S'""??;;*'"'"";'?'
w ft'' ''"'-''.-
saéäaif-ife.."
''^-.':'.-^ 'v'^; ., -'"».. T^'^. f:,. ...'
'. -...
BÄ Oberoende och beroende
händelser
Oberoendehändelser
Om man kastar ett mynt två gånger sä påverkar inte resultatet av det
första kastet resultatet av det andra. Sannolikheten att fä krona är lika
stor i bådedet förstaoch det andra kastet. Händelser som inte påverkar
varandra kallas oberoende händelser.
Beroende händelser
I en påse finns 2 svarta och 3 vita kulor. Tänkdig att
du drar två kulor i rad frän påsen utan att titta och
utan att lägga tillbaka den första. Dä kommer
sannolikheterna att få svart eller vit kula vid den
andra dragningen att bero påresultatet av den första
dragningen. Den härtypen avhändelserkallar man
beroende händelser.
Vad är sannolikheten att dra 2 svarta kulor från en påse med 2 svarta
och 3 vita kulor?
I träddiagrammet kan man se att i den
2
första dragningen är sannolikheten ^ att
3
dra en svart kula och ^ att dra en vit kula.
I den andra dragningen är det en
svart kula kvar av totalt fyra kulor. Då
Svart
är sannolikheten att dra en svart ^7.
Sannolikheten att dra två svarta kulor efter varandra beräknasgenom
att multiplicera sannolikheterna längs grenen som ger utfallet svart,
svart.
p(svart'svart)=i'4=20=10
Med och utan äterläggning
.<
D
Vid multiplikation av bråkmultipliceras tåljare
med täljare och nämnare med nämnare,
Sannolikheten att dra två svarta kulor är-^. Det kallas fördragningutan
återläggning.Dragningarnaefter den förstaärberoende händelser.
Om man drar en kula, tittar på den och sedan stoppar tillbaka kulan
införvarje ny dragning kallas det fördragningmed återläggning.Däär
alla dragningarnaoberoende händelser.
SANNOLIKHET OCH STATISTIK ». 5. 4 OBEROENDE OCH BEROENDE HÄNDELSER
Ex<anp(!l
Vad är sannolikheten att dra två ruter efter
varandra ur en kortlek om
a) korten dras utan återläggning
Ui
b) korten dras med äterläggning
Lösning
a) Sannolikheten för att dra två ruter i rad
utan återiäggning är
13 12
52 51
I en kortlek
hnns det totalt 52
156
2652
kort varav 13 kort i
0, 059 = 5, 9 %
varje färg(hjärter,
ruter, klöver och
spader).
12 ruter kvar av de 51 återstående korten.
Svar: Sannolikheten att dra två ruter utan återläggning är 5, 9 %.
b) Sannolikheten för att dra två ruter i rad med återläggning är
13 13 _ 169
Pfruter, ruter) = ^ . ^ =
52 52
2709
0, 0625 = 6, 25 %
Svar: Sannolikheten att dra två ruter med återläggning är 6, 25 %.
Kxcmpel
I enpåsefinns2 svartaoch3 vitakulor. Duskadratvåkulor utan
återläggning.Hur storärsannolikheten attfå
a) två vita kulor
Lösning
b) minst en svart kula
a) Rita ett träddiagram.
Multiplicera sannolikheterna
längs grenen.
3263
^vit-vit)-5'i-20=W
Svar: Sannolikheten att dra två vita kulor är -^.
b) Sannolikheten för att fåminst en svart kula kan beräknas med
komplementhändelse. Komplementhändelsen till
f'(minst en svart) är P(y\t, vit)
3263
p(vit-vit)-ti=20=To
3
10
3 7
7'(minst ensvart)= l - P(v\t, vit)"'l~^"^~~^=^Q
7
Svar: Sannolikheten att dra minst en svart kula är ,77
-A' Aktivitet S.4
T<r ÖvningsbladS.4
SANNOLIKHET OCH STATISTIK >. 5.4 OBEROENDE OCH BEROENDE HÄNDELSER
^'^^. k .':."?':. .
..<6wa**<l WN>l'Ui!lutud
4 Alice och William drar var sitt kort ur en
Starter
När är chansen störst att dra två ess ur
en kortlek, med återläggningeller utan
återläggning?
kortlek. Vilken beräkning visar
sannolikheten föratt bådakorten ärkungar?
4 4
4 3
4 3
52 52
52 52
52 51
NIVÅETT
l I en påse finns 4 kulor: 2 vita och 2 svarta.
5 Familjen Olsson består av fem personer.
En kväll bestämmer de sig för att lotta fram
tvåfamiljemedlemmar som skafåtahandom
disken.
2
Vuxen 7;
Vad är sannolikheten att dra
Vuxen -:
a) vit om man drar en kula
b) svart om man drar en kula
a) Hur många vuxna och hur många barn
finns det i familjen?
c) 2 svarta i rad utan återläggning
b) Vad är sannolikheten att 2 barn diskar?
2 I en påse finns 7 kulor: 3 röda och 4 blå.
6 Du slår flera slag med en tärning. Ar det
slumpförsökmed eller utan återiäggning?
Motivera ditt svar.
7 I en klass med 10 tjejer och 14 killar ska man
lotta fram två elevrådsrepresentanter.
Hur stor är sannolikheten att dra
.
Tjej
a) röd om man drar en kula
10
Kalelå
b) 2 blåi rad utan återläggning
3 I en strumplåda ligger 4 rödaoch 6 svarta
strumpor. Jörgentar två strumpor utan att
a) Rita av träddiagrammet och fyll i
titta.
sannolikheterna som saknas.
RM±0
svart^0
b) Bestäm sannolikheten för att det blvr två
1
f!
s
tjejer.
Beräkna sannolikheten för att Jörgen tar
a) 2 rödastrumpor i rad
b) 2 svarta strumpor i rad
SANNOLIKHETOCH STATISTIK »- 5.4 OBEROENDEOCH BEROENDEHÄNDELSER
..*!!-.
12 Deltagarnai encykeltävling fickfrågan:
Kommer du delta även nästa år? Svaren
8 I engodispåsefinns3 hallonbåtaroch
l lakritsbät.
a) Hurmångagodisbitarmåsteduminstta
föratt vara säkerpåatt fåen avvarje sort?
sammanställdesi ett cirkeldiagram.Hur stor
är sannolikheten att två slumpmässigt
i61
utvaldadeltagareintekommerattdelta
nästa år?
b) Dutar tvåstycken och äterupp dem.
DJa
Hur stor ärsannolikheten att båda är
hallonbåtar? Svarai procentform.
Nej
Vetinte
9 I engolfbagligger 4 rödaochS vitagolfbollar.
Kim tar tvåbollar utan att titta. Hur stor är
sannolikheten att
13 I enpåsefinns 12röda,8 gulaoch 5 gröna
kulor.Mejataruppkulorutantitta.Vadär
a) båda är röda
sannolikheten att hon får
b) bollarna har olika färg
a) 2 röda kulor
10 I ett skåpmeddvd-filmerfinns14actionfilmer och18komedier. Duväljer tvåfilmer
b) 3 kulor avsamma färg
.
i>>
utan att titta.
NIVÅTRE
a) Vadärsannolikheten att fåtvåkomedier?
b) Vadärsannolikheten attdufårenfilm av
14 Jari drar4 kort slumpmässigt frånenvanlig
varje?
11 Kortdiasslumpmässigtfrånenvanlig
kortlek.Vadärsannolikhetenatt manfar
kortlek utan återläggning.Vadär
sannolikheten att han får
a) 4 spader
b) minst l kung
a) 4 ess i rad utan återläggning
15 I stryktipsetskamantipparesultatetl,X eller
b) 4essiradmedåterläggnins
2 i 13matcher. Viantar att det ärlika stor
c) Förklaravarförresultatenblirolika i
sannolikhet förvarje händelseatt inträffa.
uppgift a ochb.
a) Nikitipparenradmedbaraettoroch
Lucastippar var tredje l, X, 2.Vem har
störst chans att vinna? Motivera ditt svar.
b) Majapåstårattdetärsvårareattfåallafel
änallarätt.Stämmerdet?Motiveraditt
svar.
16 I engodispåse finns det 50 godisbilar, vita,
grönaochrosa. Dutar två. Hur mänga
godisbilaravdeolikafärgernafinnsdetom
sannolikhetenatttatvågrönabilarmed
återläggning är0,25 och att ta två rosa ar
0, 09?
&HBTOCHSTATISTIK> 5.4 OBEROENDEOCHBEROENDEHÄNDELSER