Carl Winsløws præsentation - Institut for Matematiske Fag
13-11-2015 Institut for Naturfagenes Didaktik Institut for Naturfagenes Didaktik Et dilemma, 1 Et fundamentalt dilemma for calculus i gymnasiet Find lim → Eksisterer grænseværdien? Hvad betyder grænseværdi? Logisk kommer det sidste spm. først. En del gymnasieelever kan besvare det første spørgsmål, og mener så også at have besvaret de to sidste. For at svare på det første bruger de CAS eller noget i stil med lim → = lim lim → → 2 4. Nogle kan måske også give en forklaring på ovst.: ”omskriv til du kan indsætte 2, og gør det så” ”man kan indsætte hvis funktionen er pæn i 2… ” ”…hvis den er kontinuert i 2” ”og jo, er kontinuert i a betyder at lim Carl Winsløw [email protected] http://www.ind.ku.dk/winslow → .” DILEMMA: CAS-værktøjet kan svare på det samme spm. som eleven og kan ligesom eleven ikke svare på de to sidste. Institut for Naturfagenes Didaktik Institut for Naturfagenes Didaktik Dilemma, del 2 ”Stofdidaktik” = studiet af stof mhp undervisning = fagdidaktik i (fx) fransk og tysk forstand pædagogik etc. faglig viden Den ”pædagogiske ideologi” (Chevallard): alle problemer vedr. undervisning kan løses ved at ændre formerne i undervisningen og dens beskrivelse Men mange (dybere?) problemer ligger i indholdet ! Matematikdidaktikere i egentlig forstand er matematikere, der specialiserer sig i undervisning. Enhver matematiklærer bør derfor betragte sig som matematikdidaktiker. Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 2 Lad . Find ′ 2 . Findes ′ 2 ? Hvad betyder ′ 2 ? En ”god” gymnasieelev har ingen vanskeligheder med de to første spm. (svaret er 4 som findes) og kan også besvare det sidste: ′ 2 er hældningen af tangenten til parablen i (2,4). Tegner måske grafen i CAS og checker. Eleven ser ingen forbindelse mellem de tre spm. og spørgsmålene på forrige slide. Find lim → Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 4 1 13-11-2015 Institut for Naturfagenes Didaktik Institut for Naturfagenes Didaktik Dilemma, del 3 Opsummering: Lad Objekter Algebra ”beregning” Topologi ”betydning,eksistens” Grænseværdi ”Regneregler” fx lim ⋯ >0:0<|x-a|< … Basale funktioner ”Regneregler”, fx. Bl.a. ”grænseværdier af tidl. definerede fkt’er” . Find det viste areal. Findes arealet ? Hvad betyder det? Som før. , sin Eleven har måske set (og sikkert glemt) et argument for ”stamfunktionsmetoden” som begynder som følger: lad A(t) være arealet som afgrænses af grafen for f samt linierne givet ved y=0, x=1 and x=t, så gælder (… efter et argument som kombinerer tegning og beregning…) A’ = f. Under alle omstændigheder antages arealet at eksistere fordi vi kan ”se” at der er en udstrækning som er endelig. Det er bare et spm. om at beregne det. Det har intet at gøre med grænseværdier, summer eller middelværdier. Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 5 ,… Afledte funktioner ”Regneregler” fx ′ ′ ′ Integraler ”Regneregler” fx Lad sin . Find f(1.05). Findes f(1.05)? Hvad betyder sin? Ah jo, sin er jo andenkoordinaten til P som vist … Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 6 … Institut for Naturfagenes Didaktik Hvad er det for tal vi arbejder med? 1.05 sin For gymnasieelever er svarene på de sidste to spørgsmål simple: er bare vinklen, kendt fra skolen (let udvidet til ) Og sin findes vha. sup Et spadestik dybere... P Men hov – hvad er ? Og hvordan ”finder” vi sin for et givet ? → Eksistens og betydning af alle disse objekter står og falder med topologiske egenskaber ved , herunder (men ikke kun) betydningen af grænseværdi. Lærestoffet er ”algebra”, dvs. mere eller mindre hvad CAS Øresundsdagen 23/10 2013 kan – og i praksis ofte sættes til at gøre. Diasgøre 7 Institut for Naturfagenes Didaktik Dilemma, del 4 lim 1 Matematisk svar: flere mulige, men ingen uden ”analyse”! Ugeopgave (fra KU-kursus, ”Matematik i uv-mæssig smhæ.) a) Lad X={1,…,n} hvor n er et helt tal, og lad f:XX være en voksende funktion. Afgør om vi kan slutte at: (*) f har et fixpunkt, dvs. der findes et xX, så f(x)=x b) Løs den samme opgave, men nu med andre mængder X: X = [0,1] = endelige decimalbrøker i [0,1] X = ℚ [0,1] = rationale tal i [0,1] X = [0,1] DILEMMA: eleverne/de studerende har ”kendt” tallene siden skolen, men har højst intuitive forestillinger om dem Fx er skæringssætningen ”triviel” for dem – de har måske set et bevis, men det forbliver for de fleste et meningsløst ritual Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 8 2 13-11-2015 Institut for Naturfagenes Didaktik Institut for Naturfagenes Didaktik Dilemma – eller mulighed? Kastner-Tarski’s fixed point theorem (1955) Lad (X, ) være et fuldstændigt gitter (=en partielt ordnet mængde hvori alle ikke-tomme delmængder har sup og inf). Lad f:XX være en ”voksende” funktion. Da gælder at P = {xX : f(x)=x} Ø og (P , ) er et fuldstændigt gitter. Didaktisk transposition: uomgængelig men ikke naturfænomen Ricisi (reelle!): Gymnasiematematik som perlerække af magiske tricks: • Objekter hvis eksistens vi bare tror på • En række uforståelige eller cirkulære ”definitioner” (fx. kontinuitet/grænseværdi, areal/integral) • En række urelaterede ”temaer”, ”seværdigheder som besøges” • ”Elevernes matematik” baseres på regneregler, evt. CAS Muligheder (som skal udforskes): • Nye transpositioner (og opgaver) som fokuserer på elevernes undersøgelse af dybere, udvalgte aspekter af disse temaer og deres indbyrdes forbindelse – evt. som ”overbygninger” på en første calculus-tilgang (fx temaopgaver) • Didaktisk design understøttet af videnskabsfagene matematik og matematikdidaktik, og evt. kontrolleret brug af teknologi • Dele ressourcer og observationer på nationale platforme og møder som dette Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 9 Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 11 Institut for Naturfagenes Didaktik Matematik A, studentereksamen 22/5 2015 (Forberedelsesmateriale, Netforsøget: følger og rækker) Institut for Naturfagenes Didaktik www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien ”Ved en uendelig følge forstås et ordnet liste med et første element, men uden et sidste element.” (eksempler på talfølger og punktplots af dem) Definition 1 ∈ konvergerer mod Et følge går grænseværdien , hvis følgens elementer mod , når går mod uendelig. Det skrives som lim . → Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 10 Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 12 3 13-11-2015 Institut for Naturfagenes Didaktik Case 1: Speciale af M. Sonnenborg (2007) Sonnenborg’s zoo: udforske mystiske grænseværdier Institut for Naturfagenes Didaktik Case 3: Speciale af N. Kofoed (2013) Didaktisk design testet med 2.g i København • Første møde med opgaven: mon nedst. punktmængder har et areal? Hvad kan du sige om det? (givet figuret + funktioner) 1. Kan TI89 finde grænseværdien? ”LIMIT” + graph 2. Klassificer bæsterne [0/0, 0., / etc.] 3. Arbejde med begrundelser, herunder beviser med uligheder, fx for 0.<k = 0 • Udvikling af første teknik: approximation med polygoner • Systematisering af teknik: bruge rektangler (”stolper”), eksakt beregning af grænseværdi vha CAS • Udvidelse af teknik, ved udvikling af begreber (fx undersum og oversum) • Relateret problem, samme teknik: udregne middelværdi af en funktion på et interval • Udvikling af teori: monotone funktioner er integrable og integralet giver en stamfunktion • Raffinering og konsolidering af teknikker (CAS støttet) Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 15 Øresundsdagen 23/10 2013 Institut for Naturfagenes Didaktik Institut for Naturfagenes Didaktik Case 2: Speciale af Signe Ougaard (2010) Så, intet nyt under solen? Forløb om kvantificerede udsagn: • Først ”hverdagsudsagn” med (formelt) verbalsprog, tegninger osv. fx. ”Enhver stjerne har en planet som kredser omkring stjernen” etc. • Dernæst, simple matematiske udsagn med kvantorer fx ”n x :2x=n”, etc. (organiseret som spil) • Studium af formel definition af grænseværdi, med spil som ”givet et , find et ” [med vinderstrategi som generelt argument, fx en formel for ()] • Udvidelse af definitionen af simpel grænseværdi, fx divergens mod etc. Jo… ... et af de mest spændende mødesteder for matematikere fra universitet og gymnasium! Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 14 Øresundsdagen 23/10 2013 Dias 20 4
© Copyright 2024