1. No category

2
2
𝑓 (𝑥) = (1 + 𝑥 2 )𝑒 −𝑥 , 𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑥 3 𝑒 −𝑥 ,
2
2
𝑓 (0) = 1, 𝑓(−1) = , 𝑓(1) =
𝑒
𝑒
2 ′
2
′( )
′(
𝑓 0 = 0, 𝑓 −1) = , 𝑓 (1) = −
𝑒
𝑒
x
0
f’(x)
+
0
f(x)
-
1
I en inflexionspunkt måste andraderivatan vara noll och andraderivatan måste dessutom byta
tecken i punkten.
+
𝑓 ′′ (𝑥) = (4𝑥 4 − 6𝑥 2 )𝑒
−𝑥 2
= 0 ⟺ (4𝑥 4 − 6𝑥 2 ) = 0 ⟺ 4𝑥 2 = 6 ⟺ 𝑥 = √
−
3
2
Undersök nu tecken för två godtyckliga punkter strax till höger respektive vänster om var och
en av rötterna för att se om teckenskifte sker. Observera t.ex. att
3
3
3
3
2
3
1 < √2 < 2 och att − 2 < √2 < −1. 𝑓′′(1) = (4 − 6)𝑒 −1 = − 𝑒 < 0, 𝑓 ′′ (2) =
27⁄4
𝑒 9⁄4
>0
Eftersom andraderivatan byter tecken i den positiva roten är detta en inflexionspunkt.
Eftersom alla x i f’’(x) har jämna exponenter kommer andraderivatorna i de motsvarande
negativa punkterna att bli desamma som i de positiva och därför sker även teckenbyte i den
negativa roten som därmed också är en inflexionspunkt.
Eftersom andraderivatan är negativ i intervallet mellan de två rötterna så är funktionen konkav
där och eftersom andraderivatan är positiv både till höger om den positiva roten och till
3
3
vänster om den negativa så är funktionen konvex i ]−∞, −√2[ och ]√2 , ∞[ .