Tekniska högskolan i Linköping
Institutionen för Fysik och Mätteknik
Peter Münger med ändringar av Jonas Sjöqvist
Vintern 2013
SIMULERINGAR MED FINITA-ELEMENT-METODEN
inom
ELEKTROMAGNETISM
Innehållsförteckning.
Att komma igång med simuleringar. . .
Plattkondensator. . . . . . . . . . . . . .
Plattkondensator med olika material . .
Cylindrisk resistor. . . . . . . . . . . . .
Läckresistans. . . . . . . . . . . . . . . .
Appendix A: Kort guide till COMSOL
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Multiphysics.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Namn:
Personnummer:
Linje+Årskurs+Klass:
Uppgift nr Godkänd den Signatur
1
2
3
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
7
13
15
17
19
Liten introduktion.
Att komma igång med
simuleringarna.
Simuleringar av elektromagnetiska fenomen används i industrin eftersom det finns mycket att vinna på att slippa tillverka flera prototyper och genomföra mätningar. De flesta
problem låter sig inte lösas exakt utan numeriska metoder är absolut nödvändiga.
Oavsett metod går det i stort sett till som följer:
• Geometrin: rita objektet, bestäm i vilket område problemet ska lösas.
• Randvillkor: Bestämmer egenskaper på randen av objekten.
• Egenskaper i lösningsområdet: laddning, dielektricietskonstant, ledningsförmåga,
och så vidare.
• Dela upp lösningsområdet i mindre delar, ett rutnät eller på engelska: mesh.
• Låt ett program beräkna en lösning.
Då kan man ju fråga sig: “Ifall det finns program som löser det här, varför läser vi
då en hel kurs?”. Svaret är bland annat att programmen ger felaktiga resultat ifall de
inte används korrekt och därför måste användaren veta ungefär vilket resultat som är
att vänta.
Uppgifterna i den här laborationen gäller strukturer med oändlig längd i en riktning,
alltså 2D-lösningar. Anledningen till detta är att kompletta 3D-simuleringar tar lång tid
och kräver datorer med mycket primärminne vilket skulle göra att ni skulle tvingas slösa
bort tid på att vänta. Ni (eller snarare programmet) löser problemet i ett tvärsnitt av
en oändligt lång struktur. I många av uppgifterna efterfrågas också någon storhet per
längdenhet, där “längdenhet” alltså är vinkelrätt mot skärmen.
I den här laborationen används COMSOL Multiphysics som startas genom att i ett
terminalfönster skriva:
• module add comsol.
• comsol.
I den första rutan som kommer upp dubbelklickar du på COMSOL Multiphysicsmappen under fliken New och sedan på Electromagnetics mappen. Välj sedan antingen
Electrostatics eller Conductive Media DC beroende på vilken typ av problem som ska
lösas.
5
Uppgift 1
Plattkondensator.
Plattkondensator.
Introduktion
I den här uppgiften ska du bekanta dig med COMSOL Multiphysics genom att studera
en plattkondensator. Dess två plattor är parallella och har en oändlig utsträckning i
längdsriktningen. Plattornas bredd är större än avståndet mellan plattorna vilket i sin
tur är större än plattornas tjocklek. Fem olika fall ska undersökas:
1. Första geometrin
2. Första geometrin med två gånger förtätad mesh
3. Första geometrin med adaptiv mesh
4. Andra geometrin (större yttre rand) med adaptiv mesh
5. Andra geometrin med avrundade hörn och adaptiv mesh
Målet är dels att jämföra värdet på kapacitans per längdenhet som man kan räkna ut
från resultatet av simuleringen med det man kan räkna fram “för hand”, men i lika stor
grad att granska och undersöka lösningen. När COMSOL Multiphysics har startat, ladda
in geometrin för plattkondensatorn genom att öppna filen plattor1.mph. (File; Open;
Model under /edu/tflab. Förmodligen går det inte att klicka sig fram till rätt fil utan
man måste skriva in hela sökvägen /edu/tflab/plattor1.mph explicit.)
Första beräkningen
Geometrin
Efter att ha öppnat filen bör du nu se ett tvärsnitt av plattkondensatorn i form av två
rektanglar omgivna ett rosa område. Detta rosa område utgör lösningsområdet och är
där programmet kommer att räkna ut elektriska fält, potentialer, o.s.v. Lösningsområdet
är begränsat av en yttre rektangel som vi kommer att kalla yttre randen.
FRÅGA 1.1: Varför har vi denna yttre rand?
Randvillkor
Randvilkor måste nu specificeras på de två plattorna samt den yttre randen. Det är
möjligt att antingen ange potential eller laddning på respektive rand.
• Ange randvillkoren för plattorna så att potentialen är 1 V på hela den övre plattans
yta och −1 V på hela den undre plattans yta genom att välj Physics; Boundary
Settings. Det går att välja flera kanter samtidigt om man håller shift nere när
man klickar på dem eller genom att markera en ruta runt om med hjälp av musen.
Kom ihåg att klicka på Apply för varje randvillkor.
• På den yttre randen väljer du i stället ytladdningstäthet ρs =0.
7
Plattkondensator.
Uppgift 1
FRÅGA 1.2: Vad innebär villkoret ρs =0 för D och E-fälten vid den yttre randen?
FRÅGA 1.3: Vilken fysikalisk situation hade beskrivits om du valt villkoret att potentialen skulle vara 0 V på den yttre randen?
Beräkningsområdet
• Under Physics; Subdomain Settings väljer du egenskaperna i området där differentialekvationen löses. Relativa dielekticitetskonstanten, εr , (Relative permittivity (isotropic)) ska vara den för vakuum och volymladdningstätheten (Space
charge density) ska vara noll i lösningsområdet.
Lösningen
• Generera en initial mesh, Mesh; Initialize Mesh.
• Låt programmet beräkna en lösning av den partiella differentialekvationen, i detta fall Laplace ekvation i två dimensioner, för plattkondensatorn, Solve; Solve
Problem.
Kontroll av resultatet
Nu när vi har ett resultat måste vi bedöma om resultatet av den numeriska lösningen
är rimligt eller inte. Proceduren för att kontrollera lösningsresultatet är densamma
för alla simuleringarna och det gäller att kontrollera ifall de satta randvillkoren är
uppfyllda och att lösningen ser rimlig ut med avseende på potential och fältstorheternas
riktning och styrka. Under Postprocessing; Plot Parameters kan man välja mellan
ett flertal sätt att visualisera sina resultat - elfält i färg!
Börja med att kontrollera om randvillkoren för plattorna och den yttre randen har
uppfyllts.
• Plattornas potential:
För att undersöka om plattornas randvillkor är uppfyllda studerar du deras potential. (Postprocessing; Plot Parameters och sedan fliken Boundary.)
• Yttre randen:
Studera laddningen på yttre randen.
Gå sedan över till att studera själva lösningsområdet.
• Hur ser potentialen ut i lösningsområdet? Är det rimligt?
• Hur står det till med det elektriska fältets styrka och riktning?
Den elektriska fältstyrkan kan representeras med pilar vars längder är proportionella
mot fältstyrkan. (Arrow-fliken) Prova även att representera den elektriska fältstyrkan
med normaliserade i stället för proportionella pilar för att se fältets riktningen även där
det är svagt. Öka antalet pilar för att få en bättre bild.
8
Uppgift 1
Plattkondensator.
• Stämmer randvillkoren för fälten? Är riktningen och beloppet av den elektriska
fältstyrkan mellan plattorna den väntade?
Fortsätt genom att kontrollera den elektriska flödestätheten på samtliga ytor. Använd
både 2D och 3D surface plot, contour och line plot.
För att göra en mera kvantitativ kontroll ska du beräkna plattkondensatorns kapacitans per längdenhet och jämföra med resultatet från en beräkning där modellen med
“plattsymmetri” antas. För att räkna ut den fria ytladdningstätheten på metallytan används uttrycket ρs = n̂·D i programmet. För att integrera upp laddningen längs en rand
kan man göra på följande vis: Välj Postprocessing; Boundary Integration för att
få programmet att integrera upp ytladdingstätheten ρs på randen vilket ger resultatet
ρl . Många kanter kan markeras precis som vid valet av randvillkor. Resultatet visas i
textrutan längst ned till vänster i COMSOL Multiphysics fönstret.
• Ta reda på den totala laddningen per längdenhet på den övre plattan ρ`ö och den
undre ρ`u . För in värdena i resultattabellen i slutet på denna uppgift. Räkna även
ut plattkondensatorns totala laddning per längdenhet, ρ`ö + ρ`u och laddning per
längdenhet på den yttre randen, ρ`r . Vad förväntar du dig att dessa är?
• Räkna ut kapacitans per längdenhet, C` och för in i samma tabell.
Jämförelse med idealiserad modell
Det idealiserade sättet att räkna på en plattkondensator som beskrivs i läroböcker är en
approximation av den verkliga situationen för de elektriska fälten.
FRÅGA 1.4: Vilka approximationer görs i den idealiserade modellen och i vilka områden verkar dessa gälla?
FRÅGA 1.5: Vad är formeln för kapacitansen hos en idealiserad plattkondensator
fylld med vakuum där plattorna har längd l, bredd b och avstånd h?
Vad blir formeln för kapacitans per längdenhet?
• Räkna ut vilken kapacitans per längdenhet vår kondensator har enligt den idealiserade modellen och jämför med det värde du fick från den numeriska lösningen.
FRÅGA 1.6: Vad tror du att skillnaden mellan resultaten beror på?
I de exempel som följer ska du genomföra beräkningen med de modifieringar som
anges. Kontrollera resultaten och för in värden i tabellen som i den första beräkningen.
Andra beräkningen
Du ska nu undersöka hur mycket och på vilket sätt lösningen påverkas av den mesh vi
valt genom att göra meshen två steg tätare. (Mesh; Refine mesh två gånger.)
9
Plattkondensator.
Uppgift 1
Tredje beräkningen
I stället för att göra meshen ytterligare tätare ska du prova att låta programmet använda
en adaptiv mesh. Börja med att generera en ny initial mesh och gå sedan in under Solve;
Solver Parameters och klicka för Adaptive mesh refinement-rutan under rullmenyn
till vänster. Gå in under fliken Adaptive och sätt Residual method till Weak, Maximum
number of refinements till 5 och Maximum number of elements till 5000. Sätt igång
lösningen som vanligt. När lösningen är klar, välj Mesh; Mesh Mode och notera hur
meshen ser ut.
Mellanspel
Välj bort Adaptive solver och generera en ny initial mesh. Nu är det dags att göra en
lösning med både gles och tät mesh. Notera att plattornas kortsidor endast täcks in av
en triangel. Välj nu Mesh; Refine Selection (eller välj ikonen med en röd triangel i
mitten) och markera området runt om och inklusive de två vänstra kortsidorna. Det här
kan behöva upprepas en 2 – 3 gånger för att få meshen tät.
Låt programmet lösa problemet och studera hur D-fältet ser ut vid hörnen med hjälp
av en surface plot, gärna med D-fältet även som Height Data. Vad är det vi missar med
en gles mesh?
Fjärde beräkningen
Innan vi kan lita på lösningen måste vi, förutom meshens inverkan, även kontrollera
hur mycket den yttre rektangelns storlek påverkar resultatet. Gör denna kontroll genom
att öppna filen plattor2.mph som är samma geomentri så när som på att den yttre
randens kanter är dubbelt så långa. Randvillkoren och egenskaperna i området är redan
satta och det finns en inital mesh. Gör en adaptiv mesh på samma sätt som i beräkning
tre.
• Notera absolutvärdet av den högsta elektriska fältstyrkan som uppstår.
Ett tips är att använda Max/Min möjligheten under Plot Parameters. Det går
också att se min- och maxvärden på skalan till höger.
FRÅGA 1.7: Diskutera om det lönar sig att göra meshen finare och/eller att göra
den yttre rektangeln större om man vill beräkna plattkondensatorns
kapacitans per längdenhet noggrannare.
Femte beräkningen
Som du förhoppningsvis sett i tidigare beräkningar får man en laddningsansamling nära
plattornas hörn. Då vi även vet att ρs = n̂ · D vid metallytor och att D = ε0 εr E leder
detta till höga fältstyrkor vid hörnen, som du sett. Det här är inte ett fenomen som är
specifikt för detta problem utan det är ett generellt resultat av att ytladdningstätheten
är stor där ytans krökningsradie är liten. Denna effekt kan vara både av godo och av
ondo beroende på tillämpning. På flygplan till exempel sitter det ”pinnar” som sticker ut
och har en vass spets. När ett flygplan flyger genom ett åskmoln och laddas upp samlas
laddning vid spetsen så att det bildas en hög elektrisk fältstyrka där. När fältstyrkan
10
Uppgift 1
Plattkondensator.
uppgår till genomslagshållfasthetsstyrkan för luft får man en kontrollerad blixturladdning vid spetsen i stället för en okontrollerad urladdning vid landningen, som i värsta
fall skulle kunna leda till brand. Ett liknande exempel är att man i områden med mycket
åska har ”spröt” på taken som sticker upp för att man ska kunna styra var åskan slår
ner. Ytterligare ett exempel är i joniseringssteget i elektrostatiska filter där man vill ha
höga elektriska fältstyrkor för att jonisera smutspartiklar i luften som sedan avskiljs i
ett andra steg. Å andra sidan finns det tillämpningar där man absolut inte vill ha höga
fältstyrkor och riskera gnisturladdningar. I en kondensator till exempel vill man undvika
höga lokala fältstyrkor då de begränsar den maximala spänning som kondensatorn tål
innan genomslag sker och kondensatorns isolationslager förstörs.
FRÅGA 1.8: Hur ser E-fälten ut mellan åskmoln och åskledare strax innan ett
åsknedslag?
FRÅGA 1.9: Fundera över hur stor den elektriska fältstyrkan måste vara mellan moln
och åskledare för att man ska få genomslag i luften.
I den här beräkningen ska du sänka den maximala elektriska fältstyrkan, som uppstår i
plattkondensatorn för en bestämd pålagd spänning genom att runda av plattornas hörn.
Öppna filen plattor3.mph, där halvcirklar har lagts till på plattornas kortsidor. Randvillkoren är redan satta. Beräkna en lösning för den nya geometrin med Adaptive mesh
precis som i förra beräkningen.
FRÅGA 1.10: Hur är lösningen jämfört med resultaten från de rektangulära plattorna?
FRÅGA 1.11: Hur stor är den maximala elektriska fältstyrkan?
Simulering
ρ`ö
ρ`u
ρ`ö + ρ`u
11
C`
ρ`r
Uppgift 2
Plattkondensator med olika material
Plattkondensator med olika material
I den här uppgiften ska du studera en plattkondensator med samma geometri som i
föregående uppgiften. Denna gång är dock området mellan plattorna delat på mitten,
med ett material med relativ dielektricitetskostant εr1 = 4 till vänster och vakuum, det
vill säga εr2 = 1, till höger. Utanför plattorna är det fortfarande vakuum.
εr1
εr2
• Öppna filen plattor4.mph.
• Välj och specificera lämpliga randvillkor för att beräkna kapacitansen per längdenhet.
• Specificera laddningstätheten i hela lösningsområdet till noll samt sätt de olika
dielektricitetskonstanterna mellan och utanför plattorna.
• Generera en lämplig mesh och lös problemet.
FRÅGA 2.1: Hur ser potentialen ut?
FRÅGA 2.2: Hur ser den elektriska fältstyrkan ut?
FRÅGA 2.3: Hur ser den elektriska flödestätheten (Electric displacement) ut?
FRÅGA 2.4: Hur stor blir kondensatorns kapacitans per längdenhet, C` ?
• Räkna ut vilket effektivt εr,eff som kondensatorn skulle ha haft om dielektrikat
hade varit homogent.
FRÅGA 2.5: Hur tror du att formeln för kapacitansen per längdenhet ser ut för
kondensatorn med olika dielektrikum i de två halvorna?
Ett tips är att ta hjälp av εr,eff och hur formeln för kapacitans per längdenhet ser ut för
en oändligt lång plattkondensator med ett homogent dielektrikum i hela området mellan
plattorna.
13
Uppgift 3
Cylindrisk resistor.
Cylindrisk resistor.
I den här uppgiften ska vi studera ett motstånd som har formen av en halv cylindrisk
ring med innerradie a, ytterradie b och höjd h, se figur. Materialet i motståndet har
konduktiviteten σ. Du ska beräkna motståndets resistans, det vill säga resistansen från
ytan A till ytan B i figuren.
y
z
R̂
y
h
b
A
B
φ̂
a
x
A
x
B
För att lösa uppgiften med hjälp av COMSOL inför vi numeriska värden på a = 1 cm,
b = 2 cm, σ = 1 Ω−1 m−1 samt låter h → ∞ för att få ett tvådimensionellt problem.
• Börja med att välja Conductive Media DC.
• Öppna filen motstand1.mph.
• Specificera lämpliga randvillkor för att beräkna konduktansen per längdenhet, K`
för motståndet. K` =”strömmen genom motståndet per längdenhet”/”spänningen
över motståndet”. Glöm inte att sätta randvillkor på de cirkulära delarna.
• Specificera parametrarna för ledningsförmågan i materialet och se till att det inte
finns några strömkällor i materialet.
• Generera en lämplig mesh och lös problemet.
FRÅGA 3.1: Hur ser potentialen ut?
FRÅGA 3.2: Hur ser den elektriska fältstyrkan ut?
FRÅGA 3.3: Hur ser strömtätheten ut?
FRÅGA 3.4: Hur stor blir motståndets konduktans per längdenhet K` ?
FRÅGA 3.5: Om man skulle räkna analytiskt på denna uppgift skulle man göra
antagandet att strömmen bara går i tangentiell riktning, det vill säga
J = J · φ̂, och att J enbart beror av avståndet R till z-axeln. Verkar
detta vara ett rimligt antagande?
15
Uppgift 4
Läckresistans.
Läckresistans.
Här ska vi göra en simulering som motsvarar t.ex. uppgift 5:6 i Exempelsamling i
ELEKTROMAGNETISM Y och uppgift 5:8 i Elektromagnetism D. Två parallella ` =
100 m långa raka koppartrådar med radien a = 1,5 mm och det inbördes avståndet
d = 20 cm är nedsänkta i vatten med resistiviteten ρΩ = 5000 Ωm. Du ska beräkna
resistansen mellan trådarna?
• Börja med att anta att trådarna är oändligt långa för att räkna ut konduktansen
per längdenhet och räkna sedan ut vad det ger på längden l = 100 m. Öppna filen
motstand2.mph. Vad du ser är två små cirklar som representerar tvärsnittet av
de två ledarna, omgivna av en större låda.
• Sätt lämpliga randvillkor på ledarna och den yttre randen för att kunna räkna ut
resistansen.
FRÅGA 4.1: Hur stor blir konduktansen per längdenhet K` ?
FRÅGA 4.2: Hur stor blir konduktansen per 100 m K100 ?
FRÅGA 4.3: Hur stor blir resistansen mellan 100 m långa ledare R100 ?
Ps. Om trådarna är oändligt långa kan problemet lösas exakt analytiskt till exempel med
hjälp av en konform avbildning. ds.
17
Appendix A
Kort guide till COMSOL Multiphysics.
Kort guide till COMSOL
Multiphysics.
Detta är en ytterst kortfattad manual till det grafiska användargränssnittet comsol. Det
finns naturligtvis många fler val man kan göra, men nedan behandlas de mest relevanta
för att utföra laborationen.
Användargränssnittets huvudkomponenter är: menyer, dialogfönster samt en rad och
en kolumn med knappar, vilka kommer att beskrivas nedan.
Menyer
Användargränssnittet har en rad med rullgardinsmenyer som kontrollerar modelleringen.
Meny rader som avslutas med . leder till undermenyer, de som avslutas med . . . leder
till dialogfönster, övriga anger kommandon som utförs direkt. En del kommandon kan
även utföras som snabbkommandon direkt från tangentbordet.
Det finns även en rad och en, eller flera, kolumner med knappar för direkt tillgång till
de mest använda kommandona. En förklarande text visar sig då man för pekaren över
knappen.
• File; Open Öppna en fil.
• File; Save as Spara ditt arbete.
• Edit; (Copy, Paste, Undo, Redo etc)
• Options; Axes/grid settings Ändra axlar och deras indelning.
• Options; Labels För att slå på och av till exempel visningen av kantnummer.
• Draw; Draw Objects Skapa objekt genom att peka-dra-klicka.
• Draw; Specify Objects Skapa objekt genom att specifiera koordinater, radier, sidor
etc.
• Draw; Create Composite Object Skapar nya objekt av ingående rektanglar, cirklar
osv. Observera att de ingående objekten förstörs när man använder dem.
• Physics; Subdomain Settings Här väljer man egenskaperna i det område där differentialekvationen ska lösas såsom dielekricitetskonstant och rymdladdningstäthet.
• Physics; Boundary Settings För att specificera randvillkoren.
• Mesh; Initialize Mesh Genererar en initial mesh.
• Mesh; Refine Mesh Förtätning av meshen.
• Mesh; Refine Selection Förtäta mesh inom ett begränsat område.
19
Kort guide till COMSOL Multiphysics.
Appendix A
• Solve; Solve Problems Just det - ger lösningen.
• Solve; Solver Parameters Ger ytterligare kontroll över hur programmets lösare arbetar.
• Postprocessing; Plot Parameters Ger oss möjligheten att välja en mängd grafiska
representationer av vår lösning.
• Fliken General Gör att det går att välja vilka typer av plottar du vill se. Geometry
edges är bra att slå av då man vill se en Line plot, till exempel för att kontrollera
potential eller laddningstäthet på en rand.
• Postprocessing; Boundary Integration Ger oss t.ex. möjlighet att integrera laddningstätheten över randen: speciellt bra till kapacitans- och resistans-beräkningar.
Resultatet kommer i rutan längst ned till vänster i COMSOL Multiphysics fönstret
om Display result in log är valt. Låt Boundary Integration-fönstret vara öppet och
välj Boundary Mode om du vill kunna välja kanter genom att klicka. På så sätt
slipper man hålla reda på kanternas nummer.
• Multiphysics; Model Navigator Val av olika typer av beräkningar, differentialekvationer, i vårt fall Electrostatics eller Conductive media DC.
20