1. No category

UCL
Læreruddannelsen på Fyn og i Jelling
Forberedelsesmateriale til kompetencemålsprøven
i
undervisningsfaget matematik
1. – 6. klasse
Juni 2015
Når forberedelsesmaterialet er udleveret, er prøven formelt begyndt, og læreruddannelsernes
matematiklærere må ikke kommunikere med de studerende om faglige spørgsmål, før den samlede
skriftlige delprøve er gennemført.
Forberedelsesmaterialet indeholder en indledning med praktiske informationer om den skriftlige
prøve, råd vedrørende arbejdet i forberedelsestiden og råd vedrørende besvarelsens udformning.
Selve forberedelsesmaterialet udgøres af følgende tekster
1. Niss, Mogens (2007): Opgavediskursen i matematikundervisningen. Side 7 – 17. Mona 1.
2007
2. Blomhøj, Morten: Hvad er undersøgende matematikundervisning – og virker den?
(http://www.ucn.dk/Files/Filer/CFU/kursusmaterialer/kurser%202013/13%20Undersøgende
%20matematikundervisning%20morten%20b.pdf, lokaliseret 675 2015)
3. Beck, Hans Jørgen m.fl. (2014): Matematik for lærere – i-bog. Arbejdskort F4. København.
Gyldendal
4. Nielsen, Connie, Tang, Elisabeth (2014): ABACUS 3. kl. - Mod nye udfordringer –
Basisbog Uddrag, side 46 - 47. Forlaget Matematik 2014.
5. Mogensen, Arne; Pedersen, Silla Balzer (2010). Faktor i anden elevbog B, 2. udgave 10.
oplag side Uddrag, side 2 -3. København. Alinea
6. Hartz, Viggo (2004). Uden ord – næsten. Matematik, 1. Årgang 2004
7. Freil, Ole og Kaas, Thomas (2005). Kolorit – matematik for femte klasse, 1. udgave 4.
oplag. Uddrag, side 126 – 131. København, Gyldendal
8. Uddrag af Matematik 7.-10. klasse – Et digitalt undervisningsmateriale, Gyldendal1 med
tilhørende regneark til både Excel, Google Sheets og OpenOffice/LibreOffice som bilag.
9. Uddrag af hjælpefunktioner OpenOffice/LibreOffice og Excel
10. It-forberedelse
Ved prøven kan der være opgaver uden forberedelsesmateriale.
1
http://matematik.gyldendal.dk/Indgange/Forloeb/10_Sandsynlighed_og_kombinatorik/Tema_Simul
ering_i_regneark.aspx lokaliseret 29/4 2015
Praktiske informationer om den skriftlige prøve
Det er nødvendigt at medbringe en computer til prøven, da den samlede besvarelse skal afleveres
digitalt på Wiseflow.
Til den skriftlige prøve medbringes ligeledes
· Fronterlogin-informationer (skal bruges til netadgang og wiseflow)
· Nem-id, hvis Fronter-login ikke virker
· Sygesikringskort, hvis net-login ikke virker
· 3-5 meter forlængerledning
· Gerne et Usb-stick, hvis alt driller.
Ud over fx Geogebra, et regnearksprogram og et CAS-program kan der blive brug for fx
simuleringsprogrammer og andre programmer, der har været anvendt i forbindelse med
undervisningen.
Under den skriftlige prøve er det tilladt at benytte internettet, fx at bruge opslagsværker og apps.
Det er ikke tilladt at benytte internettet til kommunikation, fx ved at stille spørgsmål eller føre
dialog om opgaverne i sociale medier.
Man bør kunne tage skærmbilleder og indsætte i sit dokument, evt. tage billeder af håndskrevne
noter og indsætte i sit dokument og gemme/omforme sit dokument til pdf-format til sidst.
Råd vedrørende arbejdet i forberedelsestiden
Forberedelsestiden er beregnet til, at man kan sætte sig ind i forberedelsesmaterialet, formulere og
løse opgaver i relation til teksterne mv. og eventuelt læse op på fagligt og fagdidaktisk stof. Det er
tilladt at benytte alle hjælpemidler, herunder biblioteker og internet, til at søge supplerende
oplysninger. Det anbefales, at man arbejder sammen i forberedelsestiden.
Forberedelsestiden kan også bruges til at udarbejde tekster, som kan danne grundlag for
besvarelsen. Normalt vil det imidlertid ikke være muligt at gætte opgaverne ud fra
forberedelsesmaterialet, og man må derfor regne med at skulle omformulere tekster, som er skrevet
i forberedelsestiden.
Hvis tekster, som er udarbejdet i forberedelsestiden, indgår uændret i besvarelsen, skal disse
tekstdele tydeligt markeres som citater. Kilden til citatet skal anføres, herunder hvem teksten
eventuelt er udarbejdet sammen med.
Råd vedrørende besvarelsens udformning
Det er vigtigt at forholde sig præcist til spørgsmålsformuleringen. Inden man giver sig i kast med at
løse opgaven, bør man derfor overveje hvilken type svar, der spørges efter – fx en beregning, et
ræsonnement, et algebraisk udtryk osv.
Matematikfaglige spørgsmål kan sjældent besvares kun med et facit. Det er en del af den
professionelle kompetence at kunne afgøre, hvornår en begrundelse er nødvendig, og hvornår den er
tilstrækkelig fyldig. Derfor bør fx mellemregninger og forklarende tekst ledsage besvarelsen, dels
for at fremgangsmåden kan bedømmes, og dels for at undgå at banale regnefejl bedømmes som
forståelsesfejl. Tegninger, figurer og udskrifter fra computerprogrammer bør også ledsages af en
forklarende tekst, som gør det muligt at følge tankegangen.
Nogle opgaver kræver løsningsmetoder, der ikke er rutineprægede. Mange opgaver kan løses på
flere måder, og ethvert skridt hen imod en løsning kan tælle positivt ved bedømmelsen.
Der kan sagtens ligge positiv information om det faglige niveau i en mangelfuld besvarelse. Selv
om det ikke lykkes at komme igennem med løsningen af en opgave, kan det derfor være væsentligt
for bedømmelsen, at de løsningsforsøg, der gøres, beskrives lige så fyldigt som en egentlig løsning.
Er man i tvivl om, hvordan en opgave skal fortolkes, bør man gøre opmærksom på det. Det skal så
af besvarelsen fremgå, hvilken tolkning af opgaveteksten, der lægges til grund for besvarelsen.
Også i spørgsmål af fagdidaktisk karakter er det vigtigt at forholde sig præcist til
spørgsmålsformuleringen og udforme besvarelsen med brug af fagdidaktiske begreber. Der kan
være tale om en teoretisk redegørelse, en analyse eller en vurdering. I besvarelsen kan inddrages
teori ud over forberedelsesmaterialet, hvis det er relevant i opgaven.
En analyse vil normalt tage afsæt i en model eller en teori. Hvis ikke opgaveformuleringen
præciserer dette nærmere, kan man bruge sin faglige og fagdidaktiske viden til at vælge et passende
udgangspunkt for analysen.
En vurdering skal altid være fagligt begrundet, og vil derfor ofte bygge på en analyse. Selv om
opgaveteksten ikke forudsætter en analyse, skal man formulere det faglige grundlag for
vurderingen.
Hvis der spørges efter en diskussion, forventes det, at besvarelsen nævner forskellige synspunkter
og afvejer dem overfor hinanden med argumenter for og imod de enkelte synspunkter. En
diskussion vil ikke altid munde ud i en entydig konklusion, men den vil give oversigt over de
vigtigste argumenter i sagen.
Der kan også forekomme spørgsmål af lærerpraktisk karakter, fx planlægning af
matematikundervisning, vurdering af elevprodukter eller formulering af mål. Her er det vigtigt at
kende fagets bestemmelser og didaktiske kategorier som læringsmål, undervisningsaktiviteter, tegn
på læring og evaluering. Ved besvarelsen af sådanne spørgsmål skal man trække på såvel faglig
indsigt og kreativitet som realisme i forhold til skolens praksis.
MONA 2007 – 1
7
Opgavediskursen i
matematikundervisningen
Mogens Niss, IMFUFA, Institut for Natur, Systemer og Modeller, RUC
Artiklen1 tager sit udgangspunkt i Stieg Mellin-Olsens undersøgelse (1990) af opgavediskursen i matematikundervisningen. På den baggrund søger vi svar på spørgsmålet “Hvorfor indtager problemdiskursen
så fremtrædende en rolle i såvel matematikundervisning som i matematikdidaktisk forskning?” Derefter
ses der nærmere på væsentlige begrænsninger i opgavediskursen, og der peges på andre diskurser som
burde spille en central rolle i undervisning og forskning.
Indledning
I Anders Folke Larsens, Mikkel Heins og Tine Wedeges artikel Undersøgende læringsmiljø i matematik. Kritisk refleksion efter skoleperioden i det foregående nummer af
MONA indgår en omtale af den nu afdøde norske matematikdidaktiker Stieg Mellin
Olsens betragtninger (1990) over hvad han kalder opgavediskursen i matematikundervisningen. Mellin-Olsens betragtninger fortjener at blive mere kendt end tilfældet
er, og at blive suppleret med overvejelser over grundlaget for og begrænsningerne
ved denne diskurs. Det er hensigten med denne artikel at fremsætte sådanne overvejelser på baggrund af en lidt mere indgående introduktion til (dele af) Mellin-Olsens
undersøgelse.
Introduktion til Mellin-Olsens betragtninger
I juni 1990 holdt det daværende humanistiske forskningsråds såkaldte Initiativet
vedrørende matematikundervisning én blandt flere konferencer i Gilleleje. Ved denne
konference gav Stieg Mellin-Olsen et interessant og tankevækkende oplæg om opgavediskursen som findes i den ret uformelle rapport fra konferencen. Jeg lægger ud
med en introduktion af de centrale betragtninger i oplægget.
Først en terminologisk forbemærkning. På dansk (og norsk) har ordet “opgave” jo en
bred og mangesidet betydning. I sammenhæng med matematikundervisning er det
1
Dette er en oversat (ved forfatteren) og let bearbejdet udgave af artiklen “The problem discourse in mathematics
education” i Häggblom, L., Burman, L. & Röj-Lindberg, A.-S. (red.) (2006). Perspektiv på Kunskapens och lärandets villkor.
Festskrift tillägnad professor Ole Björkqvist. Vasa: Åbo Akademi, Pedagogiska fakulteten. s. 57-64.
Artikler
8
Mogens Niss
MONA 2007 – 1
dog sjældent at hele betydningsspektret er på færde når ordet bruges. Ordet bruges
her i hovedsagen til at angive rene eller blandede former af på den ene side “øvelser”
og på den anden side “problemer”. En øvelse er et i princippet standardiseret hverv
med det formål at indøve rutiner eller at efterprøve og anvende basale begreber eller
regler, mens et problem er et hverv der på en eller anden vis udfordrer problemløseren
hinsides hans eller hendes rutinebestemte kundskaber og færdigheder (Schoenfeld,
1985). Det følger heraf at hverken “øvelse” eller “problem” er absolutte begreber,
knyttet alene til det hverv der er tale om, men relative begreber der inddrager baggrund, viden og erfaringer hos den person (elev eller studerende) der forsøger at løse
opgaven.
Matematikundervisning omfatter i vid udstrækning elevers og studerendes arbejde
med matematikopgaver. Med Mellin-Olsens ord (s. 47) er matematikundervisningen
stærkt præget af opgavediskursen, hvilket videre præger læreres, elevers og studerendes forestillingsverden. Vi har at gøre med en diskurs fordi sprog, kommunikationspraksis og aktiviteter danner en sammenhæng, og fordi dennes elementer hører
hjemme i og skal forstås i forhold til givne historiske og institutionelle rammer og
traditioner. Ved at være en bestemmende faktor for arbejdet i klasserummet, og for
karakteriseringen af det, er opgavediskursen ifølge Mellin-Olsen så central i matematikundervisningen at enhver forandring eller udvikling af denne må forholde sig til,
og måske ligefrem gå til angreb på, denne diskurs (s. 48).
Mellin-Olsen karakteriserer matematikopgaver ved at fokusere på en række særlige
træk ved dem. En matematikopgave er en lukket enhed der, når den er løst, leder frem
imod den næste opgave eller det næste emne i lærebogen. Hver opgave – eller delopgave – har en begyndelse og en slutning som oftest markeres ved at man er nået frem
til et definitivt svar på et stillet spørgsmål. Opgaver er ofte ordnet i en rækkefølge,
gerne ved at være nummereret, så lærere og elever/studerende altid ved hvor man
befinder sig i opgavelisten. Opgaverne er sædvanligvis ikke formuleret på måder der
inviterer eleverne til selv at formulere spørgsmål. Ikke sjældent evalueres elever og
studerende efter hvor langt de er nået i en tilfredsstillende besvarelse af rækken af
opgaver. Ved afslutningen af et undervisningsforløb er det ikke ualmindeligt at der
stilles en række opgaver til skriftlig besvarelse i en test eller ved en eksamen.
Ved at interviewe tyve matematiklærere opdagede Mellin-Olsen at de i udstrakt
grad gjorde brug af forskellige rejsemetaforer når de engagerede sig i opgavediskursen
(s. 48-53). De “kører” deres undervisning ved hjælp af opgaver. Skønt Mellin-Olsen
ikke udtrykkeligt bruger dette ord, udgør opgaver “transportmidlet” på rejsen mens
lærebogen udgør “rejseplanen” som beskriver de steder rejsen skal føre igennem, med
læreren som “guide”. Visse begivenheder kan få klassen eller nogle af dens medlemmer til at “køre af sporet”, men undervisningen kan blive bragt “tilbage på sporet”
ved lærerens eller elevernes vellykkede manøvrering – eller ved rent held. Rejsen har
Artikler
MONA 2007 – 1
Opgavediskursen i matematikundervisningen
9
en “fart” og kan gå “for stærkt” eller “for langsomt”. Ofte går nogle elever “hurtigere
frem” end andre – de kan “komme foran” deres kammerater – mens andre ikke kan
“følge med”. Nu og da følges “vejen” omhyggeligt af de rejsende som tager “den lige
vej” – især hvis opgaverne er “lige ud ad landevejen”. Men det kan hænde at der tages
en tilsigtet eller blot tilfældig “omvej”, måske for at komme “uden om” en forhindring,
som det dog også kan være man skal “springe over” så man kan “komme videre” og
“nå frem” til “målet” for rejsen til det fastsatte tidspunkt. Målet kan danne startpunktet for en ny rejse, som fx kan være et nyt skoleår, et nyt semester eller kursus, en ny
slags uddannelsesinstitution osv. Det hænder gerne at der på en rejse gøres “holdt”
så læreren kan gå nærmere ind på hvor man nu er nået til, måske i forbindelse med
et “panorama-vue” over hvordan man er kommet så langt, og et andet over hvor man
nu skal hen. På rejsen medbringer hver elev eller studerende noget “bagage”, som
sædvanligvis forøges “undervejs” så man kan besøge “mindre tilgængelige” steder
som det kræver “særligt udstyr” at nå. Imidlertid kan ingen elev tage mere bagage
“om bord” end hans eller hendes kapacitet tillader. Det fremgår at rejsemetaforerne
lægger op til et ikke uvæsentligt islæt af konkurrence mellem deltagerne.
I mange klasser er forskellene mellem eleverne så store at de ikke alle, med tilstrækkeligt udbytte, kan deltage i den samme rejse. De kan så deltage i forskellige
rejser som indebærer forskellige transportmidler (opgaver) der svarer til forudsætningerne hos de respektive grupper af deltagere. Det kan tænkes at rejseruten er den
samme, men at de forskellige grupper gennemfører den med forskellig fart, eventuelt
med forskellige afstigningssteder. Det er også muligt at rejseruterne er forskellige,
men bestemmelsesstedet det samme. Endelig kan både rute og mål variere. (Det
er alt dette der – uden for verdenen af rejsemetaforer – samles under betegnelsen
undervisningsdifferentiering).
De opgaver elever og studerende kan løse, anvendes nu og da til at bestemme
hvilken rejse de skal deltage i næste gang. Desuden spiller deres succes med opgaveløsningen sædvanligvis en væsentlig rolle for de karakterer de opnår, enten undervejs
eller ved rejsens afslutning.
Mellin-Olsen går derefter over til at se på virkninger af opgavediskursen. Han hæfter
sig navnlig ved de negative virkninger og leder efter måder hvorpå disse kan undgås
eller mindskes. For Mellin-Olsen er den mest negative virkning den af konkurrence forårsagede inddeling af elever og studerende i forskellige “dygtighedsgrupper”, hvorved
der etableres en “klassestruktur” (i sociologisk forstand) i (undervisnings)klassen.
Dermed er skitsen af nogle centrale betragtninger i Mellin-Olsens artikel fuldført.
Hans bidrag danner grundlag for at antage at opgavediskursen spiller en central, for
ikke at sige dominerende, rolle i matematikundervisningen, og at denne diskurs er
dybt forankret i praksis og traditioner som udgør rammerne for denne undervisning.
Nu er Mellin-Olsens betragtninger jo dels halvandet årti gamle, dels ganske generelle
Artikler
10
Mogens Niss
MONA 2007 – 1
i deres sigte i forhold til undervisningstrin og -sted og dels fremstillet på basis af
norske erfaringer. De har med andre ord en stor flyvehøjde. Har de så relevans i dag
i en dansk sammenhæng og på alle undervisningstrin?
Efter min vurdering er svaret “ja!”. Naturligvis kan man med rette hævde at der
på den ene side i tillæg til et fokus på opgavevirksomhed også ses fokus på andre
aktiviteter, og at der i Danmark i dag på den anden side er tale om et langt mindre
rigidt og stereotypt opgavebegreb end det der antydes i Mellin-Olsens oplæg. Ikke
desto mindre florerer et omfattende arbejde med opgaver i bedste velgående i dagligdagen i al dansk matematikundervisning, ligesom skriftlige test og eksaminer spiller
en nøglerolle i de anvendte evalueringssystemer. Desværre foregår der i Danmark
næsten ingen systematisk kortlægning af hvad tiden bruges til i matematikundervisningen (jf. rapporten “Fremtidens matematik i folkeskolen” afgivet af “Udvalget
til forberedelse af en handlingsplan for matematik i folkeskolen”, januar 2006), så
en omfattende, facts-baseret dokumentation af opgavediskursens plads og omfang i
matematikundervisningen er ikke til rådighed for de videre overvejelser. Derfor må
læserne betjene sig af deres egne erfaringer når de forholder sig til de overvejelser
som fremlægges i denne artikel.
Hvor Mellin-Olsens oplæg lagde vægt på selve påpegningen af opgavediskursens
tilstedeværelse og rolle og på omtalen af nogle af dens (for Mellin-Olsen uønskede)
virkninger, er fokus i denne artikel især et forsøg på at identificere og karakterisere
de årsager der ligger bag opgavediskursens dominans både i matematikundervisning
og i matematikdidaktisk forskning, først og fremmest i empirisk forskning. Det skal
forlods understreges at Mellin-Olsens betragtninger ikke drejer sig om matematikdidaktisk forskning.
Vi skal nærmere bestemt beskæftige os med to spørgsmål: “Hvordan kan det være
at opgavediskursen indtager en så fremtrædende plads i matematikundervisningen?”
og “Hvilken rolle spiller opgavediskursen i matematikdidaktisk forskning, og hvorfor?” Spørgsmålene vil, bl.a. af pladshensyn, blive behandlet ved hjælp af analytiske
overvejelser snarere end ved empiriske undersøgelser, ligesom en egentlig litteraturgennemgang på feltet ville føre alt for vidt.
Hvordan kan det være at opgavediskursen indtager en
så fremtrædende plads i matematikundervisningen?
Lad os tage udgangspunkt i den antagelse – som altså ikke vil blive efterprøvet i denne
artikel – at Stieg Mellin-Olsen har ret i at opgavediskursen (også i dag) faktisk spiller
en fremtrædende rolle i al matematikundervisning. Hvordan kan dette forklares?
Inden jeg forsøger at svare på det, vil det være rimeligt at overveje hvad alternativerne er/kunne være. Det vil sige hvilke andre aktiviteter end opgaveløsning kunne
stå i centrum for matematikundervisning og -læring? Traditionel matematikunder-
Artikler
MONA 2007 – 1
Opgavediskursen i matematikundervisningen
11
visning omfatter elevaktiviteter som for eksempel: læsning af lærebogen, mundtlig
præsentation af et stykke fagligt stof for klassekammeraterne og læreren, fremstilling – typisk henvendt til læreren – af fagligt stof i skriftlig form, fremlæggelse og
forklaring af beviser eller udregninger for klassen samt besvarelse af quiz-spørgsmål
stillet af læreren med vægt på facts og fremgangsmåder. I mindre traditionsbunden
matematikundervisning finder man yderligere aktiviteter såsom: forskellige typer
af projektarbejde, arbejde med modeller(ing) af ekstra-matematiske situationer, konstruktion af opgaver til løsning af kammerater, udarbejdelse af essays om matematiske
emner, fremstilling af begrebskort, fremstilling af posters, videosekvenser, teaterstykker eller lignende som præsenterer aspekter af matematik for andre, gennemførelse
af matematiske undersøgelser, fx af det eksplicitte eller implicitte matematikindhold
i aviser eller andre medier eller i forskellige erhverv, fremstilling af konkrete fysiskmatematiske objekter af papir, træ, metal, plastic osv. eller computerrepræsenterede
objekter, analyse eller opfindelse af matematikorienterede spil etc.
Påstanden om at opgavediskursen indtager en dominerende plads i matematikundervisningen, er selvsagt ikke en påstand om at denne kun har opgaveløsning på
programmet. Påstanden går i stedet ud på at væsentlige dele af matematikundervisningen centreres om opgavediskursen, og at denne i høj grad sætter rammerne for de
øvrige aktiviteter som sættes på dagsordenen. Den ovenfor nævnte liste af aktiviteter
tjener til at vise at løsning af matematikopgaver ikke just er den eneste mulige kerneaktivitet i matematikundervisningen. Opgavediskursens dominans giver derfor
ikke sig selv. Den kræver en forklaring.
Der er i hovedsagen to slags argumenter for at tildele opgaveløsning en nøglerolle
i matematikundervisningen. I den første slags argumenter betragtes matematisk
opgavehåndtering som et mål i sig selv. I den anden slags argumenter ses opgavehåndtering som et nødvendigt eller i det mindste nyttigt middel til opnåelsen af noget
andet. Lad os se nærmere på argumenterne.
Beskæftigelsen med matematiske problemer er
essensen af matematisk virksomhed
Historisk set har formuleringen og løsningen af rene og anvendte matematikproblemer og brugen af deres løsninger altid været hjørnestene i matematisk virksomhed,
hvad enten vi taler om matematik som en ren videnskab, en anvendt videnskab, et
system af redskaber for samfundsmæssig praksis eller en disciplin for æstetisk udfoldelse (Niss, 2001).
Dette går helt tilbage til oldtidens matematik i Mesopotamien, Egypten og Grækenland såvel som i Kina og Indien, men var også karakteristisk for matematikken
som den blev udøvet i de første århundreder af den videnskabelige revolution når
fx italienske, britiske, franske og tyske matematikere konkurrerede om opstillingen
Artikler
12
Mogens Niss
MONA 2007 – 1
og løsningen af matematiske problemer (se fx Katz, 1998). Også i nyere tid er matematikkens videnskabelige udvikling i betydelig grad blevet drevet af beskæftigelsen
med matematiske problemer, hvilket fortsat er tilfældet. Man kan her blot tænke
på de tre klassiske græske problemer, cirklens kvadratur, terningens fordobling og
vinklens tredeling, som alle først fandt deres afgørelse i det 19. århundrede (derved
at det blev bevist at ingen af de tre opgaver har en løsning med de midler som er accepteret på feltet). Eller man kan tænke på fire-farve-hypotesen, Fermats sidste sætning, kontinuumshypotesen og Poincaré-formodningen som, ud over at være blevet
afgjort (sådan da – det er blevet afgjort at kontinuumshypotesen er uafgørlig!) i det
20. og 21. århundrede, har givet anledning til en voldsom udvikling af matematikkens
teoridannelser. Det samme er tilfældet med den endnu uafgjorte Riemann-hypotese.
Den såkaldte Clay Foundation har udskrevet prisopgaver af betragtelig størrelse til
personer der løser ét fra en liste af syv berømte matematiske problemer (www.claymath.org/millenium), heriblandt Poincaré-formodningen.
Hvad angår anvendelsen af matematik inden for andre videnskabs- eller praksisområder, er en af matematikkens centrale roller at bidrage til at svare på spørgsmål
inden for det pågældende område, netop ved at opstille, præcisere og løse matematiske
problemer i tilknytning til de givne spørgsmål. For eksempel har man ad matematisk
vej bevist umuligheden af at indrette valg- og afstemningssystemer som på én gang
opfylder en række nærliggende og ønskværdige betingelser. Ligeledes har man ad
matematisk vej angivet præcise metoder og betingelser for indretningen af selvkorrigerende kodningssystemer som bruges i datatransmission, herunder i cd-brænding
og afspejling.
Samlet set er løsningen af matematiske problemer – eller lidt anderledes sagt, besvarelsen af matematiske spørgsmål – at betragte som selve essensen af matematisk
virksomhed (se fx Halmos, 1980). Dette gælder både i forhold til matematikken som
videnskabsområde og i forhold til udnyttelsen af matematik til ekstra-matematiske
formål. Hvis vi ønsker at matematikundervisningen skal indfange denne matematikkens essens, i det mindste i en rimelig grad, følger det mere eller mindre umiddelbart
at matematisk problemløsning må indtage en prominent position i matematikundervisningen. Dette afspejles også i det faktum at matematikundervisningsmaterialer i
historiens løb altid har haft problemer og opgaver i bredere forstand som en central
ingrediens. Der har ligefrem været fremstillet et stort antal “lærebøger” som i realiteten har været rene opgavebøger.
Nu er det netop anførte argument knyttet til matematiske problemer, i den tidligere
definerede forstand, mens opgavediskursen jo ikke udelukkende er en problemdiskurs,
idet størstedelen, om ikke ligefrem alle, de opgaver der indgår i opgavediskursen, i
højere grad er øvelsesopgaver, altså færdigheds-, begrebsindøvelses- og rutineopgaver,
end problemopgaver. Men det skitserede essensargument går jo netop ikke på den
Artikler
MONA 2007 – 1
Opgavediskursen i matematikundervisningen
13
slags opgaver. Man kan med andre ord sige at essensargumentet for en problemdiskurs på indirekte og glidende vis omdannes – ved hjælp af inklusionen: “problem” er
blot et specialtilfælde af “opgave” – til en opgavediskurs som altså derved henter sin
legitimitet i essensargumentet.
I en radikal variant af essensargumentet (i problemdiskursudgaven) er systematisk
matematisk teori kommet til veje med henblik på at skabe et sammenhængende netværk af begreber og udsagn (matematiske sætninger) hvorved problemer kan stilles,
angribes og løses. Det står i kontrast til et syn der ser frembringelsen og udviklingen
af matematisk teori som det egentlige mål for matematisk virksomhed. Antagelig er
de fleste matematikere og matematikdidaktikere tilbøjelige til at anskue forholdet
mellem teoriopbygning og problembehandling som et komplementært og dialektisk
forhold. På den ene side har vi brug for teori for at løse problemer/svare på spørgsmål. På den anden side kan en mængde problemer kun formuleres – for slet ikke at
tale om løses – inden for en teoretisk ramme som de er indlejret i. I denne forståelse
er det meningsløst at opstille et modsætningsforhold mellem teoriopbygning og
problembehandling.
Selv hvis det forholdt sig sådan at matematikundervisningens formål i sidste instans var at udvikle elevers og studerendes kompetence i at behandle rene eller anvendte matematiske problemer, var det i princippet muligt at denne kompetence ville
opstå mere eller mindre direkte af et solidt kendskab til matematiske begreber, teorier,
resultater og metoder, erhvervet ved studiet af velorganiserede lærebogsfremstillinger
og demonstration af opgaver/problemer løst af andre. Imidlertid viser erfaring og
forskning til al overflod at sådan forholder det sig meget langtfra (se fx Schoenfeld,
1985, Silver, 1985, Ikeda & Stephens, 1998). Hvis vi ønsker at elever og studerende skal
blive i stand til at behandle matematiske problemer, er de nødt til at lære det, og vi
er nødt til at undervise dem i det.
Løsningen af matematikopgaver er et middel til at opnå noget andet, først
og fremmest begribelse af matematiske begreber, teorier og resultater
Antag at matematikundervisningens endemål var at udstyre dens modtagere med
viden om og indsigt i matematikkens teoretiske konstruktioner og bygningsværker
og disses resultater. Skønt man måske kunne tro at dette kunne opnås ved at studere
fremstillinger af disse konstruktioner og bygningsværker og deres resultater, viser
erfaring og forskning igen massivt at dette ikke er tilfældet (se fx Schoenfeld, 1985,
Silver, 1985, Dossey et al., 1988, Lithner, 2001). Der er da heller ikke megen matematikundervisning i verden der er tilrettelagt som et rent teoristudium, uden ledsagende
opgaveløsning. Skal elever og studerende nå frem til at begribe begreber, teorier og
resultater, herunder deres rækkevidde og begrænsninger, må de afprøve og undersøge
dem med “egne hænder” (og hoveder). Løsningen af forskellige slags opgaver er en
Artikler
14
Mogens Niss
MONA 2007 – 1
velprøvet og nyttig platform for sådanne egne afprøvninger og undersøgelser. Dertil
kommer at matematikkens vigtigste metode til at opnå sine resultater hviler på logiske
slutninger (hvortil jeg regner regelbaserede beregninger) som kombinerer det givne
med relevante definitioner og tidligere opnåede resultater. Løsningen af opgaver på
måder der kræver begrundelse af de påstande der fremsættes, er et fortrinligt middel
til at erhverve indsigt i de logisk-systematiske træk ved matematikkens teoretiske
bygningsværker.
Det forhold at arbejdet med matematikopgaver er et fortræffeligt middel til at udvikle forståelse af og indsigt i matematiske begreber, teorier og resultater, indebærer
at en elevs evne til at løse opgaver kan benyttes som en sonde ind i hans eller hendes
forståelse af matematik. En del matematiklærere og matematikdidaktikere vil gå så
langt som til at sige at en elevs matematikforståelse simpelthen konstitueres af den
pågældendes opgaveløsningsevne. På tilsvarende måde udgør løsningen af anvendelsesopgaver kernen i evnen til at bringe matematikken i spil i ekstra-matematiske
sammenhænge, selv om også andre aspekter er involveret heri.
På denne baggrund er det lidet overraskende at opgaveløsning er hovedinstrumentet for bedømmelsen af elevers og studerendes matematikbeherskelse, hvilket på sin
side forklarer at opgaveløsning indtager en nøglerolle i test og eksaminer overalt i
verden.
Summa summarum er det nærliggende at søge forklaringen på opgavediskursens
dominans i matematikundervisningen i de to ovenfor omtalte typer af argumenter,
som hver findes i mange varianter.
Hvilken rolle spiller opgavediskursen i
matematikdidaktisk forskning, og hvorfor?
I første tilnærmelse kan svaret på dette spørgsmål ses som en konsekvens af svarene
på det foregående spørgsmål. Lad os nemlig forudsætte at matematikundervisere og
-didaktikere i stor udstrækning er enige om at problemer, og dermed opgaver, har
karakter af en matematisk kernevirksomhed, og om at arbejdet med opgaver er et
fortrinligt middel til begribelse af matematikkens teoretiske aspekter, samt om at
opgavebehandling følgelig udgør en fortrinlig sonde ind i elevers og studerendes
matematikforståelse og -beherskelse. Så giver det næsten sig selv at en væsentlig del
af empirisk matematikdidaktisk forskning enten har de matematiklærendes opgaveløsning som udtrykkeligt forskningsfokus eller benytter opgaveløsning som et middel
til at søge svar på andre spørgsmål vedrørende fx begrebsdannelse, bevisforståelse
og bevisførelse, klasserumskommunikation, effekten af en given undervisningstilrettelæggelse mv. Behandlingen af opgaver benyttes ligeledes i forskningen til at
undersøge lærerstuderendes og praktiserende matematiklæreres matematikopfattelse og -kompetencer. Desuden er også store internationale, komparative projekter
Artikler
MONA 2007 – 1
Opgavediskursen i matematikundervisningen
15
som PISA (OECD, 2004) og TIMSS (Beaton et al., 1996) baseret på elevers løsning af
matematikopgaver af forskellig art.
Selv om det naturligvis ville være forkert at hævde at al empirisk matematikdidaktisk forskning involverer beskæftigelsen med matematikopgaver i en eller anden form,
indtager opgaveløsning ikke desto mindre en central rolle i forskningen. Ved siden af
de grunde til det som følger af diskussionen ovenfor, er der endnu en vigtig grund at
tage i betragtning. Det at basere empirisk forskning på elevers, studerendes eller læreres omgang med matematikopgaver gør det relativt let at opnå objektive resultater
i positivistisk forstand og at beskrive, specificere og dokumentere en undersøgelse og
at stå til regnskab for dens resultater, hvilket alt sammen gør opgaveløsningsbaseret
empirisk forskning til en tiltrækkende mulighed. Overforenklet sagt tilbyder opgaveløsningsbaserede studier en mulighed for at komme til at ligne studier af effekten
af medicinpræparater eller behandlingstiltag i farmakologi og medicin.
Som det vil fremgå af det næste og sidste afsnit, indebærer den fremtrædende plads
som opgaveløsningsbaseret empirisk forskning indtager, også væsentlige problemer,
ved at dette paradigme afstedkommer en potentiel begrænsning af de typer af matematiske kompetencer og matematisk indsigt som tages i betragtning i forskningen.
Afslutning
I størstedelen af denne artikel har vi betjent os af et bredt begreb om opgaveløsning,
rækkende fra – i den ene ende af spektret – de enkleste rutineopgaver fokuseret på
genkendelse eller indøvelse af enkeltstående velkendte begreber eller procedurer i en
forelagt ramme, øvelsesopgaver som næppe stiller krav om den studerendes begrundelse af fremgangsmåde eller resultat, til – i den anden ende af spektret – avancerede,
komplekse, udfordrende problemer som kræver nye, eller opfindsomme kombinationer af etablerede, metoder af den elev eller studerende for hvem problemet ikke
er bekendt, og som tillige stiller store krav til ræsonnement og retfærdiggørelse i
tilknytning til løsningen. Hvis vi – som det også er strejfet i det foregående – skelner
mellem forskellige slags opgaver, bliver diskussionen om opgavediskursen mangesi-
det og kompliceret. Empiriske studier af virkelighedens opgavediskurser peger på at i
store dele af matematikundervisningen er diskursen koncentreret i “øvelses-enden”
af spektret (Dossey et al., 1988) snarere end i den ende hvor de udfordrende problemer
befinder sig. Hvor det er tilfældet bidrager opgavediskursen til en trivialisering af matematikundervisningens praksis, og potentielt også af matematikdidaktisk forskning.
I sidste instans stiller det spørgsmålstegn ved værdien og relevansen af begge dele.
Med andre ord, der findes udgaver af opgavediskursen som får matematikundervisning og matematikdidaktisk forskning til at visne snarere end at trives.
Men selv hvis vi diskuterede inden for rammerne af en “optimal” opgavediskurs
der tog hensyn til en nøje afvejet blanding af forskellige typer af øvelse og udfor-
Artikler
16
Mogens Niss
MONA 2007 – 1
drende problemer og alle mulige relevante mellemformer med henblik på at forfølge
forskellige slags formål, herunder at erhverve forståelse af matematisk teori, og selv
hvis ikke kun opgavebesvarelse men også opgavestilling indgik i diskursen, ville der
stadig være væsentlige aspekter af matematikbeherskelse som ville blive ladt ude af
betragtning i undervisning eller forskning domineret af opgavediskursen.
Der er ikke plads til at gå i detaljer med en diskussion af dette spørgsmål her, men
det såkaldte “KOM-projekt” (Niss & Jensen, 2002) er et forsøg på at tilbyde en indgående og sammenfattende karakterisering af matematisk kompetence, dvs. matematikbeherskelse. Ved matematisk kompetence forstås evnen til på basis af indsigt at
handle hensigtsmæssigt i situationer der aktuelt eller potentielt rummer matematiske
udfordringer. Karakteriseringen sker ved udpegningen af otte matematiske kompetencer som tilsammen udspænder matematikkompetence. Det drejer sig om tankegangskompetence, problembehandlingskompetence (omfattende både formulering og
løsning af problemer), modelleringskompetence, ræsonnementskompetence, repræsentationskompetence, symbol- og formalismekompetence, kommunikationskompetence
samt hjælpemiddelkompetence. I tilgift til disse kompetencer rummer tilegnelsen af
matematik tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fag,
nemlig matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder, matematikkens historiske udvikling anskuet fra såvel interne som sociokulturelle synsvinkler
samt matematikkens karakter som disciplin set i kontrast til eller i lighed med andre
discipliner. I denne forståelse af matematikkens og matematikbeherskelsens essens
optræder problembehandling ganske vist som en væsentlig komponent, men altså
kun som én blandt (mange) flere komponenter.
Til konklusion på de fremførte betragtninger er det velbegrundet at tildele opgavediskursen en vigtig rolle i matematikundervisning og matematikdidaktisk forskning,
under forudsætning af at der er tale om den “rigtige” slags rige og velafvejede opgavediskurs. Imidlertid, selv hvis denne forudsætning var opfyldt, kan opgavediskursen
bestemt ikke være den eneste eller bare den fremherskende diskurs i undervisning og
forskning. Den må komplementeres og afbalanceres med andre centrale diskurser af
betydning for matematikbeherskelse og for udviklingen af overblik og dømmekraft
vedrørende matematikkens natur og rolle i historie, samfund og kultur, sådan som
fx KOM-rapporten tilbyder det.
Referencer
Beaton, A., Mullis, I., Martin, M.O., Gonzalez, E.J., Kelly, D.L. & Smith, T.A. (1996). Mathematics
Achievement in the Middle School Years. IEA’s Third International Mathematics and Science
Study. Chestnut Hill, MA: Boston College.
Artikler
MONA 2007 – 1
Opgavediskursen i matematikundervisningen
17
Dossey, J., Mullis, I., Lindquist, M. & Chambers, D. (1988). Mathematics Report Card. Are we
measuring up? Trends and achievements based on the 1986 National Assessment. Princeton,
NJ: Educational Testing Service.
Halmos, P. (1980). The heart of mathematics. American Mathematical Monthly, 87, s. 519-524.
Ikeda, T. & Stephens, M. (1998). The influence of problem format on students’ approaches to
mathematical modelling. I: P. Galbraith, W. Blum, G. Booker & I.D. Huntley (red.), Mathematical Modelling. Teaching and Assessment in a Technology-Rich World (s. 223-232). Chichester:
Ellis Horwood.
Katz, V. (1998). A History of Mathematics. An Introduction (2. udgave). Addison-Wesley.
Lithner, J. (2001). Undergraduate learning difficulties and mathematical reasoning: A literature
survey and project overview. Research reports in mathematics education. Umeå: Umeå University, Department of Mathematics
Mellin-Olsen, S. (1990). Oppgavediskursen. I: G. Nissen & J. Bjørneboe (red.), Matematikundervisning og Demokrati (s. 47-64). Roskilde: IMFUFA, Roskilde Universitetscenter.
Niss, M. (2001). Indledning. I: M. Niss (red.), Matematikken og Verden (s. 7-18). København:
Fremad.
Niss, M. & Jensen, T.H. (2002). Kompetencer og matematiklæring – Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18.
København: Undervisningsministeriet.
OECD. (2004). Learning from Tomorrow’s World. First Results from PISA 2003. Paris: OECD.
Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press
Silver, E. (red.) (1985). Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research
perspectives. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Udvalget til forberedelse af en handlingsplan for matematik i folkeskolen. (2006). Fremtidens
matematik i folkeskolen. København: Undervisningsministeriet. Lokaliseret 28.01.2007 på
www.uvm.dk/06/documents/mat.pdf.
Artikler
Preprint af kapitel til Håndbog for matematikvejledere, der er under udgivelse på Dansk Psykologisk Forlag,
redigeret af Michael Wahl og Peter Weng.
Udgivet i Liv i Skolen, november 12, Temanummer: Matematik i skolen.
13 Hvad er undersøgende matematikundervisning – og virker den?
Morten Blomhøj
Det nye buzzword til udvikling af matematikundervisning er inquiry. I dette kapitel
forklares begrebet, og de pædagogiske og politiske begrundelser for dets relevans
gennemgås. Det slås fast, at begrebet må bestemmes nærmere, og at anvendelse af
undersøgende arbejdsformer må underordnes klare mål for elevernes læring, hvis
sådanne arbejdsformer skal bidrage til udvikling af matematikundervisningens
praksis. De didaktiske muligheder og udfordringer ved undersøgende arbejde
illustreres med et eksempel og diskuteres generelt.
I det første afsnit af dette kapitel ser jeg på baggrund og begrundelser
for undersøgende matematikundervisning. Herefter giver jeg et konkret eksempel til
nærmere illustration af, hvad undersøgende matematikundervisning kan være på 5.6. klassetrin. Jeg præsenterer en ramme for karakterisering af opgaver og oplæg til
undersøgende arbejde, der kan bidrage til at underordne brugen af undersøgende
arbejdsformer mere overordnede mål for elevernes matematiklæring. I det sidste
afsnit giver jeg en nærmere karakteristik af undersøgende arbejde i matematik ved
at udpege, hvad jeg opfatter som central elev- og læreraktiviteter i en sådan
undervisning. Her giver jeg også en kort diskussion af generelle didaktiske
udfordringer ved integration af undersøgende arbejdsformer i
matematikundervisningens praksis.
Indledning
Inquiry Based Education (IBE) er inden for det seneste årti blevet en trend i den uddannelsespolitiske diskussion om matematik- og naturvidenskabsundervisning. Det er et vestligt fænomen,
men det er særligt markant i Europa. På dansk kan man i forhold til matematik bruge
1
termen ’undersøgende matematikundervisning’. Det kan løseligt defineres som undervisning, hvor
eleverne arbejder målrettet med at afgrænse og formulere problemer, gennemføre og kritisere
eksperimenter eller andre empiriske undersøgelser, opsøge information, konstruere modeller, danne
hypoteser, debattere med hinanden og læreren samt at udvikle og formidle sammenhørende faglige
argumenter. En sådan undervisningsform kan ses som modstykke til en fagligt formidlende
undervisning, der primært drives af lærebogen, og hvor læreren præsenterer eleverne for
matematiske begreber og metoder, forud for at de arbejder med øvelser og opgaver, der kan støtte
opbygning af viden og færdigheder i det pågældende emne.
Den formidlende undervisningsform er givet nødvendig for, at man som
matematiklærer inden for de givne rammer kan leve op til sine forpligtelser om at støtte opbygning
af elevernes faglige viden og deres tilegnelse af færdigheder i overensstemmelse med de gældende
regler og kravene til de afsluttende prøver. Det er næppe heller hensigtsmæssigt eller muligt
udelukkede at anvende undersøgende arbejdsformer i en matematikundervisning, der er
pensumstyret. Undersøgende tilgange giver imidlertid mulighed for, at eleverne kan få egne
oplevelser og erfaringer med det faglige indhold, de arbejder med. Herved kan deres
matematiklæring lettere blive en integreret del af deres personlige udvikling og dannelse. Samtidig
kan undersøgende arbejde være motiverende og give grundlag for større fordybelse i udvalgte
faglige problemstillinger.
Overordnet set kan man lidt banalt sige, at udvikling af matematikundervisningens
kvalitet drejer sig om at finde den rette balance og integration mellem undersøgende og formidlende
arbejdsformer. Med integration mener jeg her, at formidling af faglige pointer og træning af
færdigheder i passende omfang er motiveret gennem og er sat i sammenhæng og perspektiv gennem
målrettet undersøgende arbejde. Det er der måske ikke så meget nyt i at konstatere, men jeg mener
alligevel, det er værd at dykke lidt dybere ned i, hvad der nærmere karakteriserer undersøgende
arbejde i matematik, og de generelle pædagogiske begrundelser, der kan gives for undersøgende
matematikundervisning. Det gælder ikke mindst i en situation, hvor der er politisk pres for at
reformere matematikundervisningen i retning af IBE.
Begrundelser for undersøgende matematikundervisning
Som pædagogisk begreb kan en undersøgende tilgang til undervisning og læring føres tilbage til
den amerikanske uddannelsesfilosof John Dewey (1859-1952) og hans begreb om ’inquiry’. Dewey
understregede og dyrkede de fælles træk ved på den ene side problemløsning i hverdagssam-
2
menhænge, almindelig erfaringsdannelse og udviklingen af sund fornuft og på den anden side
løsning af problemer og udvikling af metoder i videnskabelige sammenhænge. Han så den
videnskabelige udvikling som en systematisering og raffinering af dagligdagsmetoder til problem
løsning, og ikke som en helt særlig erkendelsesform. Han identificerede grundlæggende metoder og
erkendelsesformer som ”experimental practice of knowing” (Dewey, 1929) og ”reflective inquiry”
(Dewey, 1933) som værende fælles for udvikling af viden uden for og inden for en videnskabelig
kontekst. Han anså ’reflective inquiry’ som nøglen til at ophæve adskillelsen mellem viden og
handling (’knowing and doing’) i forståelse af menneskelig virksomhed. På dette grundlag
udviklede Dewey en pædagogik, som han også til en vis grad realiserede som praksis i en særlig
forsøgsskole. Elevernes naturlige interesse for løsning af (i første omgang) praktiske og
umiddelbare problemer og deres erfaringer med løsning af sådanne problemer uden for skolen var
her udgangspunkt for udvikling af ’reflective inquiry’ som generel metode til løsning af problemer
og udvikling af viden. Kernen i denne metode er, at der er en drivende motivation til at løse et givet
problem eller at forstå en given situation, og løsningen eller erkendelse sker ved samspil mellem
handling og refleksion.
Overordnet kan Dewey’s filosofi opsummeres i følgende punkter:
Grundlæggende søger mennesket at forstå og beherske sin omverden gennem målrettet
undersøgende og problemløsende adfærd samt ved at udvikle og dele sin viden gennem
social interaktion.
Videnskabelig viden er udviklet kulturhistorisk gennem raffinering og kultivering af
menneskets grundlæggende erkendelsesinteresse.
Gyldig viden (sand viden) er viden, der har vist sig effektiv til forståelse af fænomener og
løsning af problemer (pragmatisme).
Uddannelse skal styrke og udvikle den enkelte elevs evne til at lære gennem undersøgelse
og refleksion. Eleverne skal opleve, at den viden, de udvikler, er nyttig og effektiv i deres
omverden.
Elevernes erfaringer og tidligere erhvervede viden anses som central for tilrettelæggelse af
undervisning og erhvervelse af ny viden.
Viden almengøres i undervisningen gennem fælles refleksion over fælles erfaringer.
3
Det overordnede mål er at uddanne eleverne til at tage aktiv og kritisk del i udviklingen af
demokratiske samfund.
Som det fremgår, er der altså pædagogisk set ikke noget nyt over at tilskrive undersøgende
arbejdsform en særlig værdi. Det er imidlertid heller ikke alene de generelle pædagogiske
begrundelser for undersøgende tilgange til undervisning tilbage fra Dewey’s arbejde, der har gjort
IBL/IBE (’Inquiry Based Learning/Education’) til et aktuelt og dominerende træk ved vestlig og i
særlig grad europæisk uddannelsespolitik de seneste år. Det er inden for matematik- og
naturvidenskabsuddannelse, at IBE er blevet fremhævet som et politisk imperativ. Denne udvikling
kan føres tilbage til en ekspertgruppe under EU, som i 2007 fastslog:
In recent years, many studies have highlighted an alarming decline in young people’s interest for key science
studies and mathematics. Despite the numerous projects and actions that are being implemented to reverse
this trend, the signs of improvement are still modest. Unless more effective action is taken, Europe’s longer
term capacity to innovate, and the quality of its research will also decline. Furthermore, among the
population in general, the acquisition of skills that are becoming essential in all walks of life, in a society
increasingly dependent on the use of knowledge, is also under increasing threat” (Rocard m.fl., 2007, s.5).
IBE i matematik- og naturvidenskab blev fremhævet som (et muligt) svar på denne generelle
uddannelsesmæssige udfordring. Efterfølgende har EU således søsat en lang række forsknings-,
udviklings- og spredningsprojekter om undersøgende undervisning i matematik og naturvidenskab.
Der er aktuelt ni igangværende eller nyligt afsluttede projekter, som støtter IBE og tilhørende
professionel udvikling for lærere inden for matematik og naturvidenskab. Det samlede budget for
disse projekter summer op til mere end 70 millioner euro. Projektbeskrivelser og undervisningsmaterialer udviklet i disse projekter kan findes via web portalen www.scientix.eu.
Begrundelserne for EU’s rammebevillinger inden for dette område og for de enkelte
projekter efterlader det klare indtryk, at udvikling af mere undersøgelsesbaserede undervisningsformer i matematik og naturvidenskab politisk opfattes som direkte forbundet med samfundsmæssige behov for uddannelse af kvalificeret arbejdskraft til støtte for fortsat teknologisk udvikling
og innovation, og at en sådan udvikling er afgørende for Europas muligheder for at klare sig i
konkurrence med andre regioner i fremtiden.
På nogle punkter minder retorikken omkring IBE i matematik og naturvidenskab om
det, man så i perioden omkring 1960 med det såkaldte ’sputnikchok’ og ’the new maths reform’.
Her blev rum- og våbenkapløbet mellem Vesten og USSR brugt som politisk løftestang og
begrundelse for reformering af matematikundervisning ud fra et ønske om en fagligt set
4
sammenhængende undervisning igennem hele uddannelsessystem. Det skabte grundlag for
indførelse af en strukturalistisk matematikundervisning, hvor bl.a. mængdelære blev introduceret i
de små klasser. Historien har efterfølgende vist, at der var alvorlige pædagogiske og didaktiske
problemer knyttet til en strukturalistisk matematikundervisning. I den aktuelle sammenhæng er det
således også på sin plads at overveje, hvordan det politiske ønske om reform af matematikundervisning i retning af IBE kan implementeres på en måde, der faktisk bidrager til at udvikle og
forbedre matematikundervisningens praksis. Der kunne således være en ikke forsvindende risiko
for, at undersøgende arbejdsformer implementeres politisk på måder, der forfejler det
læringsmæssige sigte, når der blot fokuseres på formerne for elevernes arbejde, uden at man
forholde sig til arbejdsformernes forbindelse til læringsmålene.
For at kunne imødegå sådanne effekter må det naturligvis diskuteres konkret, hvad der
kan forstås ved en undersøgende matematikundervisning, og hvordan en sådan undervisningsform
kan forbindes med eksisterende praksis. Det ser vi nærmere på i de følgende afsnit med et eksempel
fra den danske del af EU projektet PRIMAS, der netop har spredning af IBE som formål.
Den nærmere bestemmelse af IBE i relation til matematik må naturligvis også
inddrage eksisterende matematikdidaktiske teorier om undervisning og læring. IBE er blevet
importeret til matematikundervisning via naturvidenskabsundervisning. Det er oplagt, at der er
andre vilkår for og pointer ved undersøgende arbejde i de naturvidenskabelige fag, der naturligvis
også rummer store forskelle mellem de enkelte naturfaglige fag, end ved undersøgende arbejde i
matematik. Samtidig findes der i matematikkens didaktik veludviklede teorier, der har elevernes
selvstændige virksomhed som et centralt element. Det glæder fx teorien om didaktiske situationer
(TDS) (Brousseau, 1997; Winsløw, 2006, kap. 7) og Realistic Mathematics Education (RME) (Van
den Heuvel Panhuizen, 2003). Der findes teorier, der eksplicit behandler det dialogiske samspil
mellem lærer og elever i undersøgende arbejde (Alrø & Skovsmose, 2002). Undersøgende arbejde i
ikke-matematisk kontekst omfatter nødvendigvis matematisk modellering, og IBE i matematik har
derfor tæt forbindelse til matematisk modellering og må forstå i relation hertil (Blomhøj, 2006).
Inddragelse af IBE i matematik bør derfor i høj grad ske i lyset af eksisterende matematikdidaktiske
teorier. Udfordringen med at sætte IBE i matematik på begreb og i sammenhæng med sådanne
teorier lader sig imidlertid ikke løfte i dette kapitel, og jeg henviser til Artigue & Blomhøj (under
udarbejdelse) for en nærmere analyse heraf.
5
PRIMAS – et udviklings- og spredningsprojekt under EU
PRIMAS (Promoting Inquiry in Mathematics and Science Education Across Europe) er et af
ovenfor omtalte projekter til udvikling og spredning af undersøgende undervisningsformer i
matematik- og naturvidenskabsundervisning. Danmark deltager i PRIMAS, og projektgruppen
består af Morten Blomhøj (IMFUFA), Tinne Hoff Kjeldsen (NSM) og Martin Niss (Roskilde
Universitet).
Det overordnede mål med PRIMAS er at støtte lærere i matematik og naturfagene
med at (videre)udvikle en undersøgelsesbaseret (’inquiry-based’) undervisningskultur. Begrebet
inquiry-based er i PRIMAS bredt defineret og indbefatter det, der normalt forstås ved undersøgende
arbejdsformer, induktive forløb, projektarbejde og problembaseret læring. PRIMAS i Danmark
omfatter både grundskolen og de gymnasiale uddannelser. De specifikke mål i PRIMAS-DK er:
At promovere tilgange til matematik- og naturfagsundervisning, som er sjove, udfordrende
og relevante for eleverne.
At promovere udbredelsen af undersøgelsesbaseret læring i klasseværelserne i matematik og
naturfagene.
At stille ressourcer til rådighed for og koordinere efteruddannelse og faglig udvikling blandt
lærere i grundskolen, gymnasiet og læreruddannelsen.
At udvikle og arbejde med netværk af folkeskole-, gymnasie- og seminarielærere.
At analysere og forstå politiske tiltag, som har relation til undersøgelsesbaseret læring, og at
oplyse og arbejde med det politiske system med henblik på at forbedre praksis.
Som det er tilfældet med de øvrige EU projekter inden for IBE, kræver det en nærmere
bestemmelse af, hvilke mål for elevernes faglige læring og dannelse man ønsker at fremme gennem
anvendelse af undersøgende arbejdsformer. I PRIMAS-DK har vi udviklet og afholdt kurser for
grundskolelærere og gymnasielærere. Inden udgangen af 2013 har over 100 lærere gennemført et
kursus svarende til 7,5 ECTS. Kurserne har udvikling af deltagernes egen praksis som fokus. De
gennemføres som to internater, hvor deltagerne på det første internat får inspiration og støtte til at
udvikle, afprøve, observere og evaluere undersøgende undervisningsforløb i egne klasser. Det er en
central pointe, at lærerne som grundlag for design af deres undervisningsforløb afklarer såvel
målene for elevernes læring som deres eget udviklingssigte med forløbet. På det andet internat
fremlægges, diskuteres og videreudvikles lærernes forløb med henblik på kunne bruges af andre
lærere. Deltagerne i kurserne kommer fortrinsvis sammen to eller tre kollegaer fra samme skole.
6
Projektet løber over fire år (2010-2013) og trækker på ekspertise fra 14 institutioner fra 12
europæiske lande. Man kan læse mere om PRIMAS og finde undervisningsoplæg på projektets
hjemmeside: www.primas-project.eu.
I det følgende præsenteres og diskuteres et eksempel på et undervisningsforløb, der er
udviklet og afprøvet under et kursus inden for PRIMAS-DK. Kurset blev afholdt i samarbejde med
kompetencecentret i matematikdidaktik, KomMat.
Rebtrekanten – et eksempel på undersøgende matematikundervisning fra PRIMAS-DK
Undervisningsforløbet er designet til 5.-6. klasse med det sigte, at eleverne skal erkende
trekantuligheden som en generel egenskab ved trekanter. Inddelt i grupper med fire elever i hver
bliver klassen præsenteret for et reb, der er bundet sammen til en ring, og som har 12 knuder, der er
placeret med samme indbyrdes afstand. Hver gruppe får et reb, og læreren præsenterer opgaven for
klassen på denne måde:
Arbejdet skal foregå ude i skolegården. Hver gruppe skal lave så mange forskellige trekanter som muligt
med rebet. Men det er kun tilladt at lave trekanter, der har knuder i alle tre hjørner, og rebet skal være strakt
mellem knuderne. For hver trekant, I får lavet, skal I tegne trekanten på papir med længderne på siderne.
Hvor mange forskellige trekanter kan I lave?
Figur 13.1. Billede viser en gruppe af elever på 6. klassetrin, der har lavet en ligesidet trekant med kantlængden 4.
Tegningen viser gruppens gengivelse af en 3-4-5 trekant, som de også har lavet med rebet.
Ligesom gruppen på billedet i figur 13.1 finder de fleste grupper relativt hurtigt to af de tre mulige
trekanter, 4-4-4 og 3-4-5 trekanterne. Det kan dog godt volde nogle af grupperne problemer at få
lavet brugbare tegninger af de trekanter, de har frembragt med rebet. Af en eller anden grund er det
tilsyneladende sværere at finde 2-5-5 trekanten. Så godt som alle grupper forsætter imidlertid med
at forsøge at lave flere trekanter, og nogle grupper er meget insisterende i deres forsøg på at danne
en 2-4-6 eller en 3-3-6 trekant. Denne fase, hvor eleverne arbejder med at lave forskellige reb7
trekanter og tegne skitser af dem, kan tage 30-40 minutter. Rebet og hele situationen er designet
med henblik på, at klassen tilsammen har gode chancer for at finde alle tre mulige trekanter.
Efter undersøgelserne i skolegården samles eleverne igen i klassen for at formulere og
dele resultaterne af deres undersøgelser. Alle grupper kan forventes at kunne bidrage med deres
resultater og erfaringer angående mulighederne for at finde flere løsninger. Efterhånden kommer
alle tre muligheder på tavlen som trekanter tegnet med lineal. Læreren kan eventuelt vælge at
behandle principperne for geometrisk konstruktion af hver af de tre trekanter i situationen, eller det
kan udskydes til en senere lejlighed, hvor der så kan refereres til klassens erfaringer med
rebtrekanterne. Nogle grupper har netop oplevet problemer med at få tegnet en trekant på papir med
de rigtige mål.
I denne fase, hvor resultaterne af undersøgelserne formuleres og gøres fælles, kan
læreren vælge at indføre specifik notation (semitisk kode) til repræsentation af trekanter ved deres
sidelængder: (2-5-5; 3-4-5; og 4-4-4). En sådan notation er særdeles effektiv, når der skal
ræsonneres om, hvorvidt alle mulige løsninger er fundet. Nu er scenen så sat for at undersøge, om
der er andre mulige løsninger. Her kan forslag om en 2-4-6 eller en 3-3-6 trekant komme frem til
fælles drøftelse i klassen. Hvordan argumenterer man for umuligheden af en af disse trekanter? Her
kan rebet bruges igen, men nu i åben udgave. To elever kan strække rebet, så der er seks enheder
mellem de knuder de holder i, og således at der i de to ender er henholdsvis to og fire enhed af rebet
tilbage. To andre elever kan så tage hver sin ende og blive bedt om at få de to ender til at mødes.
Det bliver herved tydeligt for klassens elever, at det kun kan lade sig gøre, hvis enderne holdes
sammen, så de ligger på siden med længden 6. Der kan altså ikke komme nogen trekant ud af det!
Baseret på sådanne erfaringer kan klasse nu i dialog med læreren nå frem til, at
hverken en 2-4-6 eller en 3-3-6 trekant er mulig. Herefter kan læreren forsøge at skabe grundlag for
en generalisering af resultaterne gennem en mere målrettet dialog med klassen. Dialogen kan fx
forløbe således:
L:
Hvad ved I om alle de trekanter, vi kan lave med rebet?
E1:
Siderne lagt sammen skal give 12.
L:
Ja, netop. Men det er ikke nok, fordi 2+4+6=12, men den kan ikke lade sig gøre.
E2:
Den længste side må højest være 5.
L:
Godt forslag. Vi har ingen trekanter med sider på 6 eller derover.
L:
2-4-6 og 3-3-6 kunne ikke lade sig gøre. Kan der være andre med 6?
E3:
1-5-6, men den dur heller ikke – vel?
L:
Hvad siger I til det?
E4:
Nej, det er samme som før – de mødes på siden.
8
L:
Kan der være andre med 6?
E2:
4-2-6 er det samme som 2-4-6, så den har vi haft. Der er ikke flere med 6.
L:
Hvad med en med 7 som den længste side?
E4:
Nej, det blive dårligere – så kan enderne ikke mødes.
Læreren tegner en ’åben’ 2-3-7 trekant.
L:
Nej, det kan ikke lade sig gøre. Der er 5 tilbage til de to andre sider, og de kan ikke nå sammen,
hvis der 7 enheder mellem punkterne. Er I enige?
L:
Så skal vi se, om der er flere med 5 som længste side. Hvor mange enheder er der så tilbage til de
to andre sider?
E5:
7
L:
Og hvordan kan de fordeles på to sider?
E2:
2+5, og 3+4.
L:
Ja, det er dem, vi allerede har. Kan der være andre?
E2:
1+6, men den dur jo ikke, så der er ikke andre.
L:
Hvad med 4 som længste side, er der andre af dem?
E6:
Nej, der er da kun 4-4-4. Ellers vil en af siderne jo være længere.
L:
Det er super, så har vi tre mulige trekanter, og vi ved at der ikke er flere.
L:
Hvad nu hvis rebet havde haft flere knuder, kan vi lave en regel, der altid gælder?
Læreren tegner en trekant med sidelængderne angivet som a-b-c, hvor c er den længste side.
L:
Hvad kan vi sige om a og b sammenlignet med c?
E3.
De er mindre.
L:
Ja, og hvad mere kan vi sige?
E2:
a+b er større end c.
L:
Ja, ellers kan de ikke mødes. Så nu ved vi, at for alle trekanter a-b-c gælder, at a+b>c!
Eksemplet illustrerer flere centrale træk ved undersøgende matematikundervisning. For det første er
det tydeligt, at det kræver en detaljeret tilrettelæggelse og iscenesættelse af elevernes undersøgende
virksomhed, hvis elevernes erfaringer og resultater skal kunne bruges som grundlag for opbygning
af en bestemt faglig pointe/indsigt i klassen. Eksemplet viser også betydningen og nødvendigheden
af lærerens udfordrende dialog med klassen. Læreren trækker her meget bevidst på elevernes
erfaringer fra det undersøgende arbejde. De refleksive elementer i elevernes virksomhed kommer
typisk ikke frem af sig selv, selv om de er blevet optaget af en undersøgelse og motiveret for løse
problemet. De skal udfordres og hjælpes på vej af læreren.
Introduktion af repræsentationen for en trekant ved dens sidelængder og lærerens
fastholdelse af den systematiske undersøgelse af alle muligheder er tilsyneladende væsentlige
9
forudsætninger for, at eleverne kan følge og selv foretage de nødvendige refleksioner. Det er
endelig en pointe med eksemplet, at det er læreren, der påtager sig ansvaret for at formulere den
tilsigtede faglige pointe og få den forbundet til elevernes undersøgelser og tilhørende refleksioner.
En undersøgende tilgang til matematikundervisning fritager altså ikke læreren for at formidle de
centrale faglige pointer, men kræver tværtimod, at læreren sikrer forbindelsen mellem pointerne og
den undersøgende virksomhed. Det er også typisk for en undersøgende tilgang, at den tilsigtede
faglige indsigt ikke følger automatisk af resultaterne af elevernes arbejde. Målet er, at eleverne
indser trekantuligheden som en generel egenskab ved trekanter, men deres undersøgelser viser blot,
at det er muligt at lave netop tre forskellige trekanter med rebet. Generaliseringen kræver lærerens
formidlende mellemkomst.
Forskellige former for undersøgende virksomhed i matematikundervisning
Anvendelse af undersøgende arbejdsformer i matematikundervisning kan antage mange forskellige
former og tjene forskellige læringsmål. I PRIMAS-DK arbejder vi med et mulighedsområde for
undersøgende arbejde, der er udspændt af tre dimensioner. Den første dimension angår graden af
problemorientering i oplægget til eleverne. Er der ét problem (evt. opstillet af eleverne), som er
styrende for det undersøgende arbejde? Eller er der i højere grad tale om et system af sammenhørende opgaver, hvor resultaterne efterfølgende kan organiseres matematisk (som i Taxi-geometri,
Blomhøj (1991)), eller er der et tema som ramme for elevernes undersøgende arbejde (som i
Matematikmorgener, Blomhøj & Skånstrøm (2006))? Den anden dimension angår graden af
anvendelsesorientering i det undersøgende arbejde. Er undersøgelsen af intern matematisk karakter
(som det er tilfældet med rebtrekanten), eller angår den anvendelse af matematik på en
problemstilling eller situation af ekstra matematisk karakter – altså matematisk modellering (som
ved skorstensproblemet, se nedenfor eller ’10=44’, Blomhøj & Højgaard (2007)? Den sidste
dimension angår graden af frihed i elevernes virksomhed. Er der givet en bestemt situation, som
eleverne skal forholde sig til, eller kan de selv formulere eller afgrænse problemet, er det muligt at
anvende flere forskellige metoder, er der flere gyldige svar, og flere måder at formidle dem på?
10
Figur 13.2. Et tredimensionelt rum for opgaver og forløb til undersøgende arbejde. Forskellige placeringer i rummet er
illustreret med henvisninger til forløb fra litteraturen eller forløb udviklet i PRIMAS-DK.
Der er ingen eksempler i nærheden af hjørnerne 1 og 3. Det skyldes, at der ikke er grundlag for
selvstændig målrettet undersøgende elevvirksomhed, hvis der ikke er et problem, som eleverne kan
forholde sig undersøgende til, og hvis der heller ikke er frihedsgrader i situationen til, at eleverne
kan formulere og undersøge egne spørgsmål.
Temaet cykelmatematik er klassisk i matematikundervisningen på mellemtrinnet. Her
er det brugt som eksempel på et tematisk forløb, der kun i mindre er anvendelsesorienteret, men
som rummer nogle frihedsgrader for elevernes undersøgende virksomhed. I PRIMAS-DK er der
udviklet og afprøvet flere sådanne forløb. Iscenesættelsen har vist sig afgørende for at få engageret
eleverne i relevante undersøgende aktiviteter i forhold til temaet cykler. Klassen kan fx præsenteres
for en samling af meget forskellige cykler, og der kan laves fælles brainstorm over, hvilke forhold
omkring cykler man kan undersøge ved hjælp af matematik. Læreren kan her styre i retning af mere
specifikke spørgsmål som fx: Hvordan måler man størrelsen af en cykel, og hvor langt kører de
enkelte cykler på en pedalomgang? Og kan man beregne denne længde, eller er måling nødvendig?
Forløb af denne type rummer muligheder for differentiering mellem forskellige grupper af elever,
samtidig med at alle grupper kan bidrage til den fælles undersøgelse.
Skorstensproblemet, der er udviklet og gennemført som led i PRIMAS-DK, er anført
som eksempel på hjørne nummer 8 i figur 2. Det er et klart eksempel på en autentisk
modelleringsproblemstilling med mange frihedsgrader for elevernes arbejde. Udgangspunktet var,
at der for nyligt var blevet opstillet en 51 meter høj skorsten ved en fabrik i nærheden af skolen (se
11
figur 13.3). Skorstenen blev kørt gennem byen i ét stykke. Der var vidner blandt eleverne, og
spørgsmålet til eleverne var: Hvordan kunne det lade sig gøre, og hvor meget længere kunne
skorstenen have været, hvis den skulle køres samme vej? Som det ses af figur 3, gav spørgsmålet
anledning til mange spændende undersøgelser.
Figur 13.3. Foto 1 viser skorstenen set fra skolen. Foto 2 og 3 viser nogle af de undersøgelser, eleverne gennemførte
for at svare på spørgsmålet.
Graden af autenticitet i problemstillingen, de anvendte metoder og data samt brugen af resultaterne
indgår ikke i karakteriseringen af undersøgende arbejde i figur 13.2., men det er oplagt en relevant
dimension at tage i betragtning ved vurdering af den dannelsesmæssige værdi af undersøgende
arbejde i matematik. Det er en selvstændig pointe ved undersøgende arbejde, hvis det kan bidrage
til at forankre skolens matematikundervisning i verden uden for skolen. Det er netop en af pointerne
fra Deweys uddannelsesfilosofi. Skorstensproblemet repræsenterer en høj grad af autenticitet, hvad
angår selve problemstillingen, og det er givetvis af betydning for elevernes motivation for at arbejde
med problemet, og for deres oplevelse af, at matematik har noget væsentligt at tilbyde til forståelse
af verden.
Det er oplagt, at undersøgende arbejdsformer er absolut nødvendige, hvis man ønsker
at udvikle elevernes tankegangs-, problemløsnings-, modellerings- og ræsonnementskompetence
(Niss & Højgaard Jensen, 2002). Men det skal understreges, at de generelle pædagogiske
begrundelser for en undersøgende tilgang til matematikundervisning også er gyldige i situationer,
hvor læringssigtet er af snævrere faglig karakter. Eksemplet med trekantuligheden illustrerer netop
dette forhold. Her er det et rent internt fagligt spørgsmål, der danner udgangspunkt for elevernes
undersøgende arbejde. Den undersøgende tilgang giver mulighed for faglig fordybelse i fx
repræsentationer og ræsonnementer og kan herved bidrage til elevernes kompetenceudvikling og til
12
deres dannelse. Eleverne oplever, at det er muligt at komme til endelig klarhed over et matematisk
spørgsmål gennem konkrete praktiske undersøgelser og refleksioner.
Afrunding
Den helt afgørende forudsætning for en vellykket anvendelse af undersøgende arbejde i matematikundervisning er, at det indgår i forløb med klare læringsmål, og at de undersøgende aktiviteter
iscenesættes over for eleverne, så de fremstår som målrettede og motiverende. Det skal være noget
bestemt, der skal undersøges. Undersøgelsesprocessen er vigtig, men hvis den ikke har et klart
formål, mister den sin læringsmæssige værdi. Undersøgende matematikundervisning giver
mulighed for, at eleverne kan blive fagligt aktive på måder, som det er vanskeligt at fremme i en
mere formidlende klasseundervisning. Følgende elevaktiviteter kan fremhæves som karakteristisk
for undersøgende arbejde: Eleverne
formulerer faglige spørgsmål
opsøger information
tæller og måler
observerer systematisk
eksperimenterer
forsimpler og strukturerer
klassificerer
udvikler definitioner
kvantificerer og beregner (med overslag)
anvender symboler herunder variable
benytter algebra
forudsiger
ræsonnerer og beviser
visualiserer
danner og afprøver hypoteser
fortolker og vurderer resultater
udviser kreativitet
kommunikerer og formidler (via media)
13
Tilsvarende er der en række læreraktiviteter, der er centrale i en undersøgende matematikundervisning. Her må læreren i særlig grad sætte scenen for elevernes undersøgende aktiviteter. Han/hun
skal:
inspirere til undersøgende holdning og tilgange til matematik (og verden)
formidle og fællesgøre læringsmål
bygge på og udbygge elevernes erfaringer
støtte elevernes ejerskab til problemer og forløb (projekter)
skabe rum for dialogisk samspil i klassen og med grupper af elever
opmuntre til spørgsmål og refleksion
stille åbne og nysgerrige spørgsmål til elevernes arbejde
bemærke og påskønne elevers faglige ideer og ræsonnementer
værdsætte forsøg og fejl som grundlag for læring
fremme samarbejde og dialog mellem eleverne
udpege og almengøre centrale begreber, faglige pointer og metoder
evaluere elevernes faglige læring og formidle resultatet heraf
evaluere, reflektere over og udvikle egen praksis
Det er ikke lettere, men snarere sværere, at bedrive undersøgende matematikundervisning
sammenlignet med mere formidlende undervisning. Til gengæld kan det være betydeligt mere
givende for eleverne og interessant for læreren. Det viser bl.a. erfaringer fra PRIMAS-DK.
Samtidig har erfaringerne fra de mange forløb med undersøgende matematikundervisning udpeget
nogle generelle didaktiske udfordringer, som er knyttet til undersøgende arbejde i matematik. Det
gælder:
Iscenesættelse af elevernes undersøgende virksomhed. Det er en vigtig fase, og det kræver
typisk, at læreren udnytter nye virkemidler i formidlingen.
Klargøring og formidling af målene for elevernes læring ved undersøgende arbejde.
Klasserumsledelse og styring af elevernes ’koncentrationsrytme’ i undersøgende arbejde.
Støtte til elevernes undersøgende arbejde gennem rammerne og den løbende dialog.
Støtte til opbygning af en fælles faglig viden i klassen på grundlag af undersøgende
virksomhed. Hvilke faglige pointer kan formidles til klassen på grundlag af forløbet, og
hvordan kan de almengøres? Og hvilken fortsat læring peger de frem mod?
14
Hvordan vurderes og bedømmes elevernes læring i undersøgende arbejde?
Hvilken fagdidaktisk viden kan udvikles (om disse udfordringer), og hvordan kan en sådan
viden udnyttes til udvikling af matematikundervisningens praksis?
Disse udfordringer må belyses gennem fortsat udviklingsarbejde og refleksion og gennem samspil
med matematikdidaktisk forskning i undersøgende matematikundervisning.
Litteratur
Alrø, H. & O. Skovsmose (2002). Dialogue and learning in mathematics education: Intention,
reflection, critique. Dordrecht: Kluwer.
Artigue, M. & Blomhøj, M. (ikke publiceret). “Conceptualising inquiry based education in
mathematics”. Under forberedelse til publicering i ZDM – The International Journal on
Mathematics Education i 2013.
Barrow, L. H. (2006). A brief history of inquiry: From Dewey to standards. Journal of Science
Teacher Education 17, s. 265-278.
Blomhøj, M. (1991). Samspil mellem teori og praksis i matematikkens didaktik – et
udviklingsarbejde i geometri. Tekst MI 37. København: Matematisk Institut, DLH.
Blomhøj, M. (2006). Mod en didaktisk teori for matematisk modellering. I: O. Skovsmose & M.
Blomhøj (red.), Kunne det tænkes? – om matematik-læring. Albertslund: Forlag Maling
Beck, kap. 5.
Blomhøj, M. & Jensen, T.H. (2011). ”Hvad er menningen? Didaktisk klasseledelse via form eller
mål”. I: M.-C. S. Schmidt, Klasseledelse og fag – at skabe klassekultur gennem
fagdidaktiske valg. Frederikshavn: Dafolo, s. 143-164.
Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2007). “What’s all the fuss about competences? Experiences with
using a competence perspective on mathematics education to develop the teaching of
mathematical modelling”. I: W. Blum (red.), Modelling and applications in mathematics
education. The 14th ICMI-study (s. 45–56). New York, NY: Springer-Verlag.
Blomhøj, M. & Skånstrøm, M. (2006). ”Matematik Morgener – matematisk modellering i praksis”.
I O. Skovsmose & M. Blomhøj (red.), Kunne det tænkes? – om matematik-læring.
Albertslund: Forlag Maling Beck, kap.1.
15
Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, Kluwer.
Dewey, J. (1929). The quest for certainty. New York, NY: Minton, Balch & Co.
Dewey, J. (1933). How we think: A restatement of the relation of reflective thinking to the educative
process. Boston, MA: Heath.
Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til
udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie 18.
Rocard M, Csermely P., Jorde D., Lenzen D., Walberg-Henriksson H. & Hemmo V. (2007).
L’enseignement scientifique aujourd’hui : une pédagogie renouvelée pour l’avenir de
l’Europe. Commission Européenne, Direction générale de la recherche, Science, économie
et société.
Van den Heuvel Panhuizen (2003). The didactical use of models in realistic mathematics education:
An example from a longitudinal trajectory on percentage. Educational Studies in
Mathematics, 54, s. 9-35.
Winsløw, C. (2006): Didaktiske elementer – en indføring i matematikkens og naturfagenes didaktik.
København: Biofolia.
Internetadresser
www.primas-project.eu
www.scentix.eu
16
19
Matematik for lærere – i-bog. Arbejdskort F4. København. Gyldendal
F4
Friser
Hensigten med dette arbejdskort er, at I
får fortrolighed med, at der rent faktisk er matematiske bindinger i en frise ved at undersøge
og producere nogle friser
opnår fortrolighed med at argumentere - gerne på flere måder - for, at der er netop 7
forskellige frisegrupper.
Analysér de følgende friser og find ud af, hvilke flytninger, der fører hver enkelt frise over i
sig selv.
Det kan være en god idé at bruge gennemsigtigt papir til at tjekke dine kvalificerede gæt.
Find parallelforskydningsvektoren i hver frise.
Find spejlingsakser og drejningscentre.
Find glidespejlingsvektor.
Figur 1
Figur 2
Figur 3
F
Flytningsgeometri
20
Figur 4
Figur 5
Figur 6
Figur 7
F
Flytningsgeometri
21
Figur 8
Figur 9
Figur 10
Figur 11
Frisemønster fra Den anglikanske kirke i Rom
F
Flytningsgeometri
22
Mexicanske keramikmønstre
Figur 12. Syv frisemønstre fra mexicansk keramik
F
Flytningsgeometri
23
Hvor mange forskellige flytninger mon I fandt i arbejdet med de mange friser? I kapitlet bevises
det, at der er 5 forskellige typer af flytninger, der kan være i spil i friser, nemlig:
1.
2.
3.
4.
5.
parallelforskydning (som alle friser jo har),
spejling i en vandret akse
spejling i en lodret akse
drejning på 180o
glidespejling.
Argumentér for - ud fra de erfaringer, I har gjort med friserne her - hvorfor det netop er de 5
nævnte flytninger, der kan komme på tale. Hvorfor er der fx kun mulighed for 180 graders
drejninger og hvorfor er der kun lodrette og vandrette spejlingsakser?
Argumentér for, at der er netop 7 frisegrupper.
Der findes altså fem forskellige flytninger, der kan føre en frise over i sig selv. Men hvordan
kan I argumentere for, at de kan kombineres til netop 7 frisegrupper? Man skulle vel tro, der
var mange flere?
Nedenfor vises en systematisk måde at undersøge en frise på. Alle friser har jo
parallelforskydning, så det, en frise skal undersøges for, er hver af de andre 4 flytninger.
Først spørgsmål: Har frisen op/ned symmetri? Hvis svaret er ja - gå til venstre (den røde
vej). Hvis svaret er nej – gå til højre (den blå vej).
På tilsvarende måde fortsættes videre ned igennem valgtræet. Som det ses af figuren er der
16 forskellige ruter gennem valgtræet. Det betyder, at der umiddelbart synes at være 16
forskellige frisesymmetrikombinationer. Men som tidligere påstået kan kun 7 af disse
faktisk forekomme.
Forklar hvilke 9 veje gennem træet, der er ”forbudte” og hvilke 7, der er tilladte. I kapitlet er
givet de matematiske bindinger, du skal bruge for at komme ”helskindet” igennem.
Frisesymmetrikombinationer
Op/ned symmetri ?
nej
ja
Højre/venstre symmetri ?
Glidespejlingssymmetri ?
Drejningssymmetri ?
1
2
3 4
5 6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
F
Flytningsgeometri
24
Fremstil friser af hver af de 7 typer, gerne i et dynamisk geometriprogram. I bestemmer selv,
hvordan jeres grundmotiv skal se ud.
I forberedelsesmaterialet til lærereksamen august 2005 er beskrevet en anden argumentation for, at
der findes netop 7 frisegrupper. Denne argumentation tager udgangspunkt i den symmetri, der er i
grundmotivet i frisen. Her bruges bogstaverne F E S T H.
GF
F
S
E
H
T
GT
De 5 bogstaver repræsenterer de 5 muligheder for flytninger i selve grundmotivet. Ved bagefter at
anvende henholdsvis parallelforskydning og glidespejling på hvert af bogstaverne skulle man
forvente, at der var 10 forskellige friser. Men det viser sig, at nogle af dem er ens. Der bliver –
heldigvis – netop 7 forskellige frisegrupper.
Beskriv symmetrigruppen for hvert af de 5 bogstaver.
Beskriv frisegruppen for hver af de 5 friser, I får, når I bruger parallelforskydning på de fem
bogstaver.
Beskriv frisegruppen for hvert af bogstaverne F og T, når I bruger glidespejling på dem.
Hvorfor giver det ikke en ny frisegruppe, når I glidespejler E og H?
Vis, at når I glidespejler S får I en frise med samme frisegruppe som når I glidespejler T. I
kan fx lave en transparent af de to friser. Markér drejningspunkterne og spejlingsakserne.
F
Flytningsgeometri
25
Navngivning af friser
Der findes en række forskellige måder at betegne friser på. Matematikeren John Conway har
opfundet to. Den ene er meget original og tager udgangspunkt i bevægelse. Navnene er forsøgt
oversat til dansk herunder, men det har nok ikke den samme slagkraft som de engelske ord.
STEP
skridt
HOP
hink
SPINHOP
snurrehink
JUMP
hop
SPINJUMP
snurrehop
SIDLE
sidehop
SPINSIDLE
snurresidehop
Refleksion:
I dette arbejdskort har du først arbejdet undersøgende med friserne og derefter systematiseret og
ræsonneret for at vise, at der er netop 7 frisegrupper.
o Overvej betydningen af, at du har arbejdet undersøgende og eksperimenterende først for
derefter at systematisere og ræsonnere.
Hvad fik dig rent faktisk til at begribe, hvad der karakteriserer frisernes symmetrier?
o Overvej, hvilken betydning det har for eleverne i skolen i deres arbejde med matematik at
få mulighed for at have en undersøgende, eksperimenterende tilgang, kombineret med at
systematisere og ræsonnere.
F
Flytningsgeometri
ABACUS 3. kl. - Mod nye udfordringer – Basisbog Uddrag
Faktor i anden elevbog B
Uden ord - næsten
Af Viggo Hartz
Beviser er hovedhjørnestenene i matematikkens bygningsværk. Derfor er de selvfølgelig også undervisningsstof i skolen. Vi ved
også som undervisere at det for nogle elever
er svært stof. Måske er det sværeste at indse
karakteren af begrebet beviser. Vi hører elever erklære at de ikke kan se det. Måske var
det en ide at præsentere beviser hvor det virkelig handler om at se.
Så se lidt på de følgende eksempler:
© Matematik - Nr. 1 - 2004
Uddrag af Kolorit 5, 1. udgave, 4. oplag
Gyldendal 2011
Fra Matematik 7.-10. klasse – Et digitalt
undervisningsmateriale | Tema/ Simulering i regneark
De regneark, der er omtalt i teksten nedenfor, er tilgængelige til både
Excel, OpenOffice og Google Sheets i forberedelsesmaterialet
FORSIDE
FORLØB
FAKTA
FÆRDIGHEDER
BIBLIOTEK
PRØVEN
LÆRER
Tal og enheder
Plangeometri
Funktioner og
sammenhænge
Brøker og procent
Konstruktioner
Faglig læsning
Resurser
Tema: Simulering i regneark
indeholder en række faneblade med de regneark, som I skal bruge til at løse
opgaverne i temaet.
Når I skal simulere et nyt kast, så skal I hver gang trykke på F9, og der vil
fremkomme en ny serie.
Algebra og ligninger
Plat og krone
Rumgeometri
Åben regnearket `Plat og krone´.
Sandsynlighed og
kombinatorik
På regnearket er der simuleret 60 kast med en mønt. I de gule
Tema: Simulering i regneark
II. Tre forskellige typer
sandsynlighed
Økonomi og vækst
Matematisk
modellering
Simulering
Til opgaverne i dette tema skal I bruge regnearket `Simulering´. Regnearket
Statistik og
sandsynlighed
I. Sandsynlighed og
tællemodeller
VÆRKTØJER
felter er det talt op, hvor mange plat og hvor mange gange
krone der er ud af det samlede antal kast.
Der er ligeledes et grafisk billede, der viser fordelingen af plat
og krone.
A. Hvor mange gange skal I trykke på F9, før der er lige mange
plat og krone?
B. Gentag et par gange for at finde ud af, om det er det
samme antal gange, I skal trykke på F9 for at få lige mange
plat og krone.
Åben fanen `Spil´ i regnearket.
To spillere spiller plat og krone. En spiller får point, når
vedkommende får plat. Hvis begge spillere får plat, får begge
point. I kan evt. spille mod hinanden.
C. Spil et antal serier fx 10 kast, og afgør, hvem der vinder
serien. Gentag spillet tre gange.
D. Udvid spillet til at være kast med to mønter. Kopier celle B5
og indsæt i cellerne B6 og i E6.
E. Spil spillet. Der gives point til en spiller, når begge kast viser
plat. Spil spillet 10 gange og afgør, hvilken spiller, der vinder
spillet.
F. Design og beskriv et spil. I kan ved at kopiere en celle
udvide spillet til flere mønter. Beskriv reglerne for at vinde.
Terningekast
Åbn regnearket `Terningekast´.
Der er simuleret 6 kast med en terning. Øjentallene er vist i
cellerne. I kolonne I er hyppigheden af udfaldene optalt.
Hyppigheden er også vist med et grafisk billede.
De omtalte regneark
findes som bilag i
wiseflow.
Se i arkenes
faneblade for de
forskellige
simuleringer
A. Forestil dig, at du kaster 60 gange med en terning. Skriv,
hvor mange 1’ere, 2’ere osv. du forventer ud af 60 kast.
B. Simuler 60 terningekast ved at markere cellerne A4 til F4.
Kopier derefter cellerne til det lyseblå område.
C. Sammenlign hyppigheden af øjentallene med det du
forventede. Tryk på F9 er antal gange og observer, hvordan
det grafiske billede skifter. Beskriv det grafiske billede.
D. Marker og kopier cellerne. Indsæt derefter i det mellemblå
område.
E. Tryk på F9 og simuler nye kast. Observer udviklingen i
hyppigheden og sammenlign igen med dine forventninger.
F. Kopier og indsæt i det mørkeblå område. Beskriv det
grafiske billede.
G. Det påstås ofte, at det er sværest at slå 6’ere. Hvad viser din
simulering om denne påstand?
Gyldendal - Klareboderne 5 - 1001 København K - tlf. 33 75 55 60
Support
Fra hjælpedokumenter til LibreOffice/OpenOffice
MAKSV
Returnerer den maksimale værdi i en liste af argumenter. I modsætning til MAKS, kan du her indtaste tekst.
Værdien af teksten er 0.
Funktionerne MINV() og MAKSV() returnerer 0, hvis ingen værdi (numerisk eller tekst) og ingen fejl blev
fundet.
Syntaks
MAKSV(Værdi1; Værdi2; ... Værdi30)
Værdi1; Værdi2;...Værdi30 er værdier eller områder. Tekst har værdien 0.
Eksempel
=MAKSV(A1; A2; A3; 50; 100; 200; "Tekst")
=MAKSV(A1:B100)
returnerer den største værdi fra listen.
returnerer den største værdi fra listen.
MAKS
Returnerer den største værdi på en liste med argumenter.
Returnerer 0 hvis ingen numerisk værdi og ingen fejl blev konstateret i de celleområder, der blev overført
som cellereferencer. Tekstceller ignoreres med MIN() og MAKS(). Funktionerne MINV() og MAKSV
returnerer 0, hvis ingen værdi (numerisk eller tekst) og ingen fejl blev konstateret. Overførsel af en
tekststreng til MIN() eller MAKS(), for eksempel MIN("streng"), returneres fortsat ingen fejl.
Syntaks
MAKS(Tal1; Tal2; ...Tal30)
Tal1; Tal2;...Tal30 er numeriske værdier eller områder.
Eksempel
=MAKS(A1; A2; A3; 50; 100; 200)
=MAKS(A1:B100)
returnerer den største værdi fra listen.
returnerer den største værdi fra listen.
MIDDELV
Returnerer gennemsnittet af argumenterne. Værdien af en tekst er 0.
Syntaks
MIDDELV(Værdi1; Værdi2; ... Værdi30)
Fra hjælpedokumenter til Microsoft Excel
Søg
MAKS, funktionen
I denne artikel beskrives formelsyntaksen for og brugen af funktionenMAKS i Microsoft Excel.
Beskrivelse
Returnerer den største værdi i et sæt af værdier.
Syntaks
MAKS(tal1, [tal2], ...)
Syntaksen for funktionen MAKS har følgende argument:
Tal1; tal2; ...
Tal1 er påkrævet, og efterfølgende tal er valgfrie. 1-255, som du vil finde den største værdi for.
Bemærk!
Argumenter kan enten være tal eller navne, matrixer eller referencer, der indeholder tal.
Logiske værdier og tekstgengivelser af tal, der indtastes direkte på listen med argumenter, tælles.
Hvis et argument er en matrix eller en reference, anvendes kun tal fra den pågældende matrix eller reference.
Tomme celler, logiske værdier eller tekst i matrixen eller referencen ignoreres.
Hvis argumenterne ikke indeholder tal, returnerer MAKS 0 (nul).
Argumenter, der er fejlværdier, eller tekst, der ikke kan oversættes til tal, forårsager fejl.
Hvis du vil medtage logiske værdier og tekstgengivelser af tal i en reference som et led i beregningen, skal du
bruge funktionen MAKSV.
Eksempel
I den integrerede projektmappe nedenfor kan du se eksempler på denne funktion. Du kan undersøge og ændre
eksisterende formler eller angive dine egne formler for at lære, hvordan funktionen fungerer.
Kopiér eksempeldataene i følgende tabel, og sæt dem ind i celle A1 i et nyt Excel-regneark. For at få formlerne til at
vise resultater skal du markere dem, trykke på F2 og derefter trykke på Enter. Hvis der er brug for det, kan du
justere bredden på kolonnerne, så du kan se alle dataene.
Data
10
7
9
27
2
Formel
Beskrivelse
Resultat
=MAKS(A2:A6)
Største værdi i området A2:A6
27
=MAKS(A2:A6; 30)
Største værdi i området A2:A6 og værdien 30
30
Hvis du vil arbejde mere i dybden med eksempeldataene i Excel, kan du hente den integrerede projektmappe til
computeren og åbne den i Excel.
It-forberedelse
Tendenslinjer i regneark
Se de første 3 minutter af følgende film: https://www.youtube.com/watch?v=6YzwYwzaUsI
(Lokaliseret 29/4 2015)
Benytter du en anden type regneark, bør du selv kunne finde de lignende funktionaliteter.
Geogebra regressionsanalyse
https://sites.google.com/site/regressionsanalyse/ (Lokaliseret 29/4 2015)