SF1669 Matematisk och numerisk analys II Sextonde föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 23 februari 2015 Repetition I RRR Trippelintegraler K f (x, y , z) dxdydz ges av Riemannsummor. ∂(x, y , z) . Variabelbyte med beloppet av Jacobianen, ∂(s, t, u) Vid cylinderkoordinater är dxdydz = r drdθdz. I Vid sfäriska koordinater är dxdydz = r 2 sin φ drdφdθ. I Volymen av en kropp K ges av ZZZ V = 1 dxdydz. I I K I Arean av en yta r(s, t) ges av ZZ ∂r ∂r × dsdt. A= ∂t D ∂s Tröghetsmoment Rörelseenergin för en stelkropp K under rotation med en vinkelhastighet ω ges av Jω 2 /2 där ZZZ J= ρ(x, y , z)D 2 (x, y , z) dxdydz K där D(x, y , z) är avståndet från (x, y , z) till rotationsaxeln. Exempel (Tentamen 2013-01-10, Uppgift 3) 2 1.8 K 1.6 1.4 1.2 z Kroppen K ges av x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x 2 − y 2. Beräkna tröghetsmomentet m.a.p. z-axeln, dvs ZZZ (x 2 + y 2 ) dxdydz 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 −0.5 −1 y −1 0 −0.5 x 0.5 1 Tröghetsmoment Exempel (Tentamen 2013-01-10, Uppgift 3) 2 1.8 K 1.6 1.4 1.2 z Kroppen K ges av x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x 2 − y 2. Beräkna tröghetsmomentet m.a.p. z-axeln, dvs ZZZ (x 2 + y 2 ) dxdydz 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 −0.5 −1 y −1 0 −0.5 0.5 x Fråga Var börjar vi? A. Beskriva kroppen B. Välja koordinater (rektangulära, sfäriska eller cylindriska) C. Välja integrationsmetod 1 Tyngdpunkt Tyngdpunkten, eller masscentrum, hos en kropp K ges av ZZZ 1 (xc , yc , zc ) = (x, y , z)ρ(x, y , z) dxdydz, m K där m är kroppens massa. Exempel (Tentamen 2013-08-22, Uppgift 6) där V är volymen av K . 1 0.8 0.6 z Låt K vara ett homogent halvklot som har radie R, medelpunkt i origo och ligger över xy -planet. Beräkna z-koordinaten för kroppen K :s masscentrum, dvs ZZZ 1 z dxdydz V K 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 y −0.5 −1 −1 x Medelvärden Vi kan beräkna medelvärden över områden genom RRR f (x, y , z) dxdydz KRRR mK (f ) = K 1 dxdydz i rummet eller RR mD (f ) = f (x, y ) dxdy DRR D 1 dxdy i planet. Exempel 3.5 3 z 2.5 2 1.5 1 3 2 1 y 0 1 0.5 x 1.5 2 Bestäm det genomsnittliga avståndet till origo från punkter i rektangeln 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3, dvs beräkna ZZ q 1 x 2 + y 2 dxdy . 2 D Vektorfält Definition Ett vektorfält på ett område D i Rn är en funktion F : D −→ Rn . 2.5 2 1.5 1 y 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 x 0.5 1 1.5 2 2.5 Figur : Matlab ritar ut vektorfält med quiver Fältlinjer Vektorfältets fältlinjer har vektorfältet som tangentvektorer. 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Konservativa vektorfält och potentialer Definition Ett vektorfält F är konservativt om F = ∇f för någon potential f . Sats Om F(x, y ) = ∇f (x, y ) = (P(x, y ), Q(x, y )) så gäller ∂P ∂Q = . ∂y ∂x Fråga Vad av följande stämmer? A. Alla vektorfält med ∂P ∂y = ∂Q ∂x är konservativa. B. Det kan finnas vektorfält med konservativa. C. Båda ovanstående stämmer. D. Inget av dem stämmer. ∂P ∂y = ∂Q ∂x som inte är ∂P ∂y Ett exempel på icke-konservativt fält med = 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ∂Q ∂x Ekvipotentiallinjer Definition För ett konservativt vektorfält F(x, y ) = ∇f (x, y ) ges ekvipotentiallinjerna av nivåkurvorna för potentialen f . 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Fält- och ekvipotentiallinjer Sats Fältlinjer och ekvipotentiallinjer är vinkelräta mot varandra. 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Bevis. ∇f (x, y ) är vinkelrät mot alla nivåkurvor f (x, y ) = c.
© Copyright 2024