1. No category

LINKÖPINGS UNIVERSITET
ITN, Campus Norrköping
Univ lekt George Baravdish
Kontrollskrivning KTR1 i Matematisk statistik, TNG006, 2015-05-04,
kl 08.00–10.00.
Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven av ITN.
Uppgifterna bedöms med 0–6 poäng. Det räcker att ha 6p, 12p, eller 18p för att tillgodoräkna sig 2,
4 resp. 6 bonuspoäng på tentamen t.o.m. omtentamen i oktober 2015.
Noggranna motiveringar krävs där alla viktiga detaljer skall redovisas.
1. (a) Beräkna P (A|B) om P (A ∩ B) = 0.2 och P (A∗ ∩ B) = 0.4.
(b) Ur en urna med 6 röda och 14 blå kulor drar man 7 kulor med återläggning. Vad
är sannolikheten att 3 kulor är röda?
(c) Ur en urna med 6 röda, 5 gröna och 4 blå kulor drar man 3 kulor utanåterläggning.
Beräkna sannolikheten att man får 1 kula av varje färg.
2. (a) Antalet fel under ett dygn vid en tillverkningsprocess är P o(2.8). Vad är sannolikheten för att antalet fel under ett dygn överstiger 4? (Felen anses vara oberoende
av varandra.)
(b) Tiden mellan 2 fel i tillverkningsprocessen är exponentialfördelat med väntevärdet
6.8 timmar. Vad är sannolikheten att det dröjer mer än 9 timmar mellan 2 fel?
(c) Tillverkningsprocessen kontrolleras genom att man väljer på måfå 12 enheter
som man undersöker. Om fler än 2 av dessa är defekta justeras processen. Vad är
sannolikheten att processen justeras om felsannolikheten för en tillverkad enhet
är 0.05?
3. Den tvådimensionella s.v. (X, Y ) har den simultana täthetsfunktionen
c xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2
fX,Y (x, y) =
0
annars
(a) Bestäm c.
(b) Bestäm de marginella täthetsfunktionerna fX (x) och fY (y).
(c) Beräkna P (Y < 1 | X < 1).
4. Vid superdatorn Fujitsu K Computer exekveras algoritmer av typ A resp. typ B.
Exekveringstiden (s) för att exekvera en algoritm av typ A är exponentialfördelad med
väntevärdet 0.5 s och exekveringstiden (s) för att exekvera en algoritm av typ B är
exponentialfördelad med väntevärdet 1 s. (Exekveringstiderna antas vara oboeronde.)
(a) Beräkna sannolikheten för att den sammanlagda tiden för att exekvera 100 algoritmer av typ A ej överstiger 60 s.
(b) Låt X och Y vara exekveringstiden för en algoritm av typ A respektive exekveringstiden för en algoritm av typ B. Bestäm täthetsfunktionen för Z = X + Y .
1
Svar
1. (a) Vi har att
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
1
=
= .
∗
P (B)
P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
3
(b) Andelen röda är p = 0.3. Om X är antalet röda kulor bland 7 dragna, så antar
X värdena k = 0, 1, . . . , 7. Eftersom dragningen är med återläggning så är X ∈
Bin(7, 0.3). Sannolikheten för 3 röda blir
7
P (X = 3) =
· 0.33 · 0.74 = 0.22.
3
(c) Sannolikheten att man får 1 kula av varje färg är
6
5
4
1
1
1
24
= .
91
15
3
2. (a) Om X är antalet fel under ett dygn, så är X ∈ P o(2.8). Vi har att
P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 0.15.
(b) Om Y är tiden i timmar mellan 2 fel, så är fY (y) =
Z
P (Y > 9) =
9
∞
1 −y/6.8
e
, y > 0. Vi har att
6.8
1 −y/6.8
e
dy = e−9/6.8 ≈ 0.27.
6.8
(c) Om Z är antalet defekta så är Z ∈ Bin(12, 0.05). Vi får att
2 X
12
0.05k · 0.9512−k = 0.02.
P (Z > 2) = 1 − P (Z ≤ 2) = 1 −
k
k=0
3. (a) Eftersom
Z
∞
Z
∞
1=
Z
2Z 2
fXY (x, y) dxdy = c
−∞
−∞
xy dxdy = 4c,
0
0
så är c = 1/4.
(b) Marginella täthetsfunktionen fX (x) ges av
Z ∞
Z
1 2
x
fX (x) =
fXY (x, y) dy =
xy dy = ,
4 0
2
−∞
Marginella täthetsfunktionen fY (y) ges av
Z ∞
Z
1 2
y
fY (y) =
fXY (x, y) dx =
xy dx = ,
2 0
2
−∞
2
0 < x < 2.
0 < y < 2.
(c) Den betingande sannolikheten blir
P (Y < 1 | X < 1) =
P (X < 1, Y < 1)
=
P (X < 1)
R1R1
0
fXY (x, y) dxdy
1
= .
R1
4
0 fX (x) dx
0
4. (a) Låt Xj = “exekveringstid för algoritm j”, j = 1, 2, . . . , 100. Då är Xj ∈ Exp(µ =
100
X
0.5). Den sammanlagda exekveringstiden för 100 algoritmer ges av X =
Xj .
j=1
Eftersom E(Xj ) = 0.5, V (Xj ) = 0.52 och E(X) = 50, V (X) = 100· 0.52 , så följer
av CGS så att X ≈ N (50, 5). Vi har att
P (X ≤ 60) ≈ P
X − 50
60 − 50 <
= Φ(2) = 0.977.
5
5
(b) Den s.v. Z = X + Y antar värdena z ≥ 0. Eftersom X och Y är oberoende så är
fXY (x, y) = fX (x) · fY (y) = 2e−2x−y , x, y ≥ 0.
Då är
Z Z
FZ (z) = P (Z < z) = P (X + Y < z) =
fXY (x, y) dxdy
X+Y <z
Z z−y
−y
−2x
Z Z
Z z
= 2
e−2x−y dxdy = 2
e
X+Y <z
x=0
0
Z z
(e−y − e−2z ey ) dy = e−2z − 2e−z + 1.
=
e
dx dy
0
Kontroll visar att FZ (z) → 0, då z → 0 och FZ (z) → 1, då z → ∞. Täthetsfunktionen
0
−z
−2z
blir
Z fZ (z) = FZ (z) = 2e − 2e , z ≥ 0. Kontroll visar att fZ (z) ≥ 0 och
∞
fZ (z) dz = 1.
0
3