1. No category

Matematik 4 Kap 1 Trigonometri och formler
1.1 Trigonometri och trianglar
Enhetscirkeln och trianglar (sid 8-10)
Detta är en repetition/upprepning av Matematik 3c, möjligen behöver ni
kontrollera hur tan fungerar. Några uppgifter är t.o.m. identiska med de i
Matematik 3c-boken. Förslagsvis ögnar ni igenom texten och löser enstaka
uppgifter enligt nedan.
Lös 1103,
1109 och eventuellt 1111. Skulle ni känna er osäkra, ta några till. 1.2 Trigonometriska formler
Enhetscirkel och formler (sid 12-14)
Detta är delvis gjort i Ma3c, fast där rörde det sig med vinklar i intervallet
0∘≤v≤180∘, medan man här "snurrar" utan begränsning, både positivt (moturs)
och negativt (medurs). Förstår man definitionen av sin, cos och tan i
enhetscrikeln så är det egentligen inte så svårt.
Enhetscirkeln (GeoGebra): Enhetscirkeln.ggb Lös uppgifter efter behov, rimligen inte alla.
Trigonometriska identiteter (sid 15-18)
Som ni har upptäckt, och kommer att upptäcka, finns det en mängd samband
mellan olika trigonometriska uttryck. Man reder ut ett antal sådana samband
utifrån enhetscirkeln (se till så att ni kan detta), och sedan kan alla andra
härledas genom algebraiska manipulationer.
En central "formel" är den så kallade trigonometriska ettan som säger att
sin2 v + cos2 v = 1 för alla vinklar v. Beviset följer av definitionen av sin och cos i enhetscirkeln och
Pythagoras sats. Observera att man av lathetsskäl har infört
notationskonventionen
sin2 v = (sinv)2,
cos2 v = (cosv)2.
Detta sistnämnda är alltså inget man kan bevisa utan som man bestämt!
En typisk uppgift kan sedan vara att t.ex. visa att
!
!"# ! !
- tan2 v
= 1
Det är oftast enklast att börja med den "värsta" sidan och försöka skriva om det
till den “bättre” sidan. I exemplet ovan startar man i så fall med vänsterledet och
försöker skriva om det (utan att bryta mot några regler) till talet 1.
I vissa svårare problem kan det vara så att båda sidorna är "värst". En möjlig
strategi kan i så fall vara att flytta över allt på en sida, få ett "supervärst" uttryck
som man sedan ska visa är noll.
En annan typ av uppgift på dessa sidor är att växla mellan sin och cos utan att
bestämma vinklar på vägen. T.ex. kan man fråga sig vilka värden cos v kan anta
om man vet att sin v=0.5. Man skissar en enhetscirkel och ser att två värden
kan komma ifråga (om det i uppgiften står ett vilkor på vinkeln kan ibland enbart
ett värde komma ifråga). Dessa kan sedan bestämmas med trigonometriska
ettan.
Lös samtliga a-uppgifter, 1221c, 1223, 1224b, 1228, 1231 och eventuellt 1235 och 1236. Addition- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 19-22).
Till sin samling av trigonometriska identiteter bör man lägga de så kallade
additionsformlerna. Man kan t.ex. ha nytta av dessa när man överlagrar sinusoch cosinuskurvor i fysiken, och i samband med lösning av vissa ekvationer. Det
är lätt att glömma formlernas exakta utseende så man kollar upp dem i t.ex.
formelblad vid behov. Det viktiga är att veta när och hur de kan användas och
eventuellt känna till hur man plockar fram dem/bevisar dem. Någon kan ju
faktiskt ha lagt beslag på ens formelblad!
Den "jobbiga" formeln att ta fram, om man gör som boken, är
cos(u−v) = cosu cosv + sinu sinv.
Denna bevisar man genom att uttrycka ett avstånd mellan två punkter på två
sätt, dels "direkt" med Pythagoras sats, dels med cosinussatsen. Sen flyttar man
om lite … . När man är klar med ovanstående följer övriga ganska lätt, man byter
v mot -v och man använder t.ex. att cosv=sin(90−v). Som vanligt går det bra att
använda formlerna utan att känna till beviset. I själva verkat ska alla kunna
använda dem medan beviset ligger på A-nivå, i alla fall av den ursprungliga
additionsformeln.
Lös a-uppgifterna, 1247, 1248, 1250 och eventuellt 1251 och 1252. Formler för dubbla vinkeln (sid 24-­‐25) Detta är inget nytt utan en följd av de framplockade additionsformlerna. I
likheten
sin(u+v)=sinu cosv + sinv cosu,
som gäller för alla u och v, är det ju möjligt att sätta u=v. Då fås
sin2u = sin(u+u) = sinu cosu + sinu cosu = 2sinu cosu.
Detta är formeln för dubbla vinkeln för sinus. På motsvarande sätt plockar man
fram en formel för cosinus av dubbla vinkeln.
Lös samtliga uppgifter, c-uppgifter efter ambitionsnivå. Om man tänker göra (och
klara) c-uppgifter kan man hoppa över en del a- och b-uppgifter.
1.3 Bevis och bevismetoder
Behandlas efter 1.4
1.4 Trigonometriska ekvationer
Grundekvationer (sid 33-37)
Det finns, av naturliga skäl, tre grundläggande varianter,
sinx=konstant, cosx=konstant, tanx=konstant.
Av för mig okända skäl behandlas tangens först senare. Därmed sätter vi
tangensvarianten inom parentes ett tag, och kikar på de andra.
Som vanligt vid ekvationslösning gäller det att få x:et fritt. Det väsentliga är att
komma ihåg att man kan få oändligt många lösningar, i princip två för varje varv
och sedan kan man ju "snurra". Man kan inte anta att t.ex. x är en vinkel i en
triangel, utan ALLA möjliga x-värden måste presenteras. Man observerar också
att vissa ekvationer saknar lösning, t.ex. beroende på att sin och cos "landar"
mellan -1 och 1.
Som vanligt är det helt avgörande att man förstår hur det fungerar i
enhetscirkeln. Då blir ekvationslösningen logisk och ganska enkel, och man
förstår varför det blir lite olika hantering beroende på vilken trigonometrisk
funktion som är inblandad.
Följande GeoGebrakonstruktion illustrerar hur det funkar
http://www.georgiostheodoridis.se/archives/MDEnhetsCirkelSinCosTan200V2.
html Lös samtliga a-uppgifter, 1414cd, 1416, 1417, 1418 och eventuellt 1419, 1420 (tänker man göra 1419 och 1420 kan man hoppa över de flesta a-uppgifterna). Ekvationer som omformas med formler (sid 38-39)
Egentligen inget nytt här, men ändå inte helt lätt. Man måste dels ha koll på sina
trigonometriska omskrivningar, dels på ekvationslösning. Det är omöjligt att
formulera en taktik som fungerar alltid men här kommer litet hälp:
1425 Om en ekvation med faktorer är noll så måste en faktor vara noll.
Multiplicera inte ihop!
1428a Så fort man ser en "dubbel" vinkel är man beredd med sina
additionsformler.
1428b Detta är en andragradsekvation i "enheten" sinx. Alltså sätter vi t = sinx,
löser en andragradsekvation i t och bestämmer sedan x utifrån eventuella tvärden.
1429 Fixa till så att "enheten" blir sinx. Observera att det är sämre att "byta in"
cosx (varför?). 1430 Kan man få en faktor sin2x i högerledet? Om man lyckas med detta, flytta
över allt till en sida! Kom ihåg att det är obra att dividera med uttryck som
innehåller x. De kan ju vara noll! Lös a-uppgifterna, 1428, 1429, 1430 och eventuellt 1434 och 1435. 1.5 Tillämpningar och problemlösning (40-41)
Ingen ny matematik, men lite mer eller mindre verkliga situationer som leder till
trigonometriska överväganden. c-uppgifterna 1511 och 1512 är inte så lätta, men
en trevlig utmaning om man undviker att kika i facit!
Lös
1502, 1506, 1507, 1509 och eventuellt 1511 och 1512.