SF1669 Matematisk och numerisk analys II
Sextonde föreläsningen
Mats Boij
Institutionen för matematik
KTH
23 februari 2015
Repetition
I
RRR
Trippelintegraler
K f (x, y , z) dxdydz ges av
Riemannsummor.
∂(x, y , z) .
Variabelbyte med beloppet av Jacobianen, ∂(s, t, u) Vid cylinderkoordinater är dxdydz = r drdθdz.
I
Vid sfäriska koordinater är dxdydz = r 2 sin φ drdφdθ.
I
Volymen av en kropp K ges av
ZZZ
V =
1 dxdydz.
I
I
K
I
Arean av en yta r(s, t) ges av
ZZ ∂r
∂r × dsdt.
A=
∂t
D ∂s
Tröghetsmoment
Rörelseenergin för en stelkropp K under rotation med en
vinkelhastighet ω ges av Jω 2 /2 där
ZZZ
J=
ρ(x, y , z)D 2 (x, y , z) dxdydz
K
där D(x, y , z) är avståndet från (x, y , z) till rotationsaxeln.
Exempel (Tentamen
2013-01-10, Uppgift 3)
2
1.8
K
1.6
1.4
1.2
z
Kroppen K ges av
x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x 2 − y 2.
Beräkna tröghetsmomentet
m.a.p. z-axeln, dvs
ZZZ
(x 2 + y 2 ) dxdydz
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.5
0
−0.5
−1
y
−1
0
−0.5
x
0.5
1
Tröghetsmoment
Exempel (Tentamen
2013-01-10, Uppgift 3)
2
1.8
K
1.6
1.4
1.2
z
Kroppen K ges av
x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x 2 − y 2.
Beräkna tröghetsmomentet
m.a.p. z-axeln, dvs
ZZZ
(x 2 + y 2 ) dxdydz
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.5
0
−0.5
−1
y
−1
0
−0.5
0.5
x
Fråga
Var börjar vi?
A. Beskriva kroppen
B. Välja koordinater (rektangulära, sfäriska eller cylindriska)
C. Välja integrationsmetod
1
Tyngdpunkt
Tyngdpunkten, eller masscentrum, hos en kropp K ges av
ZZZ
1
(xc , yc , zc ) =
(x, y , z)ρ(x, y , z) dxdydz,
m
K
där m är kroppens massa.
Exempel (Tentamen
2013-08-22, Uppgift 6)
där V är volymen av K .
1
0.8
0.6
z
Låt K vara ett homogent
halvklot som har radie R,
medelpunkt i origo och ligger
över xy -planet. Beräkna
z-koordinaten för kroppen K :s
masscentrum, dvs
ZZZ
1
z dxdydz
V
K
0.4
0.2
0
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
y
−0.5
−1
−1
x
Medelvärden
Vi kan beräkna medelvärden över områden genom
RRR
f (x, y , z) dxdydz
KRRR
mK (f ) =
K 1 dxdydz
i rummet eller
RR
mD (f ) =
f (x, y ) dxdy
DRR
D
1 dxdy
i planet.
Exempel
3.5
3
z
2.5
2
1.5
1
3
2
1
y
0
1
0.5
x
1.5
2
Bestäm det genomsnittliga
avståndet till origo från punkter
i rektangeln 0 ≤ x ≤ 1,
1 ≤ y ≤ 3, dvs beräkna
ZZ q
1
x 2 + y 2 dxdy .
2 D
Vektorfält
Definition
Ett vektorfält på ett område D i Rn är en funktion F : D −→ Rn .
2.5
2
1.5
1
y
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
2.5
Figur : Matlab ritar ut vektorfält med quiver
Fältlinjer
Vektorfältets fältlinjer har vektorfältet som tangentvektorer.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Konservativa vektorfält och potentialer
Definition
Ett vektorfält F är konservativt om F = ∇f för någon potential f .
Sats
Om F(x, y ) = ∇f (x, y ) = (P(x, y ), Q(x, y )) så gäller
∂P
∂Q
=
.
∂y
∂x
Fråga
Vad av följande stämmer?
A. Alla vektorfält med
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
är konservativa.
B. Det kan finnas vektorfält med
konservativa.
C. Båda ovanstående stämmer.
D. Inget av dem stämmer.
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
som inte är
∂P
∂y
Ett exempel på icke-konservativt fält med
=
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
∂Q
∂x
Ekvipotentiallinjer
Definition
För ett konservativt vektorfält F(x, y ) = ∇f (x, y ) ges
ekvipotentiallinjerna av nivåkurvorna för potentialen f .
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fält- och ekvipotentiallinjer
Sats
Fältlinjer och ekvipotentiallinjer är vinkelräta mot varandra.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Bevis.
∇f (x, y ) är vinkelrät mot alla nivåkurvor f (x, y ) = c.