LinAlg Ugeopgave 5
LinAlg
Ugeopgave 5
Opgaven besvares individuelt. Besvarelsen skal afleveres i ét eksemplar til
klasselæreren senest i starten af første klassetime i uge 7 (5./6. januar 2015).
Der skal anvendes en særlig forside som kan hentes på:
http://www.math.ku.dk/kurser/2014-15/blok2/linalg/FORSIDE/forside.pdf.
Det er klasselæreren på de enkelte klasser, der afgør om det er 5.2(i) eller
5.2(ii) der skal regnes.
5.1 Betragt vektorerne
1
−1
0
0
1
1
0
0
a1 =
0 , a2 = 0 , a3 = 1 , a4 = 1
0
0
1
−1
i R4 , der udstyres med det sædvanlige skalarprodukt
x1
y1
x2
y2
x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 ,
x=
x3 , y = y3 .
x4
y4
Vi definerer f : R4 → R4 ved
f (x) = (x · a2 ) a1 + (x · a3 ) a2 + (x · a4 ) a3 .
(a) Redegør for, at A = (a1 , a2 , a3 , a4 ) er en ortogonal basis for R4 .
(b) Redegør for, at f er lineær.
(c) Bestem den matrix A der beskriver f med hensyn til basen A =
(a1 , a2 , a3 , a4 ), og den matrix B der beskriver f med hensyn til
den sædvanlige basis E = (e1 , e2 , e3 , e4 ) for R4 ; dvs.
A = A [f ]A ,
B = E [f ]E .
(d) Bestem, f.eks. ved at anvende Maple, matricerne A2 , A3 , A4 .
1
(e) Bestem dimensionen af billedet f ◦n (R4 ) for alle n ∈ N, idet
f ◦1 = f,
f ◦2 = f ◦ f,
f ◦3 = f ◦ f ◦ f,
...
5.2(i) Betragt vektorrummet af trigonometriske polynomier TrigN (R) af orden højst N defineret i Opgave 4.2 fra Ugeopgave 4. Vi kalder et element i rummet for et signal for at understrege anvendelsen til f.eks.
repræsentation af lyd. Betragt delmængden
S3 = {a0 + a1 cos(x) + a2 cos(2x) + a3 cos(3x) | a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R} .
√
Lad v0 (x) = 1/ 2 og vk (x) = cos(kx) for k = 1, 2, 3, og sæt V =
v0 , v1 , v2 , v3 .
(a) Vis at S3 er et underrum af Trig3 (R).
Det kan vises (men det forlanges ikke udført) at
Z π
s1 (x)s2 (x)dx,
s1 · s2 =
s1 , s2 ∈ S3 ,
−π
definerer et indre produkt på S3 .
(b) Vis, evt. ved brug af Maple, at
(
π
vi · vj =
0
hvis i = j
ellers.
Konkluder at V er en ortogonal basis for S3 .
(c) Vis at for s1 , s2 ∈ S3 gælder
1
s1 · s2 =
π
V [s1 ]
· V [s2 ]
Husk at V [s] er koordinatvektoreren for s med hensyn til basen V.
(d) Betragt afbildningen D : S3 → S3 givet ved
D(u)(x) = u00 (x).
Vis at D er lineær og find matrixrepræsentationen V [D]V for D
med hensyn til basen V.
2
5.2(ii) Mængden Pol3 (R) af reelle polynomier af grad højst 3 er et reelt
vektorrum, når vi på sædvanlig vis definerer sum og multiplikation ved
(p + q)(x) = p(x) + q(x),
(λp)(x) = λp(x),
for p, q ∈ Pol3 (R) og λ ∈ R.
Betragt afbildningen L : Pol3 (R) → Pol3 (R) givet ved
L(p)(x) =
1
1
p(x) + p(1 − x),
2
2
p ∈ Pol3 (R),
x ∈ R.
(a) Vis at L er en lineær afbildning.
(b) Vis at B1 = 1, x, x2 , x3 og B2 = 1, 1−x, (1−x)2 , (1−x)3 begge
er baser for Pol3 (R).
(c) Find matrixrepræsentationerne for L i de 2 baser B1 og B2 , dvs
find matricerne A := B1 [L]B1 og B := B2 [L]B2 .
(d) Vis, evt. ved brug af Maple, at A2 = A og at B 2 = B.
(e) Vis at L ◦ L = L.
3
© Copyright 2024