1. No category

Danmarks Tekniske Universitet
Side 1 af 11 sider
Skriftlig prøve prøve, 20/2, 22/2 og 23/2, 2012
Kursus navn Fysik 1
Kursus nr. 10020/22/24
Varighed: 4 timer
Tilladte hjælpemidler: Ingen hjælpemidler
"Vægtning": Besvarelsen bedømmes som en helhed.
Alle svar skal begrundes med mindre andet er angivet.
Alle mellemregninger skal medtages.
Der må kun benyttes en simpel lommeregner, dvs. en lommeregner uden computer
algebra system.
Prøven indeholder kun opgaver i mekanikdelen af kurserne.
Side 1 af 11
Opgave 1
To identiske kasser befinder sig på
en vandret, ru overflade. Hver
kasse har massen m . Kasserne er
forbundet via en masseløs, vandret
snor. Der trækkes med en konstant,
vandret kraft, F , i den forreste
kasse, så de to kasser bevæger sig
med kontant hastighed. Kun F og
m er kendte størrelser.
m
m
F
a) Bestem et udtryk for størrelsen af friktionskraften på hver af kasserne.
Lige pludselig øges den vandrette trækkraft fra F til 2F .
b) Bestem kassernes accelerationer og snorspændingen efter ændringen af
trækkraften.
Opgave 2
To kasser befinder sig på en
L
vandret overflade. Kassernes
m
masser er henholdsvis m og 2m .
k
Den lette kasse er i kontakt med en
glat
sammenpresset fjeder. Fjederen
har fjederkonstanten k og er
presset afstanden L sammen, målt fra sin ligevægtsposition.
2m
ru
Underlaget mellem de to kasser er glat. Til højre for den tunge kasse er overfladen
ikke glat og den kinematiske friktionskoefficient mellem kasse og underlag er  k .
Den lille slippes fra hvile.
a) Bestem den lette kasses hastighed umiddelbart før den kolliderer med den
tunge kasse.
Kollisionen mellem de to kasser er elastisk.
b) Bestem hver kasses hastighed umiddelbart efter kollisionen.
Efter sammenstødet bevæger den tunge kasse sig til højre indtil den står stille,
uden at den lette kasse har ramt ind i den igen.
c) Bestem hvor langt den tunge kasse har bevæget sig efter stødet.
Side 2 af 11
Opgave 3
En cylinder med massen
M , radius R og
inertimoment I  12 MR 2
med hensyn til en
rotationsakse gennem
massemidtpunktet ligger på
et ru skråplan med
hældning  i forhold til
vandret.
M
h
m
θ
Cylinderen er via en snor over en masseløs trisse forbundet med en klods med
massen m. Klodsen ligger på det højre skråplan, som er glat og danner vinklen
forhold til vandret.
i
Nu slippes cylinderen og den begynder at rulle uden at glide ned ad det venstre
skråplan.
a) Opstil et kraftdiagram for henholdsvis cylinderen og klodsen.
b) Bestem accelerationen af cylinderen.
c) Bestem farten af klodsen, når den når toppen af skråplanet.
Opgave 4
En malerrulle skubbes op ad en lodret væg via en
stiv, masseløs stang. Der skubbes med en kendt
kraft F, og der skubbes hele tiden, så kraften har
samme vinkel med vandret (se figur).
Malerrullen, der kan betragtes som en massiv
cylinder, ruller uden at glide på væggen, og den
har massen m, radius R og inertimomentet
I  12 mR 2 med hensyn til en vandret akse gennem
cylinderens massemidtpunkt. Alle de ovenfor
nævnte størrelser er kendte.
a) Opstil et kraftdiagram for malerrullen.
b) Bestem accelerationen a af malerrullen.
Den statiske gnidningskoefficient mellem væg og rulle benævnes s .
c) Opstil den betingelse som skal opfylde, for at malerrullen ruller op ad
væggen uden at glide.
Side 3 af 11
Fysiske formler
Nedenfor er angivet en række formler, der måske kan være til hjælp. Bemærk, at nogle
formler kun gælder under specielle forhold, der ikke nødvendigvis er angivet. Samme
symboler kan optræde flere steder med forskellige betydninger. Formelsamlingen kan
indeholde emner der ikke er relevant for denne eksamen.
Kinematik
P
vx  v0 x  axt
x  x0  v0 xt  12 axt 2
vx2  v02x  2ax  x  x0 
v v
x  x0   0 x x
 2

t

x  v0 cos   t
y  v0 sin   t  12 gt 2
Lrp
dW
dt
L  I
P  F v
dL
K1  U1  K2  U 2
K1  U1  Wandre  K2  U 2
p  mv
t2
  dt
Gravitation
Fg 
J   Fdt  p
t1
vB 2 x  vA2 x    vB1x  vA1x 
m r

m
U 
i i
arad
v2

R
atan 
dv
dt
rA|B  rA|C  rC|B
Partikelmekanik
Gm1m2
r2
rcm
i
T
i
i
P  Mvcm
 Fydre  Macm 
i
GmE m
r
2 r 3/2
GmE
Svingninger
dP
dt
a   2 x
x  A cos t   
Stive legemers
mekanik
x  A cos t   B sin t 
v  r
Fluider
FA|B   FB| A
a  r
p
f k  k n
I   mi ri 2
 F  ma
i
i
fs  s n
i
K
1 2
I
2
x2
W   Fx dx
x1
K
1 2
mv
2
Wtotal  K  K2  K1
I P  I cm  Md 2
  r F
K
1
1
2
Mvcm
 I cm 2
2
2
  I
Side 4 af 11
F
A
p  p0   gh
B  Vg
A1v1  A2v2
dV
 Av
dt
p1   gy1  12  v12 
p2   gy2  12  v22
Termodynamik
K
L   L0 T
V  V0 T
QC
W
eCarnot  1 
Q  mcT
Q  nCT
Q  mL
H
T T
dQ
 kA H C
dt
L
pV  nRT
TC
TH
KCarnot
S  
dQ
T
Ceq  C1  C2  C3 
Q2 1
1
 CV 2  QV
2C 2
2
1
u  0E2
2
U
F  qv  B
Elektromagnetisme
 B   B  dA
q1q2
4 0 r 2
1
B 
F  qE
E
K tr  nRT
1
2
 
m v2
vrms 
av
 32 kT
v 
3kT
3RT

m
M
W   pdV
U  Q  W
C p  CV  R
  B
Cp

E 
U    B
E  dA 
lukket
overflade
U
U
q0
4 0
1
4 0
Qencl
qi
r
i

qi q j
1
 p V  p2V2 
 1 1 1
C
Wadiabat  V  p1V1  p2V2 
R

p1V1  p2V2
V
Wadiabat 
 1
TV
 T2V2 1
1 1
W
QH
U
1

q0 4 0
1
4 0

0 qv  rˆ
4 r 2
B
0 I
2 r
F 0 II '

L 2 r
i
i j
B
0
rij

CV
Wadiabat  nCV T1  T2 
B  dA  0
F  Il  B
  p E
V
e
q
rˆ
4 0 r 2
av
vrms 

1
 E   E  dA
2

lukket
overflade
M  NA m
3
2
A
d
1
1
1
1
 
 
Ceq C1 C2 C3
TC

TH  TC
F
mtotal  nM
C  KC0  K  0
qi
r
i
i
dq
r
b
Va  Vb   E  dl
a
V
V
, Ey  
,
x
y
Q
A
C
 0
Vab
d
Ex  
Side 5 af 11
lukket
kurve
B  dl  0 I encl
Matematiske formler
d  f  x   g  x 
dx
d  f  x   g  x 
dx
d  f  x  g  x 
 f ' x  g ' x
xn xm  xnm
 f ' x  g ' x
xn
 x nm
m
x
 f ' x g  x  f  x g ' x
dx
d  f  x  / g  x 
dx

f ' x g  x  f  x g ' x
g  x
2
df ( g ( x))
 f '  g  x  g '  x 
dx
n
 x dx 
x n y n   xy 
xn  x 
 
yn  y 
x 
n
m
n
n
 x nm
ln  xy   ln  x   ln  y 
1 n 1
x , n  1
n 1
ln  x n   n ln  x 
1
 x dx  ln x
b  b2  4ac
ax  bx  c  0, a  0  x 
2a
2
1
 exp(ax)dx  a exp(ax)
cos  
a
c
sin  
b
c
tan  
sin  b

cos  a
c
b

sin 2   cos2   1
a
d sin 
 cos 
d
d cos 
  sin 
d
d tan 
 1  tan 2 
d
d 2u
  2u  0  u  t   A cos t   B sin t 
2
dt
Side 6 af 11
Løsning 1
a)
N2(venstre):
F
F
x
T  f  0
N2(højre):
x  F T  f  0
Læg de to ligninger sammen:
F 2f  0
f 
b)
N2(venstre):
N2(højre):
Friktion:
F
2
ma   Fx  T  f
ma   Fx  2F  T  f
F
2
2ma  2F  2 f
2ma  2F  F
F
a
2m
F
F
m
T 
2m
2
T F
f 
Side 7 af 11
Løsning 2
Vi definerer følgende tilstande. 1 er startsituationen; 2 er lige før sammenstødet; 3 er lige efter
sammenstødet; 4 er lige efter den tunge kasse står stille.
a) Energibevarelse(1->2): U1  K1  U 2  K2
1 2
1
kL  0  0  mvm2 ,2
2
2
vm,2 
k
L
m
b) Impulsbevarelse(2->3): mvm,2  mvm,3  2mv2 m,3
Energibevarelse(2->3):
vm,2  0    vm,3  v2 m,3 
Impulsbevarelse(2->3):
vm,2  vm,3  2v2m,3
Læg de to ligninger sammen:
2
2 k
v2 m,3  vm,2 
L
3
3 m
k
2 k
L  vm,3  2
L
m
3 m
vm,3  
1 k
L
3 m
c) Arbejdssætningen(3->4): K  K4  K3  Wfriktion
2
2 k 
1
K  0  2m 
L    k 2mgx
2
3
m


x
2 kL2
9 k mg
Side 8 af 11
Løsning 3
a)
T
nm
f
wM
nM
T
wm
b)
N2(m,x): ma  T  mg sin 
N2(M,x): Ma  Mg sin   T  f
IMS(cm):
1
MR 2  fR
2
Kin.:
a  R
IMS(cm):
1
Ma  f
2
1
ma  Ma  Ma  T  mg sin   Mg sin   T  f  f
2
3

 M  m  a   M sin   m sin   g
2

a
M sin   m sin 
g
3
M m
2
c) Vi lægger nulpunkt for potentiel energi i startsituationen.
Energibevarelse:
U1  K1,M ,trans  K1, M ,rot  K1,m,trans  U 2  K2, M ,trans  K2, M , rot  K2, m,trans
0  0  0  0   Mg
h
1
11
1

sin   mgh  Mv 2   MR 2   2  mv 2
sin 
2
22
2

Side 9 af 11
v  R
 sin 
 1
11
 v  1
gh  M
 m   Mv 2   MR 2    mv 2
22
 R  2
 sin 
 2
2
 sin 
 1
1
1 
gh  M
 m    M  M  m  v2
4
2 
 sin 
 2
 sin 
 3
1 
gh  M
 m    M  m  v2
2 
 sin 
 4
 sin 

 M sin   m 

v  gh 
 3M 1m 
 4
2 

Side 10 af 11
Løsning 4
a) Se kraftdiagrammet til højre. Der er fire
kræfter der virker. Den kendte kraft F , vægten
mg , normalkraften n og friktionen f .
+
b)
Kendte:
m, R, g , F ,
Ukendte:
n, f , a, 
MMS(x):
n  F cos  0
MMS(y):
ma  F sin   f  mg
IMS(cm):
I   12 mR2  fR
GB:
a  R
Indsæt GB i IMS(cm) og forkort radius ud. Læg denne ligning sammen med MMS(y).
3
2
ma  F sin   mg
2  F sin 

a 
g
3 m

c) Den statiske friktion adlyder uligheden f  s n , hvilket giver kravet for den statiske
f
. Vi skal altså bestemme f og n udtrykt ved de kendte
n
størrelser. Normalkraften fås direkte fra MMS(x) og friktionen fra IMS(cm) ved indsættelse af
udtrykket for accelerationen.
friktionskoefficient til at være s 
n  F cos
2
2
1
f  F sin   mg  ma  F sin   mg  F sin   mg   F sin   mg 
3
3
3
1
F sin   mg 
f 3
1
mg 
s  
  tan  

n
F cos 
3
F cos  
1
mg


s   tan  

3
F cos 

Side 11 af 11