JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
1(29)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2000
3
MaB VÅREN
Uppgift # 1
Uppgift # 2
Uppgift # 3
Uppgift # 4
Uppgift # 5
Uppgift # 6
Uppgift # 7
Uppgift # 8
Uppgift # 9
Uppgift #10
Uppgift #11
Uppgift #12
Uppgift #13
Uppgift #14
Uppgift #15
c G Robertsson
2000
(2p)
(2p)
(1p)
(2p)
(3p)
(1p)
(2p)
(3p)
(2p)
(2p)
(3p)
(3p)
(6p)
(3p)
(3p)
LÖSNINGAR
2:a gradsekvation . . . . . . . . . . . . . . .
Räta linjen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vilken funktion ger grafen? . . . . . . . . .
Linjärt ekvationssystem . . . . . . . . . . .
Fyrsidig tärning . . . . . . . . . . . . . . .
Olikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rät linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normalfördelning . . . . . . . . . . . . . . .
Pariserhjul och randvinkelsatsen . . . . . .
Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linjära grafer . . . . . . . . . . . . . . . . .
2:a gradsfunktion och linjärt ekvationssytem
Likformighet, läsbarhet . . . . . . . . . . .
Rät linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
buggar ⇒ [email protected]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
20
21
22
25
27
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
2(29)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som
är lämpliga till respektive kurs.
1
Ma
Ma
Ma
Ma
1
2
2a
2bc
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2
5 6 7
15
1 2 3 4
7 8 9 10 11 12 13 14 15
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
Np MaB vt 2000
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om
sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen
fram till utgången av juni 2010.
Anvisningar
Provtid
180 minuter utan rast.
Hjälpmedel
Miniräknare och formelsamling. Formelblad bifogas provet.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn, komvux/gymnasieprogram och födelsedatum
på de papper du lämnar in.
Provet
Provet består av 15 uppgifter.
Till de flesta uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan
det krävs
• att du skriver ned vad du gör
• att du förklarar dina tankegångar
• att du ritar figurer vid behov
• att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver
bara svaret anges.
Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning.
Betygsgränser
Ansvarig lärare meddelar de gränser som gäller för betygen
”Godkänd” och ”Väl godkänd”. Provet ger maximalt 38 poäng.
Np MaB vt 2000
1.
Lös ekvationen x 2 − 6 x + 8 = 0
(2p)
2.
Rita en rät linje i ett koordinatsystem.
Ange riktningskoefficienten för linjen.
(2p)
Vilken av funktionerna kan ge den graf du ser i figuren?
Endast svar fordras
(1p)
3.
y
4.
5.
y = x2 + 3
e)
f)
y = −x2 + 3
y = −x2 − 3
2 x + y = 11
Lös ekvationssystemet 
3x − 2 y = 34
(2p)
I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är
numrerade 1, 2, 3 och 4.
a)
b)
6.
y = 2x + 3
y = 2x − 3
y = −2 x + 3
a)
b)
c)
d)
Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning?
Endast svar fordras
(1p)
Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar
tärningen två gånger?
(2p)
Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1
Endast svar fordras
(1p)
Np MaB vt 2000
7.
8.
Punkterna ( 3, 2 ) och ( − 1, 4 ) ligger på linjen y = kx + m.
Bestäm värdet på konstanterna k respektive m.
(2p)
Beräkna längden av triangelns kortaste sida.
(3p)
(cm)
x + 7,2
x
13,0
9.
Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och
bara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas
tillbaka i ån.
Man kan anta att längden på kräftorna är normalfördelad med medelvärdet
12,2 cm och standardavvikelsen 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina
med sig 60 st kräftor hem.
Hur många kräftor bör de ha fått totalt?
10.
(2p)
I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra
(se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker i.
Hur stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren
visar?
(2p)
Np MaB vt 2000
11.
4
7
3
6
a)
b)
3
7
3
6
4
6
2
6
Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskrivas av diagrammet.
(2p)
Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten:
(1p)
3 2 1
P= ⋅ =
7 6 7
12.
y = f (x)
y
I figuren till vänster visas graferna till
de två ekvationerna y = f ( x ), y = h( x )
a)
Bestäm h(0)
Endast svar fordras
b)
Bestäm det x-värde för vilket
h( x ) = 0
Endast svar fordras
c)
Använd figuren för att bestämma
lösningen till ekvationssystemet
 y = f ( x)

 y = h( x )
Endast svar fordras
(1p)
1
1
y = h (x)
x
(1p)
(1p)
Np MaB vt 2000
13.
Calle jobbar hos en datorspeltillverkare och gör ett fotbollsspel.
f (x)
mittlinje
För att beskriva bollbanan sedd
uppifrån för skruvade skott mot mål
väljer Calle en funktion
f ( x ) = 0,005 x 2 + 0,15 x där x meter
är avståndet från origo mot målet
och f (x) meter är bollens avvikelse
från planens ”mittlinje” (se figur).
a)
Hur många meter från ”mittlinjen” är bollen efter 10 meter i x-led?
(1p)
b)
Hur långt från målet är skytten om bollen går i mål vid målvaktens högra
stolpe? Målet är 7,32 meter brett.
(2p)
g (x)
Calle tänker använda en annan
funktion som beskriver bollbanan
sedd från sidan för t.ex. inspark.
Han väljer funktionen
g ( x ) = ax 2 + bx , där x är avståndet
från origo mätt längs marken och
g (x) är bollens höjd över marken
c)
Beräkna a och b, om bollen efter 10 meter i x-led är 4 meter över marken
och efter 20 meter i x-led slår ner i marken igen.
(3p)
Np MaB vt 2000
14.
När Karin är på Gran Canaria ser hon ett mindre flygplan som har en reklambanderoll efter sig. Hon funderar på ungefär hur höga bokstäverna ska vara för att
budskapet ska kunna läsas från marken. Karin bedömer att planet flyger på ca 300
meters avstånd.
Gör egna uppskattningar av de mått du behöver och hjälp Karin att beräkna ett
ungefärligt värde på hur höga bokstäverna är.
(3p)
300 m
Figurerna ej skalenligt ritade.
15.
y
A
En rät linje genom punkten (2, 3)
skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B
har en x-koordinat som är tre gånger
så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för
punkten A exakt.
(3p)
(2, 3)
B
x
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
9(29)
1(4)
MaB VÅREN 2000 LÖSNINGAR
Formler till nationellt prov
matematik kurs 2
Np MaB vti2000
Uppgift # 1
(2p)
2:a gradsekvation
Ma2
1.
Lös ekvationen x − 6 x + 8 = 0
2
(2p)
Algebra
Använd
FORMELSAMLINGEN.
2.
Rita en rät linje i ett koordinatsystem.
Regler Ange riktningskoefficienten för linjen.
Andragradsekvationer
(2p)
x 2 + px + q = 0
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
2
3.
Vilken av funktionerna kan ge den graf du ser i figuren?
p
 p
2
2
x = − ±Endast
− qfordras
 svar
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
(1p)
y
a)
y = 2x + 3
2 x −·x3+ 8 .
0 b)= xy2 =−6
|{z}
|{z}
Aritmetik
c)
y =p=−6
−2 x + 3 q=8
2
y =q√
x=
+83får vi
Med p =d)−6 och
√
Prefix
x1 e)= 3y+= − x322 +−38 = 3 + 1 = 3 + 1 = 4
√
x2 f)= 3y−= − x322 −−38 = 3 − 1 = 2.
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Svar x1 = 4 och x2 = 2
2 x + y = 11
Lös ekvationssystemet 
3x − 2 y = 34
Potenser
4.
ax
1
x− y
x y
xy
a− x = x
a
=
(
a
)
=
a
a a =a
a
ay
5.
I vissa rollspel används
en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är
numrerade 1, 2, 3x och 4. x
1
a
a
=
x x
x
a0 = 1


n =n a
x
a
a b = (a)ab) Hur stor är
att man får en etta då man kastar denna tärning?
b sannolikheten
b
Endast svar fordras
x y
x+ y
b)
(2p)
(1p)
Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar
Logaritmer tärningen två gånger?
(2p)
y = 10 x ⇔ x = lg y
6.
Ange ett tal x som är sådant att x3x + 5 < x − 1
Endast svar fordras
lg x − lg y = lg
lg x + lg y = lg xy
lg x p = p ⋅ lg x
y
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(1p)
2015-04-11
Np MaB vt 2000
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
1.
Lös ekvationen x 2 − 6 x + 8 = 0
Uppgift # 2
2.
(2p)
10(29)
(2p)
Räta linjen
Ma1
Ma2
Rita en rät linje i ett koordinatsystem.
Ange riktningskoefficienten för linjen.
(2p)
Det finns många linjer. Välj något enkelt. Tag linjen y = x. Den går genom origo och har
riktningskoefficienten
(lutningen)
k=
1.graf du ser i figuren?
3.
Vilken av funktionerna
kan ge
den
Endast svar fordras
(1p)
y
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y = 2x + 3
y = 2x − 3
y = −2 x + 3
y = x2 + 3
y = −x2 + 3
y = −x2 − 3
y
y=x
x
Svar Se figuren ovan.
2 x + y = 11
4.
Lös ekvationssystemet 
3x − 2 y = 34
5.
I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är
numrerade 1, 2, 3 och 4.
a)
b)
6.
(2p)
Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning?
Endast svar fordras
(1p)
Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar
tärningen två gånger?
(2p)
Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1
c G Robertsson
Endast svar fordras
buggar ⇒ [email protected]
(1p)
2015-04-11
Np MaB vt 2000
1.
Lös ekvationen x 2 − 6 x + 8 = 0
(2p)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
2.
Rita en rät linje i ett koordinatsystem.
Ange riktningskoefficienten för linjen.
Uppgift # 3
(1p)
11(29)
(2p)
Vilken funktion ger grafen?
Ma2
3.
Vilken av funktionerna kan ge den graf du ser i figuren?
Endast svar fordras
(1p)
y
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y = 2x + 3
y = 2x − 3
y = −2 x + 3
y = x2 + 3
y = −x2 + 3
y = −x2 − 3
Fall
Kommentarer
a)
NEJ rät linje stämmer inte med figuren
b)
NEJ rät linje stämmer inte med figuren
c)
NEJ rät linje stämmer
x + ymed
= 11 figuren
2 inte
Lös ekvationssystemet
 figuren är y(0) > 0. MÖJLIGT alternativ
d)4.
y(0) = 3. Enligt
3x − 2 y = 34
e)
y(0) = 3. Enligt figuren är y(0) > 0. MÖJLIGT alternativ
f)
NEJ y(0) = −3. Enligt figuren är y(0) > 0. INTE möjligt alternativ
(2p)
Undersök
alternativ
och e).en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är
5.
I vissa
rollspeld)används
numrerade 1, 2, 3 och 4.
Fall
Kommentarer
2
är sannolikheten
en etta dåinte
manmed
kastar
denna tärning?
d)
y a)
= xHur
+stor
3 har
minimum föratt
x man
= 0.får
Stämmer
figuren.
Endast
svar fordras
e)
y = −x2 + 3 har maximum för x = 0. Stämmer med
figuren.
(1p)
b)
Hur stor
är sannolikheten
man får
sammanlagt summan 5 om man kastar
Svar Alternativ
e passar
ihop med att
grafen
i uppgiften.
tärningen två gånger?
(2p)
6.
Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1
c G Robertsson
Endast svar fordras
buggar ⇒ [email protected]
(1p)
2015-04-11
b)
c)
y = 2x − 3
y = −2 x + 3
d)
e)
y = x2 + 3
y = −x2 + 3
y = −x2 − 3
JENSENf)vuxutbildning
Uppgift # 4
(2p)
NpMaB vt2000
12(29)
Linjärt ekvationssystem
Ma2
4.
2 x + y = 11
Lös ekvationssystemet 
3x − 2 y = 34
(2p)
2x +
y =
11
1:a ekvationen
används en regelbunden
fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är
3 x 5. − I vissa
2 y rollspel
=
34
2:a ekvationen
numrerade 1, 2, 3 och 4.
Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x
a)
Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning?
i andra ekvationen. Subtrahera 1,5 × 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då:
Endast svar fordras
(1p)
2x
2x
+ b) y Hur
=stor är
11sannolikheten
1:a ekvationen
att man får sammanlagt summan 5 om man kastar
17,5
= −5
− 3,5 y tärningen
= 17,5
ny
2:a
ekvationen ger y = −3,5
två gånger?
(2p)
+
y =
11
med y = −5 blir x = 8
− 3,5 y = 17,5
6.
Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1
Endast svar fordras
(1p)
Svar x = 8 och y = −5.
Kommentar Ovanstående sätt att lösa linjära ekvationssystem kallas
Gauss-elimination (triangulering) med bakåtsubstitution och är det bästa sättet för
system med fler obekanta. System med två obekanta är lätt att lösa utan “metod”.
Alternativ lösning
2x +
y =
11
1:a ekvationen
3x −
2y =
34
2:a ekvationen
Eliminera y ur 1:a ekvationen. Vi får
y =
11−2 x
Använd denna ekvation för att eliminera y ur 2:a ekvationen som blir
3 x − 2·(11−2 x) =
34
3x −
22 +4 x =
34
7x
= 34 + 22.
Detta ger x = 8.
Sätt in x = 8 i någon av de två ekvationerna, då blir y = −5.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
vuxutbildning
= 11
2 x + y NpMaB
JENSEN
vt2000
4.
Lös ekvationssystemet 
3x − 2 y = 34
Uppgift # 5
(3p)
13(29)
(2p)
Fyrsidig tärning
Ma1
5.
I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är
numrerade 1, 2, 3 och 4.
a)
b)
a) 6.
Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning?
Endast svar fordras
(1p)
Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar
tärningen två gånger?
(2p)
Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1
sannolikheten att få en etta är =
Svar a)
Sannolikheten att få en etta är
Endast svar fordras
(1p)
antal utfall med en etta
1
=
totala antalet utfall
4
1
eller 0,25.
4
b)
I tabellen visas alla möjliga utfall vid två kast med en 4-sidig tärning.
antal
prickar
2
3
4
⇒5
6
7
8
kombinationer
1+1
1+2
1+3
1+4
sannolikheten att få summan 5 är =
Svar b)
2+1
2+2 3+1
2+3 3+2 4+1
2+4 3+3 4+2
3+4 4+3
4+4
4
1
antal utfall med summan 5
=
=
totala antalet utfall
16
4
Sannolikheten att få summan 5 är
c G Robertsson
1
eller 0,25
4
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
5.
I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är
numrerade 1, 2, 3 och 4.
a)
Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning?
Endast svar fordras
(1p)
vuxutbildning
JENSENb)
NpMaB
Hur stor är sannolikheten att
man fårvt2000
sammanlagt summan 5 om man kastar 14(29)
tärningen två gånger?
(2p)
Uppgift # 6
(1p)
Olikhet
Ma1
6.
Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1
Endast svar fordras
(1p)
Notera problemformuleringen ange ETT tal. Det räcker alltså att ange ett tal. Pröva med
något enkelt, 0 duger inte. Pröva något annat, −100 duger då −300 + 5 < −100 − 1.
Svar −100.
Kommentar: Om frågan handlat om för vilka x det gäller att 3 x + 5 < x − 1 så får du
använda räknereglerna för olikheter. För olikheter gäller samma räkneregler som för
likheter utom att vid multiplikation av bägge leden med ett negativt tal så vänder
olikhetstecknet.
3x + 5
3x + 5 − 5
3x
3x − x
2x
x
<
<
<
<
<
<
x−1
x−1−5
x−6
x−6−x
−6
−3
Alla x mindre än minus 3 duger alltså.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 7
(2p)
NpMaB vt2000
15(29)
Np MaB vt 2000
Rät linje
Ma1
Ma2
Punkterna ( 3, 2 ) och ( − 1, 4 ) ligger på linjen y = kx + m.
Bestäm värdet på konstanterna k respektive m.
7.
2(4)
(2p)
Använd
FORMELSAMLINGEN.
Funktioner
8.
Beräkna längden av triangelns kortaste sida.
Räta linjen
y = kx + m
(3p)
Andragradsfunktioner
(cm)
k=
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
x + 7,2
x
a≠0
13,0
Givet
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
(x1 , y1 ) = ( 3, 2)
a > 0 och a ≠ 1
y = C(x⋅ 2x,ay2 ) = (−1, 4)
y = C ⋅ ax
9.
Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och
Bestäm kbara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas
4−2
2
y2 − y1
tillbaka
=
=
= −0,5
k =i ån.
x2 − x1
−1 − 3
−4
Använd
y = kkan
x +anta
m och
en av depåtvåkräftorna
punkterna
för att bestämma
Man
att längden
är normalfördelad
medm.medelvärdet
Geometri
12,2
1,2
cm.
När
fisket
är
avslutat
har Ulf och Lina
y1 cm= och
k xstandardavvikelsen
+
m
1
med sig 60 st kräftor hem.
Triangel 2 = −0,5 · 3 + m
Parallellogram
m
=
3,5
Hur många kräftor bör de ha fått totalt?
(2p)
A = bh
bh
A = y = −0, 5 x + 3, 5
Svar
2
10.
I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra
(se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker
i.
Parallelltrapets
Cirkel
A=
2 det sätt som figuren
bild
h(aHur
+ b)stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en
πd på
2
=
=
A
π
r
visar?
(2p)
2
4
O = 2πr = πd
Cirkelsektor
Prisma
v
⋅ 2 πr
360
v
br
A=
⋅ πr 2 =
360
2
V = Bh
b=
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
Cylinder
Pyramid
V = πr 2 h
V=
Bh
2015-04-11
Np MaB vt 2000
vuxutbildning
7.
Punkterna
( 3, 2 ) och ( − 1, 4 ) ligger
på linjen
y = kx + m.
JENSEN
NpMaB
vt2000
Bestäm värdet på konstanterna k respektive m.
Uppgift # 8
(3p)
16(29)
(2p)
Triangel
Ma2
8.
Beräkna längden av triangelns kortaste sida.
(3p)
(cm)
x + 7,2
x
13,0
Använd Pythagoras sats
9.
Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och
2
är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas
133bara
= behålla
x2 + de
(x kräftor
+ 7, 2)som
|
{z
}
tillbaka i ån. 2
x +14,4 x+7,22
132Man
= kan
2 x2 anta
+ 14,4
+ 51,84 på kräftorna är normalfördelad med medelvärdet
attxlängden
2
012,2
= cm2 xoch+standardavvikelsen
14,4 x −117, 16 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina
{z }
med sig 60 st kräftor |hem.
51,84−132
Dela medHur
2 så
att du
kan bör
använda
pq-formeln.
många
kräftor
de ha fått
totalt?
(2p)
0 = x2 + 7,2 x − 58,58
Använd pq-formeln p
p
x1 = −3,6 + 3,62 + 58,58 = −3,6 + 71,54 = −3,6 + 8,46 = 4,86
10. I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra
x2(se=figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har
= med
−3,6en−kamera
8,46 = och
−12,06
vill foFrågan gällde
triangelns
sida.
tografera
tre andrakortaste
korgar som
dina vänner åker i.
Hur stor måste
v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren
Svar Kortaste
sidan bildvinkeln
är 4,9.
visar?
(2p)
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
b
8.
Beräkna längden av triangelns kortaste sida.
(3p)
(cm)
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
x + 7,2
d = ( x − x ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
JENSEN2vux1utbildning
x =
x1 +xx2
och ym =
m
NpMaB vt2000
2
y1 + y2
2
17(29)
13,0
Uppgift # 9
(2p)
Normalfördelning
Ma2
Statistik och sannolikhet
9.
Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och
bara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas
Standardavvikelse
tillbaka i ån.
( x1 − x ) + ( x2 − x ) + ... + ( xn − x )
(stickprov)
Man kan anta atts =längden på kräftorna
n − 1 är normalfördelad med medelvärdet
12,2 cm och standardavvikelsen 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina
med sig 60 st kräftor hem.
2
2
2
Lådagram
Hur många kräftor bör de ha fått totalt?
(2p)
I FORMELSAMLINGEN finns följande bild:
10. I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra
(se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker i.
Normalfördelning
Hur stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren
visar?
(2p)
För normalfördelade data gäller att 50% av
13-01-24
mätvärdena ligger över medelvärdet och 50% ligger
under medelvärdet. Standardavvikelsen σ är ett mått
på spridningen av data. Ett litet värde på
standardavvikelsen σ betyder att data ligger nära
medelvärdet och ett stort värde på standardavvikelsen
σ betyder att data är mer spridda. Det gäller också att
68,2% av alla mätvärden finns inom avståndet en
standardavvikelse från medelvärdet.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
σ=1
© Skolverket
68%
-2
-1
0
1
2015-04-11
2
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
För kräftorna gäller att medelvärdet av längden är
12,2 cm med standardavvikelsen 1,2 cm. Detta betyder
att 34,1% av alla kräftor har en längd mellan 11 och
12,2 cm. 50% av kräftorna har en en längd över
medelvärdet. Då har 34,1+50=84,1% av alla kräftor en
längd över minsta längden. Ulf och Lina har fångat x
stycken kräftor och behållit 84,1% eller 60 stycken.
60
≈ 71
0,841
Svar De har fångat 71 kräftor.
18(29)
σ=1,2 cm
34%
50%
x =
11
12,2
Kommentar Normalfördelningen är symmetrisk kring medelvärdet. För symmetriska
fördelningar gäller att medelvärdet och medianvärdet är lika. För fördelningar som inte
är symmetriska blir medelvärde och medianvärde inte lika. Det finns fördelningar som är
symmetriska och inte är normalfördelningar.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
bara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas
tillbaka i ån.
Man kan anta att längden på kräftorna är normalfördelad med medelvärdet
12,2 cm och standardavvikelsen 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina
med sig 60 st kräftor hem.
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
19(29)
Hur många kräftor bör de ha fått totalt?
(2p)
Uppgift #10
(2p)
Pariserhjul och randvinkelsatsen
Ma2
10.
I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra
(se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker i.
Hur stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren
visar?
(2p)
4(4)
Använd FORMELSAMLINGEN, där finns randvinkelsatsen.
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
ab = cd
u = 2v
Börja
med att rita cirkeln och markera 3+1 korgar.
Pythagoras sats
Trigonometri
Det finns 15 korgar på hjulet då blir
◦
medelpunktsvinkeln
mellan två korgar 360
= 24◦ . a
c2 = a 2 + b2
15
sin v =
Medelpunktsvinkeln u mellan tre korgar blir då
c
b
2 · 24◦ = 48◦ . Enligt randvinkelsatsen i
cos v =
formelsamlingen är medelpunktsvinkeln u dubbelt såc
stor som randvinkeln v till samma cirkelbåge. Den a
tan v =
eferfrågade vinkeln blir 24◦ .
b
v
u
Svar Den sökta vinkeln är 24◦ .
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
d = ( x2 − x1) + ( y 2 − y1 )
2
2
Statistik och sannolikhet
x + x2
y + y2
xm = 1
och ym = 1
2
2
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
Uppgift #11
NpMaB
Np MaB vt2000
vt 2000
(3p)
20(29)
Sannolikhet
Ma1
11.
4
7
3
7
3
6
a)
b)
3
6
4
6
2
6
Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskrivas av diagrammet.
(2p)
Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten:
(1p)
3 2 1
P= ⋅ =
7 6 7
a) Träddiagrammet beskriver ett slumpförsök i två steg. I det första steget finns det
4+3=7 kulor. Vi drar en kula slumpmässigt. I det andra steget finns det 6 kulor. Det
andra
12. steget är beroende av vad som hänt i det första steget. Det kan finnas
y eller 4 svarta + 2 vita.I figuren
3 svarta + 3y vita
Bilden till
nedan
illustrerar.
= f (x)kulor
vänster
visas graferna till
de två ekvationerna y = f ( x ), y = h( x )
P (S) =
1
1
3S 3V
P (S) =
3
6
P (V) =
4S 3V
a) Bestäm h(0)
3
Endast
svar
P (V)
= fordras
7
4
7
x
b)
3
6
Bestäm det x-värde
4S för
2Vvilket
h( x ) = 0
Endast svar
fordras
P (S)
= 4 P (V) =
6
(1p)
(1p)
2
6
c)
Använd figuren för att bestämma
2
4 3
2
lösningen
P (SS) = 47 · 63 =
P (VS)
= 37 till
P (VV) = 37 · 62 = 17
· 64 ekvationssystemet
= 27
y =7h (x) P (SV) = 7 · 6 = 7
y
=
f
(
x
)


y =2hvita
( x ) kulor om du tar 2 kulor ur(1p)
b) En möjlig fråga är: Vad är sannolikheten attfå
en
låda med 4 svarta och 3 vita kulor?
Endast svar fordras
Kommentar Notera att sannolikheten att först få en svart och sedan en vit,
P(SV) = 27 , är lika stor som sannolikheten att först få en vit och sedan svart, P(VS) = 72 .
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
a)
b)
Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskrivas av diagrammet.
(2p)
Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten:
(1p)
3 2 1
P= ⋅ =
NpMaB
7 6 7vt2000
JENSENvuxutbildning
Uppgift #12
(3p)
21(29)
Linjära grafer
Ma2
12.
y = f (x)
y
I figuren till vänster visas graferna till
de två ekvationerna y = f ( x ), y = h( x )
(1p)
a)
Bestäm h(0)
Endast svar fordras
b)
Bestäm det x-värde för vilket
h( x ) = 0
Endast svar fordras
c)
Använd figuren för att bestämma
lösningen till ekvationssystemet
 y = f ( x)

 y = h( x )
Endast svar fordras
1
1
x
y = h (x)
A/ Bestäm h(0)
B/ h(x) = 0 bestäm x
(1p)
(1p)
C/ Lös y = f (x)
y = h(x)
y = f (x)
(4, 3)
(0, 2)
(0, −3)
y = h(x)
Svar h(0) = −3
c G Robertsson
y = h(x)
Svar x = 2
buggar ⇒ [email protected]
y = h(x)
Svar x = 4, y = 3
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
Uppgift #13 (6p)
ekvationssytem
13.
NpMaB vt2000
22(29)
2:a gradsfunktion och linjärt
Np MaB vt 2000
Ma2
Calle jobbar hos en datorspeltillverkare och gör ett fotbollsspel.
f (x)
mittlinje
För att beskriva bollbanan sedd
uppifrån för skruvade skott mot mål
väljer Calle en funktion
f ( x ) = 0,005 x 2 + 0,15 x där x meter
är avståndet från origo mot målet
och f (x) meter är bollens avvikelse
från planens ”mittlinje” (se figur).
a)
Hur många meter från ”mittlinjen” är bollen efter 10 meter i x-led?
(1p)
b)
Hur långt från målet är skytten om bollen går i mål vid målvaktens högra
stolpe? Målet är 7,32 meter brett.
(2p)
g (x)
Calle tänker använda en annan
funktion som beskriver bollbanan
sedd från sidan för t.ex. inspark.
Han väljer funktionen
g ( x ) = ax 2 + bx , där x är avståndet
från origo mätt längs marken och
g (x) är bollens höjd över marken
c)
c G Robertsson
Beräkna a och b, om bollen efter 10 meter i x-led är 4 meter över marken
och efter 20 meter i x-led slår ner i marken igen.
buggar ⇒ [email protected]
(3p)
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
23(29)
Lösning delfråga a
Givet
f (x) = 0,005 x2 + 0,15 x.
Beräkna f (x) då x = 10.
f (10) = 0, 005 · 102 + 0,15 · 10 = 0,5 + 1,5 = 2
Svar a)
2 meter.
1(4)
Formler
till nationellt prov i matematik kurs 2
7,32
Lösning delfråga b
Stolpen är
2
= 3,66 meter vid sidan av mittlinjen. Lös ekvationen
3,66 = 0,005 x2 + 0,15 x.
Använd
FORMELSAMLINGEN.
Algebra
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
x=−
2
p
 p
±   −q
2
2
Skriv om ekvationen så den får samma form som i formelsamlingen.
0 = 0,005 x2 + 0,15 x − 3,66
Aritmetik
3,66
0,15
x−
0 = x2 +
0,005
0,005
Prefix
2
0 = x + 30 x − 732
p
x
=
−15
+
152 −h(−732)d = −15
1
T
G
M
c + 30,9
m = µ15,9 n
p
pk
2
= −15
(−732)
−45,9 nano piko
tera x2giga
mega − kilo15 −
hekto
deci= −15
centi− 30,9
milli = mikro
Välj roten
x91 =15,96 m eftersom
har positiv
x-koordinat.
12
3
2målet -1
-2
-3
-6
-9
-12
10
10
Svar b)
10
10
10
ax
= a x− y
10
10
10
10
10
10
15,9 meter.
Potenser
a xa y = a x+ y
c G Robertsson
a b = (ab)
x x
x
Logaritmer
a
y
ax
a
= 
x
b
b
x
(a x ) y = a xy
1
buggar ⇒ [email protected]
an = n a
a− x =
a0 = 1
1
ax
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
24(29)
Lösning delfråga c
Givet
g(x) = a x2 + b x
Enligt uppgiften gäller att g(10) = 4 och g(20)=0. Detta betyder att vi får ett linjärt
ekvationssystem med två obekanta.
102 · a +
202 · a +
10 · b =
20 · b =
4
0
100 · a +
400 · a +
10 · b =
20 · b =
4
0
1:a ekv
2:a ekv
100 · a +
10 · b =
4
−20 · b = −16
1:a ekv
ny 2:a ekv = 2:a ekv - 4 × 1:a ekv
100 · a +
10 · b =
4
−20 · b = −16
1:a ekv
b = 0,8
100 · a +
10 · b =
4
−20 · b = −16
med b = 0,8 blir a = −0,04
Svar c)
a = −0,04 och b = 0,8.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
Uppgift #14
(3p)
NpMaB vt2000
25(29)
Np MaB vt 2000
Likformighet, läsbarhet
Ma2
14.
När Karin är på Gran Canaria ser hon ett mindre flygplan som har en reklambanderoll efter sig. Hon funderar på ungefär hur höga bokstäverna ska vara för att
budskapet ska kunna läsas från marken. Karin bedömer att planet flyger på ca 300
meters avstånd.
Gör egna uppskattningar av de mått du behöver och hjälp Karin att beräkna ett
ungefärligt värde på hur höga bokstäverna är.
(3p)
300 m
Figurerna ej skalenligt ritade.
Beskriv problemet med två likbenta triangelar ABB0 och ACC0 som är likformiga. Gör en
uppskattning av läsbarhet. En ruta på ett rutat papper är 5 × 5 mm och en bokstav med
15.
den storlekenygår utan problem att läsa på avståndet 1m.
En rät linje genom punkten (2, 3)
skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B
har en x-koordinat som är tre gånger
A
(2, 3)
så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för
punkten A exakt.
(3p)
B
c G Robertsson
x
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
26(29)
C0
B0
A
B
C
Låt triangeln ABB0 ha höjden 1 m och låt sträckan BB0 vara 5 mm. Triangeln ACC0 har
höjden 300 m. Beräkna stråckan CC0 med likformighet.
Texthöjd 5 mm
Avstånd 1 m
Texthöjd 300×5 mm
Avstånd 300×1 m
Uppskattad texthöjd blir 300×5 mm, 1,5 m.
Svar En rimlig höjd på bokstäverna är 1,5 meter.
Kommentar till uppskattningen av läsbarhet
Synskärpan mäts vanligen genom att man kontrollerar
ögats förmåga att känna igen vissa bokstäver. Normal
synskärpa kallas 1,0 och synskärpan varierar från 0,6
till 2,0. Med normal synskärpa går det att läsa
bokstäver som är 5 mm höga på 3,4 meters avstånd.
Med synskärpan 0,5 går det att läsa bokstäver som är
10 mm höga på samma avstånd.
Om vi räknar med synskärpan 0,5 som de flesta
människor minst har blir sträckan BB0 1 cm och höjden
i triangeln ABB0 3,4 m. Med dessa siffror blir
bokstavshöjden på planet 0,9 m. Vår enkla
uppskattning av läsbarheten är alltså fullt rimlig.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
300 m
vuxutbildning
JENSEN
Figurerna ej skalenligt ritade.
Uppgift #15
(3p)
NpMaB vt2000
27(29)
Rät linje
Ma1
Ma2
15.
y
A
En rät linje genom punkten (2, 3)
skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B
har en x-koordinat som är tre gånger
så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för
punkten A exakt.
(3p)
(2, 3)
B
x
Problemet är att bestämma y-koordinaten för A exakt. Punkten B har en x-koordinat
som är tre gånger så stor som y-koordinaten för punkten A. Antag att A = (0, z) då blir
B = (3z, 0). Figuren visar problemet i rätt skala.
y A = (0, z)
(2, 3)
B = (3z, 0)
x
2(4)
Problemet
handlar om en rät linje. Använd FORMELSAMLINGEN.
Funktioner
Räta linjen
y = kx + m
Andragradsfunktioner
k=
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
a≠0
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
Det
finns flera olika möjliga sätt att lösa problemet.
Här visas 3 olika varianter.
y = C ⋅ xa
y = C ⋅ ax
a > 0 och a ≠ 1
Geometri
c Triangel
G Robertsson
A=
bh
2
Parallellogram
buggar ⇒ [email protected]
A = bh
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
Variant 1, lösning med k =
28(29)
y2 − y1
x2 − x1
Riktningskoefficienten kA för en en linje genom A = (0, z) och (2, 3) är
z−3
kA =
0−2
och riktningskoefficienten kB för en en linje genom B = (3 z, 0) och (2, 3) är
0−3
.
kB =
3z − 2
Om A, (2, 3) och B ligger på samma linje så måste kA = kB alltså
0−3
z−3
=
.
0−2
3z − 2
Vi får
(3 z − 2) (z − 3) = (−2) (−3)
3 z 2 − 11 z + 6 = 6
(3 z − 11) |{z}
z
= 0
| {z }
z= 11
3
z=0
Lösningen z = 0 betyder att A och B båda ligger i origo. Detta är inte den efterfrågade
.
lösningen. Den intressanta lösningen är z = 11
3
Svar y-koordinaten för A är
11
.
3
Variant 2, lösning med y = k · x + m
Enligt formelsamlingen gäller att riktningskoefficienten för en linje som går genom
punkterna A och B är
z−0
z
−1
k =
=
=
.
0 − 3z
−3 z
3
Linjen går genom punkten (2, 3) och detta betyder att
3
↓
y =
−1
3
↓
k
2
↓
· x + m
↓
11
3
m-värdet är linjens skärningspunkt med y-axeln.
Svar y-koordinaten för A är
c G Robertsson
11
.
3
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2000
29(29)
Variant 3, lösning med y − y1 = k (x − x1 )
Enligt formelsamlingen gäller att riktningskoefficienten för en linje som går genom
punkterna A och B är
z−0
z
−1
=
=
.
k =
0 − 3z
−3 z
3
En linje som går genom punkten (2, 3) med riktningskoefficienten k = −1
kan skrivas
3
−1
y−3 =
(x − 2).
3
y-koordinaten för punkten A blir (x = 0)
−1
y−3 =
(0 − 2)
3
2
11
y = 3+ = .
3
3
Svar y-koordinaten för A är
c G Robertsson
11
.
3
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-11