ÖVNING 1 - DIFFTRANS II - SF1629
KARL JONSSON
Nyckelord och innehåll
• Första ordningens differentialekvationer (ODE)
• Lösningar och definitionsmängd
• Begynnelsevärdesproblem
(IVP)
• Implicita och explicita lösningar (implicit derivering)
• Obestämd konstant/frihetsgrad
• Separabla ekvationer
• Linjära ekvationer
• Integrerande faktor
• Icke-linjära ekvationer
• Modellering
• Autonoma ekvationer, stationära punkter och faslinjen
• Existens och entydighetssatserna
Inofficiella ”mål”
Från kursplanen: lösa första ordningens ordinära differentialekvationer (speciellt separabla,
linjära och exakta) och ett försök till uppdelning; det är bra om du
• kan känna igen, och själv skriva ned egna exempel på, linjära och separabla ODEer samt
kunna använda motsvarande lösningsprocedur,
• kan ”beräkna” primitiver till elementära funktioner,
• vet hur man ska tänka kring implicita uttryck
för en lösning,
• alltid testar din framräknade lösning y(x) i ursprungsekvationen y 0 (x) = f (x, y(x)),
• kan avgöra vilken största möjliga definitionsmängd för den framräknade lösningen är,
• vet vad ett begynnelsevärdesproblem (IVP) är
och hur detta relaterar till ”en obestämd konstant C”,
• kan avgöra vissa kvalitativa egenskaper hos
autonoma ekvationer,
• kan beskriva några kvalitativa skillnader mellan lösningar till linjära jämfört med ickelinjära ODEer (startvärdets inverkan på definitionsmängden, explicit/implicit, allmän lösning, kombinationsegenskaper etc.),
• kan ”designa” ODEer där lösningarna har
önskvärda egenskaper
• förstår vad ”existens av lösningar till en ODE”
betyder,
• förstår vad ”entydighet av lösningar till ett
IVP” är,
• kan formulera och använda existens och entydighetssatserna för att t.ex. avgöra storleken
på definitionsmängden för lösningar till linjära ODEer.
Obs! Detta är ett försök att bryta ned kursmålen i mindre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte
officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka.
Egen reflektion och anteckning
Institutionen för matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden
E-mail address: [email protected].
Date: 3 september 2015.
1
2
Exempel och uppgifter
(1) xy 0 = 4y, finn alla lösningar,
(8) y 0 + ty 2 = 0, finn alla lösningar,
(14) y 0 − y = 2 + 3 sin t, y(0) = y0 , finn värde
på y0 som gör lösningen begränsad för
t → ∞,
(2) y 0 = (3x2 − 1)/(3 + 2y),
(9) y 0 = 2y 2 + xy 2 , y(0) = 1, var antar funktionen sitt minimum?,
(15) Om a, λ > 0 så går alla lösningar till
y 0 + ay = be−λt mot 0 då t → ∞,
(3) y 0 + 2ty = 0, finn alla lösningar,
(4)
y0
+
6x2 y
=
x2 ,
(16) Var i ty-planet är förutsättningarna för
existens&entydighetssatsen uppfyllda för
y 0 = (t2 + y 2 )5/2 ?,
finn alla lösningar,
(11) Newtons avkylningslag: 90 till 85 grader
på 1 min i ett 20-gradigt rum. Hur lång
tid till 65 grader? ,
2
(5) y 0 + 2ty = 2te−t , finn tre lösningar,
(6) y 0 − y = 2te2t , y(0) = 1,
(17) y 0 = y, y 0 = y 2 , hur beror definitionsmängden av lösningen på y(0) = y0 > 0
för vardera ekvation?,
(12) t(t − 4)y 0 + y = 0, y(2) = 1, bestäm ett
öppet intervall som tillhör definitionsmängden för lösningen,
(18) y 0 = 4ty 2 , y 0 = t2 /y(1 + t3 ), som i (17),
(7) ty 0 + (t + 1)y = t, y(ln(2)) = 1, t > 0,
(13) (4 − t2 )y 0 + 2ty = 3t2 , y(−3) = 1, som
ovan,
ÖVNING 1 - DIFFTRANS II - SF1629
(10) y 0 = (1 − 2x)/y, y(1) = −2,