Matematik utöver det vanliga – att utveckla ett arbetsmaterial
Förslag till examensarbeten på CL-programmet
Examensarbetet består i att utveckla ett material som introducerar ett matematiskt område vid sidan
om det vanliga skolstoffet för matematikintresserade ungdomar i grundskolans senare år eller på
gymnasiet. I arbetet ingår att själv utveckla sina matematikkunskaper inom det valda området, och
också att pröva ut materialet i samspel och dialog med en grupp elever ur den tänkta målgruppen. En
viktig utgångspunkt för arbetet är att specificera målgruppen och att göra en analys av den tänkta
målgruppens förkunskaper och vilka anknytningar som kan göras till begrepp som kan antas vara
välkända för målgruppen.
Materialet kan utformas för att användas som bredvidläsning, inom breddningskurser i
gymnasieskolan eller för verksamhet inom science centers som Vetenskapens Hus, Tom Tits
experiment eller Tekniska museet.
Materialet kan bestå av text som introducerar aktuella begrepp och metoder, matematisk teori,
övningar och problem samt laborativa moment med eller utan IKT-stöd.
Här nedan beskrivs två tänkbara områden lite närmare:
Kaotiska dynamiska system
Metrisk geometri och kartritning
Andra exempel på tänkbara områden är
Talteori, t ex något om primtal
Exempel på grupper och gruppteori (t ex moduloaritmetik, symmetrigrupper)
Fourieranalys (att beskriva periodiska svängningar med trigonometriska funktioner)
Grafteori (t ex Hamiltonstigar och Eulerstigar)
Se också dokumentet Utveckling av matematiklaboration med förslag på examensarbeten rörande
matematiklaborationer på Vetenskapens Hus
Kontaktpersoner:
Hans Thunberg, KTH Matematik, [email protected]
David Eklund, KTH Matematik, [email protected]
Dynamiska system
Dynamiska system är ett aktuellt område inom matematiken med många tillämpningar, exempelvis
inom populationsdynamik och väderprognoser. Redan med förkunskaper på gymnasienivå kan man
närma sig och experimentera med frågeställningar som anknyter till aktuell forskning.
För en introduktion riktad till gymnasieungdomar är det lämpligt arbeta med endimensionella
dynamiska system i diskret tid. En funktion f som avbildar ett reellt interval I på sig självt genererar
ett sådant system genom iteration. Det innebär att f sammansätts med sig själv gång på gång på gång
– på så sätt fås för varje startvärde x i I en talföljd
x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) …
och man studerar sedan hur den talföljden beter sig I det långa loppet. Närmar den sig ett
gränsvärde? Närmar den sig ett periodiskt förlopp, eller uppvisar den andra beteenden som t ex så
kallat deterministiskt kaos? Hur påverkas talföljden av små förändringar i starvärdet x eller av
funktionen f?
Ett vanligt studerat exempel är funktioner av formen f(x) = a x( 1 - x ) som avbildar intervallet [0,1] för
lämpliga val av konstanten a. Olika a-värden kommer att ge upphov till en rad olika intressanta
långtidsbeteenden. Först efter en mycket intensiv forskning under nittonhundratalets sista decennier
har man idag en god förståelse för detta tillsynes enkla dynamiska system.
Undersökningar av denna typ av dynamiska system kan göras med stöd av såväl grafiska metoder
som med datorexperiment.
Metrisk geometri och kartritning
Vad menar man egentligen när man säger att en världskarta har skala, säg, 1:30 000 000? Låt oss
anta att jordytan är en perfekt sfär. En perfekt plan karta över jorden skulle vara sådan att, för varje
par av punkter p och q på jordytan, avståndet mellan p och q mätt längs jordytan skalas ner med en
konstant faktor till avståndet mellan motsvarande punkter på kartan. Med konstant avses att
skalningsfaktorn inte beror av valet av punkter p och q. Dessutom skulle man nog vilja att vinklar
bevaras, dvs. om C och D är kurvor på jorden som båda går genom en punkt p och bildar vinkeln v vid
p, så skall motsvarande kurvor på kartan också bilda vinkeln v mellan sig i punkten på kartan som
motsvarar p. En sådan karta kan dock inte existera och när man ritar plana kartor över vår planet
ägnar man i sig i regel åt diverse kompromisser mellan avståndsbevarande och vinkelbevarande.
Det verkar således som om sfären är väsentligen skild från planet när det gäller frågor om avståndsoch vinkelmätningar, s.k. metriska egenskaper. Sfären har globala egenskaper som ingen bit av
planet har, exempelvis har vi ju att den som går och går i en konstant riktning på sfären slutligen
kommer tillbaka till samma punkt. Men olikheten mellan sfären och planet som vi syftar på ovan är
av lokal typ: Man kan inte rita en perfekt plan karta över en liten bit av sfären heller. Det visar sig att
sfären har en sorts inneboende krökning (Gausskrökning) som planet inte har. Krökningen är
inneboende i den meningen att den inte beror på ``hur sfären sitter i det omgivande rummet'' utan
enbart på sfären självt. Om vi hade bott på en cylinder kunde vi lätt rita goda lokala kartor över vår
värld: Klipp bara upp cylindern längs en linje, veckla ut den och skala ner allting till en praktisk
storlek. Detsamma hade gällt om vi hade bott på en kon likt en stjärngossemössa. Konens spets är en
aning problematisk så vi tar bort den från konen. Genom att klippa upp konen längs en lämplig linje
och veckla ut den kan vi rita en god lokal karta. Det är rimligt att säga att cylindern, konen (förutom
spetsen) och planet är lokalt samma ur ett metriskt perspektiv och att de är olika representationer av
samma objekt som bara skiljer sig genom hur de är placerade i det omgivande rummet. Likväl är
konen och cylindern krökta i någon mening, men krökning är av ett ickeinneboende slag och uppstår
ur relationen med det omgivande rummet.
En breddningskurs eller laboration för skolungdomar på detta tema skulle gå ut på att förstå
skillnaden mellan inneboende krökning och krökning som beror av placeringen i rummet. Man kunde
gå in i detalj på någon metod för att rita kartor över jorden och diskutera dess fördelar respektive
nackdelar. Skalbegreppet känner eleverna till men de kanske inte har tänkt på att den skala som
anges bara gäller approximativt och för små avstånd. Det är lätt att föreställa sig laborativa inslag
som att rita kartor själv, klippa i papperscylindrar samt kanske något mer avancerat som hjälp av
datorgrafik. Ett sätt att illustrera de deformationer som äger rum när en bit av en sfär plattas ut vore
att tvinga något töjbart material att anta en sfärisk form, märka materialet med ett mönster och
sedan försöka platta ut det utan att störa mönstret.