1. No category

Institutionen för
Matematiska Vetenskaper
Göteborg
TENTAMEN I
LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671
2015-08-28
DAG: Fredag 28 augusti 2015
Ansvarig:
Förfrågningar:
Lösningar:
Resultat:
Betygsgränser:
Hjälpmedel:
TID: 14.00 - 18.00
SAL: V
Ivar Gustafsson, tel: 0705-335450
John Bondestam Malmberg, tel: 0705-088304
Anslås vid sal MVF21
Tentan beräknas vara rättad senast 18 september, resultat tillsänds dig.
30, 42, 54 av maximalt 60 poäng
Bonus (högst 10 poäng) från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas.
Inga
Iakttag följande:
- Skriv tydligt och disponera papperet på lämpligt sätt
- Börja varje ny uppgift på nytt blad
- Alla svar skall väl motiveras
LYCKA TILL!
Uppgift 1.

1
 1
a) Gör en LU -faktorisering, utan pivotering, av matrisen A = 
 0
0
1
2
1
0
0
1
2
1

0
0 
 . (4p)
1 
2
b) Om du har en LU -faktorisering av en matris A ∈ Rn×n , hur många flyttalsoperationer
kvävs då för att lösa ett system Ax = b (för stora värden på n). Det räcker att ange storleksordningen med avseende på matrisdimensionen n. Jämför med antalet flyttalsoperationer
för att lösa med Gausselimination utan att utnyttja de givna faktorerna. (2p)
c) Antag att du har en LU -faktorisering, utan pivotering, av matriserna B och B −1 A − I.
Visa hur dessa kan användas för att lösa ekvationssystemet (A − B)x = b. (2p)
Uppgift 2.
a) Låt A = U1 Σr V1T vara en kompakt SVD-faktorisering av matrisen A. Visa att en lösning
T
till minstakvadratproblemet minx kAx − bk2 kan skrivas x̂ = V1 Σ−1
r U1 b. (3p)
b) Visa att lösningen x̂ i a)-uppgiften är den lösning till minstakvadratproblemet som har
minsta norm av alla möjliga lösningar x. (3p)
1
Uppgift 3.
I b)-uppgiften kommer vi att använda följande två definitioner:
1) En avbildning T : Rn → Rm sägs vara på Rm om varje b ∈ Rm ges av T x för något
x ∈ Rn .
2) En avbildning T : Rn → Rm sägs vara ett-ett om varje b ∈ Rm ges av T x för högst ett
x ∈ Rn .
Betrakta de linjära avbildningarna T1 (x1 , x2 ) = (x2 − 2x1 , x2 , x1 + 2x2 ) från R2 till R3 och
T2 (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + x3 , x3 ) från R3 till R2 .
a) Ta fram matriserna för avbildningarna. (2p)
b) Avgör för var och en av avbildningarna om de är på och om de är ett-ett. (4p)
c) Vilken i sammanhanget relevant egenskap har matrisen för en linjär avbildning som är
både på och ett-ett? (1p)
Uppgift 4.
a) Bestäm
algebraisk

 och geometrisk multiplicitet hos egenvärdena till matrisen
1 1 0 0
 0 1 0 0 

A=
 0 0 2 0 . (3p)
0 0 1 2
b) Betrakta den kvadratiska formen Q(x) = 5x21 + 5x22 + 3x23 + 3x24 − 2x1 x2 − 2x3 x4 .
Bestäm största värde på Q(x) under villkor att xT x = 2. (3p).
c) Bestäm en vektor u med uT u = 2 så att Q(u) är maximal. (1p)
d) Bestäm största värdet på Q(x) under villkoren xT x = 1 och xT u = 0 där u är lösningen
i c)-uppgiften. Bestäm även två linjärt oberoende vektorer x och y för vilka Q(x) och Q(y)
antar detta största värde. (2p)
Uppgift 5.
Betrakta följande tabell över funktionsvärden av en funktion f (t) i tre punkter.
t
f
1 2
2 1
4
0
R4
a) Bestäm en approximation till 1 f (t) dt med trapetsformeln. (2p)
b) Bestäm interpolationspolynomet genom de tre punkterna. (2p)
c) Bestäm en kvadratisk spline s(x) som interpolerar f i de tre punkterna och som uppfyller
s0 (4) = 0. (3p)
2
Uppgift 6.
a) Betrakta Newtons metod för att lösa en skalär ekvation f (x) = 0. Skriv upp metoden
som en fixpunktsiteration och motivera på så sätt den snabba konvergensen nära en lösning
x∗ där f 0 (x∗ ) 6= 0. (4p)
1
b) Gör en iteration med Newtons metod med start i
på det icke-linjära ekvations1
2
x1 − x21 x2 = 1
. (3p)
systemet:
x21 + x32 = 1
Uppgift 7.
a) Härled Gauss-Newtons metod för att lösa ett ickelinjärt minstakvadratproblem. (3p)
b) Betrakta den ickelinjära modellen Ψ(x, t) = x1 t + x2 ln t + t−x3 som vi önskar anpassa
till mättabellen
t 1 2
Ψ 1 3
3 4
4 6
5
7
i minstakvadratmening. Teckna Gauss-Newtons metod för att lösa problemet. Ange explicit hur residual och Jacobian ser ut i första iterationen om du startar i x0 = (1 1 1)T .
Iterationssteget behöver inte utföras (beräknas). (4p)
Uppgift 8.
a) Definiera allmänt vad som menas med approximationsordning för en ODE-lösare. Ange
approximationsordning och stabilitetsområde för trapetsmetoden. (2p)
b)Betrakta följande andra ordningens differentialekvation, där a är en parameter:
 y 00 = (y 3 − a)(y 0 − 2), 0 ≤ t ≤ 1
y(0) = 0.5
 0
y (0) = 0
Låt a = 1. Utför ett steg med Eulers framåtmetod och steglängd h = 0.1. (3p)
c) Låt nu a bero på lösningen enligt a = y(1) − 2y 0 (1). Formulera problemet med inskjutningsteknik, ange den ekvation som ska lösas för att få fram a samt teckna sekantmetoden
för att lösa den ekvationen. Vilket inslag i en iteration med sekantmetoden är mest arbetskrävande? (4p)
3