Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/Ämnesplan_Matematik/Struktur_äm nesplan_matematik/Struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet 3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? Inledning Extrempunkter och extremvärden (sid 131-132) I avsnitt 3.1 handlar det om att koppla egenskaper hos derivatan till egenskaper hos en funktions graf. Inledningsvis blir det mest en fråga om definitioner, det gäller att lära sig namn på olika företeelser. En lokal maximipunkt kan jämföras med toppen på Kebnekaise, befinner man sig där kan man i sin egen närhet inte observera något som är högre. Dock, om man hade sett väldigt långt hade man insett att toppen på Mount Everest är betydligt högre upp. Alltså motsvara toppen på Kebnekaise en lokal maximipunkt. Toppen på Mount Everest är däremot dessutom en global maximipunkt, det finns nämligen ingen punkt som ligger högre upp. Man noterar också att ändpunkter i funktions definitionsmängd i allmänhet blir lokala extrempunkter. Tänk efter varför! Slutligen, håll isär punkter och värden. Lös samtliga uppgifter. Växande eller avtagande (sid 133-135) En viktig observation är att egenskaperna växande och avtagande, per definition, inte har något med derivata att göra, och att egenskaperna gäller intervall och inte enstaka punkter. Man säger t.ex. att en funktion f växer i ett intervall a≤x≤b om x1<x2⇒f(x1)<f(x2) Anm. I många analysböcker är det standard med f(x1)≤f(x2) men vi kör med lärobokens definition. Sedan visar det sig (och är inte så svårt att ana) att derivatan har med växande och avtagande att göra. I princip gäller att om f′(x)>0 i ett intervall så är funktionen växande i intervallet (men observera alltså att detta inte är definitionen utan något som kan bevisas, dock i annan kurs). Analoga resonemang kan föras för avtagande. Lös samtliga uppgifter. Förstaderivatan och grafen (sid 136-139) Förstaderivatan, eller bara derivatan, är ett utmärkt instrument om man vill skaffa sig en kvalitativ bild av grafen till ursprungsfunktionen. Man får iofs bara exakt koll på enstaka punkter på grafen, men å andra sidan är det just de intressantaste punkterna som dyker upp. Dessutom visar derivatan om grafen går "uppåt" eller "nedåt" och också hur mycket. Typiska steg för att studera en grafen till en funktion y=f(x) är - bestäm/håll koll på definitionsmängden så bara aktuella intervall undersöks - bestäm f′(x) - lös ekvationen f′(x)=0, derivatans nollställen har ju med extrempunkter att göra - teckenstudera derivatan med hjälp av nollställena ovan, man får då reda på vilken typ av extrempunkt, eller möjligen terrasspunkt, man har samt om grafen går "uppåt" eller "nedåt" - bestäm funktionsvärdena (y-värden) i extrempunkter och eventuellt andra intressanta eller "enkla" punkter (såsom skärning med y-axel) - markera punkterna i ett koordinatsystem och skissa grafen utifrån teckenstudie Punktlistan ovan hamnar efter lite träning i ryggmärgen. Det är iofs bra, men man måste hela tiden tänka efter så man också förstår vad det är man pysslar med! Lös samtliga a- och b-uppgifter, man kan göra antingen 3120 eller 3123. I uppgifter med deluppgifter man man hoppa över om man fattat galoppen. cuppgifterna är nyttiga och de som siktar mot högre betyg (AB) kikar också på dessa. Skissa grafer (sid 141-142) Som beskrivits ovan är derivatan, och studie av densamma, ett smidigt verktyg för att skaffa sig en bild av en grafs utseende. Speciellt får man koll på extrempunkter (exakt) och var funktionen växer respektive avtar. Ett annat, mindre exakt, men ofta snabbare sätt är att studera vilka delar av funktionssuttrycket som dominierar för små respektive stora värden på |x| (med andra ord nära origo och långt från origo). Betrakta t.ex. f(x)=x3+2x2−3x+1. För stora |x| gäller att f(x)≈x3 och för små |x| att f(x)≈3x+1. Således kan man konstruera en ganska bra skiss av grafen om man rita graferna till x3 och 3x+1 och binder ihop dem på hyfsat sätt. T.ex så inser man att funktionen har två lokala extrempunkter, i ordningen första max sedan min. Vill man sedan bestämma dessa exakt får man ta fram derivataverktyget. I uppgifterna på sida 142 ska det emellanåt skissas grafer. Använd då tekniken ovan för just skissen och kontrollera sedan med räknedosa eller hellre GeoGebra. GeoGebra Lös 3129, 3130, 3131, 3132, 3134, 3136, 3137, 3139 och eventuellt 3142. Största och minsta värde (sid 144-146) I många sammanhang är man intresserad av en funktions (globalt) största och minsta värde i ett intervall (som såklart kan vara hela x-axeln). Hur finner man då dessa värden? Jo man letar på tre ställen 1. Derivatans nollställen 2. Intervallens ändpunkter 3. Punkter där derivatan inte existerar (ni kan tänka er att det handlar om hörn) Man gör en sammanställning av funktionsvärdena i sådana punkter, och plockar sedan ut det största och det minsta funktionsvärdet. Tänk igenom hur det fungerar i förhållande till en graf. Lös a-uppgifter efter behov, och därefter 3152, 3154, 3155 och eventuellt 3157. Använd gärna räknare eller GeoGebra för att kontrollera era svar. GeoGebra 3.2 Derivator och tillämpningar Polynomfunktioner (sid 147-153) Nu är det dags att tillämpa sin kunskaper om derivator och "grafstudier". Det som är nytt är att man ofta behöver översätta en svensk text till matematiska. Man skriver upp ett funktionsuttryck och tänker ut en definitionsmängd, sen är målet i allmänhet att bestämma största eller minsta värde, och till sist svara med en svenska mening (dvs göra en tolkning av sina resultat). Observera att man ibland själv behöver rita figur och införa beteckningar. Här finns många problem och om man vill hinna med de svårare får man vara beredd att hoppa över en del. Följande "spår" är möjliga: Spår 1: Lös samtliga a-uppgifter men inget mer. Spår 2: Lös jämnnumrerade a- och b-uppgifter. Spår 3: Lös enstaka a- och b-uppgifter och sedan så många c-uppgifter man orkar. Potensfunktioner (sid 154-156) Metoden för att lösa dessa problem är samma som i föregående avsnitt. Det handlar om att leta upp största och minsta värde till potensfunktioner, och detta gör man med derivata, derivatans nollställer etc. En väsentlig skillnad är att potensfunktioner inte behöver vara definierade för alla ! x. T.ex. måste ju x≥0 i uttrycket 𝑥 =x0.5 och x≠0 i uttrycket . Man måste också ! ta hänsyn till detta i sin teckenstudie av derivatan. Teckenstudera derivatan till ! f(x)= och skissa grafen så ser du nog varför. ! Antingen löser man samtliga a-uppgifter (men kan då skippa resten), eller löser man enstaka a-uppgifter och sedan b- och c-uppgifter. 3245 kan ni vänta med, 3246 kan lösas elegant utan derivator. Andraderivatan/andraderivatan och grafen (sid 157-160) Att räkna ut andraderivatan är rättframt, man deriverar ursprungsfunktionen två gånger. Observera beteckningen ! ! ! y″(x)= !" ! Tvåan i täljaren ska alltså stå mellan d:et och y:et medan tvåan i nämnaren står efter x:et. Detta är i själva verket en logisk notation! Vad som är mindre självklart är vad man ska ha andraderivatan till. Ett "användningsområde" är mekanik, där andraderivatan motsvarar acceleration, som dyker upp i Newtons formel F = ma. Vi ska dock använda derivatans för allmänna grafstudier. Lite slarvigt kan man säga att andraderivatan (eller i alla fall dess tecken) anger hur det "buktar". Om y″>0 buktar grafen nedåt ("hänger nedåt") medan den buktar uppåt om y″<0. Tänk efter varför det blir så! Ha i minnet att andraderivatan anger derivatans växande och avtagande. Man kan använda andraderivata för att avgöra om ett nollställe till derivatan är lokalt max eller min (och alltså spara in på en teckenstudie) enligt följande: Om y″>0 är det fråga om lokalt min (positiv andraderivata ger ”glad” graf) och om y″<0 är det fråga om max (negativ andraderivata ger ”ledsen” graf). Observera att om y″=0 kan inget sägas, punkten i fråga kan vara max, min eller terrass. Man får använda t.ex. teckenstudie istället. Lös samtliga uppgifter på sida 157 och 160 (c-uppgifterna kan man bortse ifrån om man inte strävar mot A/B). Grafritande räknare (sid 162-163) Tas upp efter avsnittet nedan. Tillämpningar och problemlösning (sid 164-167) Blandade problem med derivatainnehåll. Inget nytt matematiskt. Ett (minimi) alternativ är att man löser samtliga a-uppgifter men skippar resten. Ett annat alternativ är att man löser 3275, 3277, 3279, 3281, 3282, 3285, 3287. Ett tredje alternativ är att man löser 3281, 3282, 3287, 3288, 3289, 3290, 3292, 3293. Välj själv efter ambition och behov. 3.3 Från derivata till funktion Primitiva funktioner (sid 173-175) Situationen i detta avsnitt är att vi känner till en funktions derivata och söker själva funktionen. Varför detta är intressant kommer att framgå, men man kan redan nu tänka sig den fysikaliska situationen att man känner till hur fort något rör sig (en derivata) och vill veta hur lång sträcka detta något har färdats (ursprungsfunktionen). Man löser problemet genom att (helt enkelt) ''baklängesderivera'' f(x), eller med korrektare språkbruk ta primitiv funktion till f(x). Primitiva funktioner skrivs ofta med motsvarande stor bokstav, så F(x) är alltså en primitiv funktion till f(x) om F′(x) = f(x). Om man är slängd på derivering så kommer bestämmande av primitiv funktion vara relativt smärtfritt, låt oss ta ett exempel: Bestäm samtliga (observera, det finns många) primitiva funktioner till f(x) = 2x. Man inser efter lite eftertanke att en primitiv funktion (skrivs alltså med stor bokstav) är F(x) = 𝑥 ! . Finns det fler? Ja, alla funktioner på formen F(x) = 𝑥 ! + C där C är en godtycklig konstant duger. Man kan visa (överkurs) att det inte finns fler, så lösningstekniken blir att hitta en specifik primitiv funktion och sedan lägga till konstanten C till denna. Träna på detta! Lös samtliga a-uppgifter (eller till ni tröttnar för det är för enkelt) samt 3312, 3313 och 3314 vid behov. Primitiva funktioner med villkor (sid 176-177) Ovan konstaterades att samtliga primitiva till f(x) = 2x ges av F(x)= 𝑥 ! + C där C är en godtycklig konstant. Det är ju inte så konstigt, om man känner till en derivata (lutning) så är ju "formen" på ursprungsfunktionen given men inte dess position i y-led. Om man däremot känner till ett specifikt funktionsvärde till den primitiva funktionen blir det ett entydigt svar. T.ex. kan vi bestämma den primitiva funktion till f(x)=2x som uppfyller att F(1)=2. Vi vet att F(x)=𝑥 ! +C och villkoret ger att 1! +C=2 så C=1 och den specifika primitiva blir F(x)=𝑥 ! +1. Taktiken är alltså att först bestämma samtliga primitiva och sedan använda givet villkor för att hitta den specifika. Lös samtliga a-uppgifter samt eventuellt 3322, 3324 och 3326. 3.4 Integraler Inledning (sid 178-180) Som boken visar så kan man bestämma hur långt man har färdats, s(t) om man råkar känna till grafen till hastighetsfunktionern v(t) genom att bestämma arean "under" grafen till v(t). Att detta är korrekt inser man genom att studera hur långt man färdas i små tidsintervall och i dessa approximerar med en konstant hastighet (se sid 178) Sedan skrotar man den fysikaliska tolkning och låter ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ! beteckna arean mellan funktionsgrafen y=f(x) och x-axeln (det är inte sant om grafen ligger under x-axeln men vi avvaktar med detta). Själva uttrycket kallas en integral, och mer precist "integralen av f från a till b". Varför ser beteckningen ut som den gör? Man kan tänka sig som ett utdraget vilket härrör från tanken att arean kan bestämmas som en summa av många smala rektangelareor. Uttrycket f(x)dx kan sedan ses som en sådan rektangelarea med höjden f(x) och basen dx (en kort bit av x-axeln). S Lös samtliga uppgifter efter behov. Integralberäkning med primitiv funktion (sid 182-185) Bokens framställning om sambandet mellan integraler och primitiv funktion är lite tunn. På lektionen kommer det att presenteras lite ordentligare. I vilket fall kan integraler (som ni än så länge kan tänka på som något som anger en area) beräknas med primitiv funktion. Detta resultat är så viktigt att det brukar benämnas "Analysens huvudsats"! Låt F(x) vara en primitiv funktion till f(x). Då gäller ! 𝑓 ! 𝑥 𝑑𝑥 = [𝐹 𝑥 ]!! = F(b) – F(a) under rimliga förutsättningar på funktionen f (som alltid är uppfyllda i kursen). Antag t.ex. att vi vill bestämma ! 𝑥 ! 𝑑𝑥 ! som alltså geometriskt svarar mot arean mellan x-axeln och grafen till f(x)= 𝑥 ! i intervallet 0≤x≤1 och som per definition ges av ett gränsvärde av en rektangelsumma. Analysens huvudsats ger ett mycket effektivare sätt att !! bestämma integralen, i princip behöver vi bara en primitiv till 𝑥 ! t.ex. . Vi får ! sedan ! ! !! ! !! !! ! 𝑥 𝑑𝑥 = [ ] = -‐ = ! ! ! ! ! ! Man kan alltså bestämma värdet på en integral genom att sätta in gränserna i den primitiva funktionen och subtrahera. Informellt kan man tänka sig F(x) som en arearäknarfunktion. F(b)−F(a) anger arean under grafen fram till b minus arean fram till a, dvs arean mellan a och b. Lös samtliga uppgifter. Tillämpningar och problemlösning (186-190) Så är det dags att använda det vi lärt oss i mer tillämpade sammanhang. Som ni ser på sida 186 så kan man ha integralen till annat än att räkna area (även om man alltid kan göra en areatolkning). Varje formel som är en produkt av två storheter där den ena varierar med den andra, kan sägas ge upphov till en integral. I tillämpade sammanhang är det ofta bra att tänka i enheter. Kom då ihåg att integralen är en summa av "en massa" termer. Enheten på integralen blir alltså samma som termernas enhet, dvs enheten på det som står i integralen. Om t.ex. v(t) anges i meter/sekund och tiden t och dt i sekunder så har alltså integralen b v t dt a enheten meter! Lös 3421, 3422, 3423, 3425a, 3426, 3428, 3430, 3432, 3435 och eventuellt 3438, 3439, 3440.