1. No category

5.1 - Proportions
Proportions
Q1 In the last election 68 % of the electorate voted for party P.
a
On the assumption that the electorate have not changed their allegiances what is the
probability that in a random sample of 30 electors, 19 (63.33%) or fewer indicate that
they will vote for party P. (Use the binomial distribution).
0.354881
b
Use the Normal approximation to the binomial distribution to estimate the probability
that 19 people or fewer in a random sample of 30 indicate that they will vote for party P.
Use a "continuity correction".
Normal Low
0.36232
c
In a large sample the Normal distribution is a good representation of the probability
distribution of the proportion (supporting party P). If the sample size were 200 electors,
we would use the Normal distribution with mean 0.68 and what standard deviation?
0.032984
d
On this basis find the probability that 63.33% or less of the large sample intend to vote
for party P. Do NOT make use of a "continuity correction".
0.07841
Normal Low
x = 0.6333
Mean = 0.68
Sdev = Använd svaret från c
På löpande bandet i en fabrik tillverkar man komponenter med 1% chans att en
Q2 komponent inte klarar kvalitetskontrollen och därför kasseras.
a
Ett stickprov på 650 tages för testning. Om felprocenten är fortfarande 1%, vad är
sannolikheten att alla 650 komponenter klarar kvalitetskontrollen?
0.0015034
b
Vad är sannolikheten att två eller fler komponenter fallerar kvalitetskontrollen?
0.988724
Q3
En stor servicefirma har 261 räkningar som förfaller till betalning denna månad. Av
erfarenhet vet man att 7% av alla fakturerade kunder inte betalar förrän efter
förfallodagen.
Hur stor är sannolikheten att fler än 6 kunder av de 261, som fått fakturor, betalar efter
förfallodagen?
FLER ÄN 6
0.999134
På löpande bandet i en fabrik tillverkar man 250 komponenter per arbetsdag. Antag att
Q4 idag är 17 av dessa defekta.
a
Ett stickprov på 14 tages för testning. Vad är sannolikheten att alla 14 komponenter klarar
kvalitetskontrollen?
14 > 10
0.373097
n/N < 0.1
P + n/N = 0.124 > 0.1 , Använd binominalapproximation.
b
Vad är sannolikheten att minst 2 men högst 8 komponenter fastnar i kvalitetskontrollen?
0.2457978
På löpande bandet i en fabrik tillverkar man 2500 komponenter per arbetsdag. Antag att
Q5 idag är 29 av dessa defekta.
a
Ett stickprov på 85 tages för testning. Vad är sannolikheten att alla 85 komponenter klarar
kvalitetskontrollen?
85 > 10
n/N < 0.1
0.3730659
P + n/N = 0.0456 < 0.1 , Använd poissonfördelning.
b
Vad är sannolikheten att två eller fler komponenter fallerar kvalitetskontrollen?
0.2590909
Antag att
samt
och
och
är två oberoende binominalfördelade variabler med
.
Q9
Låt
a
.
Beräkna väntevärdet för .
4.29
b
Beräkna standardavvikelsen för .
1.6176835
c
Beräkna sannolikheten att är mindre än 2.
MINDRE ÄN 2
0.0349538
Approximations
Q1 The probability of success on any trial of a binomial experiment is 34 % .
Use the Normal approximation to the binomial to find the probability that the proportion
of of successes in a sample of 300 is less than 31 %.
(Do not make use of a "continuity correction" in this question.)
Använd Normal Low P ( X < 0.31)
x = 0.31
Mean = 0.34
0.13634
Sdev =
Given a binomial random variable X with n=27 and p=0.42, find the (exact) probabilities
Q4 of the following events.
a
P(X = 14).
0.0896082
b
P(X <= 12).
Binompdf(27,0.42,14)
0.6770822
Binomcdf(27,0.42,12)
Find the Normal approximation to
c
P(X=14). Use the "continuity correction".
Normal low
Mean =
0.09089
Sdev =
Find the Normal approximation to
d
P(X <= 12). Use the "continuity correction".
0.67448
Normal low
Is the answer to (c) about the same as the answer to (a)? Is the answer to (d) about the
same as the answer to (b)?
e
1 (c) near (a), and (d) near (b)
2 (c) not near (a), and (d) near (b)
3 (c) near (a), and (d) not near (b)
4 Neither approximation very good
Enter the number, from 1 through 4, that corresponds to the most satisfactory response.
1
I en fabrik tillverkar man komplicerade elektronikkomponenter. Andelen defekta
komponenter är 5.7% av totala produktionen. Ett stickprov på 500 komponenter väljs
Q5 slumpmässigt ut till test. Förutsätt att andelen defekta komponenter är samma i
stickprovet som i totala produktionen nämligen: 5.7%.
a
Vad blir sannolikheten att 38 eller fler av komponenterna i stickprovet är defekta?
Använd normalapproximation utan halvkorrektion i denna del!
Normal High
Mean =
0.03344
Sdev =
P(X > 38)
b
Räkna på samma sannolikhet som i uppgift a) och använd normalapproximation med
halvkorrektion.
0.04128
Normal High, x = 37.5
P(X > 37.5)
c
Räkna på samma sannolikhet som i uppgift a) och använd poissonapproximation. Använd
excels funktion för poissonfördelning.
0.05081956
d
Slutligen räkna på samma sannolikhet som i uppgift a) exakt. Använd excels funktion för
binominalfördelning.
0.04579352
Man kan se att normalapproximationen var inte särskillt bra. Detta är i sig inte
förvånande då
inte tillräkligt stor för normalapproximation.
Halvkorrektion hjälpte lite men även där var aproximationen otillräkligt.
Poissonapproximationen var betydligt bättre. Inget konstigt här då kraven för denna
approximation
är tillgodosedd.
I en serie försök är sannolikheten för lyckad resultat 36 % för de individuella
Q6 experimenten.
Använd normalapproximationen av binomialfördelningen för att hitta sannolikheten att
mindre än 35 % av experimenten lyckats då man utför totalt 500 försök.
(Använd inte halvkorrektion i denna uppgift.)
Normal low
Mean : 0.36
0.32066
Sdev =
P(X < 0.35)
Confidence intervals
Vid en oppinionsundersökning upskattas stödet för ett politisk parti. I ett stickprov på 524
människor har 168 utryckt sitt stöd till fördel för partiet. Beräkna ett 95% och 99%
confidensintervall för andelen (utryckt i siffror mellan 0 och 1) som stödjer partiet.
Q1
a
Nedre intervallgräns för 95% .
0.280650
b
Övre intervallgräns för 95% .
0.3605710
c
Nedre intervallgräns för 99% .
0.26809368
d
Övre intervallgräns för 99% .
0.37312768
Sample size
Ett opinionsinstitut behöver upskatta stödet för ett visst politisk parti och vill därför göra
en stickprovsundersökning i en viss valkrets.
I den senaste mätningen fick partiet stöd av en andel på 0.29 i valkretsen.
Q1 I den nya undersökningen vill institutet uppnå en konfidensgrad av 99 % samt att
resultatet skall vara minst 0.005 nära den korrekta andelen.
Vad behöver den minsta storleken på undersökningen bli för att uppnå detta (förutsatt att
resultatet inte kommer att avvika nämnvärt från den tidigare undersökningen).
Använd z-värden upp till minst 5 decimaler i dina beräkningar.
54646
, lös ut n