koordinaten er 6 .
Der st‚r x i parentesen, s‚ facit er x-koordinaterne til de
punkter vi har fundet.
Besvarelse
f
Vi skal l€se f ( x)  6 .
f (x) er y-koordinaten til et grafpunkt.
Vi finder de grafpunkter hvor y-koordinaten er 6 .
Vi afl•ser x-koordinaten til hvert af disse punkter
og f‚r 3 og 7 . Se markeringen p‚ figuren.
L€sningerne til f ( x)  6 er
x  3 eller x  7 .
16. Afl•s l€sninger til f '(x)=s p‚ figur.
Opgave
f
Afl•s l€sningerne til ligningen f ( x)  0 p‚ figuren.
SÇdan tÄnker vi
Der st‚r f ( )  0 , s‚ vi skal finde de punkter p‚
grafen hvor tangenth•ldningen er 0 .
Der st‚r x i parentesen, s‚ facit er x-koordinaterne til
de punkter vi har fundet.
Besvarelse
f
Vi skal l€se f ( x)  0 .
f (x) er tangenth•ldningen i et grafpunkt.
Vi finder det grafpunkt hvor tangenth•ldningen er 0.
Vi afl•ser x-koordinaten til dette punkt og f‚r 5 .
Se markeringen p‚ figuren.
L€sningen til f ( x)  0 er x  5 .
Husk at tegne tangenten og skrive at det givne tal er denne linjes h•ldningskoefficient.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 7
2015 Karsten Juul
17. Afledede funktion.
Funktionen f ' kaldes den afledede funktion af f .
Hvis
g er den afledede af f
er
g(x) = f '(x)
for alle x i definitionsm•ngden for f.
18. Er det grafen for den afledede?
f
18.1 Opgave
G€r rede for at g ikke er den afledede af f .
g
Besvarelse Se figur.
g(xo) = P 's y-koordinat
Q
f
s‚ g(xo) er positiv
f '(xo) = tangenth•ldning i Q s‚ f '(xo) er negativ
g
P
xo
Da g(xo)  f '(xo) er g ikke den afledede af f .
18.2 Opgave
Figuren viser grafen for to funktioner f (x) og f '(x) .
A
B
G€r rede for hvilken graf der h€rer til hvilken funktion.
Besvarelse
Tangenten i P har h•ldningskoefficient 0 , s‚ hvis A var
f-graf, og B var f '-graf, s‚ skulle y-koordinaten til Q v•re
0. Det er den ikke. S‚ m‚ det omvendte g•lde:
A
B
-B er f-graf, og A er f '-graf- .
Q
I opgaver af disse typer skal man altid vise at det ene ikke
kan v€re rigtigt. S• har man vist at det modsatte g€lder.
P
18.3 Opgave
Figuren viser graferne for tre funktioner f , g og h .
G€r rede for hvilken af funktionerne g og h der er
den afledede af f .
Besvarelse
Se figur.
For x < t er f -grafens tangenth•ldning f '(x) negativ.
For x < t er g(x) positiv
s‚ g(x) kan ikke v•re den afledede f '(x) .
-Det er h der er den afledede af f-- .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 8
2015 Karsten Juul
Tangent
19. Bestem ligning for tangent.
Opgave
f ( x)  x 2  x  2 .
Bestem ligning for tangent til graf for f i punktet ( 2 , f (2) ) .
Grƒnne kommentarer er ikke en del af besvarelsen.
Besvarelse
f ( x)  x 2  x  2 er oplyst
f ( x)  2 x  1
Du skal IKKE bruge tallene 2 og –1 i andre
opgaver. I stedet skal du bruge de tal du finder
ved at differentiere den givne funktion.
Se ramme 8.
(x1 , y1) og a er r€ringspunkt og h•ldning for tangent:
x1  2 er oplyst
y1  f (2)  2 2  2  2  4
Se 2c og ramme 20.
a  f (2)  2  2  1  3
Se 2d og ramme 23.
Tangent:
y  a ( x  x1 )  y1
Fra formelsamlingen:
y  3(x  2)  4
Linjen gennem punktet (x1 , y1)
med h•ldningskoefficienten a
har ligningen
y = a(x – x1) + y1 .
y  3x  6  4
y  3x  2
Tangenten til grafen for f i punktet ( 2 , f (2) )
har ligningen y  3 x  2 .
Kontrol af tangentligning med Nspire
Vi angiver forskriften x 2  x  2 og x-koordinaten 2, og f‚r Nspire til at bestemme
tangentligning, og f‚r y  3 x  2 .
20. Bestem punkt p‚ graf n‚r vi kender x-koordinat .
Opgave
En funktion f er givet ved
f ( x)  x 3  3x 2 .
Bestem y-koordinaten til det punkt p‚ grafen for f hvor x-koordinaten er 5 .
Bevarelse
y-koordinat = f (5)
Se 2c.
3
2
y-koordinat = 5 –35
da f ( x)  x 3  3x 2
y-koordinat = 50
Det punkt p‚ grafen for f hvor x-koordinaten er 5 , har y-koordinaten 50 .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 9
2015 Karsten Juul
21. Bestem punkt p‚ graf n‚r vi kender y-koordinat .
Opgave
f ( x)  x 3  3x 2 .
Bestem x-koordinaten til hvert af de punkter p‚ grafen for f hvor y-koordinaten er –4 .
Bevarelse
f ( x)  x 3  3x 2
y-koordinat = –4
f (x) = –4
Se 2c.
3
2
x – 3x = –4
Nspire l€ser ligningen x3 – 3x2 = –4 mht. x og f‚r
x = –1 eller x = 2
De punkter p‚ grafen for f hvor y-koordinaten er –4 ,
har x-koordinaterne 1 og 2 .
Nspire:
22. Bestem punkt p‚ graf n‚r vi kender tangenth•ldning .
Opgave
En funktion f er givet ved
f ( x)  x 3  3x 2 .
Bestem koordinats•ttet til hvert af de punkter p‚ grafen for f hvor tangenth•ldningen er 9 .
Bevarelse
f ( x)  x 3  3x 2 .
tangenth•ldning = 9
f ' (x) = 9
Se 2d.
2
3x – 6x = 9
Se ramme 7 og 8.
2
Nspire l€ser ligningen 3x – 6x = 9 mht. x og f‚r
x = –1 eller x = 3
Nspire:
y-koordinat = f (–1)
y-koordinat = (–1)3 – 3(–1)2
y-koordinat = –4
y-koordinat = f (3)
y-koordinat = 33 – 332
y-koordinat = 0
Se 2c.
De punkter p‚ grafen hvor tangenth•ldningen er 9, har koordinats•ttene
(1,  4) og (3 , 0) .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 10
2015 Karsten Juul
23. Bestem tangenth•ldning.
Opgave
En funktion g
g ( x) 
er givet ved
1 x 3  3  x .
3
Bestem tangenth•ldningen i graf-punktet med x-koordinat 1
Bevarelse
g ( x)  13  x 3  3  x .
tangenth•ldning = g'(1)
tangenth•ldning = 12 + 3
Se 2d.
da g ( x)  x 2  3
Se ramme 7 og 8.
tangenth•ldning = 4
Tangenth•ldningen i graf-punktet med x-koordinat 1 er 4 .
24. Har grafen en tangent med h•ldningskoefficienten a?
Opgave
En funktion g
g ( x) 
er givet ved
 3x .
1 x 3
3
Er der et punkt p‚ g-grafen s‚ tangenten i dette punkt har h•ldningskoefficienten 2 ?
Bevarelse
g ( x)  13  x 3  3  x .
tangenth•ldning = 2
g'(x) = 2
Se 2d.
2
x +3=2
Se ramme 7 og 8.
2
x = –1
Dette er ikke opfyldt for noget tal x da et tal i anden aldrig er negativt.
Der er ikke et punkt p‚ grafen s‚ tangenten i dette punkt har h•ldningskoefficienten 2 .
25. Bestem f (x0) ud fra tangents ligning.
Opgave
Linjen l : y  4 x  1 er tangent til grafen for f i punktet med x-koordinat 7 .
Bestem f (7) .
Bevarelse
f (7) er y-koordinaten til grafpunktet med x-koordinat 7 .
Da dette punkt ligger p‚ l , kan dets y-koordinat bestemmes af l 's ligning:
y  47  1
y  27
Dvs.
f (7)  27
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 11
2015 Karsten Juul
26. Er linjen tangent?
En linje er tangent til grafen for en funktion i et punkt netop hvis der b‚de g•lder at
y-koordinat er ens
og
tangenth•ldning er ens.
Dette er vist p‚ de tre figurer.
y  ax  b
y  ax  b
y  ax  b
ax b
f
f ( x)
f (x ) 
ax b
x
f
f (x ) 
ax b
x
f
x
y-koordinat er forskellig: f ( x )  ax  b
Tangenth•ldning er ens: f ( x )  a
y-koordinat er ens: f ( x )  ax  b
Tangenth•ldn. er forskellig: f ( x )  a
y-koordinat er ens: f ( x )  ax  b
Tangenth•ldning er ens: f ( x )  a
Linjen er ikke tangent.
Linjen er ikke tangent.
Linjen er tangent.
Opgave
Er linjen l : y  9 x  17 tangent til grafen for funktionen f ( x)  x 3  3x  1 ?
Besvarelse
l : y  9 x  17 og
f ( x)  x 3  3x  1
f ( x)  3 x 2  3
Hvis l er tangent til f-graf: I r€ringspunktet skal f-grafens tangenth•ldning f (x) v•re lig
l 's h•ldningskoefficient som er 9:
f ( x)  9
3x 2  3  9
Nspire l€ser ligning 3x 2  3  9 mht. x og f‚r
x  2 eller x  2
Nspire:
Hvis x  2 er
y-koordinat p‚ f-graf lig
y-koordinat p‚ l lig
s‚ y-koordinaterne er ikke ens,
s‚ l er ikke tangent i grafpunktet med x-koordinat 2 .
Hvis x  2 er
y-koordinat p‚ f-graf lig
Hvis du skriver i h•nden, skal der
parentes om -2 efter gangetegn.
y-koordinat p‚ l lig
s‚ y-koordinaterne er ens, og vi vidste i forvejen at tangenth•ldningerne er ens,
s‚ l er tangent i grafpunktet med x-koordinat 2 .
Linjen l er tangent til grafen for f .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 12
2015 Karsten Juul
27. Bestem r€ringspunkt for tangent.
Opgave
Linjen l : y  9 x  17 er tangent til grafen for funktionen f ( x)  x 3  3x  1 .
Bestem koordinats•ttet til r€ringspunktet.
Besvarelse
l : y  9 x  17 er tangent til graf for
f ( x)  x 3  3x  1 .
f ( x)  3 x 2  3
I r€ringspunktet skal f-grafens tangenth•ldning f (x) v•re lig
l 's h•ldningskoefficient som er 9:
f ( x)  9
3x 2  3  9
Nspire l€ser ligning 3x 2  3  9 mht. x og f‚r
x  2 eller x  2
Nspire:
Hvis x  2 er
y-koordinat p‚ f-graf lig
y-koordinat p‚ l lig
s‚ y-koordinaterne er ikke ens,
s‚ grafpunkt med x-koordinat 2 er ikke r€ringspunkt.
Hvis x  2 er
y-koordinat p‚ f-graf lig
Hvis du skriver i h•nden, skal der
parentes om -2 efter gangetegn.
y-koordinat p‚ l lig
s‚ y-koordinaterne er ens, og vi vidste i forvejen at tangenth•ldningerne er ens,
s‚ grafpunkt med x-koordinat –2 er r€ringspunkt.
Koordinats•ttet til r€ringspunktet er (2 , 1) .
28. Vinkel og tangent.
Opgave
Linjen l er tangent til grafen for f (x)  i punktet P(4 , 3).
Bestem vinklen v mellem vandret og tangenten l .
Besvarelse
Figuren viser grafen for f ( x)  0,1875 x 2 og tangenten l i
punktet P(4 , 3) og vinklen v mellem vandret og l .
f ( x)  0,1875  2 x  0,375 x s‚ l 's h•ldningskoefficient er
f (4)  0,375  4  1,5 .
Af den viste trekant f‚r vi
tan(v) = 1,5 s‚ v = tan-1(1,5) = 56,3099
dvs. v  56,3 .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 13
2015 Karsten Juul
29. Bestem konstant i forskrift.
29a. Opgave
f ( x)  a x 4 og f (1)  3 . Bestem a .
f ( x)  a x 4 og f (1)  3 , s‚ a14  3 , s‚ a  3 .
Besvarelse
29b. Opgave Punktet (1, 3) ligger p‚ grafen for f ( x)  a x 4 . Bestem a .
Besvarelse Da (1, 3) ligger p‚ grafen for f ( x)  a x 4 , er a14  3 , s‚ a  3 .
29c. Opgave
Besvarelse
f ( x)  a x 4 og f (1)  8 . Bestem a .
f ( x)  a x 4 og f (1)  8 . f ( x)  4a x3 s‚ 4a  13  8 , dvs.
a2 .
29d. Opgave Graf for f ( x)  a x 4 har i punkt med x-koordinat 1 tangenth•ldning 8. Bestem a.
Besvarelse
f ( x)  a x 4 s‚ f ( x)  4ax3 . For x=1 er tangenth•ldning 8, s‚ 4a  13  8 , dvs. a  2 .
30. Bestem r€ringspunkt for tangent gennem givet punkt.
Opgave
P er IKKE rƒringspunkt for tangenten!
Punktet P(0 , 2) ligger p‚ linjen l som er tangent til grafen for f ( x)  x3  x .
Bestem det punkt Q( x0 , y0 ) hvor l r€rer grafen for f .
Besvarelse
f ( x)  x3  x . P(0 , 2) ligger p‚ tangenten l som r€r f-graf i Q( x0 , y0 ) .
I stedet kan vi skrive f ( x)  3 x 2  1
da f er s• nem at differentiere i hovedet.
Vi skriver ligningen for l udtrykt ved x0 :
Vi bruger metoden fra ramme 19.
Da Q( x0 , y0 ) ligger p‚ f-grafen, er
y0  x03  x0
Da Q( x0 , y0 ) er r€ringspunkt for l, er l 's h•ldningskoefficient
a  f ( x0 )  3 x02  1
l har ligningen
y  a ( x  x0 )  y0
dvs.
l:
y  (3 x02  1 )( x  x0 )  x03  x0
Vi indsÄtter P 's koordinater i l 's ligning for at bestemme x0 :
l 's ligning er sand for ( x, y )  (0 , 2) da P(0 , 2) ligger p‚ l :
2  (3 x02  1 )( 0  x0 )  x03  x0
Nspire l€ser ligningen 2  (3 x02  1 )( 0  x0 )  x03  x0 mht. x0 og f‚r x0  1 .
Nspire:
Vi udregner y0 :
Da Q( x0 , y0 ) ligger p‚ f-grafen, er
Hvis du skriver i h•nden, skal der
parentes om -1 efter + .
l 's r€ringspunkt er Q(1 ,  2)
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 14
2015 Karsten Juul
VÄksthastighed
31. V•ksthastighed.
Figuren viser grafen for en funktion f (x) hvor
mm
x = antal dage efter at vi begyndte at m‚le
f (x) = plantens h€jde i mm
P‚ figuren ser vi at
f (30)  0,5
og at omkring tidspunktet 30 dage vil plantens
h€jde blive ca. 0,5 mm h€jere pr. dag.
Vi siger at
p‚ tidspunktet 30 dage efter at vi begyndte at
m‚le, er v•ksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag.
I et lille tidsum p‚ x-aksen er grafen n•sten sammenfaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at v•ksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag.
dage
32. Afl•s st€rrelsen n‚r tidspunktet er kendt.
Opgave
T / C
Grafen viser hvordan temperaturen T er vokset.
Tiden t m‚les i sekunder.
Bestem temperaturen p‚ tidspunktet 13 sekunder.
t /s
Besvarelse
T / C
Vi finder grafpunktet hvor t  13 , og
afl•ser at for dette punkt er T  24 .
Dette har vi vist pÄ skitsen.
P‚ tidspunktet 13 sekunder er temperaturen 24 C .
t /s
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 15
2015 Karsten Juul
33. Afl•s v•ksthastigheden n‚r tidspunktet er kendt.
Opgave
T / C
Grafen viser hvordan temperaturen T er vokset.
Tiden t m‚les i sekunder.
Bestem temperaturens v•ksthastighed p‚ tidspunktet 13 sekunder.
t /s
Besvarelse
T / C
Vi finder grafpunktet hvor t  13 , og
vi tegner tangenten l i dette punkt, og
p‚ l afl•ser vi punkterne A(1, 15) og B(17 , 27) .
Alt dette har vi vist pÄ skitsen.
B
l
A
l 's hÄldningskoefficient er temperaturens
vÄksthastighed pÇ tidspunktet 13 sekunder.
t /s
l 's h•ldningskoefficient er
27  15
12
3


 0,75
17  1
16
4
Temperaturens v•ksthastighed p‚ tidspunktet 13 sekunder er 0,75 C pr. sekund .
34. Afl•s tidspunktet n‚r st€rrelsen er kendt.
Opgave
T / C
Grafen viser hvordan temperaturen T er vokset.
Tiden t m‚les i sekunder.
Bestem det tidspunkt hvor temperaturen er 24 C.
t /s
Besvarelse
T / C
Vi finder grafpunktet hvor T  24 , og
afl•ser at for dette punkt er t  13 .
Dette har vi vist pÄ skitsen.
Temperaturen er 24 C p‚ tidspunktet 13 sekunder .
t /s
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 16
2015 Karsten Juul
35. Afl•s tidspunktet n‚r v•ksthastigheden er kendt.
Opgave
T / C
Grafen viser hvordan temperaturen T er vokset.
Tiden t m‚les i sekunder.
Bestem det tidspunkt hvor temperaturens v•ksthastighed er
0,75 C pr. sekund.
t /s
Besvarelse
Vi tegner en linje m som har h•ldningskoefficient 0,75 , og
vi l•gger en lineal langs m og parallelforskyder til linjen er en
tangent l til grafen, og vi afl•ser at for r€ringspunktet er t  13 .
Alt dette har vi vist pÄ figuren.
V•ksthastigheden for t  13 er l 's h•ldningskoefficient:
P‚ tidspunktet 13 sekunder er temperaturens v•ksthastighed
0,75 C pr. sekund.
T / C
m
l
15
20
t /s
20  0,75  15
36. Udregn st€rrelsen n‚r tidspunktet er kendt.
Opgave
V•gten af et dyr kan beskrives ved funktionen
f ( x)  56  1,02 x  240
hvor x er dage og f (x) er v•gten i gram.
Bestem dyrets v•gt p‚ tidspunktet 30 dage.
Besvarelse
f ( x)  56  1,02 x  240 er dyrets v•gt p‚ tidspunktet x dage.
Hvis du skriver i h•nden, skal
der ikke parentes om 1,02 .
Dyrets v•gt er 341 gram p‚ tidspunktet 30 dage.
37. Udregn v•ksthastigheden n‚r tidspunktet er kendt.
Opgave
V•gten af et dyr kan beskrives ved funktionen
f ( x)  56  1,02 x  240
hvor x er dage og f (x) er v•gten i gram.
Bestem den hastighed hvormed dyrets v•gt vokser p‚ tidspunktet 30 dage.
Besvarelse
f ( x)  56  1,02 x  240 er dyrets v•gt p‚ tidspunktet x dage.
Hvis du skriver i h•nden, skal
der ikke parentes om 1,02 .
P‚ tidspunktet 30 dage vokser dyrets v•gt med hastigheden 2,0 gram pr. dag .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 17
2015 Karsten Juul
38. Udregn tidspunktet n‚r st€rrelsen er kendt.
Opgave
V•gten af et dyr kan beskrives ved funktionen
f ( x)  56  1,02 x  240
hvor x er dage og f (x) er v•gten i gram.
Bestem det tidspunkt hvor dyrets v•gt er 500 gram.
Besvarelse
f ( x)  56  1,02 x  240 er dyrets v•gt p‚ tidspunktet x dage.
v•gt = 500
f (x) = 500
x
561,02 + 240 = 500
Nspire l€ser ligning 56  1,02 x  240  500 mht. x og f‚r x  77,5316 .
Dyrets v•gt er 500 gram p‚ tidspunktet 78 dage.
39. Udregn tidspunktet n‚r v•ksthastigheden er kendt.
Opgave
V•gten af et dyr kan beskrives ved funktionen
f ( x)  56  1,02 x  240
hvor x er dage og f (x) er v•gten i gram.
Bestem det tidspunkt hvor dyrets v•gt vokser med hastigheden 4 gram pr. dag.
Besvarelse
f ( x)  56  1,02 x  240 er dyrets v•gt p‚ tidspunktet x dage.
Hvis du skriver i h•nden, skal
der ikke parentes om 1,02 .
Vi f‚r
hastighed = 4
f '(x) = 4
x
1,108951,02 = 4
Se 2e.
Nspire l€ser ligningen 1,10895  1,02 x  4 mht. x og f‚r x  64,7834 .
P‚ tidspunktet 65 dage vokser dyrets v•gt med hastigheden 4 gram pr. dag.
40. Du skal ikke altid differentiere for at finde hastighed!
2
Opgave Et linjestykkes l•ngde •ndres s‚dan at f (x) = x hvor f (x) er l•ngden p‚ tidspunktet x .
Hvor hurtigt •ndres l•ngden p‚ tidspunktet 3 ?
Besvarelse f (x) er l•ngden p‚ tidspunktet x .
2
f (x) = x . f '(x) = 2x . f '(3) = 23 = 6 . P‚ tidspunktet 3 •ndres l•ngden med hastigheden 6 .
2
Opgave Et linjestykkes l•ngde •ndres s‚dan at f (x) = x hvor f (x) er den hastighed som
l•ngden •ndres med p‚ tidspunktet x .
Hvor hurtigt •ndres l•ngden p‚ tidspunktet 3 ?
Besvarelse f (x) er den hastighed som l•ngden •ndres med p‚ tidspunktet x .
2
2
f (x) = x . f (3) = 3 = 9 . P‚ tidspunktet 3 •ndres l•ngden med hastigheden 9 .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 18
2015 Karsten Juul
Monotoni
41. Voksende og aftagende.
Figuren viser en interaktiv figur fra en computersk•rm. N‚r vi tr•kker x-punktet hen p‚ et tal x
kan vi afl•se funktionsv•rdien f (x) .
P‚ figuren kan vi se:
N‚r vi tr•kker x gennem tallene fra og med 2 til og med 9, vil f ( x ) hele tiden blive st€rre.
N‚r vi tr•kker x gennem tallene fra og med 9 til og med 14, vil f ( x ) hele tiden blive mindre.
(2)
f(x)
1
x
(1)
14
2
Som bekendt siger man:
f (x) er voksende i intervallet 2  x  9
f (x) er aftagende i intervallet 9  x  14
Er f (x) b‚de aftagende og voksende i 9 ?
Nej, vi taler ikke om at en funktion er voksende i ƒt tal. Vi taler om at en funktion er voksende i et
interval. Der skal v•re mindst to y-v•rdier hvis vi skal kunne tale om at y er blevet st€rre eller
mindre.
At
betyder at
At
betyder at
f (x) er voksende i intervallet 2  x  9
n‚r vi i intervallet v•lger st€rre og st€rre x-v•rdi,
s‚ bliver y-v•rdien f (x) st€rre og st€rre.
f (x) er aftagende i intervallet 9  x  14
n‚r vi i intervallet v•lger st€rre og st€rre x-v•rdi,
s‚ bliver y-v•rdien f (x) mindre og mindre.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 19
2015 Karsten Juul
42. Hvad er monotoniforhold?
I nogle opgaver st‚r at vi skal
bestemme monotoniforholdene
f
for en funktion.
P(3 , 4)
Det betyder at vi skal skrive
i hvilke x-intervaller funktionen aftager, og
i hvilke x-intervaller funktionen vokser.
Q(2 , 1)
P‚ figuren er vist grafen for et tredjegradspolynomium.
Monotoniforholdene kan vi skrive s‚dan:
f (x) er voksende i intervallet x  3
f (x) aftagende i intervallet 3  x  2
f (x) voksende i intervallet 2  x
43. Regel for at finde monotoniforhold.
Hvis f '(x) er positiv
(*)
(**)
f
tangenth•ldningen f (x) er positiv for hvert
tal x i intervallet 1  x  4 .
f (x) er voksende i intervallet 1  x  4 .
Hvis man pr€ver at tegne grafen s‚dan at (*) , men
ikke (**) g•lder, s‚ bliver man overbevist om at det
ikke kan lade sig g€re. Man kan bevise at hvis (*)
g•lder, s‚ g•lder (**) ogs‚.
f
Hvis der er undtagelser fra at f '(x) er positiv
Funktionen f (x) p‚ nederste figur er voksende selv om der er
ƒt punkt hvori tangenth•ldningen er 0.
Selv om der er enkelte undtagelser fra (*) , kan man
slutte at (**) g•lder.
SÄtning 43.1
Hvis f (x) er positiv for alle x i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser,
sÇ
er f (x) voksende i intervallet.
Hvis f (x) er negativ for alle x i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser,
sÇ
er f (x) aftagende i intervallet.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 20
2015 Karsten Juul
44. Bestem monotoniforhold.
Opgave
Bestem monotoniforholdene for funktionen
f ( x)  14 x 4  23 x 3  73 .
Besvarelse 1
f ( x)  14 x 4  23 x 3  73
f (x) 
udregnet af Nspire
f (x) kan kun skifte fortegn i de v•rdier af x hvor f ( x)  0 , dvs. hvor x 3  2 x 2  0 .
Nspire l€ser ligningen x 3  2 x 2  0 mht. x og f‚r x   2 eller x  0 :
Disse to tal deler tallinjen op i tre intervaller. I hvert af disse v•lger vi et tal og udregner f  :
f (3)  (3)3  2 (3)2   9
s‚
f (x) negativ for x  2
f (1)  (1) 3 2 (1)2  1
s‚
f (x) positiv for  2  x  0
f (1)  13  212  3
s‚
f (x) positiv for 0  x
Af dette f€lger at monotoniforholdene er f€lgende:
f (x) er aftagende i intervallet x  2
Husk at kontrollere at tallene der
afgr€nser intervallerne, er de tal
du fik som lƒsning til f '(x)=0 .
f (x) er voksende i intervallet  2  x
Oversigt:
x :
f (x) :
2

0
0

0

f (x) :
Besvarelse 2
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 21
2015 Karsten Juul
45. G€r rede for at f er voksende (eller at f er aftagende).
Opgave En funktion f er givet ved f ( x)  22  14 x  e 4 x .
Bestem f (x) og g€r rede for at f er voksende.
Besvarelse
f ( x)  22  14 x  e  4 x
Da e 4 x altid er positiv, er f (x) positiv, og s‚ er f voksende.
BemÄrkning: Hvis f ( x)  e 4 x  x , er f ( x)  4 e 4 x  1 .
Da e 4 x altid er positiv, er f (x) negativ, s‚ f er aftagende.
46. Bestem k s‚ f er voksende (eller s‚ f er aftagende).
Opgave En funktion f er givet ved f ( x)  13 x3  k x .
Bestem de v•rdier af k for hvilke f er voksende.
Besvarelse
f ( x)  x 2  k
Hvis k  0 er f (x) positiv,
da x 2  0 , s‚ f er voksende.
Hvis k  0 er f (x) lig 0 n‚r x er 0 , og ellers positiv, s‚ f er voksende.
Hvis k  0 er f (x) negativ n‚r x er 0 , s‚ f er ikke voksende.
f er voksende netop n‚r k  0 .
BemÄrkning: Hvis f ( x)  (k  2) e x , er f (x) negativ netop n‚r k  2 ,
s‚ f er aftagende netop n‚r k  0 .
47. Tegn f-graf ud fra f '-fortegn m.m.
Opgave
Tegn for 6  x  10 en mulig graf for en funktion f der opfylder at
f (3)  6 og f (8)  2
og hvor fortegn og nulpunkter for f ' er som vist p‚ tallinjen:
x:
f ( x ) :
Besvarelse
N‚r f (m)  n , g‚r f-grafen gennem punktet (m, n) .
f er aftagende i x-intervaller hvor f (x) er negativ.
f er voksende i x-intervaller hvor f (x) er positiv.
For de x-v•rdier hvor f (x) er 0 , har grafen
vandret tangent.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 22
2015 Karsten Juul
48. Bestem monotoniforhold for f ud fra f-graf.
Opgave
Figuren viser grafen for en funktion f.
Bestem monotoniforholdene for f i intervallet  4  x  6 .
Besvarelse
P‚ figuren har vi vist hvordan vi afl•ser at x-v•rdierne
for de lokale ekstrema er x  1 og x  4 .
f
f
P‚ figuren ser vi at
f er aftagende i intervallet  4  x  1
f er voksende i intervallet  1  x  4
f er aftagende i intervallet 4  x  6
49. Bestem monotoniforhold for f ud fra f '-graf.
Opgave
Figuren viser grafen for den afledede funktion f ' for
en funktion f.
f
Bestem monotoniforholdene for f i intervallet  4  x  6 .
Besvarelse
P‚ figuren har vi vist hvordan vi afl•ser at f (4)  1,5 .
f
P‚ n•sten samme m‚de kan vi afl•se f (x) for andre
v•rdier af x end 4 . F.eks. ser vi at
f (x) er 0 n‚r x er –3 eller 2
og at
f (x) er positiv for  4  x  3
f (x) er negativ for 3  x  2
f (x) er positiv for 2  x  6
P• f-graf er f '(x) lig tangenth€ldning.
Heraf f€lger at
f er voksende i intervallet  4  x  3
P• f '-graf er f '(x) lig y-koordinat.
f er aftagende i intervallet  3  x  2
P• f '-graf er (f ' )' (x) lig tangenth€ldning.
f er voksende i intervallet 2  x  6
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 23
2015 Karsten Juul
Ekstrema
50. Maksimum og minimum.
g
f
Maksimum for f er den st€rste y-koordinat til et punkt p‚ f-grafen. Vi ser at
maksimum for f er 11.
Minimum for f er den mindste y-koordinat til et punkt p‚ f-grafen. Vi ser at
minimum for f er 2.
Grafen for g er en parabel hvor grenene g‚r uendelig h€jt op.
Der er ikke noget punkt p‚ grafen der har den st€rste y-koordinat
da man altid kan afs•tte et punkt h€jere oppe p‚ grafen, s‚
funktionen g har ikke noget maksimum.
N‚r vi skriver hvad maksimum eller minimum er,
s‚ skriver vi normalt ogs‚ hvad punktets x-koordinat er:
f har maksimum for x  4 og maksimum er y  11
f har minimum for x  1 og minimum er y  2
Undertiden er det skrevet kortere, f.eks:
f har maksimum i 4 og maksimum er 11 .
f har minimum i 1 og minimum er 2 .
St€rstev•rdi og mindstev•rdi for en funktion er det samme som hhv. maksimum og minimum .
I nogle opgaver st‚r at vi skal bestemme ekstrema. Dette betyder at vi skal finde maksimum hvis
der er et maksimum, og minimum hvis der er et minimum.
Ekstremum er en f•llesbetegnelse for maksimum og minimum. Ordet ekstremum hedder i flertal
ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste form der bruges i eksamensopgaver.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 24
2015 Karsten Juul
51. Bestem med f '(x) den v•rdi af x hvor y er st€rst.
Opgave
16
,
x
hvor x er figurens bredde, og f (x) er figurens h€jde.
Bestem bredden s‚ h€jden bliver st€rst mulig.
H€jden af en figur er givet ved f ( x)  86  x 2 
16
,
x
Vi bestemmer monotoniforholdene for f :
Besvarelse 1
f ( x)  86  x 2 
1
5
1
5
 x9 ,
 x  9 , hvor figurs bredde og h€jde er x og f (x) .
f (x) 
udregnet af Nspire
f (x) kan kun skifte fortegn i de v•rdier af x hvor f ( x)  0 , dvs. hvor
Nspire l€ser ligningen x 3  2 x 2  0 mht. x for
1
5
16
 2x  0 .
x2
 x  9 og f‚r x  2 :
Vi udregner f (x) i en x-v•rdi p‚ hver side af 2:
16
 21  14
s‚
f (x) er positiv for 15  x  2
2
1
16
f (4)  2  2 4  7 s‚
f (x) er negativ for 2  x  9 .
4
Heraf slutter vi f€lgende monotoniforhold:
f er voksende i intervallet 15  x  2 og f er aftagende i intervallet 2  x  9 .
Vi bestemmer bredden s‚ h€jden er st€rst mulig:
f (1) 
Af monotoniforholdene f€lger: f (x) er st€rst mulig n‚r x  2 , dvs.
H€jden bliver st€rst mulig n‚r bredden er 2 .
Besvarelse 2
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 25
2015 Karsten Juul
52. Bestem med f '(x) den st€rste v•rdi af y.
Opgave
16
,
x
hvor x er figurens bredde, og f (x) er figurens h€jde.
Bestem den st€rst mulige h€jde.
H€jden af en figur er givet ved f ( x)  86  x 2 
16
,
x
Vi bestemmer monotoniforholdene for f :
Besvarelse 1
f ( x)  86  x 2 
1
5
1
5
 x9 ,
 x  9 , hvor figurs bredde og h€jde er x og f (x) .
f (x) 
udregnet af Nspire
f (x) kan kun skifte fortegn i de v•rdier af x hvor f ( x)  0 , dvs. hvor
Nspire l€ser ligningen x 3  2 x 2  0 mht. x for
1
5
16
 2x  0 .
x2
 x  9 og f‚r x  2 :
Vi udregner f (x) i en x-v•rdi p‚ hver side af 2:
16
 21  14
s‚
f (x) er positiv for 15  x  2
2
1
16
f (4)  2  2 4  7 s‚
f (x) er negativ for 2  x  9 .
4
Heraf slutter vi f€lgende monotoniforhold:
f er voksende i intervallet 15  x  2 og f er aftagende i intervallet 2  x  9 .
Vi bestemmer den st€rst mulige h€jde:
Af monotoniforholdene f€lger: f (x) er st€rst mulig n‚r x  2 . f (2)  86  2 2  16
 74
2
f (1) 
Den st€rst mulige h€jde er 74 .
Besvarelse 2
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 26
2015 Karsten Juul
53. Bestem med f '(x) den v•rdi af x hvor y er mindst.
Dette g€res som vist i ramme 51 bortset fra at monotoniforholdene nu er aftagende-voksende i
stedet for voksende-aftagende, og at vi nu skriver mindst i stedet for st€rst.
54. Bestem med f '(x) den mindste v•rdi af y .
Dette g€res som vist i ramme 52 bortset fra at monotoniforholdene nu er aftagende-voksende i
stedet for voksende-aftagende, og at vi nu skriver mindst i stedet for st€rst.
55. Bestem ekstrema.
N‚r der st‚r ”Bestem ekstrema”, s‚ skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, og vi skal
bestemme maksimum hvis der er et maksimum. Se ramme 52 og 54.
56. G€r rede for at funktionen har et minimum (eller maksimum).
Opgave
G€r rede for at funktionen
f ( x)  x 3  9 x  12 ,
x0
har et minimum.
Metode
Vi bestemmer monotoniforhold for f (x) med metoden fra ramme 44. Herefter skriver vi:
Da f (x) er
aftagende i intervallet 0  x  3
og
voksende i intervallet
3x
kan vi slutte at
f (x) har minimum for x  3 .
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 27
2015 Karsten Juul
57. Lokalt maksimum og minimum.
f
P
Figuren viser grafen for en funktion f . I de to ender forts•tter grafen uendelig h€jt op.
P er grafpunktet med x-koordinat 20 og y-koordinat 15 .
Vi kan v•lge et stykke af grafen omkring P s‚dan at 15 er mindste y-koordinat p‚ dette stykke.
Vi siger derfor at
f har lokalt minimum for x  20 og det lokale minimum er y  15 .
15 er ikke minimum da der andre steder p‚ grafen er y-koordinater som er mindre.
Hvis Q( xo , yo ) er et punkt p‚ grafen for en funktion, og vi kan v•lge et stykke af grafen omkring
Q s‚dan at yo er mindste y-koordinat p‚ dette stykke, s‚ siger vi at
funktionen har lokalt minimum for x  xo og det lokale minimum er y  yo
Hvis Q( xo , yo ) er et punkt p‚ grafen for en funktion, og vi kan v•lge et stykke af grafen omkring
Q s‚dan at yo er st€rste y-koordinat p‚ dette stykke, s‚ siger vi at
funktionen har lokalt maksimum for x  xo og det lokale maksimum er y  yo
Om funktionen fra figuren ovenfor g•lder:
f har lokalt minimum for x  20 og det lokale minimum er y  15 .
f har lokalt maksimum for x  40 og det lokale maksimum er y  35 .
f har lokalt minimum for x  70 og det lokale minimum er y  5 .
f har minimum for x  70 og minimum er y  5 .
Undertiden er det skrevet kortere, f.eks:
f har minimum i 70 og minimum er 5 .
f har lokalt maksimum i 40 og det lokale maksimum er 35 .
I nogle opgaver st‚r at vi skal bestemme lokale ekstrema. Dette betyder at vi skal finde b‚de de
lokale minimummer og de lokale maksimummer.
Ordet ekstremum hedder i flertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste form der bruges i
eksamensopgaver.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 28
2015 Karsten Juul
58. Bestem lokale ekstrema.
Opgave Bestem de lokale ekstrema for funktionen
Besvarelse 1
f ( x)  13 x 3  32 x 2  18 x  90 .
f ( x)  13 x 3  32 x 2  18 x  90
Vi bestemmer monotoniforholdene for f :
f '(x) =
udregnet af Nspire
f (x) kan kun skifte fortegn i de v•rdier af x hvor f ( x)  0 , dvs. hvor x 2  3 x  18  0 .
Nspire l€ser ligningen x 2  3x  18  0 mht. x og f‚r x = –6 eller x = 3 .
–6 og 3 deler tallinjen op i tre intervaller. I hvert af disse v•lger vi et tal og udregner f  :
Da
f (7)  (7) 2  3 (7)  18  10
er
f (x) positiv for x  6
Da
f (0)  0 2  30  18   18
er
f (x) negativ for  6  x  3
Da
f (4)  4 2  34  18  10
er
Af dette f€lger at monotoniforholdene er f€lgende:
f(x) er voksende i intervallet x  –6 ,
aftagende i intervallet –6  x  3 og
voksende i intervallet 3  x .
f (x) positiv for 3  x
x:
f '(x):
f (x):
–6
+
0
voks
–
aft
3
0
+
voks
Vi bestemmer de lokale ekstrema: Af monotoniforholdene f€lger:
der er lokalt maksimum for x = –6
og lokalt minimum for x = 3 .
3 3
2
1
f (6)  3 (6)  2 (6)  18 (6) 90  0
f (3) 
1 33  3 32  18 3  90
3
2
  243
2
f (x) har lokalt maksimum for x = 6 og det lokale maksimum er y = 0
f (x) har lokalt minimum for x = 3 og det lokale minimum er y =  243
2
Besvarelse 2
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 29
2015 Karsten Juul
59. Bestem for hver v•rdi af a antal l€sninger til f (x) = a .
Opgave
3 x 4  1 x3  9 x 2
f ( x)   32
8
8
(a) Unders€g f mht. lokale ekstrema.
(b) Bestem for hver v•rdi af a antal l€sninger
til ligningen f ( x)  a .
Besvarelse af (b)
Af unders€gelsen i (a) f€lger at grafen for f
er som vist p‚ skitsen.
(3 , 189
)
32
P‚ skitsen har vi vist hvordan vi ser at hvis
a  4 , har f ( x)  a to l€sninger x1 og x2 .
P‚ n•sten samme m‚de ser vi:
a0 :
a0 :
0 a  2:
a2 :
0 l€sninger
3 l€sninger
4 l€sninger
3 l€sninger
2  a  189
:
32
2 l€sninger
a  189
:
32
1 l€sning
189
32
0 l€sninger
a :
(2 , 2)
f
(0 , 0)
x1
x2
60. G€r rede for at ligning ikke kan have mere end ƒn l€sning.
Opgave
For funktionen f ( x)  sin( x)  cos( x)  5 x ser vi p‚ ligningen f ( x)  c hvor c er et tal.
G€r rede for at denne ligning ikke kan have mere end ƒn l€sning.
Besvarelse
f ( x)  sin( x)  cos( x)  5 x
Udregnet af Nspire med matematikfelt
indstillet til radianer.
cos(x) og sin(x) kan ikke v•re under –1. Da der l•gges 5 til, er resultatet positivt. Da f (x)
er positiv, er f (x) voksende, og kan derfor ikke v•r lig c for mere end ƒn v•rdi af x.
61. Bestem konstant i forskrift ud fra lokalt ekstremum.
Opgave
Funktionen f ( x)  x 3  k  x har lokalt minimum for x  2 . Bestem k .
Besvarelse
f ( x)  x 3  k  x har lokalt minimum for x  2
f ( x)  3x 2  k
Da f har lokalt minimum for x  2 , f‚r vi
f (2)  0
2
32  k  0
k  12
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Hvis der i stedet er oplyst en x-v€rdi med lokalt
maksimum, lƒses opgaven p• samme m•de.
Side 30
2015 Karsten Juul
Beviser
62. Differentiabel.
Grafen for f har et kn•k i punktet med x-koordinat 2.
Derfor har grafen ikke nogen tangent i dette punkt.
(Tangenten er en linje der f€lger grafen n•r punktet).
f
Funktionen f har ikke nogen differentialkvotient i 2, for
differentialkvotienten er tangentens h•ldningskoefficient,
og der er ikke nogen tangent.
Der g•lder alts‚ at f (2) ikke eksisterer.
Grafen for g har en lodret tangent i punktet med x-koordinat 2.
En lodret linje har ikke nogen h•ldningskoefficient.
g
Funktionen g har ikke nogen differentialkvotient i 2, for
differentialkvotienten er tangentens h•ldningskoefficient,
og tangenten har ikke nogen h•ldningskoefficient.
Der g•lder alts‚ at g (2) ikke eksisterer.
Definition 62.1
Man siger at en funktion er differentiabel i et tal xo
hvis funktionen har en differentialkvotient i xo
dvs. hvis f ( xo ) eksisterer.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 31
2015 Karsten Juul
63. Gr•nsev•rdi.
63.1
3x 2  6 x
Udtrykket u 
kan vi ikke regne ud for x  2 da n•vneren bliver 0.
x2
Vi kan udregne u for v•rdier af x som er t•t p‚ 2 :
x
1,98
1,999
u
5,94
5,997
2
2,001
2,02
6,003
6,06
Ved at v•lge v•rdien af x tilstr•kkelig t•t p‚ 2 kan vi f‚ v•rdien af u s‚ t•t det skal v•re p‚ 6 .
Vi siger:
grÄnsevÄrdien for x gÇende mod 2 af u er lig 6
Med symboler skriver vi dette s‚dan:
lim
x2
3x 2  6 x
 6
x2
Metode 63.2
Vi kan regne os frem til denne gr•nsev•rdi ved at bruge f€lgende metode: Vi faktoriserer br€kens
t•ller og forkorter br€ken. S‚ f‚r vi et udtryk som vi kan udregne n‚r x er 2:
3x 2  6 x
3 x( x  2)
For x  2 er

 3x
x2
x2
3x 2  6 x
s‚
lim
 lim 3 x
og
lim 3 x  3  2  6
x2
x 2
x2
x2
Regel 63.3
lim k  udtryk   k  lim udtryk
x xo
Regel 63.4
n‚r k er en konstant
x  xo
lim udtryk1  udtryk 2  
x xo
lim udtryk1  lim udtryk 2
x  xo
x xo
63.5 Udregning af gr•nsev•rdi med Nspire.
x
H€jden af stolpen er h  e 1 hvor x er det tal stolpen st‚r i. P‚ figuren ser det ud til at
x
stolpens h€jde n•rmer sig 1 n‚r vi tr•kker stolpen hen mod x  0 , hvor stolpen ikke eksisterer.
Vi f‚r Nspire til at udregne gr•nsev•rdien af h€jden for x g‚ende mod 0 :
e x 1
lim
 1
x 0 x
P• Nspire kan vi v€lge gr€nsev€rdi-skabelonen p• skabelonpaletten.
Skabelonen ser s•dan ud:
Vi behƒver ikke skrive noget
i det tredje felt.
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 32
2015 Karsten Juul
64. Vi kan finde en differentialkvotient ved at
udregne en gr•nsev•rdi.
Hvis f er differentiabel i xo , s‚ g•lder
64.1
f ( xo )  lim
x xo
f ( x)  f ( xo )
x  xo
Begrundelse for 64.1:
y
m
t
xo
f
x
t er tangent til f-grafen.
f ' (xo) = t 's h•ldk.
Dette er definitionen p‚ differentialkvotient.
Vi tegner en linje m der sk•rer f-grafen i punkterne med x-koordinater xo og x .
y-koordinater til disse punkter er f (xo) og f (x) . S‚
m 's h•ldk. =
f ( x)  f ( xo )
x  xo
if€lge formlen a 
y2  y1
.
x2  x1
N‚r x n•rmer sig til xo
vil m 's h•ldk. n•rme sig til t 's h•ldk., s‚
f ( x)  f ( xo )
x  xo
x xo
x  xo
Vi har nu indset at b‚de venstre og h€jre side i ligningen i 64.1 er lig t 's h•ldk. ,
s‚ ligningen g•lder.
t 's h•ldk.
= lim ( m ' s h•ldk .) = lim
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 33
2015 Karsten Juul
65. Udledning af formlen for at differentiere x2.
N‚r f ( x)  x 2 er
f ( xo )  lim
x xo
f ( x)  f ( xo )
x  xo
if€lge 64.1
x 2  xo2
 lim
x  xo x  xo
 lim
x xo
(x  xo )  (x  xo )
x  xo
if€lge en af kvadrats•tningerne
 lim (x  xo )
vi har forkortet med x  xo
 xo  xo
if€lge metode 63.2
x xo
 2xo
Vi har nu fundet frem til f€lgende:
65.1:
x   2 x
2
66. Udledning af formlen for at differentiere udtryk plus udtryk .
N‚r f ( x)  g ( x)  h( x) er
f ( xo)  lim
x  xo
 lim
f ( x)  f ( xo)
x  xo
g ( x)  h( x)  g( xo )  h( xo) 
x  xo
x  xo
 lim
if€lge 64.1
 g ( x)  g( xo)    h( x)  h( xo) 
x  xo
x  xo
 g ( x)  g( xo) h( x)  h( xo) 

 lim 

x  xo
x  xo
x  xo 

g ( x)  g( xo)
h( x)  h( xo)
 lim
 lim
x

x
x  xo
x  xo
x  xo
o
 g ( xo )  h( xo )
if€lge 63.4
if€lge 64.1
Vi har nu fundet frem til f€lgende:
66.1:
 g ( x )  h( x )  
 g ( x)  h ( x)
Differentialregning for A-niveau i stx, udgave 3
Side 34
2015 Karsten Juul
Stikordsregister
afledede funktion ..................................................8
aftagende .................................................19, 20, 22
differentiabel .......................................................31
differentialkvotient......................................1, 3, 33
differentialkvotient p‚ graf ...................................6
differentialkvotient, udledning............................34
differentialkvotients forskrift ................................3
differentialkvotients fortolkning ...........................2
differentiationsregler.............................................3
ekstrema ........................................................24, 27
ekstremum...........................................................24
fortolkning af differentialkvotient.........................2
funktionsv•rdi ......................................................1
funktionsv•rdi p‚ graf ..........................................6
graf ......................................................................22
gr•nsev•rdi ..................................................32, 33
h•ldningskoefficient.....................9, 11, 16, 17, 31
konstant i forskrift, bestem .................................14
lokale ekstrema .............................................28, 29
lokalt ekstremum.................................................30
lokalt maksimum.....................................28, 29, 30
lokalt minimum.......................................28, 29, 30
l€s ligning ud fra graf............................................7
l€sninger, antal....................................................30
maksimum.....................................................24, 27
mindstev•rdi.................................................24, 27
minimum .......................................................24, 27
monotoniforhold .....................................20, 21, 23
Nspire....3, 9, 10, 13, 14, 17, 18, 21, 26, 29, 30, 32
r€ringspunkt ..........................................1, 2, 13, 14
st€rstev•rdi .............................................24, 25, 26
tangent.......................................1, 9, 11, 12, 15, 31
tangent, vinkel.....................................................13
tangenth•ldning................................10, 11, 12, 14
vinkel og tangent.................................................13
voksende .................................................19, 20, 22
v•ksthastighed..................................15, 16, 17, 18