2.3 Deriveringsregler
Derivatan av 𝑎 𝑥 och blandade övningar
Derivatan av exponentialfunktioner
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 𝑘 × 𝑎𝑥
Deriverar vi en exponentialfunktion så får vi en derivata som är likadan
förutom att den skall multipliceras med en faktor k.
Denna faktor k blir olika beroende på vilken bas vi har.
Några exempel
𝑓 𝑥 = 2𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 ≈ 0,69 × 𝑎 𝑥
𝑓 𝑥 = 3𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 ≈ 1,10 × 𝑎 𝑥
𝑓 𝑥 = 10𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 ≈ 2,30 × 𝑎 𝑥
Om vi har en bas någonstans mellan 2 och 3 så
borde vi kunna få till så att 𝑘 = 1, detta skulle
vara fördelaktigt då det skulle göra det väldigt
enkelt att derivera den exponentialfunktionen.
𝑓 𝑥 = 2,718281828𝑥 → 𝑓′ 𝑥 ≈ 2,718281828𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
2,718281828 = 𝑒
Talet 𝑒
Talet e är precis som talet 𝜋 ett irrationellt tal,
det innebär att det
• inte går att skriva som en kvot av två heltal
• att dess decimalutveckling är oändlig.
2,718281828 = 𝑒
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑘𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑘𝑒 𝑘𝑥
När vi vill beskriva hur naturen fungerar behöver vi tal som e och π för att göra det.
Exempel: Derivera följande funktioner
𝑎) 𝑓 𝑥 = 4𝑒 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 4𝑒 𝑥
𝑏) 𝑔 𝑥 = 0,5𝑒 6𝑥
𝑔′ 𝑥 = 6 × 0,5𝑒 6𝑥 = 3𝑒 6𝑥
Potensform och logaritmform
1000 = 103
lg 1000 = 3
1000000 = 106
lg 1000000 = 6
625 = 54
log 5 625 = 4
Vad skall vi höja upp 5 med för att få 625?
64 = 26
log 2 64 = 6
Vad skall vi höja upp e med för att få 𝑒 4 ?
Använder vi logaritmer med e som bas så kallar vi detta för den naturliga
logaritmen ln
log 𝑒 𝑒 4 = ln 𝑒 4 = 4
Desto mer matematik vi läser desto mer får vi se av e och ln
Vad skall vi höja upp e med för att få 𝑒 4 ?
𝑦
𝑒𝑥
ln 𝑥
𝑥
Derivatan av 𝑎 𝑥
2,718281828 = 𝑒
Hur deriverar då t.ex. 𝑦 = 7𝑥 på ett enkelt vis?
Vi byter bas till e på följande vis.
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
Precis som att vi kan skriva 7 = 10lg 7
𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑘𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑘𝑒 𝑘𝑥
kan vi skriva 7 = 𝑒 ln 7
då blir 7𝑥 = 𝑒 ln 7
𝑥
= 𝑒 ln 7×𝑥
Vi deriverar funktionen
𝑦 = 7𝑥
𝑦 = 𝑒 ln 7×𝑥
𝑦′ = ln 7 × 𝑒 ln 7×𝑥
𝑦 ′ = ln7 × 7𝑥
Generellt får vi
𝑦 = 𝑎𝑥
𝑦′ = 𝑎 𝑥 × ln 𝑎
𝑦 = 𝑘 × 𝑎𝑥
𝑦 ′ = 𝑘 × 𝑎 𝑥 × ln 𝑎
Derivatan av exponentialfunktioner
Några exempel
𝑓 𝑥 = 2𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 ≈ 0,69 × 𝑎 𝑥
ln 2 = 0,6931471806
𝑓 𝑥 = 3𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 ≈ 1,10 × 𝑎 𝑥
ln 3 = 1,098612289
𝑓 𝑥 = 10𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 ≈ 2,30 × 𝑎 𝑥
ln 10 = 2,302585093
𝑦
ln 𝑥
𝑥
2361
Värdet 𝑦 kr på en bil avtar enligt modellen 𝑦 = 225000 × 𝑒 −𝑘𝑥 ,
där 𝑥 är bilens ålder i år och 𝑘 är en konstant.
𝑎) Då 𝑥 = 5 är bilen värd 100 000 kr. Bestäm konstanten 𝑘 i modellen.
Vi vet att då 𝑥 = 5 kommer 𝑦 = 100000, dessa värden sätter vi in i funktionen och
får således en ekvation som vi kan lösa.
100000 = 225000 × 𝑒 −5𝑘 ↔
100000
100
−5𝑘
=𝑒
↔
= 𝑒 −5𝑘 ↔
225000
225
100
100
100
−5𝑘
ln
↔ ln
= ln 𝑒
↔ ln
= −5𝑘 × ln 𝑒
225 = 𝑘
225
225
↔
−5
Svar: Konstantens värde i denna modell är ungefär 𝑘 ≈ 0,162
2361
Värdet 𝑦 kr på en bil avtar enligt modellen 𝑦 = 225000 × 𝑒 −𝑘𝑥 ,
där 𝑥 är bilens ålder i år och 𝑘 är en konstant.
𝑏) Beräkna den hastighet som bilens värde ändras med då 𝑥 = 5.
Δ𝑦
𝑘𝑟
Vi vill alltså veta vad Δ𝑥 blir för då kommer vi att få förändringen i å𝑟
Denna förändring kan vi få genom att derivera funktionen och beräkna derivatan
för 𝑥 = 5
𝑦 = 225000 × 𝑒 −𝑘𝑥
𝑦 ′ = 225000 × −𝑘 × 𝑒 −𝑘𝑥
𝑘 ≈ 0,162
𝑦 ′ = 225000 × −0,162 × 𝑒 −0,162×5 = −16215,0765 ≈ −16200
Svar: Efter 5 år så sjunker värdet på bilen med 16200 kr per år.