Eksamen - bachelor1
PRØVER HVORI DER INDGÅR ET ARBEJDSRESULTAT (jfr. Studieordning for læreruddannelsen 2012 side 211 Eksamens og prøvebestemmelser for læreruddannelsen, pkt. 1.10 Professionsbachelorprojektet). Projektet skal afleveres senest den 8. april 2015, kl. 12.00. Der dispenseres ikke fra denne frist. Der afleveres elektronisk i WISEflow. Desuden afleveres 1 eksemplar i elektronisk form i PURE. Af administrative hensyn skal denne blanket være første side af opgaven. Maj/juni 2015 Eksamenstermin: Professionsbachelorprojekt i tilknytning til linjefag: Titel: Matematik i anvendelse - som et led i almen dannelse__ _____________________________________ Vejledere: _Inger Jakobsen og Svend Andreas Skov____ (Kun navne ikke underskrift) Dette projekt er udarbejdet af: Studie nr.: Navn: L100040 Maibritt Schubert Andersen Antal sider i opgaven:_34,7 sider - 90.293 anslag_ (25-35 sider á 2600 enheder, eventuelle bilag herudover må højst udgøre 10 normalsider) Accepterer at opgaven kan bruges til undervisning, dog anonymt: Dato:______________ _X__ JA ____ NEJ Studerendes underskrift:________________________________ Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Matematik i anvendelse - som et led i almen dannelse. 08-04-2015 Udarbejdet af Maibritt Schubert Andersen Vejledere: Inger Jakobsen og Svend Andreas Skov Anslag: 90.293 Side 1 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Indholdsfortegnelse Indledning ............................................................................................................................................ 4 Problemformulering ............................................................................................................................. 5 Teori og metode ................................................................................................................................... 5 Case ...................................................................................................................................................... 7 Matematik i anvendelse ....................................................................................................................... 8 Hvorfor matematik ........................................................................................................................... 8 Almen dannelse .......................................................................................................................... 11 ”Matematik i anvendelse” i undervisningen .................................................................................. 13 Modellering ................................................................................................................................ 15 Problembehandling .................................................................................................................... 17 Undersøgelseslandskaber ........................................................................................................... 18 Undersøgelsesbaseret matematik ............................................................................................... 19 Læring i forhold til matematik i anvendelse ...................................................................................... 22 Læring ............................................................................................................................................ 22 Motivation ...................................................................................................................................... 24 Forældresamarbejde ....................................................................................................................... 25 Opsamling .................................................................................................................................. 27 Empiri................................................................................................................................................. 28 Analyse af elevopgave ................................................................................................................... 29 Elevopgaven i praksis ................................................................................................................ 31 Elevopgaven set i forhold til den fagdidaktiske og humanistiske analyse i opgaven ................ 31 Spørgeskemaundersøgelse ............................................................................................................. 32 Udarbejdelse af spørgeskema..................................................................................................... 33 Analyse af data ........................................................................................................................... 34 Konklusion ......................................................................................................................................... 36 Perspektivering................................................................................................................................... 37 Litteraturliste ...................................................................................................................................... 38 Hjemmesider .................................................................................................................................. 39 Bilag ................................................................................................................................................... 40 Bilag 1 ............................................................................................................................................ 40 Bilag 2 ............................................................................................................................................ 41 Side 2 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 3 ............................................................................................................................................ 42 Bilag 4 ............................................................................................................................................ 43 Bilag 5 ............................................................................................................................................ 44 Bilag 6 ............................................................................................................................................ 45 Bilag 7 ............................................................................................................................................ 46 Bilag 8 ............................................................................................................................................ 48 Side 3 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Indledning Hvad skal vi bruge det til… Jeg bruger kun matematik i skolen.. Det er nogle af de kommentarer jeg gennem mine praktikperioder har hørt fra eleverne i forbindelse med matematikundervisning. Når jeg har spurgt ind til hvad de mener, viser det sig, at flere elever faktisk ikke kan se sammenhængen mellem matematikundervisningen og virkeligheden. Nogle elever forstår simpelthen ikke hvad de skal bruge matematikken til udenfor skolen, og hvorfor det er vigtigt at lære at regne, måle, spejle, løse ligninger osv. Nogle elevers forståelse af matematik i anvendelse indebærer kun, at lave deres matematiklektier andre steder end i undervisningen som for eksempel i lektiecafeen eller hjemme. Med den nye reform og de Forenklede Fælles Mål skal vi nu som lærere tilrettelægge målstyret undervisning med udgangspunkt i kompetencemålene for faget. Det er ikke helt nyt for matematikfaget da matematiske kompetencer er en af de 4 CKF’er for faget, og derved har været en del af målsætningen for undervisningen siden 2009. Det kan jo betragtes som en fordel for os som matematiklærere. Men hvad betyder ”kompetence” egentlig - er det bare endnu et hurraord eller er der en mening med, at målsætningen i de Forenklede Fælles Mål skal tage udgangspunkt i kompetencemålene? Ifølge Tomas Højgaard betyder kompetence ”nogens indsigtsfulde parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringerne i en given situation”.1 ”Indsigtsfuld” antyder at det kræver en vis viden, ”parathed til at handle” antyder at man er klar til at handle og derved anvende sine færdigheder og viden hvis situationen kræver det. Hermed kan man udlede at en af de ting begrebet kompetence dækker over er at anvende sin viden i praksis. Min undring går ikke så meget på hvorfor eleverne ikke kan se sammenhængen mellem matematikken i skolen og matematikken i verden udenfor eller hvem der bærer ansvaret for, at de ikke kan se sammenhængen. Jeg får derimod lyst til at spørge hvor vigtigt er det egentligt, for elevernes forståelse for matematik generelt, at de kan se en sammenhæng? - og hvordan og hvorfor kan matematik siges at være vigtig for elevernes liv her og nu og fremadrettet? - og hvordan og hvorfor kan det være vigtig for deres forståelse af vores demokratiske risikosamfund udenfor skolen? Hvis koblingen mellem skolen og samfundet er essentielt for elevernes forståelse af matematikken og matematikken er af afgørende karakter for at vi som borgere i et demokratisk samfund kan fungere som myndige, selvbestemmende individer, hvordan kan vi så som uddannelsesinstitution give eleverne de bedste forudsætninger og bidrage til deres fremtid gennem almendannelse. Alt dette fører mig frem til følgende problemformulering. 1 Håndbog om matematik i grundskolen, side 38 Side 4 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Problemformulering Hvordan kan jeg, som lærer, fremme elevernes forståelse for matematik i anvendelse som et led i deres almene dannelse? Teori og metode Jeg vil først og fremmest redegøre for den case2 min bachelor tager udgangspunkt i. For at inddrage dig som læser i mit projekt, vil jeg i casen kort redegøre for den undring, de teser, intentioner og den undervisning, der ligger til grund for min problemformulering og empiriindsamling. Det vil være mit fokus i bacheloren, med hjælp fra særligt udvalgte teoretikere og empirisk materiale, at beeller afkræfte mine teser både teoretisk og i praksis. Alle mine analyser vil blive vurderet i forhold til kravene fra Folkeskoleloven og de Forenklede Fælles Mål 2014 samtidig med at jeg vil have øje for, hvad der reelt er muligt i praksis. Derfor har jeg valgt at inddele min opgave i tre analytiske tilgange, hvoraf den ene tager udgangspunkt i en analyse ud fra en teoretisk fagdidaktisk vinkel, den anden vinkles i forhold til den psykologiske pædagogiske teoretiske vinkel der kan være/blive resultatet af de fagdidaktiske valg man, som lærer, foretager sig og den tredje vinkles i forhold til praksis. Jeg har valgt at todele den teoretiske del af min opgave for separat at fokusere på to væsentlige dele af undervisningen, og samtidig vise den interdependens der er mellem de to vinkler. Herefter vil jeg, med udgangspunkt i teorien, analysere praksisdelen. Denne tredeling uddybes i det følgende. For at forebygge eventuelle misforståelser vil jeg, ud fra KOM-rapportens3 definition af ”matematik i anvendelse”, afklare hvilken betydning begrebet ”matematik i anvendelse” er tillagt og hvordan det bliver anvendt i denne opgave. Med henblik på at be- eller afkræfte min tese om den grundlæggende matematiks afgørende betydning for at fungere i samfundet og dermed et led i almen dannelse, vil jeg først og fremmest, med udgangspunkt i Morten Blomhøjs4 syn på matematik som alment dannende, Folkeskoleloven, Forenklede Fælles Mål (FFM), EMU’s vejledning for matematikfaget og Danmarks evalueringsinstitut (EVA2006), vurdere fagets, og i særdeleshed matematik i anvendelses, relevans i skolesammenhæng. For at understrege hvilken betydning funktionel undervisning har for elevernes almene dannelse, vil jeg, ud fra Klafkis kategoriale dannelsesteori og teori om eksemplarisk undervisning, ar2 Se næste afsnit. Kompetencer og Matematiklæring 4 Hvorfor matematikundervisning 3 Side 5 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 gumentere for hvorfor integrationen af ”matematik i anvendelse” i undervisningen er essentielt i et dannelsesmæssigt perspektiv. Med henblik på at konkretisere hvordan man kan integrere ”matematik i anvendelse” i undervisningen, vil jeg, i dette afsnit, kort redegøre for følgende fire anvendelsesorienterede tilgange Blomhøjs teori om Modellering, Peter Wengs teori om Problembehandling, Povl Hansen og Blomshøjs syn på Inquiry Based Education (IBE) og Skovsmoses teori om undersøgelseslandskaber. Ovenstående fire tilgange er udvalgt for at give læseren et indblik i hvordan man, med fokus på de matematiske kompetencer, kan inddrage en undersøgende og funktionel tilgang i matematikundervisningen. For at be- eller afkræfte min tese omkring at eleverne vil udvikle en større forståelse for fagets anvendelsesmuligheder, vil jeg endvidere, med udgangspunkt i FFM, Højgaards analyse af de faglige kompetencemål i Fælles Mål 2009 og Freudenthals Realistic Mathematics Education (RME) tænkning, analysere og vurdere de fire tilgange med henblik på at argumentere for relevansen af integration af ”matematik i anvendelse” i undervisningen. For at blive i stand til at vurdere de fire tilgange i forhold til en målstyret undervisning som FFM2014 påkræver, har jeg valgt at inddrage Højgaards analyse af de faglige kompetencemål i FM2009 som et analyseredskab idet han, ligesom FFM2014, mener at man i undervisningsplanlægningen bør tage udgangspunkt i kompetencemålene. Endvidere har jeg valgt at inddrage Freudenthals ekspertise som analyseredskab for at vurdere de fire tilgange ud fra grundtanken omkring realistisk og funktionel matematik. For at forebygge eventuelle misforståelser i den psykologiske pædagogiske del af opgaven, vil jeg først og fremmest, ud fra Knud Illeris’s definition på læring, afklare hvilken betydning begrebet ”læring” er tillagt i denne opgave, og hvordan det bliver anvendt. Herudover vil jeg, ud fra Brousseaus teori om didaktiske situationer, Illeris’s læringstrekant og Michael Wahls teori om mentale billeder, redegøre for hvornår og hvordan motiverende didaktiske læringssituationer kan opstå i en undersøgende undervisning, og herudfra argumentere for hvilken indvirkning motivation har på elevernes læring. Med henblik på at be- eller afkræfte min tese omkring effekten af et støttende forældresamarbejde, vil jeg, ud fra Folkeskoleloven og EVA2012, redegøre for, hvordan forældresamarbejde kan have indvirkning på elevernes motivation og læring. Endvidere vil jeg, ved inddrage empiri i form af et interview med Annette Lilholt, lærer i Jetsmark Skole Center og egen empirisk undersøgelse, understrege hvilken effekt forældresamarbejdet i praksis kan have på elevernes motivation, læring og forankring af matematikken i hverdagen, og derigennem argumentere for hvordan vi, som lærere, kan anvende forældresamarbejdet som ressourcer i undervisningen. Side 6 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Med henblik på at undersøge om min egen elevopgave5 kan leve op til de fagdidaktiske og humanistiske krav jeg har inddraget og vurderet i min bachelor, vil jeg, i den praktiske del af opgaven, kort redegøre for den undervisning, der skulle stilladsere eleverne til elevopgaven. Herefter vil jeg, ud fra læremiddelsanalysen i ”Vejledningen for faget matematik”6 analysere og kritisk vurdere den elevopgave, jeg anvendte i forbindelse med min empiriindsamling. Jeg har valgt at anvende denne analysemodel for, at sikre at elevopgaven bedømmes ud fra kriterier der kan leve op til FFM. Efterfølgende vil jeg kort redegøre for elevopgaven i praksis. Hvorefter jeg, med udgangspunkt i den fagdidaktiske og humanistiske del af min bachelor, kritisk vil vurdere elevopgaven. Endvidere vil jeg redegøre for min spørgeskemaundersøgelse med henblik på at kunne analysere og kritisk vurdere relevansen og udfærdigelsen af undersøgelsen og om den viste det intenderede billede af elevernes eventuelle udvikling og forståelse for matematik som et anvendelsesfag. For at kunne konkludere på min problemformulering, vil jeg samle trådene og ud fra ovenstående analyser og vurderinger vil jeg diskutere og konkludere på om man, som lærer i en målstyret undervisning, kan fremme elevernes forståelse for matematik i anvendelse, og om denne øgede forståelse har betydning for elevernes almene dannelse. Case Jeg oplevede en vis personlig frustration over at opleve så mange elever der ikke anede hvad de skulle bruge matematikken til udenfor skolen, og derved ikke fandt matematikken brugbar og relevant for deres egen verden. Derfor besluttede jeg mig for at lave et mindre projekt i min 3. og 4. års praktik, for at undersøge elevernes forståelse for at anvende matematik udenfor skolen og hvilken forskel et støttende forældresamarbejde kunne gøre for elevernes forståelse heraf, deres motivation og læring. Hertil skal det siges at ikke alt er muligt i en praktik da der er mange udefra kommende omstændigheder, hvilket gjorde at jeg, i min 4. års praktik, ikke havde mulighed for at undersøge forældresamarbejdets indvirkning på elevernes forståelse, motivation og læring i forhold til den målrettede undervisning mod ”matematik i anvendelse”. Derfor tager min empiri omkring forældresamarbejdet primært udgangspunkt i min 3.års praktik samt et interview, med en erfaren folkeskolelærer, omkring forældresamarbejde. Inden jeg forberedte mit projekt havde jeg tre teser jeg ville søge at be- eller afkræfte. Min første tese var at jeg mente at eleverne ville øge deres motivation og forståelse for faget hvis de oplevede 5 6 Se bilag 1 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik pkt. 3.3 Side 7 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 matematik som et anvendelsesfag der tog udgangspunkt i deres erfaringsverden og herigennem fik erfaring med, hvor og hvornår matematik kunne/skulle anvendes i deres hverdag udenfor skolen. Min anden tese var at matematiske kompetencer er væsentlige for at kunne gebærde sig i vores demokratiske samfund. Min tredje og sidste tese var at hvis forældrene blev guidet til at inddrage matematikken som en naturlig del af elevernes hverdag, ville det have afgørende betydning for deres forståelse for og syn på faget som brugbart og relevant. I mit forsøg på at fremme elevernes forståelse for matematik i anvendelse, valgte jeg følgende fremgangsmåde. For at undersøge elevernes forståelse for matematik i anvendelse, og en eventuel udvidelse af denne, valgte jeg at anvende en spørgeskemaundersøgelse før og efter undervisningen. Endvidere valgte jeg at lave en praksisorienteret elevopgave til eleverne med træk fra forskellige undersøgende tilgange i matematikken, som jeg selv er blevet undervist i på UCN. Ideen bag min opgave var, at den skulle tage udgangspunkt i elevernes hverdag, i hvert fald i deres erfaringsverden, og på den måde skabe en relation mellem matematikken og den enkelte elevs verden. Endvidere skulle den tage udgangspunkt i allerede kendt stof, der skulle anvendes i nye sammenhænge. Sidst men ikke mindst skulle elevopgavens punkter indeholde en progression fra overslag, over en kreativ proces, til at sammenlige resultatet og overslaget til udfordrende selvreflekterende spørgsmål som Hvad nu hvis… Jeg fik mulighed for at afprøve min opgave på to forskellige skoler, hvor vi på den ene skole havde et værkstedsforløb der løb over fire dobbelt lektioner, og på den anden skole havde vi en fordybelsesdag, hvor de otte lektioner var samlet på en dag. Min fremgangsmåde vil blive uddybet i afsnittet omkring min empiri. Matematik i anvendelse Med ”matematik i anvendelse” tages der i denne opgave udgangspunkt i at eleverne anvender de lærte regnestrategier i andre sammenhænge udenfor skolen, dvs. at de bringer elementær matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender udenfor matematikken selv,7 hvilket understøttes i ”Vejledningen for faget matematik”8. Hvorfor matematik For at kunne besvare min problemformulering og be- eller afkræfte min tese om den grundlæggende matematiks afgørende betydning i samfundssammenhænge, ser jeg mig nødsaget til først og frem- 7 8 Kompetencer og Matematiklæring, side 204 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik punkt 3.7n Side 8 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 mest at argumentere for matematikkens relevans i folkeskolens uddannelsessammenhæng og herunder i særdeleshed relevansen af matematik i anvendelse. Matematikkens rolle har gennem tiden ændret sig markant. Den er gået fra at være forbeholdt for få udvalgte kredse af akademikere og rige, til at være et fag alle skal deltage i i folkeskolen. Endvidere har formålet for faget rykket sig fra at eleverne skulle kende fastlagte begreber og metoder til i dag hvor eleverne med udgangspunkt i egne erfaringer skal opnå viden og færdigheder, så de kan anvende, undersøge, beskrive, forudsige, vurdere og være kritiske overfor matematikken i vores demokratiske samfund.9 Derudover er matematikfaget, ifølge EVA2006, noget særligt da det for det første er et gennemgående fag, altså at der undervises i faget gennem hele skoleforløbet, og for det andet er det todelt. Delingen ses ved at faget på den ene side beskæftiger sig med det videnskabelige og abstrakte og på den anden side beskæftiger det sig som redskab til den praktiske virkelighed, herunder som element i alle andre fag i skolen.10 Ifølge Morten Blomhøj er den anvendte matematik i samfundets hverdag og anvendelse af matematik i forbindelse med arbejds- og produktionsprocesser ofte skjult,11 hvilket udgør et begrundelsesproblem vedrørende matematikkens relevans i uddannelsessammenhæng. Hvis og når matematikken i hverdagen ofte er skjult, som i kassedamens kasseapparat, computerprogrammer, bus- og togplaner/ruter, tips og lotto, oversigter, statistikker osv., er det måske forståeligt nok at eleverne ofte negligerer relevansen af matematikundervisningen. Men netop på grund af den voksende matematisering i vores teknologiske risikosamfund12 er det essentielt at matematikundervisningen kontinuerligt og progressivt afmystificerer den skjulte matematik gennem hele uddannelsesforløbet, så eleverne netop opnår viden og færdigheder der gør dem i stand til at udregne, sammenligne, forholde sig til og stille sig kritiske13 overfor matematiske modeller, som de Forenklede Fælles Mål fordrer. Her er det vigtigt at der, gennem undervisningen, skabes en sammenhæng mellem skolen og samfundet. Dermed sagt bør der i undervisningen skabes en kontekst der er alderssvarende, meningsfuld og virkelighedsnær for eleverne.14 En kontekst der bygger på og inddrager kulturelle og samfundsmæssige sammenhænge. 9 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik punkt 1.3 og Delta, side 28 http://www.eva.dk/projekter/2005/arbejdet-med-at-udvikle-elevernes-matematikkompetencer/ 11 Hvorfor matematikundervisning, side 6 12 KVAN 56- Matematikkens verden, side 18 13 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik punkt 1.3 14 Elevernes verden, side 144 10 Side 9 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Mange ser, ifølge Blomhøj, matematikken som klassisk naturvidenskabelig, videns- og forskningsbaseret,15 hvilket kan være årsagen til at mange tager en vis afstand fra faget. Blomhøj mener at tilegnelse af matematikkens abstrakte begrebsdannelser kræver betydelige kognitive anstrengelser16 for de fleste mennesker, hvilket sætter endnu større krav til motivationen. Her er min tese, med udgangspunkt i kognitive perspektiver på motivation,17 at hvis eleverne får en forståelse for hvorfor de skal lære det, hvor de skal/kan bruge det i forhold til egen praksis vil det skabe en trang til at forstå og finde mening, hvilket jeg vil komme nærmere ind på i afsnittet omkring motivation. Endvidere understreges det af Ib Trankjær, pædagogisk konsulent, at arbejdet med spørgsmål om hvorfor er en vigtig del af erkendelsesprocessen allerede i indskolingen.18 Yderligere begrundelser for hvorfor faget matematik, herunder matematik i anvendelse, er relevant i undervisningssammenhæng ser vi i Folkeskolens formål.19 § 1. ….giver dem forståelse for andre lande og kulturer, bidrager til deres forståelse for menneskets samspil med naturen og fremmer den enkelte elevs alsidige udvikling. Stk. 2. Folkeskolen skal udvikle arbejdsmetoder og skabe rammer for oplevelse, fordybelse og virkelyst, så eleverne udvikler erkendelse og fantasi og får tillid til egne muligheder og baggrund for at tage stilling og handle. Stk. 3. Folkeskolen skal forberede eleverne til deltagelse, medansvar, rettigheder og pligter i et samfund med frihed og folkestyre. Skolens virke skal derfor være præget af åndsfrihed, ligeværd og demokrati. … og begrundelser i Vejledningen til faget matematik punkt 1.120 De matematiske kompetencer, eleverne skal udvikle igennem folkeskolens matematikundervisning, skal både bidrage til deres personlige liv og til deltagelse i samfundslivet. ….virke alment dannende og som forberedelse til videre uddannelse og arbejdsliv, og undervisningen skal derfor behandle matematikholdige situationer fra såvel fritids- og samfundsliv som uddannelses- og arbejdsliv. ….således at eleverne opnår indsigt i matematikkens rolle og muligheder som beskrivelsesmiddel og analyseværktøj i forskellige situationer.. 15 KVAN 56- Matematikkens verden, side 7 Hvorfor matematikundervisning, side 5 17 Elevernes verden, side 329 18 KVAN 56- Matematikkens verden, side 77 19 https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=163970#Kap1 20 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik punkt 1.1 16 Side 10 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Blomhøj mener endvidere at hvis man kan argumentere for, at matematikundervisningen er alment dannende, kan man begrunde matematikkens relevans i undervisningssammenhænge. Almen dannelse For at understrege den funktionelle undervisnings betydning for elevernes almene dannelse og den vej argumentere for matematikkens dannelsesmæssige relevans i undervisningssammenhænge, ser jeg mig nødsaget til at inddrage Wolfgang Klafkis teori om eksemplarisk undervisning, der på fornemmeste vis demonstrere betydningen af at undervisning bør indeholde funktionelle aspekter. Ifølge Klafki er det altafgørende at forholdet mellem det formale og materiale er dialektisk, ved denne vekselvirkning opstår der mulighed for kategorial dannelse hvor det er elevernes forståelse der er i fokus. Gennem dette fokus opstår der mulighed for en dobbeltåbning, hvor eleven gennem læring åbner sig for verden, og verdenen åbner sig for eleven gennem den øgede kategoriserede viden og forståelse.21 Dermed understreger Klafki at undervisningen er en dobbeltsidig størrelse, hvor det er essentielt at skabe en samhørighed mellem eleven og det faglige indhold. Indholdet skal altså både være relevant for og anvendelig i elevens verden, hvilket bekræfter mit udgangspunkt for elevopgaven.22 Som et led i elevernes almene dannelse er det af afgørende betydning at samspillet mellem eleven og indholdet, skolegangen i det hele taget, progressivt er med til at udvikle elevernes selvbestemmelses-, medbestemmelses-, og solidaritetsevne.23 Klafki understreger, med sit eksemplariske princip, at det er altafgørende for elevens forståelse og læring at den elementære faglige grundviden bliver koblet til elevernes fundamentale livserfaringer, altså at eleverne får koblet de faglige emner og begreber til deres personlige virkelighed, så der sker en dobbeltåbning for eleven. Dermed sagt skal matematikken anvendes i elevernes hverdag, og elevernes hverdag skal anvendes i matematikken. Hvilket bekræfter min tese omkring at eleverne skal opleve matematik som et anvendelsesfag. Det er derfor betydningsfuldt at man som lærer formår at sætte sin fagfaglighed i spil og udvælge det forbilledlige undervisningsindhold der er alderssvarende til elevens personlige og faglige udviklingstrin, interesser og læringsstile, og som samtidig giver undervisningen en undersøgende eller analytisk karakter.24 Endvidere er det, ifølge Klafki, en vigtig lærerkompetence at man som lærer formår at skabe immanente gentagelser der skaber et behov hos 21 Wolfgang Klafki, side 18 Se casen, side 7-8 23 Wolfgang Klafki, side 69 24 Wolfgang Klafki, side 179 22 Side 11 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 den enkelte elev, der nødvendiggør brug af allerede ”lært” stof. Herigennem opleves matematikken som meningsfuld og rodfæstes.25 Den intenderede læring skal, ifølge Klafki, føre frem til at eleverne opnår en vis selvstændighed og evne til kritisk at erkende, dømme, handle og lyst til, på egen hånd, at lære mere.26 Disse evner Klafki omtaler, er i dag en del af Formålet for faget matematik,27 hvor vi kritisk skal kunne tage stilling til og vurdere udførsel og anvendelse af egne og andres modeller. Det understreges, af Klafki, som en del af den almene dannelse. Da dannelse, ifølge Klafki, netop er tosidet, idet eleverne på de ene side skal kunne argumentere rationelt for egne overbevisninger og på den anden side være åbne overfor andres rationelle kritik og meninger.28 Endvidere er det, ifølge Klafki, essentielt at de valgte undervisningsformer, aktiviteter og metoder der anvendes i undervisningen også fører frem til at eleven har mulighed for at opnå grundlæggende kategoriale indsigter og evner 29, altså at eleven opnår en forståelse for den elementære matematik og forstår at anvende den i andre sammenhænge. Hvilket stort set udgør den forståelse for ”matematik i anvendelse” der anvendes i denne opgave,30 og bekræfter min tese om at anvendelse af grundlæggende matematik i praksis er essentiel for elevernes almene dannelse En anden væsentlig pointe jeg vil fremhæve, i Klafkis teori om eksemplarisk undervisning, er at han finder det betydningsbærende at man følger med tiden, altså at man i sin planlæggelse og målfastsættelse når en konsensus om hvilke erkendelser, evner og holdninger, der er nødvendige for unge mennesker i dag og i fremtiden.31 Den eksemplariske undervisning skal give eleverne viden om hverdagen, livet og verden så eleverne bliver kompetente til at vurdere og handle i livet. 32 Herved bliver grundlaget for undervisningen nutidig og relevant, og skaber samtidig mulighed for at udvikle relevante kompetencer til selvbestemmelse og medbestemmelse i det demokratiske samfund vi lever i i dag og i det samfund vi forventer at møde i fremtiden. Formålet for faget matematik understreger også, at matematikken er en del af elevernes almene dannelse. 33 25 Wolfgang Klafki, side 189 Wolfgang Klafki, side 178 27 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik pkt. 1.3 28 Wolfgang Klafki, side 187 29 Wolfgang Klafki, side 180 30 Begrebsafklaring i afsnittet om ”matematik i anvendelse”. 31 Wolfgang Klafki, side 186 32 Wolfgang Klafki, side 188 33 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik pkt. 1.1 26 Side 12 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 …bidrage til deres personlige liv og til deltagelse i samfundslivet. På den måde skal folkeskolens matematikundervisning både virke alment dannende og som forberedelse til videre uddannelse og arbejdsliv… Nu har jeg, med udgangspunkt i bl.a. Blomhøj og Klafki, vurderet og argumenteret for, hvorfor matematik i anvendelse er relevant i skolesammenhæng og hvor stor en betydning funktionel undervisning har for elevernes almene dannelse og generelle forståelse for faget matematik. Endvidere har jeg, på det fagdidaktiske plan, bekræftet min tese om at matematikken er alment dannende, men hvordan får vi det så integreret i undervisningen? Det vil jeg komme ind på i næste afsnit. ”Matematik i anvendelse” i undervisningen Som et led i at besvare min problemformulering vil jeg undersøge og konkretisere, hvordan man som lærer kan inddrage ”matematik i anvendelse” i undervisningen. Det vil jeg gøre ved at inddrage Tomas Højgaards analyse af kompetencemålene og Freudenthals-RME tænkning som analyseredskaber i forbindelse med undersøgelsen af fire undersøgende matematiske tilgange der hver giver et bud på, hvordan man kan koble matematikken med hverdagen. Forenklede Fælles Mål lægger vægt på at undervisningen fremadrettet skal være målstyret, altså at planlægningen skal tage udgangspunkt i kompetence, videns og færdighedsmålene hvorefter man opstiller læringsmål og tilpasser aktiviteter og arbejdsmåderne, så de passer til det valgte mål. Samtidig er det essentielt at læringsmålene er synlige og formuleret i et aldersvarende sprog, at læreren har gennemtænkt hvilke tegn der kan være tegn på at eleverne er ved at nå målene, og at der bliver evalueret i forhold til de opsatte mål. En væsentlig pointe ifølge Tomas Højgaard er, at kompetencemålene kan være ”the missing link” mellem formålet for faget og pensum. Derfor mener han at undervisningen bør bygges op med udgangspunkt i kompetencemålene,34 som FFM foreskriver fra 2014, da det er elevernes faglige og personlige udvikling, i arbejdet med de matematiske begreber, der er det primære og ikke begreberne i sig selv. Endvidere mener han, at de faglige kompetencemål bl.a. kan bidrage til35 At motivere og fokusere undervisningen gennem diskussioner om målet, herunder blandt lærere indbyrdes og blandt lærere og elever. At sikre, at læreren træffer målfokuserede valg og udvikler elevudfordringer og elevernes arbejde hermed. 34 35 Håndbog om matematik i grundskolen, side 37 Håndbog om matematik i grundskolen, side 35 Side 13 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 At udvikle elevernes faglige autonomi gennem elevstyret projektarbejde med klar faglig orientering. At gøre formativ evaluering til en naturlig del af fagligt fokuseret undervisning. Højgaard mener endvidere, at de tre centrale dimensioner i undervisningens indhold skal være situationer, kompetencer og begreber.36 Hvilket, i samspil med både Folkeskolens Formål og de Forenklede Fælles Måls udgangspunkt i netop kompetencemålene, understreger at ideen med faglig udvikling, er at eleverne gennem arbejdet med faglige begreber skal opnå faglig viden og færdigheder indenfor et område for at udvikle kompetencer der kan sættes i spil i forskellige situationer. Situationerne skal være relevante og meningsfulde for den enkelte elev både i og udenfor skolen hvilket understøtter min tese om, at matematik også skal være anvendelsesorienteret og tage udgangspunkt i elevernes hverdag. Ifølge didaktikkens ”grand old man”37 Freudenthals RME-tænkning er det afgørende for elevernes læring og forståelse for fagbegrebernes anvendelse, at de selv får lov at ”genopfinde” matematikken. Her tænkes både på processen og produktet.38 Specielt matematiseringsprocessen er essentiel for elevernes forståelse for det enkelte begreb og dermed produktet. Forståelsen er nødvendig for at udvikle de matematiske kompetencer, som FFM fordrer, sagt med andre ord er det afgørende for at kunne anvende begrebet i en anden sammenhæng. Freudenthal mener endvidere at det er betydningsbærende for RME-tænkningen at elevaktiviteten har referencer til elevernes omverdensforestilling, altså at det er realistisk for eleverne, og at de har erfaringer, så de kan forestille sig den opstillede arena, hvad enten den er fiktiv eller faktisk,39 hvilket understøtter ideen bag min elevopgave. Endvidere er det essentielt at læreren formår at skabe muligheder for matematisering i en realistisk kompleks kontekst og derigennem skabe muligheden for progression i elevernes formelle udvikling, altså at eleverne gennem oplæg, støtte, progressiv skematisering, refleksion og diskussion bevæger sig fra det uformelle hen imod det formelle. Højgaards tre centrale dimensioner i undervisningen, situationer, kompetencer og begreber, lægger sig op ad den Freudenthalske tænknings Realistiske arenaer, matematisering af faglige begreber og omverdenen og at man lærer ved at prøve det.40 Dog har Freudenthal Deweys ”learning by doing” med i sine centrale dimensioner hvilket understreger, at eleverne skal genopdage matematikken og danne egne erfaringer. 36 Håndbog om matematik i grundskolen, side 37 Delta - fagdidaktik, side 379 38 Delta - fagdidaktik, side 392 39 Delta - fagdidaktik, side 384 40 Delta - fagdidaktik, side 384, 391 og 405 37 Side 14 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Min problemstilling går som sagt på at fremme elevernes forståelse for matematik i anvendelse. Derfor har jeg valgt de fire nedenstående indgangsvinkler til matematikundervisningen, for at undersøge hvilke indgangsvinkler der lever op til Folkeskolens Formål, Forenklede Fælles Mål og samtidig ville være overkommelige at integrere i undervisningen både for eleverne og læreren. Endvidere har jeg valgt disse fire tilgange idet de fokuserer på modellerings- og problembehandlingskompetencen, som jeg mener, er de væsentligste kompetencer i forhold til ”matematik i anvendelse”, idet de begge forholder sig til at anvende elementær matematik i praksis. Ydermere vil det være mit fokus, at undersøge om indgangsvinklerne lever op til de, ifølge Højgaard, tre centrale dimensioner i undervisningens indhold - situationer, kompetencer og begreber. Modellering Modelleringskompetencen er, ifølge KOM-rapporten, tosidet. På den ene side skal eleverne udvikle kompetencer til at analysere, vurdere og kritisere egenskaberne ved matematiske modeller. På den anden side skal eleverne udvikle kompetencer til selv at modellere, dvs. at de skal bringe elementær matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender udenfor matematikken selv. 41 KOMrapporten anbefaler, at man på begyndertrinnet kun anvender delprocesserne matematisering og behandling af den opståede model i praksis. Ifølge Blomhøj defineres modellering ved at betegne den proces, hvorunder en matematisk model opstilles og anvendes til at beskrive, forudsige eller foreskrive forhold udenfor matematikken. 42 Endvidere fremhæver Blomhøj, at nogle af undervisningsministeriets grunde til at modellering er blevet en væsentlig større del på bekendtgørelsesniveau er at modellering er med til at motivere pga. at det bliver brugbart, skaber sammenhænge med dagliglivet, danner en kritisk dømmekraft overfor opstilling og anvendelse af matematiske modeller.43 Dog mener Blomhøj at de læringsmæssige potentialer i modellering ikke bliver anvendt i praksis, måske fordi det stiller for store krav til lærerenes planlægning og gennemførelse at integrere som en del af undervisningen, og at det er en modsætning til den formidlende lærebogsundervisning. I undersøgelsen fra 2006 var det kun 15-17% der anvendte eksperimenterende undervisning i klassen og 5-7% der anvendte eksperimenterende undervisning udenfor klassen. Undersøgelsen vedrørende brugen af eksperimenterende undervis- 41 Kompetencer og matematiklæring, side 204 Kan det virkelig passe?, side 51 43 Kan det virkelig passe?, side 52 42 Side 15 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 ning i EVA2006 viste at det kun var 15-17% der anvendte eksperimenterende undervisning i klassen, og 5-7% der anvendte eksperimenterende undervisning udenfor klassen.44 Blomhøj ser anvendelsen af modellering i matematikundervisningen som almendannende,45 da elevernes egne erfaringer, allerede i indskolingen, kan gøres til genstand for modeller og undervisning og derved blive meningsfyldte og skabe en begyndende kobling mellem undervisning og dagliglivet. Mange matematiske modeller er, som tidligere nævnt, skjulte i vores teknologiske samfund, og kan derfor være svære at synliggøre. Matematikundervisningen bør derfor, ifølge Blomhøj, formidle et nuanceret billede af matematikkens rolle i samfundet, også den skjulte matematik.46 Herunder er det essentielt at der kontinuerligt undervises direkte i modellering, da modelleringskompetencen ikke udvikles af sig selv gennem matematisk viden og færdigheder for de forskellige matematiske begreber.47 Modelleringskompetencen er væsentlig i forhold til at forstå matematikkens rolle i vores kultur og samfund. Endvidere giver kompetencen os som borgere muligheden for kritisk at tage stilling til de konkrete anvendelser af matematiske modeller. Modellering lægger endvidere op til tværfaglige forløb hvilket kan være med til, at eleverne ser flere af matematikkens anvendelsesmuligheder udenfor matematikken. Undervisning med udgangspunkt i modelleringskompetencen lever op til de dele af Folkeskolens Formål og FFM om at eleverne skal kunne forstå, vurdere og stille sig kritisk og dermed være til gavn for samfundet. Endvidere kan både matematiske begreber, kompetencer og situationer gennem planlægning realiseres. Hvis man starter i det små med at integrere modellering i undervisningen og derved vænne både lærere og elever til denne form for undervisning, bør det være både relevant og overkommeligt for alle parter. At modellering af elevernes hverdag og erfaringer er alment dannende, og skaber motivation og læring hos eleverne understøttes af Klafkis teori om den eksemplariske undervisning, hvilket endvidere understøtter min tese omkring udgangspunkt i elevernes verden skaber motivation og forståelse. 44 http://www.eva.dk/projekter/2005/arbejdet-med-at-udvikle-elevernes-matematikkompetencer/ side, 48, figur 8 Kan det virkelig passe?, side 54 46 Kan det virkelig passe?, side 58 47 Kan det virkelig passe?, side 62 45 Side 16 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Problembehandling Problembehandlingskompetencen er ifølge KOM-rapporten også tosidet. På den ene side skal eleverne udvikle kompetencer til at finde og formulere elementære matematiske problemer og på den anden side skal de udvikle kompetencer i at løse elementære problemer, egne såvel som andres.48 Ifølge Peter Weng kræver problembehandling et argumenteret, begrundet og forklaret svar, ikke bare et ja eller nej. At eleverne skal kunne argumentere, begrunde og forklare deres svar, er i stor grad med til at øge deres læring da det kræver forståelse for det enkelte begreb, at kunne argumentere for brugen af det. Endvidere mener Weng, at matematiske problemer er individuelle, derfor er det vigtigt at matematikundervisningen bliver nærværende, og undersøgelsesfelterne er åbne så den enkelte elev kan undre sig, blive udfordret på sin undring og den vej blive motiveret til at undersøge sin problemstilling. Herved oplever den enkelte elev problembehandlingen som nødvendig, og gennem arbejdet med de enkelte begreber erfarer eleven at matematikken kan anvendes til at opnå resultater - opgaven bliver derved meningsfuld.49 Hvilket understøttes af Klafkis teori om eksemplarisk undervisning hvor det er essentielt at læreren formår at inddrage forskellige problemstillinger der fordrer at eleven anvender allerede lært stof i nye sammenhænge, hvilket gør at stoffet bliver meningsfuldt og rodfæstes. Igen bekræftes ideen bag min elevopgave. Peter Weng mener at systematisk inddragelse af problembehandling kan gavne de fleste elever,50 men det er af stor betydning at, man som lærer, tillægger problembehandling stor værdi og har høje forventninger til eleverne. Endvidere er det helt fra begyndertrinnet vigtig at få opbygget et sociokulturelt klassemiljø, hvor det er læring der er målet.51 Herunder er det essentielt at der er en fejlkultur i klassen så eleverne har en oplevelse af, at man lærer af egne og andres fejl. Derfor er det vigtigt at man, på klassen, diskuterer og reflekterer over de valgte strategier, hvorfor fungerer nogle teorier nogle steder men ikke andre? Ydermere er ræsonnement over resultaterne betydningsbærende for den overordnede forståelse for hele situationen. Ifølge Weng er det i disse ræsonnementer, diskussioner og refleksioner, at eleverne lærer og udvikler deres matematiske kompetencer. Ved brug af problembehandlingskompetencen i praksis kommer man omkring de fleste kompetenceområder, hvilket ,ifølge Weng, er valid argumentation for, at det hører hjemme i undervisningen, både som mål og arbejdsmåde.52 Et eksempel kunne være, at der skulle arrangeres en klassefest og 48 Kompetencer og matematiklæring, side 200 Håndbog for matematik i grundskolen, side 164 50 Håndbog for matematik i grundskolen, side 168 51 Håndbog for matematik i grundskolen, side 167 52 Håndbog for matematik i grundskolen, side 162 49 Side 17 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 eleverne skulle stå for det hele. Der er 725kr i klassekassen, hvad gør vi? Her skal eleverne modellere et budget, argumentere og begrunde hvorfor deres valg af eksempelvis menuen er bedst. De skal ræsonnere over, sammenligne og vurdere andres ideer. De diskuterer hermed fagligt, hvorfor en strategi virker og en anden ikke gør. KOM-rapporten argumenterer for at man i tilfælde af åbne problemstillinger er nødsaget til at anvende modelleringskompetencen, inden man kan finde og formulere det egentlige problem. Med problembehandling som indgangsvinkel i matematik kan man leve op til dele af Folkeskolens Formål, FFM og matematiske begreber, kompetencer og situationer kan gennem planlægning realiseres. Problembehandlingen tager det et skridt videre end modellering i form af fokusset på ræsonnementet over de opnåede resultater, hvilket kan være med til at give eleverne faglige kompetencer til at vurdere og kritisere anvendte strategier. Ydermere er det i denne tilgang ”læringen” der er målet og ikke det enkelte begreb, hvilket understøttes af Højgaards udtalelse om at det er elevens faglige og personlige udvikling, der er i fokus og ikke begrebet i sig selv. Endvidere er denne indgangsvinkel også relevant og overkommelig at integrere hvis man starter i det små. Undersøgelseslandskaber Ole Skovsmose er kendt for sin teori omkring undersøgelseslandskaber hvor han inddeler faget i to typer, opgaveparadigmet og undersøgelseslandskaber.53 Herunder er de pågældende typer inddelt i hvilken grad de refererer til virkeligheden. Opgaveparadigmet Undersøgelseslandskaber Referencer til ”ren” matematik (1) (2) Referencer til en ”semi-virkelighed” (3) (4) Reelle referencer (5) (6) Læringsmiljøer, af Ole Skovsmose. Det der karakteriserer et undersøgelseslandskab er at man er blevet inviteret, og at man tager imod invitationen til at undersøge. Undersøgelseslandskabet bliver først helt optimalt når eleverne selv stiller nye undrende spørgsmål, som ”hvad nu hvis” og ”hvorfor gør den så’n”, og derefter søger at svare på interessespørgsmålene. For at et læringsmiljø, i Skovsmoses teori, skal indeholde matematik i anvendelse, som begrebet anvendes i denne opgave, skal der arbejdes med reelle referencer for at eleverne får lavet en reali- 53 Kan det virkelig passe?, side 149 Side 18 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 stisk kobling mellem matematikken og virkeligheden. Denne kobling kan både laves i læringsmiljø 5 og 6. Selvom læringsmiljø 5 er en del af opgaveparadigmet, og derfor reelt befinder sig på skolen i en opstillet opgave, er problemet der løses realistisk og kunne være opstået i en situation udenfor skolen. En variation af brugen af de forskellige læringsmiljøer optimal, hvilket Skovsmose understreger ved, at han råder den enkelte klasse til at finde en fælles rytme og bevæge sig rundt i de forskellige læringsmiljøer.54 Undersøgelseslandskaber lever blandt andet op til den fordybende-, undersøgende- og fantasifulde del af Folkeskolens Formål og FFM, men som Skovsmose klart udtrykker det kan det ikke stå alene i en optimal undervisning. Endvidere kan både matematiske begreber, kompetencer og situationer gennem planlægning realiseres. Som de to ovenstående tilgange bør undersøgelseslandskaber, i et vist omfang, også være mulige at integrere i undervisningen, hvis der igen startes i det små. Undersøgelseslandskaber kan dog være tidskrævende og det kan være svært at lave en invitation alle eleverne tager imod. Undersøgelsesbaseret matematik Inquiry Based Education (IBE) kan ifølge Blomhøj løseligt defineres som undervisning hvor eleverne arbejder målrettet med at afgrænse og formulere problemer, gennemføre og kritisere eksperimenter eller andre empiriske undersøgelser, opsøge information, konstruere modeller, danne hypoteser, debattere med hinanden og læreren samt at udvikle og formidle sammenhørende faglige argumenter.55 Undersøgelsesbaseret undervisning ses, ifølge Povl Hansen, som en form for overbegreb i forhold til tilgange som modellering og undersøgelseslandskaber.56 Ifølge Blomhøj kan IBE give eleverne mulighed for, gennem undersøgelser i sjove, udfordrende og relevante tilgange til matematikundervisningen, at opleve og danne egne erfaringer med det faglige indhold. Hvilket kan være med til at integrere de faglige begreber i elevernes personlige udvikling og dannelse.57 Der er tre dimensioner i IBE som man skal være opmærksom på i praksis. 1) graden af problemorientering, 2) graden af anvendelsesorientering, 3) graden af frihed. Disse tre dimensioner kan justeres, alt efter hvilken undersøgelse der iværksættes. Povl Hansen tilføjer her en mulig progression i frihedsgraden, bekræftende undersøgelser, strukturerede undersøgelser, guidede un54 Kan det virkelig passe?, side 152 Håndbog for matematik i grundskolen, side 173 56 Undersøgelsesbaseret matematikundervisning, side 40 57 Håndbog for matematik i grundskolen, side 173 55 Side 19 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 dersøgelser og åbne undersøgelser.58 Her øges graden af elevernes frihed over tid som en tilvænning for både lærere og elever. Dog er det vigtigt, at selvom undersøgelserne i begyndelsen er lærerstyret, skal den undersøgende undervisning indeholde flere aspekter fra den cykliske model. Spørge/undre, undersøge, dokumentere, fortolke, drøfte/reflektere, kommunikere konklusioner/resultater og forfra med ny undring.59 Det er essentielt at der etableres en undersøgelsesbaseret undervisningskultur i klassen, hvor eleverne først og fremmest skal undersøge hypoteser og derefter ræsonnere og reflektere sig frem til eller afkaste en matematisering af hypotesen. Her argumenterer Blomhøj bl.a. ud fra Deweys teori om ”reflective inquiry”, altså at der skal være et samspil mellem undersøgelse og refleksion heraf for at opnå læring. Det er endvidere af stor betydning at læreren udfordrer eleverne gennem dialog, og støtter dem i en systematisering af undersøgelserne. Dog mener Blomhøj, ligesom Skovsmose, ikke det vil være hensigtsmæssig kun at have undersøgelsesbaseret undervisning, men det optimale vil derimod være en balance mellem undervisning af formidlende og undersøgende karakter. For at IBE skal blive en succes i undervisningen skal de undersøgende aktiviteter iscenesættes så de fremstår som målrettede og motiverende, og læringsmålene for undersøgelsen skal være klare og synlige for eleverne.60 IBE lever op til de undersøgende, fordybende og oplevelsesprægede dele af Folkeskolens Formål og FFM. Endvidere er der mulighed for at bringe alle de matematiske kompetencer i spil, men især modellerings-, problembehandlings-, kommunikations- og ræsonnementskompetencen kommer i spil. Denne tilgang kan være en stor mundfuld og som Povl Hansen også kommenterer, er det for mange lærere uoverkommeligt at integrere i undervisningen. Her kan man følge Povl Hansens step by step indføring af undersøgelsesbaseret undervisning ved at justere på graden af frihed. Denne progression ville også være fordelagtig at anvende i de andre anvendelses- og undersøgelsesorienterede tilgange ovenfor. En vigtig pointe er, ifølge Blomhøj, at det ikke vil være hensigtsmæssigt kun at anvende den undersøgende tilgang til undervisningen. Endvidere kan både matematiske begreber, kompetencer og situationer gennem planlægning realiseres. Opsamling Selvom der både i Fælles Mål 2009, (og nu Forenklede Fælles Mål 2014), Folkeskoleloven og i ovenstående didaktiske teorier fremhæves at der er stort læringsmæssigt potentiale i at anvende un58 Undersøgelsesbaseret matematikundervisning, side 44 Undersøgelsesbaseret matematikundervisning, side 39 60 Håndbog for matematik i grundskolen, side 185 59 Side 20 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 dersøgende, problembehandlende og modellerende undervisningsformer, er det, ifølge EVA2006, ikke blevet implementeret i undervisningen endnu. Povl Hansen har dog en tese om, at det kan være fordi lærerne mangler støtte til udvikling af deres praksis.61 Umiddelbart lever alle fire tilganges tanker op til FFM, Folkeskoleloven og Højgaards tre væsentlige dimensioner. Det kræver dog at problemet, modellen, undersøgelsen eller undersøgelseslandskabet der vælges, er gennemtænkt og komplekst nok til at skabe de frustrationer det kræver, for at den enkelte elev motiveres til at finde en løsning. Endvidere kan tilgangene integreres, hvis man starter i det små, og progressivt øger graden af frihed fra lærerstyret undervisning over medbestemmelse til selvbestemmelse. Alle fire tilgange vægter, ligesom den Freudenthalske grundtanke, at undervisningen skal være realistisk, funktionel og relevant for elevens verden, hvorved den kan opleves som relevant og funktionel. Selvom de ikke allesammen kommenterer at tilgangen er alment dannende, ligger det implicit i deres fokus på at undervisningen netop skal tage udgangspunkt i elevernes verden for at skabe en sammenhæng mellem matematik og virkelighed, så de oplever at matematikken bliver synlig og relevant. Man kan argumentere for, at de fire tilgange grundlæggende minder om hinanden og mere eller mindre dækker samme mål. Der er dog forskellige ting, de hver især fokuserer på. Blomhøj lægger eksempelvis vægt på at der bør undervises direkte i modelleringstilgangen, eleverne skal altså undervises i hvordan man modellere, da det ikke kommer af sig selv. Endvidere siger han, at koblingen mellem matematik og hverdagen er essentiel for at forstå matematikkens rolle i samfundet. Skovsmose fremhæver at eleven skal acceptere invitationen til undersøgelseslandskabet, for at det kan realiseres. Han siger også, at det er vigtigt at variere brugen af miljøer. Weng fremhæver i problembehandlingen at det er vigtigt, at læreren tillægger tilgangen stor værdi og har høje forventninger til eleven. Endvidere mener han, at tilgangen bør inddrages systematisk i undervisningen. Ydermere er det her essentielt at der skabes en kultur i klassen om at det er læringen der er målet, og at man også lærer af de fejl man laver. Han fremhæver, ligesom IBEtænkningen, at det er i ræsonnementet og refleksionen læringen virkelig sker. Blomhøj pointerer i forhold til IBE-tænkningen, at det er vigtigt at man finder en balance mellem en formidlende og undersøgende undervisning. IBE-tænkningen inddrager mere eller mindre de tre andre tilgange, hvorved man kunne fristes til kun at inddrage den ene tilgang i sin undervisning eller selektere fra alle fire tilgange og lave sin egen model, der passer på den klasse man underviser i. Alt i alt finder jeg alle fire tilgange relevante at inddrage i undervisningen for at sætte fokus på matematik i anvendelse. Endvidere kan de sagtens inddrages i en kompetence målstyret undervisning. 61 Undersøgelsesbaseret matematikundervisning, side 37 Side 21 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Det må være op til den enkelte lærer, hvilken tilgang de mener der er nemmest at integrere i deres undervisning. Dog gælder det for alle tilgangene at de bør integreres allerede fra indskolingen, og at der bør foregå en vis progression i graden af elevfrihed og kompleksitet. Både Freudenthal, Højgaard og de fire tilgange lægger stor vægt på at den undersøgende undervisning skal tage udgangspunkt i elevernes verden, hvorved der kommer fokus på elevernes almene dannelse. Sidst men ikke mindst er det væsentligt at der sker en vekselvirkning i de forskellige læringsmiljøer, altså at der skal være en dialektik mellem formidlende og undersøgende undervisning og mellem lærerstyret og elevstyret undervisning. Det vigtigste er dog at man som lærer er klar over at det ikke er tilgangen eller for den sags skyld læremidlet, i sig selv der gør undervisningen til en succes, men måden hvorpå læreren anvender den i praksis. Dermed sagt er samspillet mellem materiale, læreren og eleverne altafgørende for elevernes læring, herunder skal både de indre og ydre påvirkninger medtænkes. Nu har jeg med udgangspunkt i Blomhøj, Klafki, Freudenthal og Højgaard m.fl. argumenteret for hvorfor matematik i anvendelse skal, og hvordan det kan integreres i undervisningen. Men hvordan lærer eleverne i en undervisning, der systematisk inddrager matematik i anvendelse? Det vil jeg komme ind på i næste afsnit. Læring i forhold til matematik i anvendelse For at komme omkring den del af min problemformulering der drejer sig om at ”fremme elevernes forståelse”, vil jeg i dette afsnit fokusere på læring i en funktionel undervisning. Derfor vil jeg først og fremmest, ud fra Illeris’s definition på læring, afklare hvordan det anvendes i denne opgave. Herudover vil jeg argumentere for hvornår og hvordan didaktiske læringssituationer kan opstå i en undersøgende undervisning, og hvilken indvirkning motivation kan have på elevernes læring. Endvidere vil jeg argumentere for hvilken indvirkning forældresamarbejdet kan have på elevernes motivation og læring, og hvordan vi, som lærere, kan anvende disse som ressourcer i undervisningen. Læring Ifølge Illeris skal læring defineres bredt for ikke at begrænse forståelsen af begrebet. Han mener at læring er enhver proces, der hos levende organismer fører til en varig kapacitetsændring, og som ikke kun skyldes glemsel, biologisk modning eller aldring.62 Begrebet læring er i denne opgave tillagt betydningen at eleven konstruerer en varig ændring i sin kapacitet, altså en øget forståelse for 62 Læring, side 15 Side 22 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 en given viden og færdighed, hvilket gør at eleven kan anvende denne viden, færdighed, forståelse og indsigt til at skabe en sammenhængende forståelse af virkeligheden.63 Læring er ifølge Brousseau formet af den kognitive aktivitet, der opstår gennem interaktion med materialer og de sociale omstændigheder omkring arbejdet med materialerne, specielt kommunikationen med læreren.64 Hvilket Illeris understreger med sin teori omkring læringstrekanten, hvor impulserne fra samspillet mellem individet og omverden er afgørende for måden hvorpå eleven tilegner sig indholdet. Michael Wahl supplerer med at det er essentielt for elevernes hukommelse og i den forbindelse læring at de møder den samme problemstilling med forskellige repræsentationer, herunder konkrete materialer, skriftlig kommunikation, mundtlig kommunikation og hverdagssituationer,65 for at skabe flere mentale billeder og koblinger mellem et givent begreb. Endvidere giver det muligheden for at vælge i strategierne næste gang de møder en lignende problemstilling. Illeris tilføjer at elevens drivkraft har afgørende betydning for hvilken mental energi eleven investerer i tilegnelsesprocessen,66 og dermed har indflydelse på mængden af tilegnet viden. Eleverne skal have muligheden for at opdage, eller genopdage, matematikken, idet læringen sker når eleven føler et behov for at løse en given opgave i en given situation.67 Wahl mener at det er af afgørende betydning for elevernes læring at de matematiske begreber knyttes til meningsbærende erfaringer hvilket kræver, at man har fokus på deres sproglige forudsætninger.68 Brousseau understreger at det er essentielt for elevernes faglige og sociale udvikling at der veksles mellem a-didaktiske og didaktiske situationer, så der sker en vekselvirkning mellem undervisning og selvstændigt arbejde. 69 Her er det betydningsbærende at de a-didaktiske situationer, hvor eleverne skal handle selvstændigt med nøje planlagte problemstillinger, er tilpasset deres nærmeste udviklingszone.70 For hvis problemstillingerne bliver for simple, eksempelvis ved at læreren overkompensere og giver elever alt for meget støtte, sker Topaze effekten, og eleverne vil mangle motivation til at engagere sig i opgaven, og læringen udebliver. Det samme sker hvis problemstillingerne bliver for svære.71 Endvidere er det fundamentalt at der er en progression i de a-didaktiske situationer, så eleverne går fra lærerstyret undervisning henover medbestemmelse til selvbestemmelse. Illeris tilføjer at det er afgørende for elevernes læring at der i det indholdsmæssige skabes en sammenhæng mellem den viden der tileg63 Læring, side 40 Delta, side 417 65 Matematiske billeder, sprog og læsning, side 14 66 Læring, side 104 67 Delta, side 429 68 Matematiske billeder, sprog og læsning, side 19 69 Delta, side 431 70 Delta, side 426 71 Delta, side 423 64 Side 23 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 nes og en forståelse af denne viden, så den kan anvendes i andre sammenhænge.72 Denne sammenhæng kalder Brousseau for institutionalisering. Her er det fundamentalt, at læreren samler op på aktiviteterne og kobler både resultater og aktiviteter til målene for at skabe en bro mellem det lærte og alment accepteret viden.73 Herved støttes eleverne til at opleve mening og sammenhæng i undervisningen og stilladseres herigennem til selv at skabe sammenhæng mellem allerede kendt viden og den nye viden. Wahl understreger også vigtigheden i at skabe sammenhænge mellem de forskellige repræsentationsformer og at det er af afgørende betydning for elevernes tilegnelse af funktionelle matematiske kompetencer, at matematikken bliver knyttet til hverdagssituationer.74 En sidste pointe jeg vil fremhæve fra Illeris er at han finder det essentielt, at eleverne gennem indholdet får mulighed for at udvikle kritisk tænkning, og samtidig udvikle deres evne til at reflektere både over egen læring og personlig udvikling.75 Motivation Motivation forstås i denne opgave som det Illeris kalder drivkraft. Drivkraften kan opstå af lyst, interesse, tvang eller nødvendighed og er den psykiske energi eleven iværksætter for at gennemføre en læreproces.76 Ifølge Illeris sker elevernes tilegnelse, af indholdet, altid i forbindelse med en drivkraft. Illeris mener endvidere at eleverne kan motiveres ved at skabe faglige situationer, eksempelvis i form af projektarbejde, der skaber optimal frustration og uoverensstemmelser77 i elevernes allerede tilegnede viden, og dermed skabes mulighed for akkomodation. Hvilket understreges af Piagets tanke om menneskets trang til at skabe og søge efter mening.78 Som jeg nævnte i afsnittet omkring ”Hvorfor matematik”, lægger de kognitive perspektiver på motivation op til at der skal være en kognitiv ubalance, for at den enkelte bliver nysgerrig og motiveret til at undersøge problemet. En sådan motivation kan skabes i forbindelse med de forskellige tilgange der er inddraget i afsnittet omkring ”Hvordan kan matematik i anvendelse integreres i undervisningen”, hvor eleverne møder åbne opgaver, der udgør et problem, en ubalance, for den enkelte. Endvidere har Robert Rosenthal påvist, gennem psykologiske studier, at hvis man har høje, positive forventninger til sine elevers faglige og sociale kompetencer, vil de klare sig markant bedre, end hvis man har negative forventninger til dem.79 Dermed sagt motiveres eleverne til at gøre deres bedste for at leve op til 72 Læring, side 88 Delta, side 437 74 Matematiske billeder, sprog og læsning, side16 75 Læring, side 77 76 Læring, side 37 77 Læring, side 103 78 Elevens verden, side 329 79 http://www.aprokom.dk/cm700/ 73 Side 24 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 lærerens forventninger for at opnå dennes ros og anerkendelse. Samtidig med at læreren, gennem sin tiltro og forventninger, hele tiden udfordrer eleven i den nærmeste udviklingszone. Forældresamarbejde Kravet om samarbejde mellem skolen og hjemmet har været en del af Folkeskolens Formålsparagraf siden 1975, hvor samarbejdet figurerede i § 2.80 I den seneste udgave af Folkeskolens Formålsparagraf er punktet, omkring samarbejdet mellem forældre og skolen, rykket frem til § 1, § 2 stk. 3 og § 13.81 § 1. Folkeskolen skal i samarbejde med forældrene give eleverne kundskaber og færdigheder, der: forbereder dem til videre uddannelse og giver dem lyst til at lære mere… fremmer den enkelte elevs alsidige udvikling. §2 Stk. 3. Elever og forældre samarbejder med skolen om at leve op til folkeskolens formål. § 13. Eleverne og forældrene, jf. § 54, skal regelmæssigt underrettes om lærernes og eventuelt skolens leders syn på elevernes udbytte af skolegangen. Forældrene skal underrettes skriftligt om resultaterne af test, jf. stk. 3. Det er dog ikke i paragrafferne udspecificeret hvad der konkret forventes af samarbejdet udover at det i 2007 blev indført, at der skulle forelægge elevplaner som dokumentation for skolens vurdering af elevernes udbytte. Grundet utydeligheden i loven kan det være et stort arbejde at skabe et meningsfuldt og relevant indhold i samarbejdet mellem skole og forældre. Ifølge EVA2012’s undersøgelser omkring skole-hjem-samarbejdet er der nogle faktorer der spiller en væsentlig rolle, for at samarbejdet kan lykkes. Her er et udpluk af de oplistede faktorer: 82 Fælles tilgang blandt lærere og ledelse til skole-hjem-samarbejde Positive forventninger til forældrene, herunder at alle forældre kan bidrage Lærerene skal give forældrene didaktiske redskaber til at støtte børnenes læring Endvidere bør forventningerne til både skolens, lærerenes, forældrenes og elevernes indsats afstemmes og ekspliciteres ved skolestart og formativt evalueres og differentieres 83 alt efter forældre- 80 http://danmarkshistorien.dk/leksikon-og-kilder/vis/materiale/lov-om-folkeskolen-26-juni-1975/ https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=163970#Kap1 82 Det gode skole-hjem-samarbejde med forældre i udsatte positioner, side 22-23 83 Det gode skole-hjem-samarbejde med forældre i udsatte positioner, side 30 og 81 81 Side 25 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 nes ressourcer. En anden vigtig pointe er, ifølge EVA2012, at der blev lagt fokus på elevernes styrker og udviklingspotentialer fremfor en fejlfindingskultur. I min 3. års praktik var et af fokusområderne skole-hjem-samarbejde. I den forbindelse udformede jeg et forældrebrev og dertilhørende aktivitetsliste84 med didaktiske redskaber der kunne støtte inddragelsen af matematik i elevernes hverdag og derved supplere det matematiske emne, addition og subtraktion, som vi skulle arbejde med i praktikforløbet. Mit fokus i forældresamarbejdet var at matematikken skulle inddrages som en naturlig del af elevernes hverdag, og derved være til minimal ulejlighed for forældrene, som i forvejen har rigeligt at se til. I slutningen af mit praktikforløb lavede jeg en spørgeskemaundersøgelse, på forældreintra, vedrørende forældrenes vurdering af aktiviteternes effekt for deres barns læring samt kompleksiteten af at inddrage det i hverdagen.85 Til trods for at der kun var 7 ud af 18 forældre der svarede på undersøgelsen, var de responderende forældre overvejende enige om, at der var en synlig udvikling i deres barns læring indenfor emnet, at barnet blev bedre til at anvende matematikken i praksis og at aktiviteterne havde været forholdsvis nemme at inddrage i en ellers hektisk hverdag. Hvilket bekræfter min tese om, at en støttende hjælpeguide til forældrene kan gøre en stor forskel på elevernes motivation og læring. For at undersøge hvordan andre bruger forældreintra i forhold til samarbejdet med forældrene, har jeg interviewet Annette Lilholt, lærer i udskolingen i Jetsmark skolecenter. For at involvere forældrene og hjælpe dem med at støtte deres børns faglige udvikling poster hun, i forbindelse med hvert matematiske emneskift, didaktiske redskaber på forældreintra, en ”Sådan hjælper du dit barn med…” guide, der kan supplere og støtte forældrene i at hjælpe deres barn med det pågældende emne. Ifølge Annette Lilholt skaber disse ”hjælpeguider” en gensidig interesse mellem de fleste forældre og deres børn til at kaste sig ud i øvelserne derhjemme. Annette spørger altid på klassen, hvem der har fået kigget på guiden sammen med en forælder. Hvilket har vist sig at smitte af på flere af de andre elever, der efterfølgende er gået hjem og har kigget på guiden sammen med en forælder, siger Annette. Flere elever fortæller på klassen at de klarer sig bedre når de har gennemgået guiden derhjemme, hvilket også smitter af på de andre elever. Endvidere giver guiden forældrene en fornemmelse af, hvordan vi arbejder med matematik i skolen, fortsætter Annette, og det er med til at skabe en yderligere interesse hos forældrene til at følge mere med i elevernes tests og tilgange til næste 84 85 Se bilag 7 Se bilag 8 Side 26 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 emne. Det har også vist sig at de elever der har gennemgået guiden derhjemme er mere interesseret i at klare sig godt til den efter følgende test, slutter Annette. Opsamling Når jeg ud fra ovenstående argumenterer for, hvornår og hvordan didaktiske læringssituationer kan opstå i en undersøgende undervisning, vil jeg først og fremmest understrege at både Brousseau, Illeris og Wahl lægger stor vægt på interaktionen mellem eleven og det sociale, omverdenen og hverdagssituationer, hvilket er alfa og omega i de undersøgende tilgange til matematikken. Endvidere understreger de alle tre, på hver deres måde, at det er i koblingerne mellem matematikken og elevens verden, at den egentlige læring, kapacitetsændring, sker. Wahl siger det ved at man ved hjælp af flere mentale billeder af repræsentationsformer, specielt hverdagssituationer, har større mulighed for at ”huske” forskellige strategier og anvende dem i andre sammenhænge. Endvidere siger han at læringen sker, når matematikken bliver knyttet til meningsbærende situationer. Illeris siger det ved, at individets tilegnelsesproces afhænger af samspillet med elevens omverden. Brousseau siger det ved, at læringen er formet af de sociale omstændigheder omkring interaktionen mellem eleven og materialet. Ydermere så vi i afsnittet omkring ”Matematik i anvendelse i undervisningen” at ræsonnementskompetencen var essentielt for elevernes tilegnelse af stoffet. Hermed kan man ud fra ovenstående udlede at matematik i anvendelse, altså koblingen mellem matematikken og hverdagen og refleksioner over denne kobling, bidrager til elevernes læring. De undersøgende tilgange til matematikundervisningen jeg har anvendt i denne opgave, mener alle at problemstillingen skal udspringe af elevernes erfaringsverden, hvilket kan være en væsentlig motivationsfaktor for de fleste elever. ”Matematik i anvendelse” er med til at motivere netop pga. at det bliver brugbart, skaber sammenhænge med dagliglivet og danner en kritisk dømmekraft. Herved kan man udlede at matematik i anvendelse styrker elevernes motivation, idet de herigennem for muligheden for at anvende matematikken på noget, de hver især finder brugbart og relevant. Det svære består i at finde en opgave der er tilpas åben til at motivere alle eleverne trods deres forskelligheder, og samtidig så lukket at eleverne kan overskue projektet. En sådan opgave bør indeholde elementer der kan skabe ubalancer hos den enkelte elev, så de motiveres til at søge efter en løsning og derved skabe balance igen. Uanset om man i en undervisning anvender undersøgende tilgange eller ej, bør man, som lærer, have høje og positive forventninger til den enkelte elev, så eleven derigennem føler sig motiveret til at præstere for at opnå lærerens anerkendelse. Forventningerne til eleven vil forhåbentlig med tiden smitte af så eleven udvikler høje og realistiske forventninger til sig selv, og derigennem præsterer for egen anerkendelse. Side 27 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Høje, realistiske forventninger, interesse og tiltro fra forældrene kan også motivere eleverne til at engagere sig og derved præstere bedre, hvilket tydeliggøres igennem min egen forældreundersøgelse og mit interview med Annette Lilholt. I det ovenstående ser man tydeligt, at et forældresamarbejde kan og bør ses som en ressource. Det kræver, som alt andet, nogle ressourcer for at komme i gang. Her er det, ifølge EVA2012, vigtigt at skolen og lærerne har en fælles tilgang til hvordan skole-hjem samarbejdet skal foregå, høje forventninger til samarbejdet og at forventningerne mellem skolen, lærerene, forældrene og eleverne bliver afstemt og ekspliciteret allerede ved opstart. Herved ved alle hvilken rolle de forventes at udfylde. Endvidere er det essentielt at forældrene, i form af eksempelvis didaktiske redskaber, støttes i hvordan og med hvad, de kan hjælpe deres børn. Her kan man, som lærer, bl.a. inddrage forældrene i at hjælpe eleven/barnet med det enkelte begreb/emne ligesom Annette Lilholt gør med sine ”hjælpeguider” eller man kan inddrage forældrene til at hjælpe med at knytte matematikken til hverdagen som jeg selv har gjort i min 3. års praktik. Nu har jeg argumenteret for hvornår og hvordan didaktiske læringssituationer kan opstå i en undersøgende tilgang til matematik og hvordan forældresamarbejdet kan bruges som en ressource til at støtte elevernes motivation, interesse, kobling til hverdagen og læring. I det efterfølgende afsnit vil jeg analysere den opgave, jeg forfattede og valgte at inddrage i min 4. års praktik for at arbejde målrettet med elevernes forståelse for matematik i anvendelse. Da jeg kun havde otte lektioner matematik i min 4.års praktik blev forældresamarbejdet beklageligvis ikke en mulighed. Empiri Med henblik på at inddrage en praksis vinkel i forhold til min problemformulering var det i min 4.års praktik mit mål at øge elevernes forståelse for matematik i anvendelse. Derfor valgte jeg at undersøge elevernes forståelse for ”matematik i anvendelse” før og efter undervisningen, for at kunne måle på en eventuel ændring i elevernes kapacitet. Det var min intention at realisere mit mål gennem en praktisk opgave, hvor eleverne skulle tegne, klippe og bygge en model af et legehus i karton og efterfølgende beklæde modellen med brædder (ispinde). Brædderne skulle købes i den lokale trælast (læreren) og saves i de rette længder (klippes) med et fokus på minimalt spild af træ. Eleverne skulle inden opstart lave et overslag over de formodede udgifter til beklædningen, hvilket de som afslutning skulle sammenligne med den reelle udgift, der havde været i forbindelse med at beklæde deres legehus. I opgaven ville eleverne få muligheden for, på en kreativ og visuel måde at anvende allerede lærte regnestrategier i en hverdagsorienteret sammenhæng. Herved ville eleverne Side 28 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 få mulighed for at danne egne erfaringer med koblingen mellem matematikken og hverdagen. Det primære fokus med projektet var at udvikle elevernes forståelse for matematik i anvendelse, hvor der endvidere skulle inddrages kompetencer indenfor eksempelvis måling, bestemme antal ved hjælp af de fire regningsarter mm for at løse opgaven.86 Der er mange muligheder for differentiering i opgaven og tanken var at opgaven kunne inddrages over flere gange men med et nyt matematisk emne i fokus. På den måde ville man tage udgangspunkt i noget allerede kendt, og bygge videre på det og skabe flere mentale billeder på de begreber der er i fokus. Igennem en testkørsel af elevopgaven, i en 6. klasse, blev jeg klar over, at eleverne havde brug for stilladsering i forhold til den faglige læsning. Derfor valgte jeg at stilladsere ekstra meget i forhold til læsning og forståelse af opgaven. Stilladseringen til elevopgaven tog udgangspunkt i en gennemgang af selve opgaven hvor jeg, med udgangspunkt i Olga Dysthes dialogiske undervisning, havde fokus på optag af elevsvar og høj værdsætning. I et dialogisk forum gennemgik vi begreberne ”Giv et bud”, ”Hvad er et målestoksforhold”, ”Hvad vil det sige at beklæde et legehus”, ”Hvad er forbandt”, ”Hvad er et udhæng” og ”Hvor mange cm går der på en meter”. Endvidere havde jeg fortrykt skabelonerne til 3. klassen, idet opgaven med at tegne skabelonerne voldte 6. klassen besvær. Vi havde kun otte lektioner til projektet og konstrueringen af selve tegningen var ikke det primære fokus hvilket er årsagen til, at jeg prioriterede at fortrykke skabelonerne. Analyse af elevopgave Med henblik på at analysere og vurdere om min elevopgave87 lever op til FFM2014, vil jeg tage udgangspunkt i læremiddelsanalysen i ”Vejledningen for faget matematik”. Denne analyse tager udgangspunkt i følgende kriterier fra et mål-, lærings-, sprogligt- og planlægningsperspektiv.88 Umiddelbart mangler analysemodellen et evalueringsperspektiv så det skal man, som lærer, selv medtænke. Herefter vil jeg kort redegøre for, hvordan elevopgaven fungerede i praksis. Endvidere vil jeg holde det analytiske og praktiske perspektiv for min elevopgave op mod analyserne og vurderingerne i det fagdidaktiske og humanistiske afsnit i min bachelor. Ud fra et målperspektiv vil jeg her understrege, at elevopgaven er bygget op i forhold til FM2009 og indholdet harmonerer med de opsatte læringsmål deri.89 Elevopgavens fokus er anvendelsesorienteret og den er bygget op ud fra de fire CKF’er og læringsmålene i FM200990, hvilket gør at den vil 86 Se bilag 2 Se bilag 1 88 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik pkt. 3.3 89 Se bilag 2 90 Fælles Mål 2009, side 6 87 Side 29 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 fungere i en målstyret undervisning, som FFM2014 fordrer. I forhold til et læringsperspektiv er elevopgaven bygget op ud fra modellerings- og problembehandlingskompetencen idet eleverne hver især skal bygge en model, der tager udgangspunkt i deres erfaringsverden. Endvidere skal eleverne induktivt løse problemet omkring udgiften på beklædning til deres personlige model og konstruktion. Muligheder for undervisningsdifferentiering findes i valget af regnearter til at løse problemet og ”Hvad nu hvis..” spørgsmålene. Elevopgaven giver mulighed for faglige dialoger, både mellem lærer-elev og elev-elev, omkring de forskellige faglige begreber, der er i spil, hvilke regningsarter der er hensigtsmæssige og samspillet mellem matematikken og elevernes verden. Set i forhold til et sprogligt perspektiv manglede elevopgaven en mulighed for at eleverne kunne udtrykke deres faglige forståelser på skrift, men deres faglige forståelser blev ekspliciteret i deres model af legehuset, her vil det være tydeligt at se hvis eleverne ikke har styr på eksempelvis måling, valg af hensigtsmæssige regningsarter osv. Elevopgaven giver eleverne mulighed for at koble hverdagssprog med matematiske begreber da disse bliver anvendt på elementer fra hverdagen, dermed sagt skal mål, målestoksforhold, regningsarter og priser kobles til legehus og indkøb af materialer. De valgte formuleringer i elevopgaven er tilgængelige for de fleste elever i 3. klasse. Der er dog enkelte men væsentlige ord som, ”Give et bud”, ”beklæde”, ”forbandt”, ”udhæng” m.fl., læreren bør stilladsere i for at sikre forståelse for selve opgaven, da elevernes viden om verden er vidt forskellig. Figurerne i starten af elevopgaven visualiserer hvilke figurer, der skal anvendes og de virkelige mål og supplerer derved teksten. Disse figurer kan være en hjælp for nogle elever i form af en kobling mellem model og virkelighed og de kan samtidig forstyrre andre elever idet det er de virkelige mål der er anvendt på figurerne, og på skabelonerne er det modellens mål. Hvis man som det sidste i denne analyse vurderer elevopgaven i forhold til et planlægningsperspektiv, giver elevopgaven mulighed for at arbejde med individuelle produkter der er kreeret i en social sammenhæng hvor eleverne enten parvis eller i grupper hjælper og supplerer hinanden, hvilket er med til at skabe en faglig dialog eleverne imellem. Det er muligt at anvende både tælletavler, tabeller, måleredskaber og lommeregner, alt efter hvilket fokus og læringsmål der er valgt. Jeg har tilføjet et evalueringsperspektiv til analysemodellen for at kunne vurdere om læremidlet, her elevopgaven, lægger op til evaluering. Denne elevopgave lægger i sig selv ikke op til en evaluering. Elevopgaven lever op til de fleste af kravene i FFM2014’s læremiddelsanalyse dog kan man kompensere for manglerne, ved stilladsering i forhold til de ordvalg der muligvis ligger udenfor elevernes viden om verden. Endvidere kan man kompensere ved at man, som lærer, bruger elevernes svar Side 30 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 som en summativ evaluering og herudover tilføjer en kommunikativ opgave, hvor eleverne skal eksplicitere deres forståelse og læring i forhold til læringsmålene. Elevopgaven i praksis Først og fremmest vil jeg understrege, at jeg havde et begrænset eller ingen kendskab til eleverne faglige og sociale kompetencer forud for projektet. Endvidere havde jeg begrænset eller ingen viden om hvilke emner, arbejdsmåder og kompetencer, de var bekendte med gennem undervisningen. Elevernes overslag over beklædningsudgiften varierede fra 225kr til 2500kr. Her gjorde jeg opmærksom på at det kun var prisen for beklædningen man skulle gætte på, og nogle af de højeste bud blev justeret lidt ned. Nogle af eleverne havde lidt svært ved at klippe efter stregerne og samle kartonmodellen hvilket tydede på, at eleverne ikke havde meget erfaring med at klippe og klistre. Der var kun en enkelt elev, der formåede at tænke over mængden af spild i valget af forbandt. De fleste af eleverne fokuserede mere på at lave et symmetrisk forbandt der så flot ud, hvilket jeg accepterede på baggrund af at fortsættelse af mønstre også er en del af FM2009. Eleverne fik på hvert deres niveau udmålt og klippet ispinde og alle eleverne fik kreeret en flot model af deres eget legehus med personlige finesser. Der var desværre kun nogle enkelte elever der, på grund af tidsmangel, nåede at udregne den reelle udgift for deres model, men under processen blev der diskuteret mange detaljer, ideer og ”Hvad nu hvis’er” i forhold til hvordan man kunne lave forbandt, hvor man skulle starte med at bygge fra og hvor stort legehuset ville være i virkeligheden. Den ene af de elever der nåede at udregne udgiften valgte at skrive alle målene op og addere. I en dialogisk samtale fik hun hjælp til at omregne fra cm til m og så multiplicere med prisen pr meter. Der var ingen af eleverne der nåede at udregne eksempler på Hvad nu hvis..? Elevopgaven set i forhold til den fagdidaktiske og humanistiske analyse i opgaven Elevopgaven tager, ifølge de fire tilgange, udgangspunkt i elevernes erfaringsverden idet de alle har set et legehus, og højst sandsynligt har et hjemme i haven. Den tager endvidere udgangspunkt i modellerings- og problembehandlingskompetencen, hvilket ses ved at eleverne skal bygge en model af noget kendt, og ud fra modellen løse problemet med hvad det ville koste at beklæde et legehus. Hvis vi havde haft mere tid, kunne eleverne selv have søgt efter materiale og priser, idet de helt sikkert ville have haft forskellige præferencer i forhold til pris og kvalitet. Eleverne havde i opgaven mulighed for at opleve og danne egne erfaringer om samspillet mellem matematikken og hverdagen, som bl.a. IBE- og RME-tænkningen fordrer. Elevopgaven indeholdt også, Højgaards tre dimensioner situationer, kompetencer og begreber og Freudenthals fokus på ”learning by doing”, i form af at vi fik skabt en realistisk arena/situation med hensyn til legehuset, vi havde faglige begreSide 31 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 ber som måling, overslag og målestoksforhold i spil som eleverne skulle anvende i praksis og de lærte mens de arbejdede med at bygge modellen og beklæde legehuset. Ved at inddrage allerede kendte begreber, som måling, i en ny sammenhæng får eleven, ifølge Wahl, mulighed for at skabe flere mentale billeder for samme begreb og skabe en sammenhæng mellem matematikken og hverdagen. Hvilket understøttes af Klafkis teori om immanente gentagelser. Endvidere får eleverne, ifølge både Freudenthal og Brousseau, i den forbindelse mulighed for at opdage eller genopdage matematikken i nye sammenhænge. Elevopgaven lever ikke umiddelbart op til Illeris indstilling til udvikling af kritisk tænkning og refleksion over egen læring og udvikling. Den lever heller ikke nødvendigvis op til IBE-tænkningens syn på undring, refleksion, danne hypoteser og kommunikation af resultatet. Elevopgaven er begrænset i forhold til Klafkis krav om selvstændighed, IBE-tænkningens frihedsparameter og Wengs krav om argumentation og kommunikativ uddybelse. Frihedsgraden er bevidst nedtonet grundet tid og manglende kendskab til elevernes kompetencer. I ovenstående har jeg kritisk analyseret og vurderet min elevopgave teoretisk, praktisk og i forhold til de fagdidaktiske og humanistiske analyser og vurderinger i min bachelor. I det efterfølgende afsnit vil jeg inddrage yderligere empiri i form af en spørgeskemaundersøgelse, der skulle måle en eventuel fremgang i elevernes forståelse for ”matematik i anvendelse”. Spørgeskemaundersøgelse For at være i stand til at indsamle primærdata der kan hjælpe med at afdække min problemformulering, har jeg valgt at anvende et spørgeskema.91 Grunden til at jeg valgte at anvende spørgeskema fremfor eksempelvis et interview i denne sammenhæng var, at så var det muligt at øge kvantiteten af de adspurgte, hvilket umiddelbart ville give et bredere billede af og mulighed for at sammenligne effekten af undervisningen. Formålet med spørgeskemaet var at måle elevernes udvikling i forhold til deres forståelse af ”Hvad er matematik i anvendelse” og ”Hvor kan jeg bruge matematikken udenfor skolen”, hvilket var det overordnede formål med min undervisning. For at kunne evaluere på en eventuel progression i elevernes forståelse for matematik i anvendelse, skulle de før og efter undervisningen svare på to næsten ens spørgeskemaer. Ved udarbejdelsen af et spørgeskema er det vigtig at spørgeskemaets spørgsmål og svarmuligheder tilpasses respondenternes alder og vidensniveau, og derfor foretages der mange valg og fravalg for at spørgeskemaet skal blive brugbart og valid. 91 Se bilag 3-4 Side 32 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Udarbejdelse af spørgeskema Først og fremmest har jeg valgt at arbejde med et kvantitativt spørgeskema med kvalitative tendenser. Det være sig i form af at hovedparten af spørgsmålene er lukkede, og der kun er mulighed for at uddybe og forklare sig i det sidste spørgsmål der omhandler elevernes brug af matematik udenfor skolen. Jeg har valgt at kombinere disse for at få det bedste fra begge metoder da det, ifølge Ann Kristin Larsen92, vil give det mest optimale resultat. Endvidere vil det være lettere at sammenligne elevernes svar og mere overskueligt for eleverne at deltage i undersøgelsen. For at belyse formålet med min undersøgelse valgte jeg at kombinere spørgsmålene indenfor det positivistiske og hermeneutiske paradigme.93 Idet jeg ønskede at undersøge elevernes holdning til skolen og efterfølgende deres handling i form af matematik i anvendelse. Derfor stillede jeg eleverne fire spørgsmål i form af udsagn, hvoraf de tre af udsagnene skulle afspejle elevernes personlige forhold og holdning til at gå i skole, faget matematik og det at regne/bruge tal. Oplysningerne i disse tre udsagn kan hjælpe med at identificere sammenhænge i forhold til udfaldet af handlingen i den centrale variable i 4. spørgsmål, ”Jeg bruger matematik andre steder end i skolen”,94 som er det overordnede formål med undersøgelsen, hvilket jeg vil uddybe i min analyse af den primære dataindsamling. Endvidere skal alle eleverne som baggrundsvariable95 skrive køn og klasse på spørgeskemaet. Der var til hvert udsagn givet fire svarmuligheder for at sikre at eleverne ville vælge, om de enten var positivt eller negativt stemt overfor udsagnet.96 I svarmulighederne var der skabt en balance ved hjælp af to positive og to negative svarmuligheder. Det færdige spørgeskema blev pilottestet af tre kvalificerede og erfarne matematiklærere, hvorefter det blev redigeret. Set i bakspejlet burde jeg også have haft et aldersvarende barn til at gennemlæse spørgeskemaet da det viste sig at et af udsagnene skabte forvirring, da svar-skalaen var omvendt i forhold til de andre udsagn. Heldigvis havde jeg mulighed for at køre mit projekt tre forskellige steder, så det pågældende spørgsmål blev slettet efter første projekt. Hvilket er grunden til, at jeg kun anvender data fra to forskellige 3. klasser. 92 En enklere metode, side 54 Spørgeskemaundersøgelser, side 39-41 94 Se bilag 3 og 4 95 Spørgeskemaundersøgelser, side 48 96 En enklere Metode, side 56 93 Side 33 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Analyse af data I min analyse har jeg valgt at undersøge følgende sammenhæng ud fra min dataindsamling på de to skoler.97 1. Forholdet mellem lysten til at gå i skole og tilegnet viden i undervisningen. Jeg vil undersøge denne sammenhæng med henblik på, om motivation spiller en rolle for deltagelse og tilegnelse af viden i undervisningssammenhæng. 3. klasse på skole1 og skole2 sammenlignes. I min første undersøgelse er det tydeligt at aflæse ud fra elevernes besvarelse, at eleverne på Skole1 er betydelig gladere for at gå i skole end eleverne på Skole2. Der er 67% på Skole1 der er meget glade for at gå i skole, hvorimod kun 30% ,af de adspurgte elever, på Skole2 er meget glade for at gå i skole. Endvidere kan man aflæse at der er 38% af eleverne på Skole1 der er meget glade for matematik, hvorimod der på Skole2 faktisk er 40% der er meget glade for matematik, til trods for at mange flere på Skole2 ikke var meget glade for at gå i skole. Hvis man så analyserer elevernes vurdering af egen brug af matematik i anvendelse, ser man at Skole1 øger forståelsen af matematik i anvendelse gennem undervisningen fra 80 % til 95% der mener, at de anvender matematikken i praksis. Hvis man i den sammenhæng inddrager det kvalitative spørgsmål, der skulle uddybe hvor matematikken anvendes, kan man se at Skole1 har fjernet lektiecafe fra svarene og tilføjet flere forskellige som handle, computerspil, lommepenge, madopskrifter mm., hvorimod skole2 ikke har ændret deres udsagn. Skole2 oplever her en tilbagegang fra 90% til 80 % der mener, at de anvender matematikken i praksis. Umiddelbart kan tilbagegangen ved skole2 tyde på at eleverne, trods manglende udsagn, har øget deres forståelse for betydningen af matematik i anvendelse, og at lektiecafeen ikke automatisk indebærer anvendt matematik. Det kunne dog også betyde, at eleverne havde mistet interessen for at deltage i spørgeskemaundersøgelsen. Formålet med 2. del af spørgeskemaet var, foruden at jeg kunne indsamle data, at eleverne ud fra den nye viden om begrebet kunne justere deres syn på virkeligheden. Ud fra analysen kan man konkludere, at der er mange baggrundsvariabler der spiller ind. Jeg havde et forløb på otte lektioner på begge skoler. Forskellen ligger i at skole1 fik de otte lektioner fordelt over fire tirsdage og skole2 havde alle otte lektioner på en dag. Der er fordele og ulemper ved begge forløb. Det kan for nogle elever være en fordel at de kun har to lektioner af gangen, hvorimod andre elever finder det fordelagtigt, at kunne fordybe sig i otte lektioner. Derfor er det essentielt at man har kendskab til eleverne og gode relationer inden man planlægger længere forløb. 97 Se bilag 5 (SKOLE1) og bilag 6 (SKOLE2) Side 34 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Der kan være flere fejlkilder i en spørgeskemaundersøgelse som denne. På skole2 kan den manglende entusiasme ved 2. del af spørgeskemaet skyldes at de er brændt ud efter otte lektioner, og derfor har svært ved at koncentrere sig om mere. Det kunne eventuelt forebygges med en formativ evaluering igennem dagen eller man kunne gennemgå spørgeskemaet i fællesskab som opsamling på fordybelsesdagen eller man kunne vende tilbage med uddybende spørgsmål til nogle udvalgte elever for at klarlægge eventuelle misforståelser. En fejlkilde på skole1 kunne være at det var svært at huske tilbage på hvad man havde lært fire tirsdage før, og så koble det i en vurdering, der for en 3.kl kan virke lidt abstrakt. Endvidere kan det være en fejlkilde at kulturen i klassen enten hælder mod at det er sejt at være ”klog/ivrig” eller ”dum/doven”. Opsamling Når jeg ud fra ovenstående analyser og vurderinger i empiriafsnittet vil argumentere for at min elevopgave lever op til FFM2014 i form af læremiddelsanalysen, den fagdidaktiske og humanistiske analyse jeg har foretaget i bacheloren, vil jeg først og fremmest fremhæve, at selvom opgaven er bygget op efter FM2009, er den målstyret, og har fokus på at arbejde med elevernes matematiske kompetencer. Den er anvendelsesorienteret, som ”Vejledningen for faget matematik” foreskriver i punkt 3.7 og prioriterer elevernes kobling mellem matematik og hverdagen, hvilket alle nævnte teoretikere i denne bachelor foreskriver. Redegørelsen af praksis viser at jeg har haft fokus på at stilladsere eleverne i forhold til de sproglige udfordringer i elevopgaven. Reelt nåede vi ikke i mål med at besvare hele opgaven men eleverne fik sat flere billeder på hvad det vil sige at anvende matematikken i praksis, hvilket var det overordnede mål med projektet. Spørgsmålet er så her om man burde have brugt ekstra lektioner på projektet for at nå i mål med udregningerne, eller om man bare ville diskutere udregningsmulighederne på klassen under opsamlingen af projektet. Hvis jeg havde haft et bedre kendskab til klassen og deres faglige og sociale kompetencer, kunne jeg måske have struktureret lektionerne anderledes og derved have nået i mål med både udregninger og forståelsen for matematik i hverdagen, men det er spekulationer. Spørgeskemaundersøgelsen blev redigeret efter første testforsøg og det misvisende spørgsmål blev fjernet hvilket gjorde, at eleverne forstod de opstillede spørgsmål. Der er dog udefrakommende variabler der spillede ind, som manglende fokus i forhold til nogle af besvarelserne på side2. Jeg kunne have fået udvalgte elever til at uddybe deres besvarelser men vurderede på det pågældende tidspunkt at besvarelserne var valide nok trods enkelte ukoncentrerede svar, og at jeg kunne udfærdige en reel analyse af undersøgelsen. Det mener jeg stadig, men enkelte uddybninger ville have opkvalificeret min spørgeskemaundersøgelse. Side 35 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Med en dataindsamling som denne kan man vælge at undersøge mange forskellige aspekter og ud fra dem drage konklusioner omkring mulige sammenhænge. Man skal dog altid være opmærksom på hvilke øjne der ser på datasættet, og hvilket mål/formål øjnene har med at analysere datasættet. Derfor er det yderst vigtigt at eleverne selv lærer at indsamle og aflæse data, så de kan anvende deres viden til at stille sig kritisk overfor både metode, indhold, synsvinkel og ikke mindst formålet. Hvilket understreger vigtigheden af” matematik i anvendelse”, og min tese om at matematiske kompetencer er væsentlige for at begå sig i et demokratisk samfund. Jeg har løbende i bacheloren lavet opsamlinger og vurderet de tre analytiske tilgange med henblik på min problemformulering og for at be- eller afkræfte mine teser. Derfor vil jeg i det følgende samle trådene i en samlet vurdering og konklusion i forhold til min problemformulering Konklusion På grund af den voksende matematisering i vores teknologiske risikosamfund er det mere relevant end nogensinde, at matematikundervisningen bidrager til kontinuerligt og progressivt at afmystificerer den skjulte matematik gennem hele uddannelsesforløbet. Det er essentielt i forhold til elevernes almene dannelse at de igennem skoleforløbet udvikler matematiske kompetencer, der gør dem i stand til at anvende, undersøge, beskrive, forudsige, forholde, vurdere og være kritiske overfor hverdagens matematik. Herved får de mulighed for, at kunne tage stilling til og være selvbestemmende i et demokratisk samfund. Det er ikke afgørende om man vælger at anvende den ene eller anden undersøgende tilgang men, i forhold til mine undersøgelser og analyser, er det væsentligt, at undervisningen varierer mellem en formidlende og undersøgende karakter. Endvidere er det afgørende for elevernes drivkraft og tilegnelse af viden at undervisningen tager udgangspunkt i elevernes forestillingsverden og igennem denne fokusere på at synliggøre koblingen mellem matematikken og hverdagen, så eleverne lærer at anvende matematikken i problemstillinger både i og udenfor matematikken selv. Det er i denne kobling at tilegnelsen finder sted, og elevernes matematiske kompetencer udvikler sig. Endvidere er det i denne kobling og forståelse af samspillet at elevernes almene dannelse kommer i spil hvilket understøtter min tese om, at matematik er væsentlig for at fungere i samfundet. For at muliggøre integrationen af anvendelsesorienteret og undersøgende matematikundervisning er det afgørende, både for eleverne og lærerene, at man starter i det små, og progressivt øger graden af frihed, problem- og anvendelsesorientering. På den måde udvikler undervisningen sig fra lærerstyret til medbestemmelse og selvbestemmelse gennem folkeskolen. Ud fra mine undersøgelser og analyser at de Side 36 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 fire undersøgende tilgange til matematikundervisningen, vurderer jeg at det ikke er den enkelte tilgang der er vigtig, men at man ,som lærer, finder de elementer i de undersøgende tilgange der passer til ens fagsyn, og til den klasse man skal undervise i. Derfor er det essentielt, at man har gode relationer og kendskab til elevernes faglige og sociale kompetencer herunder deres erfaringsverden. Endvidere viste min undersøgelse af forældresamarbejdet, mit interview med folkeskolelærer Annette Lilholt at forældrene kan og bør inddrages som en ressource idet der, ud fra denne empiri, er tendens til at eleverne motiveres for at lære mere, og koblingen mellem matematikken og hverdagen tydeliggøres gennem et guidet samarbejdet med forældrene Trods begrænsninger levede min elevopgave op til læremiddelsanalysen og derigennem både FM2009 og FFM2014. Den levede endvidere op til mange elementer i de fire udvalgte undersøgende tilgange. Den er et eksempel på, hvordan man kan udvælge elementer fra de forskellige tilgange så længe de understøtter kompetencemålene og læringsmålene. Jeg er stor tilhænger af at man, som lærer, udvælger de elementer man finder væsentlige, i forhold til de mål og den aktivitet der er i spil. Til trods for at min spørgeskemaundersøgelse kunne have været optimeret med flere uddybende spørgsmål, viste den en sammenhæng mellem elevernes forhold til skolen og faget herunder deres tilegnelse af stoffet. Alt i alt konkluderer jeg, at jeg, ved at inddrage målrettede, anvendelsesorienterede og undersøgende tilgange i matematikundervisningen, der tager udgangspunkt i elevernes erfaringsverden, udgør et realistisk problem for den enkelte elev og som understøttes af et guidet forældresamarbejde kan fremme elevernes forståelse for ”matematik i anvendelse” som et led i at udvikle deres almene dannelse. Perspektivering Jeg har igennem min bachelor argumenteret for at en målstyret, varieret og anvendelsesorienteret undervisning er yderst relevant for elevernes forståelse for matematikkens rolle i samfundet og dermed alment dannende for eleverne i dagens Danmark, hvilket den nye reform og FFM2014 også fordrer. Men man kan jo undre sig om de, i hvert fald mange af dem, velargumenterede tiltag i FFM2014 og ”Vejledningen for faget matematik” kan realiseres i praksis. Større faglige krav, velargumenteret eller ej, kræver ekstra ressourcer i form af forberedelse, planlægning og teamsamarbejde. Side 37 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Litteraturliste Andersen, Michael Wahl: Matematiske billeder, sprog og læsning. Kap 1 - Der skal billeder på matematikken og kap 2 - Sprog og læring i matematik. 2. udgave 2010. Dafolo og Forfatteren 2008. Andersen, Michael Wahl og Weng, Peter (red.): Håndbog om matematik i grundskolen. Kompetencemål, faghæfte og fokuseret matematikundervisning af Tomas Højgaard, Problembehandling - et fokuspunkt i matematikundervisningen af Peter Weng, Hvad er undersøgende matematikundervisning - og virker den? af Morten Blomhøj, Vurdering af læremidler i matematik af Mette Dreier Hjelmborg. Forfatterne og Dansk Psykologisk Forlag A/S 2013 Blomhøj, Morten: Hvorfor matematikundervisning? - matematik og almendannelse i et højtteknologisk samfund. Skrift nr. 24, 2000. Forfatteren og Center for forskning i matematiklæring. (Bog) Blomhøj, Morten, m.fl.: Matematikken i verden. World Mathematical Year 2000 af Tage Bai Andersen, Farlige små tal af Morten Blomhøj m.fl., Kursen netop nu… af Ib Trankjær. Tidsskriftet KVAN 56. Børge Møllers Grafiske Hus, Århus 2000. (Bog) Boolsen, Merete Watt: Spørgeskemaundersøgelser. Kap 2 - Hvordan konstrueres spørgsmålene i et spørgeskema. Merete Watt Boolsen og Hans Reitzels Forlag, 2008. (Bog) Danmarks Evalueringsinstitut 2012: Det gode skole-hjem-samarbejde med forældre i udsatte positioner. Undersøgelsens afsæt: teorigrundlag og lovgivning s. 21-26, Skolens tilgang til forældresamarbejdet s. 27-42 og Når skolen går tæt på hjemmet s. 75-80. Danmarks Evalueringsinstitut. Fælles Mål 2009: Faghæfte 12 - Matematik. Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 - 2009 Hansen, Povl og Hansen, Rune: Undersøgelsesbaseret matematikundervisning. MONA 2013-4 (Artikel) Illeris, Knud: Læring. Kap 1 - Indledning, kap 3 - Læringens processer og dimensioner, kap 5 Læringens indholdsdimension og kap 6 - Læringens drivkraft-dimension. 2. reviderede udgave. Roskilde Universitetsforlag 2006. (Bog) Imsen, Gunn: Elevens verden. Indføring i pædagogisk psykologi. Kap 7. 3. oplag, 2010. Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S København. (Bog) Klafki, Wolfgang: Dannelsesteori og didaktik - nye studier. Introduktion, Anden Studie og Fjerde studie. Oversat af Bjørn Christensen, 3. udgave. 2011. Forlaget Klim. (Bog) Larsen, Ann Kristin: En enklere metode. Kap 5 - Indsamling af data. Professionsserien. Akademisk Forlag 2010. Niss, Mogens og Jensen, Tomas Højgaard (red.): Kompetencer og matematiklæring. Grundskolen s. 193-223. Undervisningsministeriet 2002. (Temahæfteserie 18) Side 38 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Skott, Jeppe, m.fl: Delta - matematik for lærerstuderende. Hans Freudenthal og realistisk matematikundervisning s. 379-416 og Brousseau og teorien om didaktiske situationer s. 417-444. 1. udgave 2008, 3. oplag 2010. Forlaget Samfundslitteratur. (Bog) Skovsmose, Ole og Blomhøj, Morten (red.): Kan det virkelig passe? - om matematiklæring. Modellering som undervisningsform af Morten Blomhøj, Undersøgelseslandskaber af Ole Skovsmose. L&R Uddannelse, København 2003. (Bog) Hjemmesider Danmarkshistorien.dk vedr. Formålsparagraffen 1975 - besøgt d. 12/3 2015 http://danmarkshistorien.dk/leksikon-og-kilder/vis/materiale/lov-om-folkeskolen-26-juni-1975/ Danmarks Evalueringsinstitut 2006 - Matematik på grundskolens mellemtrin - skolernes arbejde med at udvikle elevernes matematikkompetencer - besøgt d. 14/3 2015 http://www.eva.dk/projekter/2005/arbejdet-med-at-udvikle-elevernes-matematikkompetencer/ Folkeskole loven - besøgt d. 6/1 2015: https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=163970#Kap1 Forenklede Fælles Mål - Matematik 1.-3.kl - besøgt d. 22/1 2015 http://www.emu.dk/omraade/gsk-l%C3%A6rer/ffm/matematik Matematikkens historie - 200års jubilæum - besøgt d 16/2 2015 http://dkmat.dk/wp-content/uploads/2014/07/Bogen-til-MatDag201434indledende_sider_konkurrencer.pdf Rosenthaleffekten - besøgt d 24/3 2015 http://www.aprokom.dk/cm700/ Vejledning i faget matematik og kompetenceområderne - besøgt d 16/2 2015 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik Side 39 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag Bilag 1 Klip og byg en model af et legehus a) Giv et bud på hvad det vil koste at beklæde et legehus i denne størrelse. Hvis beklædningen koster 7kr pr meter. Bund side ender 140cm 140cm tagside 80cm 160cm gavle 70cm 90cm 90cm 80cm 100cm 70cm 70cm Målene på tegningerne er virkelige mål! b) Skabelonerne skal klippes ud og samles. Skabelonerne er lavet i målestoksforholdet 1:10 dvs. at 1cm på skabelonen svarer til 10 cm i virkeligheden. c) Siderne, enderne, taget og (gavlen) skal beklædes med brædder (ispinde). Ispindene udmåles så der forekommer mindst muligt spild Det skal være en voksen der klipper ispindene! Krav: siderne og enderne skal bygges op med forbandt. Mønsteret skal tegnes i jeres udregninger. Krav: taget på skabelonen skal have et udhæng på minimum 1,5cm - hvilket vil udgøre 15cm i virkeligheden. d) Hvor meget koster mængden af brædder? Prisen pr meter brædde er 7kr. e) Hvad nu hvis…. Rigtig god fornøjelse ;o) Side 40 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 2 Undervisningsmål FM 2009 (side 6) Matematik i anvendelse: Arbejdsmåder: Matematiske emner: Kompetencer: Læringsstile: Bruge matematik i relevante hverdagssituationer. Vælge og benytte regningsarter i forskellige praktiske sammenhænge. Arbejde individuelt og sammen med andre om løsning af praktiske problemstillinger og matematiske opgaver. Modtage, arbejde med og videregive enkle skriftlige og mundtlige informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk. Forbinde tal og regning med geometriske repræsentationer Kende de naturlige tals opbygning og ordning, herunder 10 talsystemet. Bestemme antal vha. regningsarterne. Måling Problembehandlingskompetencen, modelleringskompetencen, repræsentationskompetencen, symbolbehandlingskompetencen, kommunikationskompetencen. Auditiv - visuel - taktil - kinæstetisk Lektionsplan - fordybelsesdag Præsentation af mig selv og forløbet - SPØRGESKEMA - gennemgang - indsamling Planen for i dag (på tavlen) 1. gennemgang af læringsmålene 2. gennemgang af opgaven (opgaveark udleveres) 3. opgaveløsning 4. FROKOST 5. opgaveløsning - fortsat 6. Opsummering - spørgeskema (side 2) 7. Aflevering af udregninger og spørgeskemaer Læringsmål Bruge matematik i relevante hverdagssituationer. Vælge og benytte regningsart i forskellige praktiske sammenhænge. Gennemgang af opgaven. - Stilladsering: Give et bud (overslag)? Hvad er beklædning? Hvad er forbandt? Hvorfor skal spild medregnes? KL: 9:45 I gang med opgaven (ca. 1time 35 min) HERAF break - 10min KL 11:20 Frikvarter - FROKOST KL 11:50 Fortsæt med opgaven (ca. 1time 40min) HERAF break - 10min KL 13:30 Aflever opgaven - RYD OP….. KL 13:40 SPØRGESKEMA - tak for i dag ;) Kl 13:50 FRI….. Side 41 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 3 Navn:___________________ Klasse:_________ Matematik i anvendelse Jeg kan godt lide at gå i skole - (Sæt KUN 1 kryds ved hvert spørgsmål) Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg kan godt lide matematiktimer Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg kan godt lide at regne Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg bruger matematik andre steder end i skolen Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig - Hvis der sættes kryds i de 2 øverste - Skal der gives eksempler herunder.. ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Side 42 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 4 Navn:________________________ Klasse_______ Efter undervisning… Jeg kan godt lide matematiktimer Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg kan godt lide at regne Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg bruger matematik andre steder end i skolen Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Hvis der sættes kryds i de 2 øverste - Skal der gives NYE eksempler herunder.. ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Eventuelt….. ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Side 43 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 5 Dataindsamling 21 8 11 2 0 21 7 11 3 0 21 10 7 2 2 21 14 12 10 8 6 4 2 0 Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg kan godt lide matematiktimer Jeg kan godt lide at regne Jeg bruger matematik andre steder 14 12 10 8 6 4 2 0 Elever i 3.B 0 Passer slet ikke på mig 1 Passer ikke rigtigt på mig Elever i 3.B 6 Passer nogenlunde på mig Passer slet ikke på mig 14 3.B - EFTER - Alle Passer helt på mig Passer ikke rigtigt på mig ..godt lide at gå i skole Jeg kan godt lide matematiktimer Jeg kan godt lide at regne Jeg bruger matematik andre steder Passer nogenlunde på mig 3.B - FØR - Alle Passer helt på mig SKOLE 1 13 6 1 1 21 10 9 1 1 21 13 7 1 0 21 Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg bruger matematik andre steder FØR EFTER Passer helt på mig 10 13 Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig 7 7 2 1 2 0 14 12 10 8 6 4 2 0 FØR EFTER Side 44 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 6 10 4 2 2 2 10 3 3 2 2 10 7 2 0 1 10 7 6 5 4 3 2 1 0 Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg kan godt lide matematiktimer Jeg kan godt lide at regne Jeg bruger matematik andre steder 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Elever i alt 1 Passer slet ikke på mig 0 Passer ikke rigtigt på mig Elever i alt 6 Passer nogenlunde på mig Passer slet ikke på mig 3 FASE1 - EFTER - Alle Passer helt på mig Passer ikke rigtigt på mig ..godt lide at gå i skole Jeg kan godt lide matematiktimer Jeg kan godt lide at regne Jeg bruger matematik andre steder Passer nogenlunde på mig FASE1 - FØR - Alle Passer helt på mig SKOLE 2 4 2 2 2 10 3 3 2 2 10 4 4 2 0 10 Passer helt på mig Passer nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt på mig Passer slet ikke på mig Jeg bruger matematik andre steder FØR 7 Passer helt på mig Passer 2 nogenlunde på mig Passer ikke rigtigt 0 på mig Passer slet ikke 1 på mig EFTER 4 4 7 6 5 4 3 2 1 0 FØR EFTER 2 0 Side 45 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 7 Kære forældre i 2A 21. oktober 2013 Jeg er 35år og lærerstuderende på 3.årgang. Jeg skal have den fornøjelse at skulle undervise jeres børn i dansk og matematik i ugerne 44-49. Det glæder jeg mig meget til. Jeg blev færdig som matematiklærer i 2012, og læser nu dansk på linjefag. Jeg vil ligesom Linda og Ditte holde fokus på strukturen i klassen, fremme det positive og anerkende børnene for dem de er, og rose dem for det gode de gør. Endvidere vil jeg have fokus på at tilpasse undervisningen til den enkelte elev. Idet vi alle sammen lærer forskelligt, vil jeg variere undervisningen så eleverne lærer de samme ting på forskellige måder. Ud over fornøjelsen af at undervise jeres børn, og derved opnå en hel del praktisk erfaring, indebærer min praktik også, at jeg skal udarbejde en begrundet opgave til mine undervisere på UCNHjørring. Et af punkterne i min opgave lægger vægt på forældresamarbejdet omkring ”lektier”, eller nærmer betegnet jeres rolle i at inddrage (i første omgang) matematikken i hverdagen - UDEN det bliver tidskrævende og uoverskueligt for jer. Jeg er selv mor til 3 børn, og ved udmærket hvor meget der er at se til i forvejen. Derfor har jeg, ud fra personlige erfaringer, lavet en kort liste over ideer til hvordan man ubesværet kan gøre matematikken en del af hverdagen. Min bøn til jer som forældre er at I tager et øjeblik og kigger min liste igennem, og udvælger et par af ideerne som ville være nemme at inddrage i jeres hverdag. I slutningen af min praktikperiode vil jeg så lave et ”vurderingsskema” hvor I kort og godt vurderer denne måde at lave ”lektier” på. Jeg vil så vidt muligt forsøge at holde almindelige lektier på et minimum i perioden. På forhånd mange tak for hjælpen. Med venlig hilsen Maibritt Schubert Praktikant Side 46 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling Hjemme aktiviteter skal være sjove. University College Nordjylland 8. april 2014 Digitaluret i bilen: Sættes 2min tilbage - derved kan man hver gang man er ude at køre bil plusse 2 til forskellige tal. Max 2-3 regnestykker pr tur - eller så længe jeres barn synes det er sjovt. Ex. 12:34 - hvor meget er klokken? 12:36. Når det bliver for nemt for jeres barn at lægge 2 til, kan uret sættes 3 eller 4 min tilbage. Tillægsspørgsmål: Vi skal være i skole kl. 8:00 - klokken er nu 7:46 hvor lang tid har vi? Husk nu at uret er 2min bagefter. (7:48 er klokken så rigtigt og så er der 12min til kl. 8:00). Når vi når til Minus, kan uret sættes 2 min frem, så skal man trække 2 fra hver gang. Det er vigtigt at man i starten ikke bruger tidspunkter som 12:59 da timeskiftet kan være for abstrakt for mange elever på begyndertrinet. Bage boller eller kager: Her kan have stor glæde af at læse tallene i opskriften, og så kan man enten fordoble eller halvere. Husk at sikre jer at jeres barn ved hvad fordoble/dobbelte og halvere/det halve betyder. Samtidig lærer jeres børn om måleenheder som gram, ml, tsk, spsk osv. Tælle og sammenligne: Man kan tælle alt muligt og sammenligne. Tæl evt. striberne ved afkørsler, parkeringspladser osv. når I kører, og sammenlign med den næste. Hvilken en havde flest og hvilken en havde færrest. Husk igen at sikre jer at jeres barn ved præcist hvad færre og flest betyder. Man kan også tælle og sammenligne sko - hvem har flest sko mor eller far? Kun fantasien sætter grænserne. Køb for…: Tag jeres barn med ud og handle - sammenlign priser - hvad koster mest/mindst en pose æbler eller leverpostej osv. Eller du må bruge 20kr på fredagsslik - hvad kan du købe? Hvis I bare vil lave en leg ud af det er NETTO reklamerne gode, da det oftest altid er hele kr. Du har 100kr, hvad kan vi eksempelvis købe til aftensmaden? Der er matematik i rigtig mange ting i vores hverdag, og vi skal i samarbejde få matematikken til at blive en del af jeres børns hverdag. Jo mere de opdager de kan bruge matematikken til, jo mere interesseret bliver de i at lære mere. Side 47 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 Bilag 8 Spørgeskemaundersøgelse/svar 2013 7 ud af 18 har deltaget i den digitale undersøgelse.. (blå - er forældrenes svar/kommentarer) 1. Har I benyttet aktiviteten ”digitaluret i bilen”? JA 4stk (53%) NEJ 3stk (47%) a. Hvis ja. Hvor ofte har I ca. brugt det om ugen? i. Ca hver dag ii. 2-3 gange om ugen iii. et par gange. iv. 3 b. Har det været nemt eller svært at gøre det til en naturlig del af hverdagen? i. Nej ii. Nemt - vi har ofte brugt uret på ovnen hjemme i forvejen. iii. det er let nok, vi bruger det altid. iv. Nemt. En god øvelse. c. Kan I mærke om jeres barn, i perioden, er blevet bedre til at hovedregne? i. ? ii. Ja. iii. han syntes det er sjovere, at kunne hovedregne, dermed virker han jo bedre, syntes vi iv. ja v. ja sagtens. 2. Har I bagt boller eller kage med jeres barn? JA 5stk (71%) NEJ 2stk (29%) a. Hvis ja. Hvor ofte har I ca. bagt? i. 2 gange om måneden ca ii. En gang om ugen iii. Hun har bagt alene en gang. Og hjulpet lidt. iv. en gang om ugen v. 1 gang om mdr. b. Har det været nemt eller svært at inddrage jeres barn i bagningen? i. Nej ii. Svært pga vores begrænsede tid om eftermiddagen. iii. Nemt og sjovt for hende at regne mål ud og f.eks at regne om til dobbelt portion. iv. nemt. c. Kan I mærke om jeres barn, i perioden, er blevet bedre til at læse opskriften, halvere/fordoble eller kende forskel på enhederne? i. Det er blevet lettere at bruge bagevægten ii. Ja iii. ja. Side 48 af 49 Maibritt Schubert Andersen L100040 Professionsbachelor Matematik - indskoling University College Nordjylland 8. april 2014 3. Har I benyttet aktiviteten ”tælle og sammenligne”? JA 2stk (29%) NEJ 5stk (71%) a. Hvis ja. Hvor ofte har I ca. brugt det om ugen? i. En gang om ugen b. Har det været nemt eller svært at gøre det til en naturlig del af hverdagen? i. Ja c. Kan I mærke om jeres barn, i perioden, er blevet bedre til at hovedregne og sammenligne? i. Ja, er begyndt selv at finde på spørgsmål 4. Har I benyttet aktiviteten ”køb for…”? JA 4stk (67%) NEJ 2stk (33%) a. Hvis ja. Hvor ofte har I ca. brugt det om ugen? i. 2 gang ugentlig når vi handler ind ii. Vi taler næsten altid om tingenes pris og hvor meget man kan få for f.eks 100 kr og hvad noget koster i forhold til noget andet. iii. et par gange. iv. 2 v. 1 gang. b. Har det været nemt eller svært at gøre det til en naturlig del af hverdagen? i. Ja ii. Nemt iii. det har været sjovere, han har kunne se meningen med at kunne regne i hoved, iv. fin øvelse - og sjov. v. nok lige med indkøb. c. Kan I mærke om jeres barn, i perioden, er blevet bedre til at hovedregne, og evt. har fået en idé om hvad tingene koster? i. Ja ii. Ja iii. rammer rigtigt inden for 10 øre, da de jo ikke findes mere. selv ved køb at 8 ting iv. ja meget v. en ide om hvad penge er værd. Side 49 af 49
© Copyright 2024