1. No category

Jesper Mikkelsen
S7
Calculus II, ugeseddel 5
Opgave 14.5.3
OPGAVE: Beregn integralet
Z Z Z
(3 + 2xy)dV,
D
hvor D er hemisfæren (halvkuglen) givet ved x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 og z ≥ 0.
SVAR: Bemærk, at halvkuglen er symmetrisk omkring planen med ligningen x = 0 og y = 0 (se tegning).
Vi har endvidere, at f (x,y) = xy er en ulige funktion i både x og y-variablen,
idet
f (−x,y) = (−x)y = −(xy) = −f (x,y)
f (x, − y) = x(−y) = −(xy) = −f (x,y)
Jesper Mikkelsen
S7
Vi kan derfor bruge symmetrien af integralet til at forsimple udregningerne.
Først laves følgende omskrivning vha. sædvanlige regneregler for integraler:
Z Z Z
(3 + 2xy)dV = 3
Z Z Z
D
dV + 2
Z Z Z
D
xydV.
D
Da f (x,y) = xy er en ulige funktion i x og y og da D er symmetrisk omkring
x = 0 og y = 0 planen er det sidste integrale lig nul:
2
Z Z Z
xydV = 2 · 0 = 0.
D
RRR
Det første integrale
D dV kan tolkes som rumfanget af halvkuglen D.
2
3
Dette rumfang er 3 π(2 ) (idet radius af halvkuglen er 2). Vi får således
Z Z Z
(3 + 2xy)dV = 3
Z Z Z
D
dV + 2
Z Z Z
D
xydV
D
2
= 3 π(23 ) + 0 = 16π.
3
Opgave 14.5.4
OPGAVE: Beregn
Z Z Z
xdV,
R
over tetraederet som er begrænset af koordinatplanerne og planen xa + yb + zc =
1.
SVAR: Se eksempel 3 på side 820 i Adams. Det vansklige i denne opgave
er at få tegnet området R rigtigt. Et tetraeder er en pyramide med trekant
som bund. Det ser ud som følger:
Jesper Mikkelsen
S7
Når man skal udregne et sådan tripleintegrale bruges samme teknik som når
man regner dobbeltintegraler. Vi starter med at holde x fast og tegne en plan
vinkelret på x-aksen og ser hvordan denne skærer R. I dette tilfælde bliver
det til den trekant som er tegnet inden i pyramiden på tegningen ovenfor. Vi
ser, at z går fra 0 og op til planen xa + yb + zc = 1. Hvis vi isolerer z i denne
ligning fås
x y z
+ + =1
a b c
m
x y
z =c 1− −
a b
og dermed bliver grænserne for z variablen
x y
0≤z ≤c 1− −
.
a b
Vi ser også, at y går fra x-aksen
(dvs. y = 0) og ud til den rette linje imellem
a og b. Denne har ligningen b 1 − xa og dermed har vi
a
0≤y ≤b 1−
.
x
Jesper Mikkelsen
S7
Vi mangler kun at bestemme grænserne for x, men dette er blot 0 ≤ x ≤ a.
Samlet set kan integralet altså udregnes som følger:
Z Z Z
xdV =
R
Z a
dx
Z b(1− a )
x
Z a
Z c(1− x − y )
a
b
0
0
=
dy
xdx
Z b(1− a )
x
0
dy
Z c(1− x − y )
a
b
0
dz
0
Z b(1− a ) x
Z a
xdz
0
x y
xdx
c 1− −
=
dy
a b
0
0
!
Z a
bc
x 2
=
x
dx
1−
2
a
0
x 2
bc Z a
x 1−
dx
=
2 0
a
bc a2
=
2 12
a2 bc
.
=
24
Opgave 15.3.5
OPGAVE: Bestem værdien af δ
ingen
R
C (x
~r(t) =
2
+ y 2 )ds hvor C har parameterfremstill-
 t

e cos t
 t

 e sin t  ,
t
fra t = 0 til t = 2π.
SVAR: Brug formlen øverst side 859 i den blå boks. Vektoren d~r er givet
ved
 t

e (cos t − sin t)


~r(t) = et (cos t + sin t) ,
1
(fås ved at differentiere hver koordinat i vektoren). Længden af d~r må derfor
være
d~
r
dt =
=
q
√
(et (cos t − sin t))2 + (et (cos t + sin t)2 + 12 dt
1 + 2e2t dt.
Jesper Mikkelsen
S7
(fås ved at bruge "idiotformlen"cos2 t+sin2 t = 1). Vi mangler kun at bestemme
f (~r(t)) for at kunne bruge formlen:
f (~r(t)) = (et cos t)2 + (et sin t)2 = e2t ,
hvor vi igen har reduceret udtrykket ved at bruge idiotformlen. Samlet har
vi nu, at
δ
Z
2
2
(x + y )ds =
Z 2π
C
0
=δ
d~
r
f (~r(t)) dt
dt
Z 2π
√
e2t 1 + 2e2t dt
0
t=2π
1
2t 32
= δ (1 + 2e )
6
t=0
3
3
δ
=
(1 + 2e4π ) 2 − 3 2 .
6