1. No category

JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
1(32)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 1998
3
NpMaB HT 1998 LÖSNINGAR
Uppgift # 1
(2p)
Lös ekvationen . . . . . . . . . .
Uppgift # 2
(2p)
Linjärt ekvationssystem . . . . .
Uppgift # 3
(3p)
Andragradsfunktion . . . . . . .
Uppgift # 4
(3p)
Dödlig dos . . . . . . . . . . . .
Uppgift # 5
(2p)
Lös ekvationen . . . . . . . . . .
Uppgift # 6
(2p)
Rät linje . . . . . . . . . . . . . .
Uppgift # 7
(3p)
Sannolikhet för rött ljus . . . . .
Uppgift # 8
(3p)
Geometriskt problem på två sätt
Uppgift # 9
(2p)
Olikhet . . . . . . . . . . . . . . .
Uppgift # 10
(2p)
Sannolikhet . . . . . . . . . . . .
Uppgift # 11
(4p)
Linjärt ekvationssystem . . . . .
Uppgift # 12
(2p)
2:a gradsekvation . . . . . . . . .
Uppgift # 13
(4p)
Normalfördelad kattmat . . . . .
Uppgift # 14
(3p)
von Kocks snöflinga . . . . . . .
Uppgift # 15
(3p)
x-koordinat . . . . . . . . . . . .
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
11
12
14
15
16
17
18
22
23
24
26
27
29
31
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
2(32)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som
är lämpliga till respektive kurs.
Ma1
Ma2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
7
8
8
9 10
9 10
11
12
13
14
15
11
12
13
14
15
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
NpMaB ht 1998
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om
sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till
och med utgången av januari 1999.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK
KURS B
HÖSTEN 1998
Tidsbunden del
Anvisningar
Provperiod
8 december – 17 december 1998.
Provtid
180 minuter utan rast.
Hjälpmedel
Miniräknare och formelsamling. Formelblad bifogas provet.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn, komvux/gymnasieprogram och födelsedatum på
de papper du lämnar in.
Provet
Provet består av 15 uppgifter.
De flesta uppgifterna är av långsvarstyp där det inte räcker
med bara ett kort svar utan där det krävs
• att du skriver ned vad du gör
• att du förklarar dina tankegångar
• att du ritar figurer vid behov
• att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder
ditt hjälpmedel.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver
bara svaret anges.
Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i
slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller
redovisning.
Betygsgränser
Ansvarig lärare meddelar de gränser som gäller för betygen
”Godkänd” och ”Väl Godkänd”. Provet ger maximalt 40 poäng.
Np MaB ht 1998
1.
Lös ekvationen x 2 − 4x − 5 = 0
(2p)
2.
 x + y = 23
Lös ekvationssystemet 
3x + 6 y = 96
(2p)
3.
För en andragradsfunktion gäller att
• funktionens graf skär x-axeln för x = −2 och x = 4
• x 2 -termen är negativ
a)
b)
c)
4.
Rita ett koordinatsystem och markera de punkter där grafen skär x-axeln.
Endast svar fordras
(1p)
För vilket x-värde har funktionen sitt största eller minsta värde?
Endast svar fordras
(1p)
Skissa i koordinatsystemet hur funktionens graf kan se ut.
Endast svar fordras
(1p)
I science-fictionserien Star Trek The Next Generation blir kapten Picard och
chefsingenjör La Forge instängda i ett rum med radioaktiv strålning. När La Forge
avläser sitt mätinstrument har de redan fått stråldosen 93 rad. Stråldosen ökar med
4 rad/minut. Stråldosen 350 rad är dödlig.
TM, (r) & (c) 1998 Paramount Pictures. All Rights Reserved. STAR TREK and Related
Marks are Trademarks of Paramount Pictures.
a)
Ställ upp ett uttryck som beskriver stråldosen y rad som funktion av tiden
x minuter. Tiden räknas från den tidpunkt La Forge avläser sitt
mätinstrument.
Endast svar fordras
(1p)
b)
Hur lång tid har de båda hjältarna på sig att komma ut ur rummet?
(2p)
Np MaB ht 1998
5.
Lös ekvationen (n − 3) 2 = 2n + 9
6.
Punkten (2, 3) ligger på en rät linje med riktningskoefficienten k = 4.
Bestäm koordinaterna för en annan punkt på linjen.
7.
(2p)
(2p)
Ulla åker bil till skolan varje morgon. På vägen dit passerar hon två trafikljus som
hon tycker alltid visar rött.
Det första trafikljuset visar rött ljus i 68 sekunder och någonting annat än rött ljus
i 34 sekunder.
Det andra trafikljuset visar rött ljus i 78 sekunder och någonting annat än rött ljus i
32 sekunder.
Trafikljusen slår om helt oberoende av varandra.
a)
Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid det första trafikljuset?
(1p)
b)
Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid båda trafikljusen?
(2p)
Np MaB ht 1998
8.
I triangeln ABC nedan är sidan DE parallell med sidan BC.
A
(m)
7,8
3,0
E
D
2,0
C
B
12,0
Beräkna längden av sträckan EC på två olika sätt.
9.
(3p)
Din klasskompis har löst olikheten 3 x + 2 > 6 x − 4 (se nedan).
Han har fått veta att han inte har gjort rätt, men kan inte hitta felet i sin lösning.
3x + 2 > 6 x − 4
3 x − 6 x > −2 − 4
− 3 x > −6
3x > 6
x>2
Hjälp honom genom att ange var han har gjort fel och beskriv hur han kan rätta till
felet.
(2p)
10.
Vid ishockeymatcher i Globen i Stockholm kan de som vill köpa ett
matchprogram för 25 kr. I slutet av matchen lottas det ut vinster där
matchprogrammet fungerar som en lott.
Vid en match mellan Djurgården och Brynäs lottas det ut tre
Helsingforskryssningar.
Beräkna sannolikheten att du vinner en av dessa kryssningar om du köper ett
matchprogram.
Du får själv hitta på den information du behöver för att kunna utföra dina
beräkningar.
(2p)
Np MaB ht 1998
11.
Åsa och Torbjörn arbetar på en sommarkoloni. Barnen på kolonin serveras
mellanmjölk (fetthalt 1,5 %) till måltiderna. En dag får de en felaktig leverans som
bara innehåller lättmjölk (fetthalt 0,5 %) och standardmjölk (fetthalt 3 %). De
beslutar sig därför att blanda dessa båda sorter. Åsa skriver följande på en lapp:
a liter lättmjölk och b liter standardmjölk
a + b = 10
0,005a + 0,03b = 0,015 ⋅10
12.
(1)
(2)
a)
Förklara vad ekvation (1) beskriver.
(1p)
b)
Förklara vad ekvation (2) beskriver.
(1p)
c)
Hur mycket mjölk av varje sort ska de blanda?
(2p)
Du ska lösa ekvationen
x 2 + 4x + 6 = 0
Du väljer att göra en grafisk
lösning och ritar upp grafen till
funktionen y = x 2 + 4 x + 6 som
visas i figuren.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x
Vilken information ger grafen om lösningen till ekvationen x 2 + 4 x + 6 = 0 ?
Hur kan du se det i diagrammet?
(2p)
Np MaB ht 1998
13.
Enligt innehållsförteckningen innehåller en burk Misse kattmat 500 g. En undersökning visar att vikten är normalfördelad kring medelvärdet 490 g och att standardavvikelsen är 5 g enligt diagrammet nedan.
480
a)
485
490
495
500
Vikt /g
Ett varuhus köper in 3 000 burkar Misse kattmat.
Hur många av dessa burkar kan förväntas innehålla minst de 500 g kattmat
som anges på burken?
(2p)
b)
Medelvärdet i undersökningen är 490 g. Antag att standardavvikelsen skulle
vara större än 5 g.
Förklara med ord hur fördelningen av burkarnas vikter och därmed också
kurvans utseende förändras av den ändrade standardavvikelsen.
Skissa också de båda kurvorna, med standardavvikelsen 5 g respektive större än 5 g, i ett enda diagram.
(2p)
Np MaB ht 1998
14.
Inom den del av matematiken som kallas kaosteori används fraktaler för att beskriva former i naturen, t.ex. åskmoln, kuststräckor och ormbunksblad. von Kochs
snöflinga är en fraktal. Den kan ritas på följande sätt:
n=1
B rja med
en liksidig
triangel
n=2
Ta bort mittersta
tredjedelen p
varje sida
Rita tv av sidorna
i en liksidig triangel
i varje ppning
n=3
Ta bort mittersta
tredjedelen p
varje sida
Rita tv av sidorna
i en liksidig triangel
i varje ppning
von Kochs
sn flinga
Upprepa om
och om igen.
Ett funktionsuttryck för vinkelsumman f (n) grader i de figurer som bildas vid
detta förfarande är f (n) = 540 ⋅ 4 n−1 − 360.
a)
Beräkna med hjälp av funktionsuttrycket vinkelsumman f (3) .
b)
Med hjälp av funktionsuttrycket kan vinkelsumman i figuren då n = 2 beräknas till 1800°.
(1p)
Förklara med hjälp av figuren, och så utförligt du kan, att denna vinkelsumma är korrekt.
(2p)
15.
y
På linjen y = 2x finns en punkt P vars avstånd till origo är 24 längdenheter.
P
Beräkna punkten P:s x-koordinat, x > 0 .
x
(3p)
JENSENvuxutbildning
10(32) 1(4)
NpMaB ht1998
Uppgift # 1
(2p)
Lös ekvationen
Formler till nationelltNpprov
i matematik kurs 2
MaB ht 1998
1.
Lös ekvationen x 2 − 4x − 5 = 0
(2p)
Algebra
Använd
FORMELSAMLINGEN x + y = 23

2.
Lös ekvationssystemet 
3x + 6 y = 96
(2p)
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
2
= aen
−andragradsfunktion
(a3.− b) 2För
2ab + b 2
gäller att
2
p
 p
x =− ±   −q
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
• funktionens graf skär x-axeln för x = −2 och x = 4
• x 2 -termen är negativ
2
2
2
ett ·x
koordinatsystem
och markera de punkter där grafen skär x-axeln.
xRita
−4
−5 = 0
|{z} |{z}
Endast svar fordras
a)
Aritmetik
p=−4
(1p)
q=−5
I vårt fall är p = −4 och q = −5. Detta ger
b)
För vilket x-värde har funktionen sitt största eller minsta värde?
Prefix
Endast svar fordras
p
√
x1 = 2 + 22 − (−5) = 2 + 9 = 2 + 3 = 5
T
G
Mp
k
h
d
c
m
n
p
µ
funktionens graf kan se ut.
x2 c)= 2Skissa
− 2i 2koordinatsystemet
− (−5) = 2 − 3 hur
= −1
tera
giga mega
kilo
hekto deci
centi milli
mikro
Endast
svar nano
fordraspiko
3
Svar
=9 5 och
1012 x1 10
106x2 =10−1
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9 10-12
(1p)
(1p)
4.
I science-fictionserien
Star att
Trek
The Next Generation
blir kapten Picard och
Kommentar
Kontrollera alltid
lösningarna
uppfyller ekvationen.
chefsingenjör La Forge instängda i ett rum med radioaktiv strålning. När La Forge
avläser sitt mätinstrument har de redan fått stråldosen 93 rad. Stråldosen ökar med
Potenser
4 rad/minut. Stråldosen 350 rad är dödlig.
a a =a
x y
ax
x+ y
a b = (ab)
x x
ay
ax
= a x− y
a
= 
x
b
b
x
x
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
1
ax
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
lg x + lg y = lg xy
c G Robertsson
lg x − lg y = lg
x
lg x p = p ⋅ lg x
TM, (r) & (c) 1998 Paramount Pictures.
All Rights Reserved. STAR TREK and Related
y
Marks are Trademarks of Paramount Pictures.
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
a)
Ställ upp ett uttryck som beskriver stråldosen y rad som funktion av tiden
x minuter. Tiden räknas från den tidpunkt La Forge avläser sitt
mätinstrument.
Endast svar fordras
(1p)
b)
Hur lång tid har de båda hjältarna på sig att komma ut ur rummet?
(2p)
Np MaB ht 1998
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
1.
Lös ekvationen x 2 − 4x − 5 = 0
Uppgift # 2
(2p)
11(32)
(2p)
Linjärt ekvationssystem
 x + y = 23
Lös ekvationssystemet 
3x + 6 y = 96
2.
(2p)
Uppgiften är att lösa ekvationssystemet
3.x +
För en andragradsfunktion
gäller att 1:a ekvationen
y =
23
3x +
6y =
96
2:a ekvationen
• funktionens graf skär x-axeln för x = −2 och x = 4
x 2 -termen
är negativ och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x
Strategi: •Behåll
1:a ekvationen
i 2:a ekvationen. Subtrahera 3 × 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då:
a)
Rita ett koordinatsystem och markera de punkter där grafen skär x-axeln.
Endast svar fordras
(1p)
x +
y =
23
1:a ekvationen
3 x-3 x + 6 y-3 y = 96 - 3·23
ny 2:a ekvation innehåller bara y
b)
För vilket x-värde har funktionen sitt största eller minsta värde?
Endast svar fordras
(1p)
x
+
c)
y =
23
1:a ekvationen
Skissa i koordinatsystemet hur funktionens graf kan se ut.
3y =
27
Lös y som
blir svar
y=9 fordras
Endast
(1p)
4.x
+
y =
23 Trek TheLös
x, med
y=9 blir
I science-fictionserien
Star
Next
Generation
blirx=14
kapten Picard och
3y =
27
chefsingenjör
La Forge instängda
i etty=9
rum med radioaktiv strålning. När La Forge
avläser sitt mätinstrument har de redan fått stråldosen 93 rad. Stråldosen ökar med
4 rad/minut.
Svar x=14
y=9. Stråldosen 350 rad är dödlig.
Kommentar Kontrollera alltid att lösningen uppfyller ekvationerna.
TM, (r) & (c) 1998 Paramount Pictures. All Rights Reserved. STAR TREK and Related
Marks are Trademarks of Paramount Pictures.
a)
c G Robertsson
b)
Ställ upp ett uttryck som beskriver stråldosen y rad som funktion av tiden
x minuter. Tiden räknas från den tidpunkt La Forge avläser sitt
mätinstrument.
Endast svar fordras
(1p)
buggar ⇒ [email protected]
Hur lång tid har de båda hjältarna på sig att komma ut ur rummet?
2015-04-05
(2p)
Np MaB ht 1998
1.
Lös ekvationen x 2 − 4x − 5 = 0
(2p)
JENSENvuxutbildning
ht1998
23
 x + y =NpMaB
2.
Lös ekvationssystemet 
3x + 6 y = 96
Uppgift # 3
3.
(3p)
12(32)
(2p)
Andragradsfunktion
För en andragradsfunktion gäller att
• funktionens graf skär x-axeln för x = −2 och x = 4
• x 2 -termen är negativ
a)
b)
c)
Rita ett koordinatsystem och markera de punkter där grafen skär x-axeln.
Endast svar fordras
(1p)
För vilket x-värde har funktionen sitt största eller minsta värde?
Endast svar fordras
(1p)
Skissa i koordinatsystemet hur funktionens graf kan se ut.
Endast svar fordras
(1p)
Funktionen
är
4.
I science-fictionserien
Star Trek The Next Generation blir kapten Picard och
chefsingenjör La Forge instängda
2 i ett rum med radioaktiv strålning. När La Forge
y avläser
= K (x
+
2)
(x
−
4)
=
K
(x
− 2 xfått
− 8)
sitt mätinstrument har de redan
stråldosen 93 rad. Stråldosen ökar med
där K <40.rad/minut. Stråldosen 350 rad är dödlig.
Delfråga A
Delfråga B
Delfråga C
x=1
-2
4
Svar a)
-2
4
-2
4
Se vänster figur.
TM, (r) & (c) 1998 Paramount Pictures. All Rights Reserved. STAR TREK and Related
Svar b) Se figuren
i mitten.
Funktionen
Marks are Trademarks
of Paramount
Pictures. har sitt största eller minsta värde på
symmetrilinjen, alltså linjen x = 1.
a)
Ställ upp ett uttryck som beskriver stråldosen y rad som funktion av tiden
x minuter. Tiden räknas från den tidpunkt La Forge avläser sitt
mätinstrument.
Endast svar fordras
(1p)
b)
c G Robertsson
Hur lång tid har de båda hjältarna på sig att komma ut ur rummet?
buggar ⇒ [email protected]
(2p)
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
c)
NpMaB ht1998
13(32)
Funktionens största eller minsta värde är
x=1
K<0
}|
{
z}|{ z
2
y(1) = K (x − 2 x − 8) = −9 K > 0
Svar c) Se höger figur. Det finns många (oändligt antal) olika andragradsfunktioner
som skär x-axeln för x = −2 och x = 4. Tre olika grafer är markerade i figuren.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
a)
Rita ett koordinatsystem och markera de punkter där grafen skär x-axeln.
Endast svar fordras
(1p)
b)
För vilket x-värde har funktionen sitt största eller minsta värde?
Endast svar fordras
vux
JENSEN
utbildning
NpMaB ht1998
c)
Uppgift
4.
(1p)
14(32)
Skissa i koordinatsystemet hur funktionens graf kan se ut.
# 4
(3p)
Dödlig dos Endast svar fordras
(1p)
I science-fictionserien Star Trek The Next Generation blir kapten Picard och
chefsingenjör La Forge instängda i ett rum med radioaktiv strålning. När La Forge
avläser sitt mätinstrument har de redan fått stråldosen 93 rad. Stråldosen ökar med
4 rad/minut. Stråldosen 350 rad är dödlig.
TM, (r) & (c) 1998 Paramount Pictures. All Rights Reserved. STAR TREK and Related
Marks are Trademarks of Paramount Pictures.
a)
Ställ upp ett uttryck som beskriver stråldosen y rad som funktion av tiden
x minuter. Tiden räknas från den tidpunkt La Forge avläser sitt
mätinstrument.
Endast svar fordras
(1p)
b)
Hur lång tid har de båda hjältarna på sig att komma ut ur rummet?
(2p)
Det efterfrågade sambandet mellan strålning y och tid x är
rad/min
rad
min
rad
z}|{
z}|{ z}|{ z}|{
y
= 93 + 4 · x .
Den ekvation som ska lösas är
dödlig dos
z}|{
350
= 93 + 4 · |{z}
x .
x=64,25
x =
350 − 93
= 64,25 ≈ 64.
4
Svar Dödlig dos uppnås efter 64 minuter.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
Uppgift # 5
15(32) 1(4)
Np MaB ht 1998
(2p)
Lös ekvationen
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
5.
Lös ekvationen (n − 3) 2 = 2n + 9
(2p)
Algebra
Börja
med att städa. Använd kvadreringsreglerna i FORMELSAMLINGEN.
6.
Regler
Punkten (2, 3) ligger på en rät linje med riktningskoefficienten k = 4.
Andragradsekvationer
Bestäm koordinaterna för en annan punkt på linjen.
x 2 + px + q = 0
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(2p)
2
p
 p
±   −q
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
7.
Ulla åker bil till skolan varje morgon. På vägen dit passerar hon två trafikljus som
hon tycker alltid visar rött.
2
x=−
2
2
(n − 3) visar
= 2rött
n +ljus
9 i 68 sekunder och någonting annat än rött ljus
Det första trafikljuset
| {z }
Aritmetik
i 34 sekunder.
n2 −6 n+9
n2 − 6 n + 9 − 2 n − 9 = 0
visar rött ljus i 78 sekunder och någonting annat än rött ljus i
Prefix Det andra trafikljuset
2
n
−
8
n
= 0
32 sekunder.
Här Tbehöver
Ekvationen
G du inte
M använda
k
hpq-formeln.
d
c
m kan
n
p och blir därmed
µ faktoriseras
slår omänhelt
oberoende av varandra.
sin egen Trafikljusen
lösning. Enklare
pq-formeln.
tera
giga mega
kilo
hekto deci
centi milli mikro nano
piko
n (n − 8)
{z
}
|{z}
|
12
9
6
3
2
-1
-2
-3
-6
-9
a)10 Hur10stor är10sannolikheten
(1p)
10
10
10att hon10får rött
10ljus vid
10 det första
10 trafikljuset?
10-12
n=8
n=0
Hur n
stor
att hon
får rött ljus vid båda trafikljusen?
Svar nb)= 0 och
= är
8 sannolikheten
är lösningar till
ekvationen.
(2p)
Tips:
Kontrollera lösningen.
Potenser
a xa y = a x+ y
a b = (ab)
x x
x
ax
a
y
ax
= a x− y
a
= 
x
b
b
x
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
1
ax
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
lg x + lg y = lg xy
c G Robertsson
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
Np MaB ht 1998
vuxekvationen
5.
Lös
JENSEN
utbildning (n − 3) 2 = 2n + 9NpMaB ht1998
Uppgift # 6
6.
(2p)
(2p)
16(32)
Rät linje
Punkten (2, 3) ligger på en rät linje med riktningskoefficienten k = 4.
Bestäm koordinaterna för en annan punkt på linjen.
7.
(2p)
y
Ulla åker bil till skolan varje morgon. På vägen dit passerar hon två trafikljus som
hon tycker alltid visar rött.
Det första trafikljuset visar rött ljus i 68 sekunder och någonting annat än rött ljus
i 34 sekunder.
(3, 7)
Det andra trafikljuset visar rött ljus i 78 sekunder och någonting annat än rött ljus i
32 sekunder.
Trafikljusen slår om helt oberoende av varandra.∆y = 4
a)
Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid det första trafikljuset?
(1p)
b)
Hur stor är sannolikheten att(2,
hon
3)får rött ljus vid båda trafikljusen?
∆x = 1
(2p)
x
Riktningskoefficienten k = 4 betyder att då x ökar med 1 enhet så ökar y med 4 enheter.
Punkten (2, 3) på linjen är given. Vi kan alltså direkt säga att en annan punkt är
(2, 3) + (1, 4) = (3, 7). Det finns oändligt många möjliga svar.
Svar En annan punkt på linjen är (3, 7).
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
Lös ekvationen (n − 3) = 2n + 9
5.
(2p)
6.
Punkten (2, 3) ligger på en rät linje med riktningskoefficienten k = 4.
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
Bestäm koordinaterna för en annan punkt på linjen.
Uppgift # 7
(3p)
17(32)
(2p)
Sannolikhet för rött ljus
Ma 1
7.
Ulla åker bil till skolan varje morgon. På vägen dit passerar hon två trafikljus som
hon tycker alltid visar rött.
Det första trafikljuset visar rött ljus i 68 sekunder och någonting annat än rött ljus
i 34 sekunder.
Det andra trafikljuset visar rött ljus i 78 sekunder och någonting annat än rött ljus i
32 sekunder.
Trafikljusen slår om helt oberoende av varandra.
a)
Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid det första trafikljuset?
(1p)
b)
Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid båda trafikljusen?
(2p)
68
= 0,67 = 67%
68 + 34
78
P(rött ljus 2:a trafikljuset) =
= 0,78 = 78%
78 + 32
Då trafikljusen är oberoende av varandra gäller att
0,78
0,67
z }| { z }| {
P(rött båda) = P(rött 1:a) × P(rött 2:a) = 0,47 = 47%
P(rött ljus 1:a trafikljuset) =
Svar a)
P(rött ljus 1:a trafikljuset) = 67%
Svar b)
P(rött båda) = 47%
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
18(32)
3(4)
Uppgift # 8
8.
(3p)
Np MaB ht 1998
Geometriskt problem på två sätt
I triangeln ABC nedan är sidan DE parallell med sidan BC.
Kon
Klot
πr 2 h
V=
3
3,0
A = πrs
(Mantelarea)
A
(m)
7,8
4πr 3
3
A = 4πr 2
V=
E
D
2,0
C
B
Likformighet
12,0
Skala
Trianglarna ABC
Areaskalan = (Längdskalan)2
och DEFBeräkna
är
Volymskalan
= (Längdskalan)3
längden av sträckan EC på två olika
sätt.
likformiga.
(3p)
a b c
= =
d e f
9.
Din klasskompis har löst olikheten 3 x + 2 > 6 x − 4 (se nedan).
I FORMELSAMLINGEN
ochkan
transversalsatsen.
Han har fått veta finns
att hantopptriangelsatsen
inte har gjort rätt, men
inte hitta felet i sin lösning.
3x + 2 > 6 x − 4
Topptriangel- och
3 x − 6 x > −2 − 4
transversalsatsen
Bisektrissatsen
− 3 x > −6
Om DE är parallell
AD AC
3x > 6
=
med AB gäller
BD BC
DE CDx > 2CE
och
=
=
AB AC
HjälpBC
honom genom att ange var han har gjort fel och beskriv hur han kan rätta till
felet.
(2p)
CD CE
=
AD BE
Notera
som i uppgiften
kallasi Stockholm
4ABC i FORMELSAMLINGEN
10. att
Viddet
ishockeymatcher
i Globen
kan de som vill köpa ettkallas 4CAB. För
att undvika
förväxlingar
och
sammanblandningar
arbeta
med
beteckningarna
i
matchprogram för 25 kr. I slutet av matchen lottas
det ut
vinster
där
Vinklar
FORMELSAMLINGEN.
Vifungerar
har nu att
matchprogrammet
somarbeta
en lott. med triangeln i figuren där sträckan BE ska
beräknas.
u + v = 180°
Sidovinklar
Vid en match mellan Djurgården och Brynäs lottas det ut tre
Vertikalvinklar
w=v
Helsingforskryssningar.
L1 skär två
parallella
linjer L2 ochattL3du vinner en av dessa kryssningar om du köper ett
Beräkna
sannolikheten
matchprogram.
Likbelägna vinklar
v=w
Du får själv hitta på den information du behöver för att kunna utföra dina
Alternatvinklar
u = w beräkningar.
c G Robertsson
13-01-24
buggar ⇒ [email protected]
(2p)
2015-04-05
© Skolverket
πr 2 h
3
A = πrs
(Mantelarea)
4πr 3
3
A = 4πr 2
V=
V=
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
C
Likformighet
19(32)
Skala
CD=3,0
Trianglarna ABC
och DEF
D är
likformiga.
AD=2,0
bA c
a
= =
d e f
CE=7,8
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
E
BE=?
B
AB=12,0
3(4)
Lösning med transversalsatsen
Topptriangel- och
transversalsatsen
Kon
Bisektrissatsen
Om DE2 är parallell
πr h
med
V = AB gäller
3
DE CD CE
=
AAB
= πrsAC = BC och
(Mantelarea)
CD CE
=
AD BE
AD AC
4=πr 3
VBD
= BC
3
A = 4πr 2
Likformighet
Skala
Klot
3,0
7,8
=
Vinklar
Trianglarna
2,0 ABCBE
och DEF är
2, 0 · 7,8
u+v =
180°= Sidovinklar
BE
= 5,2
likformiga.
3
Vertikalvinklar
w
Vilket
a = vbskulle
c visas.
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
= =
d e f
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
Lösning
med topptriangelsatsen
Likbelägna vinklar
v=w
u=w
Alternatvinklar
Topptriangel- och
transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell
med AB gäller
AD AC
=
BD BC
DE CD CE
och
=
=
AB AC BC
13-01-24
© Skolverket
CD CE
=
AD BE
Vinklar
c uG+Robertsson
v = 180°
w=v
Sidovinklar
buggar ⇒ [email protected]
Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
v=w
Likbelägna vinklar
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
20(32)
3,0
7,8
=
5,0
BC
5, 0 · 7,8
BC =
= 13,0
3
7,8
13,0
z}|{ z}|{
BE = BC − CE
|{z}
5,2
Vilket skulle visas.
Triangeln BEF med Pythagoras sats, variant I
C
CE=7,8
CD=3,0
D
AD=2,0
A
E
AB=12,0
F
BE=?
B
Sträckan BE kan beräknas med Pythagoras sats
2,0
2
BE
|{z}
z}|{
= EF2 + BF2
sökt
där sträckan BF först måste beräknas enligt
12,0
z}|{
BF = AB − DE.
Sträckan DE kan beräknas med Pythagoras sats
7,82
3,02
z}|{
z}|{
CE2 = CD2 + |{z}
DE2 .
7,22
Med DE=7,2 blir BF=4,8 vilket ger BE=5,2
Vilket skulle visas.
Kommentar I denna lösning nyttjas att 6 CDE och 6 EFD är räta, 90◦ .
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
Likformighet
Skala
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
Trianglarna ABC
och DEF är
vuxutbildning
JENSEN
likformiga.
NpMaB ht1998
21(32)
a b c
= =
d e f BEF med Pythagoras sats, variant II
Triangeln
Sträckan DE kan beräknas med topptriangelsatsen.
Topptriangel- och
transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell
med AB gäller
AD AC
=
BD BC
DE CD CE
och
=
=
AB AC BC
CD CE
=
AD BE
DE
3,0
=
Vinklar
12,0
5,0
12,0 · 3,0
u + v =DE
180° = Sidovinklar = 7,2
5,0
Vertikalvinklar
w=v
Med DE känd blir den fortsatta lösningen som i den tidigare lösningen, variant I.
Vilket skulle visas.
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
’
v=w
Likbelägna vinklar
u=w
Alternatvinklar
13-01-24
c G Robertsson
© Skolverket
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
E
D
2,0
C
B
JENSENvuxutbildning
12,0 ht1998
NpMaB
Beräkna
sträckan EC
på två olika sätt.
Uppgift
# 9längden av
(2p)
Olikhet
22(32)
(3p)
Ma 1
9.
Din klasskompis har löst olikheten 3 x + 2 > 6 x − 4 (se nedan).
Han har fått veta att han inte har gjort rätt, men kan inte hitta felet i sin lösning.
3x + 2 > 6 x − 4
3 x − 6 x > −2 − 4
− 3 x > −6
3x > 6
x>2
Hjälp honom genom att ange var han har gjort fel och beskriv hur han kan rätta till
felet.
(2p)
För10.
olikheter
gäller samma räkneregler
som för likheter
med
viktigt
Vid ishockeymatcher
i Globen i Stockholm
kan de som
villett
köpa
ett undantag. Vid
matchprogram
förled
25 med
kr. I slutet
av matchen
det ut olikhetstecknet.
vinster där
multiplikation
av bägge
ett negativt
tal lottas
så vänder
matchprogrammet fungerar som en lott.
3Vid
x en +2
6 x Djurgården
−4
rättBrynäs lottas det ut tre
match>mellan
och
3Helsingforskryssningar.
x −6 x > −4 −2
rätt
−3 x
> −6
rätt
sannolikheten
en av
dessa kryssningar
duska
köper
ett
3Beräkna
x
>
6 att du vinner
FEL
multiplikation
medom−1
vända
matchprogram.
olikhetstecknet från > till <
Du
du behöver
för FEL
att kunna utföra dina
x får själv hitta
> på
2 den information
konsekvent
men
beräkningar.
Svar Se ovan.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(2p)
2015-04-05
3 x − 6 x > −2 − 4
− 3 x > −6
3x > 6
x>2
vux
JENSEN
utbildning
NpMaB ht1998
23(32)
Hjälp honom genom att ange var han har gjort fel och beskriv hur han kan rätta till
felet.
(2p)
Uppgift # 10
(2p)
Sannolikhet
Ma 1
10.
Vid ishockeymatcher i Globen i Stockholm kan de som vill köpa ett
matchprogram för 25 kr. I slutet av matchen lottas det ut vinster där
matchprogrammet fungerar som en lott.
Vid en match mellan Djurgården och Brynäs lottas det ut tre
Helsingforskryssningar.
Beräkna sannolikheten att du vinner en av dessa kryssningar om du köper ett
matchprogram.
Du får själv hitta på den information du behöver för att kunna utföra dina
beräkningar.
(2p)
Sannolikheten för vinst är
antal vinstlotter
antal lotter
Enligt texten i uppgiften är antal vinstlotter = 3. Vidare gäller också enligt texten i
uppgiften att du får hitta på den information som behövs för att utföra dina beräkningar.
Det som saknas är antal lotter. Välj något enkelt tal, exempelvis antal lotter = 3000, då
får vi
1
3
=
.
P (vinst) =
3000
1000
P (vinst) =
Svar Med 3000 programhäften blir sannolikheten att vinna
1
.
1000
Kommentar Vi kan naturligtvis välja vilket ändligt heltal som helst som är större eller
lika med 1. Enligt texten köper du ett häfte så antalet sålda häften måste vara 1 eller
större. Om bara ett eller två häften blir sålda så blir sannolikheten inte P (vinst) = 13 eller
P (vinst) = 32 eftersom det alltid gäller att 0 ≤ P ≤ 1.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 11
11.
NpMaB ht1998
24(32)
Np MaB ht 1998
(4p)
Linjärt ekvationssystem
Åsa och Torbjörn arbetar på en sommarkoloni. Barnen på kolonin serveras
mellanmjölk (fetthalt 1,5 %) till måltiderna. En dag får de en felaktig leverans som
bara innehåller lättmjölk (fetthalt 0,5 %) och standardmjölk (fetthalt 3 %). De
beslutar sig därför att blanda dessa båda sorter. Åsa skriver följande på en lapp:
a liter lättmjölk och b liter standardmjölk
a + b = 10
0,005a + 0,03b = 0,015 ⋅10
(1)
(2)
a)
Förklara vad ekvation (1) beskriver.
(1p)
b)
Förklara vad ekvation (2) beskriver.
(1p)
c)
Hur mycket mjölk av varje sort ska de blanda?
(2p)
a) Vad beskriver ekvation (1)?
Svar a) Summan av a och b betyder att a liter lättmjölky plus b liter standardmjölk ska
12. Du ska lösa ekvationen
10
bli 10 liter.2
x + 4x + 6 = 0
9
8
b) Vad Du
beskriver
(2)?
väljer att ekvation
göra en grafisk
7
lösning och ritar upp grafen till
Svar b) Ekvation (2)2 betyder att summan av mängden 6fett i lättmjölken och
y =vara
x + lika
funktionenska
4 x +med
6 som
5
standardmjölken
mängden fett i mellanmjölken.
4
visas i figuren.
c) Lös ekvationssystemet, substitutionsmetod
3
2
1
a + b = 10
(1)
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x
0, 005 · a + 0, 030 · b = 0, 015 · 10
(2)
Använd ekvationen
(1) förger
attgrafen
eliminera
a ur ekvation(1).
Enligt
x 2 +ekvation
4 x + 6 = (1)
0 ? gäller att
Vilken information
om lösningen
till ekvationen
a = (10 − b)
Hur kan du se det i diagrammet?
(2p)
som insatt i ekvation (2) ger
0, 005 · (10 − b) + 0, 030 · b = 0, 015 · 10
0, 025 · b = 0, 010 · 10
0, 010 · 10
b =
= 4
(3)
0, 025
Ekvation (3) ger insatt i (1) att a = 6
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Svar c)
a = 6 och b = 4;
NpMaB ht1998
25(32)
6 liter lättmjölk och 4 liter mellanmjölk
Kommentar Koefficienterna (talen) i ekvation (1) och (2) är av olika storleksordning.
Detta är inte praktiskt. Skala ekvation (2) genom att dividera både högerled och
vänsterled med 0,005. Ekvationssystmet blir då
a + b = 10
a + 6 · b = 30.
I detta ekvationssystem är koefficienterna (tal) av samma storleksordning.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
0,005a + 0,03b = 0,015 ⋅10
a)
(2)
Förklara vad ekvation (1) beskriver.
(1p)
vuxutbildning
Förklara vad ekvation (2) beskriver.
JENSENb)
NpMaB ht1998
c)
Hur mycket mjölk av varje sort ska de blanda?
Uppgift # 12
12.
(1p)
26(32)
(2p)
(2p)
2:a gradsekvation
y
10
9
8
7
6
5
4
Du ska lösa ekvationen
x 2 + 4x + 6 = 0
Du väljer att göra en grafisk
lösning och ritar upp grafen till
funktionen y = x 2 + 4 x + 6 som
visas i figuren.
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x
Vilken information ger grafen om lösningen till ekvationen x 2 + 4 x + 6 = 0 ?
Hur kan du se det i diagrammet?
Formler
till
Grafisk
lösning
(2p)
nationellt prov i matematik kurs 2
Svar Ekvationen saknar (reell) lösning eftersom grafen inte skär x-axeln.
Lösning med pq-formel
Algebra
Använd
FORMELSAMLINGEN
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
p
 p
x =− ±   −q
2
2
2
0 = x2 + |{z}
4 x + |{z}
6
Aritmetik
p=2
q=6
√
√
x1 = −1 + 12 − 6 = −1 +
−2
| {z }
Prefix
negativt tal, kvadratrot saknas
SvarT Lösning
saknas.
tal.)
G
M
k(I den hgamladB-kursen
c ingick
m inte
n
p
µ komplexa
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
c G Robertsson
Potenser
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
1(4)
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 13
13.
NpMaB ht1998
27(32)
Np MaB ht 1998
(4p)
Normalfördelad kattmat
Enligt innehållsförteckningen innehåller en burk Misse kattmat 500 g. En undersökning visar att vikten är normalfördelad kring medelvärdet 490 g och att standardavvikelsen är 5 g enligt diagrammet nedan.
480
a)
485
490
495
500
Vikt /g
Ett varuhus köper in 3 000 burkar Misse kattmat.
Hur många av dessa burkar kan förväntas innehålla minst de 500 g kattmat
som anges på burken?
(2p)
b)
Medelvärdet i undersökningen är 490 g. Antag att standardavvikelsen skulle
vara större än 5 g.
Förklara med ord hur fördelningen av burkarnas vikter och därmed också
kurvans utseende förändras av den ändrade standardavvikelsen.
Skissa också de båda kurvorna, med standardavvikelsen 5 g respektive större än 5 g, i ett enda diagram.
(2p)
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
s=
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + ... + ( xn − x ) 2
n −1
(stickprov)
Lådagram
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
28(32)
Använd FORMELSAMLINGEN, där finns normalfördelningen.
Normalfördelning
a)
Gränsen 500 g ligger vid +2 σ. Över +2 σ finns 2,3% av burkarna.
13-01-24
Svar a)
b)
© Skolverket
2,3% av burkarna har mer 500 g kattmat.
När standardavvikelsen ökar blir kurvan lägre och bredare.
standardavvikelse 5 g
standardavvikelse 10 g
-20
c G Robertsson
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 14
14.
NpMaB ht1998
(3p)
29(32)
von Kocks snöflinga
Np MaB ht 1998
Inom den del av matematiken som kallas kaosteori används fraktaler för att beskriva former i naturen, t.ex. åskmoln, kuststräckor och ormbunksblad. von Kochs
snöflinga är en fraktal. Den kan ritas på följande sätt:
n=1
B rja med
en liksidig
triangel
n=2
Ta bort mittersta
tredjedelen p
varje sida
Rita tv av sidorna
i en liksidig triangel
i varje ppning
n=3
Ta bort mittersta
tredjedelen p
varje sida
Rita tv av sidorna
i en liksidig triangel
i varje ppning
von Kochs
sn flinga
Upprepa om
och om igen.
Ett funktionsuttryck för vinkelsumman f (n) grader i de figurer som bildas vid
detta förfarande är f (n) = 540 ⋅ 4 n−1 − 360.
a)
Beräkna med hjälp av funktionsuttrycket vinkelsumman f (3) .
b)
Med hjälp av funktionsuttrycket kan vinkelsumman i figuren då n = 2 beräknas till 1800°.
(1p)
Förklara med hjälp av figuren, och så utförligt du kan, att denna vinkelsumma är korrekt.
(2p)
Av något
B rja
p
tv 15.
ppning
datortekniskt skäl saknas de svenska bokstäverna å ä ö på en del ställen i problemet ovan.
Börja
y
på
På linjen y = 2x finns en punkt P vars
två
P
öppning
stånd till origo är 24 längdenheter.
av-
Beräkna punkten P:s x-koordinat, x > 0 .
(3p)
x
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
30(32)
A
Givet funktionen
f (n) = 540 · 4n−1 − 360.
Uppgiften är att beräkna f (3).
f (3) = 540 · 43−1 − 360 = 540
| {z· 16} −360 = 8280
8640
Svar A
f (3) = 8260.
B
Uppgiften är att med hjälp av figuren förklara att vinkelsumma är 1800◦ då n = 2.
Fall n = 2
Fall n = 1
B
B
β
γ
α
A
C
A
C
Triangeln ABC har vinkelsumman 180◦ . Vad händer på sträckan AB då n ändras från
n = 1 till n = 2. Vinklarna α, β och γ tillkommer.
På sidan AB tillkommer en liten triangel med vinkelsumman 180◦ och två raka vinklar,
180◦ . Totalt 3 × 180◦ = 540◦ .
Triangel ABC
Sträckan AB α = (180◦ + 60◦ ), β = 60◦ , γ = (180◦ + 60◦ )
Sträckan AC
Sträckan BC
Totalt
Svar B:
(samma som på sträckan AB)
(samma som på sträckan AB)
180◦
540◦
540◦
540◦
1800◦
Räkningen ovan visar att vinkelsumman är 1800 då n = 2.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
a)
Beräkna med hjälp av funktionsuttrycket vinkelsumman f (3) .
b)
Med hjälp av funktionsuttrycket kan vinkelsumman i figuren då n = 2 beräknas till 1800°.
(1p)
JENSENvuxutbildning
NpMaBoch
ht1998
Förklara med hjälp av figuren,
så utförligt du kan, att denna vinkel- 31(32)
summa
är
korrekt.
(2p)
4(4)
Uppgift # 15
(3p)
x-koordinat
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
y
ab15.
= cd
Påu linjen
= 2v y = 2x finns en punkt P vars avstånd till origo är 24 längdenheter.
P
Beräkna punkten P:s x-koordinat, x > 0 .
(3p)
x
Pythagoras sats
Trigonometri
c2 = a 2 + b2
sin v =
a
c
b
cos v =
c
a
tan v =
Lösning 1./ Variant avståndsformeln (Pythagoras)
b
I FORMELSAMLINGEN finns avståndsformeln.
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
d = ( x2 − x1) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
xm =
x1 + x2
y + y2
och ym = 1
2
2
P=(z, 2z)
2z
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse
s=
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + ... + ( xn − x ) 2
n −1
(stickprov)
(0, 0)
Lådagram
z
d =
p
(z − 0)2 + (2z − 0)2 =
√
√
5z 2 = z 5
24
z}|{
√
d = |{z}
z
5;
Normalfördelning
10,7
Svar x-koordinaten är 10,7.
c G Robertsson
13-01-24
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05
© Skolverket
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht1998
32(32)
Lösning 2./ Variant med trigonometri
P=(z, 2z)
2z
v = arctan(2)
z
v
= arctan(2)
|{z}
63,4◦
63,4◦
z}|{
z
=
24
·
cos(
v )
|{z}
10,7
Svar x-koordinaten är 10,7.
Kommentar v = arctan(x) är ett alternativt skrivsätt för inversen till tangens,
v = tan−1 (x). arctan uttalas arcus tangens.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-05