Lösningsförslag till prov på förändringshastigheter och derivator 1. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 2. För barn mellan 5 år och 13 år finns en modell som ger sambandet mellan barnets vikt längd m. Enligt denna modell är . kg och Svar: Ett barn som är 1,2 m långt borde väga 21,9 kg enligt denna modell. ( ) ( ( ) ) Svar: Ett barn som väger 32 kg är ungefär 1,4 m långt enligt denna modell. 3. ( och Med hjälp av funktionens derivata kan vi beräkna tangentens lutning, så vi deriverar funktionen. ( En tangent är en rät linje som vi kan skriva på formen Vi beräknar derivatan då ( . ., ( Så tangenten kommer att ha ett För att kunna beräkna funktionens värde så saknar vi fortfarande värdet i punkten då ( Med hjälp av denna information kan vi nu ställa upp en ekvation för att lösa ut värdet. ( Svar: Vi kan nu ange tangentens ekvation exakt ( . . 4. Lutningen av en funktion får vi genom att derivera funktionen. Den här funktionens derivata är endast 4 då , då derivatan har en variabel i sig så kommer alltså lutningen att variera. Lutningen är inte 4 hela tiden. 5. Derivatan är 0 kan vi skriva på följande vis . För att finna denna funktions extrempunkter skall vi alltså undersöka vart den har . Vi undersöker när derivatan är 0. Vi kan nu gå över till pq formeln. √ ( √ √ och För att beräkna koordinaterna behöver vi beräkna funktionsvärdena för dessa ( ( ( värden. ( ( Svar: Denna funktion har extrempunkter i ( och ( . 6. ( I slutet av år 2015 har det gått 8 år, så . Med ( beräknar vi antalet invånare, vill vi få befolkningsökningen per år måste vi beräkna funktionens derivata och bestämma dess värde för , med andra ord, vi skall beräkna ( . ( Då blir ( En ökning på 0,017792 miljoner per år per år Svar: Efter 8 år så ökar befolkningen med ungefär 18000 per år. per år. 7. Vi vill alltså beräkna den genomsnittliga ökningen per år från Vi vill alltså beräkna ( till . vi behöver då beräkna ( ( ( ( Svar: Den genomsnittliga saldoförändringen under dessa år är att det ökar med 248 kr per år. 8. ( ( ( ( ( ( ( Vi sätter nu in dessa två uttryck i derivatans definition. ( ( v.s.b. 9. När vi deriverar en funktion då kommer vi att få en derivata som blir lite problematisk. Vi kommer att få en derivata i form av där beror på vilken bas vi använder oss av. Då visar det sig att om vi deriverar funktionen så blir derivatan precis samma sak, . Detta tal kallar vi för . Vill vi lösa ekvationer av typen så blir det fördelaktigt att använda sig av logaritmen med basen , . Logaritmen med basen kallar vi för . . 10. Punkten P:s värde får vi genom ( Punkten Q:s värde är då om den är än . Q:s värde blir då ( steg längre bort K värdet för denna sekant får vi således genom att beräkna ( ( ( ( ( För att få fram derivatan behöver vi minska värdet på så att det blir väldigt litet, i princip 0. Detta gör vi med gränsvärdet på detta uttryck. När vi gör denna operation så kommer sekanten att övergå i tangenten till punkten ( som är derivatan. Uttrycket blir således ( ( ( ). Det är lutningen på denna tangent