undervisning i aritmetik - Ncm

Susanne Lantz & Helena Roos
Strukturerad intensivundervisning i aritmetik
I en undervisning som är inkluderande betraktas olikheter som tillgångar
och alla elever ges möjligheter att vara aktiva. Här beskriver författarna
ett examensarbete, på speciallärarprogrammet, om strukturerad
intensivundervisning där utgångspunkten var att alla elever skulle arbeta i
klassrummet.
I
dagens svenska skola är inkludering ett ofta använt begrepp inom såväl
specialpedagogiken som övrig undervisning. Historiskt sett är begreppet
relativt nytt. Inkludering började användas under tidigt 1990-tal då man
menade att det tidigare begreppet integration inte till fullo täckte in betydelsen av delaktighet och att skolan ska möta alla elevers behov. Inkludering
är också det internationella begrepp som används exempelvis i UNESCOs
Salamancadeklaration, vilken är en avsiktsförklaring med fokus på undervisning av elever i behov av särskilt stöd. Inkludering kan tolkas som att alla elever
fysiskt befinner sig i samma klassrum. Denna tolkning är begränsande, för visst
kan eleven vara i samma klassrum som alla andra men ändå inte känna sig delaktig. Eleven kan vara inkluderad på olika sätt: socialt, didaktiskt och spatialt. Att en elev är socialt inkluderad betyder att han eller hon är delaktig i ett
socialt sammanhang tillsammans med andra elever och lärare. Den didaktiska
delaktigheten syftar på i vilken utsträckning eleven kan förstå och arbeta med
de uppgifter som ges. Den spatiala inkluderingen handlar om det rumsliga, att
eleven rent fysiskt är i klassrummet och deltar i aktiviteterna som pågår där.
Om inkludering ska ses som effektiv ur ett lärandeperspektiv ska alla elever
aktivt tillhöra och delta i matematikundervisningen. I en sådan undervisning
betraktas olikheter och förmågor som tillgångar. Inkludering handlar då om att
utnyttja att alla är olika istället för att alla ska stöpas i samma form. Hur gör vi
detta i vår matematikundervisning? Hur kan vi utnyttja speciallärarens kunskaper? Inom lärarlaget är det också viktigt att kontinuerligt föra diskussioner
om vad det innebär att kunna matematik.
Vi blir ofta påminda om hur svenska elevers kunskaper i matematik står sig i
internationella jämförelser. Lärarnas egna matematikkunskaper är ibland otillräckliga och resurserna knappa. Undervisningen tar inte sällan sin utgångspunkt i läromedlet, med följd att det är antalet räknade sidor som premieras.
Det är inte heller ovanligt att eleverna räknar utan att ha goda strategier. Hur
kan detta förändras? Målet med examensarbetet blev att gå vidare från ett
konstaterande till ett agerande – hur kan vi göra?
6
Nämnaren nr 1 • 2013
Fem veckor och nitton lektioner
Examensarbetet genomfördes som en strukturerad intensivundervisning.
Enligt John Hattie innebär strukturerad undervisning att den styrs av tydliga
mål där svåra kunskapsområden uppmärksammas och eleverna får handledning. Han pekar också på vikten av att lärare ser till att eleverna förstår och
en viktig faktor är att undervisningsstoffet summeras och repeteras. Studien
gjordes i årskurs 2 med fokus på elever i speciella utbildningsbehov samt även
på didaktisk och spatial inkludering för dessa elever. Arbetet ska ses som ett
exempel på en modell som kan vara möjlig även för andra att använda.
Utgångspunkten var att alla elever skulle arbeta i klassrummet under de nitton
lektioner som studien omfattade. Som förtest genomfördes Diamantdiagnoserna
AG1, AG2 och AG3, vilka behandlar addition och subtraktion inom talområdena 1–9 samt 10–19, med och utan tiotalsövergång. Samma diagnoser användes
som eftertest för att mäta om undervisningen hade haft effekt på elevernas automatisering av additions- och subtraktionstabellerna 0–20.
Under de fem veckor som studien pågick användes inte elevernas
ordinarie matematiklärobok, den
inkludering
vanliga specialundervisningen togs
bort och eleverna fick läxor inom
strukturerad undervisning
det aktuella talområdet. Modellen
visar att inkluderingen i studien var
grunden för undervisningen och
den strukturerade undervisningen
automatisering
begreppsbildning
fokuserade på elevens automatisering av additions- och subtraktionstabellerna samt begreppsbildning.
Lektionernas innehåll
Nedan presenteras första veckans lektioner utifrån tankarna om en strukturerad och inkluderande undervisning i matematik.
Lektion 1: halvklass, 40 minuter
Lektionens syfte var att eleverna skulle se talmönster, träna
på automatisering av additions- och subtraktionstabellerna
samt uppdelning av talen 1–10. En funktionsmaskin, gjord
av en stor kartong, användes. Klassläraren matade in ett tal
i taget till en lärare som satt i kartongen och som i sin tur
matade ut andra tal. Något hände alltså i maskinen och eleverna skulle lista ut vad. Det inmatade talet kunde ha adderats med ett, två, tre eller dubblerats innan det matades ut
ur maskinen. Det var tre olika uppgifter i varje omgång och
eleverna gav förslag på hur maskinen ”tänkte” efter varje inoch utmatning. Avslutningsvis arbetade eleverna två och
två med att dela upp 1–10 genom att skriva alla tal som är
lika med 1, 2, 3 osv på tankekartor.
Nämnaren nr 1 • 2013
7
Lektion 2: helklass, 60 minuter
Även i den andra lektionen var syftet att eleverna skulle träna på att se talmönster och dela upp tal. De skulle också redogöra muntligt för sina tankar
och använda ord som hör samman med begreppen addition och subtraktion.
Lektionen inleddes gemensamt med en repetition av vilka matematiska operationer funktionsmaskinen hade utfört dagen innan. Grupperna gjorde klart
de tankekartor som hade påbörjats och det arbetet avslutades med en gemensam diskussion om uppdelning av tal. Därefter följde en genomgång där nya
tankekartor skrevs med de ord som är specifika för addition och subtraktion.
Eleverna gav förslag på vad som kunde stå i de olika cirklarna.
addition
lägga
till
+
öka
addera
subtraktion
större
än
ta
bort
plus
minska
sammanlagt
–
subtrahera
mindre
än
minus
skillnad
Vi använde sedan ett spel från en lärobok, Matteplaneten. Varje par fick två
sexsidiga tärningar och varje elev fick ett papper med svaren 0 =, 1 = upp till
10 =. De skulle i tur och ordning slå tärningar och skriva en addition eller subtraktion vid varje svar, dvs summa eller differens. Den som först hade fyllt i allt
vann. De som blev klara fick två 0–9-tärningar med uppgift att slå dem och
addera så snabbt som möjligt. Lektionen avslutades med att alla fick en läxa
med lilla additions- och subtraktionstabellen, talområde 0–10. Några elever
som behövde större utmaning fick en mer omfattande läxa.
Lektion 3: helklass, 60 minuter
Denna lektions syfte var att eleverna skulle träna på begrepp som hör till addition och subtraktion, upptäcka mönster för udda och jämna tal samt träna på
tiokamraterna. Vi startade med repetition av ord som hör till addition och subtraktion. Klassen fortsatte med ett samtal om udda och jämna tal och vilka
egenskaper de har. Vi tittade på udda och jämna tal med hjälp av Numicon,
vilket är ett laborativt material uppbyggt av tio bitar där udda och jämna tal
tydligt synliggörs. De slutsatser som eleverna drog var att udda + udda = jämn,
jämn + jämn = jämn, udda + jämn = udda.
8
Nämnaren nr 1 • 2013
Övningen visades även på interaktiv skrivtavla och sedan använde vi miniräknare i spelet Udda och jämn där eleverna valde om de ville vara en udda
eller jämn spelare. Utifrån sitt val skulle de använda en strategi för vilka tal de
skulle välja för att svaret i miniräknaren skulle bli udda eller jämnt när spelet
var avslutat. Eleverna valde om de ville använda addition eller subtraktion. Det
sista talet i miniräknaren avgjorde vem som vann. Lektionen avslutades med
att eleverna, med hjälp av en linjal, drog streck mellan tiokamraterna i ett koordinatsystem, se exempelvis Strävornaaktiviteten 6A Trådbilder.
Lektion 4: helklass, 60 minuter
bild
ord
föremål
Syftet med den fjärde lektionen var att eleverna skulle se mönster i lilla
additions- och subtraktionstabellen samt visa att tal kan ha olika representationer. Vi började med att sätta upp talkombinationerna i klassrummet
och samtala om de olika mönster som vi kunde hitta. Därefter introducerades Tanketavlan så som den beskrivs i handboken Förstå och använda
tal. I de fyra fälten symbol, ord, bild och föremål skulle eleverna parvis visa
hur tal kan representeras på olika sätt. De redovisade sina tanketavlor för
varandra.
symbol
Reflektioner efter första veckan
Vid första mötet med funktionsmaskinen var det inte självklart för eleverna vad som hände inne i den. Mycket av uppmärksamheten gick till att fundera på vad som hände och vem som satt där. Eleverna var avvaktande när de
började arbeta med uppdelning av tal. Det var flera grupper som skrev 5 - 7 =
2, 4 - 7 = 3 osv vilket ledde till en diskussion om vad talen betyder i sitt sammanhang och om likhetstecknets betydelse. När den interaktiva skrivtavlan
användes vid genomgång var eleverna mycket uppmärksamma. Det var också
första gången eleverna arbetade med tanketavlan, men de kom snabbt in i
arbetet och visade att de förstod kopplingen mellan uppgiften och de andra
representationerna.
Efter den första veckan fortsatte arbetet ytterligare 15 lektioner med ett liknande upplägg och med fokus på talområdet 0–20:
◊
aktiviteter och spel byggde på varandra genom successiv progression
◊
strategier och talens olika representationer var viktigare än att lösa många
uppgifter
◊
mönster och samband diskuterades och repeterades
◊
medveten användning av matematiska begrepp
◊
problemlösning
◊
gemensamma diskussioner parvis och i helklass.
Resultat
I studien framkom att eleverna blev snabbare i huvudräkning mellan för- och
eftertest. Högst procentuell ökning fick de elever som hade låga resultat på förtestet men överlag uppvisade eleverna en ökad automatisering av tabellerna.
Det var en stor andel elever som ökade sitt resultat mellan 10 och 35 poäng
från för- till eftertest, vilket måste ses som en markant ökning. Ökningen
omfattade både elever med högre respektive lägre ingångspoäng på diagnoserna. Resultatet indikerar att strukturerad intensivundervisning kan vara ett
Nämnaren nr 1 • 2013
9
effektivt arbetssätt för de flesta eleverna för att automatisera additions- och
subtraktionstabellerna. Det positiva resultatet kan vara en följd av att eleverna använde mer effektiva strategier. Elevernas begreppsbildning kunde inte
mätas med ett summativt test, men vi upplevde att eleverna visade en större
förtrogenhet med de begrepp som behandlades under studiens gång. Bland
annat observerades att eleverna använde matematiska begrepp för att förklara
vilka operationer funktionsmaskinen gjorde. Eleverna övade även på förmågan
att samarbeta och att diskutera matematik.
Några avslutande tankar
Strukturerad undervisning i matematik innebär att matematikläraren styr
undervisningen mot tydliga mål inom ett matematiskt område som har stor signifikans för elevers fortsatta kunskapsutveckling i matematik. Styrningen sker
i form av tydlig handledning, muntlig matematik, diagnoser och bedömning
med fokus på kända missuppfattningar. Genom att benämna undervisningen
som strukturerad lyfter man fram innehåll och arbetssätt, något som man givetvis strävar efter i all matematikundervisning. Men som vi ser det pågår strukturerad undervisning i matematik endast i ett begränsat antal klassrum.
Inkludering i matematik är en process där alla lärare har en viktig roll att
fylla och för att kunna underhålla och utveckla denna krävs tid och stöd. Då
är specialläraren betydelsefull både för att stötta undervisande lärare och för
att kunna hjälpa till att fördela resurser utifrån aktuella behov, som en spindel i
nätet. Skolans resurser bör ses som flexibla så de kan användas på bästa sätt vid
rätt tidpunkt. Det kan vara så att läsinlärningen poängteras på lågstadiet men
att elevens matematikutveckling inte uppmärksammas i samma omfattning.
Läsflyt är viktigt men det är även räkneflyt. Det kan också vara så att kunskapen
om grundläggande läsinlärning i skolorna är större än kunskaperna i den grundläggande matematikinlärningen och hur en matematisk progression kan byggas
upp utifrån kursplanen. Specialläraren behöver därför ha spetskompetens, inte
bara i specialpedagogiska frågor, utan även i matematikdidaktiska frågor.
Litteratur
Asp-Onsjö, L. (2006). Åtgärdsprogram dokument eller verktyg? En fallstudie i
en kommun. Göteborgs universitet.
Hattie, J. (2009). Visible learning: a synthesis of over 800 meta-analyses relating to achievement. London: Routledge.
Lantz, S. (2012). Strukturerad intensivundervisning i aritmetik – en studie
med ett inkluderande perspektiv. Växjö: Linnéuniversitetet.
Lundberg, I. & Sterner, G. (2004). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i
matematik. NCM, Göteborgs universitet.
McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal – en handbok. NCM, Göteborgs
universitet.
UNESCO (1994). The Salamanca statement and framework for action. On
special needs education. Paris: Unesco.
Hela examensarbetet, Strukturerad intensivundervisning i aritmetik – en studie
med ett inkluderande perspektiv, finns tillgängligt på www.uppsatser.se
10
Nämnaren nr 1 • 2013