ISR / 2014
Inlämnas senast 6.5.2014; uppgiften bör dock vara godkänd minst två veckor innan tentamen.
Hastighetsreglering av en vagn driven av en DC-motor
Figuren till höger visar en laboratorievagn, som kan röra sig i
horisontell riktning (kan jämföras med ett eltåg eller spårvagn i
större skala). Vagnen drivs av en DC-motor med varierbar
inspänning (-10 till +10 volt). Målet är att bestämma en dynamisk
modell som beskriver hur vagnens hastighet förändras som funktion
av spänningen in i motorn, samt att designa en regulator som styr
vagnens hastighet. Vagnens dynamik kan enkelt modelleras enligt:
( )
( )
( )
( ),
(1)
där ( ) är vagnens hastighet [cm/s],
är motorns framåtdrivande kraft, som kan antas vara direkt
proportionell mot spänningen ( ) [V], enligt
( )
( ) , och
( ) är en störning som till
exempel kan bero av rälsens lutning, luftmotstånd eller friktion. Kraften
( ) är en elektromotorisk
motkraft som uppstår i elmotorer när rotationshastigheten ökar, och är proportionell mot hastigheten
enligt
( )
( )
( ). Då kan systemet omskrivas i den bekantare formen:
( )
( )
där parametrarna
och
( ),
(2)
är okända systemparametrar som kan identifieras utgående från
experimentell data.
1. Överföringsoperatorer och blockscheman
Konstruera ett blockschema av systemet, där signalerna ( ) ( ) och ( ) ingår. Uttryck sedan
sambanden
mellan insignalerna
( ) och
( ) samt
överföringsoperatorer i formen:
( )
( ) ( )
( ) ( ),
samt bestäm överföringsoperatorerna
( ) och
( ).
utsignalen
( ) med
hjälp av
2. Experimentell bestämning av ett första ordningens system utgående från ett stegsvar
I praktiken är ett systems dynamik ofta okänd, och brukar då bestämmas experimentellt. Ett
stegsvar för en förändring i spänningen ( ), från 0 till 1 [V] vid tidpunkten
, har gjorts i
labben och har bifogats på sista sidan. Använd stegsvaret för att identifiera ett första ordningens
och förstärkning . Störningen ( ) behöver inte beaktas.
system med tidskonstant
3. Stegsvar för ett första ordningens system
Upprita stegsvaret för det identifierade första ordningens systemet, då en stegformad förändring i
insignalen görs från ( )
till ( )
. Störningen väljs till ( )
. Jämför dina resultat
med experimentet.
4. Reglering av vagnhastigheten med P-regulator
Reglera vagnhastigheten med en P-regulator som har formen:
( )
( ),
där ( ) är regleravvikelsen som ges av ( )
( )
( ) och
är regulatorförstärkningen. Rita
ett blockschema för det reglerade systemet samt bestäm dess överföringsfunktion
börvärdet ( ) till hastigheten ( ) Bestäm också överföringsfunktionen
( ), från
( ) från störningen
( ) till ( ) för den slutna kretsen.
Beräkna och upprita stegsvaret för en förändring i ( ) (t.ex. från ( )
[
]), när regulatorförstärkningen
[
] till ( )
används. Kan den föreslagna reglerstrategin anses
vara lämplig för reglering av vagnens hastighet? Motivera!
5. Reglering av vagnhastigheten med PI-regulator
Anta att man använder en PI-regulator av formen:
( )
där ( )
uttryck för
( )
∫
( )
( ). Bestäm PI-regulatorns överföringsoperator
( )
( )
,
( ). [Ledning: Bestäm ett
.] Bestäm det reglerade systemets överföringsfunktion
börvärdet ( ) till hastigheten ( ), samt bestäm överföringsfunktionen
( ) för den slutna kretsen.
( ) från
( ) från ( ) till
6. Simulering av system med hjälp av MATLAB & Simulink
Simulera det PI-reglerade systemet med hjälp av MATLAB & Simulink, för en stegförändring i
s (t.ex. från ( )
( ), vid tidpunkten
väljas till
till ( )
(t.ex. från ( )
]). Regulatorförstärkningen kan
. Simulera även en stegförändring i ( )
och integreringskonstanten till
vid tidpunkten
[
till ( )
, vilket skulle motsvara en ca.5° lutning
på rälsen).
Upprita hur hastigheten ( ) och styrsignalen ( ) förändras. Undersök hur valet av regulatorförstärkning
påverkar regleringen. Vad är fördelarna med en PI-regulator jämfört med en P-
regulator? Motivera!
16
14
hastighet [cm/s]
12
10
8
6
4
2
0
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
tid [s]
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
tid [s]
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
1
spänning [V]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.8
Figur 1. Experimentellt bestämt stegsvar då spänningen förändrats från 0 till 1 volt vid
.