Stigeproblemet
af: Bjørn Felsager
Alderstrin: Gymnasiet – 1.g
Emne: Matematik
Tidsforbrug: 30-45 minutter
Aktivitetsoversigt
En af kerneydelserne i et computeralgebrasystem er den symbolske ligningsløsning.
I denne aktivitet vil vi dels se på hvordan man kan opstille et ligningssystem ud fra en simpel geometrisk
modellering af et problem, dels illustrere nogle af de mange muligheder man har for at arbejde med
ligninger i TI-Nspire CAS.
Forudsætninger
Elementært kendskab til geometri, herunder ligedannede trekanter og pythagoras sætning for retvinklede
trekanter.
Elementært kendskab til ligningsløsning, herunder løsning af andengradsligninger, samt sammenhængen
mellem ligningsløsning og faktorisering.
Elementært kendskab til Noter–applikationen, herunder indskrivning og udregning (evaluering)af udtryk.
Elementært kendskab til Grafregner-applikationen herunder brugen af solve-kommandoen.
Lærerens forberedelse
Denne aktivitet kan passende introduceres via en diskussion med klassen om hvad de ved om ligninger,
herunder om antallet af løsninger til forskellige slags ligninger: Ligninger af anden grad, tredje grad osv.
Tilsvarende kan man snakke med klassen om hvilke ligninger de kender i forbindelse med trekanter,
herunder ligningen for ensartede forhold i ensvinklede (ligedannede) trekanter og pythagoras sætning for
den retvinklede trekant.
Tip til styring af klassens arbejde
Klassen bør arbejde parvis eller i små grupper, hvor eleverne løbende kan diskutere med hinanden, hvad
de finder ud af. Ind i mellem kan man passende lade eleverne udveksle deres overvejelser med resten af
klassen. Hvis grupperne går i stå, kan lærere også hjælpe dem på gled med passende vink. Afhængig af
klassens forudsætninger kan der undervejs være fælles fremvisning af resultater.
Trinvise retningslinjer
Stigeproblemet
På figuren ses en 5 m lang stige, der er stillet op mod et hus, der
ligger 1,5 m bag en 2 m høj mur, som stigen hviler på.
Vis, at der gælder følgende sammenhænge mellem x og y:
3
(1) y =
x
(2) ( x + 1.5)2 + ( y + 2)2 = 25
Bemærkning: Første del af problemet handler om at opstille et
passende ligningssystem for de to variable x og y, som er
introduceret via figuren. I den svenske matematikdidaktikers
Hans Brolins klassifikation af problemløsningsniveauer er det
altså et type to problem, idet vi får såvel problemet som de
variable forærende men selv skal opstille og løse ligningerne.
Løsning: Når man skal analysere en geometrisk figur skal man
først og fremmest kigge efter ensvinklede (ligedannede)
trekanter og retvinklede trekanter. På denne figur findes der
såvel ensvinklede som retvinklede trekanter og vi kan derfor dels
opstille ligninger ud fra de ensartede forhold i to ligedannede
trekanter, dels ud fra pythagoras sætning for en retvinklet
©2007 Texas Instruments Incorporated
Side 1
Stigeproblemet
trekant.
På den efterfølgende skitse har vi derfor trukket to ensvinklede
trekanter op som netop indeholder de to variable x og y.
Forholdene mellem kateterne i de to trekanter er derfor lige
store. det fører til ligningen:
y
2
=
1.5 x
Isolerer vi y i denne ligning fås netop den første af ligningerne:
Bemærkning: Læg mærke til at vi kan isolere variablen y i Noterapplikationen, idet vi først indskriver solve-kommandoen i et
udtryksfelt
Derefter sværter vi udtrykket til (fx ved at gå ud af udtrykket og
taste SHIFT venstrepil) og tager en kopi (CTRL-C). Derefter
indsætter vi et skilletegn → efterfulgt af udtrykket (CTRL-V) som
sværtes til på samme måde. Herefter kan udtrykket evalueres
Teknikken giver mulighed for at arbejde effektivt med
ligningsløsning inde i Noter-applikationen, hvor man løbende
kan skrive forbindende tekst og forklaringer.
På samme måde kan man benytte pythagoras sætning på den
store retvinklede trekant, hvorved man finder den anden af
ligningerne. Læg mærke til brugen af |-operatoren (på betingelse
af), hvormed man substituerer de aktuelle værdier for a, b og c i
pythagoras sætning.
Efter at have opstillet de to ligninger skal de nu løses. Det kunne
vi gøre i ét hug ved hjælp af solve-kommandoen, men i opgaven
skal vi først omskrive ligningssystemet til en enkelt ligning i x.
Der lægges altså op til at vi skal løse ligningssystemet ved hjælp
af substitutionsmetoden. For at kunne arbejde med eksakte
udtryk så længe om muligt har vi erstattet 1,5 med 3/2. Da vi
allerede har isoleret y i den første ligning indsætter vi dette
udtryk for y i den anden ligning (substitutionen). Det fører som
vist til ligningen
Men denne ligning kan vi jo igen omskrive til en polynomial
ligning af fjerde grad ved først at gange igennem med 4x2 og
dernæst samle leddene på den ene side af ligningen. Dermed er
ligningen omskrevet på standardform.
Bemærkning: Læg mærke til hvor nemt det er at gennemføre
omskrivningerne trinvis! Når man skal gange begge sider af
ligningen med 4x2 ganger man bare ligningen med 4x2 osv.
Dette er netop en af de store styrker ved CAS-regneren at man
på denne måde selv kan gå ind og styre løsningen af ligninger i
Side 2
©2007 Texas Instruments Incorporated
Stigeproblemet
stor detalje.
Når man skal løse fjerdegradsligningen kan man nu med fordel benytte faktoriseringskommandoen, idet
den netop viser hvor mange løsninger ligningen har. Man skal da være opmærksom på at kommandoen
findes i to udgaver:
a) En blød (rational) faktorisering (dvs. faktorerne har heltallige koefficienter) på formen factor(udtryk)
b) En hård (irrational) faktorisering (dvs. faktorerne er irrationale tal, som enten vises på symbolsk form
eller som decimaltal) på formen faktor(udtryk,variabel)
Den første bløde faktorisering viser at der findes en simpel førstegradsfaktor (med den tilhørende rod x =
3/2, som netop fører til en 3-4-5 trekant for placeringen af stigen).
Den hårde faktorisering viser at der er fire rødder i alt til ligningen. Men det er kun de to af dem der er
positive og dermed relevante for vores problem!
Endelig kan vi selvfølgelig også løse ligningen med en solve-kommando i Grafregner-applikationen eller
Noter-applikationen som det nu bedst passer os.
Aktivitetsudvidelser
• Hvis man går ind og modellerer stigeproblemet geometrisk kan man også illustrere betydningen af de negative
løsninger, hvor stigen fx 'ligger nede i jorden' eller 'inde i huset', men stadigvæk peger mod murens kant. På den
følgende figur har vi identificeret koordinatsystemets begyndelsespunkt med murens øverste kant. De fire
løsninger er vist som stiplede linjer. Stigens ene endepunkt glider langs jorden, mens den peger mod murens
kant:
©2007 Texas Instruments Incorporated
Side 3
Stigeproblemet
Side 4
©2007 Texas Instruments Incorporated