laborativ matematik
Malmö högskola Lärarutbildningen MaNO 1-7 Examensarbete 10 poäng Laborativ matematik Working with Mathematics through open-ended questions from everyday situations and student cooperation. Magnus Redenfors Lärarexamen 140 poäng Handledare: Bo Sjöström Matematik och lärande Höstterminen 2005 Examinator: Johan Nelson Sammanfattning Syftet med mitt arbete är att undersöka lärares och elevers syn på laborativ matematik samt hur stämningen i klassrummen förändras vid dess nyttjande. Genom personliga intervjuer och observationer av lärare och elever besvarar jag mina frågeställningar. De elever jag har intervjuat som är vana vid laborativ matematik har en betydligt mera positiv syn på ämnet matematik och tycker i högre grad att ämnet är stimulerande än elever som är präglade av den gängse traditionella undervisningen. Dessa elever är inte rädda för att svara fel på lärarens frågor och har lättare för att se matematik i vardagen. De är präglade av en matematikundervisning som grundar sig på samarbete, diskussion och kritisk granskning snarare än enskild mekanisk räkning av tillrättalagda klassrumsproblem. Nyckelord: matematik, laborativ, experimenterande, synsätt, matematikundervisning Innehållsförteckning 1. INLEDNING 5 2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. 3.TEORETISK BAKGRUND FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. 3.1 Konstruktivismen Fel! Bokmärket är inte definierat. 3.2 Vad är laborativt arbetssätt Fel! Bokmärket är inte definierat. 3.3 Traditionell matematikundervisning Fel! Bokmärket är inte definierat. 3.4 Laborativ matematik i skolan Fel! Bokmärket är inte definierat. 4 METOD FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. 4.1 Urval Fel! Bokmärket är inte definierat. 4.2 Undersökningsmetoder Fel! Bokmärket är inte definierat. 4.3 Tillvägagångssätt Bokmärket är inte definierat. 3 Fel! 5 RESULTAT FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. 5.1 Intervjuer av lärare 19 5.2 Intervjuer av elever Fel! Bokmärket är inte definierat. 6 DISKUSSION 24 6.1 Hur ser lärare/elever på användande av laborativ matematik? 26 6.2 Hur påverkas stämningen i elevgruppen av laborativ matematik? Fel! Bokmärket är inte definierat. 6.3 Slutsatser Fel! Bokmärket är inte definierat. 7 AVSLUTNING 31 8 REFERENSER FEL! BOKMÄRKET ÄR INTE DEFINIERAT. 4 1. Inledning Matematiken har inte för inte kallats för det universella språket. Matematik är effektivitet och elegans på en och samma gång, det är en viktig del av vår kultur som sätter sin prägel på vår konst, arkitektur och vetenskap och det är på många sätt ett alldeles nytt sätt att kommunicera. Vare sig om det är via ettor och nollor som går genom optiska fibrer nedgrävda i marken från hus till hus, eller primtal som skickas ut i rymden via elektromagnetisk strålning för att få kontakt med eventuella utomjordingar, så finns det ett underliggande budskap som mottagaren kan uppfatta, tolka och göra någonting av. Förmåga att kunna kommunicera via matematik på detta vis är i dagens samhälle den mest efterfrågade kompetensen på arbetsmarknaden. Såväl samhälle som yrkesliv söker med ljus och lykta efter fler naturvetare och tekniker som ska ta över och leda samhällsutvecklingen i det nya årtusendet. Med detta i åtanke är det inte konstigt att matematikämnet av idag intar en närmast ”helig” plats på schemat i flertalet skolor. Med gravallvarlig mekanisk drillning lotsas nya kullar av elever in i matematikens värld. De lär sig addera och 5 subtrahera genom att flytta siffror upp och ner och lösa tillrättalagda problem från boken, men är det så enkelt att tillägna sig matematiska kunskaper? Under min första termin på lärarutbildningen fick jag bekanta mig med den laborativa skolan i matematiken. Det är ett arbetssätt som radikalt skiljer sig från den gängse mekaniska drillningen jag själv blivit utsatt för under mina år i grundskolan. I den laborativa skolan så uppmuntras eleverna att vara kreativa, att använda alla sina sinnen i problemlösningen, att experimentera, observera och resonera sig fram till rimliga svar. Det är ett mycket aktivt arbetssätt där man lägger stor vikt vid att eleverna undersöker sin omvärld och bearbetar det de upptäcker och slutligen omformulerar det till det matematiska symbolspråket. Jag definierar ett laborativt arbetssätt i matematik med att man vardagsanknyter problemlösningen för eleverna, genom vardagsnära, konkreta frågeställningar i elevernas närhet strävar pedagogen efter att få eleverna till att omkoda variablerna till det matematiska symbolspråket. 2. Syfte och frågeställningar Syftet med min undersökning är att undersöka lärares och elevers syn på detta konstruktivistiskt inspirerade arbetssätt i matematikundervisningen. Jag vill ta reda på om laborativ matematik kan göra matematikundervisningen mer stimulerande, utmanande och kanske t.o.m. lustfylld. Jag vill även undersöka hur stämningen i klassrummet kan förbättras genom användandet av laborativ matematik. Kan man få ett öppnare och tolerantare klassrumsklimat genom att använda sig av laborativ matematik? Genom studier av litteratur i ämnet, metodisk litteratur såväl som vetenskapliga rapporter följer jag upp mitt syfte. Jag ställde upp följande två problemställningar som jag vill besvara efter mina undersökningar, (se slutsatser sida 24) Hur ser lärare/elever på användande av laborativ matematik? Hur påverkas stämningen i elevgruppen av laborativ matematik? 6 3 Teoretisk bakgrund Laborativ matematik innebär en mycket aktiv matematikundervisning där eleven har ett stort ansvar i lärandeprocessen. Välkända förespråkare av aktivt lärande är de s.k. konstruktivisterna (Wyndhamn m.fl. 2000). I Sverige har vi kända förespråkare av laborativ matematik i Gudrun Malmer och Jan Wyndhamn. 3.1 Konstruktivismen I en konstruktivistisk kunskapsteori ses kunskap som något människan konstruerar utifrån sina erfarenheter. Här talar man mer om lärande och kunskapande istället för inlärning. 7 Genom att arbeta konstruktivistiskt ges eleven större ansvar och delaktighet i inlärningsprocessen, kunskap konstrueras av den lärande själv i en aktiv och skapande process. (Ernest, 1998) Handling Erfarenhet Reflektion Lärande Kunskap Figur 1. Kunskap är något människan konstruerar utifrån erfarenheter. Dewey, Vygotsky, Piaget och Bruner är fyra pedagoger som har bidragit med teorier till konstruktivismen. Alla fyra teoretikerna ser lärandet som en aktiv process i vilken mening skapas av erfarenheter (Wyndhamn m.fl. 2000). Piaget menar att kunskap växer fram genom barnets manipulerande av objekt och upptäckandet av relationerna däremellan. Piaget har format en konstruktivistiskt grundsats där han säger att när barnet kommer i fysisk kontakt med omvärlden, känner på objekt, kombinerar dem och ser vad som händer, då upptäcker barnet hur världen fungerar. Piaget förespråkar en aktivitetspedagogik, där barnets egen aktivitet, dess egna observationer och slutsatser leder till att upptäcka och utveckla nya former av förståelse (Imsen 1992). Dewey förespråkar ämnesmässig integrering eftersom elevernas världsbild inte är ämnesindelad. Dewey står bakom orden ”Learning by doing”. Dewey tycker det är viktigt att utgå från elevernas egen erfarenhet. Han menar att det är endast utvecklingsnivån som skiljer barnets tänkande från forskarens tänkande. Läraren har som huvuduppgift att organisera mötet mellan de olika kunskapsnivåerna (Hartman, 1995). 8 En av Vygotskys huvudpunkter är att all intellektuell utveckling och allt tänkande tar sin utgångspunkt i social aktivitet. Det individuella, självständiga tänkandet är ett resultat av social verksamhet. Först kommer det sociala därefter det individuella. Den intellektuella utvecklingen har, enligt Vygotsky, sin upprinnelse i språk som ett socialt fenomen (Imsen 1992) Bruners syn på undervisning och inlärning präglas av hans utvecklingspsykologiska intresse. Bruner lägger stor vikt vid miljön runtom eleven. Om denna miljö präglas av fantasi och kreativitet så lär sig eleverna bättre. Om man tex spelar ett spel som Monopol, så lär man sig samtidigt mycket matematik och även social samvaro. Detta lär man sig utan att ständigt vara medveten om att man lär sig, vilket ger en lustfylld utvecklingsmiljö där eleven tillåts lära sig i sin egen takt (Pedagogiskt uppslagsverk, 1996). 3.2 Vad är laborativt arbetssätt Att arbeta laborativt innebär att man verklighetsanknyter undervisningen. Man utgår från en konkret situation och överför den till det matematiska symbolspråket. Det laborativa arbetssättet blir en länk mellan den konkreta verkligheten och det abstrakta symbolspråket. Gudrun Malmer (1990) har gjort en skiss som beskriver interaktionen mellan verkligheten och matematikundervisningen i skolan. Här kommer det laborativa arbetssättet in i undervisningen. Verklighet 9 Perception Verklighet Konkret Undersökande Begrepp Situation Laborerande Färdigheter Muntlig Språklig Matematisk Form kompetens modell Text ”Översätta” Symbolspråk Figur 2. Laborativ matematik enligt Gudrun Malmer. Konkreta problem bearbetas och omkodas till ett matematiskt symbolspråk. Man utgår från ett konkret problem som skildras muntligt eller skriftligt. Problemet ska sedan bearbetas av eleven. På vilken nivå som bearbetningen kommer att ligga beror på elevernas förmåga att omkoda verkligheten till ett matematiskt symbolspråk vilket i sin tur är beroende av vilka begrepp och tankestrukturer de förfogar över (Malmer, 1990). 3.3 Traditionell matematikundervisning Matematikundervisningen som den ser ut idag präglas av en utformning som ligger fast sedan många år tillbaka. En nationell utvärdering som skolverket har gjort (Skolverket 1992) visar att elevers enskilda arbete i läroboken dominerar undervisningen. Enligt Gran (1998) så pågår mekanisk drillning i de flesta klassrum. Metoden kallas ofta traditionell och anses vara mekanisk, eftersom ingen djupare insikt i räknemetodernas användning krävs. 10 Madsén (1997) hävdar att i skolan stöter eleverna på mängder av tillrättalagda problem av alla de sorter. Ofta är det slutna frågor och variablerna anges prydligt i boken. Eleverna vet, genom mycket styrda genomgångar och noggrant tillrättalagda problem hämtade ur boken, precis hur de ska attackera problemen och för det stora flertalet går det utan problem. Men när eleverna kommer ut i verkligheten så möts de inte längre av några färdigformulerade problem. Nu måste de på egen hand värdera situationen, uppskatta antal/mått/vikt och sedan besluta hur de ska agera utifrån dessa mätningar och observationer. Nu måste de använda sina färdigheter. Men om det inte går, till vilken nytta bedrivs i så fall matematikundervisningen? Om eleverna inte känner att de drar nytta av sina färdigheter så lär vi som lärare dem, istället för matematik, att de är ”dumma” i matematik. (Madsén,1997) Att elever kan bli ”dumma” av matematik belystes tydligt i ett experiment av Roger Säljö och Jan Wyndhamn. De bad högstadieelever bedöma hur ett brev skulle frankeras. Hälften av eleverna fick problemet av en matematiklärare under en matematiklektion, den andra hälften av SO-lärare under en SO-lektion. Nästan 50% fler gav ett korrekt svar när det inte var matematiklektion. Ahlberg (1995) säger att det finns en djup klyfta mellan barnens och skolans matematik. Skolans matematik som är uppbyggd på skriftliga symboler, räkneprocedurer och abstrakt tänkande kan te sig skrämmande för många elever. Idén om att man lär sig matematik genom idogt arbetande med att lösa tillrättalagda uppgifter i läroboken ligger fortfarande fast. Redan i de mellersta skolåren 4-6 stöter eleverna på sidor i läroboken som är sprängfyllda med uppgifter, uppifrån och ner. Uppgifter som är redo att rent mekaniskt ställas upp, räknas ut och svaras på. Att sådana sidor med ens dämpar entusiasmen hos den mest matematikälskande eleven ter sig rätt självklart. Enligt Dahl (1997) så tråkar drillandet ut eleverna. 11 Enligt Runesson (1997) är matematik i många elevers ögon skolans viktigaste ämne, men bara en mindre andel av samma elever tycker även att det är ett stimulerande ämne. Eleverna upplever tidigt hur dåliga matematiska kunskaper begränsar möjligheterna att söka gymnasie- och högskole-program allt medan goda kunskaper i matematik leder till oanade möjligheter för individen när det gäller att välja framtida utbildningsvägar. Därigenom blir matematiken ett stressrelaterat ämne som eleven måste behärska eller i värsta fall kanske tänka om vad gäller sitt framtida yrkesval. Även Emanuelsson & Johansson (1997) hävdar att den enskilde elevens upplevelser av framgång och misslyckanden i skolan avgörs i icke ringa grad av vad som händer i ämnet matematik. I få ämnen och prestationssammanhang ses rangordningen av individerna och uppdelningen av resultaten i bättre och sämre, högre och lägre, som mer självklara än i matematik. Den enskilde individen påverkas starkt av hans eller hennes upplevelser av matematik-undervisningen och matematikstudier i dagens skola. Att vara eller inte vara framgångsrik i matematiskt tänkande förknippas alltså ofta med elevens personliga egenskaper. Att vara duktig i matematik blir liktydigt med att eleven är intelligent och klartänkt i generell bemärkelse och vice versa. Matematiken har alltså en mycket stark ställning bland skolans ämnen. 3.4 Laborativ matematik i skolan Den mest välkända förespråkaren av ett laborativt arbetssätt i Sverige är Gudrun Malmer. Hon vill att man i skolan skall ha ett laborativt arbetssätt på alla stadier och att arbetssättet måste få ta den tid det tar för att kunskapen skall bli elevernas egen (Malmer, 1982). Genom att arbeta laborativt i matematiken konkretiserar man problemen för eleverna och får dem att tänka matematiskt på deras egen specifika nivå. Detta kan man göra för alla elever i alla åldrar enligt Runesson (1997). Detta kan till en början medföra att det blir en något orolig klassrumsmiljö. Men i takt med att eleverna börjar behärska att samarbeta i 12 grupper, lär sig att ställa frågor och själva finna svaren samt kritiskt granska och diskutera andras såväl som de egna resultaten, så kommer miljön i klassrummet att bli mera dynamisk. Unenge m.fl. (1993) menar i boken ”Lära matematik” att miniräknare och datorer kan ta över räknandet inom den grundläggande aritmetiken. Nyttan med att helt mekaniskt ställa upp likadana tal efter varandra kan ifrågasättas, ändå är det verkligheten för majoriteten av dagens grundskoleelever i Sverige. Istället för att ensidigt rikta vår uppmärksamhet mot elevernas ytliga räknande av tillrättalagda problem måste pedagoger sträva mot att ge eleverna djupare matematiska kunskaper så att de senare själva kan använda sig av sina matematiska färdigheter. Genom att vardagsanknyta skolmatematiken visar vi eleverna relevensen med att lära sig matematik och genom öppna frågor och problem som tillåter olika tolkningar tvingas eleven att variera sina uttryckssätt och därigenom tänka mer matematiskt. Matematik är mer än att bolla med siffror fram och tillbaka. När problemen dessutom hämtas ur elevens egen närmiljö så finns hela tiden en mening med räknandet. Eleverna ser nyttan av att behärska olika räknesätt (Runesson 1997). Genom att låta eleverna jobba laborativt i grupper får man dem att tala matematik. De utvecklar sitt kreativa och flexibla tänkande. De lär sig av varandra och de lär sig att samarbeta och att inta och underbygga samt underminera olika ståndpunkter. Färdigheter som är väl så efterfrågade av framtida arbetsgivare. Har man en god matematisk baskunskap i sitt kunnande så kan man som vuxen medborgare i ett fritt och demokratiskt samhälle fatta välgrundade beslut och aktivt ta ställning i vardags- och samhällsliv. För detta krävs en förmåga att hantera och behandla stora och små tal och olika storheters rimlighet, samt att kunna argumentera och även kritiskt granska en argumentation (Lindahl 1999). 13 I grundskolans kursplan för matematik (Skolverket 2000) står det så här: ”För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever som är i behov av särskilda utmaningar.” Detta kan även avläsas i den nya läroplanens formulering: ”Ett av de viktigaste syftena med undervisningen i matematik är att utveckla elevernas problemlösningsförmåga. Undervisningen skall utformas så att eleverna utvecklar sin tilltro till det egna tänkandet samt till den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer (Skolverket, 1994). 4 Metod Jag ville undersöka hur lärare och elever ser på användandet av laborativ matematik samt hur stämningen i elevgruppen påverkas när den arbetar laborativt. Då det laborativa arbetssättet inte är så vanligt förekommande i den svenska grundskolan (Skolverket, 1992) ställde jag intervjufrågor som tydligt visar hur de aktuella lärarna bedriver sin undervisning i matematik. Eftersom det laborativa arbetssättet ger stor frihet åt eleven till skillnad från mer traditionell eller rent av mekanisk undervisningsteknik så ville jag först klassificera pedagogens arbetssätt och därefter undersöka pedagogens elevers attityder till ämnet matematik. På så vis hoppades jag kunna besvara min frågeställning nummer ett och även få en inblick i frågeställning nummer två, eftersom stämningen i elevgruppen är intimt förknippad med elevernas attityder till det aktuella ämnet i klassrummet. Genom att jämföra pedagoger och elever från de olika skolorna hoppades jag därefter få ett mer 14 heltäckande svar till min frågeställning nummer två. Ett friare arbetssätt borde rimligtvis ge en mer avspänd attityd till ämnet matematik. Jag ville nu undersöka om mitt antagande stämde. För att få svar på mina frågeställningar så valde jag att använda mig av kvalitativa intervjuer av lärare och elever. Anledningen till att jag valde att göra kvalitativa intervjuer för att besvara mina frågeställningar var att jag kände att djupgående intervjuer av ett fåtal behöriga lärare med många års erfarenhet av undervisning i matematik skulle räcka för att ge mig en utförlig bild av hur laborativ matematik tas emot av lärare och elever. Med intervjuer kunde jag dessutom se till att få heltäckande svar från de personer som jag intervjuade genom att följa upp oväntade svar med följdfrågor. Detta tyckte jag skulle ge mig kvalitet framför kvantitet. 4.1 Urval I min undersökning har jag intervjuat sju grundskollärare. Lärarna jag har intervjuat delar jag in i tre olika skolor. De som strävar mot att arbeta laborativt, Karin och Malin. De som jobbar traditionellt med mycket läroboksstyrd undervisning men med vissa laborativa inslag, Per och Ola. Samt de som har den mekaniska drillningen som ledstjärna där läroboken och läraren dominerar undervisningen från början till slut, de Indiska lärarna. Min tanke är sedan att jämföra resultaten från de olika skolorna. Dessutom har jag intervjuat 6-10 elever från varje lärares klass. Jag var mycket selektiv när jag valde ut mina intervjupersoner (åtminstone i Sverige). Per är en bekant till mig som har arbetat som lärare i många år. Han har haft många tuffa klasser men lyckas alltid se saken från den ljusa sidan. Hans kollega Ola är något yngre men fick varma rekommendationer från Per. Malin var min praktikhandledare när jag gick på lärarhögskolan och det var hon som på allvar visade mig vägen in till den laborativa matematiken. Karin visste jag inget om i förväg annat än att hon hade jobbat på Montessori i flera år. Hon visade sig dock vara en mycket engagerad personlighet som tog sin uppgift på stort allvar. De indiska lärarna var samtliga behöriga matematiklärare som undervisade i åren 6-10 år. Enligt min tolk samt några äldre Indiska studenter jag träffade i byn representerade de mycket väl den Indiska lärarkåren. 15 Två av lärarna är mycket entusiastiska till nytänkande inom matematikundervisningen och gillar att arbeta laborativt med eleverna. De använder sig sparsamt av matteböcker och låter istället eleverna arbeta i grupper med vardagsanknuten problemlösning. Jag kallar de nytänkande lärarna för Karin och Malin. Karin jobbar på en Montessoriskola där eleverna är åldersblandade i åren 4-5. Eleverna har här en väldigt fri roll med mycket eget ansvar. Eleverna rör sig fritt mellan ämnena och materialen i klassrummen. Detta är en väldigt kreativ inlärningsmiljö. (Hallerström, 1997) Malin var min praktikhandledare under utbildningen. Hon är mycket duktig på laborativ matematik och var den som verkligen fick mig att bli intresserad av laborativ matematik. Malin jobbar på en kommunal grundskola i Malmö. Hon är klassföreståndare för en fjärdeklass. Karins och Malins pedagogik i klassrummen är mycket snarlika. Två av lärarna håller fast vid den traditionella undervisningsmetoden. De använder sig båda flitigt av matteböcker men försöker ibland att ge eleverna tillfällen att experimentera, undersöka och att jobba i grupper. Jag kallar de traditionella lärarna för Per och Ola. Både Per och Ola jobbar på kommunala skolor i Malmö. De var klassföreståndare för en tredjeklass respektive en sjätteklass. Deras undervisningsstilar är väldigt lika varandra och deras elevunderlag på skolan påminner om Karins och Malins. Under min sjunde termin på lärarhögskolan valde jag kursen ”Möte med U-land”. Under den kursen åkte vi till Indien och stannade där i en månad. Under min vistelse där intervjuade jag tre Indiska grundskollärare. Intervjuerna från Indien är intressanta i sammanhanget eftersom där är den mekaniska undervisningsmetoden driven till sin spets. Med mekanisk undervisning menar jag att läraren är en absolut auktoritär i klassrummet vars ord aldrig ifrågasätts av eleverna. Eleverna i sin tur räknar mycket svåra matematiska tal med hjälp av mycket styrning i sitt tänkande, de flyttar sina siffror upp och ner och räknar tal efter tal som är mycket lika varandra i struktur men som skiljer sig obetydligt matematiskt från varandra. Genom att repetera tal efter tal lär sig eleverna till slut helt mekaniskt hur de ska lösa uppgifterna. Jag refererar till de indiska lärarna endast som de 16 mekaniska indiska lärarna eftersom jag intervjuade dem samtidigt och de resonerade sig fram till gemensamma svar. 4.2 Undersökningsmetoder Jag valde att använda mig av kvalitativa intervjuer. Lärarna intervjuades enskilt medan jag intervjuade eleverna parvis. Genom att intervjua eleverna parvis hann jag med fler och kunde även ta del av deras tankar då de tillsammans fick resonera sig fram till sina svar. Precis som Johansson och Svedner (2001) menar innebär en kvalitativ intervju att endast frågeområdena är bestämda. Frågorna kan variera från intervju till intervju, beroende på hur den intervjuade svarar och hur uttömmande svaret är. Frågorna måste anpassas till den intervjuade så att han/hon ges möjlighet att ta upp allt de önskar. De frågeområden jag valde som utgångspunkt för intervjuerna var: Lärarfrågor: Kan du beskriva en typisk mattelektion? Hur och hur ofta använder ni er av laborativ matematik i lärandeprocessen? När och hur ofta jobbar eleverna i grupper? När och hur ofta arbetar ni med konkreta problem hämtade från elevernas vardag? Vad tycker du som lärare om att jobba laborativt? Varför väljer du att arbeta laborativt? Varför väljer du inte att arbeta laborativt? Vad tycker eleverna om att jobba med laborativ matematik? Skulle de uppskatta det om det fanns tid och resurser att tillgå? 17 Elevfrågor: Vad tycker du om ämnet matematik? Hur vet man att man är duktig i matematik? Varför måste man lära sig matematik? Vad tycker du om att arbeta laborativt? 4.3 Tillvägagångssätt Intervjuerna gjordes under höstterminen 2000. Jag ringde till Montessoriskolan, min praktikhandledare samt till min bekant Per (han kontaktade sedan sin kollega Ola). Det var inga problem att boka tid för intervjuer. Jag träffade lärarna på skolorna i klassrummen efter att eleverna gått hem. Några dagar senare återkom jag för elevintervjuerna. Lärarna hade då delat ut de lappar där jag bad om föräldrarnas tillstånd att få intervjua deras barn. Lärarna hjälpte mig sedan att välja ut ett jämnt antal ”genomsnittliga” barn. Intervjuerna skedde i ett närliggande grupprum till klassrummet. Intervjuerna i Indien var svårare att förbereda. Eftersom vi bodde ute på landsbygden och det fanns helt enkelt ingen telefon. I sällskap med min tolk cyklade jag 4 km till byskolan för att presentera mig och mitt ärende. Vid mitt besök på byskolan så passade jag även på att observera de indiska lärarna när de undervisade. Skillnaden mot vår svenska skola var slående. Där var dubbelt så många elever/klass och läraren pratade oavbrutet hela tiden. Jag såg inte en enda elev räcka upp handen eller ens tilltala läraren under de tre lektioner jag observerade. Här var det verkligen frågan om mekanisk undervisning. Eleverna lyssnade på läraren och satt sedan och räknade tal efter tal. Tal som var väl tillrättalagda och redo att helt mekaniskt ställas upp och räknas ut. Lärarna som arbetade med klasserna i åldrarna 6-7 respektive 8-10 år var dock mycket gästvänliga och tillmötesgående privat och ställde 18 gärna upp på en gruppintervju. Två av lärarna jag intervjuade arbetade som matematiklärare på skolan, men alla tre var behöriga matematiklärare. Jag intervjuade alltså tre stycken på en och samma gång. Vi satt på ett staket utanför byskolan. Det var inte det mest idealiska stället men vi fick i alla fall vara ostörda. Eleverna i Indien fick jag hälsa på i deras hem. Deras lärare ville inte att jag skulle störa eleverna i skolan. Vid intervjutillfällena antecknade jag allt relevant som sades. Därefter började analysarbetet. Jag markerade utsagor och svar och jag presenterar deras åsikter och svar i mitt resultat. 5 Resultat 5.1 Intervjuer av lärare Kan du beskriva en typisk mattelektion? Lärarrepresentanterna från den laborativa skolan såväl som den traditionella och den mekaniska indiska skolan berättade samtliga att de brukar inleda sina mattelektioner med en gemensam genomgång. Därefter gick dock likheterna isär. Karin berättade att på Montessori brukar eleverna därefter få ett litet test. Klarade man inte testet så fick man räkna enkla repeterande uppgifter i läroboken, men annars fick man experimentera och laborera fritt med svårare uppgifter. Karin finns där mer som en handledare när eleverna utforskar och experimenterar. Malin satte upp ett mål i matteboken för varje lektion. De starka eleverna uppnådde målet på halva lektionstiden och kunde därefter jobba med kluringar, logix, puzzel, spela spel mot varandra eller hitta på egna mattefrågor. Under 19 tiden som Malins 12 starka elever laborerade så hjälpte hon de fyra svaga eleverna att jobba ikapp de starka eleverna. När dessa i sin tur blev klara i boken så kunde även de laborera men de fick betydligt mindre tid över till laborerande. Per och Ola lät eleverna arbeta vidare enskilt i sina matteböcker. Under tiden gick de runt och hjälpte de som räckte upp handen. De uppskattade att så mycket som 80% av tiden gick åt till enskilt räknande. De mekaniska indiska lärarna svarade unisont att de håller föreläsningar för eleverna. Även de mycket unga eleverna som precis har börjat skolan. 99% procent av tiden pratar läraren på lektionen. Hur och hur ofta använder ni er av laborativ matematik i lärandeprocessen? Karin och Malin diskuterar nästan varje lektion matematiska problem hämtade från vardagen med eleverna t.ex . Hur kan man ta reda på hur mycket papper det är på en toalettrulle? Hur kan man dela upp kottar så att de blir lättare att räkna? De ger även eleverna kluringar som de ska lösa med hjälp av praktiska konstruktioner. Det kan t.ex. vara att bygga en kub av tidningspapper som är en kubikmeter stor. Gemensamt för uppgifterna de ger till eleverna är att de är väldigt öppna frågor. Det finns inte bara ett rätt svar. Vidare kan eleverna handgripligen själva ta reda på de rätta svaren. Karin och Malin uppmuntrar båda eleverna att jobba i grupper så mycket som möjligt. Eleverna är nu väl inkörda i att jobba tillsammans och det slutar ofta med ett gott resultat. Per och Ola svarade att de mycket sällan låter eleverna jobba i grupper på matematiken. Både Ola och Per diskuterar mycket matematiska problem med eleverna men nästan alltid är det tillrättalagda problem hämtade ur boken. De mekaniska indiska lärarna diskuterar knappt alls med eleverna. Deras elever ifrågasätter inte alls det som läraren säger men som de själva uttryckte det ”sometimes you have to tell them twice!”. De små barnen hade vid enstaka tillfällen något som kallades joyful learning. 20 De fick då dansa runt och sjunga olika ramsor. När jag var där lärde de sig siffrorna genom att sjunga om djur. ”One hippo, two rhinos, three crocodiles”. Vad tycker du som lärare om att jobba laborativt? Både Karin och Malin är väldigt engagerade lärare som tycker om att variera sin undervisning. När de har möjlighet att laborera eller experimentera på lektionerna så gör de det, de framhåller dock båda två att det måste finnas en pedagogisk poäng med skapandet. De är dock båda två mycket positivt inställda till laborativ matematik. När eleverna själva ställer frågor och söker svaren så kan pedagogerna övergå till att endast handleda eleverna. Det blir alltså mindre planering för läraren när eleverna väl är inkörda i arbetssättet. Eleverna har samtliga blivit mycket duktiga på att arbeta i grupp. De visar hänsyn mot sina kamrater och har samtidigt utvecklat sina matematiska begrepp och tillskansat sig ett kritiskt tänkande mot det de ser och hör omkring sig. Per och Ola arbetar helst med slutna frågor. Det är ofta väldigt svåra matematiska uppgifter som eleverna lyckas lösa tack vare mycket styrning i deras tänkande. Per och Ola blandar sällan in laborativa inslag i undervisningen eftersom de tycker att det tar mycket tid i anspråk i form av förberedelser och förklaringar. Vidare säger de att det blir så stökigt i klassrummet. Dessutom saknas det material att laborera med på deras skolor. De tycker helt klart att det fungerar bäst när man låter eleverna räkna enskilt i sina böcker. De mekaniska indiska lärarna hade lite svårt att koppla ihop laborativ matematik med matematikinlärning i skolan. De tyckte alla tre att experimentera, laborera, spela spel och bygga konstverk kunde man visserligen lära sig matematik genom, men det var ingenting man kunde syssla med i skolan utan i hemmet. Vad tycker eleverna om att jobba laborativt i matematiken? Både Karin och Malin säger att eleverna trivs med att arbeta laborativt. På lektionerna är nästan alla eleverna regelbundet involverade i diskussionerna. När man arbetar med öppna frågor är det lätt att stimulera såväl starka som svaga elever. Alla vågar försöka eftersom 21 det finns flera rätta svar. De medger att ljudvolymen ibland kan bli rätt hög men det beror mest på att eleverna är engagerade, mindre på att de stökar. Per och Ola svarade här rörande överens med sina Indiska kollegor. De medger att eleverna skulle stimuleras av laborativa inslag i undervisningen men tycker det är svårt att arbeta laborativt med stora grupper. Eleverna känner sig trygga med sina matteböcker. De vet att det är viktigt att lära sig matematik och kan man uppgifterna i boken så kan man sin matematik. Detta borgar för att eleverna jobbar tyst och bra på lektionerna. Varför ändra på det menar de. 5.2 Intervjuer av elever Vad tycker du om ämnet matematik? Av Karins och Malins elever tyckte de yngre eleverna unisont att matematik var ett viktigt, roligt och lätthanterligt ämne. Glädjande nog upplevdes det som mer roligt än viktigt. Av de lite äldre eleverna tyckte en knapp majoritet, åtta av 10, fortfarande att det var roligt med matematik, men också att det började bli ett allt svårare ämne. Även de äldre eleverna tyckte många att matte var skolans viktigaste ämne, sex av 10, men endast marginellt viktigare än svenska. I Olas tredjeklass var även där matematiken ett uppskattat ämne. Alla utom en av eleverna tyckte att matematiken var såväl viktig som rolig och lätthanterlig. Pers sexor tyckte precis tvärtom. Matematiken var både svår och tråkig tyckte nära nog allihop, sju av tio. Det enda som överensstämde med de yngre eleverna var att de fortfarande ansåg att matematiken var det viktigaste ämnet i skolan. 12 av 12 av de yngre Indiska skolbarnen tyckte även de att matematiken var såväl lätt som roligt. Att matematiken är viktig i den Indiska skolan ”goes without saying” (Det tyckte de var en korkad fråga för att komma från en blivande lärare). Bland de lite äldre Indiska 22 skolbarnen var resultaten nära nog omvända. Fem av sex tyckte att matematiken var såväl svår att förstå som jobbig och rent av betungande. Hur vet man att man är duktig i matematik? Karins och Malins elevers svar skilde sig här inte markant från den traditionella skolan. Här svarar de flesta att man vet om man är duktig om man ligger långt fram i boken, om man kan svara på frökens frågor eller om man har en hög poäng på proven. Karins och Malins elever tillade även: ”Man vet att man är duktig om man får förklara för sina kompisar”. De Indiska eleverna svarade att man fick gå i skolan. I Indien är det långt ifrån alla som får börja i skolan och endast de duktiga eleverna får fortsätta sin utbildning. Varför måste man lära sig matematik? Karins och Malins elever hade inga problem med att motivera varför det är viktigt att lära sig matematik. De svarade bl.a.: ”För att kunna läsa och förstå tidningar”, ”Om man vill vinna när man spelar spel”, ”Om man vill kunna bygga saker”. Såväl de yngre som de äldre eleverna är väl förtrogna med att läsa tabeller, diagram och statistik m.m. i vanliga dagstidningar. Olas och Pers elever kunde även de motivera varför man måste lära sig matematik i skolan. De svarade: ”Så man inte blir lurad i affären.”, ”Om man vill köpa bil.” och ”För att man ska få ett bra jobb.” De Indiska eleverna började genast prata om tidigare elever på skolan som nu jobbade som dataingenjörer i fjärran länder. För dessa elever är matematiken en möjlig väg ut ur fattigdomen. Vad tycker du om att arbeta laborativt? Karins och Malins elever är väldigt förtjusta i matteboken men gillar även när undervisningen är varierad och verklighetsbaserad. De svarade bl.a: ”Det är kul när vi löser riktiga problem.” De tycker att det gör problemen lättare att förstå och lösningen därmed mera gripbar. Eleverna förstår vad de gör genom hela processen. De tycker att det kan vara påfrestande att arbeta i grupp, när vissa alltid ska bestämma, men menar ändå att det är mer stimulerande än att arbeta enskilt. De sade bl.a.:”Det är nyttigt att stå på sig när man har rätt.”, ”Det är roligt för alla får vara med i en grupp.” 23 Olas och Pers elever tycker att det låter roligt med laborativ matematik, men då de inte är bekanta med arbetssättet hade de lite svårt att förhålla sig till det. Att lägga pussel, läsa tidningar, spela spel och bygga konstverk tyckte hälften av sexorna inte hade med matematik att göra. Eleverna i årskurs tre var klart mer intresserade av alternativ inlärning. Där svarade fem av sex att de skulle vilja arbeta mer i grupper och med ”riktiga” problem. De är själva nöjda med sin matematikundervisning men tycker även att matteböckerna ska vara roligare än bara sprängfyllda med algoritmer. De äldre Indiska eleverna kunde se hur man kan förena nyttan med nöjet genom den laborativa matematiken, men de var ändå skeptiska till dess roll i skolan. Deras tempo är så uppskruvat att de har svårt att tänka sig hur de ska hinna med mer i skolan, de dignar redan under pressen. Även de yngre eleverna var klart skeptiska till andra inlärningsstilar än den gängse mekaniska varianten. Tio av tolv ville inte ändra på sin undervisning. 6 Diskussion Det var intressant att konstatera att Karins och Malins elever övervägande var positivt inställda till ämnet matematik även i de senare åren. Kontrasten mot Pers och Olas respektive de Indiska eleverna var klart märkbar trots det ringa antalet intervjuer från vardera skolan. De Indiska lärarna var klart negativa till användandet av laborativ matematik i skolan, men det berodde på rent praktiska omständigheter. Deras klasser kan bestå av 50 elever och då är det ju omöjligt att handleda alla dem i laborativt arbete. Vad gäller skillnaden på Karins och Malins pedagogik gentemot Pers och Olas så verkar det vara just viljan att arbeta laborativt. Per och Ola låter eleverna jobba enskilt i sina matteböcker av bl.a. den 24 anledningen att det är bekvämast. De kunde se fördelar med arbeta laborativt men valde att inte göra det med hänvisning till att det blev stökigt i klassrummet eller att eleverna blev otrygga. Resultatet här var att eleverna upplevde matematiken som monoton och tråkig (Dahl, 1997) Ett nödvändigt ont man måste lära sig att behärska. Karin och Malin å sin sida laborerade regelbundet på sina lektioner och deras elever upplevde matematiken som visserligen svår, men ändå som ett stimulerande ämne. På frågan: Hur vet man att man är duktig i matematik? Svarade nästan samtliga elever att: ”man ligger långt fram i boken” eller ”man kan talen i boken”. Såväl Karin som Malin har matteböcker i klassrummen men de är inte dominerande i inlärningen. Deras svaga elever sitter emellertid lite mer tid med boken (något som ej undgått de resterande eleverna) vilket säkerligen färgade deras svar en nyans. På frågan: Varför måste man lära sig matematik? Märkte jag en tydlig skillnad på svaren. Karins och Malins elever hade inga problem att se matematiken i t.ex. dagstidningar, sällskapsspel, eller olika konstruktioner. De ser matematik överallt i tillvaron. Olas och Pers elevers svar var betydligt simplare. Deras svar skilde sig inte markant från varandra och ändå var de hämtade från en sjätteklass respektive än tredjeklass. ”för att få ett bra jobb”, ”för att kunna handla i affären” eller ”för att köpa en bil”. Matematikämnet måste bli av med sin gravallvarliga stämpling. Alltför många elever sitter idag och räknar i sina böcker mest hela dagarna, trots att det finns belägg för att de inte alltid vet vad de gör (Gran, 1998). De flyttar sina siffror och symboler som läraren anvisat dem och kommer fram till rätt svar och nöjer sig med det. Som blivande lärare ser jag en stor fara i att eleverna slutar tänka eller ifrågasätta under lektionerna. Min studie visar att om läraren varierar sin undervisning med laborativa inslag så får vi eleverna att tänka mer matematiskt och väcker i högre grad lusten, motivationen och törsten efter mer, vilket i sin tur jagar bort eventuell oro eller rent av ångest eller skräck för matematik. Laborativ matematik är ett alternativ eller åtminstone komplement till den så ofta förekommande traditionella undervisningen. 25 Eleverna lär sig matematik genom att pröva sig fram och testa olika teorier. De lär sig även att samarbeta och allt som oftast upplever de det som ett väldigt stimulerande arbetssätt, (se Lindahl, 1999). ”Man kan leda en häst till vattnet, men aldrig tvinga den att dricka.” Om vi vill få in fler killar och tjejer på de naturvetenskapliga gymnasieprogrammen så måste vi få dem att intressera sig för de naturvetenskapliga ämnena. Första steget på den vägen är att vardagsanknyta skolmatematiken så att eleverna ser relevansen med att lära sig matematik (Runesson, 1997). Vi pedagoger slipper dessutom att svara på frågor som: ”Varför ska jag lära mig det här?”. En fråga som kan vara nog så svår att besvara ju högre upp i åldrarna man kommer eftersom man ofta lär sig matematik för att senare dra nytta av det i andra ämnesområden. Vidare ska eleverna mötas av ett öppnare matematiskt innehåll än vad som är fallet idag. De elever i min studie som regelbundet arbetade med laborativ matematik med sina öppna frågor och problem var märkbart bättre än de traditionellt eller mekaniskt skolade eleverna på att variera sina uttryckssätt och tänka mer matematiskt. De elever som regelbundet jobbar laborativt i grupper talar mer matematik och lär sig på så vis av varandra. De lär sig att samarbeta och att inta, underbygga samt underminera olika ståndpunkter. 6.1 Hur ser lärare/elever på användande av laborativ matematik? I min undersökning har jag kommit fram till att laborativ matematik är ett utmärkt arbetssätt för inlärning av matematik. Genom att låta eleverna ta mera ansvar för vad som sker i klassrummet vad gäller val av frågor och arbetsmetoder så blir lärandet en process där man hela tiden bearbetar och diskuterar vad man gör och varför. Räknandet blir aldrig någon monoton algoritmräkning utan ett verktyg som eleverna genast ser relevansen av att kunna behärska. 26 Det laborativa arbetssättet står var och en fritt att använda i matematikundervisningen men tyvärr används det sällan (Skolverket 1992). I min undersökning svarade samtliga av de traditionellt respektive mekaniskt arbetande lärarna att de upplever att det tar för mycket tid i anspråk eller att lektioner blir stökiga. Samtliga lärare i undersökningen var dock ense om att alla elever tjänar på att ha vardagsanknuten, varierad och elevaktiv matematikundervisning i klassrummet för att på detta vis minska på klyftan mellan elevens matematik och skolans formella matematik med sina skriftliga symboler (Ahlberg, 1995). De lärare i min undersökning som regelbundet använder sig av laborativ matematik, Karin och Malin, är mycket positiva till det. De har båda arbetat traditionellt till en början men alltmer gått över till det laborativa arbetssättet. De menar att när eleverna är inkörda i arbetsgången med grupparbeten och själva söker svaren på egenhändigt ställda frågor så kan läraren övergå till en handledarroll. Det blir alltså mindre planering för läraren när väl eleverna är vana vid arbetssättet jämfört med hur mycket planering det behövs för att arbeta traditionellt. Vidare lär sig eleverna att tänka själva, tro på sig själva och ifrågasätta samtidigt som de lär sig att räkna. Det mesta negativa med det laborativa arbetssättet enligt Karin och Malin är att det tar tid att få eleverna att tänka och verka laborativt i klassrummet. Därför är det viktigt att börja med ett laborativt arbetssätt redan i tidig ålder (Malmer, 1982). De indiska lärarna i min undersökning är positiva till laborativ matematik i teorin men verkligheten är en annan på andra sidan jordklotet. De har en mycket strikt läroplan att följa och mycket stora klasser att arbeta med. De täcker stora matematiska områden redan i unga åldrar och ibland är det så många som 50 elever i klassen. De tre lärarna jag intervjuade sade helt krasst att det finns helt enkelt inte utrymme för laborerande och diskuterande på lektionerna. De elever jag träffat som är vana vid ett laborativt arbetssätt i matematiken är mycket nöjda med sin undervisning. De gillar att lektionerna är varierade och att problemen är konkreta, hämtade direkt ur elevernas vardag. Lärandet blir då en process där eleverna är med från början och försöker finna svaren (obs. pluralformen, det finns mer än ett rätt svar) på 27 frågorna. Vidare är eleverna överlag positiva till att arbeta i grupper. De inser fördelen av att argumentera matematik med kamrater, man lär av varandra. De elever jag träffat som är skolade i den traditionella matematikundervisningen var klart intresserade av laborativ matematik, men även skeptiska till dess nytta. Trots att en majoritet av Pers elever (7 av 10) i årskurs 6 tyckte att matematik var ett svårbegripligt och tråkigt ämne fann de det näst intill otänkbart att ta bort den heliga matteboken. Jag inser att det är svårt att bryta en flerårig tradition av mekaniskt räknande i ett viktigt huvudämne som matematik för en 11-12 årig elev. De indiska eleverna gillade tanken på att arbeta laborativt med matematiken. De är vana vid långa föreläsningar från läraren där ”kunskaperna” trycks in i minnet. Många elever finner lektionerna monotona och välkomnar (i teorin) en förändring. Det är dock inte alla barn i Indien som ens får gå i skolan. De som är här vet att de är priviligierade och vill göra det mesta av sin utbildning och beklagar sig därför inte över det högt uppdrivna tempot för sina lärare. 6.2 Hur påverkas stämningen i elevgruppen av laborativ matematik? I min undersökning röstades ämnet matematik fram som skolans viktigaste ämne i samtliga tre miljöerna. Intressant var det att konstatera att elever hämtade ur en laborativ miljö tyckte att matematik var ”ganska viktigt”. Elever ur den traditionella svenska skolan tyckte att matematiken var ”viktig”. Medan de indiska eleverna som är skolade med extrem drillning tyckte att matematiken var ”mycket viktig”. Matematikämnets betydelse för eleverna ökade alltså i takt med undervisningens strama struktur. Detta tror jag inte var en slump. När eleverna sitter ned enskilt och räknar koncentrerat i sina böcker och förväntas leverera exakta svar till slutna frågor skapas ofrånkomligt en laddad atmosfär av rätt och fel. Den strama strukturen skapar det tudelade klassrummet. Det finns elever som kan det rätta svaret och elever som inte kan det rätta svaret. Den ”sida” enskilda elever hamnar på kan sätta djupa spår i elevernas självbild (Emanuelsson & Johansson 1997). Självklart vill alla elever lyckas i skolan men lika självklart tycks det vara att alla elever inte lyckas i 28 skolan. Rädslan för att hamna på ”fel sida” i klassrummet gör att eleverna snällt fortsätter ställa upp sina tillrättalagda problem ur boken, istället för att ifrågasätta eller åtminstone efterlysa huruvida det finns alternativa tillvägagångssätt att lösa problemet. Detta beteende observerade jag mycket tydligt i den mekaniska indiska skolan men även i den traditionella svenska skolan så är eleverna mycket allvarsamma och ”fogliga” under mattelektionerna. En mer laborativ miljö upplevs inte av eleverna som lika stram. En vanlig mattelektion kan eleverna spela spel mot varandra. På detta vis lär de sig matematik i en behagligt avslappnad miljö och utan att vara påtagligt medvetna om att de lär sig (Pedagogiskt uppslagsverk, 1996). Eleverna i Karins och Malins klassrum vågade alla ställa kritiska frågor till sin lärare och vågade alltid svara på lärarens frågor. De jobbar ofta i grupp och det finns flera olika lösningar till problemen. Detta skapar en mindre laddad atmosfär i klassrummet, där det är tillåtet att misslyckas. Eleverna tycker fortfarande att matematikämnet är ”ganska viktigt” men inte mycket mer än t.ex svenska. Elever i de yngre åldrarna, från samtliga tre miljöer, är rörande överens om att ämnet matematik är ett såväl lätt som roligt (stimulerande) ämne. När eleverna tar steget upp i mellanstadieåldern skönjer jag dock en gradvis förändring som blir allt tydligare i takt med att eleverna blir äldre. De elever i årskurs sex jag intervjuat tycker unisont att matematik är ett svårt ämne att tillgodogöra sig. Ändå fanns det avgörande skillnader i elevernas syn på ämnet. Av de elever som jobbade mycket laborativt tyckte en betydande andel, åtta av tio, fortfarande att matematikämnet var roligt (stimulerande) även om det var svårt. Deras undervisning präglas av variation i arbetet och mycket diskuterande och ifrågasättande. Elevaktivitet är ledstjärnan i det laborativa klassrummet. Av de årskurs sex-elever som är vana vid att arbeta mer traditionellt tyckte en överväldigande majoritet, sju av tio, att matematik var tråkigt. Undervisningen präglas av enskild räkning i böckerna och monologer från lärarna, vilket tråkar ut eleverna. Att 29 eleverna blir uttråkade är ännu tydligare i Indien, där man jobbar dubbelt så fort som i Sverige. De äldre indiska eleverna upplever matematiken som rent av betungande. De är dock så motiverade och disciplinerade i skolan att de härdar ut. Den indiska skolan är betydligt tuffare än den svenska. Disciplinen är mycket hård, tempot uppdrivet och klasserna är dubbelt så stora som våra. Indiens nya exportvara till Väst består av datatekniker. Ett faktum indierna själva är väl medvetna om och mycket stolta över. Priset är en mycket tuff skolgång men eftersom belöningar i form av välbetalda jobb utomlands hägrar för den som klarar sig, så vill de inte ändra på någonting. 6.3 Slutsatser Min slutsats efter att ha genomfört den här undersökningen är att elever som är vana vid laborativ matematik har en betydligt mera positiv syn på ämnet matematik och tycker i högre grad att ämnet är stimulerande än elever som är präglade av den gängse traditionella undervisningen. Vidare så är dessa elever mer aktiva på lektionerna och är inte rädda för att svara fel på lärarens frågor. De har även lättare för att se matematik i vardagen, samarbeta, diskutera och kritiskt granska inkommande information jämfört med traditionellt eller mekaniskt skolade elever. 30 7 Avslutning Jag vill tacka Bo Sjöström som hjälpte mig att äntligen skriva klart det här arbetet, fem år senare än planerat. 31 8 Referenser Ahlberg, Ann (1995). Barn och matematik. Studentlitteratur, Lund. Dahl, Kristin (1997). ”Sluta med mekanisk drill”. PM, 2/97 Emanuelsson, Göran (1997). ”Matematik det kritiska filtret”. PM, 2/97 Ernest, Paul (1998). Vad är konstruktivism? I Engström Arne (red). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur 32 Gran, Bertil (1998) (red). Matematik på elevens villkor, Studentlitteratur, Lund Hallerstöm, Helena (1997). Kreativa lärmiljöer. Rapport 1 En studie av högskolor. Lund Hartman, Sven (1995). Lärares kunskap. Skapande vetande, Linköpings Universitet. Imsen, Gunn (1992). Elevens värld, 2 uppl. Lund: Studentlitteratur Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2001): Examensarbetet i lärarutbildningen. Undersökningsmetoder och språklig utformning. Kunskapsföretaget, Uppsala. Lindahl, Peter (1999). Mattityder – En undersökning av en grupp elevers attityder problemlösningsuppgifter i matematik. Malmö Högskola Lpo 94. Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet, Utbildningsdepartementet 1994. Kursplan och Betygskriterier (2000) Graphium Västra Aros, Västerås 2000 Madsén, Torsten 1997. ”Matematik som kärnämne”. PM, 2/97 Malmer, Gudrun (1982). Matematik för alla. Institutionen för stadie- och specialmetodik, Lärarhögskolan i Malmö. Lunds universitet. Malmer, Gudrun (1990). Kreativ Matematik. Ekelunds förlag AB, Solna. Malmer, Gudrun (1992). Matematik ett glädjeämne. Ekelunds förlag, Solna. Maltén, Arne (1992). Grupputveckling Studentlitteratur, Lund 33 Patel, Runa & Davidsson, Bo (1994). Forskningsmetodikens grunder. Studentlitteratur, Lund. Pedagogiskt uppslagsverk, (1996) Lärarförbundets förlag Stockholm Runesson, Ulla (1997). Matematiken måste utmana elevers tänkande. PM, 2/97 Skolverket (1993). Den nationella utvärderingen av grundskolan våren 1992. Liber distribution och publikationstjänst. Sterner, Görel & Lundberg, Ingvar (2004). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik en kunskapsöversikt. Göteborg: NCM Unenge Jan, Sandahl Anita. & Wyndhamn Jan (1993). Lära matematik, Studentlitteratur, Lund. Wyndhamn, Jan (1990). Fyra matematikdidaktiska satser. En sammanställning av fyra tidigare skrivna uppsatser. Skapande vetande, Linköpings universitet. 34 35
© Copyright 2024