729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik
2015-09-21
Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 729G04 Programmering
och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt.
Dessutom skall du vara beredd på att vid behov kunna redovisa dina lösningar
muntligt. Lämna in dina lösningar på ett av nedanstående sätt.
• i pappersform, senast måndagen 2015-09-28 kl. 08.15, i ett förslutet kuvert adresserat till Anders Märak Leffler, IDA, lämnat i postfacket
i väggen vid Café Java
• digitalt via e-post till [email protected] senast samma tidpunkt. Ämnesrad 729G04: Hemuppgift [ditt LiU-id]. Notera att
universitetets skrivare kan scanna till PDF (gratis).
Skriv namn, LiU-ID, och personnummer på varje sida. Detta gäller
också inlämningar via e-post. Skriv tydligt!
Frågor kan skickas till [email protected]. Svar på frågan skickas till
kurslistan utan att avslöja vem som ställt frågan.
Hjälpmedel: Du får använda kursmaterialet som hjälpmedel.
Allmänt om förklaringar Det kommer att efterfrågas en del förklaringar
nedan. Dessa ska, om annat inte anges, vara kortfattade. Detta betyder entvå meningar. Förklaringarna ska visa att du förstått området och eventuella
definitioner som används, men det behöver inte vara några utläggningar.
Betyg På denna uppgift ges betygen U/G. Hemuppgiften är indelad i fyra
delar som motsvarar de områden vi täckt i kursen. För betyget godkänd krävs
godkänt på samtliga delar (se nedan).
Vid betyget U ges en möjlighet till komplettering under hösten. Då kompletterar man på delar som man inte klarat.
Klarar man inte uppgiften då, ges nytt tillfälle i augusti 2016.
1
1
Mängder (4+2=6p)
För godkänt på denna del krävs 4p.
1. Vi ges
• Universum U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
• P = {n : n är en siffra i ditt personnummer, inklusive fyra sista
siffrorna},
• A = {n ∈ Z : 6 ≤ n ≤ 9} ,
• B = {10}.
a). Rita upp ett Venndiagram som beskriver mängderna ovan.
b). Beräkna A \ P och A ∩ P .
c). Skriv ut elementen i A × B. Gäller (10, 9) ∈ A × B?
d). Vi skriver D = B c ∪ P . Vad är Dc ?
2. Vi ges A = {−1, 0, 1}.
a) Stämmer det att A ∈ N? Varför/varför inte?
b) Stämmer det att A ⊆ N? Varför/varför inte?
2
2
Funktioner (2+2+2=6p)
För godkänt på denna del krävs 4p.
1. Låt f (n) = n2 , P = {n : n är en siffra i ditt personnummer, inklusive fyra
sista siffrorna }, B = {n ∈ N : 0 ≤ n ≤ 81}.
a) Vi försöker skriva f som en funktion från P till P . Är det en funktion i ditt fall, med ditt personnummer? Varför/varför inte? Motivera
kortfattat, eller ge motexempel.
b) Låt säga att vi har f : P → B istället, fortfarande med f (n) = n2 .
Beskriv värdemängden för f (svara Vf = {...} med en uppräkning av
elementen). Gäller Vf = B?
2. Antag att A är mängden studenter på LiU, B = {n ∈ N : 1776 ≤ n ≤
2015} och f : A → B är sådan att den ordnar en LiU-student till studentens födelseår.
I svaren nedan behövs en mycket kortfattad motivering (max två meningar). Det ska dock framgå tydligt att du förstår definitionen av begreppen.
a) Skulle det vara rimligt att säga att f är injektiv? Varför/varför inte?
b) Skulle det vara rimligt att säga att f är surjektiv? Varför/varför inte?
3. f : R → R, f (x) = (x + 1)2 .
a) Beskriv definitionsmängd, värdemängd och målmängd för f .
b) Har f en invers funktion f −1 ? Ange den isåfall, eller visa/motivera
varför det inte finns.
3
3
Relationer (4+2+1=7p)
För godkänt på denna del krävs 5p.
Nedan, låt P = {n : n är en siffra i ditt personnummer, inklusive fyra sista
siffrorna}.
1. Vi ges följande figurer: Hades (h), Döden (d), Shredder (s) och Wicked
Witch of the West (w), sammantaget A = {h, d, s, w}.
a) Visa att R = {(h, h), (d, h), (d, d), (w, w), (d, w), (w, h), (h, d), (h, w),
(w, d), (s, s)} är en ekvivalensrelation på A.
b) Vi börjar med S = R, och tar bort (d, h) från mängden S. Vilka ytterligare element behöver vi nu ta bort, om S fortfarande ska vara en
ekvivalensrelation på A?1 Visa varje borttagning, och motivera den
kortfattat.
2. Ange, om det är möjligt,
a) en relation R1 på P som är antisymmetrisk, symmetrisk, reflexiv och
transitiv. Om det är omöjligt, motivera varför.
b) en relation R2 på P som är reflexiv, irreflexiv och symmetrisk. Om det
är omöjligt, motivera varför.
3. Vi ges A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}. Ange en relation R från A till B sådan
att 2Rc.
1
Vi kan såklart ta bort många - kanske alla - element. Frågan här är vilka som absolut
behöver tas bort.
4
4
Grafer (3+3+2=9p)
För godkänt på denna del krävs 6p.
1. Vi ges den oriktade grafen G = (V, E), V = {a, b, c, d, e, f, g, h} (Korr
150923), E = {{a, b}, {c, b}, {b, d}, {d, e}, {a, c}, {f, g}, {g, h}}
a) Rita upp grafen.
b) Komponenter. Markera i grafen vilka noder som tillhör samma komponent. Vad innebär det att två noder tillhör samma komponent?
c) Är grafen en skog? Varför/varför inte? Motivera kortfattat. Det ska
framgå att du förstått begreppet.
2. Vi ges den riktade, viktade grafen nedan:
b
5
s
10
c
7
15
2
3
1
e
8
t
5
3
d
Som vanligt står bågvikterna/kostnaderna som siffror ovanför respektive
bågar.
Använd Dijkstras algoritm för att hitta den kortaste/billigaste vägen från
s till t. Visa varje steg tydligt, med tabell/tabeller. Det ska gå att följa
hur du gjort beräkningen.
3. Vi ges en riktad graf där noderna är studenterna vid LiU, och det finns
en båge från student u till student v om u är yngre än (eller lika gammal
som) v. Är det rimligt att anta att grafen består av en komponent (i
bemärkelsen maximal strongly connected component, där vi tar hänsyn till
bågars riktning)? Varför/varför inte? Motivera kortfattat.
5