Kurs planering.se
NpMaC vt2011
1(39)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011
3
Kravgränser
4
Del I, 8 uppgifter utan miniräknare
5
Del II, 9 uppgifter med miniräknare
8
Förslag
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Del
på lösningar till uppgifter utan miniräknare
I # 1 (2/0)
Derivera . . . . . . . . . . . . . . . . .
I # 2 (2/0)
Potensekvation & exponentialekvation
I # 3 (1/0)
Terrasspunkt? . . . . . . . . . . . . .
I # 4 (2/2)
Lös ekvationerna . . . . . . . . . . . .
I # 5 (1/0)
Vilket alternativ?
. . . . . . . . . . .
I # 6 (1/1)
Förenkla uttrycken . . . . . . . . . . .
I # 7 (0/2)
Ränta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I # 8 (4/3/⊗) Undersök egenskap hos extrempunkter
Förslag på lösningar till uppgifter med miniräknare
Del II # 9 (2/1)
Konisk behållare . . . . . . . .
Del II # 10 (2/0)
Lisas föräldrar spar . . . . . .
Del II # 11 (0/1)
Rationellt uttryck . . . . . . .
Del II # 12 (1/1)
Funktioner . . . . . . . . . . .
Del II # 13 (3/2/⊗) Maximal area
. . . . . . . . .
Del II # 14 (3/2/⊗) Jordbävningar . . . . . . . . .
Del II # 15 (0/3)
Vildsvinen ökar kraftigt . . . .
Del II # 16 (0/3)
Derivatans värde . . . . . . . . .
Del II # 17 (0/2/⊗) Tangent till andragradspolynom
Appendix
c G Robertsson
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
13
14
15
16
16
17
19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
24
25
26
28
30
31
32
35
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
2(39)
Förord
Uppgifter till kursen Matematik C duger utmärkt för träning till kurser enligt Gy 2011.
Denna version av lösningarna refererar till den FORMELSAMLING som hör till kursen
Matematik 3.
Provet kommer inte att återanvändas enligt beslut från Skolverket Dnr:73-2009:215.
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
NpMaC vt 2011
Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 § offentlighets- och sekretesslagen
(2009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2017-06-30.
Vid sekretessbedömning ska detta beaktas.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS C
VÅREN 2011
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du
använder högst 90 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare, även symbolhanterande räknare och ”Formler till nationellt
prov i matematik kurs C”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren.
Redovisa därför ditt arbete med Del I på separat papper. Observera att arbetet
med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 17 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av
9 uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid
behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 8 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning
av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet
få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 46 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning.
Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänt:
12 poäng.
Väl godkänt:
25 poäng varav minst 7 vg-poäng.
Mycket väl godkänt:
25 poäng varav minst 14 vg-poäng.
Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de
MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger
möjlighet att visa.
NpMaC vt 2011
Kravgränser
Detta prov kan ge maximalt 46 poäng, varav 23 g-poäng.
Undre gräns för provbetyget
Godkänt:
12 poäng.
Väl godkänt:
25 poäng varav minst 7 vg-poäng.
Mycket väl godkänt:
25 poäng varav minst 14 vg-poäng.
Eleven ska dessutom ha visat prov på minst tre
olika MVG-kvaliteter av de fyra MVG-kvaliteter som är möjliga
att visa i detta prov.
De ¤-märkta uppgifterna i detta prov ger möjlighet att visa fyra olika MVG-kvaliteter,
se tabellen nedan.
Uppgift
MVG-kvalitet
8
Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning
13b
17
Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser samt
bedömer rimlighet
Genomför bevis och/eller analyserar matematiska
resonemang
14d
Värderar och jämför metoder/modeller
Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt
språk
5
NpMaC vt 2011
Del I
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
2.
3.
Derivera
a)
f ( x) = 2 x3 − 5 x
Endast svar fordras
(1/0)
b)
g ( x) = e 2 x + 7
Endast svar fordras
(1/0)
Lös ekvationerna och svara exakt.
a)
6 x 5 = 24
Endast svar fordras
(1/0)
b)
6 x = 24
Endast svar fordras
(1/0)
Kalle har fått i uppgift att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser
ut. Han ritar upp grafen på sin räknare, se figur.
Han säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!”
Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare, vara säker på att grafen har en
terrasspunkt? Motivera ditt svar.
4.
(1/0)
Lös ekvationerna
a)
4x3 − x5 = 0
(2/0)
b)
lg x + lg 2 = 3
(0/2)
NpMaC vt 2011
5.
6.
För funktionen f gäller att f ( x) = e x
Vilket av följande påståenden A-E är korrekt?
A.
f har egenskapen att för alla x gäller att f ′( x) = f ( x)
B.
f är en exponentialfunktion med basen e där e ≈ 1,718
C.
f har en graf som går genom punkten (1, 0)
D.
f är avtagande för x < 0 och växande för x > 0
E.
f har egenskapen att f ′(1) = 0
(1/0)
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.
a)
b)
7.
Endast svar fordras
(17 + x) 3
( x + 17) 2
(8 − 2 x) 3
( 4 − x) 4
(1/0)
(0/1)
Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är
oförändrad under den tid som pengarna finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr.
Teckna ett funktionsuttryck som anger hur kapitalet K beror av B och r om
pengarna finns på kontot i tre år.
Endast svar fordras
(0/2)
NpMaC vt 2011
Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till:
• Hur väl du utför dina beräkningar
• Hur långt mot en generell lösning du kommer
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du redovisar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
8.
I den här uppgiften ska du undersöka en egenskap hos extrempunkterna till de
kx 3
där k är en konstant.
funktioner som ges av f ( x) = 3 x 2 −
3
Tabellen visar koordinaterna hos extrempunkterna till funktionen f för några olika
värden på k.
k
Extrempunkt/er
−2
(0, 0) och (−3, 9 )
−1
(0, 0) och (−6, 36)
0
(0, 0)
1
(0, 0) och (6, 36)
2
(0, 0) och ( 3, 9 )
3
•
Komplettera tabellen genom att beräkna koordinaterna för extrempunkterna
då k = 3 , det vill säga då funktionen ges av f ( x) = 3 x 2 − x 3
•
Studera extrempunkterna i tabellen. De ligger på grafen till en annan
funktion som vi kallar g. Ange det funktionsuttryck g (x) som du tycker är
troligt och motivera ditt val.
•
Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det alltid gäller att
kx 3
extrempunkterna till f ( x) = 3 x 2 −
ligger på grafen till funktionen g.
3
(4/3/¤)
NpMaC vt 2011
Del II
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
9.
En konisk behållare fylls med vatten. Diagrammet visar hur vattennivåns höjd
h i centimeter beror av tiden t i sekunder.
a)
b)
10.
11.
Det tar 100 sekunder att fylla behållaren. Med vilken medelhastighet ökar
vattennivåns höjd h under tidsperioden 10 ≤ t ≤ 100 ?
(2/0)
Tolka vad h′(50 ) = 0,20 betyder i detta sammanhang, det vill säga då konen
fylls med vatten.
(0/1)
Lisas föräldrar sätter in 1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga
räntesatsen är 3 %. Föräldrarna gör den första insättningen det år Lisa fyller
2 år och sätter sedan in pengar till och med det år hon fyller 30 år.
Hur mycket pengar kommer det att finnas på kontot direkt efter den sista
insättningen?
(2/0)
Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3 och
Endast svar fordras
som har värdet 2 då x = 0
(0/1)
NpMaC vt 2011
12.
Figuren visar graferna till fyra funktioner p, q, r och s.
Funktionen p är en polynomfunktion av tredje graden. De andra funktionerna har
bildats genom upprepad derivering av p, det vill säga:
q ( x) = p ′( x)
r ( x) = q ′( x)
s ( x) = r ′( x)
Para ihop funktionerna p, q, r och s med tillhörande graf A, B, C och D.
Endast svar fordras
13.
(0/1)
Garfesta kommun ska bygga en bollplan. Den ska vara rektangulär med stängsel
runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att
bygga ett högre stängsel på den sida som ligger närmast vägen, se figur.
Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta 6600 kr. Det lägre stängslet
kostar 75 kr/m och det högre 225 kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i
priset för stängslet.
Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area A m2
beräknas enligt nedanstående samband:
A( x ) = 44 x − 2 x 2 där x m är längden på bollplanens sida närmast vägen.
a)
b)
Bestäm med hjälp av derivata det värde på x som ger bollplanens
maximala area.
Visa att bollplanens area A m2 kan skrivas A( x ) = 44 x − 2 x 2
(3/0)
(0/2/¤)
NpMaC vt 2011
14.
I Sverige är jordbävningar vanligare än vad man kan tro, men oftast är de så svaga
att de knappt märks. Med hjälp av Richterskalan kan styrkan i en jordbävning
anges med magnituden M.
2
Magnituden M ges av sambandet M = (lg E − 4,84)
3
där E är den frigjorda energin mätt i enheten joule, J.
a)
b)
15.
Den 16 december 2008 skakades Skåne av en jordbävning som var kraftig
för att vara i Sverige. Då frigjordes energin 2,75 ⋅ 1011 J.
Vilken magnitud motsvarar detta på Richterskalan?
(1/0)
Den kraftigaste uppmätta jordbävningen i Sverige kallas Kosteröskalvet
och det inträffade den 23 oktober 1904. Magnituden mätte 5,4 på
Richterskalan. Hur mycket energi frigjordes vid Kosteröskalvet?
(2/0)
c)
Utgå från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är 5 och
den andra har en magnitud som är 7. Hur många gånger större är den frigjorda
energin hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin
hos den svagare?
(0/1)
d)
Utgå återigen från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som
är två enheter större än den andra. Undersök generellt hur många gånger större
den frigjorda energin är hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den
frigjorda energin hos den svagare.
(0/1/¤)
Antalet vildsvin i Sverige ökar kraftigt. Från en rapport är följande citat hämtat:
År 2007 beräknades antalet vildsvin uppgå till cirka 60000 från Skåne
och upp till Dalälven som ännu så länge utgör den nordliga gränsen för
utbredningen.
--Från 1990 till 2007 har vildsvinspopulationen haft en så stark tillväxt
att antalet vildsvin i Sverige fördubblats vart femte-sjätte år.
Källa: Svensk Naturförvaltning AB (2008), Rapport 04, Vildsvin, jakt och förvaltning
Anta att antalet vildsvin uppskattas vid samma tidpunkt varje år.
Utifrån citatet kan man göra olika prognoser om antalet vildsvin i Sverige i
framtiden.
Hur många vildsvin kan det finnas som mest i Sverige när man uppskattar antalet
år 2011 om tillväxten fortsätter i den takt som beskrivs ovan?
(0/3)
NpMaC vt 2011
16.
Nedan ges derivatans värde hos en funktion f i en given punkt P.
((2 + h)5 + 3) − (25 + 3)
= 80
h →0
h
lim
17.
a)
Ange funktionen f
Endast svar fordras
b)
En tangent dras i punkten P. Bestäm tangentens ekvation.
(0/1)
(0/2)
Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställena
x1 = 2 och x2 = 4 , se figur. Grafen skär y-axeln i punkten (0, p ) .
Anta att vi drar en tangent till grafen i punkten (0, p ) . Bestäm lutningen för
denna tangent uttryckt i p.
(0/2/¤)
NpMaC vt 2011
Del I
planering.se
Kurs
vt2011
Denna del består
av 8 uppgifter och är NpMaC
avsedd att
genomföras utan miniräknare. Dina
12(39)
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del I # 1
1.
(2/0)
Derivera
Derivera
3(6)
a)
f ( x) = 2 x3 − 5 x
Endast svar fordras
(1/0)
b)
g ( x) = e 2 x + 7
Endast svar fordras
(1/0)
Funktion
Derivata Endast svar fordras
(1/0)
x n där n är ett reellt tal
nx n −1
Differential- och integralkalkyl
f ( a + h) − f ( a )
f ( x) − f (a)
f ′(a) = lim
= lim
h →0
x →a
h
x−a
Derivatans definition
Använd FORMELSAMLINGEN
2.
Lös ekvationerna och svara exakt.
Derivator
a)
b)
6 x 5 = 24
x
6 = 24
Endast svar fordras
a
x
(a > 0)
ex
3.
a ln a
ex
Kalle har fått i uppgift att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser
ut. Han ritar upp grafen
e kx på sin räknare, se figur.
k ⋅ e kx
a) Funktionen är
1
x
−
f (x) = 2 x3 − 5 x
f ( x) + g ( x)
då blir derivatan
0
2
f (x) = 2 · 3 · x − 5
Funktion
Svar
a) f 0 (x) = 6 x2 −
5
Primitiva
funktioner
b)
(1/0)
x
Funktionen är
2x
1
x2
f ′( x ) + g ′( x )
Primitiv funktion
kx + C
k
+ 7 x n ( n ≠ −1)
x n +1
+C
n +1
f (x) = e
då blir Han
derivatan
säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!”
0
f (x) = 2 e2x e x
ex + C
Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare, vara säker på att grafen har en
terrasspunkt? Motivera
ditt svar.
e kx
kx
+C
0
2x e
Svar b) f (x) = 2 e
k
(1/0)
Kommentar Derivatanx av konstanten 7 är 0. a x
+C
4.
Lös ekvationerna a ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
a)
c G Robertsson
b)
4x3 − x5 = 0
lg x + lg 2 = 3
(2/0)
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
(0/2)
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Regler
1.
Derivera
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(a − b) = a − 2ab + b
( a + b) = a + 3a b + 3ab + b
2
2
3
2
3
2
2
1(6)
3
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
2
Formler
prov i matematik
a 3 + b 3 =Endast
( a + b)(svar
a 2kurs
−fordras
ab + b3
)
a)
f (till
x ) = 2nationellt
x3 − 5x
Kurs planering
.se
NpMaC vt2011
3
3
2
2
a − b = ( a − b)( a + ab + b )
2x
b)
g ( x) = e + 7
Algebra
Del
I# 2
(2/0)
Regler
Andragradsekvationer
( a + b) 2
2.
Endast svar fordras
2
p
 p
x =( a− − b±) 3 = a 3 −−3aq2 b + 3ab 2 − b 3
2
2
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
= ax2 ++2px
ab++qb 2= 0
2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Lös ekvationerna
och svara exakt.
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
b)
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
Endast svar fordras
T
G
M
k
h
tera
giga
mega
kilo
hekto
6 x = 24
(1/0)
Potensekvation & exponentialekvation
Aritmetik
a)
6 x 5 = 24
Prefix
(1/0)
13(39)
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 )
d
c
m
n
µ
Endast svar fordras
deci
centi 2 milli
 p
2
p
2
2
6 + q = 30
+10px
Andragradsekvationer
q -3
a)
I FORMELSAMLINGEN
följande
regler
1012
109 x finns
10
102x = −10-1± 10-2 −10
(1/0)
p
mikro
nano
piko
10-6
10-9
10-12
(1/0)
3.
Kalle har fått i uppgift att ta reda på
hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser
1
ax
− y figur.
x ygrafen
x + på
y sin räknare,
ut.
Han
ritar
upp
a− x =
= a xse
(a x ) y = a xy
Potenser
a a =a
Aritmetik
Prefix
ax
ay
x
a xk  a h
= 
x
b
mega bkilo  hekto
T
G
M
a xb x = (ab) x
tera
giga
1012
109
106
103
102
d
1 c
an = n a
µ
n
a0 = 1
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
a (k − 1)
n
m
Geometrisk
Börja
med att städa,
i vänsterledet
där k ≠ 1
+ ak n −1 =
a + behåll
ak + ak 2x+5 ...
summa
k −1
x
24
1
5
a
= a x a=y 4= a x + y
a− x = x
= a x− y
(a x ) y = a xy
Potenserx
y
6
a
a
1
1
y = e x ⇔ x = ln y
Logaritmer
(x5 ) 5 = 4 y5 = 10 x ⇔ x = lg y
√
x
1
5
1
ax  a 
x = 4 5 x=x 4 x
=


a0 = 1
nx= n a
√
x
1
a
a
b
=
(
ab
)
p
5
b
b
lg x + lg y =4lg xy
 lgx − lg y = lg
lg x = p ⋅ lg x
Svar a) 4 5 alternativt
y
Han säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!”
x n − 1)
b)
Logaritmera
exponentialekvationen
och använd FORMELSAMLINGEN för
Geometrisk
a+≥ak0n −1 =6a (k= 24
+a ak 2 om
...
där k ≠ 1
+
+
a
ak
a
=
summa
Absolutbelopp

KanxKalle,
utifrån den
bild
han
ser på sink räknare,
vara säker på att grafen har en
att få ner
på raden.
−1
−
a
om
a
<
0

terrasspunkt? Motivera ditt svar.
(1/0)
Logaritmer
4.
y = 10 x ⇔ x = lg y
Lös ekvationerna
lg x + lg y = lg xy
y = e x ⇔ x = ln y
lg x − lg y = lg
x
y
a) x 4 x 3 − x 5 = 0
om a ≥ 0
a
log 6 = loga 24
=
Absolutbelopp
13-02-21xb)
lg 224=3− a om a < 0
log 6 lg=x +log
log 24
x =
log 6
log 24
Svar b) x =
log 6
c G Robertsson
13-02-21
buggar ⇒ [email protected]
lg x p = p ⋅ lg x
(2/0)
© Skolverket
(0/2)
2015-04-06
© Skolverket
2.
Lös ekvationerna och svara exakt.
a)
6 x 5 = 24
Kurs planering.se
b)
6 x = 24
Del I # 3
3.
NpMaC vt2011
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
14(39)
Endast svar fordras
(1/0)
Terrasspunkt?
Kalle har fått i uppgift att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser
ut. Han ritar upp grafen på sin räknare, se figur.
Han säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!”
Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare, vara säker på att grafen har en
terrasspunkt? Motivera ditt svar.
(1/0)
En terrasspunkt är en punkt där funktionens derivata är noll och där teckenväxlingen är
+ 0 + eller − 0 −. Här har vi inte kunskap om vad derivatan är i någon punkt. För att
4.
Lös
kunna
varaekvationerna
säkra på vad derivatan är måste vi ha derivatan på parametrisk form (alltså
en formel). I Appendix på sidan 35 finns fyra olika grafer presenterade som alla ser ut att
=0
(2/0)
a)
4 x 3 − x 5Endast
ha en terrasspunkt.
en har terrasspunkt.
lg xNär
+ lg 2uppgiften
=3
b)
(0/2)
Kommentar
till Kalle är att ta reda på hur grafen till en viss
tredjegradsfunktion ser ut är Kalles svar att det ser ut som grafen har en terrasspunkt
korrekt. Frågan till Kalle gällde inte vilken sorts extrempunkt som eventuellt döljer sig i
grafen. För att kunna nyttja sin miniräknare måste Kalle veta formeln för
tredjegradspolynomet. När Kalle vet formeln för polynomet är det en standardprocedur
att undersöka extrempunkter.
Kommentar Skolverket skriver följande i rättningsnormen
Det godtagbara svaret ska antingen kännetecknas av att eleven påpekar att det kan
finnas maximi- och minimipunkter som inte syns
eller
av att eleven påpekar att om det är en terrasspunkt kan Kalle ändå inte vara säker
på detta genom att endast titta på sin räknare eftersom han aldrig med blotta ögat
kan se om kurvans tangent är horisontell eller har en positiv/negativ lutning.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Algebra
ReglerHan
2
säger: ”Det
har en(terrasspunkt!”
a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(a + ser
b) 2 ut
= asom
+ 2om
ab +grafen
b2
3
3
2
2
3
2
Kurs planering.se (a − b) 2 = a 2 − 2ab + bNpMaC
vt2011
15(39)
( a + b)vara
= asäker
+ 3apå
b att
+ 3ab
+ bhar
Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare,
grafen
en
2
terrasspunkt?(aMotivera
(1/0)
+ b)(a − bditt
) = asvar.
− b2
Del I # 4
a + b = ( a + b)( a
Lös ekvationerna
3
(2/2)
3
2
− ab + b 2 )
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 )
4.
Lös ekvationerna
x + px + q = 0
Andragradsekvationer
3
5
a)
4x − x = 0
b)
lg x + lg 2 = 3
2
p
 p
x=− ±   −q
2
2
2
(2/0)
(0/2)
Aritmetik
a)
Ekvationen är
Prefix
T
G
M
k
0 = 4x3 − x5 .
tera
giga mega
kilo
Börja med att faktorisera ekvationen
12
92
6
3
0 =10 ( 4 −10x ) ·10 |{z}
x3 10
| {z }
1:a faktorn 0 =
Potenser
2:a faktorn 0 =
Svar a)
h
hekto
10
2
2:a faktorn
x
4−x
y
x yger två
x + y rötter ax1 ==a x2− och
a a =a
x3 ger en trippelrot xa3y = 0
1:a faktorn
2
x
x1 = +2,x xx2 = −2x och x3 a= 0=  a 
a b = (ab)
bx
b
x
d
c
m
µ
n
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
-1
-2
-3
-9
10-12
10
10
x2 = −2.
x y
10
10
-6
10
(a ) = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
1
ax
b)
Ekvationen är
lg x + lg 2 = 3
a (k n − 1)
2
n −1
Geometrisk
...
där k ≠ 1
+
+
+
+
=
a
ak
ak
ak
summa FORMELSAMLINGEN där finns följande
Använd
k − 1 formler.
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
y = e x ⇔ x = ln y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
lg x + lg 2 = a =3a om a ≥ 0
|{z}− a om a < 0

lg 2x
lg 1000
Absolutbelopp
| {z }
Vi har alltså
2x = 1000
Svar b)
x = 500
13-02-21
c G Robertsson
© Skolverket
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
Del I # 5
NpMaC vt2011
(1/0)
16(39)
Vilket alternativ?
NpMaC vt 2011
5.
För funktionen f gäller att f ( x) = e x
Vilket av följande påståenden A-E är korrekt?
Endast svar fordras
A.
f har egenskapen att för alla x gäller att f ′( x) = f ( x)
B.
f är en exponentialfunktion med basen e där e ≈ 1,718
C.
f har en graf som går genom punkten (1, 0)
D.
f är avtagande för x < 0 och växande för x > 0
E.
=0
f har egenskapen att f ′(1) NpMaC
vt 2011
5. KORREKT
För funktionen
gäller att f ( x) = e x
A
se fFORMELSAMLINGEN.
Vilket
följande
påståenden
är korrekt?
Endast
svar
fordras
B
fel av följande
Rättuttryck
värde så
är långt
eA-E
= 2,718281828459045
. . . här
duger
2,718.
6.
Förenkla
som
möjligt.
1
C
fel
f (1) = e = 2,718 6= 0
′( x) = f ( x) växande för alla x.
A.
f
har
egenskapen
alla därmed
x gäller att
D
fel (17 + x)f30 (x) = exatt>för
0 och
är ffunktionen
0
x
0
a)
E
fel
f2 (x) = e och därmed är f (1) = 2,718 6= 0.
( xär+en
17)exponentialfunktion
B.
f
med basen e där
e ≈ 1,718
Tecknet 6= betyder inte lika med enligt internationell
standard.
− 2en
xA) 3graf
f(8har
som går genom punkten (1, 0)
Svar C.
Alternativ
är korrekt
b)
4
( 4 − x)
D. f är avtagande för x < 0 och växande för x > 0
(1/0)
(1/0)
(1/0)
(0/1)
Del E.I #f 6har egenskapen
(1/1) att f ′F
örenkla uttrycken
(1) = 0
7.
Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är
oförändrad under den tid som pengarna finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr.
6.
Förenkla
uttryck så som
långtanger
som möjligt.
Teckna ettföljande
funktionsuttryck
hur kapitalet K beror av B och r om
pengarna finns på kontot i tre år.
Endast svar fordras
3
(17 + x)
a)
( x + 17) 2
b)
7.
(8 − 2 x) 3
( 4 − x) 4
(0/2)
(1/0)
(0/1)
Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är
buggar
⇒ [email protected]
2015-04-06
under den tid som
pengarna
finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr.
c G Robertsson
oförändrad
Teckna ett funktionsuttryck som anger hur kapitalet K beror av B och r om
pengarna finns på kontot i tre år.
Endast svar fordras
(0/2)
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 )
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
2
p
 p
±   −q
NpMaC vt 2011 2
2
x 2 + px + q = 0
Andragradsekvationer
a)
5.
17(39)
x=−
(17 + x)3
(x + 17)3
(x + 17)(x + 17)(x + 17)
= x + 17
=
=
2
2
x 17)(x + 17)
(x
+ funktionen
17)
(x
+ 17)att f ( x) =(xe +
För
f gäller
Aritmetik
Vilket av följande påståenden A-E är korrekt?
Svar a)
Prefix
A.
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
n
p
mikro
nano
piko
10-6
10-9
10-12
f är en 10
exponentialfunktion
med
basen
e10
där
12
3
-1 e ≈ 1
I B.
FORMELSAMLINGEN
potenser.
109 finns
106 räkneregler
10
102 för
10-2,71810-3
C.
Potenser
f har en graf som går genomx punkten (1, 0)
a
a xa y = a x+ y
y
= a x− y
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
D.
a växande för x > 0
f är avtagande för x < 0 och
E.
f har egenskapen
att f ′(1)a= 0=  a 
a xb x = (ab) x
bx  b 
x
x
(1/0)
µ
T
G att M
h att f d′( x) = fc( x) m
f har egenskapen
för allakx gäller
tera
b)
Endast svar fordras
x + 17.
=na
1
ax
a (k n − 1)
1
Geometrisk
Börja
att faktorisera
(82−+så
2...x)
=n2−som
(4
x).
där k ≠ 1
+ ak
+långt
= −möjligt.
a + akuttryck
ak
6. med
Förenkla
följande
summa
3
3
3
3
1
−
k
(8 − 2 x)
[2 (4 − x)]
2 (4 − x)
23
8
=
=
=
=
4
4
4
(4 − x)(17 + x) 3 (4 − x)
(4 − x)
(4 − x)
(4 − x)
a)
y = e x ⇔ x = ln y
y 2= 10 x ⇔ x = lg y
Logaritmer
( x8+ 17.)
Svar b)
(4 − x)
x
lg x + lg y = lg xy
b)
(8 − 2 x) 3
4
Del I # (74 − x) (0/2)
a
Absolutbelopp
7.
lg x − lg y = lg
y
(1/0)
lg x p = p ⋅ lg x
(0/1)
om a R
≥ 0änta
a =
− a om a < 0
Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är
oförändrad under den tid som pengarna finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr.
Teckna ett funktionsuttryck som anger hur kapitalet K beror av B och r om
pengarna finns på kontot i tre år.
Endast svar fordras
(0/2)
13-02-21
©r
Skolverket
Procent betyder hundradel och betecknas med symbolen %, r % betyder alltså
.
100
Efter 1 år har insatsen
B växt till
r B 1+
100
Efter 2 år har insatsen
B växt till
r r B 1+
· 1+
100
100
Efter 3 år är det totala kapitalet
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
18(39)
r 3
K = B 1+
100
r 3
Svar K = B 1 +
100
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
NpMaC vt 2011
Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till:
•
väl du utför
planering
KursHur
.se dina beräkningar
NpMaC vt2011
19(39)
• Hur långt mot en generell lösning du kommer
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur Iväl#
du redovisar
ditt arbete
Del
8
(4/3/⊗)
Undersök egenskap hos extrempunkter
• Hur väl du använder det matematiska språket
8.
I den här uppgiften ska du undersöka en egenskap hos extrempunkterna till de
kx 3
2
där k är en konstant.
funktioner som ges av f ( x) = 3 x −
3
Tabellen visar koordinaterna hos extrempunkterna till funktionen f för några olika
värden på k.
k
Extrempunkt/er
−2
(0, 0) och (−3, 9 )
−1
(0, 0) och (−6, 36)
0
(0, 0)
1
(0, 0) och (6, 36)
2
(0, 0) och ( 3, 9 )
3
•
Komplettera tabellen genom att beräkna koordinaterna för extrempunkterna
då k = 3 , det vill säga då funktionen ges av f ( x) = 3 x 2 − x 3
•
Studera extrempunkterna i tabellen. De ligger på grafen till en annan
funktion som vi kallar g. Ange det funktionsuttryck g (x) som du tycker är
troligt och motivera ditt val.
•
Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det alltid gäller att
kx 3
extrempunkterna till f ( x) = 3 x 2 −
ligger på grafen till funktionen g.
3
(4/3/¤)
#1
Då k = 3 är
f (x) = 3 x2 − x3
som har extrempunkter då f 0 (x) = 0 alltså
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
20(39)
0 = 6 x − 3 x2 = 3 · x · (2 − x) .
|{z} | {z }
x=0
x=2
Extrempunkterna blir
(0, f (0)) = (0, 0)
respektive
(2, f (2)) = (2, 4).
Tabellen blir
k
-2
-1
0
1
2
3
Extrempunkter
(0,0) och (-3, 9)
(0,0) och (-6,36)
(0,0)
(0,0) och ( 6,36)
(0,0) och ( 3, 9)
(0,0) och ( 2, 4)
#2 Rita figur. Punkterna ligger på grafen till ett 2:a gradspolynom med minimum i
origo. Polynomet g(x) = x2 passar till samtliga punkter i tabellen.
y
(−6, 36)
(6, 36)
(−3, 9)
(3, 9)
(2, 4)
(0, 0)
Undersökning för godtyckligt k. Polynomet
k x3
f (x) = 3 x2 −
3
0
har extrempunkter då f (x) = 0 alltså då
0 = 6 x − k x2 =
x
· (6 − k · x) .
|{z} | {z }
x
#3
1:a faktorn
(1)
(2)
2:a faktorn
1:a faktorn i ekvation (2) ger lösningen
x1 = 0.
2:a faktorn i ekvation (2) ger lösningen
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
21(39)
6
k
då k 6= 0. För fallet k = 0 ger 2:a faktorn ingen lösning eftersom 2:a faktorn är 6 när
k = 0. När k = 0 så degenerar 3:e gradspolynomet (1) till ett 2:a gradspolynom som
endast har en minimipunkt (0, 0).
Hur är det med f (x2 )? Beräkna
3
6
2 k
6
k
−
f (x2 ) = 3
k
3
2
3
3·6
k·6
f (x2 ) =
−
2
k
3 · k3
2
3·6
2 · 62
62
f (x2 ) =
−
=
= x22 .
k2
k2
k2
x2 =
Sammanfattning
För fallet k = 0 ligger den enda extrempunkten (minimipunkt) (0, 0) på grafen till
g(x) = x2 . För fallet k 6= 0 ligger bägge extrempunkter x1 och x2 på grafen till g(x) = x2 .
Det gäller alltså oberoende av k att extrempunkterna till f (x) ligger på grafen till
polynomet g(x) = x2 .
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
NpMaC vt 2011
Kurs planering.se
Del IIvt2011
NpMaC
22(39)
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Del
II #
9
(2/1)
Konisk
Observera
att arbetet
med Del II kan påbörjas
utanbehållare
tillgång till miniräknare.
9.
En konisk behållare fylls med vatten. Diagrammet visar hur vattennivåns höjd
h i centimeter beror av tiden t i sekunder.
a)
b)
Det tar 100 sekunder att fylla behållaren. Med vilken medelhastighet ökar
vattennivåns höjd h under tidsperioden 10 ≤ t ≤ 100 ?
(2/0)
Tolka vad h′(50 ) = 0,20 betyder i detta sammanhang, det vill säga då konen
fylls med vatten.
(0/1)
a) Bestäm medelhastigheten under tidsperioden 10 < t < 100.
∆h
10. Lisas föräldrar sätter in
1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga
medelhastighet
räntesatsen är 3 %.=Föräldrarna
gör den första insättningen det år Lisa fyller
∆t
2 år och sätter
pengar
∆tsedan
= in100
− 10till och med det år hon fyller 30 år.
Hur mycket ∆h
pengar
kommer
att finnas på kontot direkt efter den sista
= hslut − det
hstart
insättningen?
Avläsning av höjden då t = 100 ur figuren ger
hslut = 40
och höjden då t = 10 ger
hstart = 17,5
11. Ge ett exempel på ett rationellt
uttryck som inte är definierat för x = 3 och
40 − 17,5
medelhastighet
= x=0
= 0,25
Endast svar fordras
som har värdet 2 då
100 − 10
(2/0)
(0/1)
Svar a)
Medelhastigheten är 0,25 cm/s.
Svar b)
h0 (50) = 0,20 betyder att vattennivån ökar med 0,20 cm/s då h = 50 cm.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
2
p
 p
x=− ±   −q
2
2
x + px + q = 0
2
Andragradsekvationer
a)
Det tar 100 sekunder att fylla behållaren. Med vilken medelhastighet ökar
vattennivåns höjd h under tidsperioden 10 ≤ t ≤ 100 ?
(2/0)
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
23(39)
Aritmetik
b)
Tolka vad h′(50 ) = 0,20 betyder i detta sammanhang, det vill säga då konen
vatten.
(0/1)
PrefixII #fylls
Del
10med(2/0)
Lisas föräldrar spar
T
G
M
k
tera
giga
mega
kilo
12
9
10
10.
6
10
10
10
h
3
hekto
10
2
d
c
m
µ
n
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
-1
-2
-3
-9
10-12
10
10
10
10
-6
10
Lisas föräldrar sätter in 1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga
räntesatsen är 3 %. Föräldrarna görx den första insättningen det år Lisa fyller
1
x − y det år honx fyller
y
xy år.
x y in xpengar
2 år och sätterasedan
tillaoch
med
30
a− x = x
=
a
(
a
)
=
a
Potenser
a = a +y
a
a yfinnas på kontot direkt efter den sista
Hur mycket pengar kommer det att
insättningen?
ax
a
= 
x
b
b
a b = (ab)
Använd FORMELSAMLINGEN.
x x
x
x
1
an
(2/0)
a0 = 1
=na
− 1) är definierat för x = 3 och
a (k inte
n −1 som
Geometrisk
11.
Ge ett exempela +påakett+ rationellt
uttryck
där k ≠ 1
=
ak 2 + ... + ak
summa
k −1
Endast svar fordras
som har värdet 2 då x = 0
n
(0/1)
e summa
⇔ x = ln
y =för
⇔ x = lg y i formeln
y =n10
Logaritmer
Notera
hur n − 1 och
förekommer
avy geometrisk serie. Vänsterledet
i formeln har n stycken termer numrerade från 0 till n − 1. I Lisas fall blir termerna
x
29
lg x + lg y = lg xy
1000 · (1,03 − 1)
=
1,03 − 1
Absolutbelopp
x
1000
|{z}
Lisa
om a30
≥ 0år
a
a =
1,030
− a om a < 0
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
+ 1000 · 1,03 + · · · + 1000 · 1,0328 .
|
{z
}
| {z }
Lisa 29 år
1,031
Lisa 2 år
1,0328
Högerledet i serien ovan har 29 termer numrerade från 0 till 28.
Miniräknaren ger
1000 · (1,0329 − 1)
= 45 219
1,03 − 1
Svar 45 219 kr.
Kommentar I problem av denna typ är det viktigt att vara noggrann. Det är lätt att
göra
fel på antalet termer.
13-02-21
© Skolverket
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
10.
Lisas föräldrar sätter in 1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga
räntesatsen är 3 %. Föräldrarna gör den första insättningen det år Lisa fyller
2 år och sätter sedan in pengar till och med det år hon fyller 30 år.
Kurs planering
.se pengar kommer det att
NpMaC
vt2011
Hur mycket
finnas på
kontot direkt efter den sista
insättningen?
Del II # 11
11.
(0/1)
24(39)
(2/0)
Rationellt uttryck
Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3 och
Endast svar fordras
som har värdet 2 då x = 0
(0/1)
p
där p och q är heltal. Talet q får
q
inte vara 0, då det inte går att dividera med noll. Ett rationellt uttryck är kvoten av två
polynom, exempelvis
P (x)
Q(x)
där P (x) och Q(x) är polynom. Uttrycket är definierat för alla x utom de x där
Q(x) = 0. Det går inte att dividera med noll.
Ett rationellt tal är kvoten av två heltal, exempelvis
Vi ska skapa ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3. Det rationella
uttrycket
P (x)
x−3
är inte definierat för x = 3 och har värdet
P (0)
0−3
då x = 0. Enligt uppgiften ska vi skapa ett rationellt uttryck som har värdet 2 då x = 0.
Välj lämpligt P (x). Det finns många möjligheter exempelvis P (x) = −6 eller
P (x) = x − 6.
x−6
uppfyller de två kraven.
Svar Uttrycket
x−3
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
Del II # 12
12.
NpMaC vt2011
(1/1)
25(39)
NpMaC vt 2011
Funktioner
Figuren visar graferna till fyra funktioner p, q, r och s.
Funktionen p är en polynomfunktion av tredje graden. De andra funktionerna har
bildats genom upprepad derivering av p, det vill säga:
q ( x) = p ′( x)
r ( x) = q ′( x)
s ( x) = r ′( x)
Para ihop funktionerna p, q, r och s med tillhörande graf A, B, C och D.
Endast svar fordras
(0/1)
p
C Endast kurvan C i bilden är en 3:e gradsfunktion
0
q = pGarfesta
A Derivatan
av bygga
3:e gradsfunktion
är ska
2:avara
gradsfunktion.
13.
kommun ska
en bollplan. Den
rektangulär med stängsel
Kurvan
A
är
en
2:a
gradsfunktion
med
ett
minimum.
runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen
bestämmer man sig för att
0
r = pbygga
D ett
Derivatan
av enpå
2:aden
gradsfunktion
äenärmast
en 1:a gradsfunkhögre stängsel
sida som ligger
vägen, se figur.
tion, alltså en linjär funktion. Kurvan D är en linjär
funktion med lutning.
0
s = r B Derivatan av en linjär funktion med konstant lutning är
konstant. Kurvan B är en konstant funktion
Svar se ovan.
Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta 6600 kr. Det lägre stängslet
kostar 75 kr/m och det högre 225 kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i
priset för stängslet.
Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area A m2
beräknas enligt nedanstående samband:
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
A( x ) = 44 x − 2 x 2 där x m är längden på bollplanens sida närmast vägen.
a)
b)
Bestäm med hjälp av derivata det värde på x som ger bollplanens
maximala area.
Visa att bollplanens area A m2 kan skrivas A( x ) = 44 x − 2 x 2
2015-04-06
(3/0)
Funktionen p är en polynomfunktion av tredje graden. De andra funktionerna har
bildats genom upprepad derivering av p, det vill säga:
q ( x) = p ′( x)
r ( x) = q ′( x)
s ( x) = r ′( x)
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
Para ihop funktionerna p, q, r och s med tillhörande graf A, B, C och D.
Endast svar fordras
Del II # 13
13.
(3/2/⊗)
26(39)
(0/1)
Maximal area
Garfesta kommun ska bygga en bollplan. Den ska vara rektangulär med stängsel
runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att
bygga ett högre stängsel på den sida som ligger närmast vägen, se figur.
Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta 6600 kr. Det lägre stängslet
kostar 75 kr/m och det högre 225 kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i
priset för stängslet.
Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area A m2
beräknas enligt nedanstående samband:
A( x ) = 44 x − 2 x 2 där x m är längden på bollplanens sida närmast vägen.
a)
b)
Bestäm med hjälp av derivata det värde på x som ger bollplanens
maximala area.
Visa att bollplanens area A m2 kan skrivas A( x ) = 44 x − 2 x 2
Differential- och integralkalkyl
3(6)
(3/0)
(0/2/¤)
a)
Derivera funktionen
f ( a + h) − f ( a )
f ( x) − f (a)
Derivatans definition
= lim
A(x) = 44 x − 2fx′(2a) = hlim
→0
x →a
h
x−a
Använd FORMELSAMLINGEN där finns
Derivator
Funktion
Derivata
x n där n är ett reellt tal
nx n −1
ax (a > 0)
a x ln a
A0 (x) = 44 − 2 · 2 x
ex
ex
Derivatan är noll vid extremvärden.
Lös ekvationen
0 = 44 − 4 x kx
e
k ⋅ e kx
som ger
c G Robertsson
1
x
Funktion
1
x2
buggar ⇒ [email protected]
f ( x) + g ( x)
Primitiva
−
f ′( x ) + g ′( x )
Primitiv funktion
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
27(39)
x = 11.
Med teckentabell konstateras att A(11) är en maximipunkt.
x
A (x)
A(x)
0
x = 10
+
växer
x = 11
0
max-punkt
x = 12
−
avtar
Alternativt kan man konstatera att ett 2:a gradspolynom har exakt en extrempunkt som
antingen är ett maximum eller minimum. När koefficienten framför x2 är negativ som i
detta fall så har polynomet ett maximum.
Svar a)
x = 11 ger maximal area till bollplanen.
b)
Planens area
A = x·y
där x är längden av sidan (kortsida) enligt uppgiftens figur och y är andra sidan
(långsida). Kostnaden för stängslet är 6600 kr.
6600 =
225 · x + 75 · y + 75 · x + 75 · y
| {z } | {z } | {z }
| {z }
höga kortsidan
kortsida
långsida
= 300 · x + 150 · y
300
150
=
x+
y
150
150
= 2x + y
= 44 − 2 x
= x (44 − 2 x) = 44 x − 2 x2
6600
6600
150
44
y
A(x)
Svar b)
långsida
Planens area kan skrivas A(x) = 44 x − 2 x2 .
Kommentar Bollplanens maximala area A(11) = 242 m2 men denna uppgift
efterfrågades inte. Var noga! Svara alltid på det som frågas efter.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
Del II # 14
14.
NpMaC vt2011
(3/2/⊗)
28(39)
Jordb
ävningar
NpMaC vt
2011
I Sverige är jordbävningar vanligare än vad man kan tro, men oftast är de så svaga
att de knappt märks. Med hjälp av Richterskalan kan styrkan i en jordbävning
anges med magnituden M.
2
Magnituden M ges av sambandet M = (lg E − 4,84)
3
där E är den frigjorda energin mätt i enheten joule, J.
a)
b)
Den 16 december 2008 skakades Skåne av en jordbävning som var kraftig
för att vara i Sverige. Då frigjordes energin 2,75 ⋅ 1011 J.
Vilken magnitud motsvarar detta på Richterskalan?
(1/0)
Den kraftigaste uppmätta jordbävningen i Sverige kallas Kosteröskalvet
och det inträffade den 23 oktober 1904. Magnituden mätte 5,4 på
Richterskalan. Hur mycket energi frigjordes vid Kosteröskalvet?
(2/0)
c)
Utgå från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är 5 och
den andra har en magnitud som är 7. Hur många gånger större är den frigjorda
energin hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin
hos den svagare?
(0/1)
d)
Utgå återigen från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som
är två enheter större än den andra. Undersök generellt hur många gånger större
den frigjorda energin är hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den
frigjorda energin hos den svagare.
(0/1/¤)
Beräkna magnituden M för energin E = 2,75 · 1011 J.
stoppa in
z}|{ ökar kraftigt. Från en rapport är följande citat hämtat:
2 i Sverige
15. Antalet vildsvin
M
=
(lg
E −4,84)
|{z}
3
a)
plocka utÅr
2007 beräknades antalet vildsvin uppgå till cirka 60000 från Skåne
och upp till Dalälven som ännu så länge
utgör den nordliga gränsen för
2
11
Mutbredningen.
=
lg(2,75 · 10 ) − 4,84
3
--2 till 2007 har vildsvinspopulationen haft en så stark tillväxt
MFrån
= 1990(11,44
− 4,84) = 4,40
att antalet
3 vildsvin i Sverige fördubblats vart femte-sjätte år.
Svar a)
b)
Källa: Svensk Naturförvaltning AB (2008), Rapport 04, Vildsvin, jakt och förvaltning
M = 4,40
Anta att antalet vildsvin uppskattas vid samma tidpunkt varje år.
Beräkna energin E för magnituden M = 5, 4.
stoppa in
z}|{
2
M
=
(lg |{z}
E −4,84)
3
plocka ut
Möblera om så att lg E blir fritt.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Utifrån citatet kan man göra olika prognoser om antalet vildsvin i Sverige i
framtiden.
Hur många vildsvin kan det finnas som mest i Sverige när man uppskattar antalet
år 2011 om tillväxten fortsätter i den takt som beskrivs ovan?
(0/3)
10
10
10
ax
a xa y = a x+ y
Potenser
Kurs planering.se
10
a
y
10
10
= a x− y
10
10
(a x ) y = a xy
10
10
a− x =
10
1
ax
x
x
1
aNpMaC
a
=   vt2011 a n = n a
x
b
b
1(6)
a0 = 1
29(39)
Formler
till3nationellt
prova(ki n matematik
kurs 3
lg E =
M + 4,84
− 1)
(1)
Geometrisk
summa
Nu
vet vi lg E
a b = (ab)
x x
x
2a + ak + ak 2 + ... + ak n −1 =
där k ≠ 1
men behöver E. Använd FORMELSAMLINGEN
där finns följande.
k −1
Algebra
Logaritmer
Regler
y = 10 x ⇔ x = lg y
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
y = e x ⇔ x = ln y
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
2
) 3 x= a 3 + 3a 2lg
b +x p3ab
b 3x
lg x − lg( ay+=blg
= p +⋅ lg
y
(a x−+b)lg2 y= =a 2lg−xy
2ab + b 2
lg
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
E = 10a = = 10 om a ≥ 0
Absolutbelopp
− a om
Stoppa in M = 5,4 i ekvation
(2).a <Vi0 får
lg E a
3
M +4,84
2
(2)
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 )
3
E = 10 2 5,4+4,84 = 1012,94 = 8,71 · 1012 J
Andragradsekvationer
E = 8,71 · 1012 J.
Svar b)
2
p
 p
x=− ±   −q
2
2
x 2 + px + q = 0
c) Jämför energin för magnituden M = 5 och M = 7. Använd den tidigare formeln (2).
Aritmetik
Låt E5 beteckna energin för magnituden 5 och E7 beteckna energin för magnituden 7.
Bestäm
13-02-21 kvoten
Prefix
T3
G
M
k
h
d
c
m
n © Skolverket
p
µ
10 2 7+4,84
E7
= tera3 5+4,84
.
E5
10 2 giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko
2
Använd FORMELSAMLINGEN
och
kvoten.
1012
109
106 förenkla
103
10
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9 10-12
a a =a
x y
Potenser
a b = (ab)
x x
Geometrisk
E7
summa
E5
ax
x+ y
a
y
ax
= a x− y
a
= 
x
b
b
x
x
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
a (k − 1)
10 2 7+4,84
där
1
+ ak 2 + ...(+23 7+4,84−
k ≠23 5)
ak n −1 =32 5+4,84)
( 32 7−
=
10
= 103
= a +3 ak
=
10
1
−
k
5+4,84
10 2
1
ax
n
3
x
Svar
c) 1000 gånger
⇔ x = lg y
y = 10större.
Logaritmer
(3)
y = e x ⇔ x = ln y
x
d) Jämför energin
M och
+ y2.= Använd
den lgtidigare
formeln (2). Låt
lg xM− lg
lg
y = lg xy
lg xför
+ lgmagnituden
x p = p ⋅ lg x
y
EM beteckna energin för magnituden M och EM +2 beteckna energin för magnituden
M + 2. Bestäm kvoten
3
a
om a ≥ 0 3 2
EM +2
10 2 (M+2)+4,84
a
=3 
Absolutbelopp=
= 10 2 = 103 .
a om a < 0
EM
10 2 M−+4,84
Svar d)
1000 gånger större.
c G Robertsson
13-02-21
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
© Skolverket
c)
Utgå från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är 5 och
den andra har en magnitud som är 7. Hur många gånger större är den frigjorda
energin hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin
hos den svagare?
(0/1)
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
30(39)
d)
Utgå återigen från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som
är två enheter större än den andra. Undersök generellt hur många gånger större
den frigjorda energin är hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den
(4)
frigjorda energin hos den svagare.
(0/1/¤)
Del II # 15
15.
(0/3)
Vildsvinen ökar kraftigt
Antalet vildsvin i Sverige ökar kraftigt. Från en rapport är följande citat hämtat:
År 2007 beräknades antalet vildsvin uppgå till cirka 60000 från Skåne
och upp till Dalälven som ännu så länge utgör den nordliga gränsen för
utbredningen.
--Från 1990 till 2007 har vildsvinspopulationen haft en så stark tillväxt
att antalet vildsvin i Sverige fördubblats vart femte-sjätte år.
Källa: Svensk Naturförvaltning AB (2008), Rapport 04, Vildsvin, jakt och förvaltning
Anta att antalet vildsvin uppskattas vid samma tidpunkt varje år.
Utifrån citatet kan man göra olika prognoser om antalet vildsvin i Sverige i
framtiden.
Hur många vildsvin kan det finnas som mest i Sverige när man uppskattar antalet
år 2011 om tillväxten fortsätter i den takt som beskrivs ovan?
(0/3)
Vildsvinen fördubblas på 5–6 år. Vi väljer att beskriva populationens ökning med
följande exponentialekvation
2 C = C at
som beskriver hur polulationen ökar från C till 2C under tidsintervallet t. Med t = 5 år
får vi
2 = a5
där a kan skrivas på några olika sätt.
√
1
5
a = 2 5 = 20,2 = 2 = 1,1487
Fördubbling på tidsintervallet 6 år ger ett något mindre värde på a. För att beräkna det
antal vildsvin som mest kan finnas efter 4 år (2011-2007) använder vi det största värdet
på a och beräknar
max antal = 60 000 · 1,14874 ≈ 104 000
Svar Max antal vildsvin år 2011 kan uppskattas till 104 000.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
Del II # 16
NpMaC vt2011
(0/3)
31(39)
Derivatans värde . . .
NpMaC vt 2011
16.
Nedan ges derivatans värde hos en funktion f i en given punkt P.
((2 + h)5 + 3) − (25 + 3)
= 80
h →0
h
lim
a)
Ange funktionen f
Endast svar fordras
b)
En tangent dras i punkten P. Bestäm tangentens ekvation.
(0/1)
3(6)
(0/2)
Använd FORMELSAMLINGEN där finns derivatans definition.
Differential- och integralkalkyl
17.
Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställena
x1 = 2definition
och x2 = 4 , se figur. Grafen
i punkten
f (a + skär
h) − fy-axeln
(a)
f ( x) − f((0a,)p ) .
Derivatans
f ′(a) = lim
h →0
Svar a)
h
= lim
x →a
x−a
f (x) = x5 + 3
Derivator
Funktion
Derivata
b) Punkten P har x-koordinaten
x = 2 och y-koordinat f (2) = 25 + 3 = 35. Punkten P
x n där n är ett reellt tal nx n −1
är alltså (2, 35). Den sökta tangenten är en rät linje som går genom punkten (2, 35) och
har riktningskoefficienten xk = 80.
a (a > 0)
a x ln a
35
80·2
z}|{
z}|{
m
y
= k · x + |{z}
ex
ex
−125
Svar b)
e kx
k ⋅ e kx
Tangentens ekvation
är y = 80 · x − 125.
1
1
Anta att vi drar en tangent
till grafen i punkten− (x02, p ) . Bestäm lutningen för
x
denna tangent uttryckt i p.
f ( x) + g ( x)
Primitiva
funktioner
c G Robertsson
f ′( x ) + g ′( x )
Funktion
Primitiv funktion
k
kx + C
x n ( n ≠ −1)
x n +1
+C
n +1
ex
buggar ⇒ [email protected]
ex + C
e kx
a x ( a > 0, a ≠ 1)
e kx
+C
k
ax
+C
(0/2/¤)
2015-04-06
((2 + h)5 + 3) − (25 + 3)
= 80
h →0
h
lim
a)
Ange funktionen f
Endast svar fordras
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
b)
En tangent dras i punkten P. Bestäm tangentens ekvation.
Del II # 17
17.
(0/2/⊗)
(0/1)
32(39)
(0/2)
Tangent till andragradspolynom
Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställena
x1 = 2 och x2 = 4 , se figur. Grafen skär y-axeln i punkten (0, p ) .
Anta att vi drar en tangent till grafen i punkten (0, p ) . Bestäm lutningen för
denna tangent uttryckt i p.
(0/2/¤)
Lutningen för en tangent är derivatan i punkten, här är det punkten (0, p) som är aktuell.
För att kunna derivera måste funktionen vara känd. I detta problem är
2:a gradsfunktionen inte känd. Börja med att bestämma 2:a gradsfunktionen. Funktionen
går genom tre olika punkter. Det finns olika möjligheter att bestämma funktionen.
Lösning, variant ABC
Tangentens lutning i punkten (0, p) är derivatan till 2:a gradspolynomet i punkten. Antag
att polynomet beskrivs med
y(x) = A x2 + B x + C
då blir derivatan
y 0 (x) = A 2 x + B
och derivatan i den efterfrågade punkten (0, p) blir
y 0 (0) = B
Vi har tre okända A, B, C och samtidigt känner vi tre olika punkter (0, p), (2, 0), (4, 0)
som grafen går genom. Bilda tre ekvationer.
p = A · 02 + B · 0 + C
(1)
2
0 = A·2 +B·2+C
(2)
2
0 = A·4 +B·4+C
(3)
ekvation (1) ger
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
33(39)
C = p.
(4)
Ekvation (2) och (3) ger med lösningen (4)
−p = A · 4 + B · 2
(5)
−p = A · 16 + B · 4
(6)
Eliminera den icke intressanta A ur ekvationerna (5) och (6) . Ekvation (6)-4×(5) ger
3 p = B · (−4).
−3 p
Den efterfrågade derivatan y 0 (0) i punkten (0, p) är alltså B =
.
4
Lösning, variant nollställen
Det finns många olika 2:a gradsfunktioner som har nollställen x = 2 och x = 4. Varje
värde på K i polynomet
y = K (x − 2)(x − 4)
ger ett polynom med nollställen x = 2 och x = 4. Vi ska välja K så att polynomet går
genom punkten (0, p). Detta betyder att
p = K (0 − 2)(0 − 4)
p
vilket ger K = .
8
y
y = (x − 2)(x − 4)
(0, 8)
y=
(0, p)
2
c G Robertsson
4
p
(x − 2)(x − 4)
8
x
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
34(39)
p
(x − 2)(x − 4)
8
p 2
(x − 6 x + 8)
y =
8
p
y0 =
(2 x − 6)
8
−3 p
p
(2 · 0 − 6) =
y 0 (0) =
8
4
y =
Svar Lutningen för tangenten i punkten (0, p) är
c G Robertsson
−3 p
.
4
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC vt2011
35(39)
Appendix
Här presenteras fyra olika grafer som alla ser ut att ha en terrasspunkt. Funktionerna är
f (x) = x3 och tre varianter. Endast f (x) = x3 har terrasspunkt med teckenväxlingen
+ 0 +. Med δ = 0,3 får vi följande fyra grafer.
f (x) = x3
A
f (x) = x2 (x − δ)
B
f (x)
f (x)
terrasspunkt
max
x
0 0,2
f (x) = (x − δ) x (x + δ)
f (x)
max
f (x) = x(x2 + δ 2 )
D
f (x)
min
−0,17 0,17
x
f (−0,17) = 0, 01
f ( 0,17) = −0, 01
c G Robertsson
x
f (0) = 0
f (0,2) = −0,004
f (0) = 0
C
min
buggar ⇒ [email protected]
x
extrempunkter saknas
f 0 (x) ≥ 0,32
2015-04-06
Kurs planering.se
A
NpMaC vt2011
36(39)
Terrasspunkt
Studera fallet med en trippelrot för x = 0
f (x) = x3 .
Bestäm extrempunkter, derivera.
f 0 (x) = 3 x2
Bestäm x där f 0 (x) = 0.
0 = 3 x2
Derivatans har en dubbelrot för
x1,2 = 0.
Andraderivatan är
f 00 (x) = 6 x.
x
f (x)
x=0
%
0
%
terrasspunkt
f 0 (x)
f 00 (x)
+
0
+
0
Andraderivatan f 00 (0) = 0 duger inte för att avgöra extrempunktens typ.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
B
NpMaC vt2011
37(39)
Max- & min-punkt
Studera fallet med en dubbelrot för x = 0 och en tredje rot för x = δ
f (x) = x2 (x − δ)
f (x) = x3 − x2 δ
Bestäm extrempunkter, derivera.
f 0 (x) = 3 x2 − 2 x δ
2
f 0 (x) = 3 x (x − δ)
3
Bestäm x där f 0 (x) = 0.
2
0 = x (x − δ)
3
2
Derivatans nollställen är x1 = 0 och x2 = δ.
3
f (0) = 0
2 2
2
−1
−4 3
f ( δ) =
δ
δ =
δ
3
3
3
27
Andraderivatan är
f 00 (x) = 6 x − 2 δ.
x
f (x)
&
x = 23 δ
−4 3
δ
27
min
%
−
0
+
x=0
%
0
max
f 0 (x)
f 00 (x)
+
0
−2 δ
2δ
När det fungerar är det enklare att nyttja andraderivatan för att avgöra extrempunkternas typ
än teckentabell. I detta fall fungerar det utmärkt med att nyttja andraderivatan. Här är
f 00 (0) = −2 δ < 0 och punkten (0, 0) är alltså en max-punkt. Kom ihåg att för figurerna på på
sidan 35 är δ = 0,3, vi har positiva δ. För den andra extrempunkten gäller att f 00 ( 32 δ) = 2 δ > 0
3
och punkten ( 23 δ, −4
27 δ ) är alltså en min-punkt.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
C
NpMaC vt2011
38(39)
Max- & min-punkt, variant
Studera fallet med en enkelrot för x = 0 och två rötter enligt x = ±δ
f (x) = (x − δ) x (x + δ)
f (x) = x (x2 − δ 2 )
f (x) = x3 − x δ 2
Bestäm extrempunkter, derivera.
f 0 (x) = 3 x2 − δ 2
Bestäm x där f 0 (x) = 0.
1
0 = x2 − δ 2
3
−δ
+δ
Derivatans nollställen är x1 = √ och x2 = √ .
3
3
√
2 3 3
−δ
f(√ ) =
δ
9
3
√
−2 3 3
+δ
δ
f(√ ) =
9
3
Andraderivatan är
f 00 (x) = 6 x
x
f (x)
%
f 0 (x)
+
f 00 (x)
−δ
x= √
√ 3
2 3 3
δ
9
max
0
√
&
−
−2 3 δ
+δ
x= √
√ 3
−2 3 3
δ
9
min
0
√
2 3δ
%
+
√
√
−δ
−δ 2 3 3
√
)
=
−2
,
Här är f 00 ( √
3
δ
<
0
och
punkten
(
9 δ ) är alltså en max-punkt. Kom ihåg att för
3
3
figurerna på på sidan 35 är δ = 0,3, vi har√ positiva δ. För den andra extrempunkten gäller att
√
−δ
f 00 ( √
) = 2 3 δ > 0 och punkten ( √δ3 , −29 3 )δ 3 är alltså en min-punkt.
3
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
D
NpMaC vt2011
39(39)
Extrempunkter saknas
Studera fallet med en enkelrot för x = 0 och två komplexa rötter enligt x = ±iδ
f (x) = x (x2 + δ 2 )
f (x) = x3 + x δ 2
Bestäm extrempunkter, derivera.
f 0 (x) = 3 |{z}
x2 + δ 2 ≥ δ 2
≥0
Funktionen f (x) saknar extrempunkter. Funktionen har positiv derivata för alla x och är därför
strikt växande.
Bonusfråga
Är kurvan nedan en del av en rät linje eller en del av cirkel med mycket stor radie?
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06