1. No category

U.U.D.M. Project Report 2015:23
Framväxten av den icke-euklidiska geometrin
Matilda Karlsson
Examensarbete i matematik, 15 hp
Handledare och examinator: Gunnar Berg
Juni 2015
Department of Mathematics
Uppsala University
INNEHÅLLS-­‐ OCH FIGURFÖRTECKNING
Innehålls-­‐ och figurförteckning ....................................................................................................................... 1 Bakgrund ................................................................................................................................................................... 3 Euklides, hans Elementa och den eviga diskussionen ............................................................................................................ 3 Proklos ................................................................................................................................................................................................... 5 Abu ’Ali Ibn al-­‐Haytham .................................................................................................................................................................. 5 Nasir Eddin al-­‐Tusi ........................................................................................................................................................................... 7 Christopher Clavius .......................................................................................................................................................................... 8 John Wallis ............................................................................................................................................................................................ 8 Girolamo Saccheri .......................................................................................................................................................................... 10 Från misslyckanden till acceptans .............................................................................................................. 13 Johann Heinrich Lambert ................................................................................................................................................................. 13 Adrien Marie Legendre ..................................................................................................................................................................... 14 En början till en ny geometri .......................................................................................................................................................... 15 Nicolai Ivanovitsch Lobatjevskij ................................................................................................................................................... 16 Icke-­‐euklidisk geometri ................................................................................................................................... 17 Hyperbolisk geometri ........................................................................................................................................................................ 17 Bolyai-­‐Lobatjevskijs formel ....................................................................................................................................................... 21 Den hyperboliska geometrins motsägelsefrihet .................................................................................................................... 25 Kleins modell .................................................................................................................................................................................... 25 Poincarés modell ............................................................................................................................................................................ 26 Modellernas för-­‐ och nackdelar ............................................................................................................................................... 27 Avslutning .............................................................................................................................................................. 27 Käll-­‐ och litteraturförteckning ...................................................................................................................... 29 Tryckta källor ........................................................................................................................................................................................ 29 Elektroniska källor ............................................................................................................................................................................. 29 Figur 1. Modell av Proklos bevis. .......................................................................................................................................................... 5 Figur 2. Modell över Haythams bevis. ............................................................................................................................................... 6 1 Figur 3. Modell av al-­‐Tusis bevis. ......................................................................................................................................................... 7 Figur 4. Modell över Wallis bevis. ........................................................................................................................................................ 9 Figur 5. Modell över Saccheris bevis. ............................................................................................................................................... 10 Figur 6. Modell över Saccheris påstående. .................................................................................................................................... 11 Figur 7. Modell över Legendres bevis av vinkelsumman i en triangel. ............................................................................ 14 Figur 8. Modell över det hyperboliska parallellpostulatet. ................................................................................................... 17 Figur 9. Modell över Sats 1. ................................................................................................................................................................ 18 Figur 10. Modell över beviset av Sats 1. ........................................................................................................................................ 18 Figur 11. Modell över beviset av Sats 2 ......................................................................................................................................... 19 Figur 12. Modell över beviset av Sats 7. ........................................................................................................................................ 20 Figur 13. Modell över Bolyai-­‐Lobatjevskijs formel. ................................................................................................................. 21 Figur 14. Modell av (u-­‐v)-­‐planet. ...................................................................................................................................................... 21 Figur 15. En halvlinje och dess normal a med vinklarna A, B och C. ................................................................................. 23 2 BAKGRUND EUKLIDES, HANS ELEMENTA OCH DEN EVIGA DISKUSSIONEN Euklides levde omkring 330-­‐275 f.Kr.. Han studerade i Alexandria hos elever till Platon och arbetade sedan vid Museion, som var ett slags institut för högre utbildning och forskning. Euklides byggde upp geometrin genom att välja ut ett antal grundläggande definitioner, axiom och postulat. Skillnaden mellan axiomen och postulaten är att axiomen är allmänna påståenden om storheters likheter och olikheter, medan postulaten är geometriska. Varje påstående stärks av axiom, postulat eller tidigare bevisade resultat. Det är såhär Euklides verk Elementa är uppbyggt.1 Elementa, som på grekiska heter Stoicheia, består av 13 böcker, den första boken inleder Euklides med 23 definitioner. De begrepp som han börjar med att definiera är, punkt, linjer och sträcka. 1. En punkt är något som inte har en del. 2. En linje är en längd utan bredd. 3. En linjes ändar är punkter. 4. En rak linje är en linje som ligger jämnt med punkterna på sig själv.2 Många matematiker var kritiska mot Euklides och ansåg att definitionerna var otillfredsställande, exempelvis i definitionen av en punkt ovan, så talar han inte om vad en punkt är utan vad den inte är.3 Han fortsätter därefter att definiera flera begrepp exempelvis rät vinkel och parallella linjer. 10. When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands. 23. Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.4 1 Tambour, s. 71. 2 Heath, s. 153-­‐154 3 Tambour, s. 68 4 Heath, s. 153-­‐154 3 Efter definitionerna presenterar Euklides sina axiom, som hela Elementa bygger på. Axiomen är uppdelade i fem stycken postulat och fem stycken grundsatser, som Euklides benämner ”common notions”. Postulates 1. To draw a straight line from any point to any point. 2. To produce a finite straight line continuously in a straight line. 3. To describe a circle with any centre and distance. 4. That all right angles are equal to one another. 5. That, if a straight line fallin on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produces indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Common notions 1. Things which are equal to the same thing are also equal to one another. 2. If equals be added to equals, the wholes are equal. 3. If equals be subtracted from equals, the remainders are equal. 4. Things which coincide with one another are equal to one another. 5. The whole is greater than the part.5 Ingen ifrågasatte om postulaten stämde eller inte, de beskriver i stort sett egenskaper som kan tyckas vara självklara. Förutom det femte postulatet, också kallat parallellpostulatet, som ifrågasattes redan från början. Många matematiker tyckte att det femte postulatet borde gå att härleda med hjälp av de andra fyra postulaten. Euklides försökte bevisa så många satser som möjligt utan hjälp av det femte postulatet.6 Bland annat kan man på detta sätt bevisa att det, givet en linje och en punkt utanför denna, finns en linje genom punkten parallell med linjen. Problemet med parallellpostulatet och parallella linjer har diskuterats av många matematiker i över 2000 år. Man försökte antingen ersätta parallellaxiomet med ett enklare påstående eller så försökte de bevisa det utan att göra något annat antagande.7 När dessa försök betraktas kan vi inte mer än att beundra mannen som kom fram till denna hypotes, som han fann nödvändig för hela hans system av geometri.8 5 Heath, s. 154-­‐155 6 Tengstrand, s. 50-­‐57 7 Sjöstedt, s. 10 8 Heath, s. 202 4 PROKLOS Proklos levde mellan 412-­‐485 och var ledare för den nyplatonska filosofskolan. Proklos var en av dem som kritiserade Euklides femte postulat, han ansåg att det borde strykas för att det var en mycket komplex sats. Hans försök att bevisa parallellpostulatet såg ut enligt följande. m l l’ Figur 1. Modell av Proklos bevis. Antag nämligen att l och l’ är två parallella linjer och att en tredje rät linje m skär l. Då kan avståndet mellan en punkt på l och en punkt på m göras godtyckligt stort. Men då kan också avståndet mellan en punkt på l’ och en punkt på m göras godtyckligt stort. Eftersom avståndet mellan två parallella linjer alltid är ändligt så måste l’ och m skära varandra. Proklos har här använt faktumet att avståndet mellan två parallella linjer är ändligt utan att definiera avståndet mellan två räta linjer. Skulle det definieras så är hans påstående ekvivalent med parallellpostulatet.9 ABU ’ALI IBN AL-­‐HAYTHAM Araberna, som blev de efterföljande ledarna gällande matematiska upptäckter efter Grekerna, började även att undersöka parallellpostulatet.10 Den berömda fysikern, matematikern och astronomen Abu ’Ali Ibn al-­‐Haytham var en av dem som försökte bevisa parallellpostulatet. Al-­‐Haytham levde och verkade i Kairo mellan 965-­‐1041 och var fundersam över teorin om paralleller. Men det första problem som han mötte låg hos beviset att rektanglar existerar. När han lyckats bevisa detta så försöker han bevisa parallellpostulatet. Al-­‐Haytham kritiserar även Euklides teori om parallella linjer. 9 Tengstrand, s. 262-­‐263 10 Bonola, s. 9 5 Euclid started: ”Parallel straight lines are coplanar lines such that if produced indefinitely in both directions they do not intersect in either direction.” Thus the lines are represented as coplanar and nonintersecting if produced in both directions; which means that the lines can be extended constantly and simultaneously in both directions. But it is impossible to imagine such constant increase that reaches no end; there is no way of imagine this, for whatever can be imagined is finite, and the lines dealt with here are depicted as lines of finite magnitude. Därefter så definierar han själv en teori om parallella linjer. We further imagine a second bounden straight line that forms a right angle with the first in the same plane in which the first line is located. We further imagine this line to be moving with one if its ends along the first straight line in one direction. Its motion is one simple motion, that is, without change of motions, not made up of motion and rest, one motion, without bending. If in this translation, throughout the duration of the motion, the [translated] line remains peripendicular to the line in the plane, that is, the first line located in it, then, during the time when it is in motion, the end of that peripendicular line will describe a straight line peripendicular to it: and one can imagine this line as well as this kind of motion. In this way one can obtain two coplanar straight lines which when produced indefinitely in both directions do not intersect in either direction, the distances between these lines in both directions are always the same as they grow in either direction, and it is impossible that they should inersect in any place. Thus parallel lines exist and can be imagined in this way. Han försöker sedan bevisa parallellpostulatet med hjälp av följande figur. Figur 2. Modell över Haythams bevis. Om man vid ändarna av en begränsad rät linje AB drar två räta linjer, AC och BD som tillsammans med den första linjen skapar räta vinklar så kommer den vinkelräta linjen som dras från C till D att vara ekvivalent med AB. Om man längs CD skulle dra vinkelräta linjer ner till AB så bildar de räta vinklar vid AB, som exempelvis EF. Alltså kommer ∧CDB att vara rät, se figur 2.11 11 Rosenfeld, s. 59-­‐61 6 NASIR EDDIN AL-­‐TUSI Nasir Eddin al-­‐Tusi levde mellan 1201-­‐1274, han var också en av många som försökte bevisa parallellpostulatet. Figur 3. Modell av al-­‐Tusis bevis. En given rät linje l går genom en punkt A och är vinkelrät mot en sträcka AB. En annan rät linje m går genom B och skär sträckan AB under en vinkel som inte är rät. Drag räta linjer från m som är vinkelräta mot l. Dess linjer kommer att vara kortare än AB på den sida där m bildar spetsig vinkel och längre än AB på den sida m bildar trubbig vinkel med AB. Efter påståendet visar al-­‐Tusi att vinkelsumman i en triangel alltid är lika med två räta vinklar och bevisar sedan parallellpostulatet. Men påståendet som han har utgått ifrån är minst lika komplicerat som parallellpostulatet och dessutom ekvivalent med detta.12 12 Tengstrand, s. 264 7 CHRISTOPHER CLAVIUS Christopher Clavius var en tysk matematiker född i Bamberg som levde mellan 1537-­‐
1612 och producerade ett ”originalbevis” av parallellpostulatet. Han baserar sitt bevis på följande påstående. A line each of whose points is at the same distance from a coplanar straight line is a straight line. Clavius bevisar detta påstående genom Euklides definition av en rät linje, som säger att det är en linje som ligger jämnt med punkterna på sig själv. Han tänker då att eftersom alla punkter på linjen han tänker sig ligger på samma avstånd från den raka linjen, så ligger linjen ”jämnt” med alla punkter på den. Det sättet som Clavius börjar med är liknande sättet som al-­‐Haytham börjar med. Han säger att han fått höra att en Arabisk matematiker också börjat sitt bevis på liknande sätt, men att han aldrig fått läsa beviset. Men al-­‐Haythams och Clavius påståenden är slående lika. If a straight line moves along another straight line, always forming with its end a right angle, the nits other end traces a straight line; If two equal peripendiculars are erected on a straight line and their endpoints are joined by a straight line then the peripendicular dropped from an arbitrary point of that straight line to the first straight line is equal to the first peripendicular.13 Clavius kritiserade Proklos bevis, han tyckte att påståendet som Proklos startade med måste i sin tur också bevisas, innan han kan bevisa parallellpostulatet.14 JOHN WALLIS En annan matematiker som också försökte bevisa parallellpostulatet var John Wallis, en engelsk matematiker som levde mellan 1616-­‐1703.15 Wallis ville ersätta parallellpostulatet med ett annat obevisat antagande, antagandet om icke kongruenta men likformiga trianglar existens.16 Han bevis baserades på följande påstående. To every figure there exists a similar figure of arbitrary magnitude. 13 Rosenfeld, s. 93-­‐94 14 Heath, s. 208 15 Tengstrand, s. 264 16 Sjöstedt, s. 11 8 Han fortsätter sedan med sitt bevis där han låter a och b vara två raka linjer, som skär en tvärgående linje c i punkterna A och B. Figur 4. Modell över Wallis bevis. Låt α och β vara de inre vinklarna på samma sida om linjen c, så att α + β är mindre än två räta. Genom A dras en linje b’ som likt b också har vinkeln β mot linjen c. Om b nu flyttas kontinuerligt längs AB, så att vinkeln mot c alltid är β, så kommer den tillslut att skära a innan den når sitt sluttillstånd b’. När b skär a uppstår en triangel AB1C1 med vinklarna α och β.
Genom Wallis hypotes om likformiga figurer, så kan vi se att längs linjen AB där även AB1 ligger, så måste en triangel ABC som är likformig med triangeln AB1C1 kunna konstrueras. Detta är samma sak som att säga att linjerna a och b kommer att mötas i någon punkt som kommer att utgöra den tredje vinkeln av triangeln ABC. Därav följer att parallellpostulatet är bevisat. Wallis försöker nu motivera existensen av likformiga trianglar, han poängterar att i Euklides tredje postulat uppger existensen av en cirkel med given mittpunkt och radie. Då medger han så gott som att cirklar är likformiga. Men även om Wallis erkänner att hans intuition håller med Euklides, så menar han att idén om likformiga trianglar tillsammans utgör en hypotes, som inte är mer uppenbar än parallellpostulatet.17
17 Bonola, s. 16-­‐17 9 GIROLAMO SACCHERI Girolamo Saccheri föddes 1667 och dog 1733, samma år som han dog utgavs hans verk Euklides ab omni naevo vindicatus (Euklides befriad från alla fel)18, större delen av det ägnas åt att försöka bevisa det femte postulatet.19 Han kritiserade både Wallis och al-­‐
Tusis försök till att bevisa parallellpostulatet.20 Tanken bakom sitt bevis får han från Euklides som i Elementa, proposition 12 i bok 9, påstår följande. By assuming as hypothesis that the proposition which is to be proved is false, one is brought to the conclusion that it is true. Saccheri samlar då alla propositioner fram till proposition 26 och antar som hypotes att parallellpostulatet inte stämmer. Han letar då bland propositionerna efter något som kan bevisa motsatsen och hjälpa honom bekräfta att parallellpostulatet stämmer.21 Figur 5. Modell över Saccheris bevis.22 Saccheri studerade en fyrhörning ABCD, där vinklarna A och B är räta och AC = BD. De flesta skulle anta att bilden ovan representerar en rektangel, men i själva verket behöver man använda parallellpostulatet för att bevisa att vinklarna C och D är räta.23 Antas det att vinkel C och vinkel D kan vara antingen spetsiga eller trubbiga så skulle vi implicit förneka parallellpostulatet. Tre hypoteser kan då antas om vinklarna C och D. Vinklarna C och D är räta, vinklarna C och D är trubbiga och vinklarna C och D är spetsiga. Genom de tre hypoteserna kommer Saccheri fram till vilket förhållande sidorna AB och CD erhåller. För den räta vinkelns hypotes är AB = CD, för den trubbiga vinkelns hypotes är AB > CD och för den spetsiga vinkelns hypotes är AB < CD. 18 Tengstrand, s. 264 19 Bonola, s. 22 20 Rosenfeld, s. 98 21 Bonola, s. 22 22 Tengstrand, s. 265 23 Tengstrand, s. 264-­‐265 10 Saccheri börjar sedan med att säga att om hypotesen om den räta vinkeln är sann i ett fall, så är den sann i alla, varefter han bevisar samma resultat för hypotesen om den trubbiga vinkeln. Att det gäller för den spetsiga vinkeln följer nu direkt.24 Han hoppas nu att, genom motsägelsebevis, kunna bevisa att den trubbiga respektive spetsiga vinkelns hypotes inte stämmer. Hypotesen om den trubbiga vinkeln motbevisas med hjälp av den nu kallade Saccheri-­‐Legendres sats som säger ”Av de fyra första postulaten i Elementa följer att vinkelsumman i en triangel är mindre än eller lika med två räta”. För om den kombineras med det som är känt hos den trubbiga vinkelns hypotes, nämligen att vinkelsumman i triangeln är större än två räta, leder det till en motsägelse. Saccheri kan då utesluta hypotesen om den trubbiga vinkeln. Eftersom han vill kunna bevisa att Parallellpostulatet gäller i alla fall, så vill han även kunna utesluta hypotesen om den spetsiga vinkeln. Efter en rad försök så kommer han fram till följande påstående. Figur 6. Modell över Saccheris påstående. On the Hypothesis of the Acute Angle, there exists in the pencil of lines through A two lines p and q, asymptotic to b, one towards the right, and the other towards the left, which divide the pencil into two parts. The first of these consists of the lines which intersect b, and the second of those which have a common peripendicular with it. Saccheri försöker vid detta skede att besluta sig om han ska lita på sin intuition och tro på validiteten av Parallellpostulatet eller att lita på logiken. Postulat 32 av Saccheri lyder. The Hypothesis of the Acute Angle is absolutely false, because it is repugnant to the nature of the straight line. Beviset bygger på fem stycken Lemman som finns på över 16 sidor, dock innebär hans argument i huvudsakligen följande påstående. 24 Bonola, s. 23-­‐ 24, 265-­‐266, 38 11 If the Hypothesis of the Acute Angle were true, the lines p and b (se figur ovan) would have a common peripendicular at their common point at infinity, which is contrary to the nature of the straight line. Emellertid är Saccheri inte nöjd eftersom han inte nådde sitt bevis som han önskade. Men anmärkningsvärt är, om två linjer konstant närmar sig varandra och avståndet mellan dem alltid är större än ett givet segment, så är hypotesen om den spetsiga vinkeln omöjlig. Faktumet att Saccheri inte lyckades upptäcka några motsättningar hos konsekvenserna av den spetsiga vinkelns hypotes gjorde att han började ifrågasätta den euklidiska geometrins system. Kunde det finnas ett logiskt geometriskt system som inte var uppbyggt på denna hypotes och där det skulle vara omöjligt att åskådliggöra de Euklidiska Postulaten?25 Saccheris iakttagelser och undersökningar inom geometrin var ett mycket viktigt steg mot upptäckten av den icke-­‐euklidiska geometrin.26 25 Bonola, s. 42-­‐44 26 Rosenfeld, s. 99 12 FRÅN MISSLYCKANDEN TILL ACCEPTANS JOHANN HEINRICH LAMBERT Johann Heinrich Lambert, föddes i Schweiz och levde mellan 1728-­‐1777. Hans bevismetod är nästan likadan som Saccheris, då han utgår från en fyrhörning med tre räta vinklar (som även al-­‐Haytham gjorde). Vad gäller den tredje vinkeln så får han, likt Saccheri, tre olika hypoteser.27 Han numrerar dessa, så att hypotes nummer ett handlar om den räta vinkeln, hypotes två om den trubbiga vinkeln och hypotes tre om den spetsiga vinkeln.28 Lambert lyckades visa hypotesen om den trubbiga vinkeln med hjälp av en motsägelse. Hypotesen om spetsiga vinkeln hade han däremot problem med, trots många motsägande argument, exempelvis att likformiga (icke kongruenta) figurer inte kan existera om den hypotesen gäller.29 Till skillnad från Saccheri så går Lambert en bra bit längre i härledningar till nya påståenden. Följande påstående är ett av de mest intressanta. The area of a plane triangle, under the second and third hypotheses, is proportional to the difference between the sum of the three angles and two right angles. Thus the numerical expression for the area of a triangle is, under the third hypothesis Δ = k (π – A – B – C) and under the second hypothesis Δ = k (A + B + C – π) where k is a positive constant.30 Om k = r2 i ekvationen om den andra hypotesen, så representerar ekvationen arean av en sfärisk triangel. Det är med största sannolikhet från detta han har kommit fram till följande observation.31 From this I should almost conclude that the third hypothesis would occur in the case of an imaginary sphere. Tyvärr så säger Lambert inte mer om det han har upptäckt, men eftersom han inte har publicerat sin utredning så har han förmodligen kanske kommit på ett annat sätt att betrakta området.32 27 Sjöstedt, s. 21 28 Heath, s.212 29 Sjöstedt, s. 21-­‐22 30 Heath, s. 212-­‐213 31 Heath, s. 213 13 ADRIEN MARIE LEGENDRE Den franska matematikern Adrien Marie Legendre som levde mellan 1752-­‐1833 genomförde en rad försök att försöka bevisa Euklides femte postulat.33 Hans utläggning inriktar sig mycket på sambandet mellan teorin om paralleller och summan av vinklarna i en triangel. Legendre försökte bevisa parallellpostulatet genom att utgå från ett antal olika påståenden, bland annat Given three points not in a straight line, there exists a circle passing through all three.34 En annan metod var att ge ett direkt bevis för att vinkelsumman i en triangel är två räta. Han utgår ifrån en triangel ABC och antar att ∧A + ∧B + ∧C < två räta. Figur 7. Modell över Legendres bevis av vinkelsumman i en triangel. En punkt D på AB sätts och transversalen DE dras så att ∧ADE = ∧B. Vinkelsumman i fyrhörningen DBCE är mindre än 4 räta, vilket medför att ∧AED > ∧ACB. Eftersom vinkelsumman i alla trianglar är mindre än två räta blir vinkelsumman i fyrhörningen DBCE mindre än fyra räta, β + δ + 2R – δ + 2R – γ < 4R ger β < γ dvs. ∧ACB < ∧AED. ∧E i ΔADE är då en strängt avtagande funktion av sidan AD, eller ekvivalent, längden av sidan AD är fullt bestämd när vi vet storleken på ∧E, ∧A och ∧B. Men detta som Legendre kommer fram till håller inte, eftersom längden av en linje inte har någon betydelse om man inte vet enheten som den hänvisar till. Därför förkastar han 32 Bonola, s. 50 33 Rosenfeld, s. 103 34 Heath, s. 213 14 hypotesen att ∧A + ∧B + ∧C < två räta och kvar har vi att ∧A + ∧B + ∧C = två räta. Från detta så följer även hans bevis av parallellpostulatet.35 EN BÖRJAN TILL EN NY GEOMETRI Saccheris, Lamberts och Legendres misslyckande försök att visa att hypotesen om den spetsiga vinkeln är falsk ledde istället till att tanken om en ny geometri accepteras av ett antal matematiker. De tänkte att det kanske fanns en geometri där vinkelsumman i en triangel är mindre än två räta och dessutom där parallellpostulatet inte gällde. En av dessa var Ferdinand Karl Schweikart, en tysk juridikprofessor som levde mellan 1780-­‐
1859. Hans intresse för geometri var starkt och i ett memorandum skrev han om den vanliga euklidiska geometrin och en annan geometri som han kallade Astral-­‐geometri.36 Detta memorandum skickade han till Carl Freidrich Gauss och efter ett tag så svarade Gauss att han samtyckte med allt han hade skrivit. Gauss som föddes 1777 och dog 1855 var den första som hade en klar bild av hur en geometri utan parallellpostulatet kunde se ut. Men Gauss delade inte med sig av sina tankar, så det var först Nikolai Ivanovitch Lobatjevskij och János Bolyai som tog upp detta i sina verk.37 János far, Farkos Bolyai hade också gjort några intressanta arbeten om parallellpostulatet och var dessutom en god vän till Gauss.38 János kom från Ungern och levde mellan 1802-­‐1860. När han examinerades 1817 var han en topp elev och hade till och med undervisat andra studenter i matematik och fysik. Han började sedan intressera sig för parallellpostulatet och försökte som så många andra att bevisa detta. Men år 1820 bytte han riktning, istället för att försöka bevisa det femte postulatet så tänkte han att det inte alls var sant och ville visa att det kunde finnas en geometri där parallellpostulatet inte gällde.39 1831 så publicerade han sitt arbete, Den absoluta vetenskapen om rummet, som ett appendix till hans fars verk.40 I själva verket motsvarar både Schweikarts och Gauss idéer exakt det system som Saccheri och Lambert arbetade med, hypotesen om den spetsiga vinkeln.41 35 Bonola, s. 57-­‐58 36 Tengstrand, s. 268-­‐269 37 Bonola, s. 75-­‐77, 64-­‐65 38 Tengstrand, s. 270 39 Gray, s. 49-­‐50 40 Tengstrand, s. 270 41 Bonola, s. 75-­‐77 15 NICOLAI IVANOVITSCH LOBATJEVSKIJ Mellan 1793-­‐1856 så levde Nicolai Ivanovitsch Lobatjevskij, han studerade matematik på University of Kazan under en professor som hette J. M. C. Bartels. Bartels var en vän och landsman till Gauss och båda två var i Braunschweig tillsammans två år innan han åkte till Kazan. Det kan tänkas att både Bartels och Gauss hade lite inflytande på Lobatjevskijs arbete, men som man senare ser var han nästan helt oberoende av dem. Lobatjevskij började arbeta med parallellproblemet tidigt och man har hittat flera försök att bevisa Euklides femte postulat. Redan 1823 hade han tankar på en imaginär geometri, han säger att vi inte har några bevis att parallellpostulatet stämmer, men det är möjligt att det skulle finnas. Han började då att tänka på en geometri oberoende av Euklides teorier, hans första arbete i detta lästes upp på en föreläsning i Kazan 1826, Exposition succinte des principes de la géométrie avec une démonstration rigoureuse du théoréme des paralléles. Han förklarar att principen med geometrin bygger på en linje där två paralleller kan dras genom en punkt och där en triangel har en vinkelsumma som är mindre än två räta. Lobatjevskij fortsätter att publicera arbeten, han börjar med att publicera On the Principles of Geometry 1829-­‐1830. Sedan rullar det på, Imaginary Geometry (1835), New Principles of Geometry, with a Complete Theory of Parallels (1835-­‐1838), the Applications of the Imaginary Geometry to some Integrals (1836) och Geometriche Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (1840). Ett år innan han dog så publicerade han sitt sista arbete, en fullständig skildring om hans system av geometri, Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale at rigoureuse des paralléles (1855).42 42 Bonola, s. 84-­‐92 16 ICKE-­‐EUKLIDISK GEOMETRI Geometrin där Euklides femte postulat, parallellpostulatet, inte gäller kallas för icke-­‐
euklidisk geometri, den innehåller i sin tur hyperbolisk geometri som kommer från den spetsiga vinkelns hypotes och elliptisk geometri som kommer från den trubbiga vinkelns hypotes. Den huvudsakliga skillnaden mellan euklidisk och icke-­‐euklidisk geometri handlar om parallella linjer. Som vi redan vet från den euklidiska geometrin har en linje, med en godtycklig punkt utanför, en och endast en parallell linje som går genom punkten. Men inom den hyperboliska geometrin kan man dra oändligt många linjer genom denna punkt som är parallell med den givna linjen och inom den elliptiska geometrin existerar det inte ens parallella linjer.43 Så om man bortser från alla de satser som går att härleda med parallellpostulatet, är de två geometrierna överensstämmande. Den euklidiska och icke-­‐euklidiska geometrins gemensamma del brukar kallas för pangeometri eller absolut geometri.44 HYPERBOLISK GEOMETRI Som skrivet innan, det enda som skiljer den hyperboliska geometrin från den euklidiska geometrin är parallellpostulatet. Istället har det euklidiska parallellpostulatet bytts ut mot det hyperboliska parallellpostulatet.45 Låt b vara en godtycklig rät linje och A en punkt utanför b. Då finns det två halvlinjer a1 och a2, som utgår från A och inte utgör delar av samma räta linje samt inte skär b, medan b skärs av varje halvlinje som utgår från A och ligger i vinkelfältet a1, a2.46 Figur 8. Modell över det hyperboliska parallellpostulatet. 43 Wikipedia 44 Sjöstedt, s. 26 45 Stolt, s. 84 46 Stolt, s. 78 17 I figur 8 är a1 och a2 som sagt halvlinjer och de är randparallella med b. En halvlinje definieras enligt ”En halvlinje från en given punkt utgörs av samtliga punkter som ligger på en rät linje genom punkten och på samma sida om den givna punkten”. De räta linjer som går genom A och de halvlinjer från A som inte skär b är linjer som kallas icke skärande. Dessa icke skärande räta linjer kallas tillsammans med randparallella linjer och halvlinjer för parallella. Tyvärr är det svårt att illustrera den hyperboliska geometrins räta linjer, därför ritar man vissa av dem som böjda kurvor. Detta gör att vår föreställning om den räta linjen inte kan åskådliggöras, men samtidigt gör det att vi kan illustrera konstruktionerna och satserna.47 Nedan följer två viktiga satser ur den hyperboliska geometrin. Sats 1. Låt b vara en rät linje och a1, a2 de båda med b randparallella halvlinjerna från en punkt A. Då bildar a1 och a2 lika stora vinklar med normalen från A mot b.48 Figur 9. Modell över Sats 1.49 Om α > β så skulle satsen ovan inte gälla, då skulle vi kunna dra en halvlinje på andra sidan AB som bildar vinkeln β med AB. Som vi vet är a1 randparallell med b och på grund av detta kommer den nya halvlinjen att skära b i en punkt C. Figur 10. Modell över beviset av Sats 1. 47 Stolt, s. 34, 84-­‐85 48 Stolt, s. 85 49 Stolt, fig. 47, s. 86 18 Om vi avsätter BC’ = BC på andra sidan B och drar AC’ enligt figur 10 ovan. Då kommer ΔABC och ΔABC’ att vara kongruenta, detta på grund av att vinklarna vid B är räta, BC = BC’ och AB är gemensam. Speciellt gäller ∧BAC’ = β.50 Men detta är omöjligt eftersom halvlinjen från P som bildar vinkeln β med AP är randparallell. Sats 2. Parallellvinkeln beror endast av normalens längd. Figur 11. Modell över beviset av Sats 2 Vi antar att β < α. Men då kommer halvlinjen l att skära L1 i en punkt C och vi har en med triangel ABC kongruent triangel A’B’C’. Vilket är en omöjlig situation. Nedan följer en rad olika satser som endast kommer att nämnas och inte bevisas. Sats 3. Låt b vara en given rät linje och a den ena av de med b randparallella räta linjerna genom en viss punkt A. Då är a randparallell med b i var och en av sina punkter. Därav följer att man inte behöver tala om randparallellitet i en viss punkt utan man kan allmänt säga att a är randparallell med b. Således gäller det omvända Sats 4. Om a, b är två räta linjer och a är randparallell med b, så är b randparallell med a. Sats 5. Om två halvlinjer är randparallella med en tredje, så är de sinsemellan randparallella. Att två icke skärande räta linjer alltid har en gemensam normal kan man visa med hjälp av de föregående satserna ovan. Men för randparallella räta linjer gäller det inte och det resultatet är en konsekvens av Sats 6. Om två räta linjer skärs av en tredje under lika stora likbelägna vinklar, så måste det vara fråga om icke skärande räta linjer. 50 Stolt, s. 86 19 Genom denna sats kan man bevisa följande sats Sats 7. Parallellvinkeln minskar när avståndet till räta linjen ökar. Figur 12. Modell över beviset av Sats 7. I figur 12 ovan så är PQN normalen från punkterna P och Q mot den räta linjen c. Linjerna a och b är motsvarande randparallella räta linjer. Vi ska visa att α < β (vid Q). Som skrivet är a och b randparallella med c och därav är de randparallella sinsemellan. Som sats 6 säger så kan då inte α och β vara lika stora. Antag α > β och avsätt vinkeln β vid P. Enligt Paschs axiom51 så måste linjen Pm skära c och b. Vilket är en motsägelse, för m och b kan inte skära varandra på grund av att de är räta linjer som skärs av PQ under lika alternatvinklar. Vilket medför att α < β. Det går att visa att det inom den hyperboliska geometrin finns en absolut längdenhet. En vinkel av given storlek kommer alltid ha en normal av bestämd längd och från det följer att om vinklarna i en triangel är bestämda så är även sidorna i triangeln det.52 Man kan nu fråga sig om det finns någon formel som uttrycker sambandet mellan normalens längd och parallellvinkelns storlek och både Bolyai och Lobatjevskij kom fram till att det gäller. 51
Låt A, B, C vara tre punkter som inte ligger på en linje och låt a vara en linje i planet ABC som inte går genom
någon av punkterna A, B, C. Om linjen a passerar genom en punkt på sträckan AB, går den också genom en punkt
på sträckan AC eller genom en punkt på sträckan BC. http://en.wikipedia.org/wiki/Pasch%27s_axiom
52 Stolt, s. 86-­‐91 20 BOLYAI-­‐LOBATJEVSKIJS FORMEL Figur 13. Modell över Bolyai-­‐Lobatjevskijs formel. !
!
!
Vi betraktar sfären som har radien = 1 och området som vektorerna , och bildar. Genom trigonometri kan vi härleda följande formel cos 𝑐 = cos 𝑎 ∗ cos 𝑏 + sin 𝑎 ∗ sin 𝑏 ∗ cos 𝐶 (𝐀) !
!
!
Till en början vet vi att vektorerna , och är enhetsvektorer och har därför längd lika med 1. Vilket medför !
!
cos 𝑎 = ∗
! !
cos 𝑏 = ∗ ! !
cos 𝑐 = ∗
!!
!
är den vinkelräta enhetsvektorn mot i (
!
!
,
!
)-­‐planet, vars riktning ges av !
komponenten av vinkelrät mot (figur 15): Figur 14. Modell av (u-­‐v)-­‐planet. 21 !
!!
=
!
−
−
!
!
∗
∗
!
!
∗
∗
!
!
!
= − cos 𝑎 ∗
!
!!
!
=
!
− cos 𝑎 ∗
sin 𝑎
och på samma sätt får vi fram att !!
!
=
!
− cos 𝑏 ∗
sin 𝑏
Vidare får vi följande cos 𝐶
!
!
!! !!
= ∗ =
∗
!
−
− cos 𝑎 ∗
sin 𝑎
! !
!
!
!
∗
!
− cos 𝑏 ∗
sin 𝑏
!
!
= !
∗ cos 𝑏 − ∗ ∗ cos 𝑎 + ∗ ∗ cos 𝑎 ∗ cos 𝑏
= = sin 𝑎 ∗ sin 𝑏
cos 𝑐 − cos 𝑎 ∗ cos 𝑏
=
sin 𝑎 ∗ sin 𝑏
och från den sista formeln kommer vi att komma fram till (A) ovan. Om vi nu istället använder − cos 𝑎 ∗ cos 𝑏
sin 𝑎 ∗ sin 𝑏
cos 𝑏 − cos 𝑎 ∗ cos 𝑐
(∗) cos 𝐵 =
sin 𝑎 ∗ sin 𝑐
cos 𝑎 − cos 𝑏 ∗ cos 𝑐
cos 𝐴 =
sin 𝑎 ∗ sin 𝑐
cos 𝐶
=
cos 𝑐
och beräknar − cos 𝐵 ∗ cos 𝐶 + sin 𝐵 ∗ sin 𝐶 cos 𝑎 = ∗ = = cos 𝑎
∗ cos 𝑏 − cos 𝑐 cos 𝑏 − cos 𝑎 ∗ cos 𝑐
∗
+ sin 𝑎 ∗ sin 𝑏
sin 𝑎 ∗ sin 𝑐
+ 1−
cos 𝑏 − cos 𝑎
∗ cos 𝑐
sin 𝑎 ∗ sin 𝑐
!
∗ 1−
cos 𝑐
− cos 𝑎 ∗ cos 𝑏
sin 𝑎 ∗ sin 𝑏
!
∗ cos 𝑎 sin B och sin C har skrivits om med hjälp av trigonometriska ettan och efter en hel del beräkningar kommer vi fram till att detta uttryck blir lika med cos 𝑎
− cos 𝑏 ∗ cos 𝑐
sin 𝑏 ∗ sin 𝑐
22 så ur (∗) får vi cos 𝐴
= − cos 𝐵 ∗ cos 𝐶 + sin 𝐵 ∗ sin 𝐶 ∗ cos 𝑎 (𝐁) Ekvationerna som vi har härlett fram är cosinuslagen för sidor (A) och cosinuslagen för vinklar (B). Radien är som sagt lika med 1, men om vi skulle byta ut den mot r kommer (A) att bli 𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
cos = cos ∗ cos + sin ∗ sin ∗ cos 𝐶 𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
och om man skulle byta ut r mot ir (jämför Lamberts imaginära sfär ovan) skulle man erhålla följande !
!
!
!
𝑐 𝑒 !!" + 𝑒 !!!" 𝑒 ! + 𝑒 !!
𝑐
cos
=
=
= cosh
𝑖𝑟
2
2
𝑟 !
!
𝑐 𝑒 !!" − 𝑒 !!!"
𝑐
sin
=
= ⋯ = −𝑖 sinh
𝑖𝑟
2𝑖
𝑟
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
⟹ cosh = cosh ∗ cosh − sinh ∗ sinh ∗ cos 𝐶 (𝐀! ) 𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
(B) med ir istället för r blir då cos 𝐴
𝑎
= − cos 𝐵 ∗ cos 𝐶 + sin 𝐵 ∗ sin 𝐶 ∗ cosh (𝐁 ! ) 𝑟
Figur 15. En halvlinje och dess normal a med vinklarna A, B och C. Från figur 15 erhåller vi följande 23 𝐴=0
𝐵 = 𝜋 𝑎 𝜋
𝐶=
2
och använder vi dessa värden och sätter in det i (B’) får vi 1 = sin 𝜋 𝑎 ∗ cosh
𝑎
1
2
⟹ sin 𝜋 𝑎 =
=
!
! 𝑎
!
𝑟
cosh
! +𝑒 !
𝑒
𝑟
⟹ cos 𝜋 𝑎 = 1 − sin 𝜋 𝑎 = 1 −
2
2
!
2
!
𝑒!
+
!
𝑒 !!
=1−
4
!!
𝑒!
+2+𝑒
!
!!
!
= 𝑎
sinh2
𝑟 = tanh2 𝑎 (𝛂) …=
𝑎
𝑟
cosh2
𝑟
Enligt formeln för dubbla vinkeln så vet vi följande 1 − cos 2𝑎 2 sin2 𝑎
𝑎 1 − cos 𝑎
=
= tan2 𝑎 ⟹ tan2 =
2
1 + cos 2𝑎 2 cos 𝑎
2 1 + cos 𝑎
så då erhålls !
𝑎
𝑎
𝑎
1 − tanh 𝑟 cosh 𝑟 − sinh 𝑟 𝑒 ! !
!!
𝜋
𝑎
1
−
cos
𝜋
𝑎
!
! ⟹ tan2
=
= 𝛂 =
=
=
=
𝑒
!
𝑎
𝑎
𝑎
2
1 + cos 𝜋 𝑎
1 + tanh 𝑟 cosh 𝑟 + sinh 𝑟
𝑒!
!
𝜋 𝑎
⟹ tan
= 𝑒 ! ! 2
Sammanfattningsvis har vi alltså formeln tan
! !
!
!
= 𝑒 ! ! (1) eller, om vi väljer r=1 tan
𝜋 𝑎
= 𝑒 !! (𝟐) 2
Vi ser ur dessa att: Om a ⟶ 0 går tan
!(!)
!
!
mot 1 dvs. 𝜋 𝑎 ⟶ ! (som i det euklidiska fallet) medan 24 om a ⟶ ∞ går tan
!(!)
!
mot 0 dvs. 𝜋 𝑎 ⟶ 0 !
Vidare ger (1) att om r ⟶ ∞ fås det att 𝜋 𝑎 ⟶ ! så om vi tar en mycket stor sfär blir geometrin lokalt sett nästan euklidisk. DEN HYPERBOLISKA GEOMETRINS MOTSÄGELSEFRIHET Tidigare har man visat att den euklidiska planimetrin är motsägelsefri i samma mån som de reella talens aritmetik är det. Men man kan även visa att den hyperboliska planimetrin är motsägelsefri i samma mån som de reella talens aritmetik är motsägelsefri. Detta gör man med hjälp av det euklidiska planet och man kan visa att en lämpligt vald del av den euklidiska modellen utgör en modell av den hyperboliska geometrin. De begrepp och relationer som finns i den euklidiska modellen är motsvarande mot de som finns i den hyperboliska modellen fast man har gett dem andra namn. Som tidigare nämnts så ritas vissa hyperboliska räta linjer som böjda linjer, men i denna modell definieras en hyperbolisk rät linje som ett visst bestämt begrepp från den euklidiska geometrin. På så sätt kommer den hyperboliska linjen alltid uttryckas på samma sätt. Denna modell gör att de båda geometrierna är likvärda, så är den euklidiska geometrin motsägelsefri så är den hyperboliska geometrin det också. Det finns två modeller som brukar användas, Felix Kleins modell och Henri Poincarés modell.53 KLEINS MODELL Det som Klein utgår från i sin modell är att det icke-­‐euklidiska planet utgörs av en randcirkel och är det inre hos en cirkel i det euklidiska planet. Man brukar även lägga in ett rätvinkligt koordinatsystem i planet och låta det hyperboliska planet motsvaras av enhetscirkeln, där radien är 1 och medelpunkten är i origo. Med hjälp av enhetscirkeln tolkar man nu de hyperboliska grundelementen enligt följande. Det hyperboliska planet är som sagt det inre av cirkeln, en hyperbolisk punkt är en euklidisk punkt i det inre av cirkeln och en hyperbolisk rät linje är en korda i enhetscirkeln. 53 Stolt, s. 103-­‐104 25 Kleins modell har en stor svaghet som är det sätt på vilket (”lika”) vinklar definieras. För de vinklar som han definierar som hyperboliskt kongruenta kommer inte bli ”lika stora” i euklidisk mening. Problemet som då uppkommer är att man inte kan se klart vilka vinklar i modellen som är kongruenta och därmed hyperboliskt lika. När man använder Kleins modell kan man i somliga fall få en god illustration till den hyperboliska geometrins satser och förhållanden. Den euklidiska geometrin säger att om den ena av två räta linjer, som inte möter varandra, skärs av en tredje linje, så kommer den att skära den andra räta linjen också. Men i den hyperboliska geometrin kan man enkelt bestämma en hyperbolisk rät linje som skär den ena men inte den andra och med hjälp av Kleins modell är det lätt att illustrera. Samtliga axiom från den hyperboliska geometrin gäller i Kleins cirkelmodell och det är därför klart att den euklidiska geometrin och den hyperboliska geometrin är likaberättigade logiska system.54 POINCARÉS MODELL Ponicarés modell brukar kallas för Poincarés cirkelmodell, han utgår, liksom Klein, från ett plan där den euklidiska geometrin gäller och betraktar enhetscirkeln. Han tolkar den hyperboliska geometrins grundbegrepp enligt följande. Det hyperboliska planet är det inre av enhetscirkeln, en hyperbolisk punkt är en euklidisk punkt i det inre av enhetscirkeln och en hyperbolisk rät linje är den inom enhetscirkeln liggande delen av en euklidisk cirkelbåge som skär enhetscirkeln under räta vinklar (ortogonalcirkelbåge). Diametern i enhetscirkeln betraktas som en ortogonalcirkelbåge där medelpunkten ligger på oändligt avstånd. Om det inre av denna cirkel skulle avbildas på ett halvplan som är begränsat av en euklidisk rät linje får man Poincarés halvplanemodell för den hyperboliska geometrin. I detta halvplan så svarar en hyperbolisk punkt mot en euklidisk punkt och de hyperboliska räta linjerna kommer att utgöras av både euklidiskt räta linjer som är vinkelräta mot begränsningslinjen och euklidiska halvcirkelbågar som har sin medelpunkt på begränsningslinjen.55 54 Stolt, s. 104-­‐115 55 Stolt, s. 116-­‐117 26 MODELLERNAS FÖR-­‐ OCH NACKDELAR Fördelen med Kleins modell är att förhållanden i den hyperboliska geometrin som rör räta linjer kan ges med en bra illustration. Detta på grund av att hyperboliska räta linjer i Kleins modell motsvarar sträckor av bestämd längd på euklidiska räta linjer, alltså euklidiska kordor i en euklidisk cirkel. Dock kan man inte få en överskådlig bild av hyperboliska vinklars inbördes storleksförhållande. Om man studerar Poincarés cirkelmodell så är förhållandena motsatta, där hyperboliska vinklar motsvaras av euklidiskt lika stora vinklar mellan euklidiska cirkelbågar. Cirkelbågarna ses i sin tur som hyperboliskt räta linjer. Fördelen med Poincarés cirkelmodell är att den kan användas inom högre matematisk analys, men det är inget som ska redogöras för här.56 AVSLUTNING Euklides Elementa grundar sig, som tidigare nämnts, på fem postulat och ett antal axiom. Bland postulaten finns det ett utmärkande, parallellpostulatet, som har ifrågasatts i över 2000 år. Många matematiker har försökt bevisa det femte postulatet och samtliga har misslyckats, men Saccheris försök har varit avgörande för den icke-­‐euklidiska geometrins uppkomst. Den hyperboliska geometrin, som grundar sig på de fyra första postulaten i Elementa och en negation av det femte, det hyperboliska parallellpostulatet, var det Bolyai och Lobatjevskij som utvecklade en teori för. Men den stora frågan är, hur vet vi att den hyperboliska geometrin är motsägelsefri? Klein, Poincaré och även en matematiker vid namn Eugenio Beltrami skapade olika modeller, dessa modeller bygger på den euklidiska geometrin och uppfyller den hyperboliska geometrins postulat. De menar på att om den euklidiska geometrin är motsägelsefri, så är även den hyperboliska geometrin det. På det sättet som vi har uppfostrats och lärt oss i skolan så tycker vi att den Euklidiska geometrin, som den är uppbyggd i Elementa, är korrekt. Vår intuition och vår 56 Stolt, s. 115 27 verklighetsuppfattning gör att vi tycker att de fem grundläggande postulaten är sanningsenliga. Den hyperboliska geometrin är i många fall svår att visualisera men samtidigt är den lika sann som den euklidiska. Så man kan undra om vi kan lita på vår intuition, måste den euklidiska geometrin vara motsägelsefri? När den icke-­‐euklidiska geometrin upptäcktes uppkom frågan om vilka krav som skulle ställas på ett axiomsystem, ett av de kraven har vi redan tagit upp, att det ska vara motsägelsefritt. Om ett axiomsystem inte är motsägelsefritt betyder det att man utifrån axiomen kan härleda ett påstående och negationen till det. Man ska kunna avgöra om ett påstående är sant eller falskt i det system man studerar med hjälp av postulaten, vilket medför kravet på fullständighet. Exempelvis påståendet ”Genom en given punkt utanför en given rät linje går precis en rät linje som inte skär den givna”, om vi betraktar pangeometrin så kan vi inte avgöra om påståendet är sant eller falskt. Om vi skulle utgå ifrån att det stämmer så får vi en teori och om vi skulle utgå ifrån att det inte stämmer får vi en annan teori, men båda teorierna är lika sanna. Det tredje villkoret är frågan om axiomsystemet innehåller onödiga axiom som man på något sätt kan härleda från de andra axiomen. Det var ju just det som ledde till diskussionen om parallellpostulatet och den icke-­‐euklidiska geometrins uppkomst.57 57 Tengstrand, s. 291-­‐292 28 KÄLL-­‐ OCH LITTERATURFÖRTECKNING TRYCKTA KÄLLOR Bonola, Roberto. Non-­‐Euclidean geometry: a critical and historical study of its development. New York: Dover Publications, Inc., 1955. Gray, Jeremy J. János Bolyai, Non-­‐Euclidean Geometry, and the Nature of Space. Cambridge, Massachusetts: Burndy library, 2004. Heath, Thomas L. The thirteen books of Eucli’s elements, Vol.1 (Books I and II). 2. uppl. New York: Dover Publications, Inc., 1956. Rosenfeld, B. A. A history of non-­‐Euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. New York: Springer-­‐Verlag, 1988. Sjöstedt, C. E. Icke-­‐euklidisk geometri. Stockholm: Natur och Kultur, 1945. Stolt, Bengt. Geometri – euklidisk och icke-­‐euklidisk. Stockholm: Prisma, 1968 Tambour, Torbjörn. Euklidisk geometri. Stockholms Universitet: Matematiska Institutionen, 2002. Tengstrand, Anders. Åtta kapitel om geometri. Lund: Studentlitteratur, 2005. ELEKTRONISKA KÄLLOR Wikipedia. Icke-­‐euklidisk geometri. 2014. http://sv.wikipedia.org/wiki/Icke-­‐
euklidisk_geometri (Hämtad 2015-­‐05-­‐05) Wikipedia. Pasch’s axiom. 2015. http://en.wikipedia.org/wiki/Pasch%27s_axiom (Hämtad 2015-­‐05-­‐21) Wikipedia. Trigonometriska ettan. 2014. http://sv.wikipedia.org/wiki/Trigonometriska_ettan (Hämtad 2015-­‐05-­‐21) Wikipedia. Trigonometrisk funktion. 2015. http://sv.wikipedia.org/wiki/Trigonometrisk_funktion (Hämtad 2015-­‐05-­‐22) 29