1. No category

Lösningar till Matematisk analys i en variabel för E1, (TMV137) 2015-01-14
Z
Z 1
Z 1
Z 1
√
√
1
arctan x dx = 1+
arctan x dx =
1. Integralen är lika med a) 3x2 + +4x−3 dx = x3 +ln |x|−2x−2 +C, b)
1 dx+
x
0
0
0
Z 1 2
Z
Z 1
√
t
1
t2
1
1π 1 1
π
1
1− 2
[t = x] = 1 +
(arctan t)2t dt = [PI] = 1 + 2([ arctan t]0 −
dt) = 1 + 2(
−
dt) = . . . = ,
2
2
24 2 0
t +1
2
0 2 t +1
0
Z
Z
2x + 5
1
3
dx = [PBU] = −
c)
+
dx = − ln |x + 1| + 3 ln |x − 2| + C
x2 − x − 2
x+1 x−2
2. Linjär, andra ordningen; y = yp + yh . För yh : Kar. ekv. 0 = r2 − 2r = r(r − 2) så att yh = C1 + C2 e2x . För yp : Ansätt
yp = xm (Ax + B) = (m = 1) = Ax2 + Bx, yp0 = 2Ax + B, yp00 = 2A. Insättning i ekvationen och identifikation av koefficienter
ger yp = x2 + 3x så att y = yp + yh = x2 + 3x + C1 + C2 e2x .
3. Maclaurinutveckla: x sin x − x2 = x(x −
(2x)4
(2x)2
+
+ O(x6 ).
2!
4!
2
1 + (−2x2 ) +
e−2x − cos(2x)
∴ lim
=
lim
x→0
x→0
x sin x − x2
2
x3
x4
(−2x2 )2
+ O(x5 )) − x2 = −
+ O(x6 ), e−2x = 1 + (−2x2 ) +
+ O(x6 ),
3!
3!
2!
cos(2x) = 1 −
4
= lim
4x
2
x→0
(−2x2 )2
2!
+ O(x6 ) − (1 −
(2x)2
2!
+
(2x)4
4!
+ O(x6 ))
=
− 3! + O(x6 )
4
4
2
− 2x3 + O(x6 ))
x4 (2 − 23 + O(x2 ))
3 + O(x )
3 +0
=
lim
=
lim
=
lim
= −8.
4
x→0 x4 (− 1 + O(x2 ))
x→0 − 1 + O(x2 )
x→0 − 1 + 0
− x3! + O(x6 )
6
6
6
x4
4
4. För tangentlinjen till grafen för lösningen y = y(x) gäller att dess riktningskoefficient k kan tecknas på två sätt: k = y 0 (x0 ) =
y − y(x0 )
. Lös ut y ger y = y 0 (x0 )(x − x0 ) + y(x0 ) = f (x0 , y0 )(x − x0 ) + y0 . Låt nu häri x = x1 ≡ x0 + h där h > 0 är den
x − x0
uniforma steglängden så att y = hf (x0 , y0 ) + y0 och definiera y1 = hf (x0 , y0 ) + y0 . Då gäller om h litet att y(x1 ) ≈ y1 . Nu
kommer (under tillräckliga förutsättningar), punkterna (xn , yn ), n = 0, 1, 2, 3, . . . där xn+1 = xn +h och yn+1 = hf (xn , yn )+yn
approximativt vara på grafen till lösningen y = y(x).
Z 1
Z ∞
Z 1
Z R
Z ∞
1
1
1
1
1
√
√
√
√
√
dx =
dx +
dx ≡ I1 + I2 = lim
dx + lim
dx.
5. I ≡
ε&0
R%∞
x(x
+
1)
x(x
+
1)
x(x
+
1)
x(x
+
1)
x(x
+ 1)
0
ε
1
0
Z 1
Z
√
√
1
1
√
En primitiv funktion till integranden ges av
dx = [t = x] = 2
dt = 2 arctan(t)+C = 2 arctan( x)+C.
t2 + 1
x(x + 1)
π
π
då limε&0 och I2 →
då limR%∞ . ∴ I = π, så integralen är alltså konvergent och uträkningen är
Vi har då att I1 →
2
2
bevis. Om man inte lyckas beräkna integralen exakt så kan man ändå genom att använda Jämförelsekriterier ändå visa att
1
den är konvergent. För I1 jämför man integranden √x(x+1)
med √1x och för I2 jämför man med √ 13/2 .
x
0
0
6. Spänningen över kretsen är noll, dvs E(t) = L(t)I (t) + R(t)I(t) ⇔ 4I (t) + 12I(t) = 60 ⇔ I 0 (t) + 3I(t) = 15 som är
en första ordningens linjär ODE med lösning I(t) = 5 + Ce−3t där konstanten C bestäms av begynnelsevillkoret I(0) = 0
så att I(t) = 5(1 + e−3t ) → 5 då t → ∞. Alltså är jämnviktslösningen I(t) = 5. Detta ser man ju enklare genom att
förstå att vid jämnvikt sker ingen förändring av strömmen I så att I 0 (t) = 0 vid jämnvikt, som ger att ekvationen är
0 + 3I(t) = I 0 (t) + 3I(t) = 15 så att lim I(t) = 5.
t→∞
7. Ekvationen är linjär, inhomogen så y = yp + yh men högerledet är inte av en typ för vilket vi har en enkel genväg till en
partikularlösning. Den karakteristiska ekvationen är 0 = r2 +3r+2 = (r+1)(r+2) så att yh = A1
e−x +A2 e−2x . Faktorisering av
1
(D + 1)z = ex1+1
det karakteristiska polynomet ger en faktorisering av operatorn som (D+1)(D+2)y = x
⇔
Båda
(D + 2)y = z
e +1
1
ekvationerna i ekvationssystemet är första ordningen linjära och löses med integrerande faktor. Ekvationen z 0 + z = x
e
+1
Z
Z
ex
1
x
x
x
som med integrerande faktor ger e z =
dx = [t = e ] =
dt = ln |t + 1| + K1 = ln |e + 1| + K1 som ger
ex + 1
t+1
z = e−x ln(ex + 1) + K1 e−x . Den andra ekvationen är nu y 0 + 2y = z. Då vi bara letar efter en partikularlösning yp kan vi
göra detZ enkelt för oss och välja K1 = 0. Multiplicera ekvationen med tillhörande integrerande faktor e2x ger med K1 = 0 att
e2x y =
ex ln(ex +1) dx som löses med substitutionen s = ex till att ge en partikulärlösning yp = −e−x +(e−x +e−2x ) ln(ex +1)
så att lösningen y = yp + yh = (e−x + e−2x ) ln(ex + 1) + C1 e−x + C2 e−2x för konstanter C1 , C2 ∈ R.
8. Se kursboken; sid. 450.