Formelsamling i hållfasthetslära Transformation i x-y planet Spänningar och töjningar y' Spänningstensorns komponenter definieras av följande samband ( x, y, z , ⌧yz , ⌧xz , ⌧xy ) (1) Spänningstensorn i x-y planet med ( x , y , ⌧xy ) får följande komponenter där (Sx , Sy , Sz ) är kraft per ytenhet som verkar på en godtycklig plan yta med normalvektorn (nx , ny , nz ). = 1, 2 x' x θ Sx = x nx + ⌧xy ny + ⌧xz nz , Sy = ⌧xy nx + y ny + ⌧yz nz , Sz = ⌧xz nx + ⌧yz ny + z nz , Huvudspänningarna nen y och 3 är rötter till ekvatio- 0 x = x cos2 ✓ + y sin2 ✓ + 2⌧xy sin ✓ cos ✓, 0 y = x sin2 ✓ + y cos2 ✓ 0 ⌧xy = y ⌧xy ⌧xz ⌧yz ⌧yz z x ⌧xy ⌧xz = 0. (2) för = 1, 2 respektive y x 2 sin 2✓ + ⌧ xy cos 2✓, (3) "0x = "x cos2 ✓ + "y sin2 ✓ + xy sin ✓ cos ✓, "0y = "x sin2 ✓ + "y cos2 ✓ xy sin ✓ cos ✓, xy cos 2✓. 0 xy = ("y "x ) sin 2✓ + "x = @u , @x yz = @v @w + , @z @y "y = @v , @y xz = @u @w + , @z @x @w "z = , @z xy 1 1 yz , 2 xz , 2 xy ) Extremvärden för normalspänningarna är + y + R, min = 2 och maximal skjuvspänning ges av max x = (4) där R = @u @v = + , @y @x r⇣ 1 2 xy "y " 1 2 yz 1 2 xz 1 2 yz "z " = 0. + 2 y R (8) ⌧max = R x y 2 ⌘2 2 + ⌧xy Huvudtöjningarna " = "1 , "2 och "3 är rötter till ekvationen " x Vinkeln ↵ mellan x-axeln och normalriktningen för huvudspänningsplanen, ges av där u, v och w är förskjutningar i respektive x-, y- och z-led. 1 2 xy 1 2 xz (7) 3. Töjningstensorns komponenter ("x , "y , "z , 12 definieras enligt följande "x (6) 2⌧xy sin ✓ cos ✓, i koordinatsystemet x0 -y 0 . Vinkeln mellan x-axlen och x0 axeln är ✓. Samma koordinattransformation ger töjningstensorns komponenter ("x , "y , 12 xy ) som Huvudspänningsriktningarna (⌫x , ⌫y , ⌫z ) ges av sambanden ( x )⌫x + ⌧xy ⌫y + ⌧xz ⌫z = 0, ⌧xy ⌫x + ( y )⌫y + ⌧yz ⌫z = 0, ⌧xz ⌫x + ⌧yz ⌫y + ( z )⌫z = 0, komponenterna 1 ↵ = arctan 2 (5) ✓ 2⌧xy x y ◆ . (9) Maximal skjuvspänning belastar plan i riktningen Huvudtöjningsriktningarna och huvudspänningsriktningarna sammanfaller alltid för ortotropa material. Isotropa linjära elastiska material tillhör denna grupp. = ↵± 1 ⇡ 4 (10) Två eﬀektivspänningar används för att bedöma risken för plasticering. Eﬀektivspänning enligt von Mises hypotes (deviationsarbeteshypotesen) definieras av e = q = p1 2 p ( 2 2) + ( 1 2 3) + ( 1 2 2 3) = x = y = E ⌫2) (1 E (1 ⌫2) ["x + ⌫"y ] , ⌧xy = G 2 x + 2 y + 2 z x y x z y z + 2 3⌧xy + 2 3⌧xz + 2 3⌧yz (11) = max(| 2| , | 1 1 3| , | 2 3 |). och vid plan deformation gäller "z = "x = Konstitutiva samband Sambandet mellan spänningar och töjningar hos isotropa linjära elastiska material ges av Hookes generaliserad lag: 1 [ E x ⌫( y + z )] , yz = y ⌫( x + z )] , xz 1 = ⌧xz , G 1 [ E z ⌫( x + y )] , xy = "z = E ⌫2 1 E xy  x 1  y 1 = 1 ⌧xy . G xz = ⌫ yz ⌫ y , ⌫ x , ⌫ (16) För visko-elastiska material vid enaxlig belastning ges ett samband mellan töjning " och spänning och deras tids... derivator ", ˙ ˙ , ¨, " , etc. Enkla element som kan inkluderas i en viskoelastisk modell är linjär elasticitet (13) E 1 ⌧xy , G " eller = E" x = 0 och Materialparametrarna E är elasticitetsmodulen och⌫ är tvärkontraktionstalet eller Poissons tal. Skjuvmodulen E definieras som G = 2(1+⌫) . 1 ⌧yz , G 1 "y = [ E ⌫2 1 (12) "y = "x = xy , . Eﬀekktivspänning enligt Trescas hypotes (skjuvspänninghypotesen) definieras av e (15) ["y + ⌫"x ] , E = (1 + ⌫)(1 2⌫) [(1 ⌫)"x + ⌫("y + "z )] , ⌧yz = G (17) yz , där E är en elastisk modul och linjär viskositet ⌘ y = E (1 + ⌫)(1 2⌫) [(1 ⌫)"y + ⌫("x + "z )] , ⌧xz = G xz , "˙ (14) = ⌘ "˙ z E = (1 + ⌫)(1 2⌫) [(1 ⌫)"z + ⌫("x + "y )] , ⌧xy = G Speciallt vid plan spänning gäller z (18) xy . där ⌘ är en viskocitetsparameter. Modellerna används i kombination för att simulera mer komplicerade konstitutiva samband. = ⌧xz = ⌧yz = 0 och 2 Enaxlig dragning z y Tz För enkelt sammanhängande tunnväggiga tvärsnitt med varierande väggtjocklek, t(s), där s är en koordinat längs ´ väggen, är K = 13 t3 (s)ds. Sammansatta trimlor med konstanta tjocklekar ti och längderna si beräknas som en summa P 3 K = 13 ti si . Summeringen utförs för alla strimlor. Vridmotståndet är i båda fallen Wv = K/tmax . Här är tmax är den största väggtjockleken. My Tx x Mx ⇥¸ ⇤ En tunnväggig hålsektion har K = 4A2 / (1/t(s))ds . Sym¸ bolen betyder att integrationen företas längs koordinaten s, varvet runt. Hålets yta är A. Om väggen består av strimlor med konstanta P tjocklekar ti och respektive längder si blir K = 4A2 / [ (si /ti )]. Vridmotståndet är i båda fallen Wv = 2Atmin , där tmin är den minsta väggtjockleken. Belastning Tx = N, Tz = 0, M x = My = 0 (19) Spänningar s x = N , A (20) s Diﬀerentialekvation d dx t(s) t(s) ✓ EA du dx ◆ +X =0 (21) Fig. a) Enkelt sammanhängade sektion. b) hålsektion. där X är pålagd utbredd kroppskraft i x-led per längdenhet. Förlängning av en homogen stång med längden L och för X = 0 är FL = . EA Diﬀerentialekvation d dx (22) ✓ d' GK dx '= Belastning M x = Mv , + H = 0, (25) där H är pålagt utbrett moment per längdenhet. Förvridning av en homogen stång med längden L och med H = 0 är Vridning Tx = Tz = 0, ◆ My = 0, Mv L . GK (26) Böjning (23) där Mv är ett vridande moment. Belastning Spänningar i cylindriska rör Tx = 0, Mv Mv r, ⌧max = (24) K Wv där K vridstyvhetens tvärsnittsfaktor och Wv är vridmotståndet. ⌧r✓ = Tz = T, Mx = 0, M y = Mb , (27) där T är tvärkraft ocn Mb är böjande moment. Den enda förekommande normalspänningen ges av För ett cylindriskt rör med ytterdiametern D och innerdiam⇡ ⇡ etern d gäller att K = 32 (D4 d4 ) och Wv = 16D (D4 d4 ). x Ett kvadratiskt tvärsnitt med sidlängden a är ger K = 0.141a4 och Wv = 0.208a3 . = Mb z, med Iy max = Mb . Wy (28) z-koordinaten utgår från medellinjen, dvs den linje som bildas av tyngdpunkten i varje tvärsnitt. 3 Om tvärkraften T 6= 0 förekommer även skjuvspänningar. I ett rektangulärt tvärsnitt är dessa ⌧xz = 6T (z bh3 h 2 ) . 2 Belastningsfall 3 Q (29) Ra (30) R a = Rb = ✓a = där q är utbredd last i z-led per längdenhet längs balken. Diﬀerentialekvationen för böjning (elastiska linjens ekvation) skrivs d2 w EI 2 . dx δ(ξ) Ra (31) Mb θa Material stål höglegerat rostfritt aluminium duraluminium koppar volfram magnesium Mb )/`, 1) [Ma (⇠ 2) Mb (⇠ + 1)]. Belastningsfall 2 P ↵` Ra θa ⇤ 2⇠ 3 + ⇠ 4 . Ref. Bodelind och Persson. (2Ma + Mb ) , `2 6EI ⇠(⇠ ⇠ Materialtabeller Ra = Rb = (Ma (⇠) = ⇥ Cirkulärt tvärsnitt med diametern D och med koncentriskt 4 4 ⇡ ⇡ (D d ) hål med diametern d: Iy = 64 (D4 d4 ), Wb = 32 runt D en axel som går genom tvärsnittets tyngdpunkt. ` ` 6EI Q`3 24EI Rektangulärt tvärsnitt med höjden h och och bredden b: Iy = bh3 bh2 12 , Wb = 6 runt en axel som är parallell med kanterna med längden b och som går genom tvärsnittets tyngdpunkt. ξ ✓a = (⇠) = Beteckning A[mm2 ] Ix [mm4 ] Wx [mm3 ] Iy [mm4 ] Wy [m3 ] HE140A 31.4 1030 155 389 56 I80 7.58 77.8 19.5 6.29 3.00 USP200 32.2 1910 191 148 27, 0 T-profil 50 5.66 12.1 3.36 6.06 2.42 Belastningsfall 1 Rb Q`2 24EI , Q 2, Tvärsnittsdata Lösta exempel för speciella randvillkor Ma Rb ` dT dMb och T = . dx dx Mb = δ(ξ) ξ` Jämviktsamband vid böjning q= θa δ(ξ) ` E[kN/mm2 ] ⌫ [ ] 2101 0.3 206 0.3 220 0.3 70 0.34 72 0.32 120 0.35 360 0.17 45 0.33 Stålkvalitéer E[kN/mm2 ] ⌫ [ ] SS1550-01 205 0.3 SS2090-04 206 0.3 SS2172-00 205 0.3 SS2331-43 206 0.3 Rb ξ` ` ⇢[kg/m3 ] 7800 7880 7710 2700 2800 8900 19300 1730 2 s [N/mm 2 ] 260 1300 310 980 Elasticitetsmodulen för stål varierar mellan 180 och 240 kN/mm2 . 1 Ra = ↵P `, Rb = (1 ✓a = P `2 6EI ↵ ↵)P `, (1 + ) , (⇠) = P `3 6EI ⇥ (1 2 )⇠ ⇤ ⇠ 3 för ⇠  ↵. 2 4 Variationer beroende på materialets volym förekommer.