2
Innehåll föreläsning 9
Reglerteknik, föreläsning 9
Tillståndsbeskrivning,
styr- och observerbarhet
1. Sammanfattning av föreläsning 8
2. Representation av system
3. Tillståndsform till överföringsfunktion
4. Överföringsfunktion till tillståndsform
Fredrik Lindsten
5. Styr- och observerbarhet
[email protected]
Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik
Institutionen för systemteknik (ISY)
Sammanfattning från föreläsning 8
Våra modeller är alltid förenklingar av verkligheten!
3
4
Sammanfattning från föreläsning 8, forts.
Sats: (Robusthetskriteriet)
Givet att
stabiliseras av återkopplingen
.
Antag att:
För att kunna analysera detta
införde vi ett relativt modellfel
• Det sanna systemet ges av
•
•
och
har samma antal poler i höger halvplan.
och
går mot
när
går mot oändligheten
Då gäller att om,
Ofta har vi endast en övre gräns på
. Detta räcker dock för att
vi via robusthetskriteriet ska kunna uttala oss om stabilitet.
för alla
(tillräckligt, men ej nödvändigt villkor)
är stabilt
5
Sammanfattning från föreläsning 8, forts.
Tillstånd = den information som behövs vid tidpunkt
kunna förutsäga effekten av pålagd insignal
Sammanfattning från föreläsning 8, forts.
6
En allmän tillståndsbeskrivning ges av,
för att
.
ex)
där:
• x(t) är en
7
matris
• B är en
matris
• C är en
matris
Ex. Tillståndsform (medicin i kroppen)
En (mycket) enkel beskrivning av hur ett ämne,
t.ex. en medicin, tas upp i kroppen ges av
Om ett system har följande tillståndsbeskrivning
hur beror då utsignalen av det andra tillståndet
• A är en
• D är en skalär (oftast D=0)
Tillståndsvektor
Fråga från förra föreläsningen
-vektor (tillståndsvektorn)
?
u(t) – tillförselhastighet av ämnet (insignal)
q(t) – mängd av ämnet i mage, tarmar (tillstånd)
c(t) – mängd av ämnet i blodet (tillstånd)
y(t) – mängd av ämnet i blodet (utsignal)
Konstanterna k1 och k2 beskriver ämnesomsättningen.
8
9
Ex. Tillståndsform (Fuglesang)
Christer Fuglesang på rymdpromenad kan
beskrivas av ekvationerna:
Fuglesang
Representation av system
Yttre beskrivning
Inre beskrivning
u
m – massan
11
Tillståndsform
Överföringsfunktion
Överföringsfunktion
Tillståndsform
Styrbar kanonisk form
Givet en (strikt proper) överföringsfunktion
Överföringsfunktionen
hur får vi fram motsvarande tillståndsbeskrivning?
kan beskrivas på tillståndsform som:
Det finns oändligt många sätt att representera en given
överföringsfunktion på tillståndsform!
De enklaste är:
• Om b1= b2= …= bn-1= 0 kan vi välja derivator av y(t) som
tillstånd (som i vårt inledande exempel)
• Styrbar kanonisk form (Resultat 8.1 i boken)
• Observerbar kanonisk form (Resultat 8.2 i boken)
y
Vi har med tillståndsformer inte infört några nya typer av system, endast
ett nytt sätta att beskriva och analysera våra vanliga system.
p(t) – Christers position (tillstånd)
v(t) – Christers hastighet (tillstånd)
u(t) – kraft från raketmotor på ryggen (insignal)
y(t) – Christers position (utsignal)
Från överföringsfunktion till tillståndsform
10
(Styrbar kanonisk form)
12
Observerbar kanonisk form
13
14
Styrbarhet och observerbarhet
Överföringsfunktionen
• x1(t), x2(t), x3(t) – vattennivåer
• u(t) – vatten tillfört tank 2
• f1(t) – flöde från tank 1 till tank 2
kan beskrivas på tillståndsform som:
• f2(t) – flöde från tank 2 till tank 3
(Observerbar kanonisk form)
y(t)
Insignal: u(t)
Utsignal: y(t) = x2(t)
(antag att alla proportionalitetskonstanter = 1)
Styrbarhet och observerbarhet
15
16
Ex. från förra föreläsningen
• Nivån x1(t) kan ej påverkas av
styrsignalen
Æ Ej styrbart
y(t)
• Nivån x3(t) påverkar ej utsignalen
(går ej att härleda från y(t))
Æ Ej observerbart
x1(t)
y(t)
u(t)
x2(t)
x2 är inte observerbart!
Några begrepp som får summera föreläsning 9
17
Tillståndrum: Det vektorrum dit tillståndsvektorn hör.
Minimal realisation: En tillståndsbeskrivning för en given
är en
minimal realisation om
inte kan beskrivas med färre tillstånd.
Styrbar: Det finns inga tillstånd som inte kan nås via lämpligt val av
styrsignal (hela tillståndsvektorn påverkas direkt eller indirekt av
styrsignalen).
Observerbar: Det finns inga nollskilda tillstånd som inte påverkar
utsignalen (tillståndsvektorn kan inte vara nollskild utan att vi märker det)