1. No category

LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska institutionen
EXAM TAMS 79 / TEN 1
24 augusti 2015, klockan 8.00-12.00
Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-602827)
Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistisk utgiven av
MAI och ett ytterligare formelblad (2 sidor).
(1) Variablerna X och Y har den simultana täthetsfunktionen
f (x, y) = k(x − y)
för alla (x, y) sådana att 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, annars f (x, y) = 0.
(a) Bestäm k. (1p)
(b) Beräkna den betingade täthetsfunktionen fY |X (y|x). (1p)
(c) Beräkna E[Y |X = x]. (1p)
(2) Nollor och ettor sänds i en brusig miljö. Sannolikheten att en nolla respektive
etta sänds är 0.4 respektive 0.6. Den mottagna signalen kan uppfattas som en
stokastisk variabel X som är N (0, 1) respektive N (1, 1) om noll respektive ett sänds.
Mottagaren använder regeln: om X < 0.20 anses en nolla ha sänts, annars har en
etta sänts.
(a) Beräkna sannolikheten att en nolla som sänds mottages som en nolla. (1p)
(b) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (2p)
(3) Antag att (X, Y ) är en tvådimensionell diskret stokastisk variabel med simultan
sannolikhetsfunktion given av P (X = x, Y = y) = c(x+y) där x ∈ {0, 1}, y ∈ {0, 1}
och c är en konstant.
(a) Beräkna P (X + Y = 1). (1p)
(b) Bestäm de marginella sannolikhetsfunktionerna för X och Y och beräkna E[X],
E[X 2 ], E[Y ] och E[Y 2 ]. (1p)
(c) Beräkna varianserna V ar(X) och V ar(Y ). (1p)
(4) Man tror att en supernova exploderar genomsnittligt en gång/300 år. Anta att
explosionerna bildar en Poissonprocess. Beräkna sannolikheten att
(a) det exploderar minst två supernovor under en viss 60 års tidsperiod. (1.5p)
(b) det exploderar inga supernovor under en viss 450 års tidsperiod. (1.5p)
(5) Vid ett tärningsspel får man flytta en löpare det antal steg, som tärningen visar,
utom då den visar 1, då får man flytta sex steg. Beräkna väntevärdet av det antal
steg man får flytta. (3p)
(6) Till en busshållplats anländer bussar med 10 minuters intervall. Vi tänker oss att
den tid bussen står still vid hållplatsen är försumbar. En man som inte har tillgång
till bussarnas tidtabell anländer slumpmässigt till hållplatsen. Hans väntetid kan
anses vara en stokastisk variabel X.
(a) Vilka värden kan X anta? (1p)
(b) Skriv ner täthetsfunktionen för X och beräkna P (3.5 < X ≤ 7). (1p)
(c) Bestäm fördelningsfunktionen för X och rita upp den. (1p)
Ledning: X kan anses vara likformigt fördelat.
Lösningar
(1) (a) Vi har att
Z 1Z
x
Z
1
k(x − y) dy dx =
0
0
0
x
Z 1 2
(x − y)2
x
k
k −
dx = .
dx = k
2
6
0 2
0
Så k = 6.
(b) Vi kan utläsa ur räkningen ovan att
fX (x) =
kx2
= 3x2 .
2
Därför blir
fY |X (y|x) =
2(x − y)
.
x2
(c) Vi får att
Z
2 x
y(x − y) dy
E[Y |X = x] =
yfY |X (y|x) dy = 2
x 0
0
x
2 x3
x
2 xy 2 y 3
= 2
−
= .
= 2
x
2
3 0
x 6
3
Z
x
(2) (a) Om noll sänds så är X ∼ N (0, 1) och sökt sannolikhet blir P (X < 0.2) =
Φ(0.2) = 0.58.
(b) Inför S0 = “nolla sänds”, S1 = “etta sänds”, M0 = “nolla mottages”. Med
Bayes’ formel erhålls den sökta sannolikheten:
P (S0 )P (M0 |S0 )
P (S0 ) · P (M0 |S0 ) + P (S1 ) · P (M0 |S1 )
0.4 · 0.58
=
0.4 · 0.58 + 0.6 · Φ(−0.8)
P (S0 |M0 ) =
= 0.65 .
(3) (a) Det första steget är att bestämma konstanten c
1=
1 X
1
X
x=0 y=0
P (X = x, Y = y) = c
1 X
1
X
(x + y) = 4c
x=0 y=0
Alltså c = 41 . Sannolikheten P (X + Y = 1) ges av
P (X + Y = 1) = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) =
1
.
2
(b)
1
,
4
1
P (Y = 0) = ,
4
P (X = 0) =
3
,
4
3
P (Y = 1) = ,
4
P (X = 1) =
3
.
4
3
E[Y ] = E[Y 2 ] = .
4
E[X] = E[X 2 ] =
(c)
3
V ar(X) = E[X ] − (E[X]) = −
4
2
2
2
3
3
=
.
4
16
På samma sätt,
V ar(Y ) =
3
.
16
(4) Låt N (t), t ≥ 0, vara antalet explosioner i (0, t). Då är N (t), t ≥ 0, en Poissonprocess med intensitet λ = 1 (enheten 300 år).
(a)
1
1
1
P N
≥2 =1−P N
=0 −P N
=1
5
5
5
1
1
1
= 1 − e− 5 − · e− 5 = 0.0175 .
5
(b)
3
3
P N
= 0 = e− 2 = 0.223 .
2
(5) Se lösningar till lektionsuppgifter, 5.2.
http://courses.mai.liu.se/GU/TAMS15/Dokument/blomsvar.pdf
(6) Se lösningar till lektionsuppgifter, 3.12.