¨
Ovning
5, FMM-Vektoranalys, SI1140
44. Ber¨
akna
ZZ
A · dS
S
f¨or f¨oljande vektorf¨alt och ytor:
a) A(x, y, z) = rot exy , arctanz, (x + y + z)7/2 z 2 och S : enhetssf¨aren
b) A(x, y, z) = (x, 2y, 3z) och S : enhetssf¨aren
L¨
osning a):
Ytan ¨ar sluten och s˚
aledes kan vi bruka Gaußsats, vi erh˚
aller (∂V = S):
ZZ
ZZZ
A · dS =
∇ · AdV = 0, ty ∇ · ∇ × B = 0 ∀B
S
V
L¨
osning b):
Ytan ¨ar sluten och s˚
aledes kan vi bruka Gaußsats, vi erh˚
aller (∂V = S):
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZ
4π
dV = 6 ·
∇ · (x, 2y, 3z)dV = 6
∇ · AdV =
A · dS =
= 8π
3
V
V
V
S
R¨akningen kan a¨ven g¨oras direkt enligt f¨oljande:
ZZ
ZZ
ZZ
A · dS = (x, 2y, 3z) · (x, y, z)dS = x2 + 2y 2 + 3z 2 dS =
S
S
S
ZZ
Z 2π Z π
2
= {Symmetri} = 6 z dS = 6
sin θ cos2 θdθdφ =
S
0
0
Z π
π
sin θ cos2 θdθ = −4π cos3 θ 0 = 8π
= 12π
0
46. Anv¨
and Gauß sats f¨or att ber¨akna fl¨odet av vektorf¨altet
A = x2 , 2y, z
ut genom en sf¨aryta med radien R och medelpunkten i origo.
L¨
osning:
Ytan ¨ar sluten och vi anv¨ander Gauß sats och erh˚
aller (∂V = S):
ZZ
ZZZ
ZZZ
A · dS =
∇ · AdV =
∇ · x2 , 2y, z dV =
S
V
ZZZ
V
ZZZ
(2x + 3)dV = {Symmetri} = 3
=
V
dV = 3 ·
V
4πR3
= 4πR3
3
57. Ber¨
akna linjeintegralen av vektorf¨altet
A = y + 2x, x2 + z, y
l¨angs den slutna kurvan
u : 0 → 2π
r = (cos u, sin u, f (u)),
som g˚
ar ett varv runt cylindern x2 + y 2 = 1 med f (0) = f (2π) men som f¨or o¨vrigt
a¨r godtycklig.
a) direkt
b) med hj¨alp av Stokes sats
L¨
osning a):
Utnyttjande av given parametrisering ger:
Z 2π
I
dr
A·
A · dr =
du =
du
0
C
Z 2π
=
sin u + 2 cos u, cos2 u + f (u), sin u · (− sin u, cos u, f 0 (u))du =
0
Z
2π
− sin2 u − 2 cos u sin u + cos3 u + cos uf (u) + sin uf 0 (u) du =
=
0
Z
2π
=
− sin2 u − sin 2u + cos3 u + (sin uf (u))0 du =
0
2π
u 1
1 3
1
cos 2u − + sin u + sin u − sin u + sin uf (u)
= −π
=
2
2 4
3
0
L¨
osning b):
Vi b¨orjar med att best¨amma rotationen av A.
ex
ey
ez ∂y
∂z = (1 − 1, −(0 − 0), 2x − 1) = (0, 0, 2x − 1)
∇ × A = ∂x
2
y + 2x x + z y D˚
a randen avviker p˚
a en nollm¨angd kan vi wlog s¨aga att n
ˆ = (0, 0, 1). S˚
aledes f˚
ar
vi med Stokes sats (∂S = C):
I
ZZ
ZZ
F · dr =
∇ × A · dS =
(2x − 1)dS
C
S
S
ZZ
= {Symmetri} = −
dS = −π
S
68. Vektorn a a¨r en konstant vektor och r = (x, y, z) ¨ar ortsvektorn. Ber¨
akna
a · r
a×r
grad
+ rot
3
r
r3
De utnyttjade operatorformlerna skall motiveras utf¨orligt med indexr¨akning.
L¨
osning:
a · r
a×r
aj rj
al r m
grad
+ rot
= ∂i 3 + εijk ∂j εklm 3 =
3
3
r
r
r
r
i
aj r j
al r m
aj rj
ai rj
aj ri
= ∂i 3 + (δil δjm − δim δjl ) ∂j 3 = ∂i 3 + ∂j 3 − ∂j 3 =
r
r
r
r
r
1
1
1
1
1
1
= aj rj ∂i 3 + aj δij 3 + ai rj ∂j 3 + ai δjj 3 − aj ri ∂j 3 − aj δij 3 =
r
r
r
r
r
r
1
1
1
1
3
3
1
= aj rj ∂i 3 + ai rj ∂j 3 + 3ai 3 − aj ri ∂j 3 = ∂m 3 = − 4 ∂m r = − 5 rm =
r
r
r
r
r
r
r
1
1
1
1
= aj rj ∂i 3 + ai rj ∂j 3 + 3ai 3 − aj ri ∂j 3 =
r
r
r
r
3
3
1
3
3
1
= − 5 ri aj rj − 5 ai rj rj + 3ai 3 + 5 ri aj rj = − 5 ai rj rj + 3ai 3 =
r
r
r
r
r
r
2
3r
1
= − 5 ai + 3ai 3 = [0]i
r
r
158. Anv¨
and tensormetoder f¨or att omforma f¨oljande uttryck. Resultatet skall
o¨vers¨attas till g¨angse vektorbeteckningar.
i) ∇ × ((r · ∇)B)
L¨
osning:
[∇ × ((r · ∇)B)]i = εijk ∂j rl ∂l Bk = εijk δjl ∂l Bk + εijk rl ∂j ∂l Bk =
= εijk ∂j Bk + εijk rl ∂l ∂j Bk = [∇ × B + (r · ∇)(∇ × B)]i
71. En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω rad/s kring en axel, vars riktning
anges av enhetsvektorn n
ˆ . Visa att rotationen f¨or hastighetsf¨altet
v = ωˆ
n×r
ges av
rotv = 2ωˆ
n
L¨
osning:
[rot v]i = [∇ × v]i = [ω∇ × (ˆ
n × r)]i = ωεijk ∂j εklm nl rm =
= ω (δil δjm − δim δjl ) nl δjm = ω (ni δjj − nj δij ) =
= ω (3ni − ni ) = 2ωni = [2ωˆ
n ]i