JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
1(38)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011
3
Del I, 7 uppgifter utan miniräknare
4
Del II, 9 uppgifter med miniräknare
6
NpMaB VT 2011 LÖSNINGAR
12
Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna
Del 1 # 1
(4/0)
Lös ekvationerna . .
Del 1 # 2
(2/0)
Rät linje . . . . . . .
Del 1 # 3
(2/0)
Ekvationssystem . .
Del 1 # 4
(1/1)
Sannolikhet . . . . .
Del 1 # 5
(2/0)
Förenkla ett uttryck
Del 1 # 6
(0/1/⊗) Två linjer . . . . . .
Del 1 # 7
(0/3/⊗) Linje tangerar cirkel
Del II: Digitala verktyg är
Del 2 # 8
(2/0)
Del 2 # 9
(3/0)
Del 2 # 10
(2/0)
Del 2 # 11
(2/0)
Del 2 # 12
(0/3)
Del 2 # 13
(0/3)
Del 2 # 14
(1/3/⊗)
Del 2 # 15
(1/2/⊗)
Del 3 # 16
(3/4/⊗)
c G Robertsson
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
14
16
17
18
19
20
tillåtna
Likformighet . . . . .
Stickprov . . . . . . .
Punkt på linje? . . . .
Segelbåt . . . . . . . .
Sannolikhet, lyckohjul .
Fia på löpband . . . .
2:a gradsekvation . . .
Variationsbredd . . . .
Stoppsträcka . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
24
25
27
28
30
32
34
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
2(38)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som
är lämpliga till respektive kurs.
1
Ma 1
Ma 2
1
2 3 4
2
4
2 3
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15 16
12
11
13 14 15 16
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
NpMaB vt 2011
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS B
VÅREN 2011
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder högst 60 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare, även symbolhanterande räknare och ”Formler till nationellt
prov i matematik kurs B”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren.
Redovisa därför ditt arbete med Del I på separat papper. Observera att arbetet
med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 16 uppgifter. Del I består av 7 uppgifter och Del II av
9 uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid
behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 16 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning
av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet
få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 45 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning.
Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänt:
13 poäng.
Väl godkänt:
25 poäng varav minst 6 vg-poäng.
Mycket väl godkänt:
25 poäng varav minst 13 vg-poäng.
Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de
MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger
möjlighet att visa.
NpMaB vt 2011
Del I
Denna del består av 7 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
2.
Lös ekvationerna
a)
x 2 − 6 x − 16 = 0
(2/0)
b)
x2 + 4x = 0
(2/0)
En rät linje går genom punkterna (0, 2) och (4, 0)
a)
Rita linjen i ett koordinatsystem.
b)
Ange linjens ekvation.
(1/0)
Endast svar fordras
⎧2 x + 3 y = 14
⎨
⎩x + 2 y = 0
3.
Lös ekvationssystemet
4.
Vid en skidtävling med 20 deltagare sker starten individuellt. Deltagarna ska ha
nummerlappar med nummer 1 till 20, där numret anger startordningen.
(1/0)
(2/0)
Marcus och Erik ska delta i tävlingen och båda vill starta sist, det vill säga båda
vill ha nummer 20. Innan start får deltagarna slumpmässigt dra ett kuvert som
innehåller en nummerlapp. Marcus får dra ett kuvert först av alla och Erik får dra
direkt efter.
Innan de öppnar kuverten så säger Marcus till Erik: ”Det är större chans att
nummer 20 finns i mitt kuvert än i ditt eftersom jag fick dra först”.
Avgör om Marcus har rätt genom att bestämma sannolikheterna för att Marcus
respektive Erik får startnummer 20.
(1/1)
NpMaB vt 2011
5.
Förenkla uttrycket ( x − 2) 2 + (3 − x)( x − 4) så långt som möjligt.
6.
Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten
ligger på y-axeln.
Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera.
7.
(2/0)
(0/1/¤)
En linje L tangerar en cirkel i punkten T. M är cirkelns medelpunkt. Vinkeln
mellan cirkelns diameter QT och linjen L är 90° . En triangel PST ligger i cirkeln
med alla hörnen på cirkelns rand. Se figur.
a)
Hur stor är vinkeln y då vinkeln x är 56° ?
(0/2)
Om punkterna P och S flyttas längs cirkelns rand kommer vinklarna x och y att
variera. För vinkeln x gäller 0° < x < 90°
b)
Bestäm sambandet mellan vinklarna x och y.
(0/1/¤)
NpMaB vt 2011
Del II
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
8.
En svensk flagga med långsidan 160 cm och kortsidan 100 cm uppfyller gällande
flagglag. Anna vill göra en liten bordsflagga med kortsidan 8 cm.
Hur lång ska Anna göra sin flagga för att den ska vara likformig med den stora
flaggan?
9.
(2/0)
Företaget Rund Plast AB tillverkar bland annat innebandybollar. Varje månad
tillverkas 50 000 innebandybollar.
Efter klagomål från kunder beslöt Rund Plast AB:s ledning att göra en
kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e
innebandyboll som tillverkades. Man hittade 11 bollar som var av dålig kvalitet.
10.
a)
Här ovan beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet?
(1/0)
b)
Hur många av de innebandybollar som tillverkades under en månad kan
antas ha varit av dålig kvalitet?
(2/0)
En rät linje har riktningskoefficienten k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3)
Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen.
(2/0)
NpMaB vt 2011
11.
Lina och Sara är ute och seglar i en båt som de har lånat. De seglar mot en bro
och börjar fundera på om masten är för hög för att båten ska kunna passera under
bron. För att kunna bestämma mastens höjd gör de några mätningar.
Lina och Sara mäter avståndet från mastens fot och rakt ut mot akterstaget och
finner att det är 4,50 m. Sedan mäter de avståndet från masten till akterstaget
0,80 m högre upp och parallellt med första mätningen. Det avståndet är 4,20 m.
Se figur.
Använd de mätningar som Lina och Sara har gjort och bestäm mastens höjd.
(2/0)
NpMaB vt 2011
12.
Elin, Petter och Ali är på ett nöjesfält. Där finns ett spel med två likadana
snurrande lyckohjul med bilder av bananer, citroner och körsbär. Hjulen snurrar
oberoende av varandra. Spelet ger vinst om pilarna på respektive hjul pekar på
bilder av samma sorts frukt då hjulen stannar. Se figur.
a)
b)
13.
Elin satsar på att båda hjulen stannar på körsbär.
Hur stor är sannolikheten att hon vinner?
(0/1)
Samtidigt som Elin satsar på körsbär, satsar Petter på bananer och Ali på
citroner. Hur stor är sannolikheten att ingen av de tre vinner?
(0/2)
Fia springer på ett löpband som kan ställas in på olika hastigheter. På en display
kan hon avläsa hur mycket energi hon förbrukar under ett träningspass på
löpbandet. Energin anges i enheten kcal.
Fia brukar först ställa in löpbandet på hastigheten 8 km/h (”låg” hastighet) för att
sedan öka hastigheten till 12 km/h (”hög” hastighet).
Tabellen visar exempel på Fias träningspass på löpbandet.
Tid
”låg”
hastighet
”hög”
hastighet
Energiförbrukning
Träningspass 1
20 min
10 min
300 kcal
Träningspass 2
10 min
15 min
280 kcal
Hur mycket energi per minut (kcal/min) förbrukar Fia då hon springer med
”låg” respektive ”hög” hastighet?
(0/3)
NpMaB vt 2011
14.
En av sevärdheterna i Sydney är den stora stålbron, Sydney Harbour Bridge.
Mellan bropelarna löper ett brospann som har formen av en andragradskurva.
Den högsta punkten är belägen 85 meter över vägbanan. Vägbanan ligger i sin
tur 49 meter över vattenytan. Brospannet befinner sig ovanför vägbanan längs en
400 meter lång vägsträcka. Se figur.
Ekvationen för andragradskurvan som beskriver brospannet kan skrivas som
y = ax 2 + b , där a och b är konstanter.
a)
b)
15.
Vilket värde har konstanten b för den andragradskurva som beskriver
brospannet?
Endast svar fordras
Hur långt är avståndet mellan bropelarna?
(1/0)
(0/3/¤)
En sträcka AB är 15 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt.
Längden av varje delsträcka måste vara större än noll.
a)
Gör en indelning av sträckan AB så att variationsbredden för delsträckornas
längder blir 12,5 cm.
(1/1)
b)
Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan
variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för
variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder.
(0/1/¤)
NpMaB vt 2011
Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till:
• Hur väl du utför dina beräkningar
• Hur långt mot en generell lösning du kommer
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du redovisar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
16.
I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då
föraren upptäcker ett hinder, bromsar in och stannar.
Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är
den sträcka bilen rör sig från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren
reagerar och trycker på bromspedalen. Den andra delen, bromssträckan, är den
sträcka som bilen rör sig från det att föraren börjar bromsa till det att bilen
stannar. Se figur.
Stoppsträckan s vid ett visst väglag kan beräknas enligt följande formel:
där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h.
•
Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för hastigheterna
70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita av tabellen och fyll i dina värden.
Hastighet
(km/h)
70
90
110
Reaktionssträcka
(m)
Bromssträcka
(m)
Stoppsträcka
(m)
Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen cirka 50 meter framför
bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder.
•
Undersök för vilka hastigheter det är möjligt att kunna stanna på 50 meter.
NpMaB vt 2011
Enligt formeln för stoppsträckan s = 0,27v + 0,005v 2 hinner föraren inte stanna
före ett hinder som upptäcks då avståndet till hindret är 50 meter och föraren kör
med hastigheten 110 km/h. Tänk dig att bilen kan passera hindret och att föraren
fortsätter att bromsa. Se figur.
•
Hur långt efter hindret stannar bilen om hastigheten är 110 km/h då föraren
upptäcker hindret?
•
Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret om hastigheten är 110 km/h
då föraren upptäcker hindret?
Den hastighet som bilen har vid hindret beror av den ursprungliga hastigheten då
föraren upptäcker hindret och avståndet fram till hindret.
Tänk dig nu att bilens ursprungliga hastighet är v km/h då föraren upptäcker ett
hinder på 50 meters avstånd och att bilens hastighet vid hindret är u km/h.
•
Undersök och beskriv sambandet mellan u och v.
(3/4/¤)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
12(38)
NpMaB vt 2011
Del I
NpMaB VT 2011 LÖSNINGAR
Denna del består av 7 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna
Del 1 # 1
1.
(4/0)
Lös ekvationerna
1(4)
Ma2
Lös ekvationerna
Formler
nationellt
prov i matematik kurs 2
a)
x 2 −till
6 x − 16
=0
b)
x2 + 4x = 0
(2/0)
(2/0)
Algebra
a)
Använd FORMELSAMLINGEN. Där finns pq-formeln.
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
a)
Rita linjen i ett koordinatsystem.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
2.
En rät linje går genom punkterna (0, 2) och (4, 0)
2
(a + bb))(a −Ange
b) = alinjens
− b 2 ekvation.
(1/0)
2
p
 p
x = − Endast
±  svar
− qfordras
2
2
(1/0)
Ekvationen är
0 = x2 −6 ·x −16
Aritmetik
|{z} |{z}
⎧2 x + 3 y = 14
p=−6
q=−16
3.
Lös ekvationssystemet
(2/0)
⎨
och
lösningen blir
⎩x + 2 y = 0
Prefix
−(−6) p 2
x
=
T
G 2 M± 3k − (−16)
h
d
c
m
n
p
µ
√
3 ± mega
9 + 16kilo hekto deci centi milli mikro nano piko
tera x =giga
√
256
1012 x =1039 ± 10
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9 10-12
4.
Vid
skidtävling
med 20 deltagare sker starten individuellt. Deltagarna ska ha
x =en
3±
5
med nummer 1 till 20, där numret anger startordningen.
xnummerlappar
1 = 8
xMarcus
2 = −2.
och Erik ska delta i tävlingen och båda vill starta sist, det vill säga båda
Potenser
vill ha nummer 20. Innan start får deltagarna slumpmässigt dra ett kuvert som
innehåller en nummerlapp.
Marcus får dra ett kuvert först av −alla
och
Erik får dra
1 kan
ax
xnågra
x − y kan lösas med
b) x yAlla xandragradsekvationer
men
lösas enklare
x y pq-formeln
xy
+y
=
a
a
=
(
a
)
=
a
a a direkt
= a efter.
x
y
a
utan pq-formeln. Faktorisera
ut x ur ekvationen
a
kuverten
så
till Erik: ”Det är större chans att
x säger Marcus
0Innan
= x2de
− öppnar
4x.
x
1
a
a


0
nummer 20 finns i mitt
än i ditt eftersom
= kuvert
=1

n = n a jag fick draaförst”.
Via xfår
x
a
b x = (ab) x
b
b
Avgör om Marcus har rätt genom att bestämma sannolikheterna för att Marcus
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
respektive Erik får startnummer
20.
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
x
2015-04-05
(1/1)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
13(38)
0 = x · (x − 4).
Nu är ekvationen sin egen lösning. Nollproduktmetoden ger
0 = x · (x − 4) .
|{z} | {z }
x=0
Svar b)
x=4
Lösningen är x = 0 respektive x = 4.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
1.
Lös ekvationerna
a)
x 2 − 6 x − 16 = 0
(2/0)
b)
x2 + 4x = 0
vux
JENSEN
utbildning
Del 1 # 2
2.
(2/0)
14(38)
NpMaB vt2011
(2/0)
Rät linje
Ma1
Ma2
En rät linje går genom punkterna (0, 2) och (4, 0)
a)
Rita linjen i ett koordinatsystem.
b)
Ange linjens ekvation.
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
a)
3.
Lös ekvationssystemet
y
⎧2 x + 3 y = 14
⎨
⎩x + 2 y = 0
(2/0)
(0,2)
4.
(4,0)
Vid en skidtävling med 20 deltagare sker starten individuellt. xDeltagarna ska ha
nummerlappar med nummer 1 till 20, där numret anger startordningen.
Marcus och Erik ska delta i tävlingen och båda vill starta sist, det vill säga båda
vill ha nummer 20. Innan start får deltagarna slumpmässigt dra ett kuvert som
Svar
Se figur ovan
2(4) a)
innehåller en nummerlapp. Marcus får dra ett kuvert först av alla och Erik får dra
direkt efter.
b) Bestäm linjens ekvation. Ekvationen för den räta linjen finns i
FORMELSAMLINGEN.
Funktioner
Innan de öppnar kuverten så säger Marcus till Erik: ”Det är större chans att
nummer 20 finns i mitt kuvert än i ditt eftersom jag fick dra först”.
Räta linjen
Andragradsfunktioner
Avgör om Marcus har rätt genom att bestämma sannolikheterna för att Marcus
respektive Erik får
startnummer
20.
y −
y
k= 2 1
y = kx + m
a≠0
y = ax 2 + bx + c
x2 − x1
(1/1)
Uppgiften är att bestämma k och m i linjens ekvation y = k x + m.
Potensfunktioner
y = C ⋅ xa
Exponentialfunktioner
y = C ⋅ ax
a > 0 och a ≠ 1
Geometri
Triangel
c G Robertsson
bh
A=
2
Parallellogram
buggar ⇒ [email protected]
A = bh
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
15(38)
y
∆x = 4
(0, 2)
∆y = −2
(4, 0)
x
Börja med att bestämma k.
0−2
∆y
=
= −0,5.
∆x
4−0
Nu är linjens ekvation
y = −0,5 x + m
och det återstår att bestämma m. Linjen går genom punkterna (0, 2) respektive (4, 0).
Använd någon av de två punkterna, förslagsvis punkten (0, 2). Vi får
k=
y=2
x=0
z}|{
z}|{
y = −0,5 x + |{z}
m .
m=2
vilket ger
m = 2.
Svar b)
y = −0,5 · x + 2.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
2.
En rät linje går genom punkterna (0, 2) och (4, 0)
a)
Rita linjen i ett koordinatsystem.
b)
Ange linjens ekvation.
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 3
(2/0)
(1/0)
Endast svar fordras
NpMaB vt2011
(1/0)
16(38)
Ekvationssystem
Ma2
3.
Lös ekvationssystemet
⎧2 x + 3 y = 14
⎨
⎩x + 2 y = 0
(2/0)
Det finns två olika metoder för att lösa linjära ekvationssystem med flera obekanta. För
ekvationssystem med bara två obekanta är det betydelselöst vilken metod du väljer.
Substitutionsmetoden är enkel och fungerar utmärkt för två obekanta.
4.
Vid en skidtävling med 20 deltagare sker starten individuellt. Deltagarna ska ha
nummerlappar
2x + 3y med
= 14nummer 1 till 20, där numret anger startordningen.
(1)
x + 2y = 0
(2)
Marcus och Erik ska delta i tävlingen och båda vill starta sist, det vill säga båda
Skriv om
ekvation
(2)20.till
vill ha
nummer
Innan start får deltagarna slumpmässigt dra ett kuvert som
x en nummerlapp.
= −2y
(3)
innehåller
Marcus får dra ett kuvert först av alla och Erik får dra
direkt
efter.
Substitutera x i ekvation (1) med hjälp av ekvation (3). Vi får
2 · (−2y) + 3y = 14
Innan de öppnar kuverten så säger Marcus till Erik: ”Det är större chans att
−4y20
+ finns
3y = i14
nummer
mitt kuvert än i ditt eftersom jag fick dra först”.
−y
= 14
Avgör om
Marcus
har rätt genom att bestämma sannolikheterna för att Marcus
y
= −14
(4)
respektive Erik får startnummer 20.
(1/1)
Med ekvation (3) och (4) kan x beräknas.
x
= −2 · (−14)
x
= 28
Svar x = 28 och y = −14
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
3.
Lös ekvationssystemet
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 4
⎧2 x + 3 y = 14
⎨
⎩x + 2 y = 0
NpMaB vt2011
(1/1)
(2/0)
17(38)
Sannolikhet
Ma1
4.
Vid en skidtävling med 20 deltagare sker starten individuellt. Deltagarna ska ha
nummerlappar med nummer 1 till 20, där numret anger startordningen.
Marcus och Erik ska delta i tävlingen och båda vill starta sist, det vill säga båda
vill ha nummer 20. Innan start får deltagarna slumpmässigt dra ett kuvert som
innehåller en nummerlapp. Marcus får dra ett kuvert först av alla och Erik får dra
direkt efter.
Innan de öppnar kuverten så säger Marcus till Erik: ”Det är större chans att
nummer 20 finns i mitt kuvert än i ditt eftersom jag fick dra först”.
Avgör om Marcus har rätt genom att bestämma sannolikheterna för att Marcus
respektive Erik får startnummer 20.
(1/1)
Låt X beteckna startnummer 20 och Z beteckna övriga 19 startnummer. I
träddiagrammet visas de två första dragen vid dragning utan återläggning.
1X 19Z
X=
1
20
Z=
19
20
0X 19Z
X=
P (XX) =
1 0
20 19
0
19
=0
Z=
1X 18Z
19
19
X=
P (XZ) =
1 19
20 19
=
1
20
P (ZX) =
19 1
20 19
=
1
19
1
20
Z=
18
19
P (ZZ) =
19 18
20 19
=
18
20
Resultatet av dragningen kan sammanfattas i följande tabell.
1:a draget
2:a draget
sannolikhet
nummer 20
nummer 20
0
1
nummer 20
nummer 1–19
20
1
nummer 1–19 nummer 20
20
18
nummer 1–19 nummer 1–19
20
Svar Det saknar betydelse vem som drar först, båda har lika sannolikhet att få nummer
20.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
Del 1 # 5
NpMaB
vt 2011
Förenkla
(2/0)
18(38)
ett uttryck
1(4)
Ma2
5.
2
Förenkla uttrycket ( x − 2) + (3 − x)( x − 4) så långt som möjligt.
(2/0)
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
1:a termen
2:a termen
z }| { z
}|
{
6.
Två
2 xx)(x
+ 5 och
(x −linjer
2)2 +y(3=−
− 4)y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten
liggerkan
på y-axeln.
1:a termen
utvecklas med 2:a kvadreringsregeln som finns i FORMELSAMLINGEN.
Algebra
Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera.
(0/1/¤)
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
= a2 L
− 2tangerar
ab + b 2 en cirkel i punkten T. M är cirkelns medelpunkt.
) 2 linje
2
7.(a − bEn
Vinkeln
p
 p
2
2
x
=
−
±
−
q
 PST ligger i cirkeln
diameter QT och linjen L är 90° . En triangel
(a + bmellan
)(a − bcirkelns
) = a −b
2
2
med alla hörnen på cirkelns rand. Se figur.
2:a termen
z
}|
{
2
(x − 2) + (3 − x)(x − 4)
| {z }
x −4x+4
Aritmetik
2
Jobba med andra termen
x2 − 4x + 4 + (3 − x)(x − 4)
Prefix
|
{z
}
3(x−4)−x(x−4)
T x −G
c
4x + 4M+ 3(x k− 4) −hx(x −d4)
2
terax2 −giga
4x + mega
4 + 3 · kilo
x − 3 hekto
· 4 − (xdeci
− x ·centi
4)
12x2 − 4x
9 +4+
6 3·x−
3 3 · 4 2− x2 +-1x · 4 -2
10
10
10
10
10
10
10
3x − 8
2
m
µ
n
p
milli
mikro
nano
piko
-9
10-12
-3
10
-6
10
10
Svar 3 x − 8.
Potenser
a xa y = a x+ y
ax
a
y
ax
= a x− y
(a x ) y = a xy
a− x =
1
ax
x
1
a
=
x x
x


x
an = n a
a b = (ab)
b
b


a)
Hur stor är vinkeln y då vinkeln x är 56° ?
a0 = 1
(0/2)
Om punkterna P och S flyttas längs cirkelns rand kommer vinklarna x och y att
variera. För vinkeln x gäller 0° < x < 90°
Logaritmer
b)
Bestäm sambandet mellan vinklarna x och y.
y = 10 x ⇔ x = lg y
c G Robertsson
lg x + lg y = lg xy
buggar ⇒ [email protected]
x
lg x − lg y = lg
y
lg x p = p ⋅ lg x
(0/1/¤)
2015-04-05
NpMaB vt 2011
vuxutbildning
så långt som möjligt.
5.
Förenkla
uttrycket ( x − 2) 2 + (3 − NpMaB
x)( x − 4) vt2011
JENSEN
Del 1 # 6
(0/1/⊗)
(2/0)
19(38)
Två linjer
Ma2
6.
Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten
ligger på y-axeln.
Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera.
(0/1/¤)
Linjen y = kx + m har m = 5 då den skär y-axeln i samma punkt som y = 2x + 5.
Riktningskoefficienten k kan ha alla värden utom k = 2. Enligt uppgiften ska de två
7.
En linje L tangerar en cirkel i punkten T. M är cirkelns medelpunkt. Vinkeln
linjerna skära varandra i en enda punkt. Med k = 2 är de två linjerna identiska och har
mellan cirkelns diameter QT och linjen L är 90° . En triangel PST ligger i cirkeln
alla punkter
med allagemensamma.
hörnen på cirkelns rand. Se figur.
Svar Alla k utom k = 2 är möjliga.
y
k = −1
k = −2 k = −4
15
k=4
k=2
k=1
k = 0,5
10
k = 0,25
5
k=0
k = −0,25
k = −0,5
a)
Hur stor är vinkeln y då vinkeln x är 56° ?
-10
-5
5
10
(0/2)
Om punkterna P och S flyttas längs cirkelns rand kommer vinklarna x och y att
variera. För vinkeln x gäller 0° < x < 90°
b)
-5
Bestäm sambandet mellan vinklarna
x och y.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(0/1/¤)
2015-04-05
6.
Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten
ligger på y-axeln.
vuxvärden
JENSEN
utbildning
NpMaB
vt2011
Vilka
kan riktningskoefficienten
k ha?
Motivera.
Del 1 # 7
(0/3/⊗)
20(38)
(0/1/¤)
Linje tangerar cirkel
Ma2
7.
En linje L tangerar en cirkel i punkten T. M är cirkelns medelpunkt. Vinkeln
mellan cirkelns diameter QT och linjen L är 90° . En triangel PST ligger i cirkeln
med alla hörnen på cirkelns rand. Se figur.
a)
Hur stor är vinkeln y då vinkeln x är 56° ?
(0/2)
Om punkterna P och S flyttas längs cirkelns rand kommer vinklarna x och y att
variera. För vinkeln x gäller 0° < x < 90°
b)
Bestäm sambandet mellan vinklarna x och y.
(0/1/¤)
Det går att “förenkla figuren” genom att vrida figuren. Detta påverkar inte problemet att
finna ett samband mellan 6 SPT även kallad y och 6 STL även kallad x. Symbolen 6
betecknar vinkel och följs av en bokstav, 6 P, eller tre bokstäver, 6 SPT.
Hur ska detta problem lösas? I figuren ligger punkterna P, S och T på randen till en cirkel
med medelpunkten M. I FORMELSAMLINGEN finns randvinkelsatsen.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
4(4)
vuxutbildning
JENSEN
NpMaB vt2011
21(38)
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
ab = cd
u = 2v
Pythagoras sats
Q
c2 = a 2 + b2
S
M
L
T
Trigonometri
P a
sin v =
c
b
cos v =
c
a
tan v =
b
Till bågen ST hör en medelpunktsvinkel och en randvinkel. Enligt randvinkelsatsen är
6 SPT hälften av medelpunktsvinkeln 6 SMT. Flytta punkten P till Q.
randvinkeln
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
Använd randvinkelsatsen igen, bågen PT har medelpunktsvinkeln PMT som är 180◦ .
◦
x +triangeln
x2
y +rätvinklig.
y2
Motsvarande
och
PST är
d = ( x2 − x1randvinkel
) 2 + ( y 2 − y1PST
) 2 blir hälften, alltså 90
xm = 1
och ym = 1
2
2
QP
QP
M
Statistik ochSsannolikhet
S
M
Standardavvikelse
L
T
L
T
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + ... + ( xn − x ) 2
(stickprov)
s=
n −1
Vinklarna 6 SPT och 6 STP blir nu komplemetvinklar
(summan 90◦ ).
90◦ = 6 SPT + 6 STP
Vid
punkten T gäller att
Lådagram
90◦ = 6 STL + 6 STP
vilket ger
6 STL = 6 SPT.
Svar a)
Vinkeln x = y = 56◦ .
Normalfördelning
Svar b)
Vinklarna x och y är lika stora.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
NpMaB vt 2011
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
22(38)
Del II
Del
Digitala
verktyg
är atttillåtna
DennaII:
del består
av 9 uppgifter
och är avsedd
genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del 2 # 8
(2/0)
Likformighet
Ma2
8.
En svensk flagga med långsidan 160 cm och kortsidan 100 cm uppfyller gällande
flagglag. Anna vill göra en liten bordsflagga med kortsidan 8 cm.
Hur lång ska Anna göra sin flagga för att den ska vara likformig med den stora
flaggan?
(2/0)
Figuren illustrerar flagga och bordsflagga.
9.
160
Företaget Rund Plast AB tillverkar bland annat innebandybollar. Varje månad
x
tillverkas 50 000 innebandybollar.
100
8 en
Efter klagomål från kunder beslöt Rund Plast AB:s ledning att göra
kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e
innebandyboll som tillverkades.
som var av dålig kvalitet.
Flagga Man hittade 11 bollar
Bordsflagga
a) variant
Här ovan
Lösning
1 beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet?
x
8
bordsflaggan
=
b)
Hur många=av de innebandybollar
som tillverkades under en månad kan
flaggan
160
100
antas ha varit av dålig kvalitet?
x = 12,8
(1/0)
(2/0)
Lösning variant 2
långsida
160
x
En rät
linje har riktningskoefficienten
k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3)
=
=
kortsida
100
8
x
=
12,8
Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen.
Svar Anna ska göra flaggan 12,8 cm lång.
10.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(2/0)
2015-04-05
Hur lång ska Anna göra sin flagga för att den ska vara likformig med den stora
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
flaggan?
Del 2 # 9
(3/0)
23(38)
(2/0)
Stickprov
Ma2
9.
Företaget Rund Plast AB tillverkar bland annat innebandybollar. Varje månad
tillverkas 50 000 innebandybollar.
Efter klagomål från kunder beslöt Rund Plast AB:s ledning att göra en
kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e
innebandyboll som tillverkades. Man hittade 11 bollar som var av dålig kvalitet.
a)
Här ovan beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet?
(1/0)
b)
Hur många av de innebandybollar som tillverkades under en månad kan
antas ha varit av dålig kvalitet?
(2/0)
000
a) Av totalt 50 000 bollar testas var 200:e boll. Det betyder att 50200
= 250 bollar
utgör stickprovet.
10. En rät linje har riktningskoefficienten k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3)
Svar a) Stickprovet är 250 bollar.
Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen.
(2/0)
11
b) Av stickprovets 250 bollar är 11 dåliga. Andelen dåliga bollar i stickprovet är 250
.
Med antagandet att samma andel av de tillverkade bollarna är dåliga blir antalet dåliga
11
bollar 250
× 50 000 = 2 200 stycken.
Svar b)
2 200 dåliga bollar.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e
innebandyboll som tillverkades. Man hittade 11 bollar som var av dålig kvalitet.
a)
Här ovan beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet?
b)
Hur många av de innebandybollar som tillverkades under en månad kan
JENSENvuxantas
utbildning
NpMaB vt2011
ha varit av dålig kvalitet?
Del 2 # 10
(2/0)
(1/0)
24(38)
(2/0)
Punkt på linje?
Ma2
10.
En rät linje har riktningskoefficienten k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3)
2(4)
Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen.
(2/0)
Ekvationen
för den räta linjen finns i FORMELSAMLINGEN.
Funktioner
Räta linjen
y = kx + m
Andragradsfunktioner
k=
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
a≠0
Linjens ekvation är
y = 1,2 · x + 3
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
eftersom k = 1,2 är given i uppgiften och linjen går genom punkten (0, 3).
a ≠ ekvation
1
> 0i och
y = C ⋅ x a om punkten (175, 207) ligger på linjen.y =
C ⋅ a x in x = a175
Kontrollera
Stoppa
linjens
175
z}|{
y
= 1,2 · x + 3
|{z}
213
ut
trillar y = 213. När x = 175 blir y = 213 och punkten y = 207 ligger alltså inte på
Geometri
linjen.
Triangel
Parallellogram
Svar Punkten (175, 207) ligger inte på linjen.
bh
A=
2
Parallelltrapets
A=
h( a + b)
2
Cirkelsektor
v
⋅ 2 πr
360
v
br
A=
⋅ πr 2 =
c G Robertsson
360
2
b=
Cylinder
A = bh
Cirkel
πd 2
A = πr =
4
O = 2πr = πd
2
Prisma
V = Bh
buggar ⇒ [email protected]
Pyramid
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 11
NpMaB vt2011
(2/0)
25(38)
Segelbåt
Ma2
NpMaB vt 2011
11.
Lina och Sara är ute och seglar i en båt som de har lånat. De seglar mot en bro
och börjar fundera på om masten är för hög för att båten ska kunna passera under
bron. För att kunna bestämma mastens höjd gör de några mätningar.
Lina och Sara mäter avståndet från mastens fot och rakt ut mot akterstaget och
finner att det är 4,50 m. Sedan mäter de avståndet från masten till akterstaget
0,80 m högre upp och parallellt med första mätningen. Det avståndet är 4,20 m.
Se figur.
Använd de mätningar som Lina och Sara har gjort och bestäm mastens höjd.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(2/0)
2015-04-05
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC
och DEF är
likformiga.
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
a b vux
c utbildning
JENSEN
= =
d e f
NpMaB vt2011
26(38)
Använd FORMELSAMLINGEN där finns topptriangelsatsen.
Topptriangel- och
transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell
med AB gäller
AD AC
=
BD BC
DE CD CE
och
=
=
AB AC BC
CD CE
=
AD BE
Rita figur.
Vinklar
u + v = 180°
C
Sidovinklar
w=v
Vertikalvinklar
C
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
x
Likbelägna vinklar
v=w
u=w
x − 0,80
Alternatvinklar
D
A
4,50
E
B
D
A
4,20
AB = 4,50
DE = 4,20
BE = 0,80
BC = x
EC = x - 0,80
E
B
4,20
x − 0,80
0,80
=
=1−
4,50
x
x
13-01-24
0,80
4,50 − 4,20
=
x
4,50
4,50
x = 0,80 ·
= 12
4,50 − 4,20
© Skolverket
Svar Mastens höjd är 12 m.
Kommentar Små mätfel i AB eller DE ger stora fel i AC. Med DE=4,29 istället för
4,30 cm blir mastens höjd 11,6 m.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 12
NpMaB vt2011
(0/3)
NpMaB
vt 2011
Sannolikhet,
27(38)
lyckohjul
Ma1
12.
Elin, Petter och Ali är på ett nöjesfält. Där finns ett spel med två likadana
snurrande lyckohjul med bilder av bananer, citroner och körsbär. Hjulen snurrar
oberoende av varandra. Spelet ger vinst om pilarna på respektive hjul pekar på
bilder av samma sorts frukt då hjulen stannar. Se figur.
a)
b)
Elin satsar på att båda hjulen stannar på körsbär.
Hur stor är sannolikheten att hon vinner?
(0/1)
Samtidigt som Elin satsar på körsbär, satsar Petter på bananer och Ali på
citroner. Hur stor är sannolikheten att ingen av de tre vinner?
(0/2)
Varje hjul har bil på 5 körsbär, 3 bananer och 2 citroner, totalt 10 bilder. Sannolikheten
13. Fia springer på ett löpband som kan ställas in på olika hastigheter. På en display
att ett hjul ska stanna på respektive bild framgår av tabellen.
kan hon avläsa hur mycket energi hon förbrukar under ett träningspass på
löpbandet. Energin anges i enhetenkörsbär
kcal.
0,5
bananer 0,3
citroner 0,2
Hjulen är oberoende av varandra och sannolikheten för de möjliga utfallen framgår av
tabellen nedan.
körsbär banan citron
körsbär 0,25
0,15
0,10
banan
0,15
0,09
0,06
citron
0,10
0,06
0,04
Två lika bilder ger vinst. Utfallen i diagonalen ger vinst och utfallen vid sidan om
diagonalen ger ingen vinst. Sannolikheten för att det inte blir någon vinst är summan av
elementen utanför diagonalen alltså 2 · (0,15 + 0,10 + 0,06) = 0,62.
Fia brukar först ställa in löpbandet på hastigheten 8 km/h (”låg” hastighet) för att
sedanSannolikheten
öka hastighetenför
till två
12 km/h
(”hög”
hastighet).
Svar a)
körsbär
är 0,25.
Tabellen visar exempel på Fias träningspass på löpbandet.
Svar b)
Sannolikheten för ingen vinst är 0,62.
Tid
Energiförbrukning
”låg”
”hög”
buggar ⇒ [email protected]
hastighet
hastighet
c G Robertsson
Träningspass 1
20 min
10 min
300 kcal
Träningspass 2
10 min
15 min
280 kcal
Hur mycket energi per minut (kcal/min) förbrukar Fia då hon springer med
2015-04-05
a)
Elin satsar på att båda hjulen stannar på körsbär.
Hur stor är sannolikheten att hon vinner?
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
b)
Samtidigt som Elin satsar på körsbär, satsar Petter på bananer och Ali på
citroner. Hur stor är sannolikheten att ingen av de tre vinner?
Del 2 # 13
(0/3)
Fia på löpband
(0/1)
28(38)
(0/2)
Ma2
13.
Fia springer på ett löpband som kan ställas in på olika hastigheter. På en display
kan hon avläsa hur mycket energi hon förbrukar under ett träningspass på
löpbandet. Energin anges i enheten kcal.
Fia brukar först ställa in löpbandet på hastigheten 8 km/h (”låg” hastighet) för att
sedan öka hastigheten till 12 km/h (”hög” hastighet).
Tabellen visar exempel på Fias träningspass på löpbandet.
Tid
”låg”
hastighet
”hög”
hastighet
Energiförbrukning
Träningspass 1
20 min
10 min
300 kcal
Träningspass 2
10 min
15 min
280 kcal
Hur mycket energi per minut (kcal/min) förbrukar Fia då hon springer med
”låg” respektive ”hög” hastighet?
(0/3)
Inför variabler. Låt x vara energiförbrukning i kcal/min vid “låg” hastighet och y vid
“hög” hastighet.
Steg-1: Skapa ett ekvationssystem med två linjära ekvationer.
20x + 10y= 300
1:a ekvationen
(1)
10x + 15y= 280
2:a ekvationen
(2)
Steg-2: Lös ekvationssystemet (skapa triangulärt system).
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
20x + 10y= 300
+ 10y= 130
NpMaB vt2011
behåll 1:a ekvationen
ekvation (4) = ekvation (2) - 12 × ekvation (1)
29(38)
(3)
(4)
Steg-3: Lös först ekvation (4) och sedan (3).
Ekvation (4) ger y = 13 och med y = 13 ger ekvation (3) att x = 8,5.
Svar Fia förbrukar 8,5 kcal/min då hon springer med ”låg” respektive 13 kcal/min vid
”hög” hastighet.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
30(38)
vt 2011
(1/3/⊗)NpMaB2:a
gradsekvation
Del 2 # 14
Ma2
14.
En av sevärdheterna i Sydney är den stora stålbron, Sydney Harbour Bridge.
Mellan bropelarna löper ett brospann som har formen av en andragradskurva.
Den högsta punkten är belägen 85 meter över vägbanan. Vägbanan ligger i sin
tur 49 meter över vattenytan. Brospannet befinner sig ovanför vägbanan längs en
400 meter lång vägsträcka. Se figur.
Ekvationen för andragradskurvan som beskriver brospannet kan skrivas som
y = ax 2 + b , där a och b är konstanter.
a)
b)
Vilket värde har konstanten b för den andragradskurva som beskriver
brospannet?
Endast svar fordras
Hur långt är avståndet mellan bropelarna?
(1/0)
(0/3/¤)
a)
Vilket värde har konstanten b?
15. En sträcka AB är 15 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt.
Använd
ekvationen
fördelsträcka
brospannet
ochvara
uppgifter
ur noll.
problemets figur för att bestämma b.
Längden
av varje
måste
större än
y=85
x=0
z}|{
z}|{
y
= a x2 + |{z}
b
b=85
Svar a)
a)
b = 85
Gör en indelning av sträckan AB så att variationsbredden för delsträckornas
längder blir 12,5 cm.
(1/1)
b)
Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan
Utred
vilka värden som är möjliga för
c G Robertssonvariationsbredden variera.
buggar
⇒ [email protected]
variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder.
2015-04-05
(0/1/¤)
JENSENvuxutbildning
b)
NpMaB vt2011
31(38)
Hur långt är avståndet mellan bropelarna?
Ekvationen för brospannet är
y = a x2 + 85.
Bestäm a. Från figuren framgår att då x = ±200 så är y = 0.
y=0
b=85
x=200
z}|{
z}|{ z}|{
2
y
= |{z}
a · x + b
−85
a= 40
000
Bestäm skärningspunkt mellan brospannet och vattenytan. Vi har ekvationen
y=−49
b=85
z}|{
z}|{
−85
2
y
=
· |{z}
x
+ b
40 000
x=±251,12
med lösningen
r
x = ±
(85 + 49)
40 000
≈ ±251,12.
85
y
(0, 85)
(−200, 0)
(200, 0)
(−251, −49)
(251, −49)
x
y = −49
502
Svar b)
Avståndet mellan bropelarna är 502 meter.
Kommentar 500 meter är också ett lämpligt svar men 502,24 är inte ett lämpligt svar.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
Ekvationen för andragradskurvan som beskriver brospannet kan skrivas som
y = ax 2 + b , där a och b är konstanter.
a)
Vilket värde har konstanten b för den andragradskurva som beskriver
JENSENvuxbrospannet?
utbildning
NpMaB vt2011 Endast svar fordras
b)
Hur långt är avståndet mellan bropelarna?
Del 2 # 15
(1/2/⊗)
(1/0)
32(38)
(0/3/¤)
Variationsbredd
Ma2
15.
a)
En sträcka AB är 15 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt.
Längden av varje delsträcka måste vara större än noll.
a)
Gör en indelning av sträckan AB så att variationsbredden för delsträckornas
längder blir 12,5 cm.
(1/1)
b)
Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan
variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för
variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder.
(0/1/¤)
Dela in sträckan 15 cm i 5 delar och sortera delarna i storleksordning. Vi får
0 < x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 ≤ x5
(1)
och
15 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 .
Variationsbredden är xmax − xmin . Konkret i detta problem gäller
12,5 = x5 − x1 .
Ekvation (2) och (3) ger
x
z }|5 {
15 = x1 + x2 + x3 + x4 + 12, 5 + x1
2,5 = x1 + x1 + x2 + x3 + x4 .
{z
}
|
(2)
(3)
(4)
5 termer
Det finns naturligtvis många olika möjligheter att välja x1 , x2 , x3 och x4 så att ekvation
(4) blir uppfylld. Välj något enkelt, välj alla 5 termer lika. Ekvation (4) ger
0,5 = x1 = x2 = x3 = x4
Med vald lösning ger (2)
0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5
z
}|
{
15 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 .
|{z}
13
Svar a)
En möjlig indelning är 0,5 0,5 0,5 0,5 och 13 cm.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
33(38)
b) Studera mellan vilka gränser variationsbredden kan variera. Med alla delar lika
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 3 cm blir variationsbredden 0.
x5
15 = x1 + x2 + x3 + x4 +
{z
}
|{z}
|
stor term
små termer
Med små värden på x1 , x2 , x3 och x4 blir variationsbredden x5 − x1 < 15. Likhet kan inte
uppnås eftersom 0 < x1 .
Svar b)
0 ≤ variationsbredd < 15 cm.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
NpMaB vt 2011
Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till:
• Hur väl du utför dina beräkningar
vux mot en generell lösning du kommer
JENSEN
NpMaB vt2011
34(38)
• Hur långtutbildning
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du redovisar ditt arbete
Del
Stoppsträcka
• 3
Hur#
väl16
du använder det(3/4/⊗)
matematiska språket
16.
I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då
föraren upptäcker ett hinder, bromsar in och stannar.
Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är
den sträcka bilen rör sig från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren
reagerar och trycker på bromspedalen. Den andra delen, bromssträckan, är den
sträcka som bilen rör sig från det att föraren börjar bromsa till det att bilen
stannar. Se figur.
Stoppsträckan s vid ett visst väglag kan beräknas enligt följande formel:
där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h.
•
Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för hastigheterna
70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita av tabellen och fyll i dina värden.
Hastighet
(km/h)
70
90
110
Reaktionssträcka
(m)
Bromssträcka
(m)
Stoppsträcka
(m)
Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen cirka 50 meter framför
bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder.
•
c G Robertsson
Undersök för vilka hastigheter det är möjligt att kunna stanna på 50 meter.
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
Ma2
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
35(38)
NpMaB vt 2011
Enligt formeln för stoppsträckan s = 0,27v + 0,005v 2 hinner föraren inte stanna
före ett hinder som upptäcks då avståndet till hindret är 50 meter och föraren kör
med hastigheten 110 km/h. Tänk dig att bilen kan passera hindret och att föraren
fortsätter att bromsa. Se figur.
•
Hur långt efter hindret stannar bilen om hastigheten är 110 km/h då föraren
upptäcker hindret?
•
Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret om hastigheten är 110 km/h
då föraren upptäcker hindret?
Den hastighet som bilen har vid hindret beror av den ursprungliga hastigheten då
föraren upptäcker hindret och avståndet fram till hindret.
Tänk dig nu att bilens ursprungliga hastighet är v km/h då föraren upptäcker ett
hinder på 50 meters avstånd och att bilens hastighet vid hindret är u km/h.
•
Undersök och beskriv sambandet mellan u och v.
(3/4/¤)
NpMaB vt 2011
Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till:
• Hur väl du utför dina beräkningar
• Hur långt mot en generell lösning du kommer
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du redovisar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
16.
I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då
föraren upptäcker ett hinder, bromsar in och stannar.
Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är
den sträcka bilen rör sig från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren
reagerar och trycker på bromspedalen. Den andra delen, bromssträckan, är den
sträcka som bilen rör sig från det att föraren börjar bromsa till det att bilen
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
stannar. Se figur.
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
36(38)
Fyll i tabellen
Hastighet
(km/h)
70
90
110
Reaktionssträcka
(m)
0, 27 · 70 = 18,9
0, 27 · 90 = 24,3
0, 27 · 110 = 29,7
Bromssträcka
Stoppsträcka
(m)
(m)
0,005 · 702 = 24,5 18,9 + 24,5 = 43,8
0,005 · 902 = 40,5 24,3 + 40,5 = 64,8
0,005 · 1102 = 60,5 29,7 + 60,5 = 90,2
Undersök för vilka hastigheter det är möjligt att kunna stanna på 50 meter.
Denna uppgift kan lösas analytiskt eller numeriskt/grafiskt.
Alternativ: analytiskt lösning. Stoppa in s = 50 i formeln för stoppsträckan och lös ut
v med pq-formeln.
50
z}|{
s
= 0,27 · v + 0,005 · v 2
|
{z
}
pq-formeln ger v
0 = 0,27 · v + 0,005 · v 2 − 50
Normalisera ekvationen, alltså ordna så att koefficienten framför v 2 blir 1. Dividera alla
termer i ekvationen med 0,005.
0 = v 2 + 54 v − 10 000
√
v1,2 = −27 ± 272 + 10 000
√
v1 = −27 + 272 + 10 000 ≈ 76, 6
v2 ≈ −130, 6 negativ rot, ej intressant
Alternativ:
vänsterled
z}|{
50
grafisk/numerisk lösning. Den ekvation som ska lösas är
högerled
z
}|
{
2
= 0,27 · v + 0,005 · v .
Använd grafritande miniräknare. Plotta vänsterled och högerled och bestäm
skärningspunkten.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
37(38)
Kommandon till Texas-räknare
Y=
mata in funktion(er)
GRAPH
rita graf
WINDOW
välj fönster, standard är
Xmin = −10, Xmax = 10, Ymin = −10, Ymax = 10
i detta problem är det lämpligare med
Xmin = 0, Xmax = 100, Ymin = 0, Ymax = 100
TRACE
ger cursorns x− och y−koordinat på kurva
2ND CALC
välj intersect i denna uppgift för att bestämma skärningspunkt
stoppsträcka
m
s = 0,27 · v + 0,005 · v 2
100
75
50
s = 50
76,6 km/h
hastighet
70
90
110 km/h
Uppgiften gäller att bestämma för vilka hastigheter det är möjligt att stanna vid hindret.
Den högsta möjliga hastigheten v är 76,6 och den lägsta är 0 < v km/h. Hastigheten noll
är inte möjlig.
Svar Möjliga hastigheter är 0 < v ≤ 76,6 km/h.
Hur långt efter hindret stannar bilen om hastigheten är 110 km/h då föraren
upptäcker hindret?
Enligt tabellen är stoppsträckan 90,2 meter, det är 40,2 meter efter hindret.
Svar 40,2 meter
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2011
38(38)
Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret om hastigheten är 110 km/h
då föraren upptäcker hindret?
Enligt uppgiften gäller att stoppsträckan s är
s =
0,27 · v
| {z }
reaktionssträcka
+ 0,005 · v 2 .
| {z }
bromssträcka
Antag att bilens hastighet vid hindret är u km/h. Enligt tidigare är bromssträckan efter
hindret 40,2 meter. Formeln för bromssträcka ger
40,2 = 0,005 · |{z}
u2
u=89,666
Svar Hastigheten vid hindret är 89,7 km/h.
Undersök och beskriv sambandet mellan u och v.
Låt v vara utgångshastighet och u hastigheten vid hindret. Utgångspunkt för sambandet
u och v är
bromssträcka från u km/h
stoppsträcka bortom hindret
z }| {
z
}|
{
2
2
0,005 · u = 0,27 · v + 0,005 · v − 50
som kan förenklas till
u2 = 54 · v + v 2 − 10 000.
Detta samband gäller för sådana v att högerledet är positivt. För v ≤ 0 gäller att lösning
saknas och för utgångshastigheter så låga att hindret inte passeras gäller att u = 0.
Svar

 lösning saknas
0
u =
 √
54v + v 2 − 10 000
:
:
:
v≤ 0
√
0
<
v
≤
−27
+
272 + 10 000
√
−27 + 272 + 10 000 ≤ v
Kommentar
I Skolverkets rättningsnorm förekommer endast svaret
√
2
u = 54v + v − 10 000 på deluppgiften undersök och beskriv sambandet mellan u och v.
Skolverkets rättningsnorm behandlar alltså enbart fallet att bilen passerar hindret.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05